第8讲 简单的幂函数(基础)
高一数学知识点：幂函数知识点_知识点总结
高一数学知识点：幂函数知识点_知识点总结在高一数学的学习中，幂函数是一个重要的知识点。
它不仅在数学理论中有着关键的地位，也在解决实际问题中发挥着重要作用。
接下来，让我们一起深入了解幂函数的相关知识。
一、幂函数的定义一般地，形如\（y ＝x^α\）（＼（α\）为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
这里需要注意的是，＼（α\）可以是有理数，也可以是无理数。
例如，＼（y ＝ x^2\），＼（y ＝ x^｛＼frac{1}｛2}｝＼），＼（y ＝ x^｛ 1}＼）等都是幂函数。
二、幂函数的图像幂函数的图像因其指数\（α\）的不同而具有不同的特征。
当\（α ＞ 0\）时：1、＼（α ＞ 1\）函数\（y ＝x^α\）在\（0, ＋∞）＼）上单调递增，且增长速度越来越快；在\（（∞， 0)＼）上函数无定义。
其图像类似于“一撇”，经过点\（（1, 1)＼）和\（（0, 0)＼）。
2、＼（0 ＜α ＜ 1\）函数\（y ＝x^α\）在\（0, ＋∞）＼）上单调递增，且增长速度越来越慢；在\（（∞，0)＼）上函数无定义。
其图像类似于“上凸”的曲线，经过点\（（1, 1)＼）和\（（0, 0)＼）。
当\（α ＜ 0\）时：函数\（y ＝x^α\）在\（（0, ＋∞）＼）上单调递减，且曲线向\（x\）轴、＼（y\）轴无限接近，但永不相交。
在\（（∞， 0)＼）上函数无定义。
其图像类似于“下凸”的曲线，经过点\（（1, 1)＼）。
特别地，当\（α ＝ 0\）时，函数\（y ＝ x^0 ＝ 1\）（＼（x ≠0\）），是一条平行于\（x\）轴的直线（去掉点\（（0, 1)＼））。
三、幂函数的性质1、定义域幂函数的定义域与其指数\（α\）有关。
当\（α\）为正整数时，定义域为\（R\）；当\（α\）为分数时，要考虑分母的奇偶性以及根号下式子的非负性来确定定义域。
2、值域幂函数的值域也与指数\（α\）有关。
《数学幂函数》课件
# 数学幂函数
1. 概述
定义
幂函数是形如y = a^x的函数，其中a是常数，且 a大于0且不等于1。
性质
幂函数的图像可以是上升或下降的曲线，取决 于底数a的值。
2. 幂函数图像Biblioteka 一次幂函数一次幂函数的图像是一条直线，表达了线性关系。
平方函数
平方函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2 幂函数的不足
幂函数在某些情况下可能不适用，例如在自然现象的极端情况下或函数定义域的限制。
3 幂函数的发展历程
幂函数的研究历程涵盖了数学、物理、工程等多个领域，由早期的简单应用逐渐发展到 深入理论的探索。
立方函数
立方函数的图像是一个类似于字母"S"的曲线。
高次幂函数
高次幂函数的图像可能会出现多个极值点和变点。
3. 幂函数图像特征
1 斜率
2 凸凹性
幂函数的斜率与底数a有关，a大于1时斜率增 大，a小于1时斜率减小。
幂函数的凸凹性取决于底数a的奇偶性，a为 偶数时凹，为奇数时凸。
3 零点
幂函数的零点可能有多个，取决于方程 a^x=0的解个数。
幂函数在数学和物理领域的理论研究中起到重要作用，如熵函数和波函数等。
5. 习题解析
基础习题
1. 求解方程a^x = 1的解。 2. 画出y = a^x的图像，并分析其特征。
拓展习题
• 证明幂函数的导数与底数a的关系。 • 研究幂函数的渐近线与底数a的关系。
6. 总结
1 幂函数的优点
幂函数能够很好地描述非线性关系，对于一些复杂的现象具有较高的拟合度。
4 渐近线
幂函数的渐近线有两条，y轴为一条垂直渐近 线，x轴为一条水平渐近线。
简单的幂函数
些特征？
图像回放
对任意的x，f(-x)=-f(x)
图像关于原点对称的函数 叫作奇函数
问题2：观察y=x2的图像，说出它有
哪些特征？
图像回放
对任意的x，f(-x)=f(x) 图像关于y轴对称的函数 叫作偶函数
ks5u精品课件
示范：判断f(x)=-2x5和f(x)=x4+2的 奇偶性
方法小结
ks5u精品课件
B .减少的 D.先减后增
ks5u精品课件
拓展性训练题
4.已知y=f(x)是定义在（-1，1）上的奇函数， 且在（-1，1）上是单调递减的，则不等式
f(1-x)+f(1-x2)<0的解集是（ ） C
A.(-1,1) B.(0,√2) C.(0,1) D.(1,√2)
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小结：
1.幂函数的概念 2.奇函数，偶函数的概念 3.函数的奇偶性及其判断方法
x
2ห้องสมุดไป่ตู้
1,
x
0.
ks5u精品课件
拓展性训练题
2.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函
数 ，则f(x)在(-∞,0]上是（ A ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
3.已知函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是
减少的，则它在[-b,-a]上是（ B ）
A.增加的 C.先增后减
简单的幂函数
ks5u精品课件
y=x , y 1 ( y=x-1 ), y=x2
x
如果一个函数，底数是自变量x,
指数是常量 ，即
y x
这样的函数称为幂函数.
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简单幂函数的图象和性质+课件——2023-2024学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
是
（3） = 2
不是
（4） = 2 + 1
不是
（5） = − 3
不是
（1） =
幂函数
【例8】利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
解：（1）可看作幂函数 = 1.4 的两个函数值。
（1）1.51.4 ，1.61.4
该函数在 0 ， +∞ 上递增，
（2）1.50.4 ，1.60.4
0 , +∞ , 单调递增
（0，0）（1，1）
幂函数
解析式
当 < 0时
= −1
= −2
= −3
≠0
≠0
奇函数
≠0
>0
偶函数
≠0
≠0
奇函数
>0
>0
非奇非偶
减函数
减函数
=
1
−
2
图象
定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
减函数
−∞ , 0 , 单调递增
0 , +∞ , 单调递减
幂函数
365
1 =1
365
1 =1
如果你
原地踏步
365
1 =1
一年之后
你还是 那个 1
1.01
=37.8
365
365
1.01 =37.8
如果你
每天进步 一点点
365
1.01 =37.8
一年之后
你的进步 远远大于1
0.99
=0.03
365
365
0.99 =0.03
可是如果你
每天退步哪怕一丢丢
解：考察函数 f(x)=
《幂函数》PPT课件
解之得: m 2或m 1
m 2或m 1
二、五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
1
如何画y x3和y x 2的图像呢 ?
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
1
y = x y = x2 y= x3 y x 2
(5) y 1 x
思考：指数函数y=ax与幂 函数y=xα有什么区别？
答案（2）（5）
二、幂函数与指数函数比较
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
-2 -3
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3 在第一象限内，
a >0,在(0,+∞)上为增函数; -4 a <0,在(0,+∞)上为减函数.
解:
幂函数f
(x)
x
1
2的定义域是(0,
高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用 第8讲 幂函数课件 理
【互动探究】
1．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2 m1，求当m为何值时， (1)f(x)是幂函数； (2)f(x)是正比例函数； (3)f(x)是反比例函数； (4)f(x)是二次函数．
解：(1)若f(x)为幂函数， 则m2＋2m＝1，∴m＝－1± 2.
(2)若f(x)为正比例函数，则mm22＋ ＋m2m－≠1＝ 0 1， ⇒m＝1. (3)若f(x)为反比例函数，则mm22＋ ＋m2m－≠1＝ 0 －1， ⇒m＝－1.
C.13，12
D.0，13
解析：设
f(x)＝
1 2
x
－
1
x3
，f(0)＝1>0，f13＝
1 2
1
3
－
1 3
1
3
，
1
1
1
由于幂函数
y＝
1
x3
单调递增，得
f13＝
1 2
3
－
1 3
3
>0；f12＝
图 2-8-4
1
1
A．①y＝ x3 ；②y＝x2；③y＝ x2 ；④y＝x－1
1
B．①y＝x3；②y＝x2；③y＝ x2 ；④y＝x－1
1
C．①y＝x2；②y＝x3；③y＝ x2 ；④y＝x－1
1
1
D．①y＝ x3 ；②y＝ x2 ；③y＝x2；④y＝x－1
1
解析：y＝x2 为偶函数，对应②；y＝x 2 定义域 x≥0，对应
即m>12或m<－2， 或－2<m<12，
0<m<2
m>2或m<0，
∴12<m<2或－2<m<0. ∵m∈N*，∴m＝1.此时 f(x)＝x3，x∈R. ∵f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数． 【规律方法】(1)幂函数 y＝xα的特点： ①系数必须为 1；②指数必须为常数. (2)幂函数的单调性:①α>0 时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函 数；②α<0 时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数.
函数简单的幂函数课件ppt
描述化学反应速率、平衡常数等化学现象。
幂函数在物质性质中的运用
描述物质溶解度、沸点、密度等化学性质。
幂函数在量子力学中的运 用
用于描述原子能级、分子结构等化学现象。
05
总结与展望
本章内容总结
幂函数的定义
掌握了幂函数的定义和基本形 式。
幂函数的性质
了解了幂函数的单调性、奇偶性 、渐近线等性质。
幂函数的图像
幂函数的图像概述
幂函数的图像呈现出一种类似于直线或者曲线的形态，其变 化趋势和单调性及奇偶性有关。
绘制幂函数图像的方法
可以采用描点法或者直接根据幂函数的定义绘制图像。对于 不同的$a$值，可以分别绘制对应的幂函数图像，观察其变化 规律。
03
幂函数的运算性质
幂函数的加减乘除运算
总结词
幂函数的求导与求积分
总结词
幂函数的求导与求积分是学习幂函数的进阶内容，掌握其方法对解决实际问题有很大帮助 。
详细描述
求导是指找出函数在某一点的导数值，它反映了函数在这一点附近的斜率；求积分是指计 算函数在一个区间内的面积，它反映了函数在区间内的整体性质。对于幂函数，我们可以 利用微积分的基本公式进行求导与求积分。
幂函数的复合运算
01
总结词
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
幂函数的复合运算是学习幂函数的重要一环，通过复合运算可以加深
对幂函数的理解。
02 03
详细描述
复合运算通常是指将一个函数嵌套在另一个函数中，从而形成一个新 的函数。在幂函数的复合运算中，我们通常将一个幂函数作为另一个 幂函数的自变量。
举例
例如，我们可以将两个幂函数f(x)=x^a和g(x)=x^b进行复合，得到 一个新的幂函数h(x)=f(g(x))=(x^b)^a=x^(a*b)。
幂函数教学讲解ppt课件
03
幂函数的运算性质及应用
幂函数的加法、减法、乘法运算性质
总结词：掌握幂函数的基本运算性质是 理解幂函数应用的基础。
3. 幂函数的乘法运算性质： $(a^m)(a^n)=a^{m+n}$
2. 幂函数的减法运算性质：$(a^m)(a^n)=a^m-a^n$
详细描述
1. 幂函数的加法运算性质： $(a^m)+(a^n)=a^m+a^n$
课堂练习题
练习1：求解下列函数的奇 偶性
$y=x^2,x \in (-1,1)$；
$y=x^3,x \in (-1,1)$。
解析：对于$y=x^2,x \in (1,1)$，因为$-1<x<1$，所 以$-x<-1<1$，因此有$f(x)=(-x)^2=x^2=f(x)$，即 该函数为偶函数；对于 $y=x^3,x \in (-1,1)$，因为 $-1<x<1$，所以$-x<1<1$，因此有$f(-x)=(x)^3=-x^3=-f(x)$，即该函 数为奇函数。
02
在日常生活中，我们经常遇到幂 函数的实例，例如人口增长、金 融投资、计算机科技等。
幂函数的概念及重要性
定义
形如y=x^n的函数称为幂函数， 其中x是自变量，n是实常数。
幂函数的重要性
掌握幂函数的性质和变化规律， 有助于解决各种实际问题，培养 数学思维和解决问题的能力。
学习目标与学习方法
学习目标
详细描述
介绍幂函数的阶乘定义，通过实例阐述排列组合的基本概念，例如，组合公式、 排列公式等。
幂函数的对数运算
总结词
掌握幂函数的对数运算性质
详细描述
说明幂函数与对数函数之间的关系，推导基于幂函数的对数运算法则，例如，log(a^b)=b*log(a)。
数学中的函数与方程之幂函数
数学中的函数与方程之幂函数在数学中，函数和方程是基础且核心的概念。
其中，幂函数作为函数的一种形式，具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文将对数学中的函数与方程之幂函数进行探讨和论述。
一、函数与方程的概念在数学中，函数是一个独特的映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
函数可以表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量，即通过自变量x的取值确定因变量f(x)的值。
方程则是等式的一种特殊形式，它表达了两个函数相等的关系。
二、幂函数的定义与性质1. 幂函数的定义：幂函数是一种形如f(x) = x^a的函数，其中a是实数。
a称为幂指数，x称为底数。
幂函数的定义域可以是实数集（当a 为有理数）或正实数集（当a为无理数）。
2. 幂函数的性质：幂函数的性质与幂指数a的正负和零有关。
当a 为正数时，幂函数呈现递增的趋势；当a为负数时，幂函数呈现递减的趋势；当a为零时，幂函数为常函数。
三、幂函数与其他函数的关系1. 幂函数与线性函数：当幂指数a为1时，幂函数即为线性函数。
线性函数是函数中最简单的形式，表达了自变量与因变量之间的简单线性关系。
2. 幂函数与指数函数：当底数x为正数且幂指数a为实数时，幂函数即为指数函数。
指数函数表达了幂指数的重复乘法的关系。
3. 幂函数与对数函数：幂函数和对数函数是互为反函数的关系。
对数函数是指数函数的逆运算，用来求解指数方程。
四、幂函数的应用幂函数在实际生活中有许多应用，以下列举几个常见例子：1. 金融领域：复利计算中使用的复利公式即涉及到幂函数的概念，用于计算投资的本息和。
2. 物理学：许多物理规律和现象可以用幂函数来描述，比如牛顿第二定律中的动能和位能。
3. 经济学：边际效用递减法则中的边际效用函数是幂函数的形式，描述了每个单位的消费带来的额外满足程度递减的规律。
综上所述，幂函数是数学中重要的函数形式之一，在函数与方程的研究中具有重要作用。
通过对幂函数的定义、性质和应用的探讨，我们对数学中的函数与方程有了更深入的理解和认识。
幂函数ppt课件全
(4)
1
y x2
(5)
y x1
21
y x2
(-2,4)
y x3
4
(2,4)
3
y=x
2
(-1,1) 1
(1,1)
1
y x2
-4
-2
2
4
6
y x 1 (-1,-1) -1
-2
-3 22
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
… -8 -1 0 1 8 27 64 …
… / / 0 1 2 3 2…
y 8
y=x3
6
4
1
2
y=x 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-2
-4
-6
17
-8
函数 y x3 的图像
定义域： R
值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
18
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
2
1
2
所求的幂函数为y
x
1 2
.
10
练习3：已知幂函数f(x)的图像经过点（3，27）， 求证：f(x)是奇函数。
证明: 设所求的幂函数为y x 函数的图像过点(3，27)
27 3 ,即33 3
3
f (x) x3
f (x)的定义域为R， f (x) (x)3 x3
f (x) f (x)
f (x1) f (x2)
x1
幂函数知识总结
幂函数知识总结幂函数复：幂函数是指形如αy=x(α∈R)的函数，其中x是自变量，α是常数。
幂函数与指数函数的本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
幂函数在第一象限的性质：当α>0时，图像过定点（0,0）和（1,1），在区间（1，+∞）上单调递增；当α<0时，图像过定点（1,1），在区间（0，1）上单调递减。
对于形如y=x(m/n)(m,n∈Z且m,n互质)的幂函数，当m和n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；当m为奇数n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；当m为偶数n为奇数时，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限内。
幂函数的图像画法：先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。
指数大于1时，在第一象限为抛物线型（凹）；指数等于1时，在第一象限为上升的射线；指数大于0小于1时，在第一象限为抛物线型（凸）；指数等于0时，在第一象限为水平的射线；指数小于0时，在第一象限为双曲线型。
比较幂形式的两个数的大小，可以化为同指数或同底数，或寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小。
题型一：幂函数解析式特征。
对于已知函数是幂函数的情况，可以根据题目给出的条件求出函数的解析式。
题型二：幂函数性质。
幂函数在第一象限的性质可以用于求解一些问题，同时也需要注意幂函数的奇偶性和定义域来画出其图像。
图像不可能出现在第四象限内。
对于3D图像，如果幂函数y=x^α为奇函数，则在定义域内是增函数。
练3：如图所示，曲线c1和c2分别是函数y=x^m和y=x^n在第一象限的图像。
那么一定有n<m<0.练4：（1）函数y=x的单调递减区间为（-∞，1）；（2）函数y=x^2的单调递增区间是[0.+∞)，因为它的图像过点(2.4)；（3）幂函数的性质可知，x^a>x^b当且仅当a>b，因此(2)^3>(3)^2，(3)^2>(2)^(-3)，(4)^(-1)>(5)^(-1)，1.1>0.9.经典例题：例1：已知函数f(x)=x^(m-2)+(m+3)，其中m∈Z，为偶函数，且f(3)<f(5)，求m的值，并确定f(x)的解析式。
高一数学《幂函数》PPT课件
函数的性质不同
指数函数的底数是一个大于0且 不等于1的常数，而幂函数的底 数可以是任意实数。此外，指 数函数的值域为正实数集，而 幂函数的值域为非负实数集。
图像的形状不同
指数函数的图像是一条经过点 (0,1)的曲线，而幂函数的图像 是一条经过原点的曲线。
02
常见幂函数类型及其特点
一次幂函数
表达式
幂的乘方法则
幂的乘方
底数不变，指数相乘。公式： (a^m)^n = a^(m×n)
举例
(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12； (x^2)^5 = x^(2×5) = x^10
积的乘方法则
积的乘方
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。公式： (ab)^n = a^n × b^n
举例
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为 非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需 要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
幂函数性质
幂函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。例如，当a>0时，幂函数在定义域内 单调递增；当a<0时，幂函数在定义域内单调递减。
幂函数图像
幂函数的图像根据a的不同取值而呈现出不同的形态，如直线、抛物线、双曲线等。通过图像 可以直观地了解幂函数的性质。
易错难点剖y = x^n（n为实数）
图像
02
一条直线（n=1时）或射线（n≠1时）
性质
03
当n>0时，函数在(0, +∞)上单调递增；当n<0时，函数在(0,
幂函数ppt课件
5
(5) = 2 ;
(6) = 2 3 ;
3;
【答案】 (1),(4)
辨析2.(1) 在函数 =
1
2
、0
, = 2 2 , = 2 + , = 1 中，幂函数的个数为（
、1
、2
、3
(2) 若函数 是幂函数，且满足 4 = 3 2 ，则
【答案】
1
(1)，(2)
3
)
1
2
的值等于___________.
新知探究
问题1：结合前面学习函数的经验，应该如何研究 = , =
2,
=
3,
=
−1
这五个幂函数？
提示：先求函数的定义域
画出函数图象
研究函数的 单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等.
新知探究
名称
图象
y
=
定义域
值域
奇偶性
单调性
> 0， = 在第一象限内单调递增；
< 0， = 在第一象限内单调递减。
问题4：2.3−0.2 和2.2−0.2 可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
= −02 在 0， + ∞ 上单调递减，所以2.3−0.2 < 2.2−0.2
练习巩固
练习3：比较下列各组数中两个数的大小.
1
1
(2)4
=
1
16
.
(2)由f(2a + 1) = f(a)，可得(2a + 1)−4 = a−4 .
2 + 1 = ±
1
即 2 + 1 ≠ 0 ,解得 = −1或 = −
3
(学习指导) 简单幂函数的图象和性质Word版含解析
4.2 简单幂函数的图象和性质学 习 目 标核 心 素 养 1.了解幂函数的概念．(重点)2．掌握y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12的图象与性质．(重点)3．掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．(重点、难点)1.借助幂函数的图象的学习，培养直观想象素养． 2．通过幂函数的性质的学习，培养逻辑推理素养．形如y ＝x α(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． 思考：y ＝1()x ≠0是幂函数吗？提示：是．因为它可写成y ＝x 0()x ≠0的形式． 2．幂函数的图象如图在同一坐标系内作出函数(1)y ＝x ；(2)y ＝x 12；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象．3．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．1．已知幂函数f ()x ＝kx α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A ．12B ．1C ．32 D ．2 C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]2．函数y ＝x 13的图象是( )A B C DB[当0<x<1时，x13>x；当x>1时，x13<x，故选B.]3．已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x12(1－4t－t2)(t∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增加的，则函数的解析式为________．f(x)＝x2[∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1，解得t＝－1或t＝0或t＝1.当t＝0时，f(x)＝x12是非奇非偶函数，不满足题意；当t＝1时，f(x)＝x－2是偶函数，但在(0，＋∞)上是减少的，不满足题意；当t＝－1时，f(x)＝x2，满足题意．综上所述，实数t的值为－1，所求解析式为f(x)＝x2.]4．已知函数f(x)＝(2m－3)x m＋1是幂函数．(1)求m的值；(2)判断f(x)的奇偶性．[解](1)因为f(x)是幂函数，所以2m－3＝1，即m＝2.(2)由(1)得f(x)＝x3，其定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故f(x)是奇函数．幂函数的概念【例1】在函数y＝x，y＝1x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为()A．1B．2C．3D．4[思路点拨]从幂的系数、底数和指数三方面考察是否满足幂函数的定义．B [因为y ＝x ＝x 12，y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数； y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0，1), 所以常函数y ＝1不是幂函数．]函数解析式中只有满足幂的系数为1，底数为自变量x ，指数为常量这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3都不是幂函数．[跟进训练]1．已知y ＝(m 2＋2m －2)x m 2－2＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．[解] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－3或1，n ＝32，所以m ＝－3或1，n ＝32. 幂函数的图象及应用【例2】 若点(2，2)在幂函数f ()x 的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14在幂函数g ()x 的图象上，问当x 为何值时，(1)f ()x >g ()x ；(2)f ()x ＝g ()x ；(3)f ()x <g ()x .[解] 设f ()x ＝x α，则2＝()2α，解得α＝2，则f ()x ＝x 2. 同理可求得g ()x ＝x －2.在同一坐标系内作出函数f ()x ＝x 2和g ()x ＝x －2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x >1或x <－1时，f ()x >g ()x ； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f ()x ＝g ()x ；(3)当－1<x <1且x ≠0时，f ()x <g ()x .随着α的变化，其图象也随着变化，讨论其图象的特点时，可分0<α<1，α>1和α<0三种情况讨论．[跟进训练]2．当0<x <1时，函数f ()x ＝x 1.1，g ()x ＝x 0.9，h ()x ＝x －2的大小关系是________________．h ()x >g ()x >f ()x [如图所示为函数f ()x ，g ()x ，h ()x 在(0，1)上的图象，由此可知，h ()x >g ()x >f ()x .]幂函数性质的应用 角度一 比较幂的大小【例3】 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3与⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1 [解](1)∵0.3>0， ∴y ＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数．又25>13，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3>⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3. (2)∵－1<0，∴y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数，又－23<－35， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．[跟进训练]3．比较下列各数的大小： (1)(－23)23和(－π6)23； (2)4.125，3.8－23和()－1.935.[解](1)函数y ＝x 23在(－∞，0)上为减函数，又－23<－π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323>⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623. (2)4.125>125＝1；0<3.8－23<1－23＝1；()－1.935<0， ∴()－1.935<3.8－23<4.125.角度二 由幂函数的大小求字母的取值范围 【例4】 已知幂函数f ()x ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足()a ＋1－m3<()3－2a －m3的a 的取值范围．[思路点拨] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶函数可得m 的值．[解]∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3. ∵m ∈N *，∴m ＝1，2.又函数的图象关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3是偶数，又22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1. ∴()a ＋1－13<()3－2a －13，即f (x )＝x －13在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数，且当x ＜0时，f (x )＜0，当x ＞0时，f (x )＞0，∴0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＞3－2a ＞0或a ＋1＜0＜3－2a ，解得a ＜－1或23＜a ＜32.故a的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <－1或23<a <32.幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性等性质，也可由这些性质去限制α的取值．[跟进训练]4．已知幂函数f (x )＝x1m 2＋m(m ∈N ＋).(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数还经过(2，2)，试确定m 的值，并求满足f ()2－a >f ()a －1的实数a 的取值范围．[解](1)∵m ∈N ＋，∴m 2＋m ＝m (m ＋1)为偶数． 令m 2＋m ＝2k ，k ∈N ＋，则f (x )＝2k x ，∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f ()x 为增函数． (2)∵ 2 ＝ 212＝21m 2＋m，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)，∴f (x )＝x 12，由(1)知f ()x 在定义域[0，＋∞)上为增函数， ∴f ()2－a >f ()a －1等价于2－a >a －1≥0， 解得1≤a <32.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的依据和标准．2．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α>0时，图象过(0，0)，(1，1)在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．3．在具体应用时，不一定是y ＝x α，α＝－1，12，1，2，3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)y ＝－1x 是幂函数．( ) (2)当x ∈(0，1)时，x 2>x 3.( ) (3)y ＝x 32与y ＝x 64定义域相同．( )(4)若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( ) [答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2，2，12 D ．2，12，－2，－12B [由幂函数的性质，知选B.]3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.(0，1)[作出函数图象如图所示，则当0<k <1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根．]4．比较下列各组数的大小 (1)2－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫1313；(2)0.20.5，0.40.3[解](1)由于幂函数y ＝x －13在()0，＋∞上是减函数，所以2－13>3－13，又3－13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－13，所以2－13>⎝ ⎛⎭⎪⎫1313.0，＋∞上是减函数，所以0.20.5<0.20.3 (2)由于指数函数y＝0.2x在()由于幂函数y＝x0.3在()0，＋∞上是增函数，所以0.20.3<0.40.3，所以0.20.5<0.40.3.。
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简单的幂函数【学习目标】1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况.2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。
3.理解函数的奇偶性定义，会利用图象和定义判断函数的奇偶性；4.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.【要点梳理】要点一、幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中α为常数.要点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：()2423,1,2y x y x y x==+=-等都不是幂函数.要点二、幂函数的图象及性质1.作出下列函数的图象：(1)xy=；(2)21xy=；(3)2xy=；(4)1-=xy；(5)3xy=．要点诠释：幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；(3)0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于∞+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．2.作幂函数图象的步骤如下:(1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.3.幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．()y x Rαα=∈()y x Rαα=∈(3)如函数()a f x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()af x x =． 4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 要点三、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释：（1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1(()0)()f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01(()0)()f x f x f x f x f x -+-==-≠，； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.3.用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性.若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数要点四、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立即可.（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.要点五、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相同的单调性，即已知()f x 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相反的单调性，即已知()f x 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是减函数（增函数）.【典型例题】类型一、求函数解析式例1.已知()21212223my m m x n -=+-⋅+-是幂函数，求m 、n 的值．举一反三：【变式一】判断下列函数有哪些是幂函数？（1）y =（2）23y x =；（3）3y x x =-；（4）23y x -=；（5）21y x =；（6）3y =．类型二、幂函数的图象例2.给定一组函数的解析式和相应的函数图象：(1)y x =；(2)2y x =；(3)3y x =；(4)1y x -=；(5)12y x =．请把解析式对应的图象序号按照解析式的顺序填在括号里（ ）．举一反三：【变式1】函数13y x =的图象是（ ）类型三、幂函数的性质例3.比较下列各组数的大小.(1)523.14-与52π-； (2)35(-与35(-.举一反三：【变式1】比较0.50.8，0.50.9，0.50.9-的大小.类型四、判断函数的奇偶性例4. 判断下列函数的奇偶性：(1)()(f x x =+ (2)f(x)=x 2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)()|2|-2f x x =+；(5)22-(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩； (6)1()[()-()]()2f x g x g x x R =-∈．【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)23()3xf x x =+；(2)()|1||1|f x x x =++-；(3)222()1x xf x x +=+；(4)22x 2x 1(x 0)f (x)0(x 0)x 2x 1(x 0)⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩.【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数. 【变式3】设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论 恒成立的是 （ ）.A ．()f x +|g(x)|是偶函数B ．()f x -|g(x)|是奇函数C ．|()f x | +g(x)是偶函数D ．|()f x |- g(x)是奇函数 类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例5.已知f(x)=x 5+ax 3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).举一反三：【变式1】已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3g x f x g =+-=，则(2)f 为（ ）．例6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-，求()f x 的解析式．【变式1】（1）已知偶函数()f x 的定义域是R ，当0x ≤时2()31f x x x =--，求()f x 的解析式.（2）已知奇函数()g x 的定义域是R ，当0x >时，2()21g x x x =+-，求()g x 的解析式.例7.设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在[0，2]上是单调递增，当(1)()f a f a +<时，求a 的取值范围.类型六、函数奇偶性的综合问题例8．设a 为实数，函数f(x)=x 2+|x-a|+1，x ∈R ，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.举一反三：【变式1】 判断()||||()f x x a x a a R =+--∈的奇偶性．例9. 已知()y f x =是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数2(1)f x -的单调递增区间．【巩固练习】1.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的函数是( ) A.2y x -= B. 1y x -= C. 2y x = D. 13y x = 2．若函数2y x bx c =++是偶函数，则有 ( )A.,b R c R ∈∈B. ,0b R c ∈=C. 0,0b c ==D. 0,b c R =∈ 3．设函数3()21f x ax bx =+-，且(1)3,f -=则(1)f 等于（ ） A.-3 B.3 C.-5 D. 54．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)2()23()1(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f fD ．)1()23()2(-<-<f f f5．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是( ) A ．增函数且最小值是5- B ．增函数且最大值是5-C ．减函数且最大值是5-D ．减函数且最小值是5-6．设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=，在R 上一定是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数.7.若幂函数y x α=的图象在0<x<1时位于直线y=x 的下方，则实数α的取值范围是( ) A.α<1 B.α>1 C.0<α<1 D.α<08. 三个数121.2a =，120.9b -=，c =的大小顺序是( ) A.c<a<b B.c<b<a C. b<a<c D.a<c<b9．设函数()f x 的图象关于y 轴对称，且()f a b =，则()f a -= . 10．如果函数2()f x x a x=-+为奇函数，那么a = . 11．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，()f x 在[]0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递减，则不等式()0f x ≥的解集为 ．12．若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是____________. 13．函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f ____________.14．已知函数()()0f x x a x a a =+--≠，()()()2200x x x h x x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩，试判断()(),f x h x 的奇偶性.15．设函数)(x f 是偶函数，且在(),0-∞上是增函数，判断)(x f 在()0,+∞上的单调性，并加以证明.16．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意[)1212,0,()x x x x ∈+∞≠ ，有2121()()0f x f x x x -<-成立，试比较(2),(1),(3)f f f -的大小.。