第二节 模糊模式识别

模糊数学基础
第二节 模糊模式识别
主讲：贺蓉（信息科学与工程学院）
Outline
模糊集的贴近度
海明贴近度 欧几里得贴近度 黎曼贴近度
格贴近度
内积与外积 格贴近度
模糊模式识别
最大隶属原则 择近原则
几何图形识别 确定隶属函数的方法综述
模式识别
模式识别
模式(pattern)：供模仿用的样本 模式识别：判定给定的事物与哪个样本相同或相近 例如，文字识别；图像识别；声音识别； 2个特征：一是事先已知标准模型库；二是有待识 别对象。
欧几里得贴近度
若U={u1, u2,…, un}, 则
当U为实数域上的闭区间[a,b]，则有
例题3.3
设论域R={1,2,3,4,5}, A,B ∈F(R)，且
A=(0.2, 0.3, 0.6, 0.1, 0.9), B=(0.1, 0.2, 0.7, 0.2, 0) 求欧几里得贴近度
黎曼贴近度
例题3.14
参见书pp.41-42 首先用模糊统计试验确定u0=27对A的隶属度
A(27)=0.78
其次，考虑<青年人>的隶属函数
模糊集A =“青年人”， u0=13.5-14.5,14.5-15.5,...,24.5-25.5,…35.5-36.5 试验次数n=129， 隶属次数（频数）m 隶属频率f=m/n 在此基础上，作出A(青年人)的隶属函数A(x) 隶属函数曲线见图2-7（p.42）
偏小型 偏大型 中间型
1
1
1
0
a
x
0
a
x
0
a
b
x
梯形分布与半梯形分布
偏小型
抛物型分布
偏大型
中间型
？
1
1
1
0
a
b
x
0
a
b
x
0a
b
c
d x
正态分布
偏小型 偏大型 中间型
例题
“年轻人”的隶属函数确定
首先，根据统计资料，发现“年轻人”的隶属函数 与Gauss分布的偏小型接近，故选用Gauss分布偏 小型隶属函数。
x6 0.90 0.90 0.88 0.40 0.90
管理模式
D1 D2 D3 D4 ?
课堂练习
在小麦亲本识别中，以小麦百粒重为论域，记为X。五 个基本类型用模糊集表示： 早熟 矮杆 大粒 高肥丰产 中肥丰产 (1) 现测得一个小麦品种的样品的百粒重为x0=4.6,试 判定x0代表的品种属于哪个亲本? (2) 现有一小麦品种B,用统计方法得知它的百粒重隶属 函数为 ，问B隶属于哪一品种？
考虑人的年龄问题，分为年轻，中年，老年三 类，分别对应三个模糊集A1, A2, A3.设论域 U=(0,100],且对x ∈ (0,100],有
40岁的人是哪一类人？35岁呢？
例题3.10（几何图形识别）
细胞染色体形状的模糊识别。通常主要将几何图形划分为若 干三角形图形进行模糊识别。设论域为三角形全体，即 标准模型库={正三角形E,直角三角形R，等腰三角形I，等腰直 角三角形I∩R，任意三角形T}。 某人在实验中观察到染色体的形状，测得起三个内角分别为 （94度，50度，36度），问此三角形属于哪一种三角形？
模糊模式识别
标本或待识别物具有模糊性时，利用模糊数学方法 处理模式识别问题
例题3.1
桔子的分级问题
设论域U={若干桔子}。一般按照桔子的大小，色 泽，有无损伤等特征来分级。 标准模型库={一级，二级，三级，四级}，其中的 模型一级，二级，三级，四级是模糊的。 元素对标准模糊集的识别问题： 拿到一个桔子后怎么放的问题
x1 A1 A2 A3 A4 B 0.92 0.88 0.89 0.35 0.91
x2 0.83 0.86 0.86 0.34 0.85
x3 0.88 0.85 0.86 0.32 0.88
x4 0.90 0.96 0.94 0.40 0.90
x5 0.83 0.92 0.86 0.48 0.85
隶属函数的确定
模糊数学的基本思想—隶属程度的思想 建立符合实际的隶属函数则成为关键
至今尚未完全解决的问题
隶属度是主观的还是客观的呢？
模糊统计试验
模糊统计试验包含4个要素 论域U； U中的一个固定元素u0； U中的一个随机运动集合A*； U U中的一个以A*作为弹性边界的模糊子集A, 制约着A*运动。 A A, A 设做n次试验后, u0对A的隶属频率= 隶属频率呈现稳定性则表明了隶属度的客观存在
例题3.7
设论域为Leabharlann Baidu数域，其上有两个正态模糊集A,B, 它们的隶属函数分别为
试求
内积与外积的性质
性质1 证
扎德算子的对偶律
峰值与谷值
定义 对A∈F(U), 令
和
分别叫做模糊集A的峰值与谷值
性质2 性质3 性质5 性质6
内积，外积与模糊集的贴近程度
图a所表示的两个模糊集A,B交点的纵坐标（隶属度）越大 时，A和B越贴近。这个交点的纵坐标是由A和B的内积来 表示的。 内积越大，模糊集越贴近 图b所表示的两个模糊集C,D交点的纵坐标越小，C和D越 贴近。而这时焦点的纵坐标是由C和D的外积来表示的 外积越小，模糊集越贴近
例题3.8
设论域为实数域，其上有两个正态模糊集A,B, 它们的隶属函数分别为
求N(A,B)
课堂练习
设模糊集 A=0.6/u1+0.8/u2+1/u3+0.8/u4+0.6/u5+0.2/u6 B=0.4/u1+0.6/u2+0.5/u3+1/u4+0.8/u5+0.3/u6 试用格贴近度计算N(A,B)
F分布
什么是F分布？ 实数R上F集的隶属函数成为F分布。 在客观事物中，通常是以实数R作论域 给出常用的几种F分布。
根据实际需要和问题的性质，确定隶属函数。 通过统计资料描出大致曲线，选择一个与给出的几 种分布最接近的一个，在根据实验确定实际的参数， 从而确定隶属函数。
几种常见的F分布
矩形分布与半矩形分布（适用于确切概念）
若U为实数域，被积函数为黎曼可积且广义积 分收敛，则
例题3.4
设U=[0,100],且
求黎曼贴近度N1(A,B)
例题3.5
设U=R(实数域)，正态型隶属函数
求当
时，N(A,B)
有限论域上的F向量的内积与外积
称向量 A=(a1,a2,a3,…,an), 为有限论域上的模糊向量。 模糊向量的内积和外积的定义 A=(a1,a2,a3,…,an), B=(b1,b2,b3,…,bn)
不足25岁的一定为年轻人，故选a=25岁。“年轻 人”的隶属度随年龄的增大而减少，并且衰减明显 且不是线性。为方便，选β=2；又因为30岁最模糊， 故可选α=1/25，使A(30)=0.5。于是
小结
贴近度 格贴近度 模糊模式识别原则
最大隶属原则 择近原则
确定隶属函数方法
模糊统计试验法 模糊分布
模糊集的贴近度
贴近度 对两个模糊集接近程度的一种度量 定义1 设A,B,C∈F(U),若映射 满足条件：
则称N(A,B)为模糊集A与B的贴近度。N称为F(U)上的贴 近度函数
海明贴近度
若U={u1, u2,…, un}, 则
当U为实数域上的闭区间[a,b]，则有
例题3.2
设模糊集 A=0.6/u1+0.8/u2+1/u3+0.8/u4+0.6/u5+0.2/u6 B=0.4/u1+0.6/u2+0.5/u3+1/u4+0.8/u5+0.3/u6 试应用海明贴近度计算N(A,B)
例题3.6
设 A=(0.1, 0.5, 0, 0.6), B=(0.2, 0, 0.7, 0.3), 求
格贴近度—内积与外积
定义1 (任意论域U上) 设A,B∈F(U)，称
为模糊集A,B的内积
为模糊集A,B的外积
例题
设U={x1,x2,x3,x4,x5,x6}, A=0.6/x1+0.8/x2+1/x3+0.8/x4+0.6/x5+0.4/x6, B=0.4/x1+0.6/x2+0.8/x3+1/x4+0.8/x5+0.6/x6, 分别求
择近原则(群体模糊模式识别问题)
设Ai,B ∈F(U)(i=1,2,…,n),若存在i0,是使
则认为B与Ai最贴近，即判定B与Ai为一类。
识别对象是模糊集而不是一个单元 贴近度最大的两个模糊集为一类
例题3.11
现有茶叶等级标准样品五种：Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ及待识别 的茶叶模型A,确定A的型号 反映茶叶质量的因素为论域U 即U={条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味} Ⅰ=（0.5,0.4,0.3,0.6,0.5,0.4）, Ⅱ=（0.3,0.2,0.2,0.1,0.2,0.2）, Ⅲ=（0.2,0.2,0.2,0.1,0.1,0.2）, Ⅳ=（0,0.1,0.2,0.1,0.1,0.1）, Ⅴ=（0,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1）, A=（0.4,0.2,0.1,0.4,0.5,0.6）
N
课堂练习
设论域R=[0,3], 且
试用格贴近度求N(A,B)
模糊模式识别原则
模糊模式识别
最大隶属原则（直接方法） 择近原则 （间接方法）
最大隶属原则（个体模糊模式识别问题）
设Ai∈ F(U)(i=1,2,…,n)，对u0 ∈U，若存在i0，使
则认为u0相对地隶属于Ai0，这就是最大隶属原则
例题3.9
引理
设A,B∈F(U),令
列结论成立： (1) (2) (3) (4) 特别当 ,则下
.
格贴近度
定理1 设A,B∈F(U), 则
是模糊集A,B的贴近度，叫做A,B的格贴近度。 记为
U为有限域
U为无限域
格贴近度
各种形式的贴近度计算公式各有优缺点，但若 隶属函数为连续函数时，而且满足格贴近度条 件时，用格贴近度较简单。
例题3.12
一个公司在社会上的声誉是个模糊概念，它是 由多个因素决定的。设U={x1,x2,x3,x4,x5,x6}. 其中x1:质量管理；x2:员工才能；x3:长期投资 价值；x4:财务健全；x5:善用公司资产；x6:产 品质量和服务质量。 表中给出4个公司的声誉模型Ai和管理模式Di 以及待识别的公司的声誉B 判断待识别公司的管理模式和哪个靠近？