(完整版)平面向量应用举例练习题含答案

平面向量应用举例练习题

一、选择题

1．一物体受到相互垂直的两个力f 1、f 2的作用，两力大小都为53N ，则两个力的合力的大小为( )

A ．103N

B ．0N

C ．56N D.56

2N

2．河水的流速为2m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )

A ．10m/s

B ．226m/s

C ．46m/s

D ．12m/s

3．(2010·山东日照一中)已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2

的值为( )

A.2

3

B ．－23 C.56

D ．－56

4．已知一物体在共点力F 1＝(lg2，lg2)，F 2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移S ＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )

A ．lg2

B ．lg5

C ．1

D ．2

5．在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与

△ABC 的面积之比是( )

A.1

3 B.12

C.2

3

D.3

4

6．点P 在平面上作匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为(速度单位：m/s ，长度单位：m)( )

A ．(－2,4)

B ．(－30,25)

C ．(10，－5)

D ．(5，－10)

7．已知向量a ，e 满足：a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则( )

A ．a ⊥e

B ．a ⊥(a －e )

C ．e ⊥(a －e )

D ．(a ＋e )⊥(a －e )

8．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →⊥OB →，点C 在∠AOB 内，∠AOC ＝30°，设OC

→

＝mOA

→＋nOB →，则m n

＝( ) A.1

3

B ．3

C ．3 3

D.332

二、填空题

9．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．

10．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，且|AB |＝23，则OA →·OB

→＝________.

三、解答题

11．已知△ABC 是直角三角形，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .

求证：AD ⊥CE .

12．△ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，垂足为E ，延长BE 交AC 于F ，连结DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC .

13．(2010·江苏，15)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)

(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC

→＝0，求t 的值．

14．一条宽为3km 的河，水流速度为2km/h ，在河两岸有两个码头A 、B ，已知AB ＝3km ，船在水中最大航速为4km/h ，问该船从A 码头到B 码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B 码头？用时多少？

15．在▱ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝1

3BD ，求证：M ，N ，C 三点共线．

16．如图所示，正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量方法证明P A ＝EF .

17．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AC，E是垂足，F是DE的中点，求证AF⊥BE.

平面向量应用举例参考答案

1．[答案] C

[解析]根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为2×53＝56(N)．

2. [答案] B

[解析]设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1.∴v2＝v－v1，v·v1＝0，

∴|v2|＝v2－2v·v1＋v21＝100－0＋4＝104＝226.

3．[答案] B

[解析]因为|a|＝2，|b|＝3，又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×3×cos〈a，b〉＝－6，可得cos〈a，b〉＝－1.即a，b为共线向量且反向，又|a|＝2，|b|＝3，所以

有3(x1，y1)＝－2(x2，y2)⇒x1＝－2

3x2，y1＝－2

3y2，所以

x1＋y1

x2＋y2

＝

－2

3(x2＋y2)

x2＋y2

＝－2

3

，

从而选B.

4．[答案] D

[解析]W＝(F1＋F2)·S＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2，故选D.

5．[答案] C

[解析]由P A→＋PB→＋PC→＝AB→，得P A→＋PB→＋BA→＋PC→＝0，即PC→＝2AP→，所以点

P是CA边上的三等分点，如图所示．故S△PBC

S△ABC

＝PC

AC

＝2

3.

6．[答案] C

[解析]5秒后点P的坐标为：(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．

7[答案]C[解析]由条件可知|a－t e|2≥|a－e|2对t∈R恒成立，又∵|e|＝1，