七年级数学下册--《轴对称图形的典型例题》
轴对称图形练习题及答案
轴对称图形练习题及答案轴对称图形是一种数学概念,指的是如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。
以下是一些轴对称图形的练习题及答案。
练习题1:判断下列图形是否为轴对称图形,并找出对称轴。
1. 圆形2. 等边三角形3. 矩形4. 等腰梯形5. 五角星答案1:1. 圆形是轴对称图形,有无数条对称轴。
2. 等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴。
3. 矩形是轴对称图形,有2条对称轴。
4. 等腰梯形是轴对称图形,有1条对称轴。
5. 五角星是轴对称图形,有5条对称轴。
练习题2:如果一个图形沿着某条直线折叠后,直线两旁的部分能够完全重合,这条直线叫做这个图形的对称轴。
请找出下列图形的对称轴数量。
1. 正方形2. 菱形3. 正六边形4. 半圆形5. 等腰三角形答案2:1. 正方形有4条对称轴。
2. 菱形有2条对称轴。
3. 正六边形有6条对称轴。
4. 半圆形有1条对称轴。
5. 等腰三角形有1条对称轴。
练习题3:在下列图形中,找出不是轴对称图形的图形。
1. 长方形2. 等边四边形3. 等腰梯形4. 平行四边形5. 正五边形答案3:4. 平行四边形不是轴对称图形。
练习题4:如果一个轴对称图形的对称轴是直线x=1,那么这个图形关于这条直线对称。
根据这个定义,判断下列点是否在对称轴上。
1. 点A(2,3)2. 点B(0,0)3. 点C(1,1)4. 点D(-1,1)答案4:1. 点A不在对称轴上。
2. 点B不在对称轴上。
3. 点C在对称轴上。
4. 点D不在对称轴上。
练习题5:在一个坐标平面上,如果一个点P(x,y)关于直线x=1对称,那么它的对称点的坐标是什么?答案5:如果点P(x,y)关于直线x=1对称,那么它的对称点的坐标是(2-x, y)。
这些练习题和答案可以帮助学生更好地理解和掌握轴对称图形的概念和性质。
通过解决这些问题,学生可以加深对轴对称图形的认识,提高解决相关问题的能力。
《生活中的轴对称》典型例题
《生活中的轴对称》典型例题例1 指出下列图形中的轴对称图形例2 指出下列图形中的轴对称图形,并指出轴对称图形的对称轴.(1)正方形;(2)长方形;(3)圆;(4)平行四边形.例3 画出下列图形的对称轴。
例4 指出下边哪组图形是轴对称的,并指出对称轴.(1)任意两个半径相等的圆;(2)正方形的一条对角线把一个正方形分成的两个三角形;(3)长方形的一条对角线把长方形分成的两个三角形;(4)两个全等的三角形.(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7) (8)例5找出下面的轴对称图形,并说出它们各有几条对称轴.例6 下列图形中,不是轴对称图形的是( )(A)有两个角相等的三角形(B)有一个内角是︒45的直角三角形(C)有一个内角是︒120的三角形30,另一个内角为︒(D)有一个角是︒30的直角三角形例7观察中(1)~(5),它们是不是轴对称图形?有什么共同特点?例8请分别画出下图中3个图形的对称轴.例9如图,(1)正三角形,(2)正四边形,(3)正五边形,(4)正六边形,(5)正八边形,(6)正九边形都是轴对称图形,数一数它们的对称轴的条数.观察后分析:正多边形对称轴的条数与边数"有什么关系?根据你的分析结果回答,正十边形,正十六边形,正二十九边形分别有几条对称轴?正五十边形呢?正一百边形呢?参考答案例1分析:正确理解轴对称图形概念.解:轴对称图形是(2)(3)(4)(6)(7)(8)例2 分析:判断一个图形是否是轴对称图形,关键是能否找到一条直线使该图的两部分沿这条直线对折后完全重合.解:(1)、(2)、(3)都是轴对称图形,(4)不是轴对称图形.正方形的对称轴是两条对边中点所在的直线和正方形对角线所在的直线;长方形的对称轴是两条对边中点所在的直线;圆的对称轴是任意一条直径所在的直线.说明:对称轴是一条直线,不是线段.例3分析:依据定义可以画出,但可能是多条.解:如图例4 分析:判断两个图形是否是轴对称,关键是能否找到一条直线使这两个图形沿这条直线对折后能够重合.解:(1)和(2)每组的两个图形都是轴对称的.(3)和(4)每组的两个图形不是轴对称的.(1)的对称轴是连结两个圆心的线段的垂直平分线;(2)的对称轴就是原正方形分成两三角形时的这条对角线所在的直线.说明:对称轴是直线而非线段.例5分析:本题主要考查识别轴对称图形的能力.根据轴对称图形的概念来认真识别.但要注意.图(9)(10)这两个图也有“对称”性,但它们没有对称轴.不能把它们误认为是轴对称图形.解:根据图形可知:(1)是轴对称图形,它有3条对称轴;(2)是轴对称图形,它有5条对称轴;(3)是轴对称图形.它有4条对称轴.(4)是轴对称图形.它有1条对称轴;(5)是轴对称图形,它有2条对称轴;(6)不是轴对称图形;(7)是轴对称图形,它有1条对称轴;(8)是轴对称图形,它有1条对称轴;(9)(10)虽然有“对称”性,但都不是轴对称图形.例6 分析:在(A)中,有两个角相等的三角形一定是等腰三角形,而等腰三角形一定是轴对称图形,它的对称轴为底边上的高(或底边上的中线或顶角的平分线). 而(B)和(C)中的两个三角形同样也是等腰三角形,所以也是轴对称图形. 那么(D)中三角形的三个内角各不相等,不是等腰三角形,所以(D)不是轴对称图形.解:选(D)说明:在三角形中,只有等腰三角形才是轴对称图形,而不是等腰三角形的三角形就一定不是轴对称图形.例7分析:本题主要考查两个图形成轴对称图形的理解.可以利用轴对称的概念加以判断,但不能把两个图形成轴对称与一个图形是轴对称图形的概念相混淆.解:它们都是轴对称图形,每一组中都有两个图形.可以沿某一条直线对折使两个图形能完全重合在一起,所以每幅图中的两个图形成轴对称.轴对称图形是一个图形.可以有一条或许多条对称轴.(1)~(5)两个图形成轴对称,一般来说只有一条对称轴.例8分析:找对称轴从不同角度观察,全面分析.解:(1)有6条对称轴;(2)有5条对称轴;(3)有6条对称轴.画图略.例9分析:正多边形并不都是轴对称图形.但是,是轴对称图形的正多边形的对称轴的条数与其边数有着密切的联系,请仔细找出它们之间的规律.解:正三角形有3条对称轴,正四边形有4条对称轴,正五边形有5条对称轴,正六边形就有6条对称轴,正八边形有8条对称轴,正九边形有9条对称轴.正多边形对称轴的条数与边数n之间的关系是:边数是n,对称轴的条数是n条.所以正十边形有10条对称轴,正十六边形有16条对称轴,正二十九边形就有29条对称轴,正五十边形就有50条对称轴,正一百边形就有100条对称轴.。
轴对称和轴对称图形典型例题
典型例题例1 如图,已知:△ABC,直线MN,求作△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC关于MN对称.分析:按照轴对称的概念,只要分别过A、B、C向直线MN作垂线,并将垂线段延长一倍即可得到点A、B、C关于直线MN的对称点,连结所得到的这三个点.作法:(1)作AD⊥MN于D,延长AD至A1使A1D=AD,得点A的对称点A1(2)同法作点B、C关于MN的对称点B1、、C1(3)顺次连结A1、B1、C1∴△A1B1C1即为所求说明:首先做出关键的点关于直线的对称点.例2 如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD,且AC=BD,若A到河岸CD的中点的距离为500cm.问:(1)牧童从A处牧牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走路程最短?(2)最短路程是多少?分析:若A、B两点在直线的两侧,自然想到连结AB,交点即为所求的点,但本题的A、B在直线的同侧,如何转化为异侧呢?我们容易想到“翻折”即“轴对称”.若点A关于直线的对称点A1,则对于直线上的任意点到A和A1的距离总相等.解:问题可转化为已知直线CD和CD同侧两点A、B,在CD上作一点M,使AM+BM最小,先作点A关于CD的对称点A1,再连结A1B,交CD于点M,则点M为所求的点.证明:(1)在CD上任取一点M1,连结A1M1、AM1、BM1、AM∵直线CD是A、A1的对称轴,M、M1在CD上∴AM=A1M,AM1=A1M1∴AM+BM=AM1+BM=A1B在△A1 M1B中∵A1 M1+BM1>AM+BN即AM+BM最小(2)由(1)可得AM=AM1,A1C=AC=BD∴△A1CM≌△BDM∴A1M=BM,CM=DM即M为CD中点,且A1B=2AM∵AM=500m∴最简路程A1B=AM+BM=2AM=1000m说明:所求问题可转化为在CD上取一点M使其AM+BM为最小;在上述基础上,利用三角形性质.实际问题要善于转化为数学问题.例3 已知:如图,△ABC是等边三角形,延长BC至D,延长BA到E,使AE=BD,连结CE、DE求证:CE=DE分析:要证CE=DE,即证明E在CD的垂直平分线上即可,为此,我们构造出关于CD的垂直平分线的轴对称图形来证明.证明:延长BD至F,使DF=BC,连结EF∵AE=BD,△ABC为等边三角形∴BF=BE,∠B=∴△BEF为等边三角形∴△BEC≌△FED∴CE=DE说明:解题关键是作出正确的辅助线。
(完整版)北师大版七年级数学下简单的轴对称图形练习题
5.3 简单的轴对称图形(3)一、选择题1、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于D,若CD=3cm,则点D到AB的距离DE是()A.5cm B.4cm C.3cm D.2cm2、到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的()A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点3、如图,在△ABC中,AD是△ABC中∠BAC的平分线,且BD>DC,则下列说法中正确的是()A.点D到AB边的距离大于点D到AC边的距离B.点D到AB边的距离小于点D到AC边的距离C.点D到AB边的距离等于点D到AC边的距离D.点D到AB边的距离与点D到AC边的距离大小关系不确定二、填空题4、如图,长方形ABCD中,AB=2,点E在BC上并且AE=EC,若将矩形纸片沿AE折叠,使点B恰好落在AC上,则AC的长为。
三、解答题5、把两个同样大小的含30°角的三角尺像如图所示那样置放,其中M是AD与BC的交点,这时MC的长度就等于M到AB的距离。
你知道这是为什么吗?6、如图,OE平分∠AOB,在OA、OB上取OC=OD,PM⊥CE于E,PN⊥DE于N.线段PM与PN有什么关系?证明你的结论.轴对称图形一、填空题:1、在等腰三角形中,已知顶角为底角度数的4倍,则顶角等于2、等腰三角形△ABC 中,AB = 5cm ,BC= 2cm ,则底边长等于3、等腰三角形的两边长分别为2cm 和5cm ,则三角形的周长等于4、△ABC 中,AB=AC ,AD⊥BC 于D ,且AB+AC+BC= 50cm ,AB+BD+DA =40cm ,那么AD=5、如图,△ABC 中,AB =AC ,DM 是AB 的中垂线,△BCD 的周长是14,BC = 5,那么AB =6、周长为20,一边长为 4的等腰三角形的底边长为 ,腰长为7、等腰三角形的顶角的外角是8、如图,△ABC DE⊥BC,BC=20,则△DCE 的周长为 9、等腰三角形周长为40 则等腰三角形的底边长为 _________ 10、如图,等边△ABC 中,AD 是中线,AD=AE ,则∠EDC =二、选择题(共21分,每小题3分)1、一个三角形具备下列条件仍不是等边三角形的是( ) (A )一个角的平分线是对边的中线或高线 (B )两边相等,有一个内角是60° (C )两角相等,且两角的和是第三个角的2倍 (D )三个内角都相等2、 △ABC 中,AB=AC ,点D 上AC 上,且BD=BC=AD ,则∠A 等于( ) (A )30° (B )45° (C )36° (D )72°3、一个等腰三角形的顶角为钝角,则底角a 的范围是 ( )(A )0°<a<9 (B )30°<a<90° (C )0°<a<45° (D )45°<a<90° 4、已知点A 、B ,以点A 和点B 为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形,则一共可作出( )(A )2个 (B )4个 (C )6个 (D ) 8个 5、如图,△ABC 中,AB=AC ,∠A=36°,∠ABC 和∠ACB 的 平分线交于点F ,则图中共有等腰三角形 ( ) (A )7个 (B )8个 (C )9个 (D )10个6、等腰三角形有一个是50°,它的一条腰上的高与底边的夹角是( ) (A )25° (B )40° (C )25°或40° (D )50°三、1.如图,在直角三角形ABC 中,∠C=90°,沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形,使C 点与AB 边上的一点D 重合 .试探究,当∠A 满足什么条件时,点D为AB 的中点?并说明你的理由.2. 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O.过O 作EF∥BC 交AB 于E ,交AC于F. 请你写出图中所有等腰三角形,并探究EF 、BE 、FC 之间的关系;A B CMD A B C DE A B C E D FDC ABE AB C O E F四、解下列各题:1、如图,在△ABC 中,BC=AC ,∠A=90°,AC=7cm ,AD 是∠BAC 的平分线,交BC 于D ,DE⊥AB 于E ,CD=3cm ,求△DEB 的周长.2、已知等腰三角形两腰上的高相交所成的锐角等于 50°,求这个三角形顶角的度数3、如图,△ABC 中,AB=AC ,点P 、Q 分别在AB 、AC 上,且BC=CP=PQ=AQ ,求∠A五、(本题满分14分)如图,在△ABC 中,AB=AC ,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O. 1、结合图形,请你写出你认为正确的结论;2、过O 作EF∥BC 交AB 于E ,交AC 于F. 请你写出图中所有等腰三角形,并探究EF 、BE 、FC 之间的关系;ACDBEABCP QABCOA BC O EF3、若AB≠AC,其他条件不变,图中还有等腰三角形吗?若有,请写出所有的等腰三 角形,若没有,请说明理由;线段EF 、BE 、FC 之间,上面探究的结论是否还成立?4、如图,直线MN 分别交直线AB ,CD 于点E ,F ,EG 平分∠BEF ,若∠1=50°,∠2=65°,(1)求证:AB ∥CD ;(2)在(1)的条件下,求∠AEM 的度数.5、已知∠AOB=90°,在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ,将一个三角板的直角顶点与C 重合,它的两条直角边分别与OA 、OB 相交于点D 、E . (1)如图1,当CD ⊥OA 于D ,CE ⊥OB 于E ,求证:CD=CE .(2)当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时,在图2这种情况下,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请写出你的猜想,不需证明.ABCOEF。
典型的轴对称图形练习题(带答案)
典型的轴对称图形练习题一、选择题1.下列命题中:①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形;②等腰三角形的对称轴是底边上的中线;③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线;④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有( )个 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2.下列图形中:①平行四边形;②有一个角是30°的直角三角形;③长方形;④等腰三角形. 其中是轴对称图形有( )个 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 3.已知∠AOB =30°,点P 在∠AOB 的内部,P 1与P 关于OA 对称,P 2与P 关于OB 对称,则△P 1OP 2是 ( ) A .含30°角的直角三角形; B .顶角是30的等腰三角形;C .等边三角形D .等腰直角三角形.4.如图:等边三角形ABC 中,BD =CE ,AD 与BE 相交于点P ,则 ∠APE 的度数是 ( ) A .45° B .55° C .60° D .75°5. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ,面积为21cm 2,则 这个梯形较小的底角是( )度. A .45° B .30° C .60° D .90° 6.已知点P 在线段AB 的中垂线上,点Q 在线段AB 的中垂线外,则 ( ) A .PA+PB >QA+QB B .PA+PB <QA+QB D .PA+PB =QA+QB D .不能确定7.已知△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称,且BC 与B 1C 1交与直线MN 上一点O , 则 ( ) A .点O 是BC 的中点 B .点O 是B 1C 1的中点 C .线段OA 与OA 1关于直线MN 对称 D .以上都不对8.如图:已知∠AOP=∠BOP=15°,PC ∥OA ,PD ⊥OA ,若PC=4,则PD= ( ) A .4 B .3C .2D .1 9.∠AOB 的平分线上一点P 到OA 的距离 为5,Q 是OB 上任一点,则 ( ) A .PQ >5 B .PQ≥5C .PQ <5D .PQ≤510.等腰三角形的周长为15cm ,其中一边长为3cm .则该等腰三角形的底长为 ( ) A .3cm 或5cm B .3cm 或7cm C .3cm D .5cm 二.填空题11.线段轴是对称图形,它有_______条对称轴. 12.等腰△ABC 中,若∠A=30°,则∠B=________.AO PAECB D13.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D ,若CD=4,则点D 到AB 的距离是__________. 14.等腰△ABC 中,AB=AC=10,∠A=30°,则腰AB 上的高等于___________. 15.如图:等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=6,AD=5,BC=8,且AB ∥DE ,则△DEC的周长是____________.16.等腰梯形的腰长为2,上、下底之和为10且有一底角为60°,则它的两底长分别为____________.17.若D 为△ABC 的边BC 上一点,且AD=BD ,AB=AC=CD , 则∠BAC=____________.18.△ABC 中,AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ,若∠BAC=115°,则∠EAF=___________. 三.解答题19.如图:已知∠AOB 和C 、D 两点,求作一点P ,使PC=PD ,且P 到∠AOB 两边的距离相等.20.如图:AD 为△ABC 的高,∠B=2∠C ,用轴对称图形说明:CD=AB+BD .21.有一本书折了其中一页的一角,如图:测得AD=30cm,BE=20cm ,∠BEG=60°,求折痕EF 的长.OB22.如图:△ABC中,AB=AC=5,AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D,①若△BCD的周长为8,求BC的长;②若BC=4,求△BCD的周长.23.等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?试说明你的结论.参考答案第一章轴对称图形1.A 2.B 3.C 4.C5.A6.D7.C8.C9.B10.C 11.212.30°、75°、120°13.414.515.1516.4、617.72°18.50°19.提示:作CD的中垂线和∠AOB的平分线,两线的交点即为所作的点P;20.提示:在CD上取一点E使DE=BD,连结AE;21.EF=20㎝;22.①BC=3,②9;23.提示:△APQ为等边三角形,先证△ABP≌△ACQ得AP=AQ,再证∠PAQ=60°即可.。
轴对称图形练习题及答案
轴对称图形练习题及答案轴对称图形是一种在几何学中常见的图形,它具有对称轴,使得图形的任何一部分都可以沿着这条轴对折,与另一部分完全重合。
下面是一些轴对称图形的练习题及答案,供学生练习和理解轴对称图形的概念。
练习题1:在下列图形中,哪一个是轴对称图形?A. 正方形B. 圆形C. 五角星D. 所有选项答案:D. 所有选项解析:轴对称图形的定义是:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。
正方形、圆形和五角星都满足这个条件,因此它们都是轴对称图形。
练习题2:如果一个轴对称图形的对称轴是垂直于地面的直线,那么这个图形的对称轴与地面的夹角是多少度?答案:90度解析:垂直于地面的直线与地面的夹角是90度,这是根据垂直的定义得出的。
练习题3:在平面直角坐标系中,如果点A(2,3)关于x轴对称的点是B,求点B的坐标。
答案:点B的坐标是(2,-3)解析:在平面直角坐标系中,如果一个点关于x轴对称,那么这个点的x坐标保持不变,而y坐标的值变为其相反数。
因此,点A(2,3)关于x轴对称的点B的坐标是(2,-3)。
练习题4:给定一个轴对称图形,如果图形的对称轴是y=x,那么这个图形的中心点是什么?答案:图形的中心点是(0,0)解析:如果一个图形的对称轴是y=x,这意味着图形关于这条直线对称。
对于任何点(x,y)在图形上,其对称点是(y,x)。
因此,图形的中心点是对称轴与原点的交点,即(0,0)。
练习题5:在一个轴对称图形中,如果图形的对称轴是一条斜线y=mx+b,那么这个图形的中心点坐标是什么?答案:图形的中心点坐标是(-b/m, b)解析:对于斜线y=mx+b,这条直线与x轴的交点是(-b/m, 0),与y轴的交点是(0, b)。
由于图形是轴对称的,图形的中心点将位于这两个交点的中点,即(-b/m, b)。
通过这些练习题,学生可以加深对轴对称图形的理解,并掌握如何识别和应用对称轴。
七年级下数学《简单的轴对称图形》典型例题
5.有一个三角形的支架如图所示,
,小明过点 A 和 BC 边的中点
D 又架了一个细木条,经测量
,你在不用任何测量工具的前提下,能得
到
和
的度数吗?
6.请你在纸上画一个等腰三角形 ABC(如图),使得
.
(1)请你判断一下 与 有什么大小关系呢?你的依据是什么? (2)请你再深入地思考一个问题:若只知道 与 相等,请你判断一下 这个三角形是什么形状的呢?并说明你的探索思路. (3)由第(2)你会得到一个什么结论呢?请用一句话概括出来. (4)现在给出两个三角形(如图),请你把图(1)分割成两个等腰三角形, 把图(2)分割成三个等腰三角形.动动脑筋呀!
例 3 分析:由
可知三角形 ADE 是等边三角形,而
和
是等腰三角形,可根据等腰三角形等边对等角的性质求出相关的角的度
数.
解:∵
,(已知)
∴
是等边三角形. ∴
又∵
,∴
.
而
,∴
.
同理可得
,∴
说明:在一个图形中,有时出现不止一个等腰三角形,可以由每个等腰三角
形中的两个底角相等,找出相应的一些角的关系,利用三角形内角和定理,进一
用的,在数学的学习时这样的情况是会经常出现的。
例 2 分析:本题依据线段垂直平分线的性质可以得到.
解: 是 AB 的垂直平分线
∴
∴
厘米
是等腰三角形
∴
厘米
∴
的周长是
厘米
例 3 分析:注意到题中所给的条件 AB=AC,得到三角形为等腰三角形。利
用等腰三角形的性质对问题(1)可得
;对问题(2)考虑到
所给这个角可能是顶角也可能是底角;对问题(3)由三角形内角和为 可得
七年级数学下册《轴对称图形典型例题》
轴对称图形典型例题例1 如下图,已知,PB ⊥AB ,PC ⊥AC ,且PB =PC ,D 是AP 上一点.求证:∠BDP =∠CDP .证明:∵ PB ⊥AB ,PC ⊥AC ,且PB =PC ,∴ ∠P AB =∠P AC (到角两边距离相等的点在这个角平分线上),∵ ∠APB +∠P AB =90°,∠APC +∠P AC =90°,∴ ∠APB =∠APC ,在△PDB 和△PDC 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠= PD PD APC APB PC PB .,,∴ △PDB ≌△PDC (SAS ),∴ ∠BDP =∠CDP .(图形具有明显的轴对称性,可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等)注 利用角平分线定理的逆定理,可以通过距离相等直接得到角相等,而不用再证明两个三角形全等. 例2 已知如下图(1),在四边形ABCD 中,BC >BA ,AD =CD ,BD 平分∠ABC .求证:∠A +∠C =180°.(1)证法一:过D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ,DF ⊥BC 于F ,∵ BD 平分∠ABC ,∴ DE =DF ,在Rt △EAD 和Rt △FCD 中,⎩⎨⎧==.DF DE DC AD ,(角平分线是常见的对称轴,因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明.)∴ Rt △EAD ≌Rt △FCD (HL ),∴ ∠C =∠EAD ,∵ ∠EAD +∠BAD =180°,∴ ∠A +∠C =180°.证法二:如下图(2),在BC 上截取BE =AB ,连结DE ,证明△ABD ≌△EBD 可得.(2)证法三:如下图(3),延长BA 到E ,使BE =BC ,连结ED ,以下同证法二.(3)注 本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等,关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法.例3 已知,如下图,AD 为△ABC 的中线,且DE 平分∠BDA 交AB 于E ,DF 平分∠ADC 交AC 于F . 求证:BE +CF >EF .证法一:在DA 截取DN =DB ,连结NE 、NF ,则DN =DC ,在△BDE 和△NDE 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.DE DE NDE BDE ND BD ,,(遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题)∴ △BDE ≌△NDE (SAS ),∴ BE =NE (全等三角形对应边相等),同理可证:CF =NF ,在△EFN 中,EN +FN >EF (三角形两边之和大于第三边),∴ BE +CF >EF .证法二:延长ED 至M ,使DM =ED ,连结CM 、MF ,在△BDE 和△CDM 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.DM DE CDM BDE CD BD ,,(从另一个角度作辅助线)∴ △BDE ≌△NDE (SAS ),∴ CM =BE (全等三角形对应边相等),又∵ ∠BDE =∠A DE ,∠ADF =∠CDF ,而∠BDE +∠ADE +∠ADF +∠CDF =180°,∴ ∠ADE +∠ADF =90°,即∠EDF =90°,∴ ∠FDM =∠EDF =90°,在△EDF 和△MDF 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.DF DF MDF EDF MD ED ,,∴ △EDF ≌△MDF (SAS ),∴ EF =MF (全等三角形对应边相等),在△CMF 中,CF +CM >EF ,∴ BE +CF >EF .注 本题综合考察角平分线、中线的意义,关键是如何使题中的分散的条件集中.例4 已知,如下图,P 、Q 是△ABC 边BC 上的两点,且BP =PQ =QC =AP =AQ .求:∠BAC 的度数.解:∵ AP =PQ =AQ (已知),∴ ∠APQ =∠AQP =∠P AQ =60°(等边三角形三个角都是60°),∵ AP =BP (已知),(注意观察图形和条件)∴ ∠PBA =∠P AB (等边对等角),∴ ∠APQ =∠PBA +∠P AB =60°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和),∴ ∠PBA =∠P AB =30°,同理∠QAC =30°,∴ ∠BAC =∠BAP +∠P AQ +∠QAC =30°+60°+30°=120°.注本题考察等腰三角形、等边三角形的性质,关键是掌握求角的步骤:(1)利用等边对等角得到相等的角;(2)利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系;(3)利用三角形内角和定理列方程.例5 已知,如下图,在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC 于点D,连结ED,并延长ED到点F,使DF=DE,连结FC.求证:∠F=∠A.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠ACB(等边对等角),∵EB=ED,∴∠B=∠EDB,∴∠ACB=∠EDB(等量代换),∴ED∥AC(同位角相等,两直线平行),在△BDE和△AED中,BE=AE=ED,连结AD可得,∠EAD=∠EDA,∠EBD=∠EDB,∠EDA+∠EDB=90°,即AD⊥BC,∴∠EDA+∠EDB=90°,即AD⊥BC,(用什么定理判定三角形全等的?)∴D为BC的中点,∴△BDE≌△CDF,∴∠BED=∠F,而∠BED=∠A,∴∠F=∠A.例6 已知,如下图,△ABC中,AB=AC,E在CA的延长线上,∠AEF=∠AFE.求证:EF⊥BC.证法一:作BC边上的高AD,D为垂足,∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形三线合一),又∵∠BAC=∠E+∠AFE,∠AEF=∠AFE,∴∠CAD=∠E,∴AD∥EF,∵AD⊥BC,∴EF⊥BC.证法二:过A作AG⊥EF于G,∵∠AEF=∠AFE,AG=AG,∠AGE=∠AGF=90°,∴△AGE≌△AGF(ASA),∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∠EAF=∠B+∠C,(请对比多种证法的优劣)∴∠EAG+∠GAF=∠B+∠C,∴∠EAG=∠C,∴AG∥BC,∵AG⊥EF,∴EF⊥BC.证法三:过E作EH∥BC交BA的延长线于H,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠H=∠B=∠C=∠AEH,∵∠AEF=∠AFE,∠H+∠AFE+∠FEH=180°,∴∠H+∠AEH+∠AEF+∠AFE=180°,∴∠AEF+∠AEH=90°,即∠FEH=90°,∴EF⊥EH,又EH∥BC,∴EF⊥BC.证法四:延长EF交BC于K,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴ ∠B =21(180°-∠BAC ),∵ ∠AEF =∠AFE ,∴ ∠AFE =21(180°-∠EAF ),∵ ∠BFK =∠AFE ,∴ ∠BFK =21(180°-∠EAF ),∴ ∠B +∠BFK =21(180°-∠BAC )+21(180°-∠EAF )∵ =21[360°-(∠EAF +∠BAC )],∴ ∠EAF +∠BAC =180°,∴ ∠B +∠BFK =90°,即∠FKB =90°,∴ EF ⊥BC .注 本题考察等腰三角形性质的应用,解题的关键是通过添加辅助线,建立EF 与BC 的联系,仔细体会以上各种不同的添加辅助线的方法.例7 如下图,AB =AC ,DB =DC ,P 是AD 上一点.求证:∠ABP =∠ACP .证明:连结BC ,∵ AB =AC (已知),∴ ∠ABC =∠ACB (等边对等角),又∵ 点A 、D 在线段BC 的垂直平分线上(与线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上),而两点确定一条直线,∴ AD 就是线段BC 的垂直平分线,∴ PB =PC (线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等),∴ ∠PBC =∠PCB (等边对等角),(线段垂直平分线的性质)∴ ∠ABC -∠PBC =∠ACB -∠PCB (等式性质),即∠ABP =∠ACP .注 本题若用三角形全等,至少需要证两次,现用线段垂直平分线的判定和性质,就显得比较简洁. 例8 如下图,AB =AC ,DE 垂直平分AB 交AB 于D ,交AC 于E ,若△ABC 的周长为28,BC =8,求△BCE 的周长.解:∵ 等腰△ABC 的周长=28,BC =8,∴ 2AC +BC =28,∴ AC =10, (理由是什么?)∵ DE 垂直平分AB ,∴ AE =BE ,∴ △BCE 的周长=BE +EC +BC=AE +EC +BC=AC +BC =10+8=18.注 本题考察线段垂直平分线的性质定理的运用,关键是运用线段垂直平分线的性质得到线段的等量关系.例9 已知,如下图,△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,EF 为AB 的垂直平分线,EF 交BC 于F ,交AB 于E ,求证:FC BF 21=.证法一:连结AF ,则AF =BF ,∴ ∠B =∠F AB (等边对等角),∵ AB =AC ,∴ ∠B =∠C (等边对等角),∵ ∠BAC =120°,∴ ∠B =∠C =302180=∠-BAC (三角形内角和定理),∴ ∠F AB =30°,∴ ∠F AC =∠BAC -∠F AB =120°-30°=90°,又∵ ∠C =30°,(线段的垂直平分线是常见的对称轴之一)∴ FC AF 21=(直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半),∴ FC BF 21=. 证法二:连结AF ,过A 作AG ∥EF 交FC 于G ,∵EF为AB的垂直平分线,∴AF=BF,又∵∠B=30°,∴∠AFG=60°,∠BAG=90°,∴∠A G B=60°,△AFG为等边三角形,又∵∠C=30°,∴∠G AC=30°,∴AG=GC,(构造等边三角形是证明线段相等的一种好方法)∴BF=FG=GC=FC21.例10 已知,如下图,AB⊥BC,CD⊥BC,∠AMB=75°,∠DMC=45°,AM=MD.求证:AB=BC.思路分析从结论分析,要证AB=BC,可连结AC,使BC与AB能落在一个三角形内,再看∠BAC与∠BCA能否相等?证明:连结AC,交DM于H,∵∠AMB=75°,∠DMC=45°(已知),∴∠AMD=60°(平角定义)又∵AM=MD,∴△AMD为等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形),∴AM=AD(等边三角形三边相等),∵CD⊥BC,∴∠DCM=90°,∵∠DMC=45°,∴∠MDC=45°(三角形内角和定理),∴CD=CM(等角对等边),∴AC是DM的垂直平分线(和线段两端点等距离的点,在线段的垂直平分线上),∴∠MHC=90°,∴∠HCM=45°,∵∠B=90°,∴∠BAC=45°,∴AB=BC(等角对等边).【典型热点考题】例1 如图7—15,等腰△ABC的对称轴与底边BC相交于点D,请回答下列问题:(1)AD 是哪个角的平分线;(2)AD 是哪条线段的垂直平分线;(3)有哪几条相等的边;(4)有哪几对相等的角.点悟:本题主要考查等腰三角形的所有特征.所以应该根据等腰三角形是轴对称图形的性质来解答问题.解:等腰三角形是轴对称图形,直线AD 是它的对称轴.(1)AD 是顶角∠BAC 的平分线.(2)AD 是线段BC 的垂直平分线.(3)AB =AC ,BD =DC .(4)∠BAD =∠CAD ,∠ABC =∠ACB ,∠ADB =∠ADC .例2 如图7—16,已知PB ⊥AB ,PC ⊥AC ,且PB =PC ,D 是AP 上一点.求证:∠BDP =∠CDP .点悟:利用三角形全等证明两个角相等最直观,但因为图形具有明显的轴对称性,可以通过利用轴对称的性质而不用三角形全等同样可以,证明:∵ PB ⊥AB ,PC ⊥AC ,且PB =PC ,∴ ∠PAB =∠PAC(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上).∵ ∠APB +∠PAB =90°,∠APC +∠PAC =90°,∴ ∠APB =∠APC .在△PDB 和△PDC 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=PD PD APCAPB PC PB ∴ △PDB ≌△PDC(SAS)∴ ∠BDP =∠CDP .例3 如图7—17,先找出下列各图形中的轴对称图形,再画出它们的对称轴(有几条,画几条).点悟:先确定是否是轴对称图形,如果是轴对称图形,就将它们的对称轴全部画出来.解:(1)是,它有3条对称轴.(2)是,它有2条对称轴.(3)是,它有2条对称轴.(4)是,它只有一条对称轴.(5)它不是轴对称图形,故没有对称轴.(6)它是轴对称图形,有一条对称轴.图均略.例4 如图7—18,△ABC中,AB=AC,D在BC上,且BD=AD,DC=AC,将图中的等腰三角形全部写出来,并求出∠B的度数.点悟:图中共有三个等腰三角形,要将它们一一写出来,不能遗漏.在计算∠B的度数时,要充分利用三角形的一个外角等于它的两个不相邻的两个内角的和.解:图中共有三个等腰三角形,它们分别是:△ABC,△ABD,△CAD.设∠B=x,则∠C=x=∠BAD,∠ADC=∠DAC=2x.∴∠B+∠C+∠BAC=∠B+∠C+∠BAD+∠DAC=x+x+x+2x=5x=180°∴︒=︒==∠365180xB.例5 如图7—19,在金水河的同一侧居住两个村庄A、B.要从河边同一点修两条水渠到A、B两村浇灌蔬菜,问抽水站应修在金水河MN何处两条水渠最短?点悟:先将具体问题抽象成数学模型.河流为直线MN,在直线MN的同一侧有A、B两点.在直线MN上找一点P,使P点到A、B两点的距离之和为最小.这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决.解:如图7—19所示.作B点关于直线MN的对称点B′,连结AB′,与MN相交于P,则P点即为所求.事实上,如果不是P 点而是P '点时,则连结B P 、P A ''和B P ''.由轴对称性知道,B P PB B P B P '=''=',,所以P '到A 、B 的距离之和,B P P A B P P A ''+'='+',而P 到A 、B 的距离之和B A B P AP PB AP '='+=+在'P B A '∆中,三角形两边之和大于第三边,B A B P P A '>''+'所以P 点即为所求的点.例6 如图7—20,已知,AD 为△ABC 的中线,且DE 平分∠BDA 交AB 于E ,DF 平分∠ADC 交AC 于F .求证:BE +CF >EF .点悟:遇到角平分线就可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解决问题.证法一:在DA 上截取DN =DB .连结NE 、NF .则DN =DC .在△BDE 和△NDE 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DE DE NDE BDE ND BD ∴ △BDE ≌△NDE .∴ BE =NE .同理可得,CF =NF .在△EFN 中,EN +FN >EF(三角形两边之和大于第三边).∴ BE +CF >EF .证法二:如图7—21,延长DE 至M ,使DM =ED ,连结CM 、MF .在△BDE 和△CDM 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DM DE CDM BDE CD BD∴ △BDE ≌△CDM(SAS).∴ CM =BE(全等三角形对应边相等)又∵ ∠BDE =∠ADE ,∠ADF =∠CDF ,而∠BDE +∠ADE +∠ADF +∠CDF =180°∴ ∠ADE +∠ADF =90°,即∠EDF =90°.∴ ∠FDM =∠EDF =90°.在△EDF 和△MDF 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DF DF MDF EDF MD ED ∴ △EDF ≌△MDF(SAS)∴ EF =MF(全等三角形对应边相等).在△CMF 中,CF +CM >MF ,∴ BE +CF >EF .点拨:本题综合考查角平分线,中线的意义,三角形全等及线段之间的等量关系,关键是要把题目中的已知条件集中巧妙应用.【易错例题分析】例 已知如图7—22,在四边形ABCD 中,BC >BA ,AD =CD ,BD 平分∠ABC .求证:∠A +∠C =180°.证法一:如图7—22,过D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ,DF ⊥BC 于F .∵ BD 平分∠ABC ,∴ DE =DF在Rt △EAD 和Rt △FCD 中,∵ AD =DC ,DE =DF ,∴ Rt △EAD ≌Rt △FCD(HL)∴ ∠C =∠EAD ,∵ ∠EAD +∠BAD =180°,∴ ∠A +∠C =180°.证法二:如图7—23,在BC 上截BE =AB ,连结DE ,证明△ABD ≌△EBD 可得.证法三:延长BA 到E ,使BE =BC ,连结ED ,以下同证法二,如图7—24.警示:本题直接加以证明则不可能,需要巧妙的添加适当的辅助线,不会添加辅助线或添加不适当的辅助线则是最常见的误区.本题是用一个角的平分线上任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等,添加辅助线的方法有多种情况,应该很好感悟尽快掌握.。
典型例题:轴对称
《轴对称》典型例题例1指出下列图形中的轴对称图形例2 指出下列图形中的轴对称图形,并指出轴对称图形的对称轴.(1)正方形;(2)长方形;(3)圆;(4)平行四边形.例3画出下列图形的对称轴。
例4 指出下边哪组图形是轴对称的,并指出对称轴.(1)任意两个半径相等的圆;(2)正方形的一条对角线把一个正方形分成的两个三角形;(3)长方形的一条对角线把长方形分成的两个三角形;(4)两个全等的三角形.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)例5找出下面的轴对称图形,并说出它们各有几条对称轴.例6 下列图形中,不是轴对称图形的是()(A)有两个角相等的三角形(B)有一个内角是︒45的直角三角形(C)有一个内角是︒120的三角形30,另一个内角为︒(D)有一个角是︒30的直角三角形例7观察中(1)~(5),它们是不是轴对称图形有什么共同特点例8请分别画出下图中3个图形的对称轴.例9如图,(1)正三角形,(2)正四边形,(3)正五边形,(4)正六边形,(5)正八边形,(6)正九边形都是轴对称图形,数一数它们的对称轴的条数.观察后分析:正多边形对称轴的条数与边数"有什么关系根据你的分析结果回答,正十边形,正十六边形,正二十九边形分别有几条对称轴正五十边形呢正一百边形呢参考答案例1分析:正确理解轴对称图形概念.解:轴对称图形是(2)(3)(4)(6)(7)(8)例2 分析:判断一个图形是否是轴对称图形,关键是能否找到一条直线使该图的两部分沿这条直线对折后完全重合.解:(1)、(2)、(3)都是轴对称图形,(4)不是轴对称图形.正方形的对称轴是两条对边中点所在的直线和正方形对角线所在的直线;长方形的对称轴是两条对边中点所在的直线;圆的对称轴是任意一条直径所在的直线.说明:对称轴是一条直线,不是线段.例3分析:依据定义可以画出,但可能是多条.解:如图例4 分析:判断两个图形是否是轴对称,关键是能否找到一条直线使这两个图形沿这条直线对折后能够重合.解:(1)和(2)每组的两个图形都是轴对称的.(3)和(4)每组的两个图形不是轴对称的.(1)的对称轴是连结两个圆心的线段的垂直平分线;(2)的对称轴就是原正方形分成两三角形时的这条对角线所在的直线.说明:对称轴是直线而非线段.例5分析:本题主要考查识别轴对称图形的能力.根据轴对称图形的概念来认真识别.但要注意.图(9)(10)这两个图也有“对称”性,但它们没有对称轴.不能把它们误认为是轴对称图形.解:根据图形可知:(1)是轴对称图形,它有3条对称轴;(2)是轴对称图形,它有5条对称轴;(3)是轴对称图形.它有4条对称轴.(4)是轴对称图形.它有1条对称轴;(5)是轴对称图形,它有2条对称轴;(6)不是轴对称图形;(7)是轴对称图形,它有1条对称轴;(8)是轴对称图形,它有1条对称轴;(9)(10)虽然有“对称”性,但都不是轴对称图形.例6 分析:在(A)中,有两个角相等的三角形一定是等腰三角形,而等腰三角形一定是轴对称图形,它的对称轴为底边上的高(或底边上的中线或顶角的平分线). 而(B)和(C)中的两个三角形同样也是等腰三角形,所以也是轴对称图形. 那么(D)中三角形的三个内角各不相等,不是等腰三角形,所以(D)不是轴对称图形.解:选(D)说明:在三角形中,只有等腰三角形才是轴对称图形,而不是等腰三角形的三角形就一定不是轴对称图形.例7分析:本题主要考查两个图形成轴对称图形的理解.可以利用轴对称的概念加以判断,但不能把两个图形成轴对称与一个图形是轴对称图形的概念相混淆.解:它们都是轴对称图形,每一组中都有两个图形.可以沿某一条直线对折使两个图形能完全重合在一起,所以每幅图中的两个图形成轴对称.轴对称图形是一个图形.可以有一条或许多条对称轴.(1)~(5)两个图形成轴对称,一般来说只有一条对称轴.例8分析:找对称轴从不同角度观察,全面分析.解:(1)有6条对称轴;(2)有5条对称轴;(3)有6条对称轴.画图略.例9分析:正多边形并不都是轴对称图形.但是,是轴对称图形的正多边形的对称轴的条数与其边数有着密切的联系,请仔细找出它们之间的规律.解:正三角形有3条对称轴,正四边形有4条对称轴,正五边形有5条对称轴,正六边形就有6条对称轴,正八边形有8条对称轴,正九边形有9条对称轴.正多边形对称轴的条数与边数n之间的关系是:边数是n,对称轴的条数是n条.所以正十边形有10条对称轴,正十六边形有16条对称轴,正二十九边形就有29条对称轴,正五十边形就有50条对称轴,正一百边形就有100条对称轴.。
轴对称图形典型习题
BC轴对称图形考点1:轴对称及轴对称图形的意义一、考点讲解:1.轴对称:两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合,我们就说这两个图形成轴对称,这条直线叫做对称轴,两个图形中的对应点叫做对称点,对应线段叫做对称线段.2.如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.3.轴对称的性质:如果两个图形关于某广条直线对称,那以对应线段相等,对应角相等,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应点的连线互相平行或在同一条直线上,对应的线段(或其延长线)相交,交点在对称轴上。
4.简单的轴对称图形:线段:有两条对称轴:线段所在直线和线段中垂线. 角:有一条对称轴:该角的平分线所在的直线. 等腰(非等边)三角形:有一条对称轴,底边中垂线. 等边三角形:有三条对称轴:每条边的中垂线. 等腰梯形:过两底中点的直线 正n 边形有n 条对称轴 圆有无数条对称轴。
二、基本图形:1.已知:点A 、B 分别在直线l 的同侧,在直线l 上找一点P ,使PA+PB 最短。
变形1:正方形ABCD 中,点E 是AB 边上的一点,在对角线AC 上找一点P ,使PA+PB 最短。
变形2:已知点A (1,6)、点B (6,4),在x 轴和y 轴上各找一点C 、D ,使四边形ACDB 的周长最短。
三、经典考题剖析:1.在下面四个图案中,如果不考虑图中的文字和字母,那么不是轴对称图形的是( )2。
BlCD3.下列图形中,是轴对称图形的有( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个4.在下列四个图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )(A) (B) (C) (D)5.如图,如果直线m 是多边形ABCDE 的对称轴,其中∠A=1300,∠B=1100.那么∠BCD 的度数等于 ( )A. 400B.500 C .600 D.7006.小明在镜中看到身后墙上的时钟,实际时间最接近8时的是下图中的( )7.如图5,请你画出方格纸中的图形关于点O 的中心对称图形,并写出整个图形的对称轴的条数.四、针对性训练:1.从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是 ,该车的后5位号码实际是 。
轴对称图形典型例题
轴对称图形典型例题例1 如下图,已知,PB丄AB, PC丄AC,且PB = PC, D是AP上一点.证明:•••PB丄AB,PC丄AC,且PB= PC,••• / PAB = Z PAC (到角两边距离相等的点在这个角平分线上),/ APB + Z PAB= 90°,/ APC +Z PAC= 90°,/ APB = / APC,在厶PDB和厶PDC中,PB =PC,VAPB =NAPC,.、PD =PD•••△PDB ◎△ PDC (SAS),/ BDP = / CDP .(图形具有明显的轴对称性,可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等)注利用角平分线定理的逆定理,可以通过距离相等直接得到角相等,而不用再证明两个三角形全等.例2 已知如下图(1),在四边形ABCD中,BC > BA, AD = CD , BD平分/ ABC .求证:/A +/ C = 180°.证法一:过D作DE丄AB交BA的延长线于E, DF丄BC于F,BD 平分/ ABC ,• DE = DF ,在Rt△ EAD 和Rt△ FCD 中,;AD = DC,QE =DF.(角平分线是常见的对称轴,因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明. )Rt△ EAD也Rt△ FCD (HL ),•••/ C=Z EAD ,/ EAD +Z BAD = 180°,•/ A+Z C = 180°.证法二:如下图(2),在BC上截取BE= AB,连结DE,证明△ ABD◎△ EBD可得.(2)证法三:如下图(3),延长BA到E,使BE= BC,连结ED,以下同证法(3)注本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等,关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法.例3 已知,如下图,AD ABC的中线,且DE平分Z BDA交AB于E, DF平分Z ADC 交AC于F .证法一:在DA截取DN = DB,连结NE、NF,贝U DN = DC,在△ BDE和厶NDE中,BD = ND,奁BDE =ZNDE ,DE = DE.(遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题)•••△BDE ◎△ NDE (SAS),• BE= NE (全等三角形对应边相等),同理可证:CF = NF,在厶EFN中,EN + FN > EF (三角形两边之和大于第三边),BE+ CF>EF .证法二:延长ED至M,使DM = ED,连结CM、MF , 在厶BDE和厶CDM中,BD 二CD ,.BDE CDM ,DE =DM .(从另一个角度作辅助线)•••△BDE ◎△ NDE (SAS),••• CM = BE (全等三角形对应边相等),又•••/ BDE= / ADE,/ ADF = Z CDF ,而/ BDE + / ADE + / ADF + / CDF = 180°,/ ADE+ / ADF = 90°,即/ EDF = 90°,/ FDM =/ EDF = 90°,在厶EDF和厶MDF中,ED 二MD ,EDF = MDF,DF 二DF.•△ EDF◎△ MDF (SAS),•EF = MF (全等三角形对应边相等),在厶CMF中,CF + CM >EF,BE+ CF >EF.注本题综合考察角平分线、中线的意义,关键是如何使题中的分散的条件集中.例4 已知,如下图,P、Q是厶ABC边BC上的两点,且BP = PQ= QC = AP = AQ.求:/ BAC的度数.解:••• AP= PQ = AQ (已知),••• / APQ=Z AQP = Z FAQ = 60°(等边三角形三个角都是60°),••• AP= BP (已知),(注意观察图形和条件)•/ PBA =Z PAB (等边对等角),/ APQ=Z PBA +Z FAB = 60°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和),•/ PBA =Z PAB= 30°,同理/ QAC = 30°,/ BAC = Z BAP +Z FAQ + Z QAC = 30° + 60°+ 30°= 120°.注本题考察等腰三角形、等边三角形的性质,关键是掌握求角的步骤:(1)利用等边对等角得到相等的角;(2)利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系;(3)利用三角形内角和定理列方程.例5 已知,如下图,在△ ABC中,AB= AC, E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,连结ED,并延长ED到点F,使DF = DE ,连结FC .求证:/ F = / A.证明:••• AB = AC,•/ B=Z ACB (等边对等角),EB= ED ,/ B=Z EDB ,•/ ACB = Z EDB (等量代换),•ED // AC (同位角相等,两直线平行),在厶BDE 和厶AED 中,BE = AE=ED ,连结AD 可得,/ EAD =/ EDA,/ EBD = / EDB ,/ EDA + Z EDB = 90 ° ,即卩AD 丄BC,/ EDA +Z EDB = 90°,即卩AD 丄BC,(用什么定理判定三角形全等的?)•D为BC的中点,•△ BDE◎△ CDF ,•/ BED = Z F,而/ BED = Z A,•/ F=Z A.例6 已知,如下图,△ ABC中,AB = AC, E在CA的延长线上,/ AEF = Z AFE . 求证:EF丄BC .证法一:作BC边上的高AD, D为垂足,EAB= AC, AD丄BC,/ BAD = Z CAD(等腰三角形三线合一),又•••/ BAC=Z E+Z AFE,/ AEF = Z AFE ,/ CAD = Z E,••• AD // EF ,AD 丄BC,EF 丄BC.证法二:过A作AG丄EF于G,Z AEF = Z AFE , AG = AG , Z AGE = Z AGF = 90•△AGE^A AGF (ASA ),AB= AC , • Z B =Z C ,又Z EAF = Z B+Z C,(请对比多种证法的优劣)•Z EAG+Z GAF = Z B +Z C ,Z EAG=Z C , • AG // BC , AG 丄EF , EF 丄BC.证法三:过E作EH // BC交BA的延长线于H ,AB= AC , • Z B =Z C ,•Z H = Z B=Z C=Z AEH ,Z AEF = Z AFE , Z H+Z AFE + Z FEH = 180° ,Z H + Z AEH + Z AEF + Z AFE = 180 ° ,•Z AEF + Z AEH = 90°,即Z FEH = 90° ,EF 丄EH ,又EH // BC,EF 丄BC.AB= AC, • Z B =Z C ,1Z B= 2 (180 °-Z BAC),Z AEF = Z AFE ,Z AFE = 2 (180 ° -Z EAF ),证明:连结BC , ••• AB = AC (已知), •Z ABC = Z ACB (等边对等角),又•••点A 、D 在线段BC 的垂直平分线上(与线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上) ,而两点确定一条直线,• AD 就是线段BC 的垂直平分线,• PB = PC (线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等),• Z PBC = Z PCB (等边对等角),(线段垂直平分线的性质) •Z ABC -Z PBC = Z ACB -Z PCB (等式性质),即Z ABP = Z ACP .注 本题若用三角形全等, 至少需要证两次,现用线段垂直平分线的判定和性质, 就显得比较简洁.例8 如下图,AB = AC , DE 垂直平分 AB 交AB 于D ,交AC 于丘,若厶ABC 的周长为28, BC = 8,求厶BCE 的周长./ BFK = Z AFE ,1/ BFK = 2 ( 180° -Z EAF ),1 1Z B +Z BFK = 2 (180。
北师大七下数学《轴对称图形》经典试题
北师大七下数学《轴对称图形》经典试题------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx第五章《生活中的轴对称》(2)一.选择题1.甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式,下列甲骨文中,不是轴对称的是()A.B.C. D.2.一个等腰三角形一边长为4cm,另一边长为5cm,那么这个等腰三角形的周长是()A.13cm B.14cm C.13cm或14cm D.以上都不对3.正方形的对称轴的条数为()A.1 B.2 C.3 D.44.P是∠AOB内一点,分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2,连接OP1、OP2,则下列结论正确的是()A.OP1⊥OP2 B.OP1=OP2 C.OP1⊥OP2且OP1=OP2D.OP1≠OP25.如图,∠3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时,必须保证∠1的度数为()A.30° B.45° C.60° D.75°6.如图,OP是∠AOB的平分线,点C,D分别在角的两边OA,OB上,添加下列条件,不能判定△POC≌△POD的选项是()A.PC⊥OA,PD⊥OB B.OC=OD C.∠OPC=∠OPDD.PC=PD7.用矩形纸片折出直角的平分线,下列折法正确的是()A.B.C.D.8.如图,把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为B′,AB′与DC相交于点E,则下列结论一定正确的是()A.∠DAB′=∠CAB′B.∠ACD=∠B′CD C.AD=AE D.AE=CE9.如图,四边形ABCD中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E、F分别是BC、DC上的点,当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为()A.50° B.60° C.70° D.80°10.如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC,若∠1=70°,则∠BAC的大小为()A.40° B.30° C.70° D.50°11.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠ABC=()A.73° B.56°C.68° D.146°12.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,△ABC的周长为19cm,△ABD的周长为13cm,则AE的长为()A.3cm B.6cm C.12cm D.16cm二.填空题13.如图,在正方形方格中,阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案,再将方格内空白的一个小正方形涂黑,使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有种.14.如图,已知直线l1∥l2,将等边三角形如图放置,若∠α=40°,则∠β等于.16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DC=3,则点D到AB的距离是.17.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,则顶角的度数是.18.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是.19.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.则下列结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP.其中正确的是.三.解答题20.在3×3的正方形格点图中,有格点△ABC和△DEF,且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称,请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.21.如图,在△ABC中,点D、E分别在边AC、AB上,BD=CE,∠DBC=∠ECB.(1)说明:其中有几对三角形成轴对称,并指出其对称轴;(2)连接AO,试判断直线OA与线段BC的关系,并说明理由.22.如图,已知BD平分∠ABC,AB=AD,DE⊥AB,垂足为E.(1)求证:AD∥BC;(2)①若DE=6cm,求点D到BC的距离;②当∠ABD=35°,∠DAC=2∠ABD时,求∠BAC的度数.23.如图,等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为a,现把它们拼合起来,E是AD上异于A、D两点的一动点,F是CD上一动点,满足AE+CF=a.则△BEF的形状如何?24.已知如图1:△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F.①图中有几个等腰三角形?请说明EF与BE、CF间有怎样的关系.②若AB≠AC,其他条件不变,如图2,图中还有等腰三角形吗?如果有,请分别指出它们.另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?③若△ABC中,∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.如图3,这时图中还有哪几个等腰三角形?EF与BE、CF间的关系如何?为什么?25.在等腰三角形中,过其中的一个顶点的直线如果能把这个等腰三角形分成两个小的等腰三角形,我们称这种等腰三角形为“少见的三角形”,这条直线称为分割线,下面我们来研究这类三角形.(1)等腰直角三角形是不是“少见的三角形”?(2)已知如图所示的钝角三角形是一个“少见的三角形”,请你画出分割线的大致位置,并求出顶角的度数;(3)锐角三角形中有没有“少见的三角形”?如果没有,请说明理由;如果有,请画出图形并求出顶角的度数.26. 如图9,若△ABC 和△ADE 为等边三角形,,M N 分别为,EB CD 的中点,易证:CD BE =,△AMN 是等边三角形.(1)当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时,CD BE =是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;(2)当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时,△AMN 是否还是等边三角形?若是,请给出证明,若不是,请说明理由.27.已知:△ABC 为等边三角形,M 是BC 延长线上一点,直角三角尺的一条直角边经过点A ,且60º角的顶点E 在BC 上滑动,(点E 不与点B 、C 重合),斜边与∠ACM 的平分线CF 交于点F(1)如图(1)当点E 在BC 边得中点位置时○1猜想AE 与EF 满足的数量关系是 . ○2连结点E 与AB边得中点N,猜想BE和CF满足的数量关系是 .○3请证明你的上述猜想; (2)如图(2)当点E在BC边得任意位置时,AE和EF 有怎样的数量关系,并说明你的理由?图9 图10 图11 图(1)N F A E 图(2)F A28.在学习轴对称的时候,老师让同学们思考课本中的探究题.如图(1),要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?你可以在l上找几个点试一试,能发现什么规律?聪明的小华通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线(图(2)),问题就转化为,要在直线l上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这样的:①作点B关于直线l的对称点B′.②连接AB′交直线l于点P,则点P为所求.请你参考小华的做法解决下列问题.如图在△ABC中,点D、E分别是AB、AC边的中点,BC=6,BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点P,使△PDE得周长最小.(1)在图中作出点P(保留作图痕迹,不写作法).(2)请直接写出△PDE周长的最小值:.参考答案与解析一.选择题1.【分析】根据轴对称图形的概念求解.解:A、是轴对称图形,故本选项错误;B、是轴对称图形,故本选项错误;C、是轴对称图形,故本选项错误;D、不是轴对称图形,故本选项正确.故选D.2.【分析】分4cm为等腰三角形的腰和5cm为等腰三角形的腰,先判断符合不符合三边关系,再求出周长.解:当4cm为等腰三角形的腰时,三角形的三边分别是4cm,4cm,5cm符合三角形的三边关系,∴周长为13cm;当5cm为等腰三角形的腰时,三边分别是,5cm,5cm,4cm,符合三角形的三边关系,∴周长为14cm,故选C3.【分析】根据正方形的对称性解答.解:正方形有4条对称轴.故选:D.解:如图,∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2,∴OP1=OP2=OP,∠AOP=∠AOP1,∠BOP=∠BOP2,∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2,=2(∠AOP+∠BOP),=2∠AOB,∵∠AOB度数任意,∴OP1⊥OP2不一定成立.故选:B.5.【分析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,则∠2=60°,根据∠1、∠2对称,则能求出∠1的度数.解:要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,∠2+∠3=90°,∵∠3=30°,∴∠2=60°,∴∠1=60°.故选:C.6.【分析】要得到△POC≌△POD,现有的条件为有一对角相等,一条公共边,缺少角,或着是解:A.PC⊥OA,PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°,根据AAS判定定理成立,B.OC=OD,根据SAS判定定理成立,C.∠OPC=∠OPD,根据ASA判定定理成立,D.PC=PD,根据SSA无判定定理不成立,故选D.7.【分析】根据图形翻折变换的性质及角平分线的定义对各选项进行逐一判断.解:A.当长方形如A所示对折时,其重叠部分两角的和中,一个顶点处小于90°,另一顶点处大于90°,故A错误;B.当如B所示折叠时,其重叠部分两角的和小于90°,故B错误;C.当如C所示折叠时,折痕不经过长方形任何一角的顶点,所以不可能是角的平分线,故C错误;D.当如D所示折叠时,两角的和是90°,由折叠的性质可知其折痕必是其角的平分线,故D正确.故选:D.8.【分析】根据翻折变换的性质可得∠BAC=∠CAB′,根据两直线平行,内错角相等可得∠BAC=∠ACD,从而得到∠ACD=∠CAB′,然后根据等角对等边可得AE=CE,从而得解.解:∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为B′,∴∠BAC=∠CAB′,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD,∴∠ACD=∠CAB′,∴AE=CE,所以,结论正确的是D选项.故选D.9.【分析】据要使△AEF的周长最小,即利用点的对称,使三角形的三边在同一直线上,作出A 关于BC和CD的对称点A′,A″,即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°,进而得出∠AEF+∠AFE=2(∠AA′E+∠A″),即可得出答案.解:作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于E,交CD于F,则A′A″即为△AEF的周长最小值.作DA延长线AH,∵∠C=50°,∴∠DAB=130°,∴∠HAA′=50°,∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°,∵∠EA′A=∠EAA′,∠FAD=∠A″,∴∠EAA′+∠A″AF=50°,∴∠EAF=130°﹣50°=80°,故选:D.10.【分析】根据AD∥BC可得出∠C=∠1=70°,再根据AB=AC即可得出∠B=∠C=70°,结合三角形的内角和为180°,即可算出∠BAC的大小.解:∵AD∥BC,∴∠C=∠1=70°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=70°,∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=40°.故选A.11.【分析】根据补角的知识可求出∠CBE,从而根据折叠的性质∠ABC=∠ABE=∠CBE,可得出∠ABC的度数.解:∵∠CBD=34°,∴∠CBE=180°﹣∠CBD=146°,∴∠ABC=∠ABE=∠CBE=73°.故选A.12.【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC,AE=CE=AC,求出AB+BC+AC=19cm,AB+BD+AD=AB+BC=13cm,即可求出AC,即可得出答案.解:∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=DC,AE=CE=AC,∵△ABC的周长为19cm,△ABD的周长为13cm,∴AB+BC+AC=19cm,AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm,∴AC=6cm,∴AE=3cm,故选A.二.填空题13.【分析】根据轴对称图形的概念:把一个图形沿着某条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合及正方形的对称轴是两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线,得出结果.解:在1,2,3处分别涂黑都可得一个轴对称图形,故涂法有3种,故答案为:3.14.【分析】过点A作AD∥l1,如图,根据平行线的性质可得∠BAD=∠β.根据平行线的传递性可得AD∥l2,从而得到∠DAC=∠α=40°.再根据等边△ABC可得到∠BAC=60°,就可求出∠DAC,从而解决问题.解:过点A作AD∥l1,如图,则∠BAD=∠β.∵l1∥l2,∴AD∥l2,∵∠DAC=∠α=40°.∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∴∠β=∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=60°﹣40°=20°.故答案为20°.15.【分析】由等腰三角形的性质证得∠E=∠F=20°,由三角形的外角定理证得∠CDF=∠E+∠F=40°,再由平行线的性质即可求得结论.解:∵DE=DF,∠F=20°,∴∠E=∠F=20°,∴∠CDF=∠E+∠F=40°,∵AB∥CE,∴∠B=∠CDF=40°,故答案为:40°.16.【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DC即可得解.解:作DE⊥AB于E,∵AD是∠CAB的角平分线,∠C=90°,∴DE=DC,∵DC=3,∴DE=3,即点D到AB的距离DE=3.故答案为:3.17.【分析】本题要分情况讨论.当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况.解:此题要分情况讨论:当等腰三角形的顶角是钝角时,腰上的高在外部.根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,即可求得顶角是90°+20°=110°;当等腰三角形的顶角是锐角时,腰上的高在其内部,故顶角是90°﹣20°=70°.故答案为:110°或70°.18.【分析】根据角平分线的性质,可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等,估计三角形的面积公式,即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比.解:∵AD是△ABC的角平分线,∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1,h2,∴h1=h2,∴△ABD与△ACD的面积之比=AB:AC=4:3,故答案为4:3.三.解答题19.本题要求思维严密,根据对称图形关于某直线对称,找出不同的对称轴,画出不同的图形,对称轴可以随意确定,因为只要根据你确定的对称轴去画另一半对称图形,那这两个图形一定是轴对称图形.解:正确1个得,全部正确得.20.【分析】首先根据AB=AC=AD,可得∠C=∠ABC,∠D=∠ABD,∠ABC=∠CBD+∠D;然后根据AD∥BC,可得∠CBD=∠D,据此判断出∠ABC=2∠D,再根据∠C=∠ABC,即可判断出∠C=2∠D.证明:∵AB=AC=AD,∴∠C=∠ABC,∠D=∠ABD,∴∠ABC=∠CBD+∠D,∵AD∥BC,∴∠CBD=∠D,∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D,又∵∠C=∠ABC,∴∠C=2∠D.21.【分析】过点A作AD⊥BC于点D,利用等HL求得Rt△ABD≌Rt△ACD,由全等三角形的性质就可以得出∠B=∠C.证明:过点A作AD⊥BC于点D,∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,在Rt△ABD与Rt△ACD中,,∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).∴∠B=∠C.22.【分析】(1)利用轴对称图形的性质即可得出答案;(2)根据∠DBC=∠ECB得到∠OBC=∠OCB,所以OB=OC,由全等三角形的性质得出AB=AC,OB=OC,说明AO是线段BC的垂直平分线.解:(1)△ABD和△ACE,△BOE和△COD,△EBC和△DBC,都关于AO所在直线对称,其对称轴为AO所在直线;(2)∵∠DBC=∠ECB,∴OB=OC,∴点O在线段BC的垂直平分线上,在△DBC和△ECB中,∴△DBC≌△ECB(SAS),∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∴点A在BC的垂直平分线上,因此AO是线段BC的垂直平分线.23.【分析】根据轴对称的性质可得PM=EM,PN=FN,然后求出△PMN的周长=EF.解:∵P点关于OA、OB的对称点分别为E、F,∴PM=EM,PN=FN,∴△PMN的周长=PM+MN+FN=ME+MN+FN=EF,∵EF=15,∴△PMN的周长=15.24.【分析】(1)由BD平分∠ABC,得到∠ABD=∠DBC 根据等腰三角形的性质得到∠D=∠ABD等量代换得到∠D=∠DBC,于是得到结论;(2)解①作DF⊥BC于F.根据角平分线的性质即可得到结论;②根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠ABD=70°,由平行线的性质得到∠ACB=∠DAC=70°,于是得到结论.(1)证明:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC又∵AB=AD∴∠D=∠ABD∴∠D=∠DBC,∴AD∥BC;(2)解:①作DF⊥BC于F.∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DF=DE=6(cm),②∵BD平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABD=70°,∵AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC=70°,∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣70°﹣70°=40°.25.【分析】(1)根据提供材料DE不变,只要求出DP+PE的最小值即可,作D点关于BC的对称点D′,连接D′E,与BC交于点P,P点即为所求;(2)利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值,即可得出答案.解:(1)作D点关于BC的对称点D′,连接D′E,与BC交于点P,P点即为所求;(2)∵点D、E分别是AB、AC边的中点,∴DE为△ABC中位线,∵BC=6,BC边上的高为4,∴DE=3,DD′=4,∴D′E===5,∴△PDE周长的最小值为:DE+D′E=3+5=8,故答案为:8.【精品文档】【精品文档】。
生活中的轴对称(经典例题)
班级小组姓名成绩(满分120)一、轴对称现象(一)轴对称和轴对称图形(共4小题,每题3分,题组共计12分)例1.如图,下列图案是我国几家银行的标志,其中轴对称图形有()A.1个B.2个C.3个D.4个例1.变式1.下列图形中对称轴最多是()A.圆B.正方形C.角D.线段例1.变式2.如图所示的图形是由棋子围成的正方形图案,图案的每条边有4个棋子,这个图案有条对称轴.例1.变式3.如图所示的方格纸中,请你把任意五个方格涂黑,使这五个方格构成一个轴对称图形(图形不能重复,至少设计三个)二、探索轴对称的性质(一)轴对称的性质(共4小题,每题3分,题组共计12分)例2.下列说法:①长方形的对称轴有两条;②角是轴对称图形,它的平分线就是它的对称轴;③两点关于连接它们的线段的垂直平分线对称.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.0个例2.变式1.如图,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,且∠A=78°,∠C'=48°,则∠B的度数为()A.48°B.54°C.74°D.78°例2.变式2.如图所示,AC垂直平分线段BD,若AB=3cm,CD=5cm,则四边形ABCD的周长是()A.11cmB.13cmC.16cmD.18cm例2.变式3.如图,把一张长方形纸ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕为EF.如果∠DEF=123°,那么∠BAF=.(三)轴对称的性质及应用(共4小题,每题3分,题组共计12分)例3.轴对称图形对应点连线被,对应角、对应线段都.例3.变式1.如图,∠AOB内有一点P,分别画出P关于OA,OB的对称点P1,P2,连接P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=5cm,则△PMN的周长为多少?例3.变式2.如图,将长方形纸片ABCD沿其对角线AC折叠,使点B落到点B'的位置,AB'与CD交于点E,若AB=8,AD=3,则图中阴影部分的周长为()A.16B.19C.22D.25例3.变式3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在边AB上,连接CD,将△BCD沿CD翻折得到△ECD,使DE∥AC,CE交AB于点F,若∠B=α,则∠ADC的度数是(用含α的代数式表示).三、简单的轴对称图形(一)等腰三角形的性质(共4小题,每题3分,题组共计12分)例4.等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是()A.过顶点的直线B.底边上的高C.腰上的高所在的直线D.顶角平分线所在的直线例4.变式1.等边三角形对称轴的条数是()A.1B.2C.3D.4例4.变式2.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是()A.6B.7C.8D.9例4.变式3.等腰三角形中有一个角是50°,那么这个等腰三角形的底角是.(二)等腰三角形的性质二(共4小题,每题3分,题组共计12分)例5.下列说法中正确的是()A.关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形B.全等三角形一定是关于某条直线对称的C.两个图形关于某条直线对称,则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧D.若A,B两点关于直线MN对称,则AB垂直平分MN例5.变式1.如图,BD是△ABC的角平分线,∠ABD=36°,∠C=72°,则图中的等腰三角形有个.例2.变式2.如图,在△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE=.例5.变式3.有一个三角形的支架如图所示,AB=AC,小明过点A和BC边的中点D又架了一个细木条,经测量∠B=30°,你在不用任何测量工具的前提下,能得到∠BAD和∠ADC的度数吗?(三)线段和角的轴对称性(共4小题,每题3分,题组共计12分)例6.如图,点P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AC于点E,已知PE=3,则点P到AB的距离是()A.3B.4C.5D.6例6.变式1.如图所示,下列推理中正确的个数是()①因为OC平分∠AOB,点P,D,E分别在OC,OA,OB上,所以PD=PE;②因为P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,所以PD=PE;③因为P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,且OC平分∠AOB,所以PD=PE.A.0B.1C.3D.4例6.变式2.小明把一张长方形的纸对折了两次,如图所示,使A,B都落在DC上,折痕分别是DE,DF,则∠EDF的度数为.例6.变式3.如图,已知△ABC中,DE垂直平分AC,且交AC于点E,交BC于点D,△ABD的周长是20,AC=8,你能计算出△ABC的周长吗?(四)等腰(边)三角形的性质的综合应用(共4小题,每题3分,题组共计12分)例7.在△ABC中,若BC=AC,∠A=58°,则∠C=,∠B=.例7.变式1.等边三角形的两条中线相交所成的钝角度数是.例7.变式2.如图P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,则∠BAC=.例7.变式3.如图,已知△ABC中,∠C=90°,AC<BC,D为BC上一点,且到A,B两点的距离相等.(1)用直尺和圆规,作出点D的位置(不写作法,保留作图痕迹);(2)连接AD,若∠B=37°,求∠CAD的度数.(五)轴对称图形的综合运用(共4小题,每题3分,题组共计12分)例8.如图所示,△ABC中,∠B与∠C的平分线相交于点O,过点O作MN∥BC,分别交AB,AC于点M,N,若AB=6cm,AC=9cm,BC=12cm,则△AMN的周长为.例8.变式1.如图所示,将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起,其中两条较长直角边在同一条直线上,则图中等腰三角形有个.例8.变式2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,AB+AC+BC=50cm,AB+BD+AD=40cm,则AD=cm.例8.变式3.如图,∠BOC=9°,点A在OB上,且OA=1,按下列要求画图:以A为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A1,得第1条线段AA1;再以A1为圆心,1为半径向右画弧交OB于点A2,得第2条线段A1A2;再以A2为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A3,得第3条线段A2A3;照这样画下去,直到得第n条线段,之后就不能再画出符合要求的线段了,则n=.(六)轴对称图形的综合运用二(共4小题,每题3分,题组共计12分)例9.如图,D,E是△ABC的BC边上的两点,且BD=DE=EC=AD=AE,求∠BAC的度数.例9.变式1.如图,∠1=∠2,AE⊥OB于点E,BD⊥OA于点D,AE,BD交于点C,试说明AC=BC.例9.变式2.如图所示,△ABC是等边三角形,点D是AC的中点,DE∥AB,AE∥BC,DE与AE交于点E,点G是AE的中点,GF∥DE,EF∥AC,EF交GF于点F,若AB=4cm,则图形ABCDEFG的外围的周长是多少?例9.变式3.如图,△ABC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB,你能说明DC⊥AC吗?四、利用轴对称进行设计(共4小题,每题3分,题组共计12分)例10.如图,把一张长方形纸片对折,折痕为AB,再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形,那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是()A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形例10.变式1.如左下图,将一张正方形纸片沿对角线折叠一次,然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个大小相等的圆洞,最后将正方形纸片展开,得到的图案是右下图中的()例10.变式2.当你面对镜子的时候,右手拿笔向左挥动,对于镜子中的像来说是()A.右手拿笔,向右挥动B.左手拿笔,向左挥动C.右手拿笔,向左挥动D.左手拿笔,向右挥动例10.变式3.某一车牌在平面镜中的像是,则这辆车的实际号码是()。
初一数学简单的轴对称图形试题
初一数学简单的轴对称图形试题1.下列几何图形中:(1)平行四边形;(2)线段;(3)角;(4)圆;(5)正方形;(6)任意三角形.其中一定是轴对称图形的有_____________.【答案】(2)(3)(4)(5)【解析】根据轴对称图形的定义依次分析各个图形即可判断.一定是轴对称图形的有(2)(3)(4)(5).【考点】本题考查的是轴对称图形点评:解答本题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义:如果把一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形.2.角是轴对称图形,它的对称轴是_________________.【答案】角平分线所在的直线【解析】根据角的对称性即可得到结果.角是轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线.【考点】本题考查的是角的对称轴点评:解答本题的关键是熟练掌握角是轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线.注意角平分线是一条射线,而对称轴是一条直线,故要加上“所在的直线”.3.指出下列图形的所有对称轴数,并画出其中一条对称轴.【答案】(1)5条;(2)5条;(3)2条【解析】根据轴对称图形和对称轴的定义即可得到结果.(1)有5条对称轴;(2)有5条对称轴;(3)有2条对称轴,如图所示:【考点】本题考查的是轴对称图形点评:解答本题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义:如果把一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫对称轴.4.已知:如图,CF⊥AB于E,且AE=EB,已知∠B=40°,求∠ACD、∠DCF的度数.【答案】∠ACD=80°,∠DCF=130°【解析】由AE=EB可得∠A=∠B,再由CF⊥AB结合三角形的内角和即可求得结果.∵AE=EB,∴∠A=∠B=40°,∵CF⊥AB,∴∠BEC=∠AEC=90°,∴∠BCE=∠ACE=50°,∴∠ACD=80°,∠DCF=130°.【考点】本题考查的是等腰三角形的性质,三角形的内角和定理点评:解答本题的关键是熟记等腰三角形的两个底角相等,三角形的内角和为180°.5.等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍,则它的顶角是________.【答案】120°【解析】由题意设底角为x°,则顶角为4x°,根据三角形的内角和为180°即可得到关于x的方程,解出即可.设底角为x°,则顶角为4x°,由题意得4x+x+x=180解得x=30,4x=120则它的顶角是120°.【考点】本题考查的是等腰三角形的性质,三角形的内角和定理点评:解答本题的关键是熟记等腰三角形的两个底角相等,三角形的内角和为180°.6.等腰三角形的两边长分别为3厘米和6厘米,这个三角形的周长为_________.【答案】15厘米【解析】题目中没有明确腰或底边,故要分情况讨论,再结合三角形的三边关系即可得到结果.当腰为3厘米时,三边长为3,3,6,而3+3=6,此时无法构成三角形;当底为3厘米时,三边长为3,6,6,此时可以构成三角形,周长为3+6+6=15厘米.【考点】本题考查的是等腰三角形的性质,三角形的三边关系点评:解答本题的关键是熟练掌握三角形的三边关系:三角形的任两边之和大于第三边.7.如图,△ABC中,DE垂直平分AC,AE=3,△ABD的周长为13,那么△ABC的周长为____.【答案】19【解析】由DE垂直平分AC可得AD=DC,再结合△ABD的周长可得AB+BC的值,即可求得结果.∵DE垂直平分AC,AE=3∴AD=DC.AC=2AE=6∵△ABD的周长是13∴AB+BD+AD="13"∴AB+BD+DC=13即AB+BC=13∴AB+BC+AC=19则△ABC的周长为19.【考点】本题考查的是垂直平分线的性质点评:解答本题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.8.如图,已知△ABC,BC=10,BC边的垂直平分线交AB,BC于点D,E,BE=6,则△BCE的周长为__________.【答案】22【解析】由DE垂直平分BC可得BE=CE,即可求得结果.∵DE垂直平分BC∴BE=CE=6∴△BCE的周长=BE+CE+BC=22.【考点】本题考查的是垂直平分线的性质点评:解答本题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.9.如图,求作一点P,使PC=PD,并且使点P到∠AOB的两边的距离相等,并说明你的理由.【答案】如图所示:点P就是所求的点.【解析】使PC=PD,即作CD的中垂线,并且P到∠AOB两边的距离相等,即作角平分线,两线的交点就是点P的位置.如图所示:点P就是所求的点.【考点】本题主要考查了尺规作图的一般作法点评:解答本题的关键是熟练掌握到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.10.如图,已知△ABC中,DE垂直平分AC,交C于点E,交BC于点D,△ABD的周长是20厘米,AC长为8厘米,你能判断出△ABC的周长吗?试试看.【答案】28厘米【解析】由DE垂直平分AC可得AD=DC,再结合△ABD的周长可得AB+BC的值,即可求得结果.∵DE垂直平分AC,∴AD=DC.∵△ABD的周长是20厘米,∴AB+BD+AD="20"∴AB+BD+DC=20即AB+BC=20又AC=8,∴AB+BC+AC=28则△ABC的周长为28厘米.【考点】本题考查的是垂直平分线的性质点评:解答本题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.。
轴对称典型例题总结(实用!!)
轴对称典例总结知识点一轴对称及相关概念题型1 轴对称图形的判断例1 判断下列图形是不是轴对称图形。
例2 在图中,从几何图形的性质考虑,哪一个与其它三个不同?请指出这个图形,并简述你的理由。
A B.C.D.题型2 找轴对称图形的对称轴例3 如图,判断下列图形是否为轴对称图形,若是,说出有几条对称轴。
题型3 判断两个图形是否成轴对称例4 下列各选项中,右边图形与左边图形成轴对称的是()DCBA例5 如图,若⊿ABC 和⊿A ˊB ˊC ˊ沿着直线l 对折后能够完全重合,我们说这两个图形关于这条直线对此,也就是说这两个三角形成________,直线l 叫做它们的_______,点B 和点B ˊ叫做_______,AC=_______,∠A=________。
lB 'C'A 'CBA例6.下列图形中,有且只有三条对称轴的是( )A .B .C .D .知识点二 线段的垂直平分线线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等; 题型1 线段垂直平分线的性质例7 如图,有一块三角形田地,AB=AC=10m ,作AB 的垂直平分线ED 交AC 于D ,交AB 于E ,量得△BDC 的周长为17m ,请你替测量人员计算BC 的长。
例8 如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,若DE ,FG 分别垂直平分AB ,AC ,△AEF 的周长为10cm ,求∠EAF 的度数及BC 的长。
CFEBGDA题型2 线段垂直平分线的判定例9 如图,△ABC 的边AB 、BC 垂直平分线PM 、PN 交于点P 。
求证:P 在AC 的垂直平分线上。
例10 如图,在△ABC 中,D 是BC 边上的一点,AD 平分∠BAC ,且DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,连接EF 交AD 于点G 。
求证:AD 垂直平分EF 。
题型3 利用线段垂直平分线的性质作图例11 如图,A ,B 表示公路同侧的两个城镇,l 表示笔直的公路,现要在公路旁建一信号站,使信号站与两个城镇的距离相等,信号站应建在什么地方?例12 某地有两所大学和两条相交叉的公路,如图,点M ,N 表示大学,AO ,BO 表示公路,现计划修建一座仓库,希望仓库到两所大学的距离相等,到两条公路的距离也相等。
轴对称图形练习题及答案
轴对称图形练习题及答案轴对称图形练习题及答案在数学学科中,轴对称图形是一种非常重要的概念。
轴对称图形是指可以通过某条直线将图形分成两个完全相同的部分的图形。
轴对称图形不仅在几何学中有广泛的应用,也常常出现在生活中的各个方面。
下面,我们来看一些轴对称图形的练习题及答案。
练习题一:请画出下列图形的轴对称线,并判断图形是否具有轴对称性。
1. 正方形2. 长方形3. 五角星4. 圆形5. 三角形答案一:1. 正方形:具有四条轴对称线,分别是连接对角线的两条线和连接中点的两条线。
因此,正方形具有轴对称性。
2. 长方形:具有两条轴对称线,分别是连接对角线的线。
因此,长方形具有轴对称性。
3. 五角星:具有五条轴对称线,分别是连接对角线的线。
因此,五角星具有轴对称性。
4. 圆形:具有无数条轴对称线,因为圆形的任意直径都可以作为轴对称线。
因此,圆形具有轴对称性。
5. 三角形:具有零条或一条轴对称线。
如果三角形的三条边相等,则具有三条轴对称线,分别是连接各边中点的线。
如果三角形的三条边不相等,则没有轴对称线。
因此,三角形可能具有轴对称性,也可能不具有轴对称性。
练习题二:请找出下列图形的轴对称图形,并画出轴对称线。
1. 矩形2. 正五边形3. 椭圆4. 等腰梯形5. 菱形答案二:1. 矩形的轴对称图形是自身,因为矩形具有四条轴对称线,分别是连接对角线的两条线和连接中点的两条线。
2. 正五边形的轴对称图形是自身,因为正五边形具有五条轴对称线,分别是连接对角线的线。
3. 椭圆的轴对称图形是自身,因为椭圆具有无数条轴对称线,因为椭圆的任意直径都可以作为轴对称线。
4. 等腰梯形的轴对称图形是自身,因为等腰梯形具有一条轴对称线,即连接两个底边中点的线。
5. 菱形的轴对称图形是自身,因为菱形具有两条轴对称线,分别是连接对角线的两条线。
通过以上练习题,我们可以更好地理解和掌握轴对称图形的概念和性质。
轴对称图形在几何学中有着广泛的应用,例如在设计中常常使用轴对称图形来增加美感和平衡感。
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轴对称图形典型例题例1 如下图,已知,PB ⊥AB ,PC ⊥AC ,且PB =PC ,D 是AP 上一点.求证:∠BDP =∠CDP .证明:∵ PB ⊥AB ,PC ⊥AC ,且PB =PC ,∴ ∠P AB =∠P AC (到角两边距离相等的点在这个角平分线上),∵ ∠APB +∠P AB =90°,∠APC +∠P AC =90°,∴ ∠APB =∠APC ,在△PDB 和△PDC 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠= PD PD APC APB PC PB .,,∴ △PDB ≌△PDC (SAS ),∴ ∠BDP =∠CDP .(图形具有明显的轴对称性,可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等)注 利用角平分线定理的逆定理,可以通过距离相等直接得到角相等,而不用再证明两个三角形全等.例2 已知如下图(1),在四边形ABCD 中,BC >BA ,AD =CD ,BD 平分∠ABC .求证:∠A +∠C =180°.(1)证法一:过D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ,DF ⊥BC 于F ,∵ BD 平分∠ABC ,∴ DE =DF ,在Rt △EAD 和Rt △FCD 中,⎩⎨⎧==.DF DE DC AD ,(角平分线是常见的对称轴,因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明.)∴ Rt △EAD ≌Rt △FCD (HL ),∴ ∠C =∠EAD ,∵ ∠EAD +∠BAD =180°,∴ ∠A +∠C =180°.证法二:如下图(2),在BC 上截取BE =AB ,连结DE ,证明△ABD ≌△EBD 可得.(2)证法三:如下图(3),延长BA 到E ,使BE =BC ,连结ED ,以下同证法二.(3)注 本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等,关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法.例3 已知,如下图,AD 为△ABC 的中线,且DE 平分∠BDA 交AB 于E ,DF 平分∠ADC 交AC 于F .求证:BE +CF >EF .证法一:在DA 截取DN =DB ,连结NE 、NF ,则DN =DC ,在△BDE 和△NDE 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.DE DE NDE BDE ND BD ,,(遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题)∴ △BDE ≌△NDE (SAS ),∴ BE =NE (全等三角形对应边相等),同理可证:CF =NF ,在△EFN 中,EN +FN >EF (三角形两边之和大于第三边),∴ BE +CF >EF .证法二:延长ED 至M ,使DM =ED ,连结CM 、MF ,在△BDE 和△CDM 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.DM DE CDM BDE CD BD ,,(从另一个角度作辅助线)∴ △BDE ≌△NDE (SAS ),∴ CM =BE (全等三角形对应边相等),又∵ ∠BDE =∠A DE ,∠ADF =∠CDF ,而∠BDE +∠ADE +∠ADF +∠CDF =180°,∴ ∠ADE +∠ADF =90°,即∠EDF =90°,∴ ∠FDM =∠EDF =90°,在△EDF 和△MDF 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.DF DF MDF EDF MD ED ,,∴ △EDF ≌△MDF (SAS ),∴ EF =MF (全等三角形对应边相等),在△CMF 中,CF +CM >EF ,∴ BE +CF >EF .注 本题综合考察角平分线、中线的意义,关键是如何使题中的分散的条件集中.例4 已知,如下图,P、Q是△ABC边BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ.求:∠BAC的度数.解:∵AP=PQ=AQ(已知),∴∠APQ=∠AQP=∠P AQ=60°(等边三角形三个角都是60°),∵AP=BP(已知),(注意观察图形和条件)∴∠PBA=∠P AB(等边对等角),∴∠APQ=∠PBA+∠P AB=60°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和),∴∠PBA=∠P AB=30°,同理∠QAC=30°,∴∠BAC=∠BAP+∠P AQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°.注本题考察等腰三角形、等边三角形的性质,关键是掌握求角的步骤:(1)利用等边对等角得到相等的角;(2)利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系;(3)利用三角形内角和定理列方程.例5 已知,如下图,在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,连结ED,并延长ED到点F,使DF=DE,连结FC.求证:∠F=∠A.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠ACB(等边对等角),∵EB=ED,∴∠B=∠EDB,∴∠ACB=∠EDB(等量代换),∴ED∥AC(同位角相等,两直线平行),在△BDE和△AED中,BE=AE=ED,连结AD可得,∠EAD=∠EDA,∠EBD=∠EDB,∠EDA+∠EDB=90°,即AD⊥BC,∴∠EDA+∠EDB=90°,即AD⊥BC,(用什么定理判定三角形全等的?)∴D为BC的中点,∴△BDE≌△CDF,∴∠BED=∠F,而∠BED=∠A,∴∠F=∠A.例6 已知,如下图,△ABC中,AB=AC,E在CA的延长线上,∠AEF=∠AFE.求证:EF⊥BC.证法一:作BC边上的高AD,D为垂足,∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD;(等腰三角形三线合一),又∵∠BAC=∠E+∠AFE,∠AEF=∠AFE,∴∠CAD=∠E,∴AD∥EF,∵AD⊥BC,∴EF⊥BC.证法二:过A作AG⊥EF于G,∵∠AEF=∠AFE,AG=AG,∠AGE=∠AGF=90°,∴ △AGE ≌△AGF (ASA ),∵ AB =AC ,∴ ∠B =∠C ,又∠EAF =∠B +∠C ,(请对比多种证法的优劣)∴ ∠EAG +∠GAF =∠B +∠C ,∴ ∠EAG =∠C ,∴ AG ∥BC ,∵ AG ⊥EF ,∴ EF ⊥BC .证法三:过E 作EH ∥BC 交BA 的延长线于H ,∵ AB =AC ,∴ ∠B =∠C ,∴ ∠H =∠B =∠C =∠AEH ,∵ ∠AEF =∠AFE ,∠H +∠AFE +∠FEH =180°,∴ ∠H +∠AEH +∠AEF +∠AFE =180°,∴ ∠AEF +∠AEH =90°,即∠FEH =90°,∴ EF ⊥EH ,又EH ∥BC ,∴ EF ⊥BC .证法四:延长EF 交BC 于K ,∵ AB =AC ,∴ ∠B =∠C ,∴ ∠B =21(180°-∠BAC ),∵ ∠AEF =∠AFE ,∴ ∠AFE =21(180°-∠EAF ),∵ ∠BFK =∠AFE ,∴ ∠BFK =21(180°-∠EAF ),∴ ∠B +∠BFK =21(180°-∠BAC )+21(180°-∠EAF )∵ =21[360°-(∠EAF +∠BAC )],∴ ∠EAF +∠BAC =180°,∴ ∠B +∠BFK =90°,即∠FKB =90°,∴ EF ⊥BC .注 本题考察等腰三角形性质的应用,解题的关键是通过添加辅助线,建立EF 与BC 的联系,仔细体会以上各种不同的添加辅助线的方法.例7 如下图,AB =AC ,DB =DC ,P 是AD 上一点.求证:∠ABP =∠ACP .证明:连结BC ,∵ AB =AC (已知),∴ ∠ABC =∠ACB (等边对等角),又∵ 点A 、D 在线段BC 的垂直平分线上(与线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上),而两点确定一条直线,∴ AD 就是线段BC 的垂直平分线,∴ PB =PC (线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等),∴ ∠PBC =∠PCB (等边对等角),(线段垂直平分线的性质)∴ ∠ABC -∠PBC =∠ACB -∠PCB (等式性质),即∠ABP =∠ACP .注本题若用三角形全等,至少需要证两次,现用线段垂直平分线的判定和性质,就显得比较简洁.例8 如下图,AB=AC,DE垂直平分AB交AB于D,交AC于E,若△ABC的周长为28,BC=8,求△BCE的周长.解:∵等腰△ABC的周长=28,BC=8,∴2AC+BC=28,∴AC=10,(理由是什么?)∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴△BCE的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=10+8=18.注本题考察线段垂直平分线的性质定理的运用,关键是运用线段垂直平分线的性质得到线段的等量关系.例9 已知,如下图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,EF为AB的垂直平分线,EF交BC于F,交AB于E,求证:FC BF21=.证法一:连结AF,则AF=BF,∴∠B=∠F AB(等边对等角),∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角),∵∠BAC=120°,∴∠B=∠C=ο302180=∠-BAC(三角形内角和定理),∴∠F AB=30°,∴∠F AC=∠BAC-∠F AB=120°-30°=90°,又∵∠C=30°,(线段的垂直平分线是常见的对称轴之一)∴FCAF21=(直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半),∴FC BF21=.证法二:连结AF,过A作AG∥EF交FC于G,∵EF为AB的垂直平分线,∴AF=BF,又∵∠B=30°,∴∠AFG=60°,∠BAG=90°,∴∠A G B=60°,△AFG为等边三角形,又∵∠C=30°,∴∠G AC=30°,∴AG=GC,(构造等边三角形是证明线段相等的一种好方法)∴BF=FG=GC=FC 21.例10 已知,如下图,AB⊥BC,CD⊥BC,∠AMB=75°,∠DMC=45°,AM=MD.求证:AB=BC.思路分析从结论分析,要证AB=BC,可连结AC,使BC与AB能落在一个三角形内,再看∠BAC与∠BCA能否相等?证明:连结AC,交DM于H,∵∠AMB=75°,∠DMC=45°(已知),∴∠AMD=60°(平角定义)又∵AM=MD,…∴△AMD为等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形),∴AM=AD(等边三角形三边相等),∵CD⊥BC,∴∠DCM=90°,∵∠DMC=45°,∴∠MDC=45°(三角形内角和定理),∴CD=CM(等角对等边),∴AC是DM的垂直平分线(和线段两端点等距离的点,在线段的垂直平分线上),∴∠MHC=90°,∴∠HCM=45°,∵∠B=90°,∴∠BAC=45°,∴AB=BC(等角对等边).【典型热点考题】例1 如图7—15,等腰△ABC的对称轴与底边BC相交于点D,请回答下列问题:(1)AD是哪个角的平分线;(2)AD是哪条线段的垂直平分线;(3)有哪几条相等的边;(4)有哪几对相等的角.点悟:本题主要考查等腰三角形的所有特征.所以应该根据等腰三角形是轴对称图形的性质来解答问题.解:等腰三角形是轴对称图形,直线AD是它的对称轴.(1)AD是顶角∠BAC的平分线.(2)AD是线段BC的垂直平分线.(3)AB=AC,BD=DC.(4)∠BAD=∠CAD,∠ABC=∠ACB,∠ADB=∠ADC.例2 如图7—16,已知PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC,D是AP上一点.求证:∠BDP=∠CDP.点悟:利用三角形全等证明两个角相等最直观,但因为图形具有明显的轴对称性,可以通过利用轴对称的性质而不用三角形全等同样可以,证明:∵ PB ⊥AB ,PC ⊥AC ,且PB =PC ,∴ ∠PAB =∠PAC(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上).∵ ∠APB +∠PAB =90°,∠APC +∠PAC =90°,∴ ∠APB =∠APC .在△PDB 和△PDC 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=PD PD APCAPB PC PB ∴ △PDB ≌△PDC(SAS)∴ ∠BDP =∠CDP .例3 如图7—17,先找出下列各图形中的轴对称图形,再画出它们的对称轴(有几条,画几条).点悟:先确定是否是轴对称图形,如果是轴对称图形,就将它们的对称轴全部画出来.解:(1)是,它有3条对称轴.(2)是,它有2条对称轴.(3)是,它有2条对称轴.(4)是,它只有一条对称轴.(5)它不是轴对称图形,故没有对称轴.(6)它是轴对称图形,有一条对称轴.图均略.例4 如图7—18,△ABC 中,AB =AC ,D 在BC 上,且BD =AD ,DC =AC ,将图中的等腰三角形全部写出来,并求出∠B 的度数.点悟:图中共有三个等腰三角形,要将它们一一写出来,不能遗漏.在计算∠B 的度数时,要充分利用三角形的一个外角等于它的两个不相邻的两个内角的和.解:图中共有三个等腰三角形,它们分别是:△ABC ,△ABD ,△CAD .设∠B =x ,则∠C =x =∠BAD ,∠ADC =∠DAC =2x .∴ ∠B +∠C +∠BAC =∠B +∠C +∠BAD +∠DAC=x +x +x +2x =5x =180°∴︒=︒==∠365180x B .例5 如图7—19,在金水河的同一侧居住两个村庄A 、B .要从河边同一点修两条水渠到A 、B 两村浇灌蔬菜,问抽水站应修在金水河MN 何处两条水渠最短?点悟:先将具体问题抽象成数学模型.河流为直线MN ,在直线MN 的同一侧有A 、B 两点.在直线MN 上找一点P ,使P 点到A 、B 两点的距离之和为最小.这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决.解:如图7—19所示.作B 点关于直线MN 的对称点B ′,连结AB ′,与MN 相交于P ,则P 点即为所求.事实上,如果不是P 点而是P '点时,则连结B P 、P A ''和B P ''.由轴对称性知道,B P PB B P B P '=''=',,所以P '到A 、B 的距离之和,B P P A B P P A ''+'='+',而P 到A 、B 的距离之和B A B P AP PB AP '='+=+在'P B A '∆中,三角形两边之和大于第三边,B A B P P A '>''+'所以P 点即为所求的点.例6 如图7—20,已知,AD 为△ABC 的中线,且DE 平分∠BDA 交AB 于E ,DF 平分∠ADC 交AC 于F .求证:BE +CF >EF .点悟:遇到角平分线就可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解决问题.证法一:在DA 上截取DN =DB .连结NE 、NF .则DN =DC .在△BDE 和△NDE 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DE DE NDE BDE ND BD ∴ △BDE ≌△NDE .∴ BE =NE .同理可得,CF =NF .在△EFN 中,EN +FN >EF(三角形两边之和大于第三边).∴ BE +CF >EF .证法二:如图7—21,延长DE 至M ,使DM =ED ,连结CM 、MF .在△BDE 和△CDM 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DM DE CDM BDE CD BD∴ △BDE ≌△CDM(SAS).∴ CM =BE(全等三角形对应边相等)又∵ ∠BDE =∠ADE ,∠ADF =∠CDF ,而∠BDE +∠ADE +∠ADF +∠CDF =180°∴ ∠ADE +∠ADF =90°,即∠EDF =90°.∴ ∠FDM =∠EDF =90°.在△EDF 和△MDF 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DF DF MDF EDF MD ED ∴ △EDF ≌△MDF(SAS)∴ EF =MF(全等三角形对应边相等).在△CMF 中,CF +CM >MF ,∴ BE +CF >EF .点拨:本题综合考查角平分线,中线的意义,三角形全等及线段之间的等量关系,关键是要把题目中的已知条件集中巧妙应用.【易错例题分析】例 已知如图7—22,在四边形ABCD 中,BC >BA ,AD =CD ,BD 平分∠ABC .求证:∠A +∠C =180°.证法一:如图7—22,过D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ,DF ⊥BC 于F .∵ BD 平分∠ABC ,∴ DE =DF在Rt △EAD 和Rt △FCD 中,∵ AD =DC ,DE =DF ,∴ Rt △EAD ≌Rt △FCD(HL)∴ ∠C =∠EAD ,∵ ∠EAD +∠BAD =180°,∴ ∠A +∠C =180°.证法二:如图7—23,在BC 上截BE =AB ,连结DE ,证明△ABD ≌△EBD 可得.证法三:延长BA到E,使BE=BC,连结ED,以下同证法二,如图7—24.警示:本题直接加以证明则不可能,需要巧妙的添加适当的辅助线,不会添加辅助线或添加不适当的辅助线则是最常见的误区.本题是用一个角的平分线上任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等,添加辅助线的方法有多种情况,应该很好感悟尽快掌握.。