人教版高中数学必修三单元测试椭圆及答案
高三椭圆练习题及答案
高三椭圆练习题及答案1. 技术背景在二维几何中，椭圆是一种重要的图形，具有许多应用。
高三学生需要掌握椭圆的基本概念、性质和相关的计算方法。
为了帮助高三学生巩固椭圆的知识，以下是一些椭圆练习题及答案。
2. 填空题(1) 如果椭圆E的长半轴和短半轴分别为a和b，则椭圆的离心率为________。
(2) 椭圆的焦点和直径的关系是________。
(3) 椭圆的离心率小于1，原点(0,0)在椭圆的________。
(4) 椭圆的离心率等于1，原点(0,0)在椭圆的________。
(5) 椭圆的离心率大于1，原点(0,0)在椭圆的________。
答案：(1) 椭圆的离心率为c/a；(2) 椭圆的焦点和直径的关系是焦点到椭圆周上任意一点的距离之和等于该点到椭圆的两个直径的距离之和；(3) 原点(0,0)在椭圆的右焦点所在的象限；(4) 原点(0,0)在椭圆的焦点所在的象限；(5) 原点(0,0)在椭圆的左焦点所在的象限。
3. 选择题(1) 下列各图中，哪个是椭圆？A. B. C. D. 答案：C. (2) 椭圆的离心率等于1，这个椭圆的形状是________。
A. 长圆B. 倍圆C. 圆D. 短圆答案：C. 圆4. 计算题已知椭圆的焦点为F1(-3, 0)和F2(3, 0)，离心率为2/3，求椭圆的方程。
答案：椭圆的焦距为2ae = 6，离心距为2c = 2/3 * 2a，解得a = 9，所以椭圆的方程为(x^2)/81 + (y^2)/36 = 1。
5. 应用题小明要设计一个椭圆形的游泳池，他希望池子的长半轴为8米，短半轴为6米。
假设池子的边界是一个完整的椭圆，求池子的周长和面积。
答案：椭圆的周长为2π * √((a^2 + b^2)/2) = 2π * √((8^2 + 6^2)/2) ≈ 39.97米。
(完整版)椭圆的测试题及详细答案
椭圆的测试题及答案时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（共12小题，每小题5分）1．已知点P 是椭圆2244x y +=上的任意一点，(4,0)A ，若M 为线段PA 中点,则点M 的轨迹方程是 （ ）A ．22(2)41x y -+=B ．22(4)41x y -+=C ．22(2)41x y ++=D ．22(4)41x y ++= 2（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A ．9B ．4C ．3D ．2 3．直线1y kx k =-+与椭圆 ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定41及以下3个函数：①f(x)＝x ；②f(x)＝sin x③f(x)＝cos x ．其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个5．已知P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上的一点，若21PF PF ⊥，且||2||21PF PF =，则此椭圆的离心率为（ ）A 6两个焦点分别是12,F F ，点P 是椭圆上任意一点，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r的取值范围是（ ）A ．[]1,4B ．[]1,3C ．[]2,1-D ．[]1,1-7 ） A.焦点 B.焦距 C.离心率 D.准线8．已知椭圆2239x y +=的左焦点为1F ，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．若点D 是线段1PF 的中点，则1F OD ∆的周长为（ ）．A9．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 则椭圆的离心率e 的取值（ ）A..1,23⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡B.13,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知)2,4(是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的方程是( )A ．02=-y xB ．042=-+y xC ．0432=++y xD ．082=-+y x11．若直线4=+ny mx 和⊙O ∶422=+y x 相离,则过点),(n m 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数为（ ） A. 至多一个 B. 2个 C. 1个 D. 0个12．若椭圆122=+ny mx 与直线01=-+y x 交于B A ,两点，过原点与线段AB 的中点的直线的斜率为22，则mn 的值为（ ）A ．22B ．2C ．23 D ．92二．填空题（共4小题，每小题5分）13．一个顶点是()0,2，且离心率为21的椭圆的标准方程是________________。
【精品】2019-2020年度最新人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案
教学资料参考范本【精品】2019-2020年度最新人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x2sin α－y2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.∪B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，3π4 C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，3π2[答案] C[解析] 化为＋＝1， ∴－>>0，故选C.2．(文)(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x±3y＝0B ．3x±4y＝0C ．4x±5y＝0D ．5x±4y＝0[答案] A[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b＝＝4，∴渐近线方程为y ＝±x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x 的焦点，且与双曲线x2－y2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D ．x2＋＝1[答案] A[解析] 抛物线y2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c ＝，∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.3．分别过椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C.D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 [答案] B[解析] 依题意，结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部，∴c<b，从而c2<b2＝a2－c2，a2>2c2，即e2＝<，又∵e>0，∴0<e<，故选B.4．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P 满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )A. B. C.D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2.又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝，。
新人教版高中数学必修3全册同步测试题及解析答案.doc
新人教版高中数学必修3 全册同步测试题及解析答案篇一:高一数学必修3全册各章节课堂同步习题（详解答案）第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念班次姓名［自我认知］:1.下面的结论正确的是（）.A.一个程序的算法步骤是可逆的B. 一个算法可以无止境地运算下去的C.完成一件事情的算法有且只有一种D. 设计算法要本着简单方便的原则2.下面对算法描述正确的一项是（）. A.算法只能用自然语言来描述B.算法只能用图形方式来表示C.同一问题可以有不同的算法D.同一问题的算法不同，结果必然不同3.下面哪个不是算法的特征（）A.抽象性B.精确性C. 有穷性D.唯一性4.算法的有穷性是指（）A.算法必须包含输出B.算法中每个操作步骤都是可执行的C.算法的步骤必须有限D.以上说法均不正确5.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(lOmin)、听广播(8min)几个步骤，从下列选项中选最好的一种算法()A.S1洗脸刷牙、S2 刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播 B.S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5听广播 C. S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播D.S1吃饭同时听广播、S2泡面；S3烧水同时洗脸刷牙；S4刷水壶6.看下面的四段话，其中不是解决问题的算法是()A.从济南到北京旅游，先坐火车,再坐飞机抵达B.解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1C.方程x2?l?0有两个实根D.求1+2+3+4+5的值，先计算1+2=3,再计算3+3=6,6+4=10,10+5=15,最终结果为15 7.已知直角三角形两直角边长为a,b,求斜边长c的一个算法分下列三步：①计算c?a,b的值；③输出斜边长c的值，其中正确的顺序是()A.①②③B.②③①C.①③②D.②①③［课后练习］:8.若f?x?在区间?a,b?内单调，且f?a??f?b??O,则f?x?在区间?a,b?内()A.至多有一个根B.至少有一个根C.恰好有一个根D.不确定9.已知一个学生的语文成绩为89,数学成绩为96,外语成绩为99.求他的总分和平均成绩的一个算法为：第一步：取A=89 ,B=96 ,C=99；第二步：①；第三步：②;第四步：输出计算的结果.10.写出求1+2+3+4+5+6+7+100的一个算法.可运用公式l+2+3+?+n= 第一步①；第二步②;第三步输出计算的结果.11.写出Ix2x3x4x5x6的一个算法.12.写出按从小到大的顺序重新排列x,y,z三个数值的算法. n（n?l）直接计算.21.1. 2程序框图［自我认知］:1 •算法的三种基本结构是（）A.顺序结构、条件结构、循环结构B.顺序结构、流程结构、循环结构C.顺序结构、分支结构、流程结构D .流程结构、循环结构、分支结构2 .程序框图中表示判断框的是（）A.矩形框B.菱形框D.圆形框D.椭圆形框3.如图⑴、（2）,它们都表示的是输出所有立方小于1000的正整数的程序框图，那么应分别补充的条件为（）（1）33(2)3A.⑴n>1000 ? (2)n<1000 ?B.⑴n<1000 ?⑵n>1000 ?C.(Dn<1000?⑵n>1000 ?D. (l)n<1000 ?(2)n<1000?4.算法共有三种逻辑结构，即顺序逻辑结构,条件逻辑结构和循环逻辑结构，下列说法正确的是()A.—个算法只能含有一种逻辑结构B.一个算法最多可以包含两种逻辑结构C. 一个算法必须含有上述三种逻辑结构D.—个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合［课后练习］:5.给出以下一个算法的程序框图(如下图所示)，该程序框图的功能是()A.求输出a,b,c三数的最大数B.求输出a,b,c三数的最小数3333C.将a,b,c按从小到大排列D.将a,b,c按从大到小排列第5题图第6题图6.右边的程序框图（如上图所示），能判断任意输入的数x 的奇偶性：其中判断框内的条件是A.m?O?B.x?O ?C.x?l ?D.m?l?7.在算法的逻辑结构中，要求进行逻辑判断，并根据结果进行不同处理的是哪种结构（）A.顺序结构B.条件结构和循环结构C.顺序结构和条件结构D.没有任何结构?x2?l（x?0）8.已知函数f?x???，设计一个求函数值的算法，并画出其程序框图（x?0）?2x?l1.1.2程序框图（第二课时）［课后练习］:班次姓名1 . 如图⑴的算法的功能是.输出结果i=,i+2=.2.如图⑵程序框图箭头a指向①处时，输出s=.箭头a指向②处时，输出s=.3.如图⑷所示程序的输出结果为s=132,则判断中应填A、i>10? B、i>ll? C、i<ll?D、i>12? 4.如图⑶程序框图箭头b指向①处时，输出s=.箭头b指向②处时, 输出S= _________5、如图⑸是为求1-1000的所有偶数的和而设计的一个程序空白框图，将空白处补上。
椭圆练习题附答案(人教版)
椭圆习题1.圆6x 2+ y 2=6的长轴的端点坐标是A.(-1,0)､(1,0)B.(-6,0)､(6,0)C.(-6,0)､(6,0)D.(0,-6)､(0,6)2.椭圆x 2+ 8y 2=1的短轴的端点坐标是A.(0,-42)、(0,42) B.(-1,0)、(1,0) C.(22,0)、(-2,0) D.(0,22)、(0,－22)3.椭圆3x 2+2y 2=1的焦点坐标是A.(0,－66)、(0,66)B.(0,-1)、(0,1)C.(-1,0)、(1,0)D.(-66,0)、(66,0)4.椭圆12222=+a y b x (a >b >0)的准线方程是A.222b a a y +±= B.222b a a y -±= C.222b a b y -±= D.222b a a y +±=5.椭圆14922=+y x 的焦点到准线的距离是A.559554和B.5514559和C.5514554和D.55146.已知F 1、F 2为椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率23=e ,则椭圆的方程是A.13422=+y xB.131622=+y xC.1121622=+y xD.141622=+y x7.离心率为23,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是A.1422=+y xB.1422=+y x 或1422=+y xC.14122=+y x D.1422=+y x 或116422=+y x8.椭圆12222=+b y a x 和k b y a x =+2222(k >0)具有A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长､短轴9.点A (a ,1)在椭圆12422=+y x 的内部,则a 的取值范围是A.-2<a <2B.a <-2或a >2C.-2<a <2D.-1<a <110.设F 是椭圆12222=+b y a x 的右焦点，P (x ,y )是椭圆上一点，则|FP |等于A.ex ＋aB.ex －aC.ax －eD.a －ex11.已知椭圆12222=+b y a x (a >b >0)的离心率等于53，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转2π后，所得的新椭圆的一条准线的方程y =316，则原来的椭圆方程是A.14812922=+y xB.16410022=+y xC.1162522=+y xD.191622=+y x 12.椭圆145222++a y a x =1的焦点在x 轴上,则它的离心率的取值范围是 A.(0,51) B.(51,55)] C.⎥⎦⎤ ⎝⎛55,0 D.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,55 13.椭圆1)6(4)3(22=++-m y x 的一条准线为7=x ，则随圆的离心率e 等于 A.21 B.22 C.23D.4114.已知椭圆的两个焦点为F 1､F 2,过F 2引一条斜率不为零的直线与椭圆交于点A ､B ,则三角形ABF 1的周长是A.20B.24C.32D.4015.已知椭圆的长轴为8，短轴长为43，则它的两条准线间的距离为A.32B.16C.18D.6416.已知（4，2）是直线L 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则L 的方程是A.x -2y =0B.x +2y -4=0C.2x +3y+4=0D.x +2y -8=017.若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为A.21B.32C.43D.4118.椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率e 为A.1010B.1717C.13132D.373719.椭圆ax 2+by 2=1与直线y =1－x 交于A 、B 两点，若过原点与线段AB 中点的直线的倾角为30°，则b a的值为A.43B.33C.23D.320.过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的中心的弦为PQ ，焦点为F 1，F 2，则△PQF 1的最大面积是A. a bB. b cC. c aD. a b c21.一广告气球被一束平行光线投射到地平面上,其投影呈椭圆形,若此椭圆的离心率为21,则光线与地平面所成的角为A.3πB.6πC.arccos 31D.4π22.如果椭圆的焦距是8,焦点到相应的准线的距离为49,则椭圆的离心率为 A. 54 B. 43 C.32 D.-4323.线段A 1A 2、B 1B 2分别是已知椭圆的长轴和短轴，F 2是椭圆的一个焦点（|A 1F 2|＞|A 2F 2|）,若该椭圆的离心率为215-，则∠A1B 1F 2A.30°B.45°C.120°D.90°24.已知椭圆1222=+y a x (a >1)的两个焦点为F 1,F 2,P 为椭圆上一点,且∠F 1PF 2=60o ,则|PF 1|·|PF 2|的值为A.1B.31C.34D.3225.椭圆12222=+b y a x 和k b y a x =+2222（k >0）具有A..相同的长短轴B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的顶点26.椭圆125922=+y x 的准线方程是 A.x =425±B.y =425±C.x =49±D.y =49±27.若椭圆13422=+y x 上一点P 到右焦点的距离为3，则P 到右准线的距离是 A.43 B.23C.6D.1228.自椭圆12222=+b y a x （a >b >0）上任意一点P ，作x 轴的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是 14.A 2222=+b y a x 14.B 2222=+b y a x 14.C 2222=+b y a x 14.D 2222=+b y a x29.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是A.51B.43C.33D.2130.若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍,则这个椭圆的离心率为A.41B.22C.42D.2131.椭圆121322=++m y m x 的准线平行于x 轴,则m 的取值范围是A.m >0B.0<m <1C.m >1D.m >0且m ≠132.椭圆x 2+ 9y 2=36的右焦点到左准线的距离是A.2217 B.217 C.217 D.22933.到定点(2,0)的距离与到定直线x =8的距离之比为22的动点的轨迹方程是A.1121622=+y xB.1161222=+y x C.0568222=-++x y x D.0688222=+-+x y x 34.直线x -y -m =0与椭圆1922=+y x 且只有一个公共点,则m 的值是A.10B.±10C.±10D.1035.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)36.椭圆192522=+y x 上点P 到右准线等于4.5,则点P 到左准线的距离等于A.8B.12.5C.4.5D.2.2537.若椭圆的两焦点把两准线间的距离等分成三份,则椭圆的离心率等于A.3B.23C.33D.4338.中心在原点,长轴长是短轴长的2倍,一条准线方程是x =4,则此椭圆的方程是A.131222=+y xB.1422=+y xC.1422=+y x D.112322=+y x39.椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率是A.21B.2333D.不能确定40.函数y ＝2sin(arccos x )的图象是A.椭圆B.半椭圆C.圆D.直线41.若F (c ,0)是椭圆12222=+b y a x 的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2mM +的点的坐标是 A.(c ,±a b 2) B.(－c ,±a b 2) C.(0,±b ) D.不存在42.已知点P (233,25)为椭圆92522y x +=1上的点,F 1,F 2是椭圆的两焦点,点Q 在线段F 1P 上,且│PQ │=│PF 2│,那么Q 分F 1P 之比是A.43B.34C.52D.3543.若将离心率为43的椭圆)0( 12222>>=+b a b y a x 绕着它的左焦点按逆时针方向旋转2π后，所得新椭圆的一条准线方程是3y +14=0椭圆的另一条准线方程是A. 3y -14=0B. 3y -23=0C. 3y -32=0D. 3y -50=044.如图，直线l ：x -2 y +2=0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为A.51B.52C.55D.55245.如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是A.(0，＋∞)B.(0，2)C.(1，＋∞)D.(0，1)46.已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得||||2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线47.以椭圆的右焦点F ２为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M 、N ，椭圆的左焦点为F １，且直线ＭＦ１与此圆相切，则椭圆的离心率ｅ为A.22B.23C.２－3D.3－１48.圆02122=-+++ab by ax y x 与椭圆)0(1)2()2(2222>>=+++b a b b y a a x 的公共点的个数为A.0B.2C.3D.449.P 是椭圆16410022=+y x 上的点，F 1，F 2是焦点，若321π=∠PF F ，则△F 1 P F 2的面积是 A.)32(64+ B.)32(64- C.64 D.336450.下列各点中,是曲线14)2(9)1(22=++-y x 的顶点的是A.(1,-2)B.(0,-2)C.(1,-4)D.(-2,-1)51.已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1,F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若12PF PF e =，则e 的值为A.22B.33C.21D.3252.椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为A.5B.6C.4D.1053.椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是A.(±5，0)B.(0，±5)C.(0，±12)D.(±12，0)54.已知椭圆的方程为18222=+m y x ,焦点在x 轴上,则其焦距为A.228m -B.2m -22C.282-mD.222-m55.若椭圆11622=+m y x 的离心率为31,则m 的值是A.9128B.9128或18C.18D.3128或656.已知椭圆13422=+y x 内有一点P (1,-1),F 为椭圆右焦点,在椭圆上有一点M ,使|MP |+2|MF |取得最小值,则点M 的坐标为A.(362,-1)B.)23,1(),23,1(-C.)23,1(- D.)1,362(),1,362(---57.设F 1､F 2为定点,|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则动点M 的轨迹是A.椭圆B.直线C.圆D.线段58.椭圆171622=+y x 的左右焦点为F 1､F 2,一直线过F 1交椭圆于A ､B 两点,则△ABF 2的周长为A.32B.16C.8D.459.设α∈(0,2π),方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在x 轴上的椭圆,则α∈ A.(0,4π] B.(4π,2π4π) D.[4π,2π60.P 为椭圆12222=+b y a x 上一点,F 1､F 2为焦点,如果∠PF 1F 2=75°,∠PF 2F 1=15°,则椭圆的离心率为A.22B.23C.32D.36二、填空题1.椭圆的焦点F 1(0,6),中心到准线的距离等于10,则此椭圆的标准方程是______.2.椭圆14922=+y x 上的点到直线03332=+-y x 距离的最大的值是 .3.已知F 1､F 2是椭圆192522=+y x 的两个焦点,AB 是过焦点F 1的弦,若︱AB ︳=8,则︱F 2A ︳+︱F 2B ︳的值是A.16B.12C.14D.84.若A 点坐标为（1，1），F 1是5x 2+9y 2=45椭圆的左焦点，点P 是椭圆的动点，则|PA|+|PF 1|的最小值是__________.5.直线y =1-x 交椭圆mx 2+ny 2=1于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，若K OP ==n m则,22_______________. 6.若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是______.7.已知椭圆的准线方程是y =±9,离心率为32，则此椭圆的标准方程是_______________.8.到定点（1，0）的距离与到定直线x =8的距离之比为22的动点P 的轨迹方程是 .9.已知椭圆x 2+2 y 2=2的两个焦点为F 1和F 2，B 为短轴的一个端点，则△BF 1F 2的外接圆方程是______________. 10.已知点A (0，1)是椭圆x 2+4y 2=4上的一点，P 是椭圆上的动点，当弦AP 的长度最大时，则点P 的坐标是_________________.11.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(-10，0)，则焦点坐标是 .12.P 是椭圆162722y x +=1上的点,则点P 到直线4x +3y -25=0的距离最小值为 . 13.如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+b y a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是.14.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为F ，A （-a ,0）,B (0,b )是两个项点，如果占F 到直线AB 的距离等于7b ，则椭圆的离心率为___________.15.椭圆x 2＋4y 2＝4长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是______________.16.椭圆122222=+ay a x 与连结A (1，2)，B (2，3)的线段没有公共点，则正数a 的取值范围是 .17.设F 1(-c ,0)､F 2(c ,0)是椭圆2222b y a x +=1(a >b >0)的两个焦点,P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为A.23B.36C.22D.3218.椭圆131222=+y x 焦点为F 1和F 2,点P 在椭圆上,如果线段PF 1的中点在y 轴上,那么|PF 1|是|PF 2|的______________.19.已知椭圆192522=+y x ,左右焦点分别为F 1､F 2,B (2,2)是其内一点,M 为椭圆上动点,则|MF 1|+|MB |的最大值与最小值分别为______________.20.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,则k 的取值范围是______.21.方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是______.三、解答题1.已知，椭圆在x 轴上的焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的顶点距离为510-，求椭圆的标准方程.2.点M （x,y ）与定点F （c ,0）的距离和它到定直线c a x l 2:=的距离的比是常数a c（a >c >0），求点M 的轨迹. 3.椭圆9x 2+25 y 2=225上有一点P ，若P 到左准线的距离是2.5，求P 到右焦点的距离.4.F 是椭圆1121622=+y x 的右焦点，M 是椭圆上的动点，已知点A （－2，3），当MF AM 2+取最小值时，求点M 的坐标.5.已知：椭圆13610022=+y x 上一点P 到左焦点的距离为15，则P 点到此椭圆两准线的距离分别是多少？6.设AB 为过椭圆1162522=+y x 中心的弦，F 1为左焦点.求：△A B F 1的最大面积.7.AB 是过椭圆14522=+y x 的一个焦点F 的弦，若AB 的倾斜角为3π，求弦AB 的长8.已知椭圆中心在原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，并且此焦点与长轴较近的端点的距离为510-，求椭圆方程.9.设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为23，并且椭圆与圆x 22y +-4x -2y +025=交于A,B 两点,若线段AB的长等于圆的直径。
高三数学椭圆试题答案及解析
高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。
（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.的最大值是，的最小值是，满足.(1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出F点坐标，数形结合，根据椭圆的性质，得到代入已知中，得到，计算出椭圆的离心率；第二问，根据题意，设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范围.试题解析：(1) 设，则根据椭圆性质得而，所以有，即，，因此椭圆的离心率为. （4分）(2) 由(1)可知，，椭圆的方程为.根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，并设则由消去并整理得从而有，（6分）所以.因为，所以，.由与相似，所以. （10分）令，则，从而，即的取值范围是. （12分）【考点】椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题.3.椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明详见解析，.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和左焦点到点P 的距离列出方程组，解出基本量a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，用直线与椭圆联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理得到和，由于AB为直径的圆过椭圆右顶点A2(2,0) ，所以，利用向量的数量积的运算公式，将前面的式子都代入，得到或 m = －2k，经验证都符合题意，则分别求出定点坐标，再验证，最终得到结论.试题解析：（1）由题：①左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：② 2分由①②可解得c =" 1" ， a =" 2" ， b 2 = a 2－c 2 = 3． 3分∴所求椭圆 C 的方程为． 4分（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y =" kx" + m代入椭圆方程得(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．∴，， 6分且y1 = kx1+ m，y2= kx2+ m．∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以． 7分所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2= (x1－2) (x2－2) + (kx1+ m) (kx2+ m)= (k 2 + 1) x1x2+ (km－2) (x1+ x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)·－(km－2)·+ m 2 + 4 =" 0" ． 10分整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴或 m = －2k 都满足△ > 0． 12分若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k =" k" (x－2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去； 13分若时，直线 l 为，恒过定点． 14分【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题.4.已知△ABC的周长为12，顶点A，B的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，C为动点．(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)过原点作两条关于y轴对称的直线(不与坐标轴重合)，使它们分别与曲线E交于两点，求四点所对应的四边形的面积的最大值．【答案】（1）＋＝1(x≠±4)（2）16【解析】(1)由题意知|CA|＋|CB|＝12－4＝8>|AB|，所以C的轨迹E为椭圆的一部分．由a＝4，c＝2，可得b2＝12．故曲线E的方程为＋＝1(x≠±4)．(2)设两直线的方程为y＝kx与y＝－kx(k>0)．记y＝kx与曲线E在第一象限内的交点为(x0，y)，由，可得x2＝．结合图形的对称性可知：四交点对应的四边形为矩形，且其面积S＝2x0·2y＝4kx2＝．因为k>0，所以S＝≤＝16 (当且仅当k＝时取等号)．故四边形面积的最大值为16．5.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，两焦点F1，F2之间的距离为2，椭圆上第一象限内的点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C的右顶点为A，直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且满足AM⊥AN．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）＋y2＝1 （2）见解析【解析】(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，因为|F1F2|＝2，所以c＝，由S△PF1F2＝1，得|PF1||PF2|＝2，又由PF1⊥PF2，得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12，即(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝12，即4a2－4＝12，a2＝4，b2＝a2－3＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1．(2)由方程组，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，整理得4k2－m2＋1>0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．由AM⊥AN且椭圆的右顶点为A(2,0)，得(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，因为y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，所以(1＋k2)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4＝0，即(1＋k2)·＋(km－2)·＋m2＋4＝0，整理得：5m2＋16mk＋12k2＝0，解得m＝－2k或m＝－，均满足4k2－m2＋1>0．当m＝－2k时，直线的l方程为y＝kx－2k，过定点(2,0)，与题意矛盾，舍去；当m＝－时，直线l的方程为y＝k(x－)，过定点(，0)，符合题意．故直线l过定点，且定点的坐标为(，0)．6.已知P是圆M：x2+y2+4x+4-4m2=0(m>0且m≠2)上任意一点，点N的坐标为(2，0)，线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为C.（1）求出轨迹C的方程，并讨论曲线C的形状；（2）当m=时，在x轴上是否存在一定点E，使得对曲线C的任意一条过E的弦AB，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为；（2）定点，定值为6.【解析】（1）利用线段的垂直平分线交直线于点，当时，根据椭圆的定义，即可求出轨迹的方程；当时，根据双曲线的定义，即可求出轨迹的方程；（2）当时，轨迹必为椭圆方程，设，分别过E取两垂直与坐标轴的两条弦CD，，根据求出E若存在必为定值为6.再进行证明．存在性问题，先猜后证是关键.再设设过点E的直线方程，代入椭圆方程，消去，设，，利用一元二次方程的根与系数的关系，求得为定值6.（1）由题意，，所以，所以轨迹是以、为焦点，以为长轴的椭圆，当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为（4分）（2）由（1）当时，曲线C为，设，分别过E取两垂直于坐标轴的两条弦CD，，则，即解得，∴E若存在必为定值为6.（6分）下证满足题意.设过点E的直线方程为，代入C中得:，设、，则，，（8分）.同理可得E也满足题意.综上得定点为E，定值为（13分）【考点】直线和圆的方程的应用，圆锥曲线的定义、性质与方程，轨迹方程的问题.7.已知椭圆的焦点为，点是椭圆上的一点，与轴的交点恰为的中点， .（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆的右顶点，过焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据已知分析可得点横坐标为1，纵坐标为,，即点。
椭圆单元测试题(含答案)
椭圆单元测试题(含答案)一. 选择题1. 下列哪个不是椭圆的性质？A. 任何椭圆都有两个焦点B. 椭圆的离心率小于1C. 椭圆是一条闭合曲线D. 直径是椭圆上任意两点的距离的最大值答案：D2. 下列哪个公式可以用来计算椭圆面积？A. $S = \frac{\pi}{2}ab$B. $S = \pi ab$C. $S = \frac{4}{3}\pi ab$D. $S = 2\pi ab$答案：B3. 一个椭圆的长轴长度是6，短轴长度是4，则该椭圆的离心率是多少？A. $\frac{3}{4}$B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{4}{5}$D. $\frac{5}{6}$答案：C二. 填空题1. 椭圆的离心率等于$\rule{1.5cm}{.15mm}$除以$\rule{1.5cm}{.15mm}$。
答案：焦距差，长轴长度2. 设椭圆的长轴长度为$a$，短轴长度为$b$，则其离心率的计算公式为$\rule{5cm}{.15mm}$。
答案：$\epsilon = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$三. 计算题1. 已知一个椭圆的长轴长度是10，短轴长度是8，求它的面积。
解：由公式$S = \pi ab$可得，该椭圆的面积为$S = \pi \times 10 \times 8 = 80\pi$。
答案：$80\pi$2. 已知一个椭圆的长轴长度是12，离心率是$\frac{1}{2}$，求它的短轴长度。
解：由公式$\epsilon = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$可得，$b =a\sqrt{1-\epsilon^2}$。
代入数据，可得$b = 6\sqrt{3}$。
答案：$6\sqrt{3}$。
高三数学椭圆试题答案及解析
高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。
（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.已知A、B是椭圆上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点.（1）当时，求直线AB的方程;（2）设点，求证:当实数变化时，恒为定值.【答案】（1）；（2）见解析。
【解析】（1）利用A、F、B共线及其所在位置，找出λ满足的关系式，求出范围；（2）假设这样的M点存在，利用为定值寻求相应点的坐标.试题解析：（1）由已知条件知，直线过椭圆右焦点.又直线不与轴重合时，可设，代入椭圆方程，并整理得.设，由根与系数的关系得，.又由得，所以，.于是，解之得.故直线AB的方程为.（7分）（2）为定值.（经检验，当与轴重合时也成立）（13分）【考点】【考点】直线与椭圆的位置关系，平面向量3.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A．－＝1B．＋＝1C．－＝1D．＋＝1【答案】D【解析】M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1．4.已知椭圆C：（）的左焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）由已知得：，，所以，再由可得，从而得椭圆的标准方程. ）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.面积，而，所以只要求出的值即可得面积.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.再结合韦达定理即可得的值.试题解析：（1）由已知得：，，所以又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2）椭圆方程化为.设T点的坐标为，则直线TF的斜率.当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.将代入椭圆方程得：.其判别式.设，则.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.所以，解得.此时四边形OPTQ的面积.【考点】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.5.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.（1）求点P的坐标；（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线交于A，B两点，若的面积为2，求C的标准方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先设切点，由圆的切线的性质，根据半径的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为，建立目标函数．故要求面积最小值，只需确定的最大值，由结合目标函数，易求；（2）设椭圆标准方程为，点在椭圆上，代入点得①，利用弦长公式表示，利用点到直线距离公式求高，进而表示的面积，与①联立，可确定，进而确定椭圆的标准方程．（1）设切点坐标为．则切线斜率为．切线方程为．即．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积．由知当且仅当时，有最大值．即有最小值．因此点的坐标为．（2）设的标准方程为．点．由点在上知．并由得．又是方程的根，因此，由，，得．由点到直线的距离为及得．解得或．因此，（舍）或，．从而所求的方程为．【考点】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式．6.已知抛物线的准线与椭圆相切，且该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2,则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的准线为又抛物线的准线与椭圆相切，所以，且切点为下顶点因为该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2，所以，即得由得所以故选【考点】抛物线和椭圆的简单几何性质；椭圆的离心率.7.已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由题意知在双曲线中得，在椭圆中，所以离心率为.选．【考点】椭圆、双曲线的几何性质.8.已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，且椭圆C上一点与两个焦点F1，F2构成的三角形的周长为2+2．(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F2作直线l 与椭圆C交于A，B两点，设，若，求的取值范围．【答案】(1) ； (2)【解析】(1)由题设知椭圆的标准方程为(2)因为当直线的斜率不存在时，，不适合题意，所以直线的斜率存在，设为，直线的方程为，它与椭圆的两交点坐标，则由得通过方程组，借助韦达定理，得到，结合得到与的关系式，并且可由得到的取值范围；另一方面，因为由前述的取值范围可使问题得到解决.试题解析：解：(1)由题意知：，且， 2分解得， 3分椭圆的方程为 . 4分(2)由题意得直线的斜率存在，右焦点，可设直线的方程为：由得由题意设，则 6分由得 7分9分令，在上单调递增，可得故，解得 2分= 13分即的取值范围是 14分【考点】1、椭圆的标准方程；2、平面向量的数乘运算与数量积；3、直线与椭圆的位置关系. 9.如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则的离心率是（）．A．B．C．D．【答案】【解析】由题意知，的离心率是，故选【考点】椭圆、双曲线的几何性质.10.已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,且．(1)求椭圆的标准方程；（2）若动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点,问：是否存在一个定点,使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】（1）根据椭圆的右焦点，右顶点，且，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的标准方程；（2）直线：，代入椭圆方程，结合，求出的坐标(参数表示)，求出向量的坐标，利用，进行整理，如果为定值，那么不随的变化而变化，建立关于的方程，即可得出结论．此题属于中等题型，关键表示出P点坐标，转化为过定点恒成立的形式.试题解析：（1）由，，椭圆C的标准方程为. 4分得：， 6分.,,即P. 9分M.又Q，，，+=恒成立，故，即.存在点M（1,0）适合题意. 12分【考点】直线与圆锥的综合问题11.如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．【答案】（1）；（2）满足条件的点Q存在，且有两个.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质，考查学生的转化思想和数形结合思想，考查分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，先由长轴长得到a的值，设出椭圆的标准方程，利用已知条件数形结合得到C点坐标，将C点坐标代入到椭圆中，得到b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，先设出Q点坐标，利用已知等式计算，可知点Q在直线上，点在直线上，而在椭圆内部，数形结合得存在点Q而且存在2个；法二：用和椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，看方程的判别式，判别式大于0时，方程有2个根，则直线与椭圆有2个交点；第三问，设出点P的坐标，由切线的性质得四点共圆，此圆的圆心为，直径为OP，得到此圆的方程，M、N既在此圆上，又在圆O上，2个方程联立，解出直线MN的方程，得出截距的值，再转化出P点坐标代入到椭圆中即可；法二：设出点P、M、N的坐标，利用直线的垂直关系，利用斜率列出等式，转化成直线PM和直线PN的方程，从而得到直线MN的方程.试题解析：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，设椭圆E的方程为 2分由椭圆的对称性知|OC|＝|OB|又∵，|BC|＝2|AC|∴AC⊥BC，|OC|＝|AC|∴△AOC为等腰直角三角形，∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1)， 4分将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得∴所求的椭圆E的方程为 5分（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即点Q在直线上， 7分∴点Q即直线与椭圆E的交点，∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，∴满足条件的点Q存在，且有两个． 9分解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即，① -7分又∵点Q在椭圆E上，∴，②由①式得代入②式并整理得：， -③∵方程③的根判别式，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个． 9分（3）解法一：设点，由M、N是的切点知，,∴O、M、P、N四点在同一圆上， 10分且圆的直径为OP,则圆心为，其方程为， 11分即 -④即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，∴M、N坐标也满足方程 -⑤⑤-④得直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值. 14分解法二：设点则 10分直线PM的方程为化简得④同理可得直线PN的方程为 -⑤ 11分把P点的坐标代入④、⑤得∴直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值． -14分【考点】1.椭圆的标准方程；2.四点共圆；3.圆的标准方程.12.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(-2,0)，且长轴长与短轴长的比为，（1）求椭圆C的方程；（2）设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，设点P是椭圆上的任意一点，若当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的中心在原点可以设出椭圆的标准方程，已知焦点坐标，故可求的c值，所以利用长轴长与短轴长之比和a,b,c的关系可以建立关于a,b的两个方程式联立消元即可求的a,b的值，得到椭圆的标准方差.（2）根据题意设点P的坐标，表示,利用点P在椭圆上，得到关于m和P点横坐标的表达式，利用二次函数最值问题，可以得到取得最小值时，m和P点横坐标之间的关系，再利用P横坐标的范围得到m的取值范围即可.试题解析：（1）设椭圆的方程为. 1分由题意有：， 3分解得. 5分故椭圆的方程为. 6分（2）设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故. 7分因为，所以10分因为当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，即当时，取得最小值．而，故有，解得． 12分又点在椭圆的长轴上，即． 13分故实数的取值范围是． 14分【考点】椭圆标准方程椭圆几何性质最值13.已知是椭圆上两点，点的坐标为.（1）当关于点对称时，求证：；（2）当直线经过点时，求证：不可能为等边三角形.【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.【解析】（1）利用“点代法”求点的坐标关系，在求解过程中证明结论.因为关于点对称，所以，代入椭圆方程得，两式相减得，所以（2）本题实质为“弦中点”问题，设中点为，由“点差法”得又假设为等边三角形时，有所以这与弦中点在椭圆内部矛盾，所以假设不成立.试题解析：（1）证明：因为在椭圆上，所以 1分因为关于点对称，所以， 2分将代入②得③，由①和③消解得， 4分所以. 5分（2）当直线斜率不存在时，，可得，不是等边三角形. 6分当直线斜率存在时，显然斜率不为0.设直线：，中点为，联立消去得， 7分由，得到① 8分又,所以，所以 10分假设为等边三角形，则有，又因为，所以，即， 11分化简，解得或 12分这与①式矛盾，所以假设不成立.因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形. 14分【考点】弦中点问题，点代法求点的坐标14.已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得所以【考点】圆的切线长，椭圆定义15.如图，正方形CDEF内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ的顶点G,H在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边EF上．且CD=2PQ=．(1)求椭圆的方程；(2)已知点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m:≠0)，l交椭圆于A,B两个不同点，求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由图形分析，利用CD和PQ的边长得出点E和点G的坐标，由于这2点都在椭圆上，联立方程得出和，从而得到椭圆的标准方程；第二问，通过对题意的分析，只需证明直线MA，MB的斜率之和为0即可，设出A，B点坐标，列出2条直线的斜率的表达式，直线与椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，列出两根之和与两根之积，而通过转化可以将得到的两根之和与两根之积代入，只要最后化简结果为0即可.试题解析：(1)∵，∴点，又∵，∴点，则，解得，∴椭圆方程.（4分）(2)设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2＝0即可，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，直线l方程为，代入椭圆方程消去y，得x2＋2mx＋2m2－4＝0可得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.（9分）而，（12分）∴k1＋k2＝0，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.（13分）【考点】1.椭圆的标准方程；2.韦达定理.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＝1的右顶点，点D(1，0)，点P、B在椭圆上，＝.(1) 求直线BD的方程；(2) 求直线BD被过P、A、B三点的圆C截得的弦长；(3) 是否存在分别以PB、PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x＋y－1＝0.（2）4（3）x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2【解析】1) 设P(x0，y)．因为＝，且D(1，0)，A(3，0)，点B、P在椭圆上，所以B(－x，y 0)，所以x＝1，将其代入椭圆，得y＝2，所以P(1，2)，B(－1，2)．所以直线BD的方程为x＋y－1＝0.(2) 线段BP的垂直平分线方程为x＝0，线段AP的垂直平分线方程为y＝x－1.解方程组得圆心C的坐标为(0，－1)．所以圆C的半径r＝CP＝.因为圆心C(0，－1)到直线BD的距离为d＝＝，所以直线BD被圆C截得的弦长为2 ＝4.(3) 这样的圆M与圆N存在．由题意得，点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线y＝x－1上．当圆M与圆N是两个相外切的等圆时，一定有P、M、N在一条直线上，且PM＝PN.M(0，b)，则N(2，4－b)．因为点N(2，4－b)在直线y＝x－1上，所以4－b＝2－1，b＝3.所以这两个圆的半径为PM＝，方程分别为x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝217.P为圆A：上的动点，点.线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.（1）求曲线Γ的方程；（2）当点P在第一象限，且时，求点M的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、圆的方程、直线的方程、直线与曲线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. 第一问，根据圆的方程得到圆心A的坐标和半径的长，利用垂直平分线得到，而，所以，根据椭圆的定义，判断点M的轨迹为椭圆，得到椭圆的标准方程；根据已知条件先得出P点坐标，从而得到直线AP的方程，利用直线与椭圆相交解出M点坐标，过程中应注意方程根的取舍.试题解析：（1）圆的圆心为，半径等于．由已知，于是，故曲线Γ是以为焦点，以为长轴长的椭圆，，曲线Γ的方程为． 5分（2）由，，得． 8分于是直线方程为．由解得，，．由于点在线段上，所以点坐标为． 12分【考点】1.椭圆的定义及标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.18.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点,且=3,则C的方程为()(A) +y2=1 (B) +=1(C) +=1 (D) +=1【答案】C【解析】依题意设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由条件可得A（1,）,B（1,-）,因|AB|= -（-）==3,即2b2=3a,所以解得所以椭圆C的方程为+=1.故选C.19.设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为的点P的个数为.【答案】4【解析】【思路点拨】先求出弦长|AB|,进而求出点P到直线AB的距离,再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程,最后数形结合求解.由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|=,要使△PAB的面积为,即··h=,所以h=.联立y=-2x+m与椭圆方程x2+=1得8x2-4mx+m2-4=0,令Δ=0得m=±2,即平移直线l到y=-2x±2时与椭圆相切,它们与直线l的距离d=都大于,所以一共有4个点符合要求.20.已知椭圆C：＝1，过点M(2，0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．在x 轴上若存在定点P，使PM平分∠APB，则P的坐标为________．【答案】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得(4m2＋9)y2＋16my－20＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA ＋kPB＝0.设P(a，0)，则有＋＝0，将x1＝my1＋2，x2＝my2＋2代入上式，整理得＝0，所以2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝0.将y1＋y2＝，y1y2＝代入上式，整理得(－2a＋9)·m＝0.由于上式对任意实数m都成立，所以a＝.综上，x轴上存在定点P，使PM平分∠APB.21.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）抛物线上存在一点，使得与关于直线对称．【解析】（1）求椭圆的方程，可利用待定系数法求出的值即可，首先确定抛物线的焦点与准线方程为，利用椭圆焦点与抛物线的焦点重合，得，且截抛物线的准线所得弦长为，得交点为，建立方程，求出的值，即可求得椭圆的方程；（2）根据倾斜角为的直线过点，可得直线的方程，由（1）知椭圆的另一个焦点为，利用与关于直线对称，利用对称，可求得的坐标，由此可得结论．试题解析：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，∴① 2分又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，∴得上交点为，∴② 4分由①代入②得，解得或（舍去），从而∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为 6分（2）∵倾斜角为的直线过点，∴直线的方程为，即， 7分由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得， 9分解得，即， 2分又满足，故点在抛物线上。
人教版高中数学必修3椭圆
二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）
11．e=
3 2
12．
1 2
13．3 x 2+4 y 2-8 x =0
14．-
3 5
<x<
3 5
三、解答题（本大题共 6 题，共 76 分） 15． （12 分）
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4．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于 A．
1 2
B． 2
C．
2 2
5．椭圆
x2 y2 � � 1 的中心到准线的距离是 2 3
B．3 C． 2 D．
（
）
A．2
3
6．椭圆
x2 y2 那 � � 1 的焦点为 F1 和 F2，点 P 在椭圆上，如果线段 P F1 的中点在 y 轴上， 12 y � 1 （a>b>0）的右焦点为 F1，右准线为 l1，若过 F1 且垂直于 x 轴的弦的 a2 b2 长等于点 F1 到 l1 的距离，则椭圆的离心率是 ．
13．一个椭圆的离心率为 e=0.5，准线方程为 x=4，对应的焦点 F （2，0） ，则椭圆的方程 为
2 2
解之并整理得 ( a 或 (a
2
�b 2 ) x 2 �2a 2 x �a 2 (1 �b 2 ) � 0 �b 2 ) y 2 � 2b 2 y �b 2 (1 � a 2 ) � 0
2
2a 2 所以 x1 �x 2 � � 2 a �b 2
a 2 (1 �b 2 ) ， x1 x2 � a 2 �b 2 y1 y 2 � b 2 (1 � a 2 ) a 2 �b 2
高三椭圆练习题含答案
高三椭圆练习题含答案1. 设椭圆的焦距为f，离心率为e，则第一焦点坐标为(-f,0)，第二焦点坐标为(f,0)。
设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则有等式：f =√(a^2 - b^2) = a * e，其中e为离心率。
2. 设椭圆的焦距为f，离心率为e，离心率定义为e = c / a，其中c为焦点到椭圆中心的距离，a为椭圆的半长轴的长度。
根据定义，椭圆的离心率始终小于1。
3. 椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
4. 已知椭圆的焦点坐标为(-5, 0)和(5, 0)，离心率为2/3。
求该椭圆的半长轴和半短轴长度。
解答：根据离心率的定义，可知椭圆的焦点到椭圆中心的距离为a * e = 5* 2/3 = 10/3。
由于焦点到椭圆中心距离为a * e，而椭圆的焦点坐标为(-5, 0)和(5, 0)，因此椭圆的中心坐标为(0,0)。
由此可知，半长轴的长度为a = 大于等于5 + 10/3 = 25/3，半短轴的长度为b = √(a^2 - c^2) = √((25/3)^2 - (10/3)^2) = √(625/9 - 100/9) =√(525/9) = √175/3 = √(25 * 7)/3 = 5√7/3。
所以，该椭圆的半长轴长度为25/3，半短轴长度为5√7/3。
5. 已知椭圆的离心率为1/2，焦点坐标为(-3, 0)和(3, 0)。
求该椭圆的长轴与短轴的长度之比。
解答：根据焦点的坐标和离心率的定义，可知椭圆的半长轴的长度为 a = 3 * 2 = 6, 离心率为e = c / a = 1/2，其中c为焦点到椭圆中心的距离。
由此可知，焦点到椭圆中心的距离为c = a * e = 6 * 1/2 = 3。
椭圆的中心即为原点，因此椭圆的标准方程为x^2/36 + y^2/b^2 = 1。
根据焦点到椭圆中心的距离c = 3，可知椭圆的焦点坐标为(-3, 0)和(3, 0)。
椭圆的测试题及详细答案(最新整理)
D. 0 个
12．若椭圆 mx2 ny 2 1与直线 x y 1 0 交于 A, B 两点，过原点与线段 AB
的中点的直线的斜率为 2 ，则 n 的值为（
2
m
A． 2
2
B． 2
C． 3
2
）
D． 2
9
二．填空题（共 4 小题，每小题 5 分）
13．一个顶点是 0, 2 ，且离心率为 1 的椭圆的标准方程是________________。
2
14． 椭 圆 x2＋ 4y2=16 被 直 线 y=x＋ 1 截 得 的 弦 长
为
。
15．设 F1、F2 分别是椭圆 x2 y2 1 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点 M 的
25 16
坐标为（6，4），则 PM PF1 的最大值为__________.
16．已知椭圆 C:
的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交
25 5
n 5n
A.焦点
B.焦距
C.离心率
D.准线
8．已知椭圆 x2 3y2 9 的左焦点为 F1 ，点 P 是椭圆上异于顶点的任意一点， O
为坐标原点．若点 D 是线段 PF1 的中点，则 F1OD 的周长为（ ）．
A．1 6
3
B． 3 6
C． 3 2 3
D． 6 2 6
试卷第 1 页，总 7 页
a
2
2 3
a
2
2c 2
e
5 3
6．C【解析】椭圆 x2 y2 1两个焦点分别是 F1( 3, 0), F2 ( 3, 0) ，设 P( x , y ) ，
4
则 PF1 ( 3 x , y ) ,
PF2 ( 3 x , y ) ， PF1 PF2 ( 3 x ) ( 3 x ) y 2 x 2 y 2 3 ，
人教版高中数学必修三单元测试直线和圆及答案
（8）直线和圆一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．如图所示，直线l 1，l 2，l 3，的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则（ ）A ． k 1< k 2< k 3B ． k 3< k 1< k 2C ． k 3< kk 2< k 1D ． k 1< k 3< k 22．点（0，5）到直线y =2x 的距离是（ ）A ．25 B ．5C ．23 D ．25 3．经过点P （3，2），且倾斜角是直线x -4y +3=0的倾斜角的两倍的直线方程是（ ）A ．8x -15y +6=0B ．x -8y +3=0C ．2x -4y +3=0D ．8x +15y +6=0 4．方程| x |+| y |=1所表示的图形在直角坐标系中所围成的面积是（ ）A ．2B ．1C ．4D ．25．过点P （2，3），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）A ．x +y -5=0或x -y +1=0B ．x -y +1=0C ．3x -2y =0或x +y -5=0D ．x -y +1=0或3x -2y =06．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sinA ·x +a y +c=0与b x -sinB ·y +sinC=0的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直7．直线x -y +4=0被圆(x +2)2+(y -2)2=2截得的弦长为（ ）A ．2 B ．22 C ．32D ．42 8．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是（ ）A ．| x |-| y |=1B ．x -y =1C ．( | x |-| y | )2=1D ．| x -y |=19．若集合,}1)2(|),{(},16|),{(2222B B A a y x y x B y x y x A =-≤-+=≤+= 且 则a 的取值范围是（ ）A ．1≤aB ．5≥aC ．51≤≤aD ．5≤a10．在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤0111y x y x 下，目标函数y x z2+=的最小值和最大值分别是（ ）A ．1，3B ．1，2C ．0，3D ．2，3二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．如果直线l 与直线x +y -1=0关于y 轴对称，那么直线l 的方程是 ．y xl 2l 1l 3o12．直线3x +y -23=0截圆x 2+y 2=4，得劣弧所对的圆心角为 ．13．过原点的直线与圆x 2+y 2+4x +3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 ． 14．如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x -4y =0平分，且不经过第四象限，则l 的斜率的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．求经过两点P 1（2，1）和P 2（m ，2）（m ∈R )的直线l 的斜率，并且求出l 的倾斜角α及其取值范围．（12分）16．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l １，l ２，若l １交x 轴于A 点， l 2 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程． （12分）17．已知圆的半径为10，圆心在直线x y 2=上，圆被直线0=-y x 截得的弦长为24，求圆的方程．（12分）18．已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），求P 点的轨迹方程.（12分）xy oABC D EFG P19．要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A 、B 、C 三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：规格类型A 规格B 规格C 规格 甲种钢管 2 1 4 乙种钢管231今需A 、B 、C 三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少． （14分）20．已知圆的参数方程)20(sin 2cos 2πθθθ<≤⎩⎨⎧==y x （1）设πθ34=时对应的点这P ，求直线OP 的倾斜角；（2）若此圆经过点（m,1），求m 的值，其中)2,0[πθ∈；（3）求圆上点到直线0543=++y x 距钢管类型离的最值．（14分）参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DBAACCBCDA二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．x - y +1=0 12．3π13．y =33 x 14． [0，2]三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[解析]：(1)当m =2时，x 1＝x 2＝2，∴直线l 垂直于x 轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=2π(2)当m ≠2时，直线l 的斜率k =21-m当m ＞2时，k ＞0． ∴α=arctan 21-m ,α∈（0，2π），当m ＜2时，k ＜0 ∴α＝π＋arctan 21-m ，α∈(2π,π)．16．（12分）[解法1]：设点M 的坐标为(x ,y ),∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x ,0)，B 的坐标为(0，2y )， ∵l １⊥l ２，且l １、l ２过点P (2，4)， ∴PA ⊥PB ,k PA ·ｋＰＢ＝－１． 而)1(,0224,2204≠--=--=x yk x k AB PA).1(11212≠-=-⋅-∴x y x 整理，得x +2y -5=0(x ≠1)∵当x =1时，A 、B 的坐标分别为(2，0)、(0，4)． ∴线段AB 的中点坐标是(1，2)，它满足方程x +2y -5=0， 综上所述，点M 的轨迹方程是x +2y -5=0．[解法2]：设M 的坐标为(x ,y )，则A 、B 两点的坐标分别 是(2x,0)、(0,2y )，连接PM ， ∵l １⊥l ２，∴2｜ＰＭ｜＝｜ＡＢ｜，而｜ＰＭ｜＝22)4()2(-+-y x 22)2()2(y x AB +=222244)4()2(2y x y x +=-+-∴化简，得x +2y -5=0,为所求轨迹方程． 17．（12分）[解析]：设圆心坐标为（m ，2m ）,圆的半径为10，所以圆心到直线x -y=0的距离为2||2||m m =-由半径、弦心距、半径的关系得228102±=∴+=m m∴所求圆的方程为10)4()2(,10)4()2(2222=+++=-+-y x y x18．（12分）[解析]：根据题设条件可知，点P(x ，y)的轨迹即直线GE 与直线OF 的交点. 据题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ） 设)10(≤≤===k k DADCCD CF BC BE ，由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为：0)12(20420040=-+⇒---=--y k ax k x a y ， ①直线GE 的方程为：02)12()2(2)2()44(4)44(=-+--⇒----=----a y x k a x ak a ak ak a y . ② 从①，②消去参数k ，得点P （x ，y ）的轨迹方程是：022222=-+ay y x a ，19．（14分）[解析]：设需截甲种钢管x 根，乙种钢管y 根，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+001841631322y x y x y x y x 作出可行域(如图)： 目标函数为z =x+y , 作直线l 0：x+y=0，再作一组平行直线l ：x+y=t ，此直线经过直线4x+y =18和直线x +3y =16的交点A (1146,1138)，此时，直线方程为x+y =1184．由于1138和1146都不是整数，所以可行域内的点(1146,1138)不是最优解．经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y =8,经过的整点是B (4，4)，它是最优解．答：要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少方法是，截甲种钢管、乙种钢管各4根． 20．（14分）[解析]：（1）因为圆上任一点的坐标为（θcos 2，θsin 2），所以当πθ34=时，对应的点P 的坐标为（cos2π34，sin2π34），即（-1，-3）．所以直线OP的斜率为30103=----=k ，所以直线OP 的倾斜角为60° （2）因为圆经过点（m,1），所以⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⇒∈=⇒==656)2,0[,21sin sin 21cos 2ππθπθθθθ或m 3±=⇒m （3）设圆上的点P 的坐标为（θcos 2，θsin 2），点P 到直线0543=++y x 的距离为55)s in 54c os 53(10435sin 24cos 2322++=++⨯+⨯=θθθθd 1)sin(2++=θϕ，其中53sin =ϕ，54cos =ϕ 故最大值为3，最小值为0。
椭圆测试题及答案
圆的离心率是（
）
2
A．
2
2 1
B．
2
C． 2 2
D． 2 1
【答案】D
【解析】设点
P
在
x
轴上方，则坐标为
c,
b2 a
，因为△
F1PF2
为等腰直角三角形，所以
PF2
F1F2
b2 ，即 a
2c ，
等式两边同除以 a ，化简得1 e2 2e ，解得 e 2 1，故选 D．
6．已知直线
y
x 1与椭圆
b2 36 16 20, 方程为 x2 y2 1 .因为三点 A, B,C 构成三角形，三点不能共线，所以 x 0 ，故轨迹方程 20 36
为 x2 y2 1 x 0 .
20 36
9．椭圆
x2 4
y2
1的两个焦点为 F1、F2
，过 F1作垂直于
x 轴的直线与椭圆相交，P 为一个交点，则
10．在等腰梯形 ABCD 中， AB / /CD ，且 AB 2, AD 1, CD 2x ，其中 x 0,1 ，以 A, B 为焦点且过点 D
的双曲线的离心率为 e1 ，以 C, D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e2 ，若对任意 x 0,1 ，不等式 t e1 e2 恒
成立，则 t 的最大值是（ ）
A． 3
B． 5
C．2
D． 2
【答案】B
【 解 析 】 由 平 几 知 识 可 得 BD
1 4x 1 ， 所 以 e1
2 1 4x
1 ,e2
2x 1 4x
1 e1e2
1
，
因
为
e1
e2
Байду номын сангаас
新教材高中数学第三章椭圆的综合问题及应用课后篇巩固提升含解析新人教A版选择性必修第一册
新教材高中数学新人教A版选择性必修第一册：习题课椭圆的综合问题及应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知直线l过点(3,-1),椭圆C:x225+y236=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A.1B.1或2C.2D.02.点A(a,1)在椭圆x24+y22=1的内部,则a的取值范围是()A.(-√2,√2)B.(-∞,-√2)∪(√2,+∞)C.(-2,2)D.(-1,1)3.已知椭圆x24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,当△F1PF2的面积为1时,PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于()A.0B.1C.2D.12P(x0,y0),则依题意有S△F1PF2=12·|F1F2|·|y0|=1,而|F1F2|=2√3,所以y0=±√33.故得x0=±2√63.取P(2√63,√33),可得PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.4.过点M(-2,0)的直线m与椭圆x22+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1,直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为()A.2B.-2C.1D.-12m 与x 2+2y 2=2的交点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则中点P (x 0,y 0),且x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22,将P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)代入x 2+2y 2=2,可得x 12+2y 12=2,x 22+2y 22=2,以上两式相减,可得x 12−x 22+2(y 12−y 22)=0,则由于k 1=y 1-y 2x 1-x 2,k 2=y 0x 0=y 1+y 2y 1+y 2,所以1+2y 1-y 2x 1-x 2×y 1+y 2y 1+y 2=0,即1+2k 1k 2=0,所以k 1k 2=-12.5.若点O 和点F 分别为椭圆x 29+y 28=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任一点,则OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ) A.214B.6C.8D.12点P 为椭圆x 29+y 28=1上的任意一点,设P (x ,y )(-3≤x ≤3,-2√2≤y ≤2√2), 依题意得左焦点F (-1,0), ∴OP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ),FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+1,y ), ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x (x+1)+y 2=x 2+x+72-8x 29=19(x +92)2+234. ∵-3≤x ≤3, ∴32≤x+92≤152,∴94≤(x +92)2≤2254, ∴14≤19(x +92)2≤22536.∴6≤19(x +92)2+234≤12,即6≤OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤12.6.椭圆mx 2+ny 2=1与直线y=1-x 交于M ,N 两点,原点O 与线段MN 的中点P 连线的斜率为√22,则mn 的值是 .{y =1-x ,mx 2+ny 2=1消去y ,得(m+n )x 2-2nx+n-1=0. 则MN 的中点P 的坐标为n m+n ,mm+n. 所以k OP =mn =√22.7.已知斜率为2的直线l 被椭圆x 23+y 22=1截得的弦长为√307,则直线l 的方程为 .l 的方程为y=2x+m ,与椭圆交于A ,B 两点的坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{x 23+y 22=1,y =2x +m ,消去y 并整理得14x 2+12mx+3(m 2-2)=0, 所以x 1+x 2=-67m ,x 1x 2=314(m 2-2). 由弦长公式得|AB|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =√5·√3649m 2-67(m 2-2)=√307, 解得m=±√13,所以直线l 的方程为y=2x ±√13.2x ±√138.已知椭圆E 的两个焦点分别为F 1(-1,0),F 2(1,0),点C (1,32)在椭圆E 上. (1)求椭圆E 的方程;(2)若点P 在椭圆E 上,且t=PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数t 的取值范围.依题意,设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),由已知c=1,所以a 2-b 2=1.① 因为点C (1,32)在椭圆E 上,所以1a 2+94b 2=1.②由①②得,a 2=4,b 2=3. 故椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)设P (x 0,y 0),由PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t , 得(-1-x 0,-y 0)·(1-x 0,-y 0)=t ,即x 02+y 02=t+1.③因为点P 在椭圆E 上,所以x 024+y 023=1. ④ 由③得y 02=t+1-x 02,代入④,并整理得x 02=4(t-2).⑤ 由④知,0≤x 02≤4,⑥结合⑤⑥,解得2≤t ≤3.故实数t 的取值范围为[2,3]. 9.已知椭圆C :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,P 是C 上一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,且|PF 1|+|PF 2|=4. (1)求椭圆C 的方程;(2)设直线y=√2x+n 交椭圆C 于A ,B 两点,O 为坐标原点,求△OAB 面积的最大值.∵|PF 1|+|PF 2|=4,∴2a=4,即a=2. ∵e=ca =√22, ∴c=√2, ∴b 2=a 2-c 2=2, 即椭圆方程为x 24+y 22=1.(2)设点A 的坐标为(x 1,y 1),点B 的坐标为(x 2,y 2),将y=√2x+n 代入椭圆C 的方程,整理得5x 2+4√2nx+2n 2-4=0, Δ=32n 2-20(2n 2-4)>0,∴n 2<10, ∴x 1+x 2=-4√2n 5,x 1x 2=2n 2-45, ∴|AB|=√1+2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2√65·√10-n 2,点O 到直线AB 的距离d=√3,∴S △OAB =12×|AB|×d=12×2√65×√10-n 2√3=√25×√(10-n 2)n 2≤√25×12×(10-n 2+n 2)=√2,∴当且仅当10-n 2=n 2,即n 2=5时,等号成立, ∴△OAB 面积的最大值为√2.关键能力提升练10.(2020广东中山高三质检)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A ,左顶点为B ,F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点,且△F 1AB 的面积为2-√32,点P 为椭圆上的任意一点,则1|PF 1|+1|PF 2|的取值范围为( ) A.[1,2] B.[√2,√3]C.[√2,4]D.[1,4]由椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的短轴长为2b=2,得b=1,又S △F 1AB =12(a-c )b=2-√32,解得a-c=2-√3,∴a=2,c=√3,|PF 1|+|PF 2|=2a=4,设|PF 1|=x , 则|PF 2|=4-x ,x ∈[a-c ,a+c ], 即x ∈[2-√3,2+√3],∴1|PF 1|+1|PF 2|=1x+14-x=44-(x -2)2∈[1,4].11.已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0),点F 为左焦点,点P 为下顶点,平行于FP 的直线l 交椭圆于A ,B 两点,且AB 的中点为M (1,12),则椭圆的离心率为( ) A.√22B.12C.14D.√32A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2,y 1+y 2=1,又因为A ,B 在椭圆上,所以x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1,两式相减,得y 1-y 2x 1-x 2·y 1+y2x 1+x 2=-b 2a 2,∵k AB =y 1-y 2x 1-x 2=k FP =-bc,k OM =y 1+y 2x 1+x 2=12,∴bc =2b 2a 2,∴a 2=2bc ,平方可得a 4=4(a 2-c 2)c 2,∴c 2a 2=12,ca =√22.12.点A 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的右顶点,点P 为椭圆C 上一点(不与A 重合),若PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0(O 是坐标原点),则ca (c 为半焦距)的取值范围是( )A.12,1B.√22,1C.√32,1D.以上说法都不对设P (x 0,y 0)(x 0≠a ),∵PO⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0(O 是坐标原点),则点P 在以OA 为直径的圆上, ∴{(x 0-a 2) 2+y 02=a 24,b 2x 02+a 2y 02=a 2b 2,即c 2x 02-a 3x 0+a 2b 2=0,即(c 2x 0-ab 2)(x 0-a )=0, ∴x 0=a ,或x 0=ab 2c 2,∵x 0≠a ,故x 0=ab 2c 2,∴0<ab 2c 2<a.∴b 2<c 2,即a 2-c 2<c 2,∴ca>√22, ∴ca的取值范围是√22,1,故选B.13.(2020湖南五市十校高二上期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,以F 2为圆心的圆过椭圆C 的中心,且与C 在第一象限交于点P.若直线PF 1恰好与圆F 2相切于点P ,则C 的离心率为 ( )A.√3-1B.√3-12 C.√22D.√5-12,依题意得∠F 1PF 2=90°,|PF 2|=c ,∴|PF 1|=2a-c.又|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2, ∴(2a-c )2+c 2=4c 2,即c 2+2ac-2a 2=0,∴e 2+2e-2=0,解得e=√3-1或e=-√3-1(舍).故选A .14.(多选题)设A ,B 是椭圆C :x 24+y 2k=1长轴的两个顶点,若C 上存在点P 满足∠APB=120°,则k 的取值可以是( ) A.4B.2C.6D.12C 上存在点P 满足∠APB=120°,则只需当点P 在短轴顶点时∠APB ≥120°.故分析长半轴与短半轴的关系即可. 当焦点在x 轴时,若∠APB ≥120°,则{2≥√3×√k ,0<k <4⇒0<k ≤43, 当焦点在y 轴时,若∠APB ≥120°,则{√k ≥2×√3,k >4⇒k ≥12.故k ∈(0,43]∪[12,+∞),由选择项可知,AD 符合题意.15.(多选题)设椭圆的方程为x 22+y 24=1,斜率为k 的直线不经过原点O ,而且与椭圆相交于A ,B 两点,M为线段AB 的中点.下列结论正确的是( ) A.直线AB 与OM 垂直B.若点M 坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0C.若直线方程为y=x+1,则点M 坐标为(13,43) D.若直线方程为y=x+2,则|AB|=43√2y=kx+b ,联立{x 22+y 24=1,y =kx +b ,得到(k 2+2)x 2+2kbx+b 2-4=0, 设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),则有x A +x B =-2kbk 2+2,x A x B =b 2-4k 2+2, 所以y A +y B =k (x A +x B )+2b=-2k 2b+2k 2b+4bk 2+2=4bk 2+2,故中点M x A +x B 2,y A +y B2为-kb k 2+2,2b k 2+2.直线OM 的斜率k OM =-2bkb =-2k ,所以k ·k OM =-2≠-1,A 不正确; 若M (1,1),则x A +x B =-2kbk 2+2=2, y A +y B =4bk 2+2=2,解得k=-2,b=3,B 正确; 若y=x+1,则k=b=1,故x A +x B2=-kb k 2+2=-13,y A +y B2=2bk 2+2=23,C 不正确;若y=x+2,则k=1,b=2,|AB|=√k 2+1√(x A +x B )2-4x A x B =√2×√(-43) 2-4×0=4√23. 故D 正确.16.(2020河北石家庄二中高二上期中)已知点P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)上的一点,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,∠F 1PF 2=120°,且|PF 1|=3|PF 2|,则椭圆的离心率为 .|PF 2|=m (m>0),则|PF 1|=3m ,由∠F 1PF 2=120°得,|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cos120°, 即4c 2=9m 2+m 2+3m ·m , 因此,c=√132m.又2a=|PF 1|+|PF 2|=4m ,∴a=2m , ∴e=ca =√132m 2m=√134.17.(2020广东惠州高二上期末)椭圆x 29+y 225=1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ,则m 的最大值为 ,此时点P 的坐标为 . 解析设F 1,F 2为椭圆的两焦点,m=|PF 1|·|PF 2|≤|PF 1|+|PF 2|22=2a 22=a 2=25,当且仅当|PF 1|=|PF 2|=5时,等号成立.此时m 取最大值25,即点P 在短轴端点时,m 取最大值,所以此时点P 的坐标为(±3,0).(±3,0)18.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点P (√3,12),离心率是√32. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M (12,12),求直线l 与坐标轴围成三角形的面积.由已知可得ca =√32,3a 2+14b 2=1,c 2=a 2-b 2,解得a=2,b=1. ∴椭圆的方程为x 24+y 2=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入椭圆方程得x 124+y 12=1,x 224+y 22=1,两式相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)4+(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0,由中点坐标公式得x 1+x 2=1,y 1+y 2=1.∴直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-14,可得直线AB 的方程为y-12=-14(x -12),令x=0,可得y=58,令y=0,可得x=52,则直线l 与坐标轴围成的三角形面积为 S=12×58×52=2532.学科素养创新练19.已知椭圆C :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,短轴长为2√3.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若椭圆C 的左焦点为F 1,过点F 1的直线l 与椭圆C 交于D ,E 两点,则在x 轴上是否存在一个定点M 使得直线MD ,ME 的斜率互为相反数?若存在,求出定点M 的坐标;若不存在,请说明理由.据题意,得{2b =2√3,c a=12,c 2=a 2-b 2,解得a 2=4,b 2=3,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)存在.据题设知点F 1(-1,0),当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y=k (x+1). 由{y =k (x +1),x 24+y 23=1得(4k 2+3)x 2+8k 2x+4k 2-12=0.设E (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3.设M (m ,0),则直线MD ,ME 的斜率分别满足k MD =y 2x 2-m,k ME =y 1x 1-m.又因为直线MD ,ME 的斜率互为相反数, 所以k ME +k MD =y 1x 1-m+y 2x 2-m=x 2y 1+x 1y 2-m (y 1+y 2)(x 1-m )(x 2-m )=0,所以x 2y 1+x 1y 2-m (y 1+y 2)=0,所以x 2k (x 1+1)+x 1k (x 2+1)-m [k (x 1+1)+k (x 2+1)]=0,所以2kx 1x 2+k (x 1+x 2)-m [k (x 1+x 2)+2k ]=0, 所以2k ·4k 2-124k 2+3+k ·-8k 24k 2+3-m k ·-8k 24k 2+3+2k =0,所以k (m+4)=0.若k (m+4)=0对任意k ∈R 恒成立,则m=-4,当直线l 的斜率k 不存在时,若m=-4,则点M (-4,0)满足直线MD ,ME 的斜率互为相反数. 综上,在x 轴上存在一个定点M (-4,0),使得直线MD ,ME 的斜率互为相反数.。
高三数学椭圆试题答案及解析
高三数学椭圆试题答案及解析1.若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是()A．至多为1B．2C．1D．0【答案】B【解析】由题意知：>2，即<2，∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2．故选B．2.椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝()A．B．C．D．4【答案】A【解析】a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，则F1(－，0)，设P(－，m)(m>0)，则＋m2＝1，解得m＝，所以|PF1|＝，根据椭圆定义：|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2×2－＝．3.椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可知△ABF为直角三角形，其中|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由勾股定理，|AF|2＝|AB|2＋|BF|2即(a＋c)2＝a2＋b2＋a2＝2a2＋a2－c2，整理得c2＋ac－a2＝0，同除a2得e2＋e－1＝0，∴e＝，∵e∈(0,1)，∴e＝．4.设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的上焦点是F1，过点P(3,4)和F1作直线PF1交椭圆于A，B两点，已知A(，)．(1)求椭圆E的方程；(2)设点C是椭圆E上到直线PF1距离最远的点，求C点的坐标．【答案】（1）＋x2＝1 （2）(，－)【解析】(1)由A(，)和P(3,4)可求直线PF1的方程为y＝x＋1．令x＝0，得y＝1，即c＝1．椭圆E的焦点为F1(0,1)，F2(0，－1)，由椭圆的定义可知．2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝2．∴a＝，b＝1，所以椭圆E的方程为＋x2＝1．(2)设与直线PF1平行的直线l：y＝x＋m．，消去y得3x2＋2mx＋m2－2＝0，Δ＝(2m)2－4×3×(m2－2)＝0，即m2＝3，∴m＝±．要使点C到直线PF1的距离最远，则直线l要在直线PF1的下方，所以m＝－．此时直线l与椭圆E的切点坐标为(，－)，故C(，－)即为所求．5.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.（1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.【答案】（1）；（2），或..【解析】（1）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为，由题意知解得，即可求出的方程；（2）由（1）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.由在上，得，显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点由得，因由题意知，所以，将韦达定理得到的结果代入式整理得，解得或，即可求出直线l的方程.（1）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为，由题意知解得，故方程为.（2）由（1）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.由在上，得，显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点由得，又是方程的根，因此，由得因由题意知，所以，将①，②，③，④代入⑤式整理得，解得或，因此直线l的方程为，或.【考点】1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系.6.已知椭圆的离心率为，过的左焦点的直线被圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）设的右焦点为，在圆上是否存在点，满足，若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）圆上存在两个不同点，满足..【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、点到直线的距离公式、垂径定理、圆的标准方程、两个圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力，考查学生的数形结合思想.第一问，利用直线方程得到椭圆的左焦点坐标，再结合离心率，得到椭圆的标准方程；第二问，利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，由已知弦长为，则由垂径定理得到圆的半径，从而得到圆的标准方程，利用两点间的距离公式得到和，代入已知中，得到P点的轨迹方程为圆，利用两个圆的位置关系判断两个圆相交，所以存在点P.因为直线的方程为，令，得，即 1分∴，又∵，∴，∴椭圆的方程为. ４分（2）∵圆心到直线的距离为，又直线被圆截得的弦长为，∴由垂径定理得，故圆的方程为. ８分设圆上存在点，满足即，且的坐标为，则，整理得，它表示圆心在，半径是的圆。
高中椭圆练习题(有答案,必会基础题!)
一、选择题：1.下列方程表示椭圆的是（）A.22199x y +=B.2228x y --=- C.221259x y -= D.22(2)1x y -+= 2.动点P 到两个定点1F （- 4，0）.2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（） A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D .不能确定3.已知椭圆的标准方程22110y x +=，则椭圆的焦点坐标为（）A.(B.(0,C.(0,3)±D.(3,0)±4.椭圆222222222222211()x y x y a b k a b a k b k+=+=>>--和的关系是 A ．有相同的长.短轴B ．有相同的离心率 C ．有相同的准线D ．有相同的焦点5.已知椭圆22159x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（）A.3B.2C.3D.66.如果22212x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--⋃+∞ C.(,1)(2,)-∞-⋃+∞ D.任意实数R 7.“m>n>0”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆的”（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 8.椭圆的短轴长是4，长轴长是短轴长的32倍，则椭圆的焦距是（）B.4C.6D.9.关于曲线的对称性的论述正确的是（） A.方程220x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程330x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2210x xy y -+=的曲线关于原点对称D.方程338x y -=的曲线关于原点对称第11题10.方程 22221x y ka kb +=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22221x y a b+=（a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）. A.有相同的离心率；B.有共同的焦点；C.有等长的短轴.长轴； D.有相同的顶点. 二、填空题：（本大题共4小题，共20分.）11.（6分）已知椭圆的方程为：22164100x y +=，则a=___，b=____，c=____，焦点坐标为：___ __，焦距等于______;若CD 为过左焦点F1的弦，（如图）则∆2F CD 的周长为________.12.（6分）椭圆221625400x y +=的长轴长为____，短轴长为____，焦点坐标为 四个顶点坐标分别为___ ，离心率为 ；椭圆的左准线方程为 13.（4分）比较下列每组中的椭圆：（1）①229436x y += 与②2211216x y += ，哪一个更圆 （2）①221610x y +=与②22936x y +=，哪一个更扁 14.（4分）若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（30分）求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，-3），（0,3），椭圆的短轴长为8；（2）两个焦点的坐标分别为（），），并且椭圆经过点2)32F CcD1F（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点12P P 、16.（12分）已知点M 在椭圆221259x y +=上，M 'P 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂直为'P ，并且M 为线段P 'P 的中点，求P 点的轨迹方程17.（12分）设点A ，B 的坐标为(,0),(,0)(0)a a a ->，直线AM,BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为(01)k k k ->≠且求点M 的轨迹方程，并讨论k 值与焦点的关系.18.（12分）当m 取何值时，直线l ：y x m =+与椭圆22916144x y +=相切，相交，相离？19.(14分)椭圆221(045)45x y m m+=<<的焦点分别是1F 和2F ，已知椭圆的离心率e =过中心O 作直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为原点，若2ABF 的面积是20， 求：（1）m 的值（2）直线AB 的方程参考答案1.选择题：二.填空题：11 10,8，6，（0，6±），12，40 12 10，8，（3,0±），（-5,0）.（5,0）.（0，-4）.（0,4），35，253x =-13 ②，② 14 35三.解答题：15.（1）解：由题意，椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>由焦点坐标可得3c =，短轴长为8，即28,4b b ==，所以22225a b c =+=∴椭圆的标准方程为2212516y x += （2）由题意，椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>由焦点坐标可得c=2a ==6所以2b =22a c -=9-5=4，所以椭圆的标准方程为22194x y += (3)设椭圆的方程为221mx ny +=（0,0m n >>），因为椭圆过12P P 、61321m n m n +=+=⎧∴⎨⎩解得1913m n ==⎧⎨⎩所以椭圆的标准方程为：22193x y += 16.解：设p 点的坐标为(,)p x y ，m 点的坐标为00(,)x y ，由题意可知000022y y x x x x y y ====⎧⎧⇒⎨⎨⎩⎩ ① 因为点m 在椭圆221259x y +=上，所以有 22001259x y += ② ， 把①代入②得2212536x y +=，所以P 点的轨迹是焦点在y 轴上，标准方程为2212536x y +=的椭圆. 17.解：设点M 的坐标为(,)x y ，因为点A 的坐标是(,0)a -，所以，直线AM 的斜率()AM y k x a x a =≠-+，同理直线BM 的斜率()BM y k x a x a=≠-.由已知有(),y yk x a x a x a=-≠±+-化简得点M 的轨迹方程为22221()x y x a a ka +=≠± 当01k <<时，表示焦点在x 轴上的椭圆；当1k >时，表示焦点在y 轴上的椭圆.18.解：{22916144y x m x y =++=…… … … ①②①代入②得22916()144x x m ++=化简得222532161440x mx m ++-=222(32)425(16144)57614400m m m ∆=-⨯-=-+当0,∆=即5m =±时，直线l 与椭圆相切； 当0∆>，即55m -<<时，直线与椭圆相交； 当0∆<，即5m <-或5m >时，直线与椭圆相离. 19.解：（1）由已知c e a ==，a ==5c =， 所以222452520m b a c ==-=-=（2）根据题意21220ABF F F B SS==，设(,)B x y ，则121212F F BSF F y =，12210F F c ==，所以4y =±，把4y =±代入椭圆的方程2214520x y +=，得3x =±，所以B 点的坐标为34±±（，），所以直线AB 的方程为4433y x y x ==-或。
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人教版高中数学必修三单元测试椭圆及答案The document was prepared on January 2, 2021（9）椭圆一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 （ ）A ．(0, +∞)B ．(0, 2)C ．(1, +∞)D ．(0, 1)2．直线y = x +1被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是 （ ）A ．(31, -32)B ．．(-32, 31) C ．(21, -31) D ．(-31,21)3．平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么（ ）A ．甲是乙成立的充分不必要条件B ．甲是乙成立的必要不充分条件C ．甲是乙成立的充要条件D ．甲是乙成立的非充分非必要条件4．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于 （ ）A ．21 B ．2 C ．22 D ．25．椭圆13222=+y x 的中心到准线的距离是（ ）A ．2B ．3C ．2D ． 36．椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段P F 1的中点在y 轴上，那么|P F 1|是|PF 2|的 （ ）A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍7．椭圆4 x 2+y 2=k 两点间最大距离是8，那么k =（ ）A ．32B ．16C ．8D ．48．中心在原点，准线方程为x =±4，离心率为21的椭圆方程是（ ）A ． 13422=+y xB ． 14322=+y xC ． 42x + y 2=1D ． x 2+42y =19．直线)(01R k kx y ∈=--与椭圆1522=+by x 恒有公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，5）C ．),5()5,1[+∞D ．),1(+∞10．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短是距离为3，这个椭圆方程为（ ）A ．112919122222=+=+y x y x 或 B ．112922=+y xC ．191222=+y x D ．以上都不对二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．椭圆x 2+4y 2=1的离心率是 ．12．设椭圆12222=+by a x （a >b >0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是 ．13．一个椭圆的离心率为e=，准线方程为x =4，对应的焦点F （2，0），则椭圆的方程为 ．14．椭圆14922=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点．当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．求椭圆θθθ(sin 3cos 5⎩⎨⎧==y x 为参数）的准线方程．（12分）16．求经过点P （1，1），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的中心的轨迹方程．（12分）17．若直线y =x +t 与椭圆1422=+y x 相交于A 、B 两点，当t 变化时，求|AB|的最大值．(12分)18．已知椭圆的中心在原点O ，焦点在坐标轴上，直线y = x +1与该椭圆相交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆的方程．（12分）19．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e=23，已知点P （0，23）到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．（14分）20．设椭圆方程为18422=+y x ，过原点且倾斜角为)20(πθθπθ<<-和的两条直线分别交椭圆于A 、C 和B 、D 两点．（1）用θ表示四边形ABCD 的面积S ；（2）当)4,0(πθ∈时，求S 的最大值．（14分）参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．e=23 12．2113．3 x 2+4 y 2-8 x =0 14．-53< x <53三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[解析]：由⎩⎨⎧==θθsin 3cos 5y x ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒θθ2222sin 9cos 5y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒θθ2222sin 9cos 5y x 又因为1cos sin 22=+θθ，得52x +92y =1，由此可得a =3，b=5，c=2所以准线方程292±=±=c a y ．16．（12分）[解析]：因为椭圆经过点P （1，1），又以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴的右边．设椭圆中心Q c a e y x 221),,(=∴=．而中心Q 到准线的距离为ca x 2=． 4x c =∴),43(),,(11y x F y c x F 即为左焦点-∴由椭圆的第二定义得41)1()143(41211||22211=-+-⇒=⇒=y x PF PF 即椭圆的中心的轨迹方程是：1)1(44)34(922=-+-y x17．（12分）[解析]：以y = x +t 代入1422=+y x ，并整理得0448522=-++t tx x ① 因为直线与椭圆相交，则△=0)44(206422>--t t ，所以52<t，即55<<-t ，设A （11,y x ），B （22,y x ），则A （t x x +11,），B （t x x +22,），且21,x x 是方程①的两根．由韦达定理可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+5)1(45822121t x x t x x ， 所以，弦长|AB|2=221)(x x -+221)(y y -=2221)(x x - =2[221)(x x +214x x ⋅-]=2[2)58(t -5)1(442-⋅-t ]得 |AB|=25254t -⋅所以当t=0时，|AB|取最大值为1054． 18．（12分）[解析]：设所求椭圆的方程为12222=+by a x ，依题意，点P （11,y x ）、Q （22,y x ）的坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+112222x y by a x 解之并整理得0)1(2)(222222=-+++b a x a x b a或0)1(2)(222222=-+-+a b y b y b a所以222212b a a x x +-=+，222221)1(ba b a x x +-= ① 222212b a b y y +=+，222221)1(b a a b y y +-=②OPQ xy由OP ⊥OQ 02121=+⇒y y x x 22222b a b a =+⇒ ③又由|PQ |=2102212212)()(y y x x PQ -+-=⇒=25 21221212214)(4)(y y y y x x x x -++-+⇒=2521221212214)(4)(y y y y x x x x -++-+⇒=25④由①②③④可得：048324=+-b b 32222==⇒b b 或 23222==⇒a a 或故所求椭圆方程为123222=+y x ，或122322=+y x 19．（14分）[解析]：（1）由题设e=23可得a 2=4b 2， 于是，设椭圆方程为222222244,14y b x by b x -==+即 又设M （x ，y ）是椭圆上任意一点，且b y b ≤≤-，所以49344)23(222222+-+-=-+=y y y b y x PM34)21(322+++-=b y因为b y b ≤≤-，所以①若b<21，当y =-b 时，2PM 有最大值为4932++b b =2)7( 解得21237>-=b 与b<21相矛盾（即不合题意）．②若b 21≥，当y =-21时，2PM 有最大值为342+b =2)7(解得 b=1，a =2．故所求椭圆方程为1422=+y x ．（2） 把y =-21代入1422=+y x 中，解得3±=x ，因此椭圆上的点（3，21-），（3-，21-）到点P 的距离都是7 20．（14分）[解析]：（1）设经过原点且倾斜角为θ的直线方程为y = x tan θ，代入18422=+y x ，求得θθθ22222tan 48tan 32,tan 4832+=+=y x ．由对称性可知四边ABCD 为矩形，又由于)20(πθ<<，所以四边形ABCD 的面积S=4| x y |θθ2tan 2tan 32+=．（2）当40πθ≤<时， 1tan 0≤<θ，设t=tan θ，则S 2232t t +=tt+=232，)10(≤<t设t t t f +=2)(，因为)(t f 在（0，1]上是减函数，所以3112)1()(min =+==f t f ． 所以，当θ=4π时，332max =S ．。