计算物理课件 傅立叶变换
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《傅里叶变换经典》PPT课件
F 1[AF BG ] AF 1[F ] BF 1[G ]
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
傅里叶变换的定义与计算ppt课件
解： F f FT rect x
1
2 1
exp
j 2 fx dx
2
1
e jf e jf
j2f
sin f sin c f
f
f x
Ff
1
1
2
2
.
六、广义傅立叶变换
不能用傅立叶变换的定义去确定其傅立叶频谱。 为了解决类似的问题，引入广义傅立叶变换。
一些理想化的函数（cos，step、常数C等）， 它们可以用广义傅立叶变换来讨论。
.
.
.
.
.
.
.
.
教材33页 1.7.5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
欧拉公式:
e e j2n0u x j2n0u x
co2sn0u x
2
e e j2n0 ux j2n0 ux
si2 nn0ux
2j
.
例题： fxrex ct，求它的傅立叶变换 F f ．
gxcos2fxdx j gxsin2fxdx
gr
xcos2f
xdx
gi
xsin2f
xdx
j
gi
xcos2f
xdx
gr
xsin2fxdx
Rf
jI f
.
(1) gx是实函 , 则数 Gf是厄米型函数。 G fG f
(2) gx是实值G 偶 f也 函 是 数 实 ， 值偶 (3) gx是实值G 奇 f也 函 是 数 实 ， 值奇
归纳4种傅里叶变换.ppt
x(t )
X ( jk0 )
---
0
t
Tp
0
0
2
Tp
正
:
X
(
jk0
)
1 Tp
Tp / 2 x(t )e jk0t dt
Tp / 2
反 : x(t )
X ( jk 0 )e jk0t
k
.,
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 连续的 周期的
频域信号 非周期的 离散的
时域：连续、周期（周期为Tp） 频域：非周期、离散（谱线间隔为2π/Tp）
.,
4种傅里叶变换
.,
4种傅里叶变换2.连续傅里叶变换(FT)
非周期连续时间信号 FT 非周期连续频谱
x(t)
正变换：
0
X ( j ) x(t)e jtdt
t
X ( j )
反变换：
0
x(t) 1 X ( j )e jtd
2
.,
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 连续的 非周期的
频域信号 非周期的 连续的
时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0
2
Tp
;
时域的离散间隔为T ,频域的周期为s
2
T
.
.,
4种傅里叶变换
四种傅里叶变换形式的归纳
.,
--t
s
2 T
正 : X (e j )
x(n)e jn
n
反 : x(n) 1 X (e j )e jn d
2
.,
---
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 离散的 非周期的
频域信号 周期的 连续的
时域：非周期、离散（取样间隔为T）
精品课件-数学物理方法傅里叶变换法
定理 ftiFf t iF()
（2）积分定理
F F
t
f
t
dt
1 i
ft
（3）相似性定理
Ff(ax)
1 a
F(
a
)
2
（4）延迟性定理
F fx x0 e i x0 F( )
2
2 ax at
例2 求解无限长细杆的热传导问题
uut|t0a2ux(xx)0(x)
解： 作傅里叶变换，定解问题变为：
U k2a2U 0
U |t0 (k) 此常微分方程的初始问题的解为 U(t,k)(k)ek2a2t
进行傅里叶逆变换可得：
u(x,t)F1[U(t,k)] (k)ek2a2teikdx k
1
[
(
)eikd
]ek2a2teikdx k
2
6
交换积分次序
u (x ,t)1 () [ e k2 a 2 te i( k x )d]d k
2
积分公式： e 2k2ekd k( /a )e2/4 2
u
|t
0
0 0
( (
x x
0) 0)
(x 0) (x 0)
则 ut a2uxx0
u|t020(x)( - x )
u|t020(x)
引用例2结果可得
u(x,t)
20()2a1t
e(x4a2t)2
d
2
2a ik
B(k) 1 (k) 1 1 (k)
2
2a ik
（2）积分定理
F F
t
f
t
dt
1 i
ft
（3）相似性定理
Ff(ax)
1 a
F(
a
)
2
（4）延迟性定理
F fx x0 e i x0 F( )
2
2 ax at
例2 求解无限长细杆的热传导问题
uut|t0a2ux(xx)0(x)
解： 作傅里叶变换，定解问题变为：
U k2a2U 0
U |t0 (k) 此常微分方程的初始问题的解为 U(t,k)(k)ek2a2t
进行傅里叶逆变换可得：
u(x,t)F1[U(t,k)] (k)ek2a2teikdx k
1
[
(
)eikd
]ek2a2teikdx k
2
6
交换积分次序
u (x ,t)1 () [ e k2 a 2 te i( k x )d]d k
2
积分公式： e 2k2ekd k( /a )e2/4 2
u
|t
0
0 0
( (
x x
0) 0)
(x 0) (x 0)
则 ut a2uxx0
u|t020(x)( - x )
u|t020(x)
引用例2结果可得
u(x,t)
20()2a1t
e(x4a2t)2
d
2
2a ik
B(k) 1 (k) 1 1 (k)
2
2a ik
傅里叶变换及反变换PPT课件
即实信号的频谱是共轭对称函数
F( j ) Re[F( j )] j Im[F( j )] F*( j ) Re[F( j )] j Im[F( j )] 或者说，频谱的实部为偶函数，虚部为奇函数； 或者说，|F(j)|为偶函数，()为奇函数。
第14页/共37页
4 共轭特性
f (t) F( j)，则 f * (t) F * ( j)
2
F
(
j
)
e
j
t
d
1
2
F(
j )
d
e
j t
①：非周期信号可以分解成无穷多个 e jt 的连续和；
②：发生在一切频率上，是连续变化的；
③：各频率分量的系数 1 F( j )d ，本身是无穷小量， 但F(jw)描述了各频率分量的2相对关系，即描述了f(t)的频率特性；
④：F(jw) 称为“频谱密度函数”，简称“频谱函数”或“频谱”； F ( j) F ( j) e j() F( j ) ~ 幅度谱； () ~ 相位谱
f (t) 1
F
(
j
)
e
j
t
d
2
第18页/共37页
6 时域展缩特性：
f (t) F( j)，则 f (at) 1 F( j ) , a 是不为零的实数
aa
|a|>1 时域压缩，频域扩展 |a|<1 时域扩展，频域压缩
解： f (at) f (at)e jtdt
1
at
a
1
a
G
(t
)
Sa
2
c
Sact
G2c
( )
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常用的傅里叶变换对
F( j ) Re[F( j )] j Im[F( j )] F*( j ) Re[F( j )] j Im[F( j )] 或者说，频谱的实部为偶函数，虚部为奇函数； 或者说，|F(j)|为偶函数，()为奇函数。
第14页/共37页
4 共轭特性
f (t) F( j)，则 f * (t) F * ( j)
2
F
(
j
)
e
j
t
d
1
2
F(
j )
d
e
j t
①：非周期信号可以分解成无穷多个 e jt 的连续和；
②：发生在一切频率上，是连续变化的；
③：各频率分量的系数 1 F( j )d ，本身是无穷小量， 但F(jw)描述了各频率分量的2相对关系，即描述了f(t)的频率特性；
④：F(jw) 称为“频谱密度函数”，简称“频谱函数”或“频谱”； F ( j) F ( j) e j() F( j ) ~ 幅度谱； () ~ 相位谱
f (t) 1
F
(
j
)
e
j
t
d
2
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6 时域展缩特性：
f (t) F( j)，则 f (at) 1 F( j ) , a 是不为零的实数
aa
|a|>1 时域压缩，频域扩展 |a|<1 时域扩展，频域压缩
解： f (at) f (at)e jtdt
1
at
a
1
a
G
(t
)
Sa
2
c
Sact
G2c
( )
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常用的傅里叶变换对
傅里叶变换专题教育课件
Ω
-
2
３双边奇指数信号
et
f
(t )
e t
旳傅里叶变换为 ：
t 0 t 0
f (t) 1
0
t
F () f (t)e jt dt
-1
0 et e jt dt et e jt dt
0
1
j
2 2 2
| F() |
其幅度频谱和相位频谱为
|
F
()
|
2
2
||
2
() 2
2
0 0
2.在任何有限区间内，只有有限个最大值和最小值。
3.在任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在 每个不连续点上信号都必须取有限值，这时傅里叶 变换收敛于间断点两边函数值旳平均值。
常见非周期信号旳傅里叶变换
１矩形脉冲信号
f(t)
E
E f (t )
0
| t |
2
| t |
2
-
0
t
2
2
E：脉冲幅度，τ：脉冲宽度。其傅里叶变换为
信号可进行傅里叶变换旳条件： 一般来讲，若信号函数满足绝对可积条件，即：
f (t) dt
则信号可进行傅里叶变换。注：此式只是信号函数进行傅里叶变换 旳充分条件。在引入广义函数后，有些不满足此式旳信号函数也能够 进行傅里叶变换。
周期信号旳傅里叶变换：
设有周期性矩形脉冲信号f(t)，
E
f (t )
“非周期信号都能够用正弦信号旳 加权积分来表达”——傅里叶旳第 二个主要论点
§3 傅里叶变换
3.2信号旳傅里叶变换 傅里叶变换有下列积分定义：
： 傅里叶正变换公式
F () F [ f (t )] f (t )e jt dt
数学物理方法第五章傅里叶变换
l
l
l
l kx nx
sin cos dx0
l
l
l
l
1 2 dx 2 l
l
l
sin
2 k x dx
l
l
l
cos
2 k x dx
l
l
2、可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；
a f 1 l
0 2l l
xdx
a f 1l n l l
xconsxdx
l
(n1,2,3, )
b f 1l n l l
( a k cos
kπx l
b k sin
kπx )
l
k 1
2
2l l
说明 1、三角函数族是两两正交的
l kx
cos d x 0
l
l
(k 0),
l kx
sin d x 0
l
l
l kx nx
cos cos d x 0 (k n)
l
l
l
l kx nx
sin sin dx0 (kn),
f (x)
a
x
l
延拓到（- l，l）后再周期延拓，如图做偶延拓：
f (x)
a
l 0 l
x
所以
1l
x
a
a0
l
a(1
0
l
)dx 2
ak2 l0 la(1x l)co k lx sd x 2(2 4 n a 0 1 )2(k (k 2n )2n1 )
如图做奇延拓： f (x)
a
l
0l
x
2l x kx 2a
An 2cn
A n 称为f ( x)的振幅频谱（简称为频谱）.它描述了各次谐波 的振幅随频率变化的分布情况。它清楚地表明了一个非正旋 周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅 的大小）。因此频谱图在工程技术中应用比较广泛.所谓频谱 图，通常是指频率和振幅的关系图。
数学物理方法5傅里叶变换
图像压缩。
图像增强
通过改变图像的频率成分，傅里叶 变换可以帮助增强图像的某些特征， 如边缘和纹理。
图像去噪
傅里叶变换可以帮助识别和去除图 像中的噪声，从而提高图像的质量。
量子力学
波函数分析
在量子力学中，波函数是一个描述粒子状态的函数。傅里叶变换 可以用来分析波函数的性质和行为。
量子纠缠
傅里叶变换在量子纠缠的研究中也有应用，可以帮助我们更好地理 解这种神秘的现象。
时间-频率分析
傅里叶变换将时间域的信号转换 为频率域的信号，通过分析信号 在不同频率下的强度和相位，可 以揭示信号的频率结构和变化规
律。
周期信号分析
对于周期信号，傅里叶变换可以 将其表示为一系列正弦波和余弦 波的叠加，从而方便地分析其频
率成分和振幅。
非周期信号分析
对于非周期信号，傅里叶变换将 其表示为无穷多个不同频率的正 弦波和余弦波的叠加，可以揭示
振动系统分析
在振动系统的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的振动信号转换为角频率域的信号， 从而方便地计算系统的固有频率、阻尼比等参数。
热传导分析
在热传导现象的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的温度分布转换为角频率域的温度 分布，从而方便地分析热传导的频率特性和变化规律。
05结果 具有共轭对称性，即F(-ω)=F*(ω)。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中 应用广泛，如频谱分析、 滤波、调制解调等。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中 用于图像的频域分析，如 图像增强、去噪、特征提 取等。
数值分析
傅里叶变换在数值分析中 用于求解偏微分方程、积 分方程等数学问题。
图像增强
通过改变图像的频率成分，傅里叶 变换可以帮助增强图像的某些特征， 如边缘和纹理。
图像去噪
傅里叶变换可以帮助识别和去除图 像中的噪声，从而提高图像的质量。
量子力学
波函数分析
在量子力学中，波函数是一个描述粒子状态的函数。傅里叶变换 可以用来分析波函数的性质和行为。
量子纠缠
傅里叶变换在量子纠缠的研究中也有应用，可以帮助我们更好地理 解这种神秘的现象。
时间-频率分析
傅里叶变换将时间域的信号转换 为频率域的信号，通过分析信号 在不同频率下的强度和相位，可 以揭示信号的频率结构和变化规
律。
周期信号分析
对于周期信号，傅里叶变换可以 将其表示为一系列正弦波和余弦 波的叠加，从而方便地分析其频
率成分和振幅。
非周期信号分析
对于非周期信号，傅里叶变换将 其表示为无穷多个不同频率的正 弦波和余弦波的叠加，可以揭示
振动系统分析
在振动系统的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的振动信号转换为角频率域的信号， 从而方便地计算系统的固有频率、阻尼比等参数。
热传导分析
在热传导现象的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的温度分布转换为角频率域的温度 分布，从而方便地分析热传导的频率特性和变化规律。
05结果 具有共轭对称性，即F(-ω)=F*(ω)。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中 应用广泛，如频谱分析、 滤波、调制解调等。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中 用于图像的频域分析，如 图像增强、去噪、特征提 取等。
数值分析
傅里叶变换在数值分析中 用于求解偏微分方程、积 分方程等数学问题。
傅里叶变换及其性质课件
若 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(omega)$，则 $f(at)（a>0）$ 的傅里叶变换为 $aF(frac{omega}{a})$。
应用
频移性质在信号调制和解调中非常有 用，例如在通信系统中的振荡器设计 和频率调制。
共轭性质
共轭性质
若 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(omega)$，则 $f(-t)$ 的傅里叶 变换为 $overline{F(-omega)}$。
05
傅里叶变换的扩展
离散傅里叶变换
定义
离散傅里叶变换（DFT）是一种将离散时间信号转换为频域表示的方法。它将一个有限长 度的离散时间信号序列通过数学运算转换为复数序列，表示信号的频域特征。
性质
离散傅里叶变换具有线性、时移性、频移性、共轭对称性和周期性等性质。这些性质使得 离散傅里叶变换在信号处理、图像处理、数字通信等领域得到广泛应用。
度和相位信息。
02 03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用，如滤波、去噪、压缩等。通 过对信号进行傅里叶变换，可以提取出信号中的特征信息，实现信号的 分类、识别和分类。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有着重要的应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。通过对图像进行傅里叶变换，可以提取出图像中的特征信 息，实现图像的分类、识别和分类。
傅里叶变换的分类
离散傅里叶变换（DFT）
对时间域或空间域的信号进行离散采样，然后对离散的采样值进行傅里叶变换 。DFT广泛应用于数字信号处理和图像处理等领域。
快速傅里叶变换（FFT）
一种高效计算DFT的算法，能够在 $O(Nlog N)$ 的时间内计算出 $N$ 个采样 值的 DFT，大大提高了计算效率。FFT广泛应用于信号处理、图像处理等领域 。
应用
频移性质在信号调制和解调中非常有 用，例如在通信系统中的振荡器设计 和频率调制。
共轭性质
共轭性质
若 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(omega)$，则 $f(-t)$ 的傅里叶 变换为 $overline{F(-omega)}$。
05
傅里叶变换的扩展
离散傅里叶变换
定义
离散傅里叶变换（DFT）是一种将离散时间信号转换为频域表示的方法。它将一个有限长 度的离散时间信号序列通过数学运算转换为复数序列，表示信号的频域特征。
性质
离散傅里叶变换具有线性、时移性、频移性、共轭对称性和周期性等性质。这些性质使得 离散傅里叶变换在信号处理、图像处理、数字通信等领域得到广泛应用。
度和相位信息。
02 03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用，如滤波、去噪、压缩等。通 过对信号进行傅里叶变换，可以提取出信号中的特征信息，实现信号的 分类、识别和分类。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有着重要的应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。通过对图像进行傅里叶变换，可以提取出图像中的特征信 息，实现图像的分类、识别和分类。
傅里叶变换的分类
离散傅里叶变换（DFT）
对时间域或空间域的信号进行离散采样，然后对离散的采样值进行傅里叶变换 。DFT广泛应用于数字信号处理和图像处理等领域。
快速傅里叶变换（FFT）
一种高效计算DFT的算法，能够在 $O(Nlog N)$ 的时间内计算出 $N$ 个采样 值的 DFT，大大提高了计算效率。FFT广泛应用于信号处理、图像处理等领域 。
《傅里叶变换》课件
特点
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
3章-经典傅里叶变换讲解ppt课件
n=1
n>1
直流分量 基波分量 n次谐波分量
整理ppt
7
式中，n
arctan
bn an
cn
an2bn2
Opposite Hypotenuse
为n次谐波初始相位。 为n次谐波振幅。
！ 并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开！
f ( t ) 可展开为傅里叶级数的条件：
（1）f ( t 绝) 对可积，即：t2 f (t) dt t1
f(t)a0 (ancosn1tbnsinn1t) n1
称为傅里叶级数
系
an
t2 t1
f(t)cos(n1t)dt
t1 t2cos2(n1t)dt
2 t21 t1
t2t1
t2 t1
f(t)cos(n1t)dt,
t2 f(t)dt, n0
t1
n0
数
bn
t2 t1
f(t)sin(n1t)dt
t1 t2sin2(n1t)dt
2 t2t1
t2 t1
f(t)sin(n1t)dt
整理ppt
6
或 f(t)a 2 0n 1(a nc o sn1 t b nsinn1 t)
傅里叶级数的 三角展开式
2
ant2t1
t2 t1
f(t)cos(n1t)dt
同上式
另一种形式
f(t)a 20n 1cncos(n1tn) t
nn002T
Sa(n1)
2
整理ppt
21
（2）双边频谱：
1
FnT
/2ejn1tdt1ejn1t /2 2sinn21
/2
Tjn1/2 T n1
b b24ac 2a
傅里叶变换详解(课堂PPT)
的拉氏逆变换．
5
7.1 傅里叶级数
本节简明扼要地复习高等数学中的傅里叶级数基本内容
7.1.1 周期函数的傅里叶展开
定义7.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数
若函数 f ( x )以 2 l 为周期，即为
f(x2l)f(x)
6
的光滑或分段光滑函数，且定义域为 [ l , l ] ，则可取三角
另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时， 就得到不同名称的积分变换:
3
（1）特别当核函数 K(t, )ei（t 注意已将积分参
变量 改写为变量 ），当 a,b，则
F() f(t)eitdt
称函数F ( ) 为函数 f ( t ) 的傅里叶（Fourier）变换，
简称 F ( ) 为函数 f ( t ) f 的傅氏变换．同时我们称 ( t ) 为 F ( ) 的傅里叶逆变换．
7
式（7.1.3）称为周期函数 f ( x ) 的傅里叶级数展开式
（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简 称傅氏系数）．
函数族 (7.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘 积在一个周期上的积分等于零，即
8
l 1cos kπx d x 0
l
l
l 1 sin kπx d x 0
l
l
bk
1 l
l l
f (x)sin(kπx)d x l
（7.1.4）
其中
k
2 1
(k 0) (k 0)
关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：
狄利克雷（Dirichlet）定理 7.1.1 若函数 f ( x ) 满足条件：
10
(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；
5
7.1 傅里叶级数
本节简明扼要地复习高等数学中的傅里叶级数基本内容
7.1.1 周期函数的傅里叶展开
定义7.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数
若函数 f ( x )以 2 l 为周期，即为
f(x2l)f(x)
6
的光滑或分段光滑函数，且定义域为 [ l , l ] ，则可取三角
另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时， 就得到不同名称的积分变换:
3
（1）特别当核函数 K(t, )ei（t 注意已将积分参
变量 改写为变量 ），当 a,b，则
F() f(t)eitdt
称函数F ( ) 为函数 f ( t ) 的傅里叶（Fourier）变换，
简称 F ( ) 为函数 f ( t ) f 的傅氏变换．同时我们称 ( t ) 为 F ( ) 的傅里叶逆变换．
7
式（7.1.3）称为周期函数 f ( x ) 的傅里叶级数展开式
（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简 称傅氏系数）．
函数族 (7.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘 积在一个周期上的积分等于零，即
8
l 1cos kπx d x 0
l
l
l 1 sin kπx d x 0
l
l
bk
1 l
l l
f (x)sin(kπx)d x l
（7.1.4）
其中
k
2 1
(k 0) (k 0)
关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：
狄利克雷（Dirichlet）定理 7.1.1 若函数 f ( x ) 满足条件：
10
(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；
《傅里叶变换详解》课件
单击添加标题
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
单击添加标题
应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
单击添加标题
展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
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应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
单击添加标题
展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
第三章傅里叶变换90页PPT
• 例题：已知信号f(t)=cos100t,求其频谱Fn。
Fn
0.5
解：
f(t)1(ej10t0ej10t0)
所以
2 F1
F1
1 2
,
其F余 n0， n1
-w1
w1
nw1
• 例题：已知信号f(t)的频谱Fn如图所示，求信号f(t)。
解： F 0 2 ,F 1 F 1 2 ,F 2 F 2 1
三角形式的傅里叶级数也可表示成：
f(t)c0 cncos(n1tn)
其中 c n 2 a n 2 b n 2
n1n a rc ta n ( a b n n)
（2）
c 0 a 0
an为 n 1 的偶函数， b n 为 n 1 的奇函数
cn为 n 1 的偶函数， n为 n 1 的奇函数
例题 求题图所示的周期矩形信号的三角形式傅里叶级数。
其中
aan0 n 1T21T11tt00tt0T 01Tf1(tf)c(t)odnst1tdt•角级f(函数t)分数。解线为性不组同合频的率无三穷
推导
2
bn
T1
t0T1 t0
f(t)s
in1tdt
基波，二次谐波….n次谐波
傅里叶级数表明信号中各次谐波的分布。
f(t)a0 (anco ns1tbnsinn 1t) n1
（2）谐波性 -------- 谱线出现在基波频率 1 的整数倍上。
（1）
n 1
f(t)c0 cncon s1(tn)
（2）
n1
f (t)
Fnejn1t
n
f(t) →Fn建立一一对应关系。
（3）
不同时域信号对应的Fn不同，因此可以通过研究Fn来研究 信号的特性。Fn是频率的函数，它反映了组成信号的各次谐波的幅 度和相位变化规律称为频谱函数。可直观地看出各频率分量的相对 大小和相位情况，这样的图就称为信号的幅度频谱和相位频谱。
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f ( x) = ∫ F3 (ω )ei2πω x dω
−∞ +∞
3.第三种定义式 第三种定义式
F3 (ω ) = ∫
+∞
−∞
f (t )e
− i2πω x
dx,
三者之间的关系为
1 1 ω F1 (ω ) = F2 (ω ) = F3 ( ) 2π 2π 2π
傅立叶变换简介
三种定义可统一用下述变换对形式描述
1 ∞ F(ω) = f1(x)e−iωxdx 2π ∫−∞ F(ω) = F[ f (x)]
傅立叶变换简介
2.平移性（延迟） 平移性（延迟） 平移性
F[ f (x − x0 )] = e−iωx0 F(ω)
证明： 证明：
1 ∞ F[ f (x − x0 )] = f (x − x0 )e−iωxdx ∫−∞ 2π 作 换 y = x − x0 , 则 代 F[ f (x − x0 )] = =e
1 +∞ F (ω) = f (x)e−iωxdx, 1 ∫−∞ 2π
1 +∞ f (x) = F (ω)eiωxdω ∫−∞ 1 2π
傅立叶变换简介
2.第二种定义式 第二种定义式
F2 (ω ) = ∫
+∞
−∞
f ( x )e
− iω x
dx,
1 +∞ iω x f ( x) = ∫−∞ F2 (ω )e dω 2π
−iωx0
1 2π
∫
∞Байду номын сангаас
−∞
f ( y)e−iω( y+x0 )dy
1 2π
∫
∞
−∞
f ( y)e−iωydy
= e−iωx0 F(ω)
傅立叶变换简介
3.相似性（扩展） 相似性（扩展） 相似性
1 ω F[ f (ax)] = F( ) a a
证明： 证明：
∞ 1 F[ f (ax)] = f (ax)e−iωxdx − 2π ∫ ∞ 作 换 y = ax , 则 代
傅立叶变换简介
傅里叶变换的三种定义式
在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式， 在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式，由于 它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果， 它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果，为了便于相互 转换，特给出如下关系式： 转换，特给出如下关系式： 1.第一种定义式 第一种定义式
F[ f (ax)] =
1 2π
∫
∞
−∞
f ( y)e
−i
ω
a
y
1 dy a
−i y ∞ 1 1 = f ( y)e a dy − a 2π ∫ ∞ 1 ω = F( ) a a
F (ω ) = F [ f ( x)] f ( x) = F −1[ F (ω )]
傅立叶变换简介
傅立叶变换的性质（假定 （ ）的积分存在） 傅立叶变换的性质（假定f（x）的积分存在） 1. 线性
若 [ f1(x)] = F (ω) , F[ f2 (x)] = F2 (ω) F 1
傅立叶变换简介 傅立叶的两个最主要的贡献—— 傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为谐波关系的正弦信 周期信号都可表示为谐波关系的正弦信 号的加权和” 号的加权和”——傅里叶的第一个主要 傅里叶的第一个主要 论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积 分表示” 分表示” ——傅里叶的第二个主要论点 傅里叶的第二个主要论点
F (ω ) = F [ f ( x)] −1 f ( x) = F [ F (ω )]
特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义， 特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义， 所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数比如
1 1 , 2π 2π
傅立叶变换简介
1 +∞ F (ω) = f (x)e−iωxdx, 1 ∫−∞ 2π 1 +∞ f (x) = F (ω)eiωxdω ∫−∞ 1 2π
在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为 较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的． 较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的．例如 在初等数学中， 在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较 简单的加法和减法运算． 简单的加法和减法运算．在工程数学里积分变换能够将分 析运算（如微分、积分）转化为代数运算， 析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换 的这一特性，使得它在微分方程、 的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成 为重要的方法之一．积分变换的理论方法不仅在数学的诸 为重要的方法之一．积分变换的理论方法不仅在数学的诸 多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中， 多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中， 例如物理学、力学、现代光学、 例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理 等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用． 等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用．
傅立叶变换简介
傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系． 傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系．频谱这 个术语来自于光学.通过对频谱的分析， 个术语来自于光学 通过对频谱的分析，可以了解周期函 通过对频谱的分析 数和非周期函数的一些基本性质. 数和非周期函数的一些基本性质 傅立叶变换在物理学中 的很多问题中占有很重要的地位， 的很多问题中占有很重要的地位，这包括实验的数据处理 与理论问题的计算。 与理论问题的计算。 理论问题： 理论问题：量子力学中波函数在坐标空间和动量空间 的表示就对应着一对傅立叶变换。 的表示就对应着一对傅立叶变换。 实验数据处理： 实验数据处理：
则 [c1 f1(x) + c2 f2 (x)] = c1F (ω) + c2F2 (ω) F 1
证明： 证明：
c1, c2为 数 常
1 F[c1 f1(x) + c2 f2 (x)] = 2π = c1F (ω) + c2F2 (ω) 1
∫
∞
−∞
[c1 f1(x) + c2 f2 (x)]e−iωxdx
计算物理导论
傅立叶变换
傅立叶变换
傅立叶变换简介 离散傅立叶变换 快速傅立叶变换 高维傅立叶变换
傅立叶变换简介
傅里叶生平
1768年生于法国 年生于法国 1807年提出“任何周期 年提出“ 年提出 信号都可用正弦函数级数 表示” 表示” 1829年狄里赫利第一个 年狄里赫利第一个 给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热 年首次发表在“ 年首次发表在 的分析理论” 的分析理论”一书中
−∞ +∞
3.第三种定义式 第三种定义式
F3 (ω ) = ∫
+∞
−∞
f (t )e
− i2πω x
dx,
三者之间的关系为
1 1 ω F1 (ω ) = F2 (ω ) = F3 ( ) 2π 2π 2π
傅立叶变换简介
三种定义可统一用下述变换对形式描述
1 ∞ F(ω) = f1(x)e−iωxdx 2π ∫−∞ F(ω) = F[ f (x)]
傅立叶变换简介
2.平移性（延迟） 平移性（延迟） 平移性
F[ f (x − x0 )] = e−iωx0 F(ω)
证明： 证明：
1 ∞ F[ f (x − x0 )] = f (x − x0 )e−iωxdx ∫−∞ 2π 作 换 y = x − x0 , 则 代 F[ f (x − x0 )] = =e
1 +∞ F (ω) = f (x)e−iωxdx, 1 ∫−∞ 2π
1 +∞ f (x) = F (ω)eiωxdω ∫−∞ 1 2π
傅立叶变换简介
2.第二种定义式 第二种定义式
F2 (ω ) = ∫
+∞
−∞
f ( x )e
− iω x
dx,
1 +∞ iω x f ( x) = ∫−∞ F2 (ω )e dω 2π
−iωx0
1 2π
∫
∞Байду номын сангаас
−∞
f ( y)e−iω( y+x0 )dy
1 2π
∫
∞
−∞
f ( y)e−iωydy
= e−iωx0 F(ω)
傅立叶变换简介
3.相似性（扩展） 相似性（扩展） 相似性
1 ω F[ f (ax)] = F( ) a a
证明： 证明：
∞ 1 F[ f (ax)] = f (ax)e−iωxdx − 2π ∫ ∞ 作 换 y = ax , 则 代
傅立叶变换简介
傅里叶变换的三种定义式
在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式， 在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式，由于 它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果， 它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果，为了便于相互 转换，特给出如下关系式： 转换，特给出如下关系式： 1.第一种定义式 第一种定义式
F[ f (ax)] =
1 2π
∫
∞
−∞
f ( y)e
−i
ω
a
y
1 dy a
−i y ∞ 1 1 = f ( y)e a dy − a 2π ∫ ∞ 1 ω = F( ) a a
F (ω ) = F [ f ( x)] f ( x) = F −1[ F (ω )]
傅立叶变换简介
傅立叶变换的性质（假定 （ ）的积分存在） 傅立叶变换的性质（假定f（x）的积分存在） 1. 线性
若 [ f1(x)] = F (ω) , F[ f2 (x)] = F2 (ω) F 1
傅立叶变换简介 傅立叶的两个最主要的贡献—— 傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为谐波关系的正弦信 周期信号都可表示为谐波关系的正弦信 号的加权和” 号的加权和”——傅里叶的第一个主要 傅里叶的第一个主要 论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积 分表示” 分表示” ——傅里叶的第二个主要论点 傅里叶的第二个主要论点
F (ω ) = F [ f ( x)] −1 f ( x) = F [ F (ω )]
特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义， 特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义， 所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数比如
1 1 , 2π 2π
傅立叶变换简介
1 +∞ F (ω) = f (x)e−iωxdx, 1 ∫−∞ 2π 1 +∞ f (x) = F (ω)eiωxdω ∫−∞ 1 2π
在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为 较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的． 较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的．例如 在初等数学中， 在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较 简单的加法和减法运算． 简单的加法和减法运算．在工程数学里积分变换能够将分 析运算（如微分、积分）转化为代数运算， 析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换 的这一特性，使得它在微分方程、 的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成 为重要的方法之一．积分变换的理论方法不仅在数学的诸 为重要的方法之一．积分变换的理论方法不仅在数学的诸 多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中， 多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中， 例如物理学、力学、现代光学、 例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理 等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用． 等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用．
傅立叶变换简介
傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系． 傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系．频谱这 个术语来自于光学.通过对频谱的分析， 个术语来自于光学 通过对频谱的分析，可以了解周期函 通过对频谱的分析 数和非周期函数的一些基本性质. 数和非周期函数的一些基本性质 傅立叶变换在物理学中 的很多问题中占有很重要的地位， 的很多问题中占有很重要的地位，这包括实验的数据处理 与理论问题的计算。 与理论问题的计算。 理论问题： 理论问题：量子力学中波函数在坐标空间和动量空间 的表示就对应着一对傅立叶变换。 的表示就对应着一对傅立叶变换。 实验数据处理： 实验数据处理：
则 [c1 f1(x) + c2 f2 (x)] = c1F (ω) + c2F2 (ω) F 1
证明： 证明：
c1, c2为 数 常
1 F[c1 f1(x) + c2 f2 (x)] = 2π = c1F (ω) + c2F2 (ω) 1
∫
∞
−∞
[c1 f1(x) + c2 f2 (x)]e−iωxdx
计算物理导论
傅立叶变换
傅立叶变换
傅立叶变换简介 离散傅立叶变换 快速傅立叶变换 高维傅立叶变换
傅立叶变换简介
傅里叶生平
1768年生于法国 年生于法国 1807年提出“任何周期 年提出“ 年提出 信号都可用正弦函数级数 表示” 表示” 1829年狄里赫利第一个 年狄里赫利第一个 给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热 年首次发表在“ 年首次发表在 的分析理论” 的分析理论”一书中