哈工大断裂力学讲义(第四章)(1)
断裂力学讲义
目录§1.1断裂力学的概念.......................................................... §1.2断裂力学的基本组成...................................................... 第二章线弹性断裂力学概述 ..................................................... §2.1裂纹及其对强度的影响.................................................... §2.2断裂理论................................................................ 第三章裂纹尖端区域的应力场及应力强度因子 ..................................... §3.1Ⅰ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 ........................................ §3.2Ⅱ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 ........................................ §3.3Ⅲ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 ........................................ §3.4应力强度因子的确定......................................................第一章绪论§1.1断裂力学的概念任何一门科学都是应一定的需要而产生的，断裂力学也是如此。
一提到断裂，人们自然而然地就会联想到各种工程断裂事故。
在断裂力学产生之前，人们根据强度条件来设计构件，其基本思想就是保证构件的工作应力不超过材料的许用应力，即σ≤[σ]～安全设计安全设计对确保构件安全工作也确实起到了重大的作用，至今也仍然是必不可少的。
断裂力学(优质课件)
材料不是完美无瑕的
绪论
工程材料都有缺陷（先天— 夹杂、夹渣、瑕疵、空洞、裂缝
后天— 冶炼、加工、制造、安装、使用）
材料中的宏观尺寸缺陷—这里通称为裂纹（尖裂纹或钝裂纹）。
由于材料有缺陷，材料的自身强度是理论强度的1/10-1/100；
由于材料有缺陷，材料在受力后会在缺陷处产生严重的应力集中；
由于材料有缺陷，材料会在某种应力作用下产生亚临界裂纹扩展，材料对
研究20的21/重6/1要6 方向）。因此断裂研究有重大的经济和社会意义 。
5
绪论
尽管社会不断发展，断裂问题仍层出不穷
多少世纪来，人们积累了大量有关断裂的现象和经验，但一般的解决方法就 是替换，换新的或找更强的材料代替，对断裂的认识停留在现象上。18世纪以来随 着工业的发展，对构件需求和要求更高，开始探索断裂理论，以材料力学为代表的
理论、 模型等随后提出几十个。但随着新材料（如高强度钢）新工艺（如焊接）的 发展，断裂问题仍层出不穷。Why ? 这一方面说明断裂问题的复杂性，另一方面说 明，已有的断裂理论还解决不了全部问题。 上世纪中，在现代工业发展和战争的的 推动下，人们对断裂现象认识的进一步深化，对材料强度、缺陷、位错、应力集中 等理论研究不断深入，断裂力学终于在1957年应运而生，成为学科，且已经在生产 和设计中发挥重大作用，并继续承受检验。
什么是断裂力学？
断裂力学是一门研究含裂纹物体，裂纹的启裂、扩展到断裂的宏观过程及断裂
条2件021的/6/科16学。
6
绪论
● 代表人物
谈到断裂力学发展，它归功很多人，有三个人值得我们特别提出，他们是：
Inglis, Griffith, Irwin.
Inglis 把缺陷看成材料内部的小孔, 1913年理论计算了无限大板中心椭圆孔
断裂力学讲义
目录第一章绪论................................................................................................................................................................................ §1.1 断裂力学的概念 ................................................................................................................................................................ §1.2 断裂力学的基本组成 ........................................................................................................................................................ 第二章线弹性断裂力学概述 ...................................................................................................................................................... §2.1 裂纹及其对强度的影响 .................................................................................................................................................... §2.2 断裂理论............................................................................................................................................................................... 第三章裂纹尖端区域的应力场及应力强度因子 ...................................................................................................................... §3.1 Ⅰ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 ............................................................................................................................ §3.2 Ⅱ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 ............................................................................................................................ §3.3 Ⅲ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 ............................................................................................................................ §3.4应力强度因子的确定 ...........................................................................................................................................................第一章 绪论§1.1 断裂力学的概念任何一门科学都是应一定的需要而产生的，断裂力学也是如此。
哈尔滨工程大学力学基础课件第4章
点的惯性矩 I P 。
结论：
I z和极惯性矩 Ip 恒为正 （3） 惯性矩 I y 、
值，而惯性积I yz的数值可能为负，也可能为零，
不过它们的量纲均为
4 。 [长度]
（4） 两正交坐标轴中，只要有一根轴是
截面的对称轴，则截面对这一对坐标轴的惯
性积等于零。
例 ： 计算矩形截面对对称轴y轴和z轴的惯 性矩。
c.静矩的量纲为[长度]3
二、静矩与形心 的关系 若将图中截面图 形看作为均质等厚的 薄板，则它的重心即 为截面图形的形心。 则重心即截面形心C 的坐标为：
z
dA
c
z z
0
y
y y
y
A
ydA A
Sz A
当截面的形心位置已 知时静矩
S z Ay
z
A
zdA A
Sy A
S y Az
sin 2 0 I yz cos 2 0 0
2 I yz Iz I y
得
tan 2 0
将求得的角代入下式
Iz1
I y1
Iz I y 2
Iz I y 2
Iz I y 2
Iz I y 2
0
cos 2 I yz sin 2
cos 2 I yz sin 2
组合截面对某轴的静矩等于组合截面中各简单图形对该轴静矩的代数和即1nziiisay?1nsazyiii?将上式代入可得组合截面形心坐标的计算公式将上式代入可得组合截面形心坐标的计算公式11niiziniiaysyaa??11niiyiniiazszaa??zsayysaz42惯性矩惯性积和惯性半径一惯性矩定义为截面对一惯性矩定义为截面对z轴和y轴的惯性矩
4第四章 材料的韧性和断裂力学
• (一)裂纹尺寸与断裂强度的关系
• 在研究断裂行为时，一个重要的经验结果 就是：构件断裂时名义应力的大小与结构 内部的裂纹尺寸和形状有关。
(4-1)
或
(4-2)
式中σc 为断裂应力，称为剩余强度； 为裂纹深度；
• • • •
Y 形状系数 ； KIC 材料的断裂韧性。 由式（4-2）可知： 1.对应于一定的裂纹尺寸 个临界的应力值σc 。
K
I
（4-21）
平面应力状态
（4-22）
• 平面应变状态
（4-23）
上式试近似的，因设 而且未考虑等 效裂纹长度对形状因之 Y 的影响。对于复杂 的问题，ry是 函数，而 又是ry的函数，要 用逐次逼近法求解。
• 4.弹塑性断裂力学与COD准则 • 在工程实际中，用中低强度材料制成的 构件或结构中的裂纹尖端将发生大范围 的屈服或全屈服，塑性区尺寸可达到与 裂纹长度相同的数量级，断裂发生在接 近屈服应力的时候。弹塑性断裂与脆性 断裂的过程是不同的。裂纹开裂后，将 有一段明显的亚临界扩展阶段，只有达 到一定长度后，才发生失稳扩展和断裂。
• I型是裂纹张开型，这时裂纹的两个表面 直接分离。常见于疲劳及脆性断裂，其 断口平齐，是工程上最常见、最危险的 断裂类型。 • Ⅱ型是边缘滑开型或正向滑开型。它表 现为裂纹的两个表面沿垂直于裂纹前缘 方向相互滑移。 • Ⅲ型是侧向滑开型或撕开型，亦称平行 剪切型。它们的特征是两个裂纹表面在 平行于裂纹前缘的方向上相互滑移。裂
• 以上结论说明，带裂纹的构件只要裂纹 达不到临界尺寸，或裂纹尺寸一定时， 只要应力不大于临界应力，都是安全的。 这样，考虑了裂纹的存在，根据裂纹失 稳条件所得的断裂应力，与传统强度条 件得出的结果就不一定相同了。 • (二)应力场强度分析与断裂韧性 • 为了对裂纹尖端应力进行分析，定义了 三种基本应力场，每一种应力场都与裂 纹变形的特殊方式有关。如（图4-5）所 示。
断裂力学讲义
目录§1.1断裂力学的概念................................................................................................................................................................... §1.2断裂力学的基本组成........................................................................................................................................................... 第二章线弹性断裂力学概述.......................................................................................................................................................... §2.1裂纹及其对强度的影响....................................................................................................................................................... §2.2断裂理论 ................................................................................................................................................................................. 第三章裂纹尖端区域的应力场及应力强度因子.......................................................................................................................... §3.1Ⅰ型裂纹尖端区域的应力场与位移场................................................................................................................................ §3.2Ⅱ型裂纹尖端区域的应力场与位移场................................................................................................................................ §3.3Ⅲ型裂纹尖端区域的应力场与位移场................................................................................................................................ §3.4应力强度因子的确定...........................................................................................................................................................第一章绪论§1.1断裂力学的概念任何一门科学都是应一定的需要而产生的，断裂力学也是如此。
哈工大理论力学第四章
∑F =0
z
FOA sin 45 −P = 0
（拉） F = −1414N F = F = 707N OA OB OC
例4-4 已知： F, l, a,θ 求： x ( F ) , My ( F ) , Mz ( F ) M 解：把力 F 分解如图
Mx F = −F ( l + a) cosθ My F = −Fl cosθ
∑F = 0
FA = 8.66kN
例4-3 已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力. 解：各杆均为二力杆，取球铰O， 画受力图。
∑F =0 ∑F =0
x
y
FOB sin 45 − FOC sin 45 = 0
− FOB cos 45 − FOC cos 45 − FOA cos 45 = 0
空间平行力系的平衡方程
∑F = 0 ∑M
z
x
=0
பைடு நூலகம்
∑M
y
=0
2.空间约束类型举例 2.空间约束类型举例 3.空间力系平衡问题举例 3.空间力系平衡问题举例
§4–6 重 心 6
1．计算重心坐标的公式
P ⋅ xC = P ⋅ x1 + P2 ⋅ x2 + .... + Pn ⋅ xn 1 = ∑ Pi ⋅ xi
M = rBA × F
2、力偶的性质 (1） (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 变而改变。 变而改变。
M O ( F , F ′) = M O ( F ) + M O ( F ′) = rA × F + rB × F ′
高等工程力学4 断裂力学基础用
x
2 y 2
y
2 x 2
xy
2 xy
z 0
（平面应力）
z x y （平面应变）
将σx、σy、τxy代人物理方程，便可求出应变分量为
x
1
2G 1 /
在这三种裂纹中，以I型裂纹最为常见，也是最为危险的一种裂纹，所以在研 究裂纹体的断裂问题时，这种裂纹是研究得最多的。
4 断裂力学基础
4.1.5 Griffith裂口理论
Griffith认为材料的实际强度比理论强度低得多的原因可能是由于材料中微裂 纹的存在。并在1920年提出：
①脆性材料中存在微裂纹，在外力作用下裂纹尖端引起的应力集中会大大地降 低材料的断裂强度；
度比理论强度低的原因，Griffith提出了在固体材料中或在材料的运行过程中存
在或产生裂纹的设想，计算了当裂纹存在时，板状构件中应变能的变化，得出了
一个十分重要的结果
c a 常数
式中 σc—裂纹扩展的临界应力； a—为裂纹半长度。
(4－2)
该理论非常成功地解释了玻璃等脆性材料的开裂现象，但应用于金属材料并不
或一压力容器中的纵向裂纹(如图4-1(b))等。
图4-1 张开型（Ⅰ型）裂纹
4 断裂力学基础
4.1.3裂纹及类型（续2） Ⅱ型裂纹(滑开型裂纹)特征为：裂纹的扩展受切应力控制，切应力平行作用于
裂纹面而且垂直于裂纹线，裂纹沿裂纹面平行滑开扩展(如图4-2(a))。 属于这类裂纹的如齿轮或长键根部沿切线方向的裂纹引起的开裂；受扭转的薄
2 E
2a2
（平面应力） (平面应变）
(4－18)
4 断裂力学基础
4.1.5 Griffith裂口理论（续2）
图4-6 带裂纹的板状试样
哈工大断裂力学讲义
处
τ xy = 0
在 z →∞处
Z1 ( z ) =
能够满足全部边界条件 我们可以考察一下
σz
z −a
2 2
25
2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场
无穷远处
lim Z 1 ( z ) = lim
z →∞ '
σz
z −a − σa 2
2 2 2
z →∞
=σ =0
lim Z 1 ( z ) = lim
对于平面应力问题， dA = 2 Bda
U=
πσ 2 a 2 B
E
dU σ 2π a = dA E
临界条件
dS = 2γ dA
或
σ πa
2 c
E
= 2γ
σ 2π ac
E
= 2γ
临界应力：
2 Eγ 1 )2 σc = ( πa
表示无限大平板在平面应力状态下，长为2a裂纹失稳扩展 时，拉应力的临界值——剩余强度。
∂2 ∂ 2ϕ ∂2 Re Z y Im Z1 + ＝ 1 ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2
(
)
(
)
σ x＝Re Z1 − y Im Z
同理(自行推导)可得：
' 1
∂ 2ϕ ‘ σ y＝ 2 ＝Re Z 1 + y Im Z 1 ∂x 2 ∂ϕ ‘ τ xy＝ − ＝ − y Re Z1
∂x∂y
23
2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场
抵抗裂纹扩展能力=表面能+塑性变形能
金属材料的裂纹扩展单位面积所需要的塑性功为P 剩余强度和临界裂纹长度
9
1 能量释放率与G准则
例如：设裂纹扩展单位面积所需要的塑性变形能为P ,则 对金属p比
哈工大材料力学第4章材料的力学性能 应力应变关系
第4章 材料的力学性能 应力应变关系 章
4-2 轴向拉伸与压缩实验 （4）铸铁的压缩试验 ） 与拉伸时相比， 与拉伸时相比，铸铁压缩时强度极 限很高， 例如， 限很高 ， 例如 ， HT150 压缩时的强度 极限约为拉抻时强度极限的四倍。 极限约为拉抻时强度极限的四 抗压强度远大于抗拉强度，这是铸铁力学性能的重要特点， 抗压强度远大于抗拉强度，这是铸铁力学性能的重要特点， 也是脆性材料的共同特点。 也是脆性材料的共同特点。 铸铁试件受压缩发生断裂时， 断裂面与轴线大致成45°的 铸铁试件受压缩发生断裂时 ， 断裂面与轴线大致成 的 倾角，这表明铸铁试件受压时断裂是因最大切应力所致。 倾角，这表明铸铁试件受压时断裂是因最大切应力所致。
σp =
Fp A
第4章 材料的力学性能 应力应变关系 章
4-2 轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验 ）
• 第二阶段 第二阶段——屈服（流动）阶段 （曲线 段 ） 屈服（流动） 曲线bc段 屈服 外力在小范围内波动，但变形显著增加。 外力在小范围内波动，但变形显著增加。即，材料暂时失去 了抵抗变形的能力。 了抵抗变形的能力。 在此阶段某一时刻卸载为零，弹性变形消失，而还有一部分 在此阶段某一时刻卸载为零，弹性变形消失， 变形被永久地保留下来，称此变形为塑性变形 塑性变形。 变形被永久地保留下来，称此变形为塑性变形。试件表面出 滑移线（与试件轴线成45度角度 度角度）。 现滑移线（与试件轴线成 度角度）。
Fb σb = A
第4章 材料的力学性能 应力应变关系 章
4-2 轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验 ）
• 第四阶段 第四阶段——颈缩破坏阶段 （曲线 ef 段 ） 颈缩破坏阶段 过了强化阶段，试件某一局部处直径突然变小， 过了强化阶段，试件某一局部处直径突然变小，称此现象为 颈缩。此后，试件的轴向变形主要集中在颈缩处。 颈缩。此后，试件的轴向变形主要集中在颈缩处。 颈缩处试件横截面面积急剧减小， 颈缩处试件横截面面积急剧减小，试件所承受的载荷也迅速 降低，最后在颈缩处试件被拉断。 降低，最后在颈缩处试件被拉断。
断裂力学讲义
J
2 cr 0
Pc dcr
a a0
J c
da
J
a
T
4P2 c2
1
CM
CM
P cr
J c
静止裂纹柔度曲线
由此式可以计算裂纹扩展驱动力J积 分随裂纹扩展的变化
【习题5-7】推导并理解杨卫书上公式(2.91)-(2.98)
提示：有的公式有错。需要利用深缺口公式：
P c
c第r 24页2c/P共32页
25JQ
第Y13页/共32页
JQ J IC
如何测JR阻力曲线？试件一旦起裂按道理J积分的概念就不完全正确 了，但在实际过程中，认为在一些条件下（如裂纹少量扩展和稍后 要讲的J控制扩展情况下），仍可以在实验验证的情况下继续使用。 仍采用深缺口单试件法并采用卸载柔度来确定裂纹长度。
▪ 利用卸载柔度计算裂纹长度 ▪ 在计算J时的假设（解释）
可以记为 M c2
R
M
c
M c
2c
2
M c
J
M 0 c
d 2
第8页/共3c2页0
Md
也可以由量纲分析得到
J
0
M c
d
2 c
Md
0
量纲：
M ~ F E, ys ~ F / L2 c ~ L 和无量纲
根据定理
M
c
2
ys
;
;
E
ys
c2
~ 是无量纲函数
M c2
M c
2c
2M c
R
M
M
c
第9页/共32页
附：定理（ Buckingham π theorem） E.Buckinghan,1915 量纲分析中的关键定理（key theorem in dimensional analysis）