不定积分典型题型

不定积分典型题型

1. 原函数

2.积分公式

3.第一类换元积分法(也称凑微分法）

4.第二类换元积分法

5. 分部积分法

原函数

1. 若F’(x)=f(x), G’(x)=f(x), 则

⎰=dx x f )(（ ）

A. G （x ）

B. F （x ）

C. F （x ）+C

分析：此题考查不定积分和原函数之间的关系。

2. 下列函数中，是同一个函数的原函数的为（ ） A.lnx,ln(x+2) B.arcsinx,arccosx C.lnx,ln2x

分析：验证两个函数的差是否为常数。运用对数函数的运算。Ln2x=ln2+lnx

积分公式 1.=⎰

dx e x x 3

分析：运用公式

⎰

a x dx=

a

ln 1a x +C ， 把3e 看做一个整体,化为x

e )3(。 答：

C e x

x ++3

ln 13

2.=+⎰dx x

x 2

2

13 分

析

：

对

函

数

进

行

“

加

一

项

减

一

项

”

处

理

，

则

C x x dx x x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰)arctan (3)11

1(311131322222

3.=⎰

dx x 2tan

分析：运用三角恒等式,1sec tan 2

2-=x x 则C x x dx x ec s dx x +-=-=⎰

⎰tan )1(tan 2

2

4.

=⎰dx x x 22sin cos 1

分

析

：

运

用

三

角

恒

等

式

sin 2x+cos 2x=1,

则

C x x dx x x dx x x x x dx x x +-=+=+=⎰⎰⎰cot tan )csc (sec sin cos cos sin sin cos 12

2222222.

5.=++⎰

dx x

x

2cos 1cos 12 分析：运用三角恒等式1+cos2x=2cos 2x 答：C x x ++)(tan 2

1

6.=⎰

dx x

2

sin

22

分析：运用三角恒等式x x

cos 12

sin

22

-= 答：x -sinx+C

第一换元积分法（凑微分法）

利用凑微分法求不定积分，往往要作多次试探，总结一些规律性的东西，如果题目不复杂，可以省去写中间变量而直接写出积分结果。对于稍复杂的题目，有时候不能直接想到如何凑成微分形式，可以写出中间变量，最后一定要换回原来的积分变量。 1.求

=-⎰

dx x

3

231

分析：运用)(1

b ax d a

dx +=

进行凑微分，令u=3-2x. 答：C x +--32

)23(4

3

2.求

=+⎰dx x 2291

分析：转化为形式：

C x dx x +=+⎰arctan 11

2

答：C x +3

2

arctan

2

31

3.求=-⎰

dx x x 2

1 分析：运用xdx=

22

1dx 答：C x +--2

3

2)1(3

1

4.求

=+⎰

dx x x )

1(1

分析：运用

x d dx x

21

=和 ⎰C x dx +=+arctan x 112

答： ⎰

C x +arctan 2

5. dx e e x

x ⎰

-+1

求

分析：运用)(x

x

e d dx e =和

⎰

C x dx +=+arctan x 11

2

答：C

e x +arctan

6.求

⎰

+x xdx

2cos 3cos

分析：运用cosxdx=d(sinx)和

x

x 2sin 212cos -=和

⎰

C x dx x

+=-arcsin 112

答：C

x +)sin 22arcsin(22

7.求dx x x ⎰+22cos 2sin 1

分析：运用x d x dx

tan cos 2

=和 ⎰C x dx +=+arctan x 112 答：C x +)tan 22

arctan(22

8.求dx x x ⎰++421

2

分析：运用完全平方公式和

⎰C a x

a dx a +=+arctan 1x 12

2

答：C

x ++31

arctan 33