第8讲 简单的幂函数(基础)

简单的幂函数

【学习目标】

1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况.

2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。

3.理解函数的奇偶性定义，会利用图象和定义判断函数的奇偶性；

4.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.

【要点梳理】

要点一、幂函数概念

形如的函数，叫做幂函数，其中α为常数.

要点诠释：

幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：()2

42

3,1,2

y x y x y x

==+=-等都不是幂函数.

要点二、幂函数的图象及性质

1.作出下列函数的图象：

(1)x

y=；(2)2

1

x

y=；(3)2x

y=；(4)1-

=x

y；(5)3x

y=．

要点诠释：

幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：

(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；

(2)0

>

α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间)

,0[+∞上是增函数．特别地，当1

>

α时，幂函数的图象下凸；当1

0<

<α时，幂函数的图象上凸；

(3)0

<

α时，幂函数的图象在区间)

,0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于∞

+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

2.作幂函数图象的步骤如下:

(1)先作出第一象限内的图象；

(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；

若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性

如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；

如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.

3.幂函数解析式的确定

(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．

(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．

()

y x R

αα

=∈

()

y x R

αα

=∈

(3)如函数()a f x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()a

f x x =． 4.幂函数值大小的比较

(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．

(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 要点三、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念

偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释：

（1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；

（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()

()()0,

1(()0)()

f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()

()()01(()0)()

f x f x f x f x f x -+-==-≠，

； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质

（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.

3.用定义判断函数奇偶性的步骤

（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；

（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；

（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性.

若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；

若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；

若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数

要点四、判断函数奇偶性的常用方法

（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.

（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()

1()

f x f x -=±是否成立即可.

（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.

（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

（5）分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.

要点五、关于函数奇偶性的常见结论

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相同的单调性，即已知()f x 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相反的单调性，即已知()f x 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是减函数（增函数）.

【典型例题】

类型一、求函数解析式

例1.已知(

)

2

1

2

1

2223m

y m m x n -=+-⋅+-是幂函数，求m 、n 的值．

举一反三：

【变式一】判断下列函数有哪些是幂函数？

（1）y =（2）23y x =；（3）3

y x x =-；（4）2

3

y x -

=；（5）2

1y x =

；（6）3y =．