2020届天津市河西区高三二模数学试题解析

绝密★启用前2020届天津市河西区高三二模数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{}24M x x =≤，集合{}12N x x =≤≤，则MN =（ ）A ．{}21x x -≤< B ．{}2,1,0-- C ．{}2x x ≤- D ．{}02x x <<答案：A化简集合M ，N ，根据补集运算求解即可. 解：{}24[2,2]M x x =≤=-，{}12N x x =≤≤， [2,1)MN ∴=-，故选：A 点评：本题主要考查了集合的补集运算，属于容易题.2．设p ：“条件A 与条件B 互斥”，q ：“条件A 与条件B 互为对立事件”，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分而不必要条件答案：B根据对立事件和互斥事件的关系，即可容易判断充分性和必要性. 解：因为对立一定互斥，互斥不一定对立. 故命题p 是命题q 的必要不充分条件. 故选：B. 点评：本题考查命题之间的关系，涉及对立事件和互斥事件的联系，属综合基础题. 3．已知 x 与 y 之间的一组数据：则 y 与 x 的线性回归方程为ˆˆ0.95yx a =+，则 a 的值为（ ） A ．0.325 B ．0C ．2.2D ．2.6答案：D首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数， 解：解：由题意，013424x +++==，2.2 4.3 4.8 6.74.54y +++==，∴样本中心点为()2,4.5，数据的样本中心点在线性回归直线0.95y x a =+上， 4.50.952a ∴=⨯+，∴ 2.6a =，故选：D 点评：本题考查线性回归方程，考查样本中心点的应用，考查学生的计算能力，属于基础题． 4．已知双曲线的一个焦点与抛物线220x y =的焦点重合，且双曲线上的一点P 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．221916y x -=D ．221169y x -=答案：C根据题意，先求得双曲线焦点坐标，再结合双曲线定义，即可求得,,a c b ，则方程得解. 解：因为220x y =的焦点为()0,5，故双曲线的焦点在y 轴上，故设双曲线方程为22221y x a b-=，则5c =；由双曲线定义知：26a =，解得3a =；故可得4b =；则双曲线方程为：221916y x -=.故选：C. 点评：本题考查双曲线方程的求解，涉及其定义，以及抛物线焦点坐标的求解，属综合基础题. 5．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，2223163()c S b a =+-，则tan B =（ ）A ．23B ．32C ．43D ．34答案：D利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解. 解：由2223163()c S b a =+-， 则22233316c a b S +-=， 即132cos 16sin 2ac B ac B ⨯=⨯， 所以3cos 4sin B B =，且cos 0B ≠， 所以3tan 4B =. 故选：D 点评：本题考查了余弦定理、三角形的面积公式、弦化切，属于基础题.6．已知正四棱锥P ABCD -的正方形，其体积为43，若圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面积为（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π答案：C根据正四棱锥的体积可求出圆柱的高，根据圆柱底面圆过棱锥底面正方形的四个顶点可求圆柱底面圆半径，利用表面积公式计算即可. 解：因为正四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，其体积为43，底面积为()222S ==所以棱锥高3422V h S ===, 即圆柱的高为2，因为圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点， 所以正方形的对角线为圆的直径2=22=2R ⨯，即1R = 所以圆柱的表面积为2222242hS R R πππππ=⨯+=+= 故选：C 点评：本题主要考查了正四棱锥的体积，圆柱的表面积，考查了空间想象能力，属于容易题.7．函数()()1e 2cos 1xf x x -=--的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A排除法，根据()1f 和()0f 的符号可排除B ，D ，再对函数求导，判断函数在()2,+∞上的单调性即可得出结论． 解： 解：()11f =-，∴舍去B ，()02cos10f e =->，∴舍去D ，2x >时，()()22cos 1x f x e x -=--，()()12sin 120x f x e x e -'∴=+-≥->，∴函数()f x 在()2,+∞上单调递增， 故选：A ． 点评：本题主要考查函数图象的识别，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题． 8．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则这样的四位数的个数为（ ） A ．64 B ．72 C ．96 D ．144答案：C由题意把四位数分为含有3个偶数与2个偶数两类,每一类要考虑特殊元素0的安排情况,利用排列组合的应用可分别求出每类四位数的个数,相加即可. 解：根据题意,数字0，1, 2, 3, 4中有2个奇数,3个偶数.若组成的四位数要求至少有两个数字是偶数,则四位数中含有2个或3个偶数,分2种情况讨论:①四位数中含有3个偶数，1个奇数，因为0不能在首位,有3种情况,选取一个奇数有122C =种，与另两个偶数安排在其他三个位置，有336A =种情况，则有32636⨯⨯=个符合条件的四位数;②四位数中含有2个偶数,2个奇数;若偶数中有0,在2、4中选出1个偶数,有122C =种取法,其中0不能在首位,有3种情况，将其他3个数全排列,安排在其他三个位置,有336A =种情况,则有23636⨯⨯=个符合条件的四位数；若偶数中没有0,将其他4个数全排列,有4424A =个符合条件的四位数；则一共有36+36+24=96个符合条件的四位数. 故选：C 点评：本题主要考查分类计数原理及排列组合的运用，注意优先考虑特殊元素的安排情况，属于中档题.9．已知函数()()1121222x xf xfx x⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，，，，若函数()()g x x f x a=⋅-(1)a≥-的零点个数为2，则（）A．2837a<<或1a=-B．2837a<<C．7382a<<或1a=-D．7382a<<答案：D由1()(2)(2)2f x f x x=-->，可知当()2,22()x k k k Z∈+∈时，()f x的图象可由()22,2()x k k k Z∈-∈的图象沿x轴翻折，并向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的一半，即可作出函数()f x的图象，将()g x的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可.解：如图，可得()f x的图象.令()0g x=，当0x=时，不符合题意；当0x≠时，得()af xx=，若0a>，则满足132178aa⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，，可得7382a<<；若10a-≤<，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当10a-<<时，因为(1)11af=-<，所以在()0,2上有两个交点，不合题意舍去，当1a=-时，则需154a<-，解得aØ∈，故选D.点评：本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键.二、填空题10．设复数z 满足()1234i z i +=-（i 为虚数单位），则z 的值为__________．分析：由条件()1234i z i +=-得到复数的代数形式，即可求得复数模长. 详解：因为()1234i z i +=-，所以3412i z i -=+=()()()()34121212i i i i --+-=12i --，所以z =点睛：本题考查复数的四则运算，意在考查学生的计算能力． 11．二项式6(2x -的展开式中常数项为 . 答案：60试题分析：二项式6(2x 的展开式的通项公式为()36662166·2?(?2?(1)r rrr r r rr T C x C x ---+==-,令3602r -=，解得4r =，所以该二项式展开式中常数项为46446·2?(1)60C --=，故答案为60.【考点】二项展开式的通项公式.12．若直线34x y m +=与圆22x y m +=相切，则实数m =______.答案：25根据直线和圆相切转化为点到直线的距离等于半径即可. 解：直线34x y m +=与圆()220x y m m +=>相切，∴圆心到直线的距离5m d -===平方可得225m m =，解得25m = 故答案为：25 点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系，直线与圆相切考，点到直线的距离公式，考查了运算能力，属于基础题.13．已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________.答案：8由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是2414x y x -+=+，可得()241494644x x y x x x x -++=+=++-++，再利用基本不等式即可得出结果.解： 解：x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()24149466844x x y x x x x -++=+=++-≥=++. 当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8. 点评：本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.三、双空题14．某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为______；取出的3件产品中次品的件数x 的期望是______. 答案：715 35（1）先计算所有抽取产品的可能，再计算3件产品中且有一件次品的可能，用古典概型的概率计算公式即可求得；（2）先求得x 的分布列，再求其期望即可. 解：（1）从10件产品中，抽取3件，有310120C =种可能； 若取出的3件中恰有1件是次品，有218256C C ⋅=种可能；故满足题意的概率56712015P ==； （2）根据题意，0,1,2x =，()38567012012015C P x ====；()2182567112012015C C P x ⋅====；()128281212012015C C P x ⋅====，故()72315155E x =+=. 故答案为：715；35.点评：本题考查超几何分布中概率的计算，以及期望的求解，属中档题.15．在ABC 中，点M ､N 分别为CA ､CB 的中点，点G 为AN 与BM 的交点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则BC BA ⋅=______；AG AC ⋅=______.答案：1 83根据点M ､N 分别为CA ､CB 的中点，可得G 为三角形ABC 的重心，再将AG 、MB 、AC 、用BA 、BC 表示，利用5AB =，1CB =可得答案.解：因为点M ､N 分别为CA ､CB 的中点，所以G 为三角形ABC 的重心， 所以()2233AG AN BN BA ==-=21123233BC BA BC BA ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()12MB BM BA BC =-=-+， 因为223AG MB CA CB ⋅=+，所以()22121133322BC BA BA BC BA BCCB ⎛⎫⎛⎫-⋅--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以221113636BC BA BC BA ⎛⎫-++⋅⎪⎝⎭2222BA BC BA BC BC =+-⋅+， 所以52BC BA ⋅=252BC ，所以21BC BA BC ⋅==， AG AC ⋅=()1233BC BA BC BA ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭221233BC BA BC BA =+-⋅12851333=+⨯-=. 故答案为：1；83.点评：本题考查了向量的线性运算，考查了三角形重心的性质，考查了平面向量的数量积，属于中档题.四、解答题16．已知函数()()21cos cos 2f x x x x x R =-∈ （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性； 答案：（1）π.（2）()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. （1）根据题意，利用三角恒等变换化简()f x 为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公式即可求得结果；（2）先求得()f x 在R 上的单调增区间，结合区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即可求得结果.解：（1）依题意，()211cos 21cos cos 2sin 22226x f x x x x x x π+⎛⎫=-=-=+ ⎪⎝⎭ 所以2T ππω==.（2）依题意，令222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.设,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，,36B k k ππππ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦，易知,46A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，所以当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； 在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 点评：本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题. 17．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，E 为1CC 的中点. （1）求证：1//AC 平面BDE ； （2）求证：1A E ⊥平面BDE ；（3）若F 为1BB 上的动点，使直线1A F 与平面BDE ，求DF 的长.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3建立如图所示空间直角坐标系，（1）求出平面BDE 的法向量，利用10AC n →→⋅=证明即可；（2）利用1//A E n →→即可证明；（3）设点F 的坐标为(1，1，λ)，由线面角公式可求出λ，即可利用向量的模求DF 的长. 解：如图建立空间直角坐标系D xyz -，D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，1A (1，0，2)，1B (1，1，2)，1C (0，1，2)，1D (0，0，2)，E (0，1，1)（1）证明：设平面BDE 的法向量n →=(x ，y ，z )，DB →=(1，1，0)，DE =(0，1，1)由00n DB n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得n →=(1，-1，1)， 又1AC →=(-1，1，2)，因为()11111210AC n →→⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以1AC n →→⊥，所以1//AC 平面BDE .（2）证明：由（1）可知n →=(1，-1，1)，1A E →=(-1，1，-1)，1A E n →→=-，所以1//A E n →→，所以1A E ⊥平面BDE .（3）设点F 的坐标为(1，1，λ)，1A F →=(0，1，2λ-)，设直线1A F 与平面BDE 所成角为α，则()12136sin 3312A F nA F nλαλ→→→→⋅-===⋅+-⋅， 解得1λ=，所以点F 的坐标为(1，1，1)，DF →=(1，1，1)，|3|DF →= 所以DF 3.点评：本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直，线面平行，线面角，线段的长，考查了运算能力，属于中档题.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()*232n n S a n N =-∈，数列{}nb 是公差为0的等差数列，且满足1116b a =，5b 是2b 和14b 的等比数列. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求10111i i i b b =+∑；（3）设数列{}n c 的通项公式122k n kkn c a n ⎧≠=⎨=⎩()*k N ∈，求()()22*11ni i c n N =-∈∑； 答案：（1）23nn a =⋅，21n b n =-.（2）1021.（3）111392322n n n ++⨯-⨯++ .（1）利用两式()232n n S a =-(*N n ∈)， ()11232n n S a --=-(2n ≥)相减得到13nn a a -=(2n ≥)，再根据等比数列的通项公式可得n a ，根据()25214b b b =⋅求得等差数列{}n b 的公差，再根据等差数列的通项公式可得n b ； （2）根据1111122121n n b b n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭裂项求和可得结果； （3）由{}n c 的通项公式分析可知，数列{}n c 的前2n 项中，有n 项的值不为1，它们是112c a =，222c a =，332c a =，，2n n c a =，其余的项的值都为1，由此可得()()2221111nni i i i c a ==-=-∑∑，然后利用等比数列的前n 项和公式可得结果.解：（1）因为()232n n S a =-(*N n ∈)，所以()11232n n S a --=-(2n ≥)， 两式相减，整理得：13n n a a -=()2n ≥， 又当1n =时，()11232a a =-，16a =，所以13nn a a -=(2n ≥)，所以{}n a 是以6为首项，3为公比的等比数列，1123n n n a a q -=⋅=⋅.设等差数列{}n b 的公差为d ， 因为11116b a ==，5b 是2b 和14b 的等比中项， 所以()25214b b b =⋅，即()()()2141113d d d +=++， 整理得220d d -=，解得0d =或2d =，因为公差不为0， 所以2d =，故()1121n b b n d n =+-=-.（2）因为()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以101111111111012335192121i i i b b =+⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪⎝⎭∑. （3）因为122kn kkn c a n ⎧≠=⎨=⎩()*k N ∈，23n n a =⋅， 所以数列{}n c 的前2n 项中，有n 项的值不为1，它们是112c a =，222c a =，332c a =，，2n n c a =，其余的项的值都为1， 所以()()()()222211111123149431nn n niiiiii i i i c a ====-=-=⋅-=⋅-⋅+∑∑∑∑()()111191931313494344923191322n n nni i n n i i n n n ++==--=-+=⨯-⨯+=⨯-⨯++--∑∑.点评：本题考查了由n a 与n S 的关系式求n a ，考查了等比中项的应用，考查了裂项求和方法，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了分析问题的能力，属于较难题. 19．如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的一个焦点为)，⎛⎝⎭是椭圆上一点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上下顶点分别为A ，B ，()()000,0P x y x ≠是椭圆上异于A ､B 的任意一点，PQ y ⊥轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线:1l y =-于点C ，N 为线段BC 的中点.①求证：OM MN ⊥； ②若MON △的面积为32，求0y 的值； 答案：（1）2214x y +=（2）①证明见解析；②45(1)设椭圆方程为22221x y a b +=,由题意,得3c =再由3⎛ ⎝⎭是椭圆上的一个点,即可求出椭圆方程;(2)根据题意,求出直线AB 的方程、点M,C,N 的坐标,计算0OM NM →→⋅=,可得OM MN ⊥,再利用32MON S ∆=,结合椭圆方程,求解可得结果.解：（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意，得3c =.因为222a c b -=，所以223a b -=.又3⎛ ⎝⎭是椭圆上的一个点，所以2231413aa +=-， 解得24a =或234a =(舍去)， 所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）①解：因为()00,P x y ，()00x ≠，则()00,Q y ，且220014x y +=.因为M 为线段PQ 中点，所以00,2x M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 又()0,1A ，所以直线AM 的方程为()00211y y x x -=+. 因为00x ≠，∴01y ≠令1y =-，得00,11x C y ⎛⎫-⎪-⎝⎭，又()0,1B -，N 为线段BC 的中点，有()00,121x N y ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以()0000,1221x x NM y y →⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭.因此，()()()2220000000000012221441x x x x x OM NM y y y y y y →→⎛⎫⋅=-+⋅+=-++ ⎪ ⎪--⎝⎭ ()()2220000000110441x x y y y y y ⎛⎫=+-+=-++= ⎪-⎝⎭. 所以OM MN ⊥. ②由①知，OM MN ⊥.因为1OM ==，ON ===所以在Rt MON中，MN =，因此12MON S OM MN =⋅=△32=， 解得045y =. 点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查了运算能力，涉及向量运算，属于难题.20．已知函数()02x xf x e e sinx x e π⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，，（为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的值域；（2）若不等式()(1)(1sin )f x k x x --对任意02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：1213()122x e x ---+＞． 答案：（1）[]0,1；（2）2112e k ππ-≤≤-；（3）证明见解析.（1）先对函数求导，判断出函数单调性，进而可得出值域；（2）先由题意，将问题转化为(1)x e k x ≥-对任意02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，构造函数()x g x e kx k =-+，对函数()g x 求导，用导数方法判断其单调性，求其最小值，即可得出结果. （3）令()1213()122x h x ex -=+--，对函数()h x 求导，用导数方法研究其单调性，求其最小值，只需最小值大于0即可. 解：（1）因为()xxf x e e sinx =-，所以()((1sin cos )1)4cos )xxxxf x e e sinx x e e x x x π'=-+⎡⎤--==+⎢⎥⎣⎦，∵02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴3444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴42sin x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以()0f x '≤， 故函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，函数()f x 的最大值为()1010f =-=；()f x 的最小值为22022f e e sin ππππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域为[]0,1．（2）原不等式可化为)(1)(1sin (1)xe sinx k x x -≥-- …（）， 因为1sin 0x -≥恒成立，故（）式可化为(1)xe k x ≥-．令()xg x e kx k =-+，则()xg x e k '=-，当0k ≤时，()0xg x e k '=->，所以函数()g x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故()(0)10g x g k ≥=+≥，所以10k -≤≤；当0k >时，令()0x g x e k '=-=，得ln x k =，所以当(0,ln )x k ∈时，()0xg x e k '=-<；当(ln ,)x k ∈+∞时，()0x g x e k '=->． 所以当2lnk π＜，即20k e π<<时，函数min ()(ln )2ln 0g x g k k k k ==->成立；当2lnk π≥，即2k e π≥时，函数()g x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，2()022ming x g e k k πππ⎛⎫==-+≥ ⎪⎝⎭，解得2212e e k πππ≤≤-综上，2112e k ππ-≤≤-．（3）令()1213()122x h x ex -=+--，则()132x h x e x -'=+-． 由1124133100244h e h e --⎛⎫⎛⎫''=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，＞，故存在01324x ，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，即 01032x ex -=-． 所以，当0(,)x x ∈-∞时，()0h x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>． 故当0x x =时，函数()h x 有极小值，且是唯一的极小值， 故函数()0122min 000013313()()1()()122222x h x h x ex x x -==+--=--+-- 220013313()12222522x x ⎡⎤⎛⎫=---=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 因为01324x ，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22015313531()()022*******x ----=>>， 故()1213()1022x h x ex -=+-->， 即1213()122x e x ---+>．点评：本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数单调性、最值、以及由不等式恒成立求参数的问题，属于常考题型.。