高中数学课时作业：基本不等式

课时作业38 基本不等式

一、选择题

1．下列不等式一定成立的是( C )

A ．lg ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x 2＋14>lg x (x >0)

B ．sin x ＋1

sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1

x 2＋1

>1(x ∈R ) 解析:对选项A,当x >0时,x 2

＋1

4－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0,所以lg ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2＋14≥lg x ；对选项

B,当sin x <0时显然不成立；对选项C,x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |,一定成立；对选项D,因为x 2＋1≥1,所以0<1

x 2＋1

≤1.故选C.

2．若2x ＋2y ＝1,则x ＋y 的取值范围是( D ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2,＋∞)

D ．(－∞,－2]

解析:∵1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y

⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2x ＝2y ＝12，即x ＝y ＝－1时等号成立,

∴2x ＋y ≤12,∴2x ＋y ≤1

4,得x ＋y ≤－2.

3．已知a ＋b ＝t (a >0,b >0),t 为常数,且ab 的最大值为2,则t ＝( C ) A ．2 B ．4 C ．2 2

D ．2 5

解析:∵a >0,b >0,∴ab ≤(a ＋b )24＝t 24,当且仅当a ＝b ＝t

2时取等号．∵ab 的最大值为2,∴t 2

4＝2,t 2＝8.又t ＝a ＋b >0,∴t ＝8＝2 2.

4．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x

,则f (x )在⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤

12，3上的最小值为( D ) A.1

2 B.4

3 C ．－1

D ．0

解析:f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0,当且仅当x ＝1

x ,即x ＝1时取等

号．又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3,所以f (x )在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

12，3上的最小值是0.

5．已知x ,y 为正实数,且x ＋y ＋1x ＋1

y ＝5,则x ＋y 的最大值是( C ) A ．3 B.72 C ．4

D.92

解析:∵x ＋y ＋1x ＋1y ＝5,∴(x ＋y )[5－(x ＋y )]＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x ＋1y ＝2＋y x ＋x

y ≥2＋2＝4,∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0,∴1≤x ＋y ≤4,

∴x ＋y 的最大值是4,当且仅当x ＝y ＝2时取得．

6．(吉林长春外国语学校质检)已知x >0,y >0,且3x ＋2y ＝xy ,若2x ＋3y >t 2＋5t ＋1恒成立,则实数t 的取值范围是( B )

A ．(－∞,－8)∪(3,＋∞)

B ．(－8,3)

C ．(－∞,－8)

D ．(3,＋∞)

解析:∵x >0,y >0,且3x ＋2y ＝xy ,可得3y ＋2x ＝1,∴2x ＋3y ＝(2x ＋3y )3y ＋2

x ＝13＋6x y ＋6y

x ≥13＋2

6x y ·6y x

＝25,当且仅当x ＝y ＝5时取等号．∵2x ＋3y >t 2＋5t ＋1恒成立,∴t 2＋5t ＋1<(2x ＋3y )min ,∴t 2＋5t ＋1<25,解得－8

7．若对于任意的x >0,不等式x

x 2＋3x ＋1≤a 恒成立,则实数a 的取值范围为

( A )

A ．a ≥1

5 B ．a >15 C ．a <15

D ．a ≤1

5

解析:由x >0,x x 2＋3x ＋1

＝1x ＋1x ＋3

,令t ＝x ＋1

x ,则t ≥2

x ·1x ＝2,当且仅当x ＝1

时,t 取得最小值 2.x x 2＋3x ＋1取得最大值15,所以对于任意的x >0,不等式x

x 2

＋3x ＋1≤a 恒成立,则a ≥1

5.

二、填空题

8．已知a >0,则(a －1)(4a －1)

a 的最小值为－1. 解析:(a －1)(4a －1)a ＝4a 2－a －4a ＋1a ＝4a －5＋1a . ∵a >0,∴4a －5＋1a ≥2

4a ·1a －5＝－1,当且仅当4a ＝1a ,即a ＝12时取等号,∴

(a －1)(4a －1)

a

的最小值为－1. 9．若x >0,y >0,x ＋4y ＋2xy ＝7,则x ＋2y 的最小值是3. 解析:因为x >0,y >0,x ＋4y ＋2xy ＝7,则2y ＝7－x

x ＋2.

则x ＋2y ＝x ＋7－x x ＋2＝x ＋2＋9

x ＋2－3

≥2

(x ＋2)·9

x ＋2

－3＝3,当且仅当x ＝1时取等号．因此其最小值是3.

10．某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位:万元)与机器运转时间x (单位:年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *),则当每台机器运转5年时,年平均利润最大,最大值是8万元．

解析:每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ,而x >0,故y

x ≤18－

225＝8,当且仅当x ＝5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元．

三、解答题

11．(河北唐山模拟)已知x ,y ∈(0,＋∞),x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求1x ＋1

y 的最小值．

(2)是否存在x ,y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．