傅里叶变换
4种傅里叶变换
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4种傅里叶变换
DFT的变换 的变换
x(nT)=x(n)
Tp = 1 F
Tp = NT
x(e jkΩ0T ) x(k)
0 T 2T 1 2
Ωs = 2 π T 1 fs = T
NT
N
Ω0 =
2 π =2 F π Tp
t n
Ωs = N 0 Ω
( )
--Ω
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4种傅里叶变换
4.离散傅里叶变换 离散傅里叶变换(DFT) 离散傅里叶变换
周期性离散时间信号从上可以推断： 周期性离散时间信号从上可以推断： 从上可以推断 周期性时间信号可以产生频谱是离散的 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 得出其频谱为周期性离散的 得出其频谱为周期性离散的。 周期性离散
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4种傅里叶变换
四种傅里叶变换形式的归纳
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Ω
正: X(e jω ) =
1 反 : x(n) = 2π
n=−∞
x(n)e − jnω ∑
∞
∫π
−
π
X(e jπ )e jnω dω
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4种傅里叶变换
对称性
时域信号 离散的 非周期的 频域信号 周期的 连续的
时域：非周期、离散（取样间隔为T 时域：非周期、离散（取样间隔为T） 频域：连续、周期（ 频域：连续、周期（周期为 Ω = 2π ） s
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傅里叶变换的基本性质和应用
傅里叶变换的基本性质和应用傅里叶变换，是20世纪初法国数学家傅里叶的发明，是将一个时间函数或空间函数的复杂波形分解成一系列简单的正弦波的工具。
它是信号处理和图像处理领域非常重要的一种数学变换，广泛应用于通信、图像、音频等领域。
一、傅里叶变换的基本概念傅里叶变换是一种将时域信号（即关于时间的函数）转换为频域信号（即关于频率的函数）的数学工具。
在时域中，信号可以表示为一个随着时间变化而变化的函数；在频域中，信号可以表示为它的频谱分布，即各个频率成分的大小。
傅里叶变换是互逆的，也就是说，将一样以频率表示的信号进过傅里叶逆变换，可以得到原始的时域信号。
傅里叶变换和傅里叶逆变换的基本公式分别如下：$$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt $$$$ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega $$其中，$f(t)$ 是时域信号，$F(\omega)$ 是频域信号，$\omega$ 是角频率。
傅里叶变换可以看作一种基变换，将时域信号换到频域进行分析，从而可以更好地理解信号的性质。
二、傅里叶变换的基本性质1. 线性性质傅里叶变换是线性的，即对于一个常数乘以一个时域信号进行傅里叶变换，等价于将该常数乘以该信号的傅里叶变换。
即：$$ F(cf(t)) = cF(f(t)) $$其中，$c$ 是常数。
此外，傅里叶变换具有加权叠加的特性，也就是说，将两个时域信号求和再进行傅里叶变换，等价于分别对这两个信号进行傅里叶变换后再相加。
即：$$ F(f(t) + g(t)) = F(f(t)) + F(g(t)) $$2. 时移性质傅里叶变换具有时移性质，也就是说，在时域中将一个信号向右或向左平移 $\tau$ 个单位，它的傅里叶变换相位也会相应发生$\tau$ 的变化。
序列傅里叶变换公式
序列傅里叶变换公式
傅里叶变换是一种重要的信号分析工具，可以将一个时域上的连续函数或离散序列转换到频域上。
对于连续函数，其傅里叶变换公式为：
F(w) = ∫[−∞,+∞] f(t)e^(-jwt) dt
其中，F(w)表示频域上的复数函数，f(t)表示时域上的连续函数，ω为角频率。
对于离散序列，其傅里叶变换公式为：
F(k) = Σ[n=0,N-1] f(n)e^(-j2πkn/N)
其中，F(k)表示频域上的复数序列，f(n)表示时域上的离散序列，N表示序列的长度，k为频域上的整数频率。
傅里叶变换的公式可以将时域上的信号转换为频域上的复数函数或序列，从而可以分析信号的频谱特性，包括频率成分、幅度、相位等信息。
这对于信号处理、通信系统设计、图像处理等领域都有着广泛的应用。
常见的傅里叶变换
常见的傅里叶变换
傅里叶变换（FourierTransformation）是在数学术语中指任何将时域信号转换成频域信号（包括反向转换）的一种算法。
它可以将任何时域函数转换为复杂的频率函数，并使用它来衡量信号的性质。
这种变换的另一种表达形式是“Fourier分析”，它可以用于分析和解释复杂的信号，以及从中提取有关信号频率和振幅的信息。
傅里叶变换的主要用途是将复杂的时域信号转换为频域信号，以便快速获取信号的性质。
它也被广泛用于信号处理，数字信号处理，图像处理，科学可视化，生物信号处理，信号检测，滤波器设计等领域。
它可以提取有关信号的重要特征，包括频率，振幅，相位等，这些特征在信号分析，处理和重构方面非常重要。
在数学中，傅里叶变换可以用来进行积分及其反向变换，以及用于传输函数系统的稳定性分析。
此外，它也可以用于语音处理，设计滤波器，图像处理等方面。
常见的傅里叶变换有：
1. 傅里叶变换（Fourier Transform）：这是最基本的傅里叶变换，它用于将时域函数转换为频域函数。
2. 快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）：它是基于傅里叶变换的优化算法，可以将复杂信号的傅里叶变换运算时间减少到计算机可承受的最低水平。
3. 非负傅里叶变换（Non-negative Fourier Transform）：它是一种特殊的傅里叶变换，它只用非负数来表示傅里叶变换的系数，这
样可以更加精确地表示一个原始信号的复杂结构。
4. 小波变换（Wavelet Transform）：它是一种相对傅里叶变换而言的更加复杂的算法，它可以更精确地描述复杂信号，更有效地提取信号特征。
常见傅里叶变换
常见傅里叶变换傅里叶变换是一种常见的数学方法，用来把一个信号从时域（time domain）变换到频域（frequency domain），即从时间变换成周期，为信号分析和处理提供理论。
从量子物理学到电路设计，从数字图像处理到数字信号处理，傅里叶变换都发挥着重要作用。
一般来说，傅里叶变换可分为离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform，CFT）。
离散傅里叶变换是对某类数字信号进行频率谱分析的方法，用于表达在某一时刻及其之前的信号。
例如，它可以用来分析歌曲中的某些音调，或者某个难以分析的电路中的某些信号。
另一方面，连续傅里叶变换是一种从时域变换到频域的数学技术，它可以计算信号的振幅和相位，以及其他用于检测特定频率信号的信息。
它广泛应用于音频处理，天文观测，射电望远镜等领域。
傅里叶变换也可以用来表示函数和操作，比如傅里叶级数、小波变换等。
傅里叶变换可以帮助人们实现更高精度的信号处理，提高信号处理效率。
它有助于确定信号构成，也可以探索不同信号之间的关系。
举个例子，当电台收到许多不同频率的电视信号时，傅里叶变换可帮助把这些信号的相位分开，避免它们混合在一起。
此外，傅里叶变换也有助于把复杂的数据简化为简单的数学形式，比如利用傅里叶级数来解决非线性方程。
除离散傅里叶变换和连续傅里叶变换外，还有一类受欢迎的傅里叶变换，它在信号处理领域也有广泛的应用。
它包括快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）、中心矩形法（Central Momentum Method）、矩形变换（Rectangular Transform）、拉普拉斯变换（Laplace Transform）等。
快速傅里叶变换几乎在所有的数字信号处理系统中都有应用，它可以以更少的时间来完成傅里叶变换，从而使信号处理变得更有效率。
常用的傅里叶变换
常用的傅里叶变换
傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，在信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
常用的傅里叶变换包括：
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）：用于对离散信号进行频域分析，将时域信号转换为频域信号。
快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）：是计算离散傅里叶变换的一种高效算法，能够快速地计算离散信号的频谱。
傅里叶级数（Fourier Series）：用于将周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的和，常用于分析周期性信号的频谱成分。
傅里叶变换（Fourier Transform）：用于对连续信号进行频域分析，将连续时域信号转换为连续频域信号，包括傅里叶正变换和傅里叶逆变换。
这些傅里叶变换在实际应用中起着重要作用，能够帮助我们理解信号的频域特性，进行滤波、压缩、频谱分析等操作。
五种傅里叶变换解析
五种傅里叶变换解析标题：从简到繁：五种傅里叶变换解析引言：傅里叶变换是数学中一种重要且广泛应用于信号处理、图像处理和物理等领域的工具。
它的基本思想是将一个信号或函数表示为若干个不同频率的正弦波的叠加，从而揭示信号或函数的频谱特性。
本文将展示五种常见的傅里叶变换方法，包括离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和傅里叶级数展开，帮助读者逐步理解傅里叶变换的原理与应用。
第一部分：离散傅里叶变换（DFT）在此部分中，我们将介绍离散傅里叶变换的基本概念和算法。
我们将讨论DFT的离散性质、频域和时域之间的关系，以及如何利用DFT进行频域分析和滤波等应用。
此外，我们还将探讨DFT算法的时间复杂度，以及如何使用DFT来解决实际问题。
第二部分：快速傅里叶变换（FFT）在这一部分中，我们将深入研究快速傅里叶变换算法，并详细介绍其原理和应用。
我们将解释FFT如何通过减少计算量和优化计算过程来提高傅里叶变换的效率。
我们还将讨论FFT算法的时间复杂度和几种不同的FFT变体。
第三部分：连续傅里叶变换（CTFT）本部分将介绍连续傅里叶变换的概念和定义。
我们将讨论CTFT的性质、逆变换和时频分析的应用。
进一步，我们将引入傅里叶变换对信号周期性的描述，以及如何利用CTFT对信号进行频谱分析和滤波。
第四部分：离散时间傅里叶变换（DTFT）在这一章节中，我们将介绍离散时间傅里叶变换的基本原理和应用。
我们将详细讨论DTFT的定义、性质以及与DFT之间的关系。
我们还将探讨DTFT的离散频率响应、滤波和频谱分析的相关内容。
第五部分：傅里叶级数展开最后，我们将深入研究傅里叶级数展开的原理和应用。
我们将解释傅里叶级数展开如何将周期函数分解为多个不同频率的正弦波的叠加。
我们还将讨论傅里叶级数展开的收敛性和逼近性，并探讨如何利用傅里叶级数展开来处理周期信号和周期性问题。
结论：综上所述，本文介绍了五种常见的傅里叶变换方法，包括离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和傅里叶级数展开。
应用高等数学-6.1 傅里叶变换
例8
试证单位阶跃函数
F () F[(t)] (t)e jt d t e jt 1
t0
显然， (t)与常数1构成了一傅氏变换对，按
逆变换公式有
(t)
F
1[F ()]
1 2π
e
jt
d
由上式可得 e jt d 2π (t)
（6-9）
这是一个关于δ函数的重要公式．
例5 证明：1和 2π ()构成傅氏变换对．
f
(t)
1, 1,
π t 0 0 t π
如何将函数展开为傅里叶级数的三角形式．
解： 由定理6.1可得 0 1，a0 0，an 0 (n 1, 2,L )
bn
1
π
f (t)sin ntdt
π
π2
π
sin ntdt
0
nπ 2 (cos
nt
π
) 0
nπ 2 (1 cos nπ)
nπ 2 [1 (1)n ]
2π ( 0 )
例7 求正弦函数 f (t) sin 0t 的傅氏变换．
解：
F() F[ f (t)]
e
jt
sin
0t
d
t
1 (e j0t e j0t )e jt d t
2 j
1 (e j(0 )t e j(0 )t ) d t
2 j
jπ[ ( 0 ) ( 0 )]
式中当t=0可得重要积分公式
sin
x
d
x
π
0x
2
例4
求单边指数衰减函数
f
(t)
0, et ,
t0 t0
( 0)
的频谱函数、振幅谱、相位谱．
傅里叶变换(FFT)详解
关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是：/pdfbook.htm要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。
二、傅立叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。
当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。
法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。
傅里叶变换基本公式
傅立叶变换是一种数学工具，用于将函数分解为其组成频率。
它是信号处理中的一个基本概念，具有广泛的应用，包括图像处理、数据压缩和通信系统。
傅里叶变换的基本公式由下式给出：
F(w) = ∫f(t)e^(-iwt)dt
在这个公式中，F(w) 是函数f(t) 的傅里叶变换，w 是频率。
符号∫表示积分，符号e^(-iwt)是复指数函数。
用于从其频率分量重建原始函数的逆傅里叶变换由下式给出：
f(t) = (1/2π) ∫F(w)e^(iwt)dw
式中，f(t)为原函数，F(w)为函数的傅里叶变换。
符号∫表示积分，符号e^(iwt)是复指数函数。
傅立叶变换具有许多重要的性质，例如线性、移位不变性和卷积定理，这使其成为分析和处理信号的强大工具。
它是许多领域广泛使用的技术，包括工程、物理和数学。
傅里叶变换
线性性质
k f(x) → k F(ω); f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω)
分析性质
f '(x) → iωF(ω);
∫
x
∞
f ( x ) dx →
1 iω
F (ω )
傅里叶变换
位移性质
f(x-a) → exp(-iωa)F(ω) ; exp(iφx)f(x) → F(ω-φ)
相似性质
f(ax) → F(ω/a)/a; f(x/b)/b → F(bω) .
卷积性质
f(x)*g(x)≡∫f(ξ)g(x-ξ)dξ → 2πF(ω)G(ω); f(x)g(x) → F(ω)*G(ω)≡∫ F(φ)G(ω-φ)dφ
对称性质
正变换与逆变换具有某种对称性; 适当调整定义中的系数后,可以使对称性更加明显.
傅里叶变换
应用举例
rect( x) → sin 1 ω /(π ω) 2
S1 1
S3 0.75
0.5
0.5 0.25
-3
-2
-1 -0.5
1
2
3
-3
-2
-1 -0.25 -0.5 -0.75
1
2
3
-1
S6 0.75 0.5 0.25 -3 -2 -1 -0.25 -0.5 -0.75 1 2 3 -3 -2 -1
S24 0.75 0.5 0.25 1 -0.25 -0.5 -0.75 2 3
展开系数:
1 cn = 2L
∫
L
L
exp(i
nπ x ) f ( x)dx L
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出"任何 周期信号都可用正 弦函数的级数表示" 1822年发表"热的 分析理论",首次 提出"任何非周期 信号都可用正弦函 数的积分表示" 返 回
傅里叶变换
傅里叶变换的变换对对于N点序列{x[n ]} 0 ≤ n < N ，它的离散傅里叶变换（DFT）为? x [k ] = N - 1 Σ n = 0 e - i 2 π –––––N n k x[n ] k = 0,1, …,N-1. 其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。
通常以符号F表示这一变换，即? x = Fx 离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：x[n ] = 1 ––N N - 1 Σ k = 0 e i 2 π –––––N nk ? x [k ] n = 0,1, …,N-1. 可以记为：x = F -1 ? x 实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面乘上的归一化系数并不重要。
在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为 1 和1/N。
有时会将这两个系数都改成1/ √ ––N ，这样就有x = FFx，即DFT成为酉变换。
从连续到离散连续时间信号x(t) 以及它的连续傅里叶变换（CT）? x ( ω) 都是连续的。
由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号，因此必须将x 和? x 都离散化，并且建立对应于连续傅里叶变换的映射。
数字系统只能处理有限长的信号，为此假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将x(t) 离散化，就可以得到有限长的离散信号。
设采样周期为T，则时域采样点数N=L/T。
x discrete (t) = x (t) N - 1 Σ n = 0 δ(t-nT) = N - 1 Σ n = 0 x (nT) δ(t-nT) 它的傅里叶变换为? x discrete ( ω) = N - 1 Σ n = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1 ––T N - 1 Σ n = 0 x (nT)e - i 2 π n ω T 这就是x(t)时域采样的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。
类似的，频域信号也应当在带限、离散化之后才能由数字系统处理。
傅里叶变换常用公式大全
傅里叶变换常用公式大全
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
以下是傅里叶变换的常用公式：
1. 傅里叶变换公式：
F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(-jωt) dt
f(t) = ∫[−∞,+∞] F(ω) e^(jωt) dω
2. 傅里叶变换的线性性质：
F(a*f(t) + b*g(t)) = a*F(ω) + b*G(ω)
3. 傅里叶变换的频移性质：
F(f(t - τ)) = e^(-jωτ) F(ω)
4. 傅里叶变换的时移性质：
f(t - τ) = F^(-1)(ω) e^(jωτ)
5. 傅里叶变换的尺度变换性质：
F(f(a*t)) = (1/|a|) F(ω/a)
6. 傅里叶变换的对称性质：
F(-t) = F^*(ω)
f(-ω) = F^*(-t)
7. 傅里叶变换的卷积定理：
F(f * g) = F(f) * F(g)
8. 傅里叶变换的相关定理：
∫[−∞,+∞] f(t)g*(t) dt = 1/2π ∫[−∞,+∞]
F(ω)G^*(ω) dω
9. 傅里叶变换的能量守恒性质：
∫[−∞,+∞] |f(t)|^2 dt = 1/2π ∫[−∞,+∞]
|F(ω)|^2 dω
10. 傅里叶变换的Parseval定理：
∫[−∞,+∞] f(t)g*(t) dt = 1/2π ∫[−∞,+∞]
F(ω)G^*(ω) dω
以上是傅里叶变换的一些常用公式，可以用于分析和处理信号的频谱特性。
在实际应用中，根据具体问题选择合适的公式进行计算和推导。
五种傅里叶变换方法
五种傅里叶变换方法标题：探究五种傅里叶变换方法摘要：傅里叶变换在信号处理、图像处理和通信等领域中发挥着重要的作用。
本文将深入探讨五种常见的傅里叶变换方法，包括离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CFT）、反射谱傅里叶变换（RFT）和多维傅里叶变换（MDFT）。
通过分析每种方法的原理、特点和应用领域，我们将能够更好地理解傅里叶变换的概念和实际应用。
第一节：离散傅里叶变换（DFT）1.1 原理和定义1.2 算法与实现1.3 应用场景和优缺点第二节：快速傅里叶变换（FFT）2.1 原理和特点2.2 快速傅里叶变换算法2.3 应用领域和性能分析第三节：连续傅里叶变换（CFT）3.1 连续傅里叶变换的数学定义3.2 傅里叶级数和傅里叶变换的关系3.3 应用场景和限制第四节：反射谱傅里叶变换（RFT）4.1 RFT的概念和目的4.2 数学定义和算法4.3 在信号处理中的应用案例第五节：多维傅里叶变换（MDFT）5.1 MDFT的概念和性质5.2 空间和频率域的转换5.3 在图像处理和通信中的应用总结和回顾性内容：本文深入探讨了五种傅里叶变换方法，从离散傅里叶变换（DFT）开始，通过介绍快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CFT）、反射谱傅里叶变换（RFT）和多维傅里叶变换（MDFT），我们在深度和广度上对傅里叶变换有了更全面、深入的理解。
每种方法都有自己的原理、特点和应用领域，我们可以根据具体需求选择适合的方法。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信和其他领域中起着关键作用，通过学习这些方法，我们可以更好地应用傅里叶变换来分析和处理实际问题。
个人观点和理解：傅里叶变换是一种重要的数学工具，能够将一个信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦函数。
离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换在数字信号处理中的离散形式，它通过将信号离散化来实现，适用于离散信号的频域分析。
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效计算DFT的算法，它通过利用对称性和重叠子问题来减少计算量，广泛应用于信号处理和频谱分析中。
傅里叶变换
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18 19 20 21
a>0 变换本身就是一个公式 J0(t) 是0阶第一类贝塞尔函数。 上一个变换的推广形式; Tn (t) 是第一类切比雪夫多项式。
22
变换8的频域对应。
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角频率表 时域信 示的 号 傅里叶变 换
弧频率表 示的 傅里叶变 换
注释
10 11 12 13 14 15 16 17
矩形脉冲和归一化的sinc函数 变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波 器对反因果冲击的响应。 tri 是三角形函数 变换12的频域对应 高斯函数 exp( − αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当 Re(α) > 0时，这是可 积的。 光学领域应用较多
傅里叶变换族 拉普拉斯轉換 Z轉換 傅里叶级数 傅里叶变换 连续傅里叶变换 離散傅立葉級數 离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换 快速傅里叶变换 分數傅立葉轉換 短時距傅立葉轉換 小波分析 離散小波轉換
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号
傅里叶变 换
傅里叶变 换
1 2 3 4 5 6 7 8 9
平方可积函数
线性 时域平移 频域平移, 变换2的频域对应 如果 值较大，则 会收缩到原点附近，而 会扩散并变得扁 得到.
傅立叶变换
*
正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
频移性质
若函数f \left( x\right )存在傅里叶变换，则对任意实数 ω0，函数f(x) e^{i \omega_
x}也存在傅里叶变换，且有\mathcal[f(x)e^{i \omega_ x}]=F(\omega + \omega _0 )
\right)的傅里叶变换\mathcal[f]和\mathcal[g]都存在，α 和 β 为任意常系数，则\mathcal[\alpha
f+\beta g]=\alpha\mathcal[f]+\beta\mathcal[g]；傅里叶变换算符\mathcal可经归一化成为么正算符；
傅立叶变换属于调和分析的内容。"分析"二字，可以解释为深入的研究。从字面上来看，"分析"二字，实际就是"条分缕析"而已。它通过对函数的"条分缕析"来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，"分析主义"和"还原主义"，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。
变换 时间 频率
连续傅里叶变换 连续, 非周期性 连续, 非周期性
傅里叶级数 连续, 周期性 离散, 非周期性
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傅里叶变换傅里叶变换是一个概括的复杂的傅里叶级数在极限。
代替离散与连续而让。
然后改变一个求和积分和方程(1)(2)在这里,(3)(4)被称为远期(傅里叶变换),(5)(6)被称为逆(傅里叶变换)。
的符号介绍了Trott(2004,p .第23),然后呢和有时也用来表示傅里叶变换和傅里叶反变换,分别(“将军”1999年,p . 1999)。
注意,一些作者(特别是物理学家)更愿意编写转换角频率而不是振荡频率。
然而,这破坏了对称,导致转换(7)(8)(9)(10)恢复的对称变换,该公约(11)(12)(13)(14)有时使用(马修斯和沃克1970,p . 102)。
一般来说,傅里叶变换可以定义使用两个任意常数和作为(15)(16)傅里叶变换的一个函数是实现了Wolfram语言作为FourierTransform(f,x,k),不同的选择和可以通过使用可选FourierParameters - >一个,b选择。
默认情况下,Wolfram语言以FourierParameters为。
不幸的是,许多其他约定在广泛使用。
例如,在现代物理学中,使用使用在纯数学和系统工程,概率论中使用的计算特征函数,在经典物理学,用于信号处理。
在这工作,后Bracewell(1999年,页6 - 7),它总是假定和,除非另有说明。
这种选择往往导致大大简化变换等常见功能1,等。
因为任何函数都可以分成甚至和奇怪的部分和 ,(17)(18)傅里叶变换可以表达的傅里叶余弦变换和傅里叶正弦变换作为(19)一个函数有一个向前和傅里叶反变换,这样吗(20)前提是1。
的存在。
2。
有有限数量的不连续性。
3所示。
函数有界变差。
一个足够的较弱的条件是满足的李普希兹条件(拉米1985年,p . 29)。
的一个函数(即更平稳。
,连续的数量衍生品其傅里叶变换),更紧凑。
傅里叶变换是线性的,因为如果和有傅里叶变换和,然后(21)(22)因此,(23)(24)傅里叶变换也是对称的意味着 .让表示卷积,然后犹如函数的变换有特别漂亮的变换,(25)(26)(27)(28)第一个是推导如下:(29)(30)(31)(32)在哪里 .还有一个有点令人惊讶和极其重要的关系自相关和傅里叶变换被称为Wiener-Khinchin定理。
让,表示复共轭的,然后的傅里叶变换绝对的广场的是由(33)的傅里叶变换导数的一个函数只是相关变换的函数本身。
考虑(34)现在使用分部积分法(35)与(36)(37)和(38)(39)然后(40)第一项由一个振荡函数乘以。
但如果函数是有界的(41) (任何身体上重要的信号必须),然后这个词消失,离开(42)(43)这个过程可以迭代th导数屈服(44)重要的调制定理傅里叶变换的允许表达的如下所示,(45)(46)(47)(48)自导数傅里叶变换是由(49)由此可见,(50)迭代给出了一般公式(51)(52)的方差傅里叶变换(53) ,这是真的(54)如果的傅里叶变换傅里叶变换,然后有转移财产(55)(56)所以的傅里叶变换(57)如果有一个傅里叶变换傅里叶变换,然后遵循相似定理。
(58)所以的傅里叶变换(59)傅里叶变换的“等效宽度”(60)(61)“自相关宽度”(62)(63)在哪里表示互相关的和和是复共轭.任何操作离开它区域不变的叶子不变,因为(64)下面的表总结了一些常见的傅里叶变换对。
亥维赛阶跃函数在二维空间中,傅里叶变换(65)(66)类似地,维傅里叶变换可以定义 ,通过(67)(68)参见:傅里叶变换- 1的傅里叶变换的常数函数是由(1)(2)根据的定义δ函数.参见:傅里叶变换——余弦(1)(2)(3)在哪里是δ函数.傅里叶变换-δ函数的傅里叶变换的δ函数是由(1)(2)参见:傅里叶变换,指数函数的傅里叶变换的是由(1)(2)现在我们所以,然后(3) ,从阻尼指数余弦积分,给(4)这是一个洛伦兹函数.参见:阻尼指数余弦积分可以计算使用哪一个分部积分法.傅里叶变换——高斯的傅里叶变换的高斯函数是由(1)(2)(3)第二个被积函数是奇怪的,因此集成在一个对称的范围为0。
第一个积分的值是由阿布拉莫维茨和Stegun(1972,第302页,方程7.4.6),(4)所以一个高斯转换到另一个高斯.傅里叶变换——亥维赛阶跃函数的傅里叶变换的亥维赛阶跃函数是由(1)(2)在哪里是δ函数.定义为分段常数函数时,函数是由亥维赛一步傅里叶变换——逆函数的傅里叶变换的广义函数是由(2)(3)(4)在哪里表示柯西主值。
方程(4)也可以写成一个方程(5)在哪里是亥维赛阶跃函数。
的积分按照身份(6)(7)(8)参见:广义函数类的常规序列特别彬彬有礼的功能相当于一个给定的常规序列。
一个分布,有时也被称为一个“广义函数”或“理想的功能。
”顾名思义,广义函数是一个泛化的概念函数。
例如,在物理,一个棒球,蝙蝠蝙蝠遇到一个力,作为时间的函数。
因为蝙蝠的动量转移建模为发生在瞬间,力实际上并不是一个函数。
相反,它是一个多重的δ函数。
发行版包含的函数(局部可积),氡措施。
注意,术语“分布”密切相关统计分布.广义函数被定义为连续线性泛函,在一个空间无限可微函数,所有连续函数都衍生品等的广义函数。
最常见的是广义函数δ函数。
Vladimirov(1971)包含了一个很好的治疗分布从一个物理学家的观点,而多卷的工作由凝胶'fand希洛夫(1964中的)是一个经典的和严格的治疗领域。
施瓦兹的结果表明,分布在复数不能定义一致的 .虽然可以添加分布,不可能把分布一致时奇异的支持。
尽管如此,它是可能的导数的一个分布,得到另一个分布。
因此,他们可能满足一个线性偏微分方程,在这种情况下,分布称为弱解。
例如,给出任何局部可积的函数要求是有意义的解决方案的泊松方程(1)只要求方程的分布,也就是说,双方是相同的分布。
的导数的定义一个分布是由(2)(3)因为他们是分布也不同于功能协变,也就是说,他们推进。
给定一个光滑函数,一个分布在推动一个分布。
相比之下,一个实函数在拉回到一个函数,即 .分布,根据定义,双重的光滑函数的紧凑的支持,尤其拓扑结构。
例如,δ函数是线性泛函。
相对应的分布函数是(4)和相对应的分布测量是(5)的pushforward地图的分布沿着被定义为(6)和的导数被定义为在哪里是正式的伴随的。
例如,的一阶导数δ函数是由对于任何函数空间,一样的拓扑结构决定了线性泛函,是连续的,也就是说,在吗对偶向量空间。
家庭的定义的拓扑半范数,(8)在哪里吃晚饭表示上确界。
它同意C-infty拓扑在紧凑的子集。
在这种拓扑中,序列收敛, ,敌我识别有一个紧集这样,所有支持在每一阶导数一致收敛到在。
因此,常数函数1是一个分布,因为如果然后(9)参柯西主值有限的柯西主值积分的函数对一个点与是由(Henrici 1988,p . 1988;维特克和沃森1990,p . 117;Bronshtein Semendyayev 1997,p . 283)。
同样,双无限的柯西主值积分的函数被定义为柯西主值也称为主值积分(Henrici 1988,p . 1988),有限的一部分(Vladimirov 1971),或一部分finie(Vladimirov 1971)。
的柯西主值积分没有nonsimple波兰人可以���算Wolfram语言使用集成(f,x,,b,PrincipalValue - >)。
柯西主值函数可能nonsimple波兰人可以使用“CauchyPrincipalValue”数值计算方法NIntegrate.柯西主值的理论很重要广义函数,在那里他们允许扩展结果 .柯西主值有时被简单地称为“主要价值观”(如。
Vladimirov 1971,p . 75),尽管他们并不相关主值复杂的分析。
最常见的名称似乎的柯西主值(Henrici 1988,页259 - 262,Gradshteyn Ryzhik 2000,p . 523)。
有时候,没有显式指定使用(1998年哈里斯和储料器,p。
552;Gradshteyn Ryzhik 2000,p . 248)。
其他符号包括(Arfken 1985,p . 1985),pv(Apelblat 1983,p .八世),(莫尔斯和Feshbach 1953,p . 368;大多数俄罗斯作者),(Vladimirov 1971),(Bronshtein和Semendyayev 1997,p . 282),和副总裁(Brychkov 1992年,p . 7)。
与有限积分限制,柯西主值有时表示(Zwillinger 1995,p . 1995)。
参傅里叶变换——洛伦兹函数这种变换的计算特征函数的柯西分布.傅里叶变换——斜坡函数让是斜坡函数,那么傅里叶变换的是由(1)(2)在哪里是导数的δ函数.δ函数δ函数是一个广义函数这可以被定义为一个类的极限三角洲序列。
δ函数有时被称为“狄拉克δ函数”或“冲动的象征”(Bracewell 1999)。
它的实现Wolfram语言作为DiracDelta[x]。
在形式上,是一个线性泛函从一个空间(通常作为一个施瓦兹空间或紧凑的空间的光滑函数的支持)的测试函数。
的作用在,通常表示或,然后给出的值在0对于任何函数。
在工程环境中,δ函数的功能性质往往是压抑。
δ函数可以被视为导数的亥维赛阶跃函数,(1) (Bracewell 1999,p . 1999)。
δ函数的基本性质(2)事实上,(3)为 .额外的身份包括(4)为,以及(5)(6)更普遍的是,δ函数的函数是由(7)在哪里年代是根的。
例如,检查(8)然后,所以和,给(9)δ函数的基本方程,定义了衍生品是(10)让在这个定义中,接下去(11)(12)(13)第二项可以删除,因为在哪里,所以(13)意味着(14)一般来说,相同的程序(15)但由于任何的力量次集成为0,因此,只有常数项的贡献。
因此,所有条款乘以的衍生品消失,留下,所以(16)这意味着(17)其他涉及δ函数的导数的身份包括(18)(19)(20)在哪里表示卷积,(21)和(22)不可或缺的身份参与是由(23)δ函数也遵循所谓的筛选性质(24) (Bracewell 1999,页74 - 75)。
一个傅里叶级数的扩张给了(25)(26)(27)(28)所以(29)(30)δ函数作为一个傅里叶变换作为(31)同样的,(32) (Bracewell 1999,p . 1999)。
更一般的,傅里叶变换δ函数的(33)δ函数可以被定义为以下限制 ,(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)在哪里是一个空气的作用,是一个第一类贝塞尔函数,是一个拉盖尔多项式任意正整数的秩序。