运筹学课后习题三
运筹学第三章习题答案详细
运筹学第三章习题答案详细运筹学是一门研究如何有效地做出决策的学科，它运用数学和逻辑的方法来解决实际问题。
在运筹学的学习中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和应用。
本文将详细解答运筹学第三章的习题，帮助读者更好地掌握该章节的内容。
第一题是关于线性规划的基本概念和性质的。
线性规划是运筹学中的重要分支，它的目标是在一组约束条件下，找到使目标函数最大或最小的变量值。
这个问题可以用一个线性规划模型来描述，其中包括决策变量、目标函数和约束条件。
在解答这个问题时，我们需要先确定决策变量、目标函数和约束条件，然后使用线性规划的方法求解最优解。
具体的计算过程可以通过线性规划的算法来完成。
第二题是关于线性规划的图解法的。
线性规划的图解法是一种直观的解法，它通过绘制变量的可行域和目标函数的等高线图来求解最优解。
在解答这个问题时，我们需要先将约束条件转化为直线或者曲线的形式，然后绘制出这些直线或曲线，并确定它们的交点。
最后，我们需要在可行域内找到使目标函数取得最大或最小值的点，这个点就是线性规划的最优解。
第三题是关于整数规划的应用的。
整数规划是线性规划的一种特殊形式，它要求决策变量取整数值。
在解答这个问题时，我们需要先确定整数规划的模型，包括决策变量、目标函数和约束条件。
然后，我们可以使用整数规划的算法来求解最优解。
在实际应用中，整数规划可以用来解决很多实际问题，比如生产计划、运输调度等。
第四题是关于线性规划的灵敏度分析的。
灵敏度分析是线性规划中的一种重要技术，它用来分析目标函数系数、约束条件右端常数和决策变量上下界的变化对最优解的影响。
在解答这个问题时，我们需要计算目标函数系数、约束条件右端常数和决策变量上下界的变化对最优解的影响程度，并进行相应的调整。
通过灵敏度分析，我们可以了解到线性规划模型对参数变化的敏感性，从而做出更加准确的决策。
第五题是关于线性规划的对偶问题的。
线性规划的对偶问题是线性规划的一个重要概念，它可以用来求解原始问题的最优解。
运筹学习题答案(第三章)
page 15 3 April 2020
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第三章习题解答
表3-35
食品厂
面粉厂
1
2
3
产量
Ⅰ
3 10
2 20
Ⅱ
4 11
8 30
Ⅲ
8 11
4 20
销量
15 25 20
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第三章习题解答
(4)若所有价值系数均乘以2，最优解是否改变？ 为什么?
答：最优解不变。因为检验数不变。
(5)写出该运输问题的对偶问题，并给出其对偶问 题的最优解。
解：对偶问题如下：
m
n
max Z aiui bjv j
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第三章习题解答
3.7 试判断表3-30和表3-31中给出的调运方案可 否作为表上作业法迭代时的基可行解?为什么?
答：都不是。数字格的数量不等于m+n-1。
销地
产地
B1
A1
0
A2
A3
5
销量
5
表3-30
B2
B3
15 15
3
8
56
3
3
2
2
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第三章习题解答
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题(第1章 线性规划与单纯形法——第3章 运输问题)【圣才出品】
②因为 P1 、 P3 线性无关，故有
2xx11
x3 8 6x3
3x2 3 2x2
4
x4 7 x4
令非基变量
x2
x4
0 ，解得
x1
45 13 , x3
14 13
，故
X (2)
45 13
,
0,
14 13
,
0
T
不是可
行解。
③因为 P1 、x2 3 2x2
x3 6x3
令非基变量
x2
x3
0 ，解得
x1
34 5 , x4
7 5
，故有基可行解
X
(3)
34 5
, 0, 0,
7
T
5
，
z3
117 5
。
④因为 P2 、 P3 线性无关，故有
32xx22
x3 8 6x3
2 3
x1 x1
4x4 7 x4
令非基变量
x1
x4
0 ，解得
4x1 x2 2x3 x4 2
s.t.
x1
x2
2x1
3x3 3x2
x4 x3
14 2x4
2
x1, x2 , x3 0, x4无约束
解：令 x4 x4 ' x4 ''，且 x4 ', x4 '' 0 ；在第一个约束条件两边同时乘以-1 后引入人工
变量 x5 ，在第二个约束条件右端加上松弛变量 x6 ；在第三个约束条件右端减去剩余变量 x7 ，
令非基变量
x1
x3
0 ，解得
X
(5)
0,
68 , 0, 29
《运筹学》课后习题答案 第3章 运输问题
一、选择题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.二、判断题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.三、表上作业法 3. 解：可知，有初始基本可行解1112132122230,10,20,10,35,0x x x x x x ======用闭回路法计算非基变量的检验数：1123(56)(84)10(98)(67)40σσ=+-+=-<=+-+=>因为110σ<，该解并不是最优解。
进行换基迭代，让11x 进基，考虑上述闭回路，调整量min(10,10)10θ==，调整后得到新的调运方案：A2 4 0645945销量10 45 20计算非基变量的检验数得：1223(84)(56)10(95)(47)30σσ=+-+=>=+-+=>故此方案为最优方案，最优解为：11121321222310,0,20,0,45,0x x x x x x ======最优值min 105207456460Z =⨯+⨯+⨯=用电子表格模型求解进行验算：4. 解：用西北角法求得初始基本可行解：1112131421222324313233344,0,0,0;1,2,4,2;0,0,0,4;x x x x x x x x x x x x ============ 用位势法计算检验数：1111212121131322214142233131324323243433333106()210167()861012()9455()12194()731010()47u u v u v v u v u v u u v u v v u v u v v u v u v v u v u v u σσσσσσ=⎧+==-+=⎧⎧⎪=⎪⎪⎪+==-+=⎪⎪⎪=⎪⎪++=-+=⎪⎪⇒=⇒⎨⎨⎨+==-+=-⎪⎪=-⎪⎪+==-+=-=⎪⎪+==-+=⎪⎪⎩=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩因为3132,σσ小于0，该解不是最优解。
2021年运筹学习题集(第三章)
判 断 题判断正误，如果错误请更正第三章 整数数列 1.整数规划的最优解是先求相应的线形规划的最优解然后取整得到。
2.部分变量要求是整数的规划问题称为纯整数规划。
3.求最大值问题的目标函数值是个分支函数值的上界。
4.求最小值问题的目标函数值是个分支函数值的下界。
5.变量取0或1的规划是整数规划。
6.整数规划的可行解集合是离散型集合。
7. 高莫雷约束是将可行域中一部分非整数解切割掉。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第三章 整数规划1. maxZ=3x1+2x2,2x1+3x2<=14,x1+0.5x2<=4.5,x1,x2>=0且为整数，对应线性规划的最优解是（3.25，2.5），它的整数规划的最优解是 A （4，1）B （4，3）C （3，2）D （2，4）2. 下列说法正确的是 A 整数规划问题最优值优于其相应的线性规划问题的最优值 B 用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解 C 用分支定界法求解一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界，在进行比较减支 D 分支定界法在求解整数规划问题时，借用线性规划单纯形法的基本思想，在求相应的线性模型解的同时，逐步加入对个变量的整数要求限制，从而把原整数规划问题通过分支迭代求出最优解。
3. x1是要求是非负整数，它的来源行是x1-5/3x4+7/3x5=8/3,高莫雷方程是 A -1/3x4-1/3x5<=-2/3 B -x4-x5<=-2 C x4+x5-s=2 D -1/3x4-1/3x5+s=-2/3 Ex4+x5+s=24. 分支定界法中 A 最大值问题的目标值是个分支的下界 B 最大值问题的目标值是个分支的上界 C 最小值问题的目标值是个分支的上界 D 最小值问题的目标值是个分支的下界5. maxZ=3x1+x2,4x1+3x2<=7,x1+2x2<=4,x1,x2=0或1，最优解是 A （0，0） B （0，1）C （1，0） D （1，1）计算题3.1 用分支定界法求以下纯整数规划问题：max z = 3x 1 + 7x 2s.t. x 1 + 3/2x 2 ≤ -1/5x 1 +1/5 x 2 ≤ x 1 x 2 ≥ 0x 1, x 2 为整数则整数最优解为X1=1，X2=3，最优值为maxZ=24 3.2用割平面法求以下纯整数规划问题。
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3.1（1）解：, 53351042..715min 212112121≥≥+≥≥++=y y y y y y y t s y y ω（2）解：无限制32132131323213121,0,0 2520474235323..86max y y y y y y y y y y y y y y y t s y y ≤≥=++≤-=+≥+--≤++=ω3.4解：例3原问题6,,1,0603020506070..min 166554433221654321 =≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=j x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x z j对偶问题：6,,1,0111111..603020506070max 655443322161654321 =≥≤+≤+≤+≤+≤+≤++++++=j y y y x y y y y y y y y y t s y y y y y y j ω3.5解：（1）由最优单纯形表可以知道原问题求max ，其初始基变量为54,x x ，最优基的逆阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-31610211B 。
由P32式（2.16）（2.17）（2.18）可知b B b 1-='，5,,1,,1 ='-=='-j P C c P B P j B j j j j σ，其中b 和j P 都是初始数据。
设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21b b b ，5,,1,21 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j a a P j j j ，()321,,c c c C =，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒='-25253161021211b b b B b ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=2531612521211b b b ，解得⎩⎨⎧==10521b b ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⇒='-0211121031610212322211312111a a a a a a P B P j j ，即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-=-=+-==+-=03161121213161212113161021231313221212211111a a a a a a a a a ，解得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-====121130231322122111a a a a a a()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=---⇒'-=31612102121,0,0,2,4,4132c c c P C c j B j j σ，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=+--=+-2314612142121113132c c c c c c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=6102132c c c所以原问题为：,, 10352..1026max 32132132321≥≤+-≤++-=x x x x x x x x t s x x x z 对偶问题为：, 102263..105min 212121221≥≥+-≥-≥+=y y y y y y y t s y y ω（2）由于对偶问题的最优解为()()()2,4,,5454*=-=-=σσσc c C Y IB IB3.6解：（1）因为3x 的检验数0353≤⨯-c ，所以3c 的可变范围是153≤c 。
运筹学课后习题答案
运筹学课后习题答案运筹学课后习题答案运筹学是一门研究如何在有限资源下做出最优决策的学科。
它涉及到数学、统计学和计算机科学等多个领域，旨在解决实际问题中的优化和决策难题。
在学习运筹学的过程中，课后习题是巩固知识和理解概念的重要方式。
下面将为大家提供一些运筹学课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题线性规划是运筹学中最基本的问题之一。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小值的决策变量的取值。
以下是一个线性规划问题的示例及其答案：问题：某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为3万元，产品B的利润为4万元。
产品A每单位需要2个工时，产品B每单位需要3个工时。
公司总共有40个工时可用。
如果公司希望最大化利润，应该生产多少单位的产品A和产品B？答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y。
根据题目中的约束条件可得到以下线性规划模型：目标函数：Maximize 3x + 4y约束条件：2x + 3y ≤ 40x ≥ 0, y ≥ 0通过求解这个线性规划模型，可以得到最优解为x = 10，y = 10。
也就是说，公司应该生产10个单位的产品A和10个单位的产品B，以最大化利润。
2. 项目管理问题项目管理是运筹学的一个重要应用领域。
它涉及到如何合理安排资源、控制进度和降低风险等问题。
以下是一个项目管理问题的示例及其答案：问题：某公司需要完成一个项目，该项目包含5个任务。
每个任务的完成时间和前置任务如下表所示。
为了尽快完成项目，应该如何安排任务的执行顺序？任务完成时间（天）前置任务A 4 无B 6 无C 5 AD 3 BE 7 C, D答案：为了确定任务的执行顺序，可以使用关键路径方法。
首先，计算每个任务的最早开始时间和最晚开始时间。
然后，找到所有任务的最长路径，即关键路径。
关键路径上的任务不能延迟，否则会延误整个项目的完成时间。
根据上表中的信息，可以得到以下关键路径：A → C → E，最长时间为4 + 5 + 7 = 16天因此，任务的执行顺序应为A → C → E。
《运筹学》(第二版)课后习题参考答案
生产工序
所需时间（小时）
每道工序可用时间（小时）
1
2
3
4
5
成型
3
4
6
2
3
3600
打磨
4
3
5
6
4
3950
上漆
2
3
3
4
3
2800
利润（百元）
2.7
3
4.5
2.5
3
解：设 表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,…,5），则
s.t.
通过LINGO软件计算得： ．
11．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。
－10/3
－2/3
0
故最优解为 ，又由于 取整数，故四舍五入可得最优解为 , ．
（2）产品丙的利润 变化的单纯形法迭代表如下：
10
6
0
0
0
b
6
200/3
0
1
5/6
5/3
－1/6
0
10
100/3
1
0
1/6
－2/3
1/6
0
0
100
0
0
4
－2
0
1
0
0
－20/3
－10/3
－2/3
0
要使原最优计划保持不变，只要 ，即 ．故当产品丙每件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。
答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；
（2）多重最优解：无穷多个最优解；
（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；
运筹学课后习题及答案
运筹学课后习题及答案运筹学是一门应用数学的学科，旨在通过数学模型和方法来解决实际问题。
在学习运筹学的过程中，课后习题是非常重要的一部分，它不仅可以帮助我们巩固所学的知识，还可以提升我们的解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些运筹学课后习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题线性规划是运筹学中的一个重要分支，它旨在寻找线性目标函数下的最优解。
以下是一个线性规划问题的例子：Max Z = 3x + 4ySubject to:2x + 3y ≤ 10x + y ≥ 5x, y ≥ 0解答：首先，我们可以画出约束条件的图形，如下所示：```y^|5 | /| /| /| /|/+-----------------10 x```通过观察图形，我们可以发现最优解点是(3, 2)，此时目标函数取得最大值为Z = 3(3) + 4(2) = 17。
2. 整数规划问题整数规划是线性规划的一种扩展，它要求变量的取值必须是整数。
以下是一个整数规划问题的例子：Max Z = 2x + 3ySubject to:x + y ≤ 52x + y ≤ 8x, y ≥ 0x, y为整数解答：通过计算，我们可以得到以下整数解之一：x = 2, y = 3此时，目标函数取得最大值为Z = 2(2) + 3(3) = 13。
3. 网络流问题网络流问题是运筹学中的另一个重要分支，它研究的是在网络中物体的流动问题。
以下是一个网络流问题的例子：有一个有向图，其中有三个节点S、A、B和一个汇点T。
边的容量和费用如下所示：S -> A: 容量为2，费用为1S -> B: 容量为3，费用为2A -> T: 容量为1，费用为1B -> T: 容量为2，费用为3A -> B: 容量为1，费用为1解答：通过使用最小费用最大流算法，我们可以找到从源点S到汇点T的最小费用流量。
在该例中，最小费用为5，最大流量为3。
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
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第一章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 复习思考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 第二章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 复习思考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 第 三 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 复 习 思 考 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 第 四 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 复 习 思 考 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 第 五 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 复 习 思 考 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 第 六 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 复 习 思 考 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 第 七 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 复 习 思 考 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
运筹学第三章课后习题答案
量 1 2 34
4 51 34
6 8 302
④
A2 A3 销量
31
2
25
30 8 1 1 5
⑤
3
7 15
1 4 224 ⑥
6
5
6
3
列12 罚22 数3
vj 4
111 11 11 1
②
①⑦
③
2020/1/1
9
从上表计算知：x12=5，x13=3，x21=3，x23=2，x24=3， x33=1。总费用=5×1＋3×4＋3×1＋2×5＋3×0＋ 1×5=35，在上述三种计算方法中，这种方法计算所需 运输费用是最省的。但还不知是否最优。现用闭回路法 检验如下： 闭回路法检验如下：
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第一个闭回路σ11，走4→1→5→4线路
产地 销地
A1
B1
B2
B3
45 13 4
B4
6
A2 3 1
22 5 3 0
A3 销量
3
71 5
1
6
5
6
3
产量
8 8 4
σ11=4-1+5-4=4
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第二闭回路σ14，走6→0→5→4线路
产地 销地
A1
B1
B2
B3
45 13 4
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①最小元素法求解：
销地 B1
B2
产地
A1
13
7
A2
22
4
A3
4
33
销量
3
3
B3
B4 B5 产量
6 3 28 2
1 4 30
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划及单纯形法1．用X j （j=1.2…5）分别代表5中饲料的采购数，线性规划模型：12345123412341234min 0.20.70.40.30.8.3267000.50.2300.20.8100(1,2,3,4,5,6)0j z x x x x x st x x x x x x x x x x x x x x x x j =+++++++≥+++≥+++≥=≥555 +18 +2 0.5+2 2.解：设123456x x x x x x x 表示在第i 个时期初开始工作的护士人数，z 表示所需的总人数，则123456161223344556min .607060502030(1,2.3.4.5.6)0i z x x x x x x st x x x x x x x x x x x x x i =++++++≥+≥+≥+≥+≥+≥=≥ 3．解：设用i=1，2，3分别表示商品A ，B ，C ，j=1，2，3分别代表前，中，后舱，Xij 表示装于j 舱的i 种商品的数量，Z 表示总运费收入则：111213212223313233111213212223313233112131122232132333112131max 1000()700()600().6001000800105740010575400105715008652000z x x x x x x x x x st x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++++≤++≤++≤++≤++≤++≤++≤ 122232132333112131122232132333122232112131132333865300086515008650.158658650.158658650.18650(1,2.3.1,2,3)ij x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j ++≤++≤++≤++++≤++++≤++≥== 5. （1）Z = 4（2）12121212max .6101207051038z x x st x x x x x x =++≤+≥≤≥≤≥ 解：如图：由图可得： **(10,6)16T x Z == ； 即该问题具有唯一最优解*(10,6)Tx =（3）无可行解(4)12121212max 56.22232,0z x x st x x x x x x =+-≥-+≤≥ 如图：由图知，该问题具有无界解。
管理运筹学(第五版)韩伯棠主编第三章 线性规划问题的计算机求解课后习题参考答案
第三章线性规划问题的计算机求解3-1（1）甲、乙两种柜的日产量是分别是4和8，这时最大利润是2720。
（2）油漆工艺生产增加1小时，可以使总利润提高13.333元。
（3）常数项的上下限是指常数项在指定的范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价格不变。
比如油漆时间变为100，因为100在40和160之间，所以其对偶价格不变仍为13.333。
（4）不变，因为还在120和480之间。
3-2（1）最优决策为截第一种钢板6张，第二种钢板7张。
（2）需要A种规格的小钢板成品个数在12和27范围内时，第一个约束条件的对偶价格不变。
（3）B种规格的小钢板成品的剩余变量值为4，表示此决策下，截得B种规格成品的实际数量比B种规格的成品的需求量多了4个。
3-3（1）农用车有12辆剩余。
（2）300到正无穷范围内。
（3）每增加一辆大卡车，总运费降低192元。
3-4（1）是最优解。
（2）此常数项在-∞到2范围内变化时，约束1的对偶价格不变。
3-5（1）圆桌和衣柜的生产件数分别是350和100件，这时最大利润是3100元。
（2）相差值为0代表，不需要对相应的目标函数系数进行改进就可以生产该产品。
（3）最优解不变，因为C1允许增加量200-6=140；C2允许减少量为100-30=70，所有允许增加百分比和允许减少百分比之和（75-60）/140+（100-90）/70＜100%，所以最优解不变。
3-6（1）1150x=，270x=，即产品I的产量为150，产品II的产量为70；目标函数最优值103 000，即最大利润为103 000。
（2）1、3车间的加工工时数已使用完；2、4车间的加工工时数没用完；没用完的加工工时数为2车间330小时，4车间15小时。
（3）50，0，200，0。
含义：1车间每增加1工时，总利润增加50元；3车间每增加1工时，总利润增加200元；2车间与4车间每增加一个工时，总利润不增加。
（4）3车间，因为增加的利润最大。
运筹学课后习题及答案
运筹学课后习题及答案在运筹学这门课程中，课后习题是帮助学生巩固理论知识和提高解决实际问题能力的重要环节。
以下是一些典型的运筹学课后习题及答案，供学生参考和练习。
习题1：线性规划问题问题描述：一个工厂需要生产两种产品A和B，每种产品都需要使用机器1和机器2。
产品A每单位需要机器1工作3小时，机器2工作2小时；产品B每单位需要机器1工作2小时，机器2工作4小时。
机器1每天最多工作24小时，机器2每天最多工作20小时。
如果产品A每单位的利润是500元，产品B每单位的利润是600元。
假设工厂希望最大化利润，问应该生产多少单位的产品A和B？解答：首先，设产品A的产量为x，产品B的产量为y。
根据题目条件，我们可以得到以下两个约束条件：\[ 3x + 2y \leq 24 \]\[ 2x + 4y \leq 20 \]目标函数是利润最大化，即：\[ \text{Maximize} \ P = 500x + 600y \]通过图解法或单纯形法，我们可以得到最优解为x=4，y=3。
此时，利润最大化为\( P = 500 \times 4 + 600 \times 3 = 3800 \)元。
习题2：网络流问题问题描述：一个供水系统由多个泵站和水库组成，需要确保每个水库都有足够的水量供应。
已知每个泵站的供水能力以及每个水库的需求量。
如何分配泵站的供水量，以满足所有水库的需求？解答：首先，需要构建一个网络流图，其中节点代表泵站和水库，边代表供水路径。
每条边的容量表示泵站的供水能力，每条边的流量表示实际供水量。
目标是找到满足以下条件的网络流：- 每个泵站的总流出量等于其供水能力。
- 每个水库的总流入量等于其需求量。
- 网络中没有负流量。
使用最大流算法，如Ford-Fulkerson算法或Edmonds-Karp算法，可以找到满足上述条件的最大网络流。
习题3：整数规划问题问题描述：一个公司需要决定是否投资于三个不同的项目，每个项目都需要一定的资金和人力资源。
运筹学(胡运权版)第三章运输问题课后习题答案
P66： 8.某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点出售，各工厂A 1， A 2，A 3的生产量、各销售点B 1，B 2，B 3，B 4的销售量（假定单位为t ）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t ）示于下表中，问如何调运才能使总运费最小？解：一、该运输问题的数学模型为：可以证明：约束矩阵的秩为r (A) = 6. 从而基变量的个数为 6.34333231242322213141141312116115893102114124min x x x x x x x x x x x x x c z i j ij ij +++++++++++==∑∑==⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=++=++=++=++=+++=+++=+++4,3,2,1;3,2,1,01412148221016342414332313322212312111343332312423222114131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij 111213142122232431323334x x x x x x x x x x x x 712111111111111111111111111⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案）1. 最小元素法思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
其余（非基）变量全等于零。
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6).总运费为（目标函数值） ,1013=x ,821=x ,223=x ,1432=x ,834=x ,614=x ∑∑===3141i j ij ij x c Z 246685143228116410=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2. 伏格尔（Vogel)法伏格尔法的基本思想：运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值（罚数）应尽可能地小。
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案一、填空题1. 在线性规划问题中，若原问题存在最优解，则其对偶问题也一定存在最优解，这是线性规划的基本性质之一，称为______。
答案：对偶性2. 在线性规划问题中，若原问题与对偶问题均存在可行解，则它们均有______。
答案：最优解3. 对于线性规划问题，若原问题约束条件系数矩阵为A，目标函数系数向量为c，则其对偶问题的目标函数系数向量是______。
答案：c的转置（c^T）二、选择题1. 线性规划的原问题与对偶问题之间的关系是：A. 原问题的最优解和对偶问题的最优解相同B. 原问题的最优解是对偶问题的最优解的负数C. 原问题的最优解与对偶问题的最优解互为对偶D. 原问题的最优解和对偶问题的最优解没有关系答案：C2. 在线性规划中，若原问题不可行，则其对应的对偶问题：A. 可行B. 不可行C. 无界D. 无法确定答案：B三、判断题1. 线性规划的原问题和对偶问题具有相同的可行解。
（）答案：错误2. 若线性规划的原问题存在唯一最优解，则其对偶问题也一定存在唯一最优解。
（）答案：正确四、计算题1. 已知线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.x1 + 2x2 ≤ 42x1 + x2 ≤ 5x1, x2 ≥ 0求该问题的对偶问题，并求解原问题和对偶问题的最优解。
答案：对偶问题为：min w = 4y1 + 5y2s.t.y1 + 2y2 ≥ 32y1 + y2 ≥ 2y1, y2 ≥ 0原问题和对偶问题的最优解如下：原问题最优解：x1 = 2, x2 = 1，最大利润z = 8对偶问题最优解：y1 = 2, y2 = 1，最小成本w = 82. 某工厂生产甲、乙两种产品，生产一件甲产品需要2小时的机器时间和3小时的工人劳动时间，生产一件乙产品需要1小时的机器时间和1小时的工人劳动时间。
工厂每周最多能使用12小时的机器时间和9小时的工人劳动时间。
《运筹学》 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及 答案
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？2．简述对偶单纯形法的计算步骤。
它与单纯形法的异同之处是什么？3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）0>+k n x ，其经济意 义是什么？7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量k n x +的检验数0>+kn σ（标准形为求最小值），其经济意义是什么？8．将i j ji bc a ,,的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。
2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。
4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。
5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。
6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0>*i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源已经完全用尽。
7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0=*i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源一定还有剩余。
8．对于i j ji bc a ,,来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 之后，线性规划的最优解就会发生变化。
9．若某种资源的影子价格为u ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加 u k 。
10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量0<i x ，且i x 所在行的 所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划及单纯形法1．用X j （j=1.2…5）分别代表5中饲料的采购数，线性规划模型：12345123412341234min 0.20.70.40.30.8.3267000.50.2300.20.8100(1,2,3,4,5,6)0j z x x x x x st x x x x x x x x x x x x x x x x j =+++++++≥+++≥+++≥=≥555 +18 +2 0.5+2 2.解：设123456x x x x x x x 表示在第i 个时期初开始工作的护士人数，z 表示所需的总人数，则123456161223344556min .607060502030(1,2.3.4.5.6)0i z x x x x x x st x x x x x x x x x x x x x i =++++++≥+≥+≥+≥+≥+≥=≥ 3．解：设用i=1，2，3分别表示商品A ，B ，C ，j=1，2，3分别代表前，中，后舱，Xij 表示装于j 舱的i 种商品的数量，Z 表示总运费收入则：111213212223313233111213212223313233112131122232132333112131max 1000()700()600().6001000800105740010575400105715008652000z x x x x x x x x x st x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++++≤++≤++≤++≤++≤++≤++≤ 122232132333112131122232132333122232112131132333865300086515008650.158658650.158658650.18650(1,2.3.1,2,3)ij x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j ++≤++≤++≤++++≤++++≤++≥== 5. （1）Z = 4（2）12121212max .6101207051038z x x st x x x x x x =++≤+≥≤≥≤≥ 解：如图：由图可得： **(10,6)16T x Z == ； 即该问题具有唯一最优解*(10,6)Tx =（3）无可行解(4)12121212max 56.22232,0z x x st x x x x x x =+-≥-+≤≥ 如图：由图知，该问题具有无界解。
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习题三某公司今后三年内有五项工程可以考虑投资。
每项工程的期望收入和年度费用(万元)如表3-10所示。
表3-10工程费用收入第一年第二年第三年1、23455 1 84 7 25 9 67 5 28 6 930·40201530资金拥有量30 25 30【解】设1jjxj⎧=⎨⎩投资项目不投资项目，模型为12345123451234512345max30402015305457830795625826293001,1,,5jZ x x x x xx x x x xx x x x xx x x x xx j=++++++++≤⎧⎪++++≤⎪⎨++++≤⎪⎪=⎩＝或【最优解X＝(1,1,1,0,1)，Z=110万元，即选择项目1、2、3、5时总收入最大。
址问题。
以汉江、长江为界将武汉市划分为汉口、汉阳和武昌三镇。
某商业银行计划投资9000万元在武汉市备选的12个点考虑设立支行，如图3-10所示。
每个点的投资额与一年的收益见表3－10。
计划汉口投资2～3个支行，汉阳投资1～2个支行，武昌投资3～4个支行。
如何投资使总收益最大，建立该问题的数学模型，说明是什么模型，可以用什么方法求解。
表3-11地址i.12345678910[1112投资额(万元)90012001000750680800720；1150120012508501000收益（万元）400500450350—300400320460500510380400 j j图3-1012312123111244771212115588max 40050045040090012001000850100090002,3,1,2,3,4101,,12j j j j j j j j j j j j jZ x x x x x x x x x x x x x x x x j =======++++⎧+++++≤⎪⎪≥≤≥≤≥≤⎨⎪⎪==⎩∑∑∑∑∑∑或， …最优解：x1＝x5=x12=0，其余xj=1,总收益Z=3870万元，实际完成投资额8920万元。
一辆货车的有效载重量是20吨，载货有效空间是8××2 m 。
现有六件货物可供选择运输，每件货物的重量、体积及收入如表表3-12。
另外，在货物4和5中先运货物5，货物1和2不能混装，怎样安排货物运输使收入最大，建立数学模型。
表3-12【解j j j 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤+≤-≤+++++≤++++++++++=10105626547320274356376485max 2154654321654321654321或j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z女子体操团体赛规定：（1）每个代表队由5名运动员组成，比赛项目是高低杠、平衡木、鞍马及自由体操。
（2）每个运动员最多只能参加3个项目并且每个项目只能参赛一次；（3）每个项目至少要有人参赛一次，并且总的参赛人次数等于10；（4）每个项目采用10分制记分，将10次比赛的得分求和，按其得分高低排名，分数越高成绩越好。
已知代表队5名运动员各单项的预赛成绩如表3-13所示。
…表3-13怎样安排运动员的参赛项目使团体总分最高，建立该问题的数学模型。
【解】设x ij （i =1，2，…，5；j ＝1，2，3，4）为第i 人参赛j 项目的状态，即⎩⎨⎧=项目人不参赛第项目人参赛第j i j i x ij 01记第i 人参赛j 项目的成绩为C ij ,，目标函数∑∑===5141max i j ij ij x C Z每个运动员最多只能参加3个项目并且每个项目只能参赛一次,约束条件：{5,,2,134321 =≤+++i x x x x i i i i每个项目至少要有人参赛一次，并且总的参赛人次数等于10，约束条件：4,3,2,1154321=≥++++j x x x x x j j j j j105141=∑∑==i j ijx数学模型为54111234123455411max 31,2,,511,2,3,41010,1,2,,5;1,2,3,4ij iji j i i i i j j j j j ij i j ij Z C x x x x x i x x x x x j x x i j =====+++≤=⎧⎪++++≥=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪===⎩∑∑∑∑或 利用0－1变量对下列各题分别表示成一般线性约束条件\（1）x 1+2x 2≤8、4x 1+x 2≥10及2x 1+6x 2≤18 三个约束中至少两个满足 （2）若x 1≥5，则x 2≥10，否则x 2≤8 （3）x 1取值2，4，6，8中的一个高低杠 平衡木鞍马自由体操甲 <乙丙 ?丁戊:【解】12112212312228410(1)26181011,2,3jx x y Mx x y M x x y M y y y y j ⎧+≤+⎪+≥-⎪⎪+≤+⎨⎪++≤⎪⎪==⎩或， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+≤-≥-+<-≥10)1(810)1(55)2(2211或y M y x yM x M y x yM x ⎪⎩⎪⎨⎧===++++++=4,3,2,11018642)3(432143211j y y y y y y y y y x j ，或 6．考虑下列数学模型)()(m in 21x g x f Z +=其中⎩⎨⎧=>+=⎩⎨⎧=>+=0,00,1015)(,0,00,610)(22221111x x x x g x x x x f 若若若若 满足约束条件 （1）x 1≥8或x 2≥6&（2）|x 1－x 2|=0，4或8（3）x 1+2x 2≥20、2x 1+x 2≥20及x 1+x 2≥20 三个约束中至少一个满足 （4）x 1≥0，x 2≥0将此问题归结为混合整数规划的数学模型。
【解】）条件（）条件（）条件（）条件（，，或432111,2,110;0,0220202202188440)1(68;1015610min 211110911211021921876548765421323122112211⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥≥≤++-≥+-≥+-≥+=+++++-+-=---≥-≥≤≤+++= j y x x y y y M y x x M y x x M y x x y y y y y y y y y y x x M y x My x My x M y x x y x y Z j7．用分枝定界法求解下列IP 问题（1）12121212max 327245,0Z x x x x x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且为整数（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+-+=且为整数0,50210102min 21212121x x x x x x x x Z【解】(1)X=(1,2),或X ＝（0,3）Z=3 (2) X=(5,0),Z=5》8．用割平面法求解下列IP 问题（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=且为整数0,1029232max 21212121x x x x x x x x Z （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=且为整数0,1029232min 21212121x x x x x x x x Z【解】(1)X=(3,3),Z=15 (2)X=(5,2),Z=169．用隐枚举法求解下列BIP 问题（1）⎪⎩⎪⎨⎧==≤++≥-++=3,2,11072462534max 321321321j x x x x x x x x x x Z j ，或＋ （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤+++≥-+-≥+++-++-=4,3,2,1107423422335434min 4321432143214321j x x x x x x x x x x x x x x x x x Z j ，或【解】(1)X=(1,1,1),Z=8 (2)X=(1,1,1,0),Z=410．用分枝定界－隐枚举法求解下列BIP 问题 #（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤+++≤-+-≤+++-++-=4,3,2,1107423422385434max 4321432143214321j x x x x x x x x x x x x x x x x x Z j ，或 （2）⎪⎩⎪⎨⎧==≥+--+≤++++++++-=5,,11042322825623min 543215432154321 j x x x x x x x x x x x x x x x x Z j ，或【解】(1)X=(1,0,1,1),Z=8 (2)X=(1,1,0,0,0),Z=－2习题四工厂生产甲、乙两种产品，由Ａ、Ｂ二组人员来生产。
Ａ组人员熟练工人比较多，工作效率高，成本也高；Ｂ组人员新手较多工作效率比较低，成本也较低。
例如，A 组只生产甲产品时每小时生产10件，成本是50元有关资料如表所示。
班生产的产品每件增加成本5元。
工厂根据市场需求、利润及生产能力确定了下列目标顺序： P 1：每周供应市场甲产品400件，乙产品300件 @P 2：每周利润指标不低于500元P 3：两组都尽可能少加班，如必须加班由Ａ组优先加班 建立此生产计划的数学模型。
【解】 解法一：设x 1, x 2分别为A 组一周内正常时间生产产品甲、乙的产量，x 3, x 4分别为A 组一周内加班时间生产产品甲、乙的产量；x 5, x 6分别为B 组一周内正常时间生产产品甲、乙的产量，x 7, x 8分别为B 组一周内加班时间生产产品甲、乙的产量。
总利润为13571357246824681234567880()(50554550)75()(45504045)3030252535353030x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++++++-+++=+++++++生产时间为A 组：12340.10.1250.10.125x x x x +++B 组：56780.1250.20.1250.2x x x x +++ ）数学模型为：112233454671357112468221234567833124456553min ()()(2)40030030302525353530305000.10.125400.1250.2400.10.Z p d d p d p d d p d d x x x x d d x x x x d d x x x x x x x x d d x x d d x x d d x ---+++++-+-+=++++++++++-=++++-=++++++++-=++-=++-=+－－－－－4667877125100.1250.2100,,0,1,2,,7;1,2,,8j i i x d d x x d d x d d i j -+-+-+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪+-=⎪⎪++-=⎪≥≥==⎪⎩解法二：设x 1, x 2分别为A 组一周内生产产品甲、乙的正常时间，x 3, x 4分别为A 组一周内生产产品甲、乙的加班时间；x 5, x 6分别为B 组一周内生产产品甲、乙的正常时间，x 7, x 8分别为B 组一周内生产产品甲、乙的加班时间。