2018届高三数学一轮复习 数列求和基于学生习题的公开课教学课件 共40张
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高考数学一轮复习 第五章 数列 5.4 数列求和课件.pptx
分组转化法求和的常见类型 1．若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求
{an}的前 n 项和． 2．通项公式为 an＝cbnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比 数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，
Sn＝na12＋an＝_n_a_1_＋__n_n_－2__1__d___.
(2)等比数列的前 n 项和公式： Sn＝naa11－1－，aqqnq＝＝1_a，_11_1－_－_q_q_n_，__q_≠__1_._ 2．倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同 一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项 和公式即是用此法推导的．
1．必会结论 常用求和公式
前 n 个正整数之和 前 n 个正奇数之和
前 n 个正整数的平方和
前 n 个正整数的立方和
1＋2＋…＋n＝nn2＋1 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
nn＋12n＋1 12＋22＋…＋n2＝________6_______
13＋23＋…＋n3＝nn＋2 12
2.必知联系 (1)直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数 (字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论． (2)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an＋1 的式子应进行合并． (3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后 剩多少项．
(2)由(1)可得 bn＝2n＋n， 所以 b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝211－－2210＋1＋102×10 ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.
{an}的前 n 项和． 2．通项公式为 an＝cbnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比 数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，
Sn＝na12＋an＝_n_a_1_＋__n_n_－2__1__d___.
(2)等比数列的前 n 项和公式： Sn＝naa11－1－，aqqnq＝＝1_a，_11_1－_－_q_q_n_，__q_≠__1_._ 2．倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同 一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项 和公式即是用此法推导的．
1．必会结论 常用求和公式
前 n 个正整数之和 前 n 个正奇数之和
前 n 个正整数的平方和
前 n 个正整数的立方和
1＋2＋…＋n＝nn2＋1 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
nn＋12n＋1 12＋22＋…＋n2＝________6_______
13＋23＋…＋n3＝nn＋2 12
2.必知联系 (1)直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数 (字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论． (2)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an＋1 的式子应进行合并． (3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后 剩多少项．
(2)由(1)可得 bn＝2n＋n， 所以 b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝211－－2210＋1＋102×10 ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.
高考数学一轮复习 数列的求和 理优秀PPT
高考考点总 3 复裂习项数相3学消a（法n理＋求科和3）n＋31n－＋12n＋1－2n－an－3n 2n＝1,
考点3 裂项相消法求和
∴{b }为等差数列．又 b ＝0，∴b ＝n－1. 高考总复习数学（理科）
掌高握考等 数差学数一列轮、复等习比数数n列列的的求前和n课项件和公理式，能把某些不是等1差和等比数列的求n和问题转化为等差、等比数列来解决；
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝25(12＋22＋…＋n2)－32(1＋2＋…＋n)＝
52·n（n＋1）6（2n＋1）－32·n（n2＋1）＝16n(n＋1)(5n－2)．
考点探究
高考总复习数学（理科）
高考总复习数学（点理科评） ：通过对原数列通项结构特点的分析研究，将数列分解为若
考点1 分组后，可用公式求和 掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能把某些不是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决；
考点探究
①当
x≠±1
时
，
Sn
＝
x2（x2n－1） x2－1
＋
x－2（x－2n－1） x－2－1
＋
2n
＝
（x2n－x2n1（）x（2－x21n）＋2＋1）＋2n；
②当 x＝±1 时，Sn＝4n. (3)∵ak＝(2k－1)＋2k＋(2k＋1)＋…＋[(2k－1)＋(k－1)] ＝k[（2k－1）2＋（3k－2）]＝52k2－32k，
高考数学一轮复习 数 列的求和课件 理
高考总复习数学（理科）
第五章 数 列
第五节 数列的求和
考纲要求
掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能把某些不是 等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决； 掌握裂项求和的思想方法，掌握错位相减法求和的思想方法， 并能灵活地运用这些方法解决相应问题．
高三数学一轮复习数列求和(必修5)精品PPT课件
考点一 分组转化求和
分组转化求和就是从通项入手， 若无通项，则先求通项，然后通过对 通项变形，转化为等差或等比或可求 数列前n项和的数列来求之．
课堂互动讲练
例1 已知数列{an}的前几项是3＋2－ 1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，写出 数列{an}的通项并求其前n项和Sn.
课堂互动讲练
1．利用裂项相消法求和时，应 注意抵消后并不一定只剩下第一项和 最后一项，也有可能前面剩两项，后 面也剩两项，再就是将通项公式裂项 后，有时候需要调整前面的系数，使 裂开的两项之差和系数之积与原通项 公式相等．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
例2 已知等差数列{an}的首项a1≠0，前n项 和为Sn，且S4＋a2＝2S3；等比数列{bn}满足 b1＝a2，b2＝a4.
第4课时 数列求和
基础知识梳理
求数列的前n项和的方法 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式
Sn＝
＝
.
基础知识梳理
(2)等比数列前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1；
基础知识梳理
2．分组转化法 把数列的每一项分成两项，使其 转化为几个等差、等比数列，再求 解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求 和，正负相消剩下首尾若干项．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
课堂互动讲练
【误区警示】 利用错位相减法 求和时，转化为等比数列求和．若公 比是个参数(字母)，则应先对参数加 以讨论，一般情况下分等于1和不等于 1两种情况分别求和．
课堂互动讲练
考点四 数列求和的综合应用
对于由递推关系给出的数列，常 借助于Sn＋1－Sn＝an＋1转换为an与an＋1 的关系式或Sn与Sn＋1的关系式，进而 求出an或Sn使问题得以解决．
分组转化求和就是从通项入手， 若无通项，则先求通项，然后通过对 通项变形，转化为等差或等比或可求 数列前n项和的数列来求之．
课堂互动讲练
例1 已知数列{an}的前几项是3＋2－ 1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，写出 数列{an}的通项并求其前n项和Sn.
课堂互动讲练
1．利用裂项相消法求和时，应 注意抵消后并不一定只剩下第一项和 最后一项，也有可能前面剩两项，后 面也剩两项，再就是将通项公式裂项 后，有时候需要调整前面的系数，使 裂开的两项之差和系数之积与原通项 公式相等．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
例2 已知等差数列{an}的首项a1≠0，前n项 和为Sn，且S4＋a2＝2S3；等比数列{bn}满足 b1＝a2，b2＝a4.
第4课时 数列求和
基础知识梳理
求数列的前n项和的方法 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式
Sn＝
＝
.
基础知识梳理
(2)等比数列前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1；
基础知识梳理
2．分组转化法 把数列的每一项分成两项，使其 转化为几个等差、等比数列，再求 解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求 和，正负相消剩下首尾若干项．
课堂互动讲练
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【误区警示】 利用错位相减法 求和时，转化为等比数列求和．若公 比是个参数(字母)，则应先对参数加 以讨论，一般情况下分等于1和不等于 1两种情况分别求和．
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考点四 数列求和的综合应用
对于由递推关系给出的数列，常 借助于Sn＋1－Sn＝an＋1转换为an与an＋1 的关系式或Sn与Sn＋1的关系式，进而 求出an或Sn使问题得以解决．
2018年高考数学一轮复习第五章数列第31讲数列求和课件理
(4)求 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan 时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位 相减法求得．( ×)
(5)如果数列an是周期为 k 的周期数列，那么 Skm＝mSk(m，k 为大于 1 的正整 数)．( √ )
解析：(1)正确．根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知． (2)正确．根据等比数列的求和公式和通项公式可知． (3)错误．直接验证可知n2－1 1＝12n－1 1－n＋1 1. (4)错误．含有字母的数列求和常需要分类讨论，此题需要分 a＝0，a＝1，以及 a≠0 且 a≠1 三种情况求和，只有当 a≠0 且 a≠1 时才能用错位相减法求和． (5)正确．根据周期性可得．
(2)由 an＝2n－1 得 bn＝2n－1＋q2n－1. 当 q＞0 且 q≠1 时，Sn＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋q7＋…＋q2n－ 1)＝n2＋q11－－qq22n； 当 q＝1 时，bn＝2n，则 Sn＝n(n＋1)．
2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列an的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常 数，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和公式即是用 此法推导的． (2)并项求和法 在一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22 －12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
• ＝3×5＝15.
5．已知数列an的前 n 项和为 Sn 且 an＝n·2n，则 Sn＝_(_n_－___1_)_·_2_n_＋__1.＋2
最新-2018届高考数学一轮复习 第5章第四节 数列求和课件 文 精品
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的 方法，就是将一个数列倒过来排列，再把 它与原数列相加，就可以得到n个(a1＋an)， 其最简单的形式为：若数列{an}中有a1＋an ＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…，就可以用此方 法求和．
例1 设函数 y＝f(x)的定义域为 R，其图
象关于点(12，12)成中心对称，令 an＝f(nk)， (n∈N*，n≥2)，k＝1,2,3，…，n－1，…， 求数列{an}的前(n－1)项的和． 【思路分析】 图象关于(12，12)成中心对称，
【思路分析】 (1)由基本量的运算求出an 及Sn；(2)bn的式子为分式结构，考虑裂项相 消法求和．
【解】 (1)设等差数列{an}的首项为 a1， 公差为 d，
由于 a3＝7，a5＋a7＝26， 所以 a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得 a1 ＝3，d＝2. 由于 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋2 an ， 所以 an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
例2 (2010年高考课标全国卷)设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【思路分析】 (1)由an＋1－an＝3·22n－1的结 构特点可知用迭代法或累加法求an；(2)观察 bn的通项式特点，用错位相减法求Sn.
变式训练 4 (2011 年南通调研)已知数列{an}是各项均 不为 0 的等差数列，Sn 为其前 n 项和，且
满足 a2n＝S2n－1，令 bn＝an·a1n＋1，数列{bn} 的前 n 项和为 Tn. (1)求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前 n 项和 Tn； (2)是否存在正整数 m，n(1<m<n)，使得 T1，Tm，Tn 成等比数列？若存在，求出所 有的 m，n 的值；若不存在，请说明理由．
例1 设函数 y＝f(x)的定义域为 R，其图
象关于点(12，12)成中心对称，令 an＝f(nk)， (n∈N*，n≥2)，k＝1,2,3，…，n－1，…， 求数列{an}的前(n－1)项的和． 【思路分析】 图象关于(12，12)成中心对称，
【思路分析】 (1)由基本量的运算求出an 及Sn；(2)bn的式子为分式结构，考虑裂项相 消法求和．
【解】 (1)设等差数列{an}的首项为 a1， 公差为 d，
由于 a3＝7，a5＋a7＝26， 所以 a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得 a1 ＝3，d＝2. 由于 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋2 an ， 所以 an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
例2 (2010年高考课标全国卷)设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【思路分析】 (1)由an＋1－an＝3·22n－1的结 构特点可知用迭代法或累加法求an；(2)观察 bn的通项式特点，用错位相减法求Sn.
变式训练 4 (2011 年南通调研)已知数列{an}是各项均 不为 0 的等差数列，Sn 为其前 n 项和，且
满足 a2n＝S2n－1，令 bn＝an·a1n＋1，数列{bn} 的前 n 项和为 Tn. (1)求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前 n 项和 Tn； (2)是否存在正整数 m，n(1<m<n)，使得 T1，Tm，Tn 成等比数列？若存在，求出所 有的 m，n 的值；若不存在，请说明理由．
2018年高三数学(文)一轮复习课件 数列求和
1 1 1 1 = ������(������+������) ������ ������ ������+������ 1 1 ; 2������-1 2������+1 1 1 ; ������(������+1) (������+1)(������+2)
;
− ������).
第六章
知识梳理 双基自测 自测点评
������ -1 ������-1 ������+1
(5)已知等差数列{an}的公差为 d,则有������ ������ = ������ ������ - ������ . ������ ������+1 ������ ������+1
) (1)(× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)√
6.4
数列求和
知识梳理 核心考点
-5-
1
2
3
3.常用求和公式 (1)1+2+3+4+…+n=
������(������+1) ; 2
(2)1+3+5+7+…+(2n-1)=n2;
������(������+1)(2������+1) 2 2 2 2 (3)1 +2 +3 +…+n = ; 6 ������(������+1) 2 . 2
关闭
2(1-2������ ) ������(1+2������-1) n+1 Sn= + =2 -2+n2. 2 1-2
关闭
C
解析
答案
第六章
知识梳理 双基自测 自测点评
最新-2018届高考数学一轮复习 第27讲 数列求和课件 理 新人教课标A版 精品
第27讲 │ 要点探究
[解答] 易知奇数项中，a1＝1，d＝12；偶数项中，a2＝ 16，q＝16.
当 n 为偶数时，an中奇数项与偶数项各占n2项， 所以有 Sn＝S 奇＋S 偶＝n2a1＋n2n22－1d＋a211－－qqn2＝ 12(3n2－5n)＋115(4n＋2－16)． 当 n 为奇数时，奇数项总共有n＋2 1项，偶数项共有n－2 1 项，所以有
＝23(2n＋1－1)(2n－1)， 故S2nn＝32·(2n＋1－21n)(2n－1).
第27讲 │ 要点探究
由于(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n， 所以S2nn＝32·(2(n2＋n1＋－1－1)1－)(2(n2－n－1)1) ＝322n－1 1－2n＋11－1， 所以 Tn＝32(21－1 1－22－1 1)＋(22－1 1－23－1 1)＋…＋ (2n－1 1－2n＋11－1)＝32(1－2n＋11－1)＝3·22n＋n－1－11.
第27讲 │ 要点探究
[2010·重庆卷] 已知{an}是首项为 19，公差为－2 的等差数列，Sn 为{an}的前 n 项和．
(1)求通项 an 及 Sn； (2)设{bn－an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 {bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn.
第27讲 │ 要点探究
[思路] bn是一个等比数列和一个等差数列对应项的和， 故只要分别利用公式求出等比数列和等差数列的和即可．
第27讲 │ 要点探究
已知数列an的通项公式是 an＝4n－2n，其前 n 项和 为 Sn，求数列S2nn的前 n 项和 Tn.
第27讲 │ 要点探究
[解答] 根据公式法 Sn＝4(11－－44n)－2(11－－22n)＝13(4n＋1 －3·2n＋1＋2)＝13(2n＋1－1)(2n＋1－2)
高考数学一轮复习第五章数列第4讲数列求和课件文
已知数列{an}的通项公式是 an＝2·3n－1＋ (－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前 n 项和 Sn. [解] Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2 －ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3， 所以当 n 为偶数时， Sn＝2×11－－33n＋n2ln 3＝3n＋n2ln 3－1； 当 n 为奇数时，
分组转化法求和的常见类型 (1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分 组转化法求{an}的前 n 项和． (2)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数的数列，其中数列{bn}，{cn} 是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求{an}的前 n 项 和．
3．等比数列{an}的首项为 a，公比为 q，Sn 为其前 n 项的和， 求 S1＋S2＋…＋Sn. [解] 当 q＝1 时，an＝a，Sn＝na， 所以 S1＋S2＋…＋Sn＝(1＋2＋…＋n)a＝n（n2＋1）a. 当 q≠1 时， 因为 Sn＝a（11－－qqn），所以 S1＋S2＋…＋Sn
Tn＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋n1－n＋1 1＝1－n＋1 1＝
n n＋1.
利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一 项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就 是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开 的两项之差和系数之积与原通项公式相等．
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]， 两 式 作 差 ， 得 － Tn ＝ 3×[2×22 ＋ 23 ＋ 24 ＋ … ＋ 2n ＋ 1 － (n ＋
1)×2n＋2]＝3×4＋4（11－－22n）－（n＋1）×2n＋2
高三数学一轮复习课件：数列求和_高考复习优秀课件
= n 1 -1.
令 Sn=10, 解得 n=120. 故选 C.
考向2 裂项相消法求和 【例2】 (2013·江西高考)正项数列{an}满足：a2n－(2n－ 1)an－2n＝0. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn＝n＋11an，求数列{bn}的前n项和Tn. 【思路点拨】 (1)通过解关于an的一元二次方程及 an>0，求an； (2)用裂项相消法求Tn.
解析： (1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， 由于 a3＝7，a5＋a7＝26， 所以 a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得 a1＝3，d＝2. 由于 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na12＋an， 所以 an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
(2)因为 an＝2n＋1，所以 an2－1＝4n(n＋1)， 因此 bn＝4nn1＋1＝141n－n＋1 1. 故 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝141－21＋12－13＋…＋1n－n＋1 1 ＝141－n＋1 1＝4nn＋1. ∴所以数列{bn}的前 n 项和 Tn＝4nn＋1.
答案： B
2.已知数列{an}的通项公式是
an=
1
,若 Sn=10,则 n 的值
n n1
是( C )
(A)11
(B)99 (C)120
(D)121
解析:∵an=
1
= n 1 - n ,
n n 1
∴Sn=( 2 -1)+( 3
- 2 )+( 4 - 3 )+…
+( n - n 1 )+( n 1 - n )
一种思路 一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项， 然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方 法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
一轮复习-数列求和专题 ppt课件
∴Sn=
1（121
11 +
33
-
1 +……+
5
= 1 （1 - 1 ）= n
2
2n+1
2n+1
1 -
2n-1
1 )
2n+1
评：裂项相消法的关键就是将数列的每
一项拆成二项或多项使数列中的项出现
有规律的抵消项，进而达到求和的目的。
ppt课件
20
变式探究：
求数列
1111 12 + 2 , 22 + 4 , 32 + 6 , 42 + 8
3 anan+1
3
11 1
= (6n - 5)[6(n +1) - 5] = 2 (6n - 5 - 6n +1).
故Tn=b1+b2+…+bn
=
12〔(1 -
11 )+(
77
-
1
1
)+•••+(
13
6n - 5
-
1 )〕
6n + 1
1
1
= (1 -
)
2 6n + 1
因此，使得
1 (1 -
1
m )<
a1 anq 1 q
(q
1)
2
④ 12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1)
6
⑤
13 23 33
n3
n(n 1) 2
2
ppt课件
3
⑥ 2+4+6+…+2n= n2+n
2018年高考数学(人教A版)一轮复习课件：5.4数列求和
末两端等“距离”的两项的和 如果一个数列{an}与___________________
等于首末两项之和,可把正着写与倒着写的两个式子相 加,就得到一个常数列的和,那么求这个数列的前n项和 即可用倒序相加法,例如,等差数列的前n项和公式就是 用此法推导的.
(5)分组转化法求和: 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数 列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法求和, 分别求和而后相加减.例如,已知an=2n+(2n-1),求其前 n项和Sn.
3.一些常见数列的前n项和公式 (1)1+2+3+4+…+n=_______. 2 n2 (2)1+3+5+7+…+2n-1=__.
2+n n (3)2+4+6+8+…+2n=____.
n n 1
(4)12+22+…+n2=
n(n 1)(2n 1) 6
(5)13+23+…+n3=(1+2+…+n)2.
n n 1
1 若a n= ,则S5等于 n n 1
(
D. 1 30
)
A.1
B.
5 6
C.
1 6
【解析】选B. a n
1 n 1 n 1 1 ， n n 1 n n 1 n n 1
所以S5=a1+a2+a3+a4+a5
1 1 1 1 1 1 2 2 3 5 6 5 . 6
2.(必修5P61T4(3)改编)1+2x+3x2+…+nxn-1= ______(x≠0且x≠1).
等于首末两项之和,可把正着写与倒着写的两个式子相 加,就得到一个常数列的和,那么求这个数列的前n项和 即可用倒序相加法,例如,等差数列的前n项和公式就是 用此法推导的.
(5)分组转化法求和: 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数 列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法求和, 分别求和而后相加减.例如,已知an=2n+(2n-1),求其前 n项和Sn.
3.一些常见数列的前n项和公式 (1)1+2+3+4+…+n=_______. 2 n2 (2)1+3+5+7+…+2n-1=__.
2+n n (3)2+4+6+8+…+2n=____.
n n 1
(4)12+22+…+n2=
n(n 1)(2n 1) 6
(5)13+23+…+n3=(1+2+…+n)2.
n n 1
1 若a n= ,则S5等于 n n 1
(
D. 1 30
)
A.1
B.
5 6
C.
1 6
【解析】选B. a n
1 n 1 n 1 1 ， n n 1 n n 1 n n 1
所以S5=a1+a2+a3+a4+a5
1 1 1 1 1 1 2 2 3 5 6 5 . 6
2.(必修5P61T4(3)改编)1+2x+3x2+…+nxn-1= ______(x≠0且x≠1).
核按钮2018高考新课标数学理一轮复习配套课件：第六章数列6.4 精品
⑧an＝Sn－Sn－1(n≥2)．
2．数列应用题常见模型
(1)单利公式
利息按单利计算，本金为 a 元，每期利率为 r，存期为 x，则本利和 y
＝
.
(2)复利公式
利息按复利计算，本金为 a 元，每期利率为 r，存期为 x，则本利和 y
＝
.
(3)产值模型
原来产值的基础数为 N，平均增长率为 p，对于时间 x，总产值 y
＞0，解得 x＞52，或 x＜1(舍去)，即54n＞52，两边取对数得 nlg54＞lg52，
n＞11－－23llgg22≈4.103，由此得 n≥5.
答：至少经过 5 年，旅游业的总收入才能超过总投入．
【点拨】将实际问题转化为数列问题的一般步骤是：①审题，
②建模，③求解，④检验，⑤作答．增长率模型是比较典型的等比
(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 An 万元，旅游业总收入为 Bn 万元，写出 An 和 Bn 的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？(lg2≈0.301)
解：(1)第一年投入为 800 万元，第二年投入为 800×(1－15)万元，…，
第 n 年的投入为 8001－15n－1万元．所以 n 年内的总投入为： An＝800＋800×1－15＋…＋8001－15n－1 ＝4000－4000×45n； 第一年旅游业收入为 400 万元，第二年旅游业收入为 400×1＋14万
元，…，
第 n 年旅游业收入为 4001＋14n－1万元．所以 n 年内的旅游业总收
入为
Bn＝400＋400×1＋14＋…＋4001＋14n－1 ＝160054n－1600.
(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入，因此 Bn－An
数列求和课件高三数学一轮复习
-2n
1
9·4 -1
+
1
1
+…+
2
4
4
−
−
4 +1
3·4
4 +1
.②
− 4 +1 ,
1
3
1
3·4
4
9
3+4
.
9·4
= −
= −
−
4 +1
,
规律方法 错位相减求和法的方法步骤
设{anbn}的前n项和为Sn,其中数列{an}为公差为d的等差数列,数列{bn}为公
所以当 k 为偶数时,(Sn)max= =
2
当 k 为奇数时,(Sn)max=+1 =
2
2
=25,解得
4
2 -1
=25,此时
4
k=10;
k 无整数解.
综上可得,k=10,Sn=-n2+10n.
当n=1时,a1=S1=9.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-n2+10n)-[-(n-1)2+10(n-1)]=-2n+11,
故数列{an}是等比数列,且首项为2,公比为2,所以an=2n.
(2)由(1)知 bn=log2a2n-1=2n-1,
1
所以
+1
所以
=
=
1
Tn=
1 2
1
1
(1-3
2
1
3
1
(2-1)(2+1)
+
1
2 3
1
5
2018届一轮复习北师大版(理) 数列求和 课件(74张)
求{an}的前n项和.
数列或等差数列，可采用分组求和法求和.
提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，
从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.
跟踪训练1
已知数列{an}的通项公式是an＝2· 3n－1＋(－1)n· (ln 2－ln 3)
＋(－1)nnln 3，求其前n项和Sn. 解答
2 2
故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和. 由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.
解答
记数列{bn}的前2n项和为T2n，则
T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 21－22n 则A＝ ＝22n＋1－2， 1－2 B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
常见的裂项公式 1 1 1 ① ＝ n－ ； nn＋1 n＋1 1 1 1 1 ② ＝22n－1－2n＋1； 2n－12n＋1 ③ 1 n＋ n＋1 ＝ n＋1－ n.
(4)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程
的推广.
(5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和， 即等比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝ (－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解. 例如， Sn ＝ 1002 － 992 ＋ 982 － 972 ＋ … ＋ 22 － 12 ＝ (100 ＋ 99) ＋ (98 ＋ 97) ＋…＋(2＋1)＝5 050.
2018版高考数学一轮复习课件：第5章 第4节 数列求和
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第六页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
高三一轮总复习
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 如 果 数 列 {an} 为 等 比 数 列 ， 且 公 比 不 等 于 1 ， 则 其 前 n 项 和 Sn ＝
a11－－aqn＋1.(
)
(2)当 n≥2 时，n2－1 1＝12n－1 1－n＋1 1.(
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第二十页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
高三一轮总复习
(2)由 an＝2n＋1 可知 bn＝ana1n＋1＝2n＋112n＋3＝122n1＋1－2n1＋3.8 分 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ 1213－15＋15－17＋…＋2n1＋1－2n1＋3 ＝32nn＋3.12 分
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第二十三页，编辑于星期六：二十二点 二十八 分。
高三一轮总复习
2a2＋a3＋a5＝4a1＋8d＝20， [解] (1)由已知得10a1＋10× 2 9d＝10a1＋45d＝100， 解得da＝1＝21，， 3 分 所以数列{an}的通项公式为 an＝1＋2(n－1)＝2n－1.5 分
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第二十七页，编辑于星期六：二十二点 二十八 分。
高三一轮总复习 (2)由(1)知 cn＝63nn＋＋63n＋n1＝3(n＋1)·2n＋1.7 分
又 Tn＝c1＋c2＋…＋cn， 得 Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]， 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，9 分 两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2] ＝3×4＋411－－22n－n＋1×2n＋2 ＝－3n·2n＋2，
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项合并为零，所剩正数项和负数项项数
必是一样多的(称为“对称剩项”) 。
例2：
正项数列?an?的前n项和Sn，满足：
? ? ? ? Sn2 ? n2 ? n ? 1 Sn ? n2 ? n ? 0.
?1?求数列?an?的通项公式;
?2?令bn
=
?n
n?1
? ? 2 2 an2
,
数列?bn?的前n项和为Tn
Sn ? S奇 ? S偶.
例3：
在等差数列?an?中，已知公差d ? 2，
a2是a1与a4的等比中项。
(1)求数列?an?的通项公式。
(2)设bn =an?n?1?，
2
记Tn =-b1+b2 -b3 +b4 - + ?? 1?n bn，
求Tn .
梁婷婷
陈倩
例4：
在数列{an}中，an?1 ? an ? 2n ? 44， a1 ? ? 23， (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an }前n项和为 S n，求Sn .
丁 雪 雯
成 慧 钰
张 天 真
小结
?1、公式法。 ?2、错位相减。 ?3、裂项相消。 ?4、分组求和。
作业：1、整理错题,归纳总结; 2、试卷练习1,2,3,4 。
an?1 ? d
2d 2 ? 2 an?1
an?1 ? d
2d 2 ? 2 an?1
李 金 洋
f(x)=2x f'(x)=2 xln2
丁 雪 雯
裂项相消
适用题型：
通项公式形如：
an =
c p ?q
?
q
c ?
p
? ? ?
1 p
?
1 q
???p
?
?
q?
每一项分裂成一正一负项，互为相反的
例1：
设等差数列?an?的公差为d,点?an ,bn ?在 函数f ?x?? 2x的图象上?n ? N *?. (1)证明:数列?bn?为等比数列. (2)若a1 ? 1,函数f ?x?的图象在点?a2 ,b2 ?
处的切线在x轴上的截距为2 ? 1 , ln 2
? ? 求数列 anbn2 的前n项和Sn.
,
证明:对于任意的n ?
N * , 都有Tn
?
5. 64
两式相减的目的？
已知Sn， 求an的步骤
见n-1,注n≥2
张 姝 璇
系数 为常数
保证裂项 前后相等
对称剩项
别激动，看清题目要求，完整答题。
张天真
分组求和
适用题型
1、若 an ? (?1)n f (n) , 可相邻两项分组。
2、若奇数项和偶数项分别成等差或等 比数列,可分奇数项一组 ,偶数项一组,即
(4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函 数的关系
根据历年高考题对数列求和的考察， 我们需要掌握的求和方法有：
? 1、公式法 ? 2、错位相减 ? 3、裂项相消 ? 4、分组求和
错位相减
适用题型
已知数列{a n n}分别为等差数列 和等比数列(q≠1),c n=anbn,求数列 {c n} 的前n 项和Sn 求和时在已知求和式两边同乘以等 比数列的公比 q, 与原数列的和作差， 即Sn-qS n.
数列求和
山东省烟台第二中学
数列在高考中的考试要求
1、数列的概念和简单表示法 (1)了解数列的概念和几种简单的表示方法
(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数 2、等差数列、等比数列 (1)理解等差数列、等比数列的概念
(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n项和 公式
(3)能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系 或等比关系，并能用相关知识解决相应问题