2019年郑州市高二数学竞赛选拔赛考试试题及答案(扫描版)
2018-2019年河南数学高二水平会考真题及答案解析
2018-2019年河南数学高二水平会考真题及答案解析班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、选择题1.如图,下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度和时间之间的关系，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】试题分析：根据题意，由于四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止，那么单位时间内进去的水量相等，选项A，应该是匀速上升，错误，选项B，先快后慢，成立，对不C，先快后慢，再快，故答案成立，丢与D,由于先慢后快再慢，故成立，因此正确的选项为B考点：函数图象点评：主要是考查了函数解析式与函数图象的关系，属于基础题。
2.设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．B．是的极小值点C．是的极小值点D．是的极小值点【答案】D【解析】试题分析：对于A 项，x 0（x 0≠0）是f （x ）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大；对于B 项，f （－x ）是把f （x ）的图象关于y 轴对称，因此，－x 0是f （－x ）的极大值点；对于C 项，－f （x ）是把f （x ）的图象关于x 轴对称，因此，x 0是－f （x ）的极小值点； 对于D 项，－f （－x ）是把f （x ）的图象分别关于x 轴、y 轴做对称，因此－x 0是－f （－x ）的极小值点． 故选D ．考点：命题及命题的否定，函数的极值。
点评：小综合题，关键是理解命题的概念，明确函数存在极值的条件。
3.设, ，则的大小关系是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，由于，，故那么有A-B=，故可知结论为，选B.考点：比较大小点评：主要是考查了运用作差法的思想，来比较大小，属于基础题。
2019-2020年高二数学竞赛试卷含答案
----6 分
显然，方程①的．
设，则
x1
x2
8k 2 3 4k 2
,
x1
x2
4k 2 3
12 4k 2
．
-------8 分
PQ
1 k 2 x1 x2 2 4x1 x2
1 k2
3
8k 2 4k
2
2
4
4k 2 3
12 4k 2
=12
k2 1 2 4k 2 3 2
12
（A）奇函数 ~（C）奇函数且为偶函数
（B）偶函数 （D）非奇函数且非偶函数
3．A． f (x) 22 x2 22 x2 22 x2 (x [2, 2]) .
(2 x)2 2 | 2 x | 2
x
4．圆周上按顺时针方向标有 1，2，3，4，5 五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳
（Ⅱ）若，求的值.
11．（Ⅰ）∵
2分
∴ F x f x f 'x f 2 x
cos2 x sin2 x 1 2sin x cos x
1 cos 2x sin 2x 1 2 sin(2x )
6分
4
∴当 2x 2k x k k Z 时，
4
2
8
最小正周期为
8分
:
（Ⅱ）∵ f x 2 f ' x sin x cos x 2cos x 2sin x
ADHG 是平行四边形.
A
G
故 CF=EH,AD=EH.
故△EGH 的三边 EH、EG、EH 分别是△ABC 的三边的中
F
E
线 AD、BE、CF，即、、.
.
由共边定理知,
2
4
2019年全国高中数学联赛试题及答案
说明：1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分40分）如图，在锐角ABC D 中，M 是BC 边的中点．点P 在ABC D 内，使得AP 平分BAC ．直线MP 与,ABP ACP D D 的外接圆分别相交于不同于点P 的两点,D E ．证明：若DE MP =，则2BC BP =．证明：延长PM 到点F ，使得MF ME =．连接,,BF BD CE ．由条件可知BDP BAPCEP CEM === = ． ………………10分 因为BM CM =且EM FM =，所以BF CE =且//BF CE ．于是F CEM = = ，进而BD BF =． ………………20分 又DE MP =，故DP EM FM ==．于是在等腰BDF D 中，由对称性得BP BM =．从而22BC BM BP ==． ………………40分二、（本题满分40分）设整数122019,,,a a a 满足122019199a a a =£££=．记22212201913243520172019()()f a a a a a a a a a a a =+++-++++．求f 的最小值0f ．并确定使0f f =成立的数组122019(,,,)a a a 的个数． 解：由条件知2017222221220182019212()i i i f a a aaa a +==++++-å．①由于12,a a 及2(1,2,,2016)i i a a i +-=均为非负整数，故有221122,a a a a ³³，且222()(1,2,,2016)i i i i a a a a i ++-³-=．于是201620162221221222017201811()()i i i i i i a a a a a a a a a a ++==++-³++-=+åå．②………………10分参考答案及评分标准 2019年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）由①、②得2222017201820192017201820192()f a a a a a a ³++-++， 结合201999a =及201820170a a ³>，可知()22220172017201712(99)992f a a a ³+-++22017(49)74007400a =-+³．③………………20分另一方面，令1219201920211920220191,(1,2,,49),99k k a a a a a k k a +-+========， 此时验证知上述所有不等式均取到等号，从而f 的最小值07400f =．………………30分以下考虑③的取等条件．此时2017201849a a ==，且②中的不等式均取等，即121a a ==，2{0,1}(1,2,,2016)i i a a i +-Î=．因此122018149a a a =£££=，且对每个(149)k k ££122018,,,a a a 中至少有两项等于k ．易验证知这也是③取等的充分条件对每个(149)k k ££，设122018,,,a a a 中等于k 1k n +，则k n 为正整数，且1249(1)(1)(1)2018n n n ++++++=124n n n +++=该方程的正整数解1249(,,,)n n n 的组数为1968，且每组解唯一对应一个使④取等的数组122019(,,,)a a a ，故使0f f =立的数组122019(,,,)a a a 有481968C 个．………………40分三、（本题满分50分）设m 为整数，2m ||³．整数数列12,,a a 满足：12,a a 不全为零，且对任意正整数n均有21n n n a a ma ++=-．证明：若存在整数,r s (2)r s >³使得1r s a a a ==，则r s m ||-³．证明：不妨设12,a a 互素（否则，若12(,)1a a d =>，则1a d 与2ad互素，并且用123,,,a a a d d d代替123,,,a a a ，条件与结论均不改变）． 由数列递推关系知234(mod )a a a m || ººº．① 以下证明：对任意整数3n ³，有2212((3))(mod )n a a a n a m m º-+-．②………………10分事实上，当3n =时②显然成立．假设n k =时②成立（其中k 为某个大于2的整数），注意到①，有212(mod )k ma ma m -º，结合归纳假设知112122((3))k k k a a ma a a k a m ma +-=-º-+--2212((2))(mod )a a k a m º-+-，即1n k =+时②也成立．因此②对任意整数3n ³均成立． ………………20分注意，当12a a =时，②对2n =也成立．设整数,(2)r s r s >³，满足1r s a a a ==． 若12a a =，由②对2n ³均成立，可知2212212((3))((3))(mod )r s a a r a m a a a a s a m m -+-º=º-+-，即1212(3)(3)(mod )a r a a s a m ||+-º+-，即2()0(mod )r s a m ||-º．③若12a a ¹，则12r s a a a a ==¹，故3r s >³．此时由于②对3n ³均成立，故类似可知③仍成立． ………………30分我们证明2,a m 互素．事实上，假如2a 与m 存在一个公共素因子p ，则由①得p 为234,,,a a a 的公因子，而12,a a 互素，故p 1a ，这与1r s a a a ==矛盾．因此，由③得0(mod )r s m ||-º．又r s >，所以r s m ||-³．………………50分四、（本题满分50分）设V 是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面．某些点之间连有线段，记E 为这些线段构成的集合．试求最小的正整数n ，满足条件：若E 至少有n 个元素，则E 一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集．解：为了叙述方便，称一个图中的两条相邻的边构成一个“角”．先证明一个引理：设(,)G V E =是一个简单图，且G 是连通的，则G 含有||2E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个两两无公共边的角（这里[]a 表示实数a 的整数部分）． 引理的证明：对E 的元素个数E 归纳证明．当0,1,2,3E =时，结论显然成立．下面假设4E ≥，并且结论在E 较小时均成立．只需证明，在G 中可以选取两条边,a b 构成一个角，在G 中删去,a b 这两条边后，剩下的图含有一个连通分支包含||2E -条边．对这个连通分支应用归纳假设即得结论成立．考虑G 中的最长路12:k P v v v ，其中21,,,k v v v 是互不相同的顶点．因为G 连通，故3k ≥．情形1：1deg()2v ≥．由于P 是最长路，1v 的邻点均在2,,k v v 中，设1i v v E ∈，其中3i k ≤≤．则121{,}i v v v v 是一个角，在E 中删去这两条边．若1v 处还有第三条边，则剩下的图是连通的；若1v 处仅有被删去的两条边，则1v 成为孤立点，其余顶点仍互相连通．总之在剩下的图中有一个连通分支含有2E -条边．情形2：1deg()1v =，2deg()2v =．则1223{,}v v v v 是一个角，在G 中删去这两条边后，12,v v 都成为孤立点，其余的点互相连通，因此有一个连通分支含有2E -条边．情形3：1deg()1v =，2deg()3v ≥，且2v 与4,,k v v 中某个点相邻．则1223{,}v v v v是一个角，在G 中删去这两条边后，1v 成为孤立点，其余点互相连通，因此有一个连通分支含有2E -条边．情形4：1deg()1v =，2deg()3v ≥，且2v 与某个13{,,,}k u v v v ∈/ 相邻．由于P 是最长路，故u 的邻点均在2,,k v v 之中．因122{,}v v v u 是一个角，在G 中删去这两条边，则1v 是孤立点．若u 处仅有边2uv ，则删去所述边后u 也是孤立点，而其余点互相连通．若u 处还有其他边i uv ，3i k ≤≤，则删去所述边后，除1v 外其余点互相连通．总之，剩下的图中有一个连通分支含有2E -条边．引理获证． ………………20分 回到原题，题中的V 和E 可看作一个图(,)G V E =．首先证明2795n ≥．设122019{,,,}V v v v = ．在1261,,,v v v 中，首先两两连边，再删去其中15条边（例如1311216,,,v v v v v v ），共连了26115C 1815-=条边，则这61个点构成的图是连通图．再将剩余的2019611958-=个点配成979对，每对两点之间连一条边，则图G 中一共连了181********+=条线段．由上述构造可见，G 中的任何一个角必须使用1261,,,v v v 相连的边，因此至多有18159072⎡⎤⎢=⎥⎣⎦个两两无公共边的角．故满足要求的n 不小于2795． ………………30分另一方面，若2795E ≥，可任意删去若干条边，只考虑2795E =的情形．设G 有k 个连通分支，分别有1,,k m m 个点，及1,,k e e 条边．下面证明1,,k e e 中至多有979个奇数．反证法，假设1,,k e e 中有至少980个奇数，由于12795k e e ++= 是奇数，故1,,k e e 中至少有981个奇数，故981k ≥．不妨设12981,,,e e e 都是奇数，显然12981,,,2m m m ≥ ．令9812k m m m =++≥ ，则有2C 1980)(i m i e i ≥≤≤，2981C m k e e ≥++ ，故98022112795C C imk i i i m e ===≤+∑∑． ① 利用组合数的凸性，即对3x y ≥≥，有222211C C C C x y x y +-+≤+，可知当1980,,,m m m 由980个2以及一个59构成时，980221C C imm i =+∑取得最大值．于是 98022225921C C C 980C 26912795imm i =≤=<++∑， 这与①矛盾．从而1,,k e e 中至多有979个奇数． ………………40分对每个连通分支应用引理，可知G 中含有N 个两两无公共边的角，其中1111979(2795979)908222kki i i i e N e ==⎛⎫⎡⎤=≥-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑∑．综上，所求最小的n 是2795． ………………50分2019年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1. 已知正实数a 满足8(9)a a a a =，则log (3)a a 的值为 ．答案：916．解：由条件知189a a =，故9163a a ==，所以9log (3)16a a =．2. 若实数集合{1,2,3,}x 之和，则x 的值为 ．答案：32-．解：假如0x ³，则最大、最小元素之差不超过max{3,}x ，而所有元素之和大于max{3,}x ，不符合条件．故0x <，即x 为最小元素．于是36x x -=+，解得32x =-．3. 平面直角坐标系中，e 是单位向量，向量a 满足2a e⋅=，且25a a te£+对任意实数t 成立，则a的取值范围是 ．答案：．解：不妨设(1,0)e ．由于2a e ⋅=，可设(2,)a s=，则对任意实数t ，有2245s a a te +=£+= 这等价于245s s +£，解得[1,4]s Î，即2[1,16]s Î．于是a=Î．4. 设,A B 为椭圆G 的长轴顶点，,E F 为G 的两个焦点，4,AB =2AF =P 为G 上一点，满足2PE PF ⋅=，则PEF D 的面积为 ． 答案：1．解：不妨设平面直角坐标系中G 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>．根据条件得24,2a AB a AF ====可知2,1a b ==，且EF ==由椭圆定义知24PE PF a +==，结合2PE PF ⋅=得()2222212PE PF PE PF PE PF EF +=+-⋅==，所以EPF 为直角，进而112PEF S PE PF D =⋅⋅=．5. 在1,2,3,,10 中随机选出一个数a ，在1,2,3,,10 ----中随机选出一个数b ，则2a b +被3整除的概率为 ．答案：37100．解：数组(,)a b 共有210100=种等概率的选法．考虑其中使2a b +被3整除的选法数N ．若a 被3整除，则b 也被3整除．此时,a b 各有3种选法，这样的(,)a b 有239=组．若a 不被3整除，则21(mod3)a º，从而1(mod3)b º-．此时a 有7种选法，b 有4种选法，这样的(,)a b 有7428´=组．因此92837N =+=．于是所求概率为37100．6. 对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M =，则a 的值为 ．答案：56p 或1312p ．解：假如02a p<£，则由正弦函数图像性质得[0,][,2]0sin a a a M a M <=£，与条件不符．因此2a p >，此时[0,]1a M =，故[,2]12a a M =．于是存在非负整数k ，使得51322266k a a k p p p p +£<£+， ①且①中两处“£”至少有处取到等号．当0k =时，得56a p =或1326a p =．经检验，513,612a p p =均满足条件． 当1k ³时，由于13522266k k p p p p æö÷ç+<+÷ç÷çèø，故不存在满足①的a ． 综上，a 的值为56p 或1312p ．7. 如图，正方体ABCD EFGH -的一个截面经过顶点,A C 及棱EF 上一点K ，且将正方体分成体积比为3:1的两部分，则EKKF 的值为 ．答案．解：记a 为截面所在平面．延长,AK BF 交于点P ，则P在a 上，故直线CP 是a 与平面BCGF 的交线．设CP 与FG 交于点L ，则四边形AKLC 为截面．因平面ABC 平行于平面KFL ，且,,AK BF CL 共点P ，故ABC KFL -为棱台．不妨设正方体棱长为1，则正方体体积为1，结合条件知棱台ABC KFL -的体积14V =．设PF h =，则1KF FL PF h AB BC PB h ===+．注意到,PB PF 分别是棱锥P ABC -与棱锥P KFL -的高，于是111466P ABC P KFL V V V AB BC PB KF FL PF --==-=⋅⋅-⋅⋅ 3221331(1)1616(1)h h h h h h æöæö++÷ç÷ç÷ç=+-=÷÷çç÷ç÷èø÷ç++èø． 化简得231h =，故h =1EK AE KF PF h ===． 8. 将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为 ．答案：498．解：将2,0,1,9,20,19的首位不为0的排列的全体记为A ．易知55!600A =´=（这里及以下，X 表示有限集X 的元素个数）． 将A 中2的后一项是0，且1的后一项是9的排列的全体记为B ；A 中2的后一项是0，但1的后一项不是9的排列的全体记为C ；A 中1的后一项是9，但2的后一项不是0的排列的全体记为D ．易知4!B =，5!B C +=，44!B D +=´，即24,96,72B C D ===． 由B 中排列产生的每个8位数，恰对应B 中的224´=个排列（这样的排列中，20可与“2,0”互换，19可与“1,9”互换）．类似地，由C 或D 中排列产生的每个8位数，恰对应C 或D 中的2个排列．因此满足条件的8位数的个数为\()42B C DA B C D +++3600184836498422B C DA =---=---=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）在ABC D 中，,,BC a CA b AB c ===．若b 是a 与c 的等比中项，且sin A 是sin()B A -与sin C 的等差中项，求cos B 的值．解：因b 是,a c 的等比中项，故存在0q >，满足2,b qa c q a ==． ①因sin A 是sin(),sin B A C -的等差中项，故2sin sin()sin sin()sin()2sin cos A B A C B A B A B A =-+=-++=．…………………4分结合正、余弦定理，得222sin cos sin 2a A b c a A b B bc+-===， 即2222b c a ac +-=． …………………8分αLD F B K将①代入并化简，可知24212q q q +-=，即421q q =+，所以212q =． …………………12分 进而2224222111cos 222c a b q q B ac q q +-+-====． …………………16分10. （本题满分20分） 在平面直角坐标系xOy 中，圆W 与抛物线2:4y x G =恰有一个公共点，且圆W 与x 轴相切于G 的焦点F ．求圆W 的半径．解：易知G 的焦点F 的坐标为(1,0)．设圆W 的半径为(0)r r >．由对称性，不妨设W 在x 轴上方与x 轴相切于F ，故W 的方程为222(1)()x y r r -+-=． ①将24y x =代入①并化简，得2221204y y ry æö÷ç÷-+-=ç÷÷çèø．显然0y >，故222221(4)12432y y r y y y æöæö÷+ç÷ç÷ç÷=-+=÷çç÷÷ç÷ç÷èøçèø． ② …………………5分根据条件，②恰有一个正数解y ，该y 值对应W 与G 的唯一公共点．考虑22(4)()(0)32y f y y y+=>的最小值．由平均值不等式知2244444333y y +=+++³，从而1()329f y y ³⋅=． 当且仅当243y =，即3y =时，()f y取到最小值9． ………………15分由②有解可知9r ³．又假如9r >，因()f y 随y 连续变化，且0y +及y +¥时()f y 均可任意大，故②在0,3æççççèø及3æö÷ç÷+¥ç÷ç÷çèø上均有解，与解的唯一性矛盾．综上，仅有9r =满足条件（此时1,33æ÷ç÷ç÷ç÷çèø是W 与G 的唯一公共点）． …………………20分11. （本题满分20分）称一个复数数列{}n z 为“有趣的”，若11z =，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=．求最大的常数C ，使得对一切有趣的数列{}n z 及任意正整数m ，均有12m z z z C +++³．解：考虑有趣的复数数列{}n z ．归纳地可知*0()n z n N ¹Î．由条件得2*114210()n n n nz z n z z N ++æöæö÷÷çç÷÷++=Îçç÷÷ç÷÷çèøèø，解得*11()4N n n z n z +-=Î．因此1112n n n n z z z z ++===，故 *11111()22N n n n z z n --=⋅=Î．①…………………5分进而有*11111()22N n n n n n n n z z z z n z ++-+=⋅+==Î． ②记*12()N m m T z z z m =+++Î． 当*2()N m s s =Î时，利用②可得122122sm k k k T z z z z -=³+-+å21222k k k z z ¥-=>-+å212223k k ¥-==-=å．…………………10分 当*21()N m s s =+Î时，由①、②可知21212221211112322s k k s s k k s k s z z z ¥¥+---=+=+=<==+⋅åå， 故12212212s m k k s k T z z z z z -+=æö÷ç³+-+-÷ç÷çèøå212223k k k z z ¥-=>-+=å． 当1m =时，1113T z ==>．以上表明3C =满足要求． …………………15分另一方面，当*1221221111,,()22N k k k k z z z k ++--===Î时，易验证知{}n z 为有趣的数列．此时2112211lim lim ()ss k k s s k T z z z ++ ¥¥==++å134lim 11833ss k ¥=-=+=+⋅=， 这表明C不能大于3． 综上，所求的C为3． …………………20分。
2019年高中数学竞赛试题及答案及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．． 是．①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 3．设0.50.320.5,log 0.4,cos3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或2 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答 案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为 ．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图2222=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防(若疫苗有效已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？ （3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间； （2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ； （2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程； （2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数()1f x =-． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.3 11．2201112. 31(,),(1,0),(3,4)22-- 三、解答题：13. （本题满分12分） 解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分 即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分 （3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有： （465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分 由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ， 解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ， 故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分） 解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos 2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= ………………… 2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分 又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分 从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分 （2）由11)32sin()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分） 解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分 又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分 （2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分 又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分 又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分 又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分 由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分 （3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分 又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-EFG B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分 综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分ACBB 1A 1C 1FGE（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分 由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分 整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分 又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r=2. ……1分由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即AM =……………2分 若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540kx y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分2=，2=，解得15 5k k =-=或. ……………5分 所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在 线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点的横坐标取值范围是.……14分18．（本题满分14分） 解：（1）由()1f x =-可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分 又11()(1f x x x ===3分 显然)(1x f x在区间(0,1]∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）21()()f x f x -===.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即2>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分 （3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分 由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。
2019年全国高中数学联赛试卷及答案-10页文档资料
2019年全国高中数学联合竞赛试卷第一试一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1． 给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }，设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…,b n =a 3n -2+a 3n -1+a 3n ,…，则数列{b n } 【答】（ ） (A ) 是等差数列 (B ) 是公比为q 的等比数列 (C ) 是公比为q 3的等比数列 (D ) 既非等差数列也非等比数列2． 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x |-1)2+(|y |-1)2＜2的整点(x ,y )的个数是 【答】（ ） (A ) 16 (B ) 17 (C ) 18 (D ) 253． 若(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)y --(log 53)y-，则 【答】（ ）(A ) x -y ≥0 (B ) x +y ≥0 (C ) x -y ≤0 (D ) x +y ≤0 4． 给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a ,b 中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
那么 【答】（ ） (A ) 命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 (B ) 命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确 (C ) 两个命题都正确 (D ) 两个命题都不正确5． 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。
那么，在上述3名选手之间比赛的场数是 【答】（ ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 36． 已知点A (1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B ,C ，那么，△ABC 是(A ) 锐角三角形 (B ) 钝角三角形 (C ) 直角三角形 (D ) 不确定 【答】（ ） 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
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2019-2020 年高二数学竞赛试卷含答案一二三合计题号（ 11）（12）（ 13）（14）（ 15）得分评卷员A．B．C．D．2.C.考虑对立事件： a 与 b， c 与 d， e 与 f 为正方体的对面，ab 有种填法， cd 有种填法， ef 有 2 种填法 ,而整体填法共有种填法，所以符合题意的概率为：.3．定义两种运算：，，则函数为（）（A）奇函数（ B）偶函数（C）奇函数且为偶函数（ D）非奇函数且非偶函数3．A．f ( x) 22 x 22 | 2 22 x2 22 x2 ( x [ 2,2]) .(2 x) 2 x | 2 x4．圆周上按顺时针方向标有1， 2， 3， 4， 5 五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一个点．该青蛙从 5 这点开始起跳，经xx 次跳动，最终停在的点为( ▲)A． 4 B． 3 C． 2 D．14． D．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分．把答案填在题中横线上．5.已知方程 x2+(4+i)x+4+ai=0(aR)有实根 b,且 z=a+bi，则复数z=..由题意知b2+(4+i)b+4+ai=0(a,bR),即 b2+4b+4+(a+b)i=0.由复数相等可得：即z=2-2i.6．在直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为.6．(0,5). 方程 m(x2 +y2+2y+1)=(x-2y+3)2可以变形为 m=,即得 ,∴5 x2( y 1) 2x,y)到定点（ 0,-1)与定直线 x-2y+3=0 之比为常数 e=, m | x 2y 3 |其表示双曲线上一点（5又由 e>1,可得 0<m<5.7．直线 ax+by-1=0(a,b 不全为 0),与圆 x2+y2 =50 有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有条 .7. 72.如图所示，在第一象限内，圆x2+y2=50 上的整点有（ 1， 7）、（5， 5）、（ 7，1），则在各个象限内圆上的整点的个数共有12 个，此 12 个点任意两点相连可得 C=66 条直线，过12 个点的切线也有12 条，又直线ax+by-1=0(a,b 不全为 0）不过坐标原点，故其中有 6 条过原点的直线不合要求，符合条件的直线共有66+12-6=72 条 .17．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（ 2）第 n（ n≥ 2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n 行 (n≥ 2)中第 2 个数是 ____▲ ____（用 n 表示） .12 234 3477 45111411 5616252516 6L L L17.8．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积 m· n 是.8. 6.解：设六面体与八面体的内切球半径分别为r1与 r2,再设六面体中的正三棱锥A—BCD的高为 h 1,八面体中的正四棱锥M —NPQR 的高为 h 2,如图所示，则 h 1=a,h 2=a.∵V 正六面体 =2· h 1· S △ BCD =6· r 1· S △ ABC ，∴ r 1=h 1=a.又∵ V 正八面体 =2· h 2· S 正方形 NPQR =8· r 2· S △ MNP ，∴ a 3=2r 2a 2,r 2=a,r 16 a2 2于是9是最简分数，即 m=2,n=3,∴ m · n=6.r 2,36 a 369．若的两条中线的长度分别为 6， 7，则面积的最大值为 ..如图， D,E,F 是各边的中点，延长BE 至 G ，使得 BE=BG ，延长 BC 至 H ，使得 DC=CH ，连接 AG,EH,则 CH=EF=AG=DH,且AGAG||DH ，则四边形 EFCH 和 ADHG 是平行四边形 .F E故 CF=EH,AD=EH.故△ EGH 的三边 EH 、 EG 、 EH 分别是△ ABC 的三边的中线AD 、 BE 、 CF ，即、、 .由共边定理知 , S ABC2SBCE2 2 S BEH 4S EGH3 3.BDCH10．已知是定义（ -3,3）在上的偶函数，当 0<x<3 时，的图象如图所示，那么不等式的解集是.10．.由已知在 (0,3)图像我们可以得到在（－3， 3）上的整体图像，加上正弦函数的图像性质由数形结合思想可得到其解集是 .三、解答题：本大题共5 小题，共 90 分．要求写出解答过程．11．（本小题满分 15 分）已知函数，是的导函数．（Ⅰ）求函数 F x f x f ' x f 2x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）若，求的值 .11．（ Ⅰ ） ∵2 分∴ F xf x f ' xf 2 xcos 2 x sin 2 x 1 2sin xcos x1cos 2x sin 2x 1 2 sin(2 x)6 分4∴当 2x 2k2 x k k Z 时，4 8最小正周期为8 分（Ⅱ ）∵ f x 2 f ' x sin x cos x 2cos x 2sin x∴ cos x 3sin x111 分tan x31 sin2 x 2sin 2 x cos2 x∴sin x cos x cos2 x sin x cos x cos2 x2tan2 x 1 1111915 分1 tan x2 6312．（本小题满分15 分）如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中，．它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为，，．（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．解： (1) 设 BA BC BD a, BB1 b.ab 1 a2 2 2 1a 2由条件 2 （分）1 b . 32 1 2a2以点 B为原点，分别以 BC、 BB1、 BA为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0, 2), C( 2,0,0), D(0, 2,0), B1(0,2,0), C1 ( 2,2,0), A1(0,2, 2)(5分）Q ACD的重心 G 2 2 2,3,.3 3r uuur 2 a BG=3 uuurCA1 ( 2, 2, ,2,2为平面 ACD 的法向量 .(7 分）3 3r uuur2 2632), 则 cos a, CA16(9分）2 2 63所求角的正弦值为6.(10分）uuur uuuur 6(2)令 AP mAC 1 2m, 2m, 2m（11分）uuur uuur uuur r B1P B1 A AP 2m, 2m 2, 22ma.2m232m 22 无解（ 14分）322m23不存在满足条件的点 P ．（ 15 分）13．（本小题满分 20 分）已知椭圆的中心在坐标原点， 左顶点， 离心率， 为右焦点， 过焦点的直线交椭圆于、 两点（不同于点）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当时，求直线PQ 的方程；（Ⅲ）判断能否成为等边三角形，并说明理由．13．解：（Ⅰ）设椭圆方程为 (a>b>0) ，由已知∴-----------------------------------------2 分 ∴ 椭圆方程为． ------------------------------------------------- 4 分（Ⅱ）解法一 椭圆右焦点．设直线方程为（∈R ）．----------------------------------5 分x my 1,得 3m 24 y 2由 x 2y 2 1,6my 9 0 ．①-----------6 分43显然，方程①的．设，则有 y 1y 2 6m , y 1 y 2 9． ----8 分3m 243m 24PQm 2 1 y 1 y 2 2m 2 136m 223643m 2 43m 2m 2 1 2m 2 1 ．12123m 2 4 23m 2 4∵，∴ ．解得．∴直线 PQ 方程为，即或．---------- 12 分解法二：椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，，不合题意．设直线方程为，-------------------------------------- 5分由得 3 4k 2 x2 8k 2 x 4k 2 12 0 ．①----6 分显然，方程①的．设，则 x1 x28k22, x1 x24k 2 12-------83 4k 3 4k 2．分8k 222 12PQ 1 k 2 x1 2 4x1 x2 1 k 2 4kx23 4k 2 44k 2 3k2 212 k 2=12 1 2 1 ．4k 2 3 4k2 3∵，∴，解得．∴直线的方程为，即或．--------12 分（Ⅲ）不可能是等边三角形．------------------------------------------------13 分如果是等边三角形，必有，∴ x1 2 2 y12 x2 2 2 y22，∴ x1 x2 4 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 ，∴ m y1 y2 6 m y1 y2 y1 y2 y1 y2 0 ，------------------------------16 分∵，∴，∴，∴，或（无解）．而当时， PQ 3, AP AQ 3 52，不能构成等边三角形．∴不可能是等边三角形．------------------------------------------------------------ 20分14．设抛物线的焦点为F，动点P 在直线上运动，过P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于A、B 两点 .（1）求△ APB 的重心 G 的轨迹方程 .（ 2）证明∠ PFA=∠ PFB.14．解：（ 1）设切点 A 、 B 坐标分别为，∴切线 AP 的方程为：切线 BP 的方程为：解得 P 点的坐标为：所以△ APB 的重心 G 的坐标为 ，y 0 y 1 y Px 02 x 12x 0 x 1( x 0 x 1 )2 x 0 x 1 4x P 2 y p,y G3333所以，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：x ( 3 y 4x 2) 2 0,即 y1(4x 2x 2).uuur3uuuruuur（ 2）方法( x 0 , x 0 21 x 0 x 1 , x 0 x 11 21 1：因为 FA 4 ), FP ( ), FB (x 1, x 1 ).2 44 由于 P 点在抛物线外，则uuur uuurx 0 FP FA∴ cos AFP uuur uuur| FP || FA |uuur uuurFP FB 同理有 cos BFP uuur uuur| FP || FB |x 1 x 0 (x 0 x 1 1)( x 02 1) x 0 x 1 12 4 4 uuur 4 , uuur 1) 2 | FP || FP | x 02( x 0 2 x 0 x 1 4 x 1 ( x 0 x 1 1 21 ) x 0 x 1 1 )( x 1 4 , 2 uuur 4 4uuur ( x 12 1 ) 2 | FP | | FP | x 124∴∠ AFP=∠PFB.方法 2：①当 x 1 x 00时,由于 x 1 x 0 ,不妨设 x 0 直线 AF 的距离为： d 1| x 1 |; 而直线 BF 的方程2即 ( x 121)x x 1 y1x 1 0.441) x 1| ( x 12所以 P 点到直线 BF 的距离为： d 24 21 )2(x 124所以 d 1=d 2，即得∠ AFP=∠PFB.0, 则 y 01: y4x1 |4(x 1) 20, 所以 P 点坐标为，则 P 点到21x 1x 121 | x 1 |(x 1)| x 1 | 42 21 2 x 1421②当时，直线 AF 的方程： y1x 04( x 0),即( x 021) x x 0 y 1x 0 0,x 04 0 4421直线 BF 的方程： y1x 14(x0),即(x 121) x x 1 y1x 10,4 x 1 04 4所以 P 点到直 AF 的距离 ：| ( x 021)(x 0 x 1) x 0 2x 11x 0 | |x 0x 1)( x 02 1)| x 0 x 1 |4 2424d 11 )2212( x 02x 02x 044同理可得到 P 点到直 BF 的距离，因此由 d 1=d 2 ，可得到∠ AFP=∠ PFB ．14．（本小 分20 分）x=l 是函数的一个极 点（， 自然 数的底） ．（ 1）求与的关系式（用表示） ，并求的 区 ；（ 2）若在 区 上的最小 0，最大 , 且。
2019年全国高中数学联赛试题及解答
全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）一试一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+，则11a b+的值为________．答案：设连等式值为k ，则232,3,6k k ka b a b --==+=，可得答案108分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过2. 设集合3|12b a b a ⎧⎫+≤≤≤⎨⎬⎩⎭中的最大元素与最小你别为,M m ，则M m -的值为______．答案：33251b a +≤+=，33b a a a+≥+≥，均能取到，故答案为5-分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题 3. 若函数()21f x x a x =+-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．答案：零点分类讨论去绝对值，答案[]2,0-分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过4. 数列{}n a 满足12a =，()()*1221n n n a a n N n ++=∈+，则2014122013a a a a =+++______． 答案：()1221n n n aa n ++=+，迭乘得()121n n a n -=+，()212232421n n S n -=+⨯+⨯+++，乘以公比错位相减，得2n n S n =，故答案为20152013．分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前n 项和，集训队讲义专门训练并重点强调过5. 正四棱锥P ABCD -中，侧面是边长为1的正三角形，,M N 分别是边,AB BC 的中点，则异面直线MN与PC 之间的距离是________．答案：OB 为公垂线方向向量，故距离为12OB =分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过6. 设椭圆Γ的两个焦点是12,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点,P Q ．若212PF F F =，且1134PF QF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为________．答案：不妨设焦点在x 轴（画图方便），设114,3PF QF ==，焦距为2c ，224a c =+，可得△2PQF 三边长为7,21,2c c +，过2F 作高，利用勾股可得5c =． 分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足1PI =，则△APB 与△APC 的面积之比的最大值为________．答案：sin sin APB APC S PABS PAC ∠=∠，又两角和为60最大，即AP 与(),1I 切于对称轴右侧2分析：平面几何最值、面积、三角函数、轨迹8. 设,,,A B C D 是空间中四个不共面的点，以12的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则,A B 之间可以用空间折线（一条边或者若干条边组成）连结的概率为_______． 答案：总连法64种，按由A 到B 最短路线的长度分类．长度为1，即AB 连其余随意，32种； 长度为2，即AB 不连，ACB 或ADB 连，其余随意，ACB 连8种，故共88214+-=种 （一定注意,ACB ADB 同时连被算了2次，根据CD 是否连有2种情形）；长度为3，两种情形考虑ACDB ，ACDB 连、,,AB CB AD 均不连只有1种，故连法为2种；综上，答案483644=分析：组合计数，分类枚举，难度不大但容易算错，集训队讲义训练过类似题目二、解答题（本大题共3小题，共56分）9. （本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线24y x =的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直．设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为,Q R ． （1）证明：R 是一个定点；（2）求PQQR的最小值．答案：（1）设(),P a b ，()()1122,,,A x y B x y ，0,0a b ≠≠，()11:2PA yy x x =+，()22:2PB yy x x =+ 故,A B 两点均适合方程()2by a x =+，利用垂直，可得2a =-，故交点为定点()2,0（2）∵2a =-，故,2PO PR b bk k =-=-，设OPR α∠=，则α为锐角，1tan PQ QR α=，利用两角差 的正切公式，可得282PQ b QR b+=≥． 分析：涉及圆锥曲线切点弦方程、两直线夹角公式、不等式求最值，集训队讲义专门训练并重点过10. （本题满分20分）数列{}n a 满足16a π=，()()*1arctan sec n n a a n N +=∈．求正整数m ，使得121sin sin sin 100m a a a ⋅⋅⋅=． 答案：由反函数值域，知,22n a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2222132tan sec tan 1tan 3n n n n a a a +-==+==，1212112122311tan tan tan tan tan tan tan sin sin sin sec sec sec tan tan tan tan m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅=⋅=⋅==故3333m =分析：涉及简单反三角函数、数列通项公式求法，集训队讲义对类似题目进行过训练11. （本题满分20分）确定所有的复数α，使得对任意复数()121212,,1,z z z z z z <≠，均有()()221122z z z z αααα++≠++．答案：转换命题为计算存在12,z z 使得相等时的充要条件存在12,z z 使得相等，记()()2f z z z αα=++，()()()()()1212121220f z f z z z z z z z αα-=++-+-=， 则()()()1212122z z z z z z αα-=-++-，故12122222z z z z a ααα=++≥-->-， 故2α<； 若2α<，令12,22z i z i ααββ=-+=--，其中012αβ<<-，则12z z ≠，122i ααββ-±≤-+<，计算121212,2,2z z z z i z z i αββ+=--=-=-并代入，知()()12f z f z =．综上，满足条件的α为,2Z αα∈≥二试一、（本题满分40分）设实数,,a b c满足1a b c++=，0abc>．求证：14ab bc ca++<．a b c≥≥>，则1a≥1c≤．)ab bc ca c++-+⎭12c-，故有()()111122c c cc cc c⎛---≤-+-⎭⎝⎭由于1110,3333c-≥+≥>310c->，故原不等式成立．方法2：不妨设0a b c≥≥>，则13a≥c，设()()1f b ab bc ca ab c c=++=+-，()f b递增f⇔，()())()1f b ab a b a b⎛'=--=-⎝，()010f b'≥⇔≥⇔≤≥故()f b a；题目转化为21ac+=，a c≥，记()()222212g a a ac a a a=+-=+--()()262621g a a a⎫'=-+=-⎪⎭，由于13a≥1=，得1532a=，115,332a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时g'151,322⎫⎪⎝⎭时()g a在13或12max1124g g⎛⎫==⎪⎝⎭分析：一道偏函数化的不等式题，可以将其放缩为一元函数，也可以拿导数与调整法很快做出来，集训队讲义上两种方法都训练过．二、（本题满分40分）在锐角三角形ABC中，60BAC∠≠，过点,B C分别作三角形ABC的外接圆的切线,BD CE，且满足BD CE BC==．直线DE与,AB AC的延长线分别交于点,F G．设CF与BD交于点M，CE与BG交于点N．证明：AM AN=．答案：设△ABC三边为,,a b c，则BD CE a==，先计算AM，∵,BFD ABC BDF DBC BAC∠=∠∠=∠=∠，∴△BFD∽△CBA．由比例可知acDFb=，故BM BC bBDDF c==，故abBMb c=+，故由余弦定理知()2222cosab abAM c c A Bb c b c⎛⎫=+-⋅+⎪++⎝⎭222cosab abcc Cb c b c⎛⎫=++⎪++⎝⎭，整理可得此式关于,b c对称故可知22AM AN=分析：由于一旦,,a b c三边确定则图形固定，所以通过相似、比例、余弦定理计算的思路比较显然GF ED三、（本题满分50分）设{}1,2,3,,100S =．求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同．答案：一方面，取包含1的、至少含2个元素的所有子集，共9921-个，显然满足题意； 另外归纳证对于{}1,2,3,,S n =，任取()123n n -≥个子集，均存在两个的交集中最小的等于某个中最大的当3n =时，将7个非空子集分为三类：{}{}{}31,32,3，{}{}21,2，{}{}11,2,3．任取四个必有两个同类． 假设n k =时命题成立，当1n k =+时，如果取出的2k 个子集中至少有12k -个不含1k +，利用归纳假设知成 立；如果不含1k +的不足12k -，则至少有121k -+个含有1k +，而S 含有1k +的子集共2k 个，可以配成12k - 对，使得每对中除了公共元素1k +外，其余恰为1到n 的互补子集，这样，如果选出121k -+个，则必有两 个除1k +外不交，故命题成立． 综上，k 的最大值为9921-．分析：集合中的组合最值问题，比较常规的一道题，类似感觉的题集训队讲义在组合中的归纳法中有过四、（本题满分50分）设整数122014,,,x x x 模2014互不同余，整数122014,,,y y y 模2014也互不同余．证明：可将122014,,,y y y 重新排列为122014,,,z z z ，使得112220142014,,,x z x z x z +++模4028互不同余．答案：不妨设()mod 2014i i x y i ≡≡，1,2,,2014i =．下面对i y 序列进行1007次调整从而构成i z 序列：若i i x y +与10071007i i x y +++模4028不同余，则1007,i i y y +不调整；否则，交换1007,i i y y +位置，1,2,,2014i =．下证，进行1007次调整后，得到的i z 序列一定满足条件． 任意挑选一列()1,2,,1007i i x z i +=，只需证其与10071007i i x z +++、()1,2,,1007,j j x z j j i +=≠、10071007j j x z +++模4028不同余即可由i z 构造方法，i i x z +与10071007i i x z +++不同余是显然的，因为不可能调整前后均同余，故只需看另两个； 首先，对于不同的,i j ，2i 与2j 模4028不同余，否则会导致()mod 2014i j ≡．若,i j y y 均未调整，则()2mod 2014i i x z i +≡，()100710072mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡，故成立；若,i j y y 均已调整，则()21007mod 2014i i x z i +≡+，()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，故成立； 若只有一个被调整过，不妨设i y 未调整、j y 已调整，则()2mod 2014i i x z i +≡， ()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，若()4028|21007i j --，则()1007|i j -，矛盾，故同样成立． 综上，构造的i z 序列满足条件．全国高中数学联赛试题及解答2014高中联赛试题分析从试题类型来看，今年代数、几何、数论、组合4部分所占的比例为：代数37.3%，几何26.7%，数论16.7%，组合19.3%．这方面和历年情况差不多，但具体的知识点差别极大．一试第7题填空题可谓出人意表，虽然解答是用三角函数的方法处理的，对比历年试题，这题毫无疑问也是顶替了三角函数的位置．但本题却是一道彻头彻尾的平面几何题．从图中不难看出，最值情况在相切时取到，剩下的只是利用三角函数处理了一下计算上的问题．其余填空题中，第1~6题和往年出题风格类似，第8题概率计算略显突兀，本题几乎不需要用到计数的技巧，而是用单纯枚举的方法即可解决．放在填空题最后一题的位置不免显得难度不够．一试三道解答题中，第9题和第10题均不太难，所考知识点也和往年类似，无需多说．第11题又再次爆了冷门，考了一道复数问题．联赛已经多年没有考复数的大题了，许多学生都没有准备．可以说，这次一下戳中了学生的罩门．相信本题最终的得分率不容乐观．而本次试题中最特殊的要数加试中的平面几何题了．一反从1997年开始保持到如今的惯例，没有将平面几何题放在加试的第一题．而且本题实则为《中等数学》2012年第12期中的数学奥利匹克高中训练题中的原题，这无疑又让此题失色不少．今年的加试第一题放了一道不等式问题，虽然近几年不等式考察得较少，但是不等式一直是数学竞赛中的热门，在历年联赛中多有出现．考虑到本题难度并不大，放在联赛加试第一题还是非常合适的．加试第三题组合最值问题的出题风格一如既往，可以从很极端的情况下猜出答案，再进行证明．值得全国高中数学联赛试题及解答一提的是本题题干描述有歧义，最后一句“则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同”中，记最小元素为a ，两个最大元素为b 和c ．本句话中到底是指a 、b 、c 这3个数互不相同还是指a b ≠且a c ≠，无疑是容易让人误解的．希望今后联赛试题中能避免出现这种情况．加试第四题虽说考察的是数论中的同余知识，但更多考察的是构造法技巧，这也符合联赛加试中试题综合各方面知识的出题思想．从难度上来说本题难度不算太大，只要能从较小的数开始构造并寻找规律，找出2014的构造并不显得困难．但本题的出题背景无疑和以下题目相关：“n 为给定正整数，()122,,,n x x x 和()122,,,n y y y 均为1~2n 的一个排列，则112222,,,n n x y x y x y +++这2n 个数不可能模2n 互不同余．” 总的说来，本次联赛考察的知识点和往年比差别较大，但从试卷难度来说，和前两年是相当的．预计今年联赛的分数线可能比去年略低．。
2019年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
3 22 s-1
=
¥ k=s+1
3 22k-1
¥
=
k=s+1
z2k-1 + z2k
，
故
å å z1 + z2 ++ zm
£
æçççè
k
s =1
z2k-1 + z2k ÷ö÷÷ø+
z2 s+1
¥
<
k =1
z2k-1 + z2k
=
2
3 3
．
综上，结论获证．
…………………20 分
2019 年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷） 参考答案及评分标准
3. 设 a, b Î (0, p) ，cosa, cosb 是方程 5x2 -3x -1= 0 的两根，则 sin asin b 的
值为
．
答案：
7 5
．
解：由条件知 cosa + cosb = 3 , cosa cos b = -1 ，从而
5
5
(sin a sin b)2 = (1-cos2a)(1- cos2 b) = 1- cos2a - cos2 b + cos2a cos2 b
=
(-1)n-32n(n -1)(n
- 2)
．
因此有
n(n
-1)(n 24
2)(n
-
3)
=
(-1)n-3
2n(n
-1)(n
-
2)
．注意到
n
>
4
，化简得
n -3 = (-1)n-3 48 ，故只能是 n 为奇数且 n - 3 = 48 ．解得 n = 51．
高二数学竞赛试题及答案(精品)
高二数学竞赛拔高试题（二）时间：120分钟 满分150分 命题人：张付涛 审题人：郝庆全 一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1．在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线 的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 42．已知数列{}n a的通项公式2245n a n n =-+，则{}n a 的最大项是 （ ）A ．1aB ．2aC ．3aD ．4a3．已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若OMN 为直角三角形，则|MN|= （ ）A. B. 3C.D. 44、若关于x 的方程323()25x aa +=-有负数根，则实数a 的取值范围为 （ ） A.2(,)(5,)3-∞-+∞ B. 3(,)(5,)4-∞-+∞ C. 2(,5)3- D.23(,)34- 5．关于x 的不等式02022<--a ax x 任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是 （ ）. （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1- 6．设抛物线C ：y2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则 = ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7已知数列{an}满足3an+1+an=4(n ≥1)，且a1=9，其前n 项之和为Sn 。
则满足不等式|Sn-n-6|<1251的最小整数n 是 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．88．直线 分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 ( )A.B.C.D. 9.已知等差数列{an}的公差为d ，前n 项和为Sn ，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.函数 ()y f x = 的图像按向量 (,2)4a π= 平移后, 得到的图像的解析式为 sin()24y x π=++. 那么 ()y f x = 的解析式为 ( )A. sin y x =B. cos y x =C. sin 2y x =+D. cos 4y x =+11．设 ， 是双曲线 ：（ ， ）的左、右焦点， 是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为( )A. B. 2C.D.12．已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有 （ ）. （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个 二填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak 后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k ＝14.若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab ++的最小值为___________.15. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 . 16圆锥曲线|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 ．三解答题（17题10分，其他题目满分12分，共计70）17．已知数列 的各项均为正数，且. （1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 .18. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.19．某公司试销一种成本单价为500元／件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元／件．经试销调查，发现销售量y （件）与销售单价x （元／件）之间近似于如图所示的一次函数y ＝kx ＋b 的关系．（1）根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b 的解析式； （2）设公司获得毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为S 元．① 试用销售单价x 表示毛利润S ．② 试问销售单价定为多少时，此公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？20.设F 是抛物线x y 42=的焦点，B A 、为抛物线上异于原点O 的两点，且满足0=⋅FB FA ．延长BF AF 、分别交抛物线于点D C 、（如图）．求四边形ABCD 面积的最小值．21.已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2 （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式； （Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.22．已知斜率为 的直线 与椭圆 ：交于 ， 两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．nT高二数学竞赛拔高试题（二）答案1【答案】C 2．（B）3【答案】B 4、（d）5．（C）．6．【答案】D7 c 8．【答案】A 9. 【答案】C10,B , 即. 故选B 11．【答案】C 12故选（D）．二填空题13 k＝11．14.【答案】15. 的取值范围是或．16 ．三解答题17．【答案】（1）a_n=2n+1,n∈N^*（2）T_n=1+〖(-1)〗^(n-1) (n+1) （1）由〖a_n〗^2-2na_n-(2n+1)=0得[a_n-(2n+1)](a_n+1)=0，所以a_n=2n+1或a_n=-1，又因为数列{a_n }的各项均为正数，负值舍去，所以a_n=2n+1,n∈N^*.（2）因为b_n=〖(-1)〗^(n-1)a_n=〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)，所以T_n=3-5+7-9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)由T_n=3-5+7-9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)①(-1)T_n=-3+5-7+9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)+〖(-1)〗^n(2n+1)②由①-②得：2T_n=3-2[1-1+9...+〖(-1)〗^(n-1) ]-〖(-1)〗^n(2n+1)=3-2[1-〖(-1)〗^(n-1) ]/(1-(-1))=2+〖(-1)〗^(n-1)-〖(-1)〗^n(2n+1)=2+〖(-1)〗^(n-1) (2n+2)∴T_n=1+〖(-1)〗^(n-1) (n+1)点睛：本题考查了数列递推关系、错位相减法、分组求和方法、等比数列的求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18..解由题，……5分，，即，上单调减，且. ……10分，n是方程的两个解，方程即=0，解方程，得解为1，，.，，. ……15分19解：（1）把（600，400），（700，300）两点的坐标分别代入y＝kx＋b，得解得∴y＝－x＋1000，其中x的取值范围是500≤x≤800．（2）①S＝xy－500y＝x（－x＋1000）－500（－x＋1000），即S＝－x2＋1500x－500000（500≤x≤800）．②S＝－x2＋1500x－500000＝－（x－750）2＋62500．当x＝750时，S最大值＝62500．此时y＝－x＋1000＝－750＋1000＝250（件）．故当销售单价定为750件时，此公司获得最大毛利润62500元；此时的销售量是250件．2020.解析：设，由题设知，直线的斜率存在，设为．因直线过焦点，所以，直线的方程为．联立方程组，消得由根与系数的关系知：，……5分于是……10分又因为，所以直线的斜率为，从而直线的方程为：，同理可得．……15分故当时等号成立．所以，四边形的最小面积为32．……20分21.（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,由(I)得记梯形的面积为.由题意，所以……+= ……+ ①又……+ ②①-②得=所以【答案】（1）（2）或详解：（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.①；由题设得，故.（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或.点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得到,求出m得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，考察学生的计算能力，难度较大。
全国高二高中数学竞赛测试带答案解析
全国高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知函数则函数的反函数是A．y=B．y=C．y="2X+5"D．y=2X+22.设０，则a和b的大小关系是A．a B．C．a D．不确定的。
3.已知X y且bx. ,lnx成等比列，则xy的A．最大值是B．最大值是C．最小值是D．最小值是4.如图1、一个正方体的容器ABCD-中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两个小孔，若恰当地将容器放置。
可使流出的油量达到最小，这个最小值是正方体容器容量的。
A．B．C．D．5.函数y=的最小值是A．B．C．D．6.Ahyperbola(双曲线)wjthvertices(顶点)（-2，5）and(-2,-3),has an asynptote(渐近线)thatpasses the point(2.5) Then an equarionk of the hyperbola isA．B．C．D．7.等差数列中有两项和，满足、，则该数列前mk项之和是A．B．C．D．8.当x.yi满足条件时，变量U=的取值范围是A．B．C．D．9.设为椭圆上一点，且,，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于A．B．C．D．10.Suppose the least distance fron poinrs of the xurve(曲线)to the y-axis is then the velue of a isA．B．C．or D．or11.已知函数则函数的反函数是A．y=B．y=C．y="2X+5"D．y=2X+212.设０，则a和b的大小关系是A．a B．C．a D．不确定的。
13.已知X y且bx. ,lnx成等比列，则xy的A．最大值是B．最大值是C．最小值是D．最小值是14.如图1、一个正方体的容器ABCD-中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两个小孔，若恰当地将容器放置。
2019年河南省郑州市新密高级中学高二数学理测试题含解析
2019年河南省郑州市新密高级中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 将函数的图象向左平移个单位所得到的图象的解析式为（）A．.y=sin2x B．.y=﹣sin2x C．.y=cos2x D．y=﹣2cosx参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位所得到的图象的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin2x，故选：A．2. 如右图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A﹣B﹣C﹣M运动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】随着点P的位置的不同，讨论三种情形即在AB上，在BC上，以及在CM上分别建立面积的函数，分段画出图象即可．【解答】解：根据题意得f（x）=，分段函数图象分段画即可，故选A．3. 如图所示，圆O为单位圆，M、P、Q、R、T分别表示的复数为、、、、，则只可能是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】设出，，求出，再分析确定【详解】由题意设，，，则，显然有，，且，只可能是对应的．故选：B．【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义．掌握模的概念是解题关键．4. 已知定义在上的函数，周期为4，当时，当时，函数有5个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：A5. 先后连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的概率是( )A．B．C．D．参考答案：D【考点】等可能事件的概率；数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】掷两次骰子分别得到的点数m，n，组成的向量（m，n）个数为36个，与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的这个事件包含的基本事件数须将其满足的条件进行转化，再进行研究【解答】解：后连掷两次骰子分别得到点数m，n，所组成的向量（m，n）的个数共有36种由于向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的∴（m，n）?（﹣1，1）＜0，即m﹣n＞0，满足题意的情况如下当m=2时，n=1；当m=3时，n=1，2；当m=4时，n=1，2，3；当m=5时，n=1，2，3，4；当m=6时，n=1，2，3，4，5；共有15种故所求事件的概率是=故选D【点评】本题考查等可能事件的概率，考查了概率与向量相结合，以及分类计数的技巧，有一定的综合性．6. 在等比数列中，，，，则项数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6参考答案：C略7. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣πB．24﹣C．24﹣D．24﹣参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】转化思想；空间位置关系与距离．【分析】该几何体由一个长方体挖去一个半圆柱得到的．【解答】解：该几何体由一个长方体挖去一个半圆柱得到的．∴该几何体的体积V=2×3×4﹣3=24﹣．故选：C．【点评】本题考查了三棱锥的三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8. 数列前n项和=( )A.;B.;C.;D.参考答案：D9. 袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，则n=（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：A【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用等可能事件概率计算公式能求出结果．【解答】解：∵袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，∴由题意知：，解得n=2．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10. 已知等差数列满足，，，则的值为( )A． B． C．D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. ﹣= ．参考答案：﹣4【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】将所求关系式通分，利用三角恒等变换与二倍角的正弦即可求得答案．【解答】解：原式=﹣====﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．12. 已知且为偶函数，则参考答案：-613. 已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A-BD-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于_ ．参考答案：略14. 当时，有当时，有当时，有当时，有当时，你能得到的结论是：．参考答案：=略15. 不等式的解集为参考答案：[－1,0)16. 已知复数（i是虚数单位），则|z|=．参考答案：1首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，是一个纯虚数，求出模长．解：==，∴|z|=1，故答案为：117. 过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交C于A，B两点，若，则|BF|= ．参考答案：3【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】将直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线的性质，即可求得+=1，由，代入即可求得|BF|的值．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F坐标（1，0），准线方程为x=﹣1．设过F点直线方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）代，化简后为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．则x1+x2=，x1x2=1，根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，∴+===1，将代入上式得：|BF|=3．故答案为：3．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020年高二数学竞赛试卷含答案
2019-2020年高二数学竞赛试卷含答案(共15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2019-2020年高二数学竞赛试卷含答案A ．B ．C ．D ．2. C .考虑对立事件：a 与b ，c 与d ，e 与f 为正方体的对面， ab 有种填法，cd 有种填法，ef 有2种填法,而整体填法 共有种填法，所以符合题意的概率为： .3．定义两种运算：，，则函数为（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）奇函数且为偶函数 （D ）非奇函数且非偶函数3．A ．()[2,2])f x x ==∈-. 4．圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一个点．该青蛙从5这点开始起跳，经xx 次跳动，最终停在的点为 ( ▲ )A ．4B ．3C ．2D ．1 4．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．5.已知方程x 2+(4+i)x +4+a i=0(a R )有实根b ,且z =a +b i ，则复数z= . .由题意知b 2+(4+i)b +4+a i=0(a ,b R ),即b 2+4b +4+(a +b )i=0.由复数相等可得：即z=2-2i.6．在直角坐标系中，若方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x -2y +3)2表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为 .6．(0,5).方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x -2y +3)2可以变形为m =,即得,∴5|32|)1(522+-++=y x y x m其表示双曲线上一点（x ,y )到定点（0,-1)与定直线x -2y +3=0之比为常数e =,又由e >1,可得0<m <5.7．直线ax +by -1=0(a ,b 不全为0),与圆x 2+y 2=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有 条.7. 72.如图所示，在第一象限内，圆x 2+y 2=50上的 整点有（1，7）、（5，5）、（7，1），则在各个象限内圆 上的整点的个数共有12个，此12个点任意两点相连可得C =66条直线，过12个点的切线也有12条，又直线ax +by -1=0(a ,b 不全为0）不过坐标原点，故其中有6条过原点的直线不合要求，符合条件的直线共有66+12-6=72条.17．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n （n ≥2)行首尾两数均为n ，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n 行(n ≥2)中第2个数是____▲____（用n 表示）.122343477451114115616252516617.8．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积m ·n 是 .8. 6.解：设六面体与八面体的内切球半径分别为r 1与r 2,再设六面体中的正三棱锥A —BCD 的高为h 1,八面体中的正四棱锥M —NPQR 的高为h 2,如图所示，则h 1=a ,h 2=a .∵V 正六面体=2·h 1·S △BCD =6·r 1·S △ABC ，∴r 1=h 1=a .又∵V 正八面体=2·h 2·S 正方形NPQR =8·r 2·S △MNP ，∴a 3=2r 2a 2,r 2=a ,于是32,32669621==a ar r 是最简分数，即m =2,n =3,∴m ·n =6.9．若的两条中线的长度分别为6，7，则面积的最大值为 ..如图，D,E,F 是各边的中点，延长BE 至G ，使得BE=BG ，延长BC 至H ，使得DC=CH ，连接AG,EH,则CH=EF=AG=DH,且AG||DH ，则四边形EFCH 和ADHG 是平行四边形.故CF=EH,AD=EH. 故△EGH 的三边EH 、EG 、EH 分别是△ABC 的三边的中线AD 、BE 、CF ，即、、. 由共边定理知, 242233ABC BCE BEH EGH S S S S ∆∆∆∆==⨯=.10．已知是定义（-3,3）在上的偶函数，当0<x<3时，的图象如图所示，那么不等式的解集是 .HGE DF BA C10．.由已知在(0,3)图像我们可以得到在（－3，3）上的整体图像，加上正弦函数的图像性质由数形结合思想可得到其解集是.三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．11．（本小题满分15分） 已知函数，是的导函数．（Ⅰ）求函数()()()()2'F x f x f x f x =+的最大值和最小正周期； （Ⅱ）若，求的值.11．（Ⅰ）∵ 2分 ∴()()()()2'F x f x f x f x =+22cos sin 12sin cos x x x x=-++1cos 2sin 212sin(2)4x x x π=++=++ 6分∴当()22428x k x k k Z πππππ+=+⇒=+∈时，最小正周期为 8分（Ⅱ）∵()()2'sin cos 2cos 2sin f x f x x x x x =⇒+=-∴1cos 3sin tan 3x x x =⇒=11分 ∴222221sin 2sin cos cos sin cos cos sin cos x x xx x x x x x++=-- 2112tan 111921tan 63x x +===- 15分12．（本小题满分15分）如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中，．它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为，，．（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．1,.BA BC BD a BB b ====解：(1)设22122122.31212ab a a b a ⎧+=+⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩由条件（分）1B BC BB BA x y z 以点为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则111(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(2,2,0),(0,2,2)(5A C D B C A -分）.333ACD G ⎛∆-⎝⎭的重心2,a BG ACD ⎛∴= ⎝⎭=为平面的法向量.(7分）112(2,2,2),cos ,CA a CA -=-==则分） 6∴分）()()111(2)2,2,2112,22,22.AP mAC m m m B P B A AP m m m a λ==-=+=--=令（分）322143m =⎪⎪∴-=-∴⎨⎪=无解（分）P ∴不存在满足条件的点． （15分）13．（本小题满分20分）已知椭圆的中心在坐标原点，左顶点，离心率，为右焦点，过焦点的直线交椭圆于、两点（不同于点）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当时，求直线PQ 的方程；（Ⅲ）判断能否成为等边三角形，并说明理由． 13．解：（Ⅰ）设椭圆方程为 (a >b >0) ， 由已知∴ -----------------------------------------2分∴ 椭圆方程为． -------------------------------------------------4分（Ⅱ）解法一 椭圆右焦点．设直线方程为（∈R ）． ----------------------------------5分由221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()0964322=-++my y m ．① -----------6分显然，方程①的． 设，则有439,436221221+-=+-=+m y y m m y y ． ----8分 ()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-+=433643*********2212m m m m y y mPQ ()()4311243112222222++⨯=++=m m mm． ∵，∴ ．解得．∴直线PQ 方程为，即或． ----------12分解法二： 椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，，不合题意． 设直线方程为， --------------------------------------5分 由 得()01248432222=-+-+k x k x k ． ① ----6分 显然，方程①的．设，则2221222143124,438kk x x k k x x +-=⋅+=+． -------8分 ()()[]21221241x x x x k PQ ⋅-++=()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2222224312444381k k k k k=()()3411234112222222++=++k k k k ． ∵，∴，解得．∴直线的方程为，即或． --------12分（Ⅲ）不可能是等边三角形． ------------------------------------------------13分 如果是等边三角形，必有，∴()()2222212122y x y x ++=++，∴()()()()0421212121=-++-++y y y y x x x x ，∴()[]()()()0621212121=-++-++y y y y y y m y y m ，------------------------------16分 ∵，∴，∴， ∴，或（无解）．而当时，3,PQ AP AQ ===，不能构成等边三角形． ∴不可能是等边三角形．------------------------------------------------------------20分 14．设抛物线的焦点为F ，动点P 在直线上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.14．解：（1）设切点A 、B 坐标分别为， ∴切线AP 的方程为： 切线BP 的方程为： 解得P 点的坐标为：所以△APB 的重心G 的坐标为 ，222201010101014(),3333P pP G x y y y y x x x x x x x x y -+++++-====所以，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方法1：因为2201000111111(,),(,),(,).4244x x FA x x FP x x FB x x +=-=-=-由于P 点在抛物线外，则∴2010010012220111()()2444cos ,||||||1||()x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP FP x x +⋅+--+⋅∠===+-同理有2011011012221111()()2444cos ,||||||1||()x x x x x x x x FP FB BFP FP FB FP FP x x +⋅+--+⋅∠===+- ∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为，则P点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线 即.041)41(1121=+--x y x x x所以P 点到直线BF 的距离为：22111111221||11|()|()||42124x x x x x x d x -++===+ 所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当时，直线AF 的方程：202000011114(0),()0,4044x y x x x x y x x --=---+=-即 直线BF 的方程：212111111114(0),()0,4044x y x x x x y x x --=---+=-即 所以P 点到直线AF 的距离为：22201010010001120111|()()||)()||24124x x x x x x x x x x x d x +---++-===+ 同理可得到P 点到直线BF 的距离，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB ．14．（本小题满分20分）设x=l 是函数的一个极值点（，为自然对数的底）． （1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（2）若在闭区间上的最小值为0，最大值为, 且。
2019年高中数学竞赛试题及答案及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．． 是．①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 3．设0.50.320.5,log 0.4,cos3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或2 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答 案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为 ．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图2222=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防(若疫苗有效已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？ （3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间； （2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ； （2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程； （2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数()1f x =-． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.3 11．2201112. 31(,),(1,0),(3,4)22-- 三、解答题：13. （本题满分12分） 解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分 即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分 （3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有： （465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分 由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ， 解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ， 故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分） 解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos 2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= ………………… 2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分 又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分 从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分 （2）由11)32sin()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分） 解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分 又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分 （2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分 又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分 又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分 又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分 由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分 （3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分 又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-EFG B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分 综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分ACBB 1A 1C 1FGE（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分 由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分 整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分 又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r=2. ……1分由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即AM =……………2分 若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540kx y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分2=，2=，解得15 5k k =-=或. ……………5分 所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在 线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点的横坐标取值范围是.……14分18．（本题满分14分） 解：（1）由()1f x =-可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分 又11()(1f x x x ===3分 显然)(1x f x在区间(0,1]∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）21()()f x f x -===.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即2>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分 （3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分 由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。
2019-2020学年上学期高二竞赛数学试卷
2019-2020学年上半学期高二数学竞赛试卷班级： 姓名： 分数： 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={-1,0,1,2}，A={0,2},B={-1,0}则(A C U )∪B=（ ）。
A ．{1} B.{-1,0} C ．{-1} D ．{-1,1,0} 2、不等式-2x ²-5x+3＜0的解集是（ ）。
A 、RB 、{x|-3＜x ＜21} C 、∅ D 、{x|x ＜-3或x ＞21} 3、已知角α的终边上一点P （-3,4），那么sin α+cos α=（ ）。
A 、-51B 、 51 C 、-257 D 、 257 4、已知向量,2),20(1||=∙==b a b a 且，，则夹角的大小为（ ）。
A 、6π B 、 4π C 、 3π D 、2π5、已知等差数列的前n 相和n S ，若54a -18a =，则8S 等于（ ）。
A 、18 B 、36 C 、54 D 、726过点A （-2，m ）与B （m ，1）的直线与直线2x-y+2=0平行，则m=（ ）。
A 、-1 B 、1 C 、-2 D 、27、函数y=f （x+1）的定义域是[-2,3],则y=f （2x-1）的定义域是（ ）。
A 、[0,25] B 、[-1,4] C 、 [-5,5] D 、[-3,7]8、若方程15922=-+-k y k x 表示椭圆，则整数k 的值有（ ）。
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个9、若f(x)=(m-1)x 2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间（-5,2）上是（ ）。
A 、减函数 B 、增函数 C 、先增后减 D 、先减后增10、若两直线a ∥b ，且a ∥平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）。
A 、b ∥平面α或者b ⊆平面α B 、b ∥平面α C 、b ⊆平面α D 、相交 11、当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y =a-x 与函数y=a x 的图象可能是（ ）。
【精品高考数学试卷】2019年河南省郑州高考数学二模试卷(理科)+答案
2019年河南省郑州高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）已知集合2{|450}A x x x =--<，集合{|22}B x x =-<<．则(A B =I ) A ．{|12}x x -<< B ．{|22}x x -<< C ．{|25}x x << D ．{|12}x x <<2．（5分）已知复数21((1)iz i i -=+为虚数单位），则(z = ) A ．1122i --B ．1122i - C ．1122i -+D ．1122i + 3．（5分）已知命题p ：方程221ax by +=表示双曲线；命题:0q b a <<．命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知等差数列{}n a 各项均为正数，12312a a a ++=，12348a a a =g g ，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．2n B ．2n +C ．32n -D ．n5．（5分）函数21x y +=的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．6．（5分）已知1F ，2F 分别为椭圆C 的两个焦点，P 为椭圆上任意一点．若12||||PF PF 的最大值为3，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．12C 6D 27．（5分）如图所示的程序框图，则输出结果为( )A ．2log 6B ．2log 7C ．3D ．2log 98．（5分）已知函数2,1()1,11log x x f x x x⎧⎪=⎨<⎪-⎩…，则不等式()1f x „的解集为( )A ．(-∞，2]B ．(-∞，0](1⋃，2]C ．[0，2]D ．(-∞，0][1U ，2]9．（5分）将曲线22||||x y x y +=+围成的区域记为Ⅰ，曲线221x y +=围成的区域记为Ⅱ，曲线221x y +=与坐标轴的交点分别为A 、B 、C 、D ，四边形ABCD 围成的区域记为Ⅲ，在区域Ⅰ中随机取一点，此点取自Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，则( ) A ．121p p +>B ．121p p +<C ．121p p +=D ．12p p =10．（5分）第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”“编制剪辑”等四项工作，每项工作至少一人参加，但两名女记者不参加“负重扛机”，则不同的安排方案数共有( ) A ．150B ．126C ．90D ．5411．（5分）若关于x 的方程|1|2019sin(1)0x a x a -+-+=只有一个实数解，则实数a 的值()A ．等于1-B ．等于1C ．等于2D ．不唯一12．（5分）已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O 的表面积为20π，则三棱柱的体积为( ) A．B ．12C．D ．18二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题纸上． 13．（5分）已知实数x ，y 满足线性约束条件21210x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩„……，则23x y -的最小值为 ．14．（5分）已知||1a =r，b =r ，|3|2a b +=r r ，则b r 在a r方向上的投影为 ．15．（5分）将sin()6y x π=-的图象向右平移ϕ个单位后(0)ϕ>，得到cos y x =的图象，则ϕ的最小值为 ． 16．（5分）已知二进制和十进制可以相互转化，例如65432108912021212020212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，则十进制数89转化为二进制数为2(1011001)，将n 对应的二进制数中0的个数，记为n a （例如：24(100)=，251(110011)=，289(1011001)=，则42a =，512a =，893a =，)，记()2n a f n =，则2018201820182019(2)(21)(22)(21)f f f f +++++⋯+-=三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知函数211()sin sin 222x f x x =+-，ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）求f （A ）的取值范围；（2）若C A >，f （A ）0=，且2sin sin A B =ABC ∆的面积为2，求b 的值． 18．（12分）如图所示，在多面体BC AEFD -中，矩形BCFE 所在平面与直角梯形AEFD 所在平面垂直，//AE DF ，AE EF ⊥，G 为CD 的中点，且1AE BE BC ===，2DF =． （1）求证：//AG 平面BCFE ；（2）求直线AB 与平面AGE 所成角的正弦值．19．（12分）某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局．现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制．问两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．（设各局胜负相互独立，各选手水平互不相同．)20．（12分）已知点G 在抛物线2:4C x y =的准线上，过点G 作抛物线C 的两条切线，切点分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． （1）证明：1212x x y y +为定值；（2）当点G 在y 轴上时，过点A 作直线AM ，AN 交抛物线C 于M ，N 两点，满足AM AN ⊥．问：直线MN 是否恒过定点P ，若存在定点，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数2()()2ax f x xlnx a x a R =-+-∈．（1）若函数()f x 有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围；（2）若2a =，k N ∈，2()22g x x x =--，且当2x >时不等式(2)()()k x g x f x -+<恒成立，试求k 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1(4x tt y t =+⎧⎨=--⎩为参数），以原点O 为极点x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 0a ρρθ-+=． （1）求曲线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程，并指出两曲线的轨迹图形； （2）曲线1C 与两坐标轴的交点分别为A 、B ，点P 在曲线2C 运动，当曲线1C 与曲线2C 相切时，求PAB ∆面积的最大值． 23．已知函数()|21||1|f x x x =++-． （1）解不等式()2f x >；（2）记函数()()()g x f x f x =+-，若对于任意的x R ∈，不等式|1|()k g x -<恒成立，求实数k 的取值范围．2019年河南省郑州高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．【解答】解：{|15}A x x =-<<； {|12}A B x x ∴=-<<I ．故选：A ． 【解答】解：21(1)iz i -=+Q ， 2(1)1z i i ∴+=-， 21zi i ∴=-，则2(1)1z i i i -=-=+， 1122z i ∴=--，则1122z i =-+．故选：C ．【解答】解：方程221ax by +=表示双曲线等价于0ab <，即命题:0p ab <， 由0ab <推不出0b a <<，充分性不具备， 由0b a <<能推出0ab <，必要性具备， 故命题p 是命题q 的必要不充分条件， 故选：B ．【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 由12312a a a ++=，可得：2312a =，解得24a =， 又12348a a a =g g ，1312a a ∴=g ，又138a a +=，1a ∴，3a 是方程28120x x -+=的两根，又等差数列{}n a 各项均为正数， 12a ∴=，36a =，2d ∴=故数列{}n a 的通项公式为：22(1)2n a n n =+-=．故选：A ．【解答】解：由()f x 的解析式得()()0f x f x -+=， ()f x ∴是奇函数图象关于原点对称，当1x =时，f （1）1=<，排除A ， 当0x >时，()f x ==，函数在(0,)+∞上单调递减，故可排除B ，D 故选：C ．【解答】解：P 到椭圆C 焦点的最大距离为a c +，最小距离为a c -， 又12||||PF PF 的最大值为3， ∴3a c a c +=-，12e ∴=． 故选：B ．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是求2345678log 3log 4log 5log 6log 7log 8log 9S =⨯⨯⨯⨯⨯⨯值，由于2345678log 3log 4log 5log 6log 7log 8log 9S =⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 234567899log 923456782lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg =⨯⨯⨯⨯⨯⨯==． 故选：D ．【解答】解：当1x …时，()1f x „即为：2log 1x „ 解得12x 剟当1x <时，()1f x „，即为：111x-„ 解得0x „．综上可得，原不等式的解集为(-∞，0][1U ，2] 故选：D ．【解答】解：由方程22||||x y x y +=+，得：22111()()2220,0x y x y ⎧-+-=⎪⎨⎪⎩厖，或者22111()()2220,0x y x y ⎧++-=⎪⎨⎪⎩剠，或者22111()()2220,0x y x y ⎧+++=⎪⎨⎪⎩剟，或者22111()()2220,0x y x y ⎧-++=⎪⎨⎪⎩厔， 曲线22||||x y x y +=+围成的区域Ⅰ、曲线221x y +=围成的区域Ⅱ、四边形ABCD 围成的区域Ⅲ，如图：可知区域Ⅰ的面积为222()2ABCD S ππ+=+正方形； 区域Ⅱ的面积为21ππ⨯=； 区域Ⅲ的面积2(2)2=；∴由几何概率公式得：12p ππ=+，222p π=+， 故121p p +=． 故选：C ．【解答】解：选一名男记者参加“负重扛机”，剩余的4人分为(2，1，1)一组，再分配另三项工作，故有123343108C C A ⨯⨯=种，选两名男记者参加“负重扛机”，剩余的3分配另三项工作，故有233318C A ⨯=种， 由分类计数原理，可得共有10818126+=种， 故选：B ．【解答】解：令1t x =-，则关于x 的方程|1|2019sin(1)0x a x a -+-+=只有一个实数解等价于关于t 的方程||2019sin 0t a t a ++=只有一个实数解，若0a …，则由sin 1t -…及2019x y =为增函数，得：||02019sin 201910t a t a a a ++-+=>…，方程无解， 故0a <，令||()2019t f t a =+，()sin g t a t =， 则()y f t =在0t =时取最小值1a +， 又函数()y g t =的图象关于点(0,0)对称，当1a =-时，两函数()y f t =、()y g t =的图象有且只有一个交点，此而满足题意， 当1a <-时，两函数()y f t =、()y g t =的图象有两个交点，此而不合题意， 当10a -<<时，两函数()y f t =、()y g t =的图象没有交点，此而不合题意， 所以1a =-为所求， 故选：A ．【解答】解：为三棱柱111ABC A B C -的五个面所在的平面截球面所得的圆的大小相同， 所以该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为a ，高为h ，截面圆的半径为r ，球半径为R ，Q 球O 的面积为20π，2420R ππ=，解得5R =，底面和侧面截得的圆的大小相同，∴222()()()223a h +=，∴3a h =，①又Q 222()()23h R +=，②由①②得23a =，2h =， 三棱柱的体积为23(23)263V =⨯⨯=． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题纸上． 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，令23z x y =-，则2133y x z =-，作出直线2:3l y x =，平移直线l ，由图可得，当直线经过点C 时，直线在y 轴上的截距最大， 此时23z x y =-取得最小值，由2121x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31(,)55C ，23z x y ∴=- 的最小值是21323555⨯-⨯=．故答案为：35．【解答】解：||1a =rQ，b =r，||b =r|3|2a b +=r r，∴22694a a b b ++=rrrr g ，∴12a b =-r r g∴则b r 在a r方向上的投影为：1||2a b a =-r r g r故答案为：12-．【解答】解：将sin()6y x π=-的图象向右平移ϕ个单位后(0)ϕ>，可得sin()6y x πϕ=--的图象；又因为得到cos sin()2y x x π==+的图象，sin()sin()26x x ππϕ∴+=--，∴226k πππϕ=--，k Z ∈，223k πϕπ∴=-，则当1k =时，ϕ取得最小值为43π， 故答案为：43π． 【解答】解：依题意201820182017201602120202022018a =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯=，可以理解为在201812⨯后的2018个数位上，有2018选择0，20182018(2)2f ∴=，2018201820171021120202122017a +=⨯+⨯+⋯⋯+⨯+⨯=，可以理解为在201812⨯后的2018个数位上，有2017选择0，20182017(21)2f ∴+=，根据计数原理，在2018(2)f ，2018(21)f +，2018(22)f +，⋯，2019(21)f -中等于20172共有20172018C 个，同理在2018(2)f ，2018(21)f +，2018(22)f +，⋯，2019(21)f -中等于20162的共有20162018C 个，⋯⋯在2018(2)f ，2018(21)f +，2018(22)f +，⋯，2019(21)f -中等于02的有02018C 个．所以201820182018201900112018201820182018201820182018(2)(21)(22)(21)222(12)3f f f f C C C +++++⋯+-=⨯+⨯+⋯⋯+⨯=+=．故填：20183．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．【解答】解：（1）2111cos sin 1()sin sin )2222224x x x f x x x π-=+-=+-=-． 由题意0A π<<， 则(44A ππ-∈-，3)4π，可得：sin()(4A π-∈，1]． 可得：f （A ）的取值范围为1(2-．（2)04A π-=， 4A k ππ∴-=，k Z ∈， 4A k ππ∴=+，k Z ∈．又A Q 为锐角， 4A π∴=．由余弦定理及三角形的面积得：22221sin 224cos 42a b bc b c a bc ππ=⎧⎪⎪=⎨⎪+-⎪=⎩，解得2b =．方法二：32sin sin()44C C ππ=-+，且C A >，可得2C π=，则ABC ∆为等腰直角三角形，由于：2122b =，所以：2b =．【解答】（1）证明：取CF 的中点H ，连结EH ．H Q 是CF 的中点，G 是CD 的中点．//GH FD ∴，12GH FD =． 又//AE DF ，12AE DF =． //AE GH ∴，AE GH =．∴四边形AGHE 是平行四边形，//AG EH ∴．又AG ⊂/Q 平面EFCB ，EH ⊂平面EFCB ． //AG ∴平面EFCB ．（2）Q 平面BEFC ⊥平面AEFD ，CF EF ⊥，平面AEFD ⋂平面EFCB EF =， CF ∴⊥平面AEFD ．CF EF ∴⊥，CF FD ⊥． //AE DF Q ，AE EF ⊥，EF DF ∴⊥．以F 为原点，分别以FE 、FD 、FC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系F xyz -， 则(1E ，0，0)，(0F ，0，0)，(0D ，2，0)，(0C ，0，1)，(1A ，1，0)，(1B ，0，1)，(0G ，1，1)2，∴(1AG =-u u u r ，0，1)2，(0AE =u u u r ，1-，0)．设平面AGE 的一个法向量为(n x =r ，y ，)z ，则00n AG n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，令2z =，得(1n =r ，00，2)． 又(0AB =u u u r ，1-，1)，10cos ,52n AB ∴<>==⨯u u ur r ． ∴直线AB 与平面AGE 所成角的正弦值为10．【解答】解：甲乙两人对决，若甲更强，则其胜率12p >．采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是： “甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为：2212(1)p p p p =+-，采用五局三胜制，若甲最终获胜，至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜， 而前面甲需胜二局，由独立性得五局三胜制下甲最终获胜的概率为：323232234(1)(1)p p C p p C p p =+-+-．而2322221(615123)3(1)(21)p p p p p p p p p -=-+-=--． 12p >Q ，21p p ∴>，即五局三胜的条件下甲最终获胜的可能更大． ∴五局三胜制更能选拔出最强的选手．【解答】解：（1）法1：抛物线2:4C x y =的准线为:1l y =-，故可设点(,1)G a -， 由24x y =，得214y x =，所以12y x '=．所以直线GA 的斜率为112x ． 因为点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 在抛物线C 上，所以22112211,44y x y x ==． 所以直线GA 的方程为211111()42y x x x x -=-．因为点(,1)G a -，在直线GA 上，所以2111111()42x x a x --=-，即211240x ax --=．同理，可知222240x ax --=． 所以1x ，2x 是方程2240x ax --=的两个根，所以124x x =-． 又222121212111()14416y y x x x x ===g ，所以12123x x y y +=-为定值． 法2：设过点(,1)G a -，且与抛物线C 相切的切线方程为1()y k x a +=-， 由21(),4,y k x a x y +=-⎧⎨=⎩，消去y 得24440x kx ka -++=， 由△2164(44)0k ak =-+=，化简得210k ak --=，所以121k k =-． 由24x y =，得214y x =，所以12y x '=．所以直线GA 的斜率为112x ．直线GB 的斜率为2212k x =． 所以12114x x =-，即124x x =-．又222121212111()14416y y x x x x ===g ，所以12123x x y y +=-为定值． （2）存在，由（1）知2212124x x x x =-=-=-． 不妨设12x x <，则12x =-，22x =，即(2,1)A -，(2,1)B ． 设设(M M x ，)M y ，(N N x ，)N y ．则2112244M x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式作差，可得111()()4()M M M x x x x y y -+=-，所以直线AM 的斜率为1244M M AM x x x k +-==，同理可得24N AN x k -=， 因为AM MN ⊥，所以22144N M AM AN x x k k --==-g g ， 整理得2()200M N M N x x x x -++=g ，又，①又因为因为224,4M M NN x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式作差，可得()()4()M N M N M N x x x x y y -+=-，从而可得直线MN 的斜率为4M NMN x x k +=， 所以直线MN 的方程为2()44M N MM x x x y x x +-=-，化简可得4()M N M N y x x x x x =+-，将①代入上式得4()2()20M N M N y x x x x x =+-++， 整理得4(5)()(2)M N y x x x -=+-．所以直线MN 过定点(2,5)，即P 点的坐标为(2,5)． 【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； （2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． 【解答】解：（1）由题意知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ()f x lnx ax '=-，令()0f x '=，可得0lnx ax -=，lnx a x∴=，令()lnxh x x =，则由题可知直线y a =与函数()h x 的图象有两个不同的交点， 21()lnxh x x -'=，令()0h x '=，得x e =， 可知()h x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， ()max h x h =（e ）1e=， 当x 趋向于+∞时，()h x 趋向于零， 故实数a 的取值范围为1(0,)e．（2）当2a =时，2()2f x xlnx x x =-+-， (2)()()k x g x f x -+<，即(2)k x xlnx x -<+，因为2x >，所以2xlnx xk x +<-， 令()(2)2xlnx xF x x x +=>-， 则242()(2)x lnxF x x --'=-，令()42(2)m x x lnx x =-->， 则2()10m x x'=->， 所以()m x 在(2,)+∞上单调递增，m （8）242840ln lne =-<-=，3(10)6210620m ln lne =->-=， 故函数()m x 在(8,10)上唯一的零点0x ， 即00420x lnx --=，故当02x x <<时，()0m x <，即()0F x '<， 当0x x <时，()0F x '>，所以0000000004(1)2()()222x x x lnx x x F x min F x x x -++====--， 所以02x k <，因为0(8,10)x ∈，所以0(4,5)2x∈， 所以k 的最大值为4．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．【解答】解（1）曲线1C 化为普通方程为30x y ++=，是一条直线，对于曲线2C ：由cos x ρθ=及222x y ρ+=代入曲线2C 的极坐标方程得其直角坐标方程为2220x y x a +-+=，即为22(1)1x y a -+=-．当1a <，曲线2C 是以(1,0)当1a =，曲线2C 表示一点(1,0)． 当1a >，曲线2C 不存在．（2）由（1）知曲线1C 化为普通方程为30x y ++=， 令0x =，3y =-；0y =，3x =-，所以(3,0)A -，(0,3)B -， 又由题可知1a <，曲线222:(1)1C x y a -+=-，=解得7a =-，此时222:(1)8C x y -+=，所以11()||221222PAB max S AB R ∆==⨯⨯=g ， 所以PAB ∆面积的最大值为12．【解答】解：（1）依题意得13,21()2,123,1x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪⎪⎩„…，于是得1232x x ⎧-⎪⎨⎪->⎩„或11222x x ⎧-<<⎪⎨⎪+>⎩或132x x ⎧⎨>⎩…； 解得23x <-，或0x >；即不等式()2f x >的解集为2{|3x x <-或0}x >；（2）()()()|1||1|(|21||21|)|(1)(1)||(21)(21)|4g x f x f x x x x x x x x x =+-=-+++++---+++--=…，当且仅当(1)(1)0(21)(21)0x x x x -+⎧⎨-+⎩„„，即1[2x ∈-，1]2时取等号，若对于任意的x R ∈，不等式|1|()k g x -<恒成立，则|1|()4min k g x -<=， 所以414k -<-<，解得35k -<<，即实数k 的取值范围为(3,5)-．。
高二数学竞赛（含答案）
高二数学竞赛试题一、选择题（本题满分60分，每题5分）1．复数()()212z i i =++的虚部为() A. 2i- B. 2- C. 4iD. 42．已知集合A ＝{(x ，y)|x ＋a 22y ＋6＝0}，集合B ＝{(x ，y)|(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0}，若A ∩B ＝Ø，则a 的值是() A. 3或-1 B. 0 C. －1 D. 0或－1 3．()423a b c +-的展开式中2abc 的系数为（）A. 208 B. 216 C. 217 D. 218 4.某公司在2013-2017年的收入与支出情况如下表所示：根据表中数据可得回归直线方程为0.8y x a ÙÙ=+，依此估计如果2018年该公司收入为7亿元时的支出为() A. 4.5亿元B. 4.4亿元C. 4.3亿元D. 4.2亿元5. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 的方程为20x y -=）的点的个数的估计值为( ) A. 5000 B. 6667 C. 7500 D. 7854 6. 函数2cos 3sin cos y x x x =+在区间,64p p éù-êúëû上的值域是（）A. 1,12éù-êúëû B. 122,3éù-êúëûC. 0,32éùêúëû D. 2,301é+ùêúëû7．小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”.已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断出得第一名的人是（）A. 小明B. 小马C. 小红D. 小方8.一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为收入x （亿元） 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 支出y （亿元）0.2 1.5 2.0 2.5 3.8 A. 94pB. 9pC. 4pD. p 9．我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202-1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n =，1v =，2x =，则程序框图计算的是（ ） 开始结束是,,n v x1i n =-0?i ³输出v 1i i =-1v v x =×+否输入A ．5432222221+++++B ．5432222225+++++C ．654322222221++++++D ．43222221++++10．设O 点在ABC D 内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC D 的面积与AOC D 的面积的比为（ ） A. 2 B. 3 C. 32D. 5311．已知抛物线C ： 22(0)y px p =>和动直线l ： y kx b =+（k ， b 是参变量，且0k ¹， 0b ¹）相交于()11,A x y ， ()22,B x y 两点，直角坐标系原点为O ，记直线OA ， OB 的斜率分别为OA k ， OB k ，若3O A OB k k ×=恒成立，则当k 变化时直线l 恒经过的定点为（恒经过的定点为（ ）A. ()3,0p -B. ()23,0p - C. 3,03p æö-ç÷ç÷èø D. 23,03p æö-ç÷ç÷èø12. 已知函数13,1()22ln ,1x x f x x x ì+£ï=íï>î（lnx 是以e 为底的自然对数，e=2.71828...），若存在实数m,n(m<n)，满足f(m)=f(n)，则n-m 的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、填空题二、填空题 （本题满分20分，每题5分）分） 13.已知实数,x y 满足约束条件222441x y x y x y +³ìï+£íï-³-î，则目标函数3z x y =+的取值范围为的取值范围为. 14. 如图，矩形ABCD 中，AB=2AD ，E 为边AB 的中点，将V ADE 沿直线DE 翻折成V A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点，则在V ADE 翻折过程中，下列命题正确的是翻折过程中，下列命题正确的是 ．（写出所有正确的命题的编号）（写出所有正确的命题的编号）①线段BM 的长是定值；的长是定值；②存在某个位置，②存在某个位置，②存在某个位置，使使DE ^A 1C ；③点M 的运动轨迹是一个圆；的运动轨迹是一个圆；④存在某个位置，④存在某个位置，④存在某个位置，使使 MB P 平面A 1DE ．15. 已知双曲线22221x y a b-= （0a > ， 0b > ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线交双曲线右支于P ，Q 两点，且1PQ PF ^ ，若1512PQPF = ，则双曲线的离心率为__________ . 16．九个连续正整数自小到大排成一个数列129,,...,a a a ，若13579a a a a a ++++是一个平方数，2468a a a a +++是一个立方数，则1239...a a a a ++++的最小值是 . 三、解答题（本题满分70分）分）17．（本小题满分10分）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cosA BC A B +=+,sin()cos B A C -=.（1）求,A C ；（2）若33ABC S D =+,求,a c .18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N *+=+Î. （1）求数列{}n a 的通项公式；的通项公式；（2）证明：12231 (2)n n a a a na a a ++++<. 19．（本小题满分12分）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，哈市面向全市征召《扶贫政策》义务宣传志愿者，从年龄在[]20,45的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示．名，其年龄频率分布直方图如图所示．的值；（1）求图中x的值；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿的分布列及数学期望． 者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．20. （本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆，⊙O交BC于点D．的切线；（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；长．（3）在（2）条件下，若CD=1，EH=3，求BF及AF长．21．（本小题满分12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，并且过点P（2，﹣1）的方程；（1）求椭圆C的方程；（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C于两点A（x1，y1），B（x2，y2），若的斜率是定值，并求出这个定值．直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．22. （本小题满分12分）已知函数()ln mx n f x x x-=-，,m n R Î. （1）若函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，求实数n 的值；的值； （2）试讨论函数()f x 在区间[1,)+¥上最大值；上最大值；（3）若1n =时，函数()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<，求证：122x x +>. 高二数学竞赛试题参考答案1．D 2．D 3．B 4．B 5. B 6. C 7．A 8．A 9．A 10．B 11．D 12. C13. []1,6 14．①③ 15．37516．1800017．解：(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-. ....................2分 所以C A B C -=-,或()C A B C p -=--(不成立). ．即 2C A B =+, 得3C p =，所以.23B A p +=.................. 4分又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A p-=，或56B A p-=（舍去）得5,412A B p p == ．.................. 6分(2)162sin 3328ABC S ac B ac D +===+，又sin sin a c AC=, 即2322a c =， ．.................. 8分得22,2 3.a c == .................. 10分（1）由已知6B p=， 2220a ab b --=结合正弦定理得：22sin sin 10A A --=，于是sin 1A =或1sin 2A =-（舍）．因为0A p <<，所以2A p=， 3C p =．（2）由题意及余弦定理可知22196a b ab ++=，由（1）2220a ab b --=得()()20a b a b +-=即2a b =，联立解得27b =， 47a = 所以， 1sin 1432ABC S ab C D ==. 18．（1）∵.∴，∴是以为首项，2为公比的等比数列.∴，即................... 6分（2）证明：∵1121212112122112(21)2k k kn k k k n a a ++---=<==-×---，，∴................... 12分19．（1）根据频率分布直方图可得()0.010.020.040.0751x ++++´=，解得0.06x =.........2分（2）用分层抽样的方法，从100名志愿者中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，.................. 4分 故X 的可能取值为0,1,2,3．()343101030CP X C ===， ()12643103110C CP X C ===， ()2164310122C CP X C ===， ()36310136CP X C ===．故X 的分布列为Y0 123P1303101216.................. 10分()13110123 1.8301026E Y =´+´+´+´=．..................12分 20.证明：（1）如图，连接OE ． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠CBE=∠OBE ， ∵OB=OE ，∴∠OBE=∠OEB ， ∴∠OEB=∠CBE ， ∴OE ∥BC ， ∴∠AEO=∠C=90°，∴AC 是⊙O 的切线； ．..................3分（2）如图，连结DE ．∵∠CBE=∠OBE ，EC ⊥BC 于C ，EH ⊥AB 于H ， ∴EC=EH ．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE ．在△CDE 与△HFE 中，90CDE HFE C EHF EC EH Ð=ÐÐ=Ð=ïíî=ìï， ∴△CDE ≌△HFE （AAS ）， ∴CD=HF ．．..................7分（3）由（2）得，CD=HF ．又CD=1 ∴HF ＝1在Rt △HFE 中，EF =2231+＝10 ∵EF ⊥BE ∴∠BEF =90° ∴∠EHF =∠BEF =90° ∵∠EFH =∠BFE ∴△EHF ∽△BEF ∴EF HF BF EF =，即10110BF =∴BF =10∴152OE BF ==, 514OH =-=,∴在Rt △OHE 中， 4cos 5EOA Ð=,∴在Rt △EOA 中， 4cos 5OE EOA OA Ð==,∴545OA = ∴254OA = ∴255544AF =-=. ．..................12分 21．（1）解：由，得，即a 2=4b 2，∴椭圆C 的方程可化为x 2+4y 2=4b 2．又椭圆C过点P （2，﹣1），∴4+4=4b 2，得b 2=2，则a 2=8．∴椭圆C 的方程为；..................4分（2）证明：由题意，直线PA 斜率存在，设直线PA 的方程为y +1=k （x ﹣2），联立，得（1+4k 2）x 2﹣8（2k 2+k ）x +16k 2+16k ﹣4=0．∴，即．∵直线PQ 平分∠APB ，即直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数，设直线PB 的方程为y+1=﹣k （x ﹣2），同理求得． ..........8分又，∴y 1﹣y 2=k （x 1+x 2）﹣4k ．即=，.................. 10分∴直线AB 的斜率为．..................12分22.（1）由'2()n x f x x -=，'2(2)4n f -=，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，故214n -=，解得6n =. .................. 2分（2）'2()(0)n xf x x x -=>，由'()0f x <时，x n >；'()0f x >时，x n <， 所以①当1n £时，()f x 在[1,)+¥上单调递减， 故()f x 在[1,)+¥上的最大值为(1)f m n =-；②当1n >，()f x 在[1,)n 上单调递增，在(,)n +¥上单调递减， 故()f x 在[1,)+¥上的最大值为()1ln f n m n =--；综上①当1n £时，()f x 在[1,)+¥上的最大值为(1)f m n =-；②当1n >，()f x 在[1,)+¥上的最大值为()1ln f n m n =--；.................. 6分（3）函数()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<，则1211221211()ln 0,()ln 0mx mx f x x f x x x x --=-==-=，可得121211ln ln m x x x x =+=+. 于是21221121ln ln ln x x x x x x x x -=-=.令211x t x =>，则1111ln ,ln t t t x txt t --==，于是21211(1)ln t x x x t t t-+=+=，.................. 8分∴21212(ln )22ln t t t x x t--+-=，记函数21()ln 2t h t t t -=-，因2'2(1)()02t h t t -=>， ∴()h t 在(1,)+¥递增，∵1t >，∴()(1)0h t h >=，又211x t x=>，ln 0t >，故122x x +>成立. .................. 12分。
2019年河南省郑州市高二数学选拔赛及解析
2019年河南省郑州市高二数学选拔赛注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题数为____________ . 2.已知函数(),,,0)f x a b c R a =∈<的定义域为D .且点(()(,,)s f t s t D ∈形成的图形为正方形，则实数a =____________ .3.等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ．4.在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==，12AP AB AB =+，若12OP <，则OA 的取值范围是________.5.等差数列{a n }中，265,21a a ==，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ，若2115n n mS S +-对任意的n ∈N +恒成立，则正整数m 的最小值为____________ .6.计算：2310121111111C C C C 2223212n n nn n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭=____________ .7.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．8.已知函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈，记M (a ,b )是|f (x )|在区间[-1,1]上的最大值.当a ､b满足M (a ,b )≤2时，||||a b +的最大值为____________ .二、解答题9.已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M(1，32），过点P(2,1）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B. （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l ，满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PM 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．10.已知数列{}n a中()112,1)2n n a a a +==+，n =1,2,3,…. （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，n =1,2,3,…证明：43,1,2,3,n n b a n -<=.11.锐角三角形ABC 中，求证：cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C ---.参考答案1.256【解析】1.全集{1，2，3，…，9}中含有5个奇数、4个偶数.根据奇子集的定义知，奇子集中只能含有1个奇数、3个奇数、5个奇数，而偶数的个数为0、1、2、3、4都有可能. 所以，奇子集共有：()()()101401450144444435454445C C C C C C C C C C C C +++++++++++()()135014555444C C C C C C =+++++()451012256=++⨯=个.故答案为：256． 2.4-【解析】2.由题意可得集合D 是非空闭区间[]12,x x ，其中12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个不等的实数根. 由韦达定理可得21x x -===其中差()21x x -即区间[]12,x x 的长度.故定义域D 在区间[]12,x x 上恒有ax 2+bx +c ≥0.ax 2+bx +c 在区间[]12,x x 上有最大值和最小值分别为：24,04ac b a-，函数y 的值域M 为⎡⎢⎢⎣. 区间M由题设知两个区间D (定义域)和M=两边平方得222444b ac ac b a a--=，即240a a +=， 结合a <0得4a =-. 故答案为：4-． 3.16【解析】3.设AB =2,作CO ⊥面ABDEOH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C −AB −D 的平面角，CH =，OH =CH cos ∠CHO =1，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，3,11(),2212AN EM CH AN AC AB EM AC AE ANEM ====+=-∴⋅=故EM,AN116=，4.2⎛ ⎝【解析】4.根据题意,建立平面直角坐标系,设出A 、1B 、2B 、P 的坐标,由12||||1OB OB ==及1||2OP <可得关于O 点坐标的不等式组,结合两点间距离公式即可表示出||OA 的取值范围.因为12AB AB ⊥,12AP AB AB =+则12AB PB 为矩形,以1AB 所在直线为x 轴,以2AB 为y 轴建立平面直角坐标系.如下图所示:设12,AB m AB n ==,(),O x y则()0,0A ,()1,0B m ,()20,B n ,()P m n ,因为12||||1OB OB ==所以()()222211x m y x y n ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩ 变形可得()()222211x m y y n x⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩ 因为1||2OP <,即()()2214x m y n -+-<由以上两式可得221114x y -+-<即2274x y +>因为()()220,0x m y n -≥-≥,即2210,10y x -≥-≥ 所以221,1y x ≤≤ 则222x y +≤ 综上可知22724x y <+≤ 因为2||x OA =OA <≤,即2OA ⎛∈⎝ 故答案为:⎝5.5【解析】5. 由题意可得：115521a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11,4a d ==，11114(1)43n a n n ∴==+--， ()()21231n n n n S S S S +++---12212323111111n n n n n n a a a a a a ++++++⎛⎫⎛⎫=++⋯+-++⋯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12223111n n n a a a +++=--111418589n n n =--+++ 111182858289n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭0>， ∴数列{}()*21n n S S n N +-∈是递减数列，数列{}()*21n n S S n N+-∈的最大项为3111145945SS -=+=， 1414,45153m m ∴，又∵m 是正整数，∴m 的最小值为5. 故答案为：5.6.113112n n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】6.由二项式定理得0122(1)nnnn n n n C C x C x C x x +++⋯+=+， 两边同时积分得：1111101222222201d d d d (1)d n n n nnnnC x C x x C x x C x x x x +++⋯+=+⎰⎰⎰⎰⎰，从而得到如下等式：2311121111111131222321212n n n n n n n C C C C n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：113112n n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦.7.390【解析】7. 用2色涂格子有种方法,用3色涂格子,第一步选色有,第二步涂色,共有种,所以涂色方法种方法,故总共有390种方法. 故答案为:390 8.3【解析】8.由题意可得：对任意x ∈[−1,1]，有−2⩽x 2+ax +b ⩽2， 分别取1,1x x ==-，可得：−3⩽a +b ⩽1且−3⩽b −a ⩽1, 易知(){}maxmax ||||,3a b a b a b +=-+=，且当b =−1，a =2时符合题意， 所以|a |+|b |的最大值为3.9.（1）；（2）存在，.【解析】9.试题分析（1）先设椭圆的标准方程，将点代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由可得到的值，进而得到椭圆的方程．（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为，然后与椭圆方程联立消去得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应大于得到的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再表示出PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再代入关系式可确定的值，从而得解．试题解析：(1）设椭圆C 的方程为，由题意得解得.故椭圆C 的方程为.(2）若存在直线l 满足条件，由题意可设直线l 的方程为，由得.因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ， 设A ，B 两点的坐标分别为，所以整理得，解得.又，，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2即， 所以，即.所以，解得.所以k ＝12.于是存在直线l 满足条件， 其方程为.10.（1）*1)1,nn a n N ⎤=+∈⎦.（2）证明见解析【解析】10.（1）由题设：()11)2n n a a +=+(1)1)(2n a =-+(1)n a =--+，(11)n na a +=.所以，数列{na -是首项为2-1的等比数列，故有1)n n a =，即a n的通项公式为*1)1,nn a n N ⎤=+∈⎦. （2）用数学归纳法证明①当n =1112,2b a <==11b a <，结论成立②假设当n =k43k k b a -<，也即4303k k b a -<-.当n =k +1时，134(3(42323k k k k k b b b b b ++-+-==++((3023k k b b --=>+.又1323k b <=-+，所以(1(323k k k b bb +---=+(2(3k b <-(443(21)ka --41k a +=也就是说，当n=k +1时，结论成立. 43,1,2,3,n n b a n -<=.11.证明见解析【解析】11. 原不等式等价于cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C---.在三角形ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，cos()sin sin cos cos cos sin sin cos cos B C B C B C A B C B C -+=-tan tan 1tan tan 1B C B C +=-tan (tan tan 1)tan tan A B C B C +=+2tan tan tan tan tan A B CB C++=+.令tan tan tan tan tan tan A B xB C y C A z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则原不等式等价于()()()8z x y z x y yxz +++.而上式左边228zx⋅=，故原不等式得证。
郑州市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
郑州市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（ ）A ．35B ．C ．D ．532． 设命题p ：，则p 为（ ）A ．B ．C ．D ．3． 如图Rt △O ′A ′B ′是一平面图形的直观图，斜边O ′B ′=2，则这个平面图形的面积是（ ）A ．B ．1C ．D ．4． 某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为 （ ）A ．π1492+B ．π1482+C ．π2492+D ．π2482+【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用，难度中等.5． 已知x ∈R ，命题“若x 2＞0，则x ＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36． 已知曲线C 1：y=e x 上一点A （x 1，y 1），曲线C 2：y=1+ln （x ﹣m ）（m ＞0）上一点B （x 2，y 2），当y 1=y 2时，对于任意x 1，x 2，都有|AB|≥e 恒成立，则m 的最小值为（ ）A ．1B ．C ．e ﹣1D ．e+17． 若函数f （x ）=﹣a （x ﹣x 3）的递减区间为（，），则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞0B ．﹣1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜18． 下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A ．B ．y=x 2C ．y=﹣x|x|D ．y=x ﹣29． 已知向量(,2)a m = ，(1,)b n =-（0n >），且0a b ⋅= ，点(,)P m n 在圆225x y +=上，则 |2|a b +=（ ）A B ． C ． D ．10．两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的，则这两个圆锥的体积之比为（ ） A ．2：1 B ．5：2 C ．1：4 D ．3：111．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）A ．1：2：3B ．2：3：4C ．3：2：4D ．3：1：212．四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）A ．96B ．48C ．24D ．0二、填空题13．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是 ．14．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为2cm 和4cm ,侧棱长为2cm ,则其表面积为__________2cm .15．已知向量(1,),(1,1),a x b x ==- 若(2)a b a -⊥ ，则|2|a b -=（ ）A ．2B ．3C ．2 D【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．16．设变量y x ,满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则22(1)3(1)z a x a y =+-+的最小值是20-，则实数a =______．【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．17．已知，是空间二向量，若=3，||=2，|﹣|=，则与的夹角为 ．18．已知直线l 过点P （﹣2，﹣2），且与以A （﹣1，1），B （3，0）为端点的线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是 ．三、解答题19．若已知，求sinx 的值．20．某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概率均为，猜对第3条的概率为．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？21．已知椭圆x2+4y2=4，直线l：y=x+m（1）若l与椭圆有一个公共点，求m的值；（2）若l与椭圆相交于P、Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．22．已知，且．（1）求sinα，cosα的值；（2）若，求sinβ的值．2320142015CBA5场比赛中的投篮次数及投中次数如下表所示：3分球的平均命中率；（2）视这5场比赛中2分球和3分球的平均命中率为相应的概率．假设运动员在第6场比赛前一分钟分别获得1次2分球和1次3分球的投篮机会，该运动员在最后一分钟内得分ξ分布列和数学期望．24．已知函数f（x）=cos（ωx+），（ω＞0，0＜φ＜π），其中x∈R且图象相邻两对称轴之间的距离为；（1）求f（x）的对称轴方程和单调递增区间；（2）求f（x）的最大值、最小值，并指出f（x）取得最大值、最小值时所对应的x的集合．郑州市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：每一项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是53，故选：D．【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题．2．【答案】A【解析】【知识点】全称量词与存在性量词【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题，p为：。