傅里叶变换

傅里叶变换

傅里叶变换是一个概括的复杂的傅里叶级数在极限。代替离散与连续而让。然后改变一个求和积分和方程

(1)

(2)在这里,

(3)

(4)被称为远期(傅里叶变换),

(5)

(6)被称为逆(傅里叶变换)。的符号介绍了Trott(2004,p .第23),然后呢和有时也用来表示傅里叶变换和傅里叶反变换,分别(“将军”1999年,p . 1999)。

注意,一些作者(特别是物理学家)更愿意编写转换角频率而不是振荡频率。然而,这破坏了对称,导致转换

(7)

(8)

(9)

(10)恢复的对称变换,该公约

(11)

(12)

(13)

(14)有时使用(马修斯和沃克1970,p . 102)。

一般来说,傅里叶变换可以定义使用两个任意常数和作为

(15)

(16)

傅里叶变换的一个函数是实现了Wolfram语言作为FourierTransform(f,x,k),不同的选择和可以通过使用可选FourierParameters - >一个,b选择。默认情况下,Wolfram语言以FourierParameters为。不幸的是,许多其他约定在广泛使用。例如,在现代物理学中,使用使用在纯数学和系统工程,概率论中

使用的计算特征函数,在经典物理学,用于信号处理。在这工作,后Bracewell(1999年,页6 - 7),它总是假定和,除非另有说明。这种选择往往导致大大简化变换等常见功能1,等。

因为任何函数都可以分成甚至和奇怪的部分和 ,

(17)

(18)傅里叶变换可以表达的傅里叶余弦变换和傅里叶正弦变换作为

(19)一个函数有一个向前和傅里叶反变换,这样吗

(20)前提是

1。的存在。

2。有有限数量的不连续性。

3所示。函数有界变差。一个足够的较弱的条件是满足的李普希兹条件

(拉米1985年,p . 29)。的一个函数(即更平稳。,连续的数量衍生品其傅里叶变换),更紧凑。

傅里叶变换是线性的,因为如果和有傅里叶变换和,然后

(21)

(22)因此,

(23)

(24)傅里叶变换也是对称的意味着 .

让表示卷积,然后犹如函数的变换有特别漂亮的变换,

(25)

(26)

(27)

(28)第一个是推导如下:

(29)

(30)

(31)

(32)在哪里 .

还有一个有点令人惊讶和极其重要的关系自相关和傅里叶变换被称为Wiener-Khinchin定理。让,表示复共轭的,然后的傅里叶变换绝对的广场的

是由

(33)的傅里叶变换导数的一个函数只是相关变换的函数本身。考虑

(34)现在使用分部积分法

(35)

与

(36)

(37)和

(38)

(39)然后

(40)第一项由一个振荡函数乘以。但如果函数是有界的

(41) (任何身体上重要的信号必须),然后这个词消失,离开

(42)

(43)这个过程可以迭代th导数屈服

(44)重要的调制定理傅里叶变换的允许表达的如下所示,

(45)

(46)

(47)

(48)自导数傅里叶变换是由

(49)由此可见,

(50)迭代给出了一般公式

(51)

(52)的方差傅里叶变换

(53) ,这是真的

(54)如果的傅里叶变换傅里叶变换,然后有转移财产

(55)

(56)所以的傅里叶变换

(57)如果有一个傅里叶变换傅里叶变换,然后遵循相似定理。

(58)所以的傅里叶变换

(59)傅里叶变换的“等效宽度”

(60)

(61)“自相关宽度”

(62)

(63)在哪里表示互相关的和和是复共轭.

任何操作离开它区域不变的叶子不变,因为

(64)下面的表总结了一些常见的傅里叶变换对。

亥维赛阶跃函数

在二维空间中,傅里叶变换

(65)

(66)类似地,维傅里叶变换可以定义 ,通过

(67)

(68)

参见:

傅里叶变换- 1

的傅里叶变换的常数函数是由

(1)

(2)根据的定义δ函数.

参见:

傅里叶变换——余弦

(1)

(2)

(3)在哪里是δ函数.

傅里叶变换-δ函数

的傅里叶变换的δ函数是由

(1)

(2)参见:

傅里叶变换,指数函数

的傅里叶变换的是由

(1)

(2)现在我们所以,然后

(3) ,从阻尼指数余弦积分,给

(4)这是一个洛伦兹函数.

参见:

阻尼指数余弦积分

可以计算使用哪一个分部积分法.

傅里叶变换——高斯

的傅里叶变换的高斯函数是由

(1)

(2)

(3)第二个被积函数是奇怪的,因此集成在一个对称的范围为0。第一个积分的值是由阿布拉莫维茨和Stegun(1972,第302页,方程7.4.6),

(4)所以一个高斯转换到另一个高斯.

傅里叶变换——亥维赛阶跃函数

的傅里叶变换的亥维赛阶跃函数是由

(1)

(2)在哪里是δ函数.

定义为分段常数函数时,函数是由亥维赛一步

傅里叶变换——逆函数

的傅里叶变换的广义函数是由