第二章 动量传输的基本方程
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College of Metallurgy & Energy
2 动量传输的基本方程
河北理工大学
Hebei Polytechnic UNIVERSITY 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC University
主要内容
2.1 流体运动的描述
2.2
2.3
连续性方程
理想流体动量传输微分方程-欧拉方程
流束：在流管内取一微小曲面的 dA，通过dA上每个 点做流线；如果曲面 dA 与流束中每一根流线都正交， dA 就叫做有效断面；微小断面 dA 上各点的运动参数 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY 相同。
流量
流量
Q v dA
A
l dA
平均速度
Q v dA A
稳定流与非稳定流
稳定流
非稳定流 UNIVERSITY 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC
迹
线
迹线：同一流体质点 的运动轨迹。
属于跟踪系统（system）的Lagrangrian分析法下的表述。
迹线方程： dx u
其中t 是积分变量
dt dy v dt dz w dt
河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
3、另外，质量变化：
＋ dt dxdydzdt dxdydzdt t ＝ dxdydzdt t
单位时间所有方向输入 输出微元体的质量
单位时间 微元体内 积累的质量 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
定律 a) b) c) 物质不灭定律（质量守恒定律） 牛顿第二运动定律（F＝ma） 连续方程 动量方程（N-S 方程、欧拉方程） 方程式
热力学第一定律（能量守恒定律） 能量方程（伯努利方程）
静止的流体与理想流体可不考虑粘性； 但通常运动的流体必须考虑粘性，即；在研究流体的动力学时， 除了考虑质量力和压力的作用外，还要考虑粘性力的作用（压 缩性）。
( v z ) y向： dxdydzdt z
；z方向：
( v y ) y
dxdydzdt
河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
2、t时间内，整个六面体内输入与输出的质量差：
( v y ) ( v x ) ( v z ) dxdydzdt dxdydzdt dxdydzdt x y z ( v x ) ( v y ) ( v z ) ＝ ＋ ＋ dxdydzdt y z x
vy
vz vx dx
dz
x dx dydz x x
x y
连续方程（运动学方程）给出流体运动 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY 的速度场必须满足的条件。
1、x方向：t时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输入 与输出的质量差：
dydz v x x dt dydz v x x dx dt ( v x ) v x dydzdt v x dx dydzdt x ( v x ) dxdydzdt 单位时间X方向输入 x
输出微元体的质 量
V 0
河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
一维总流的连续方程
v 1 A1 v 2 A2
圆柱坐标系中的连续方程
z
v r ( v r ) 1 ( v ) ( v z ) ＋ ＋ 0 t r r r z
d rd dz r dr
河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
流管与流束
流管：在流场内任意取封 闭曲线 l ，通过曲线上每 一点连续地作流线 l ，则 流线族构成一管状表面； 非稳定流时，流管随时间 改变；稳定流时，流管随 时间不变；流管上各点流 速都在其切线方向，而不 穿过流管表面。
l dA
或：
V 0
河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
即对可压缩流体，流体在单位时间内经单位体积空间 流出与流入的质量相等，或空间体内质量保持不变。
对不可压缩流体的稳定流动：
d ＝0 dt
得：
v x v y v z ＋ ＋ 0 x y z
或：
A A
河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
v dA
2.2 连续性方程
z
单位时间 单位时间输入 单位时间输出 微元体内 微元体的质量 微元体的质量 积累的质量
dy1
2
3
x dydz
例题二：流场分布 u x
1 t v yt
求流线方程。
解：由流线方程
dx dy dz u v w
dx dy x ( ) yt 1 t
1 (1 t ) ln x ln y C t
不同t 时刻, 流线的形状是不同的，流线上反映的是 该时刻空间点上速度的方向。 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
流
线
流线：同一时刻，该曲线上各点的切线平行于该点的速度方向。
V
数学意义上定义的线。(某瞬间下的) 属于着眼空间（control volume）的Euler分析法下的表述。
dr
在流线上取一微元段
dr
(ui vj wk ) (i dx j dy kdz ) 0
x y
不可压缩流体：
v r (v r ) 1 (v ) (v z ) ＋ ＋ 0 r河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY r r z
球坐标系Βιβλιοθήκη Baidu的连续方程
1 ( v sin ) 1 ( v ) 1 ( v r r 2 ) ＋ ＋ 2 0 t r sin r sin r r
稳定流与非稳定流
x x ( x , y , z , t ) y y ( x , y, z , t )
z z ( x, y, z , t )
p p( x , y, z , t )
稳定流的条件：
y z x p 0; 0; 0; 0 t 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY t t t
河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
流体流动分类
按流体的性质分：粘性流体和无粘(理想)流体的流动
可压缩流体和不可压流体的流动
按运动状态分：定常流动和非定常流动
有旋流动和无旋流动 层流和湍流流动 亚音速和超音速流动
按流动空间的自变量数分：
流动参量是一个坐标的函数：一维流动 流动参量是二个坐标的函数：二维流动 流动参量是三个坐标的函数：三维流动 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
从而：
( v x ) ( v y ) ( v z ) ＋ ＋ dxdydzdt t dxdydzdt y z x
或：
( v x ) ( v y ) ( v z ) ＋ ＋ 0 t x y z
连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积 空间输出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和 为零。
动量通量：单位时间内通过单位面积所传输的动量（单位 为Pa，量纲为[L-1MT-2]） 动量率：单位时间内通过某面积传输的动量（单位为N， 量纲为[LMT-2]）
动量率=动量通量×传输面的面积
对流动量通量： ρυx2 粘性动量通量：
-m（dυx/dy）=τyx
河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
连续性方程的其它形式
因为： d v ＋v ＋v x y z
dt
t
x
y
z
1 d v x v y v z 所以： ＋ ＋ ＝0 dt x y z
引入：哈密顿算子， ＝
例题一
已知流场分布：
x u 1 t v yt
求迹线方程。
dz w dt
解：由迹线方程 dx u
dt
dy v dt
dx x dt 1 t dy yt dt
ln x ln(1 t ) C1 1 2 ln y t C2 2
不同t 时刻，某一流体微团所处的不同空间位置。 根据已知某时刻该微团的位置来确定积分常数 。 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
2.4
2.5
实际流体动量传输方程-N-S方程
伯努里方程
2.6
伯努里方程的应用
河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
2.1流体运动的描述
流体动力学（包括运动学）：研究流体在外力作用下的运动规律， 包括流体运动的方式和速度、加速度、位移、转角等随空间与时 间的变化；研究引起运动的原因和决定作用力、力矩、动量和能 量的方法。
x
y
z
得：
d 1 d V＝0 V＝0 dt dt 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
对可压缩流体的稳定流动：
d 0 0 dt t ( v x ) ( v y ) ( v z ) 得： ＋ ＋ 0 x y z
动量传输的方式 对流动量传输：沿流体流动方向上的动量传输（流场 中流线上的流体沿运动方向由某一空间进入另一空间， 把动量由流场的某一空间带入另一空间） 粘性动量传输：流体动量由流速较大的流层向流速较 小的流层传递（流动得较快的流体靠粘性力把侧边流 动得较慢的流体带动使之运动得更快）
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迹线与流线的特点
迹线：同一流体质点运动的轨迹线。 特点：对于每一个质点都有一个运动的轨迹；轨迹是 一簇曲线；迹线随质点不同而异，与时间无关。 流线：同一瞬时流场中连续的不同位置质点的流动方 向线，在该线上各点的流体质点所具有的速度方向与 曲线的切线方向相同。 特点：1）非稳定流时，经过同一点的流线其空间方 位与形状随时间改变； 2）稳定流时，流线不变，流 线上质点的迹线与流线重合； 3）流线不相交、不转 折； 4）流线的疏密程度表示流体运动的速度。
z rd dr r x d rsind
y
d
不可压缩流体:
1 (v sin ) 1 1 (v r r ) ＋ ＋ 2 0 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY r sin r sin r r
2
(v )
2.3理想流体动量传输方程－欧拉方程
河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
研究流体运动的方法
拉格朗日（Lagrange）法：研究流体各个质点的运动 参数随时间的变化规律，综合所有流体质点运动参数 的变化，得到整个流体的运动；出发点是流体质点。
欧拉（Euler）法：研究流体质点通过空间固定点时 的运动参数随时间的变化规律，综合流场中所有点的 运动参数变化情况，得到整个流体的运动；出发点是 流场中的空间点。
流线方程：
V dr 0
dx dy dz u v w
i
k
j
河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
流
线
河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
几种常见的流线
河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
2.4 理想流体的动量传输方程－欧拉方程
2 动量传输的基本方程
河北理工大学
Hebei Polytechnic UNIVERSITY 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC University
主要内容
2.1 流体运动的描述
2.2
2.3
连续性方程
理想流体动量传输微分方程-欧拉方程
流束：在流管内取一微小曲面的 dA，通过dA上每个 点做流线；如果曲面 dA 与流束中每一根流线都正交， dA 就叫做有效断面；微小断面 dA 上各点的运动参数 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY 相同。
流量
流量
Q v dA
A
l dA
平均速度
Q v dA A
稳定流与非稳定流
稳定流
非稳定流 UNIVERSITY 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC
迹
线
迹线：同一流体质点 的运动轨迹。
属于跟踪系统（system）的Lagrangrian分析法下的表述。
迹线方程： dx u
其中t 是积分变量
dt dy v dt dz w dt
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3、另外，质量变化：
＋ dt dxdydzdt dxdydzdt t ＝ dxdydzdt t
单位时间所有方向输入 输出微元体的质量
单位时间 微元体内 积累的质量 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
定律 a) b) c) 物质不灭定律（质量守恒定律） 牛顿第二运动定律（F＝ma） 连续方程 动量方程（N-S 方程、欧拉方程） 方程式
热力学第一定律（能量守恒定律） 能量方程（伯努利方程）
静止的流体与理想流体可不考虑粘性； 但通常运动的流体必须考虑粘性，即；在研究流体的动力学时， 除了考虑质量力和压力的作用外，还要考虑粘性力的作用（压 缩性）。
( v z ) y向： dxdydzdt z
；z方向：
( v y ) y
dxdydzdt
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2、t时间内，整个六面体内输入与输出的质量差：
( v y ) ( v x ) ( v z ) dxdydzdt dxdydzdt dxdydzdt x y z ( v x ) ( v y ) ( v z ) ＝ ＋ ＋ dxdydzdt y z x
vy
vz vx dx
dz
x dx dydz x x
x y
连续方程（运动学方程）给出流体运动 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY 的速度场必须满足的条件。
1、x方向：t时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输入 与输出的质量差：
dydz v x x dt dydz v x x dx dt ( v x ) v x dydzdt v x dx dydzdt x ( v x ) dxdydzdt 单位时间X方向输入 x
输出微元体的质 量
V 0
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一维总流的连续方程
v 1 A1 v 2 A2
圆柱坐标系中的连续方程
z
v r ( v r ) 1 ( v ) ( v z ) ＋ ＋ 0 t r r r z
d rd dz r dr
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流管与流束
流管：在流场内任意取封 闭曲线 l ，通过曲线上每 一点连续地作流线 l ，则 流线族构成一管状表面； 非稳定流时，流管随时间 改变；稳定流时，流管随 时间不变；流管上各点流 速都在其切线方向，而不 穿过流管表面。
l dA
或：
V 0
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即对可压缩流体，流体在单位时间内经单位体积空间 流出与流入的质量相等，或空间体内质量保持不变。
对不可压缩流体的稳定流动：
d ＝0 dt
得：
v x v y v z ＋ ＋ 0 x y z
或：
A A
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v dA
2.2 连续性方程
z
单位时间 单位时间输入 单位时间输出 微元体内 微元体的质量 微元体的质量 积累的质量
dy1
2
3
x dydz
例题二：流场分布 u x
1 t v yt
求流线方程。
解：由流线方程
dx dy dz u v w
dx dy x ( ) yt 1 t
1 (1 t ) ln x ln y C t
不同t 时刻, 流线的形状是不同的，流线上反映的是 该时刻空间点上速度的方向。 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
流
线
流线：同一时刻，该曲线上各点的切线平行于该点的速度方向。
V
数学意义上定义的线。(某瞬间下的) 属于着眼空间（control volume）的Euler分析法下的表述。
dr
在流线上取一微元段
dr
(ui vj wk ) (i dx j dy kdz ) 0
x y
不可压缩流体：
v r (v r ) 1 (v ) (v z ) ＋ ＋ 0 r河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY r r z
球坐标系Βιβλιοθήκη Baidu的连续方程
1 ( v sin ) 1 ( v ) 1 ( v r r 2 ) ＋ ＋ 2 0 t r sin r sin r r
稳定流与非稳定流
x x ( x , y , z , t ) y y ( x , y, z , t )
z z ( x, y, z , t )
p p( x , y, z , t )
稳定流的条件：
y z x p 0; 0; 0; 0 t 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY t t t
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流体流动分类
按流体的性质分：粘性流体和无粘(理想)流体的流动
可压缩流体和不可压流体的流动
按运动状态分：定常流动和非定常流动
有旋流动和无旋流动 层流和湍流流动 亚音速和超音速流动
按流动空间的自变量数分：
流动参量是一个坐标的函数：一维流动 流动参量是二个坐标的函数：二维流动 流动参量是三个坐标的函数：三维流动 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
从而：
( v x ) ( v y ) ( v z ) ＋ ＋ dxdydzdt t dxdydzdt y z x
或：
( v x ) ( v y ) ( v z ) ＋ ＋ 0 t x y z
连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积 空间输出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和 为零。
动量通量：单位时间内通过单位面积所传输的动量（单位 为Pa，量纲为[L-1MT-2]） 动量率：单位时间内通过某面积传输的动量（单位为N， 量纲为[LMT-2]）
动量率=动量通量×传输面的面积
对流动量通量： ρυx2 粘性动量通量：
-m（dυx/dy）=τyx
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连续性方程的其它形式
因为： d v ＋v ＋v x y z
dt
t
x
y
z
1 d v x v y v z 所以： ＋ ＋ ＝0 dt x y z
引入：哈密顿算子， ＝
例题一
已知流场分布：
x u 1 t v yt
求迹线方程。
dz w dt
解：由迹线方程 dx u
dt
dy v dt
dx x dt 1 t dy yt dt
ln x ln(1 t ) C1 1 2 ln y t C2 2
不同t 时刻，某一流体微团所处的不同空间位置。 根据已知某时刻该微团的位置来确定积分常数 。 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
2.4
2.5
实际流体动量传输方程-N-S方程
伯努里方程
2.6
伯努里方程的应用
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2.1流体运动的描述
流体动力学（包括运动学）：研究流体在外力作用下的运动规律， 包括流体运动的方式和速度、加速度、位移、转角等随空间与时 间的变化；研究引起运动的原因和决定作用力、力矩、动量和能 量的方法。
x
y
z
得：
d 1 d V＝0 V＝0 dt dt 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
对可压缩流体的稳定流动：
d 0 0 dt t ( v x ) ( v y ) ( v z ) 得： ＋ ＋ 0 x y z
动量传输的方式 对流动量传输：沿流体流动方向上的动量传输（流场 中流线上的流体沿运动方向由某一空间进入另一空间， 把动量由流场的某一空间带入另一空间） 粘性动量传输：流体动量由流速较大的流层向流速较 小的流层传递（流动得较快的流体靠粘性力把侧边流 动得较慢的流体带动使之运动得更快）
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迹线与流线的特点
迹线：同一流体质点运动的轨迹线。 特点：对于每一个质点都有一个运动的轨迹；轨迹是 一簇曲线；迹线随质点不同而异，与时间无关。 流线：同一瞬时流场中连续的不同位置质点的流动方 向线，在该线上各点的流体质点所具有的速度方向与 曲线的切线方向相同。 特点：1）非稳定流时，经过同一点的流线其空间方 位与形状随时间改变； 2）稳定流时，流线不变，流 线上质点的迹线与流线重合； 3）流线不相交、不转 折； 4）流线的疏密程度表示流体运动的速度。
z rd dr r x d rsind
y
d
不可压缩流体:
1 (v sin ) 1 1 (v r r ) ＋ ＋ 2 0 河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY r sin r sin r r
2
(v )
2.3理想流体动量传输方程－欧拉方程
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研究流体运动的方法
拉格朗日（Lagrange）法：研究流体各个质点的运动 参数随时间的变化规律，综合所有流体质点运动参数 的变化，得到整个流体的运动；出发点是流体质点。
欧拉（Euler）法：研究流体质点通过空间固定点时 的运动参数随时间的变化规律，综合流场中所有点的 运动参数变化情况，得到整个流体的运动；出发点是 流场中的空间点。
流线方程：
V dr 0
dx dy dz u v w
i
k
j
河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
流
线
河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
几种常见的流线
河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
2.4 理想流体的动量传输方程－欧拉方程