《完全平方公式》典型例题

(1) (1)

《完全平方公式》典型例题利用完全平方公式计算:

2

(2 3X) ; (2) (2ab 4a)2 ; (3)

(1am2b)2

.

计算:

(3a 1)2 ; (2) ( 2x

用完全平方公式计算:

(3y |X)2 ; (2)

3

运用乘法公式计算:

(X a)(x (X 1)2(x

计算：(2x 3)2a)(X2

八2 / 2

1) (X

1 2

4X；

3y)2；

(3)

(a b)2 ;

a2); (2)

1)2

.

(2) (2a b

利用完全平方公式进行计算:

已知a b 3,ab

a2 b2; (2) a2

若 3( a2b2c2)

(3x y)2.

(3) (3a

(a b c)(a b

(1) 2012 ; (2)

12，求下列各式的值.

2 2 ab b2; (3) (a

b)2 .

(a b c)2，求证：a b

2

4b 5c)2.

c)

；

⑶(X y)2 (X y)2•

992 ; (3) (30-)2

3

参考答案

这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进

2 2 2

22 2 2 3x (3x)2

4 12x 9x 2 ;

1 （3） （-am

说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该 公式；（2）在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现 (2 3x)2

4 12x 3x 2

的错误.

例2分析：（2）题可看成［（2x ） 3y ］2

，也可看成（3y 2x ）2

；（ 3）题可看

成［（3x y ）］2

，也可以看成［（3x ） y ］2

，变形后都符合完全平方公式.

解：(1) (3a 1)

(3a) 2 3a 1 1 9 a 2 6a 1

(2)原式(2x)2 2 ( 2x) 3y (3y)2

2 2

4x 12xy 9y

或原式(3y 2x)2

2 2

9y 12xy 4x

(3)原式[(3x

y)]2

(3x y)2 (3x)2

2 3x

2 2

或原式(3x)2 2 ( 3x) y

(2) (2ab 4a)2 (2ab)2 2 2ab 4a (4a)2 4a 2b 2 16a 2b 16a 2

;

例1分析:

行计算. 解：（

1）（2 3x)2

卜荷

2amb

4b 2.

2b)2

(3y)2 2 3y 2x (2x)2

9x 6xy y

9x 2 6xy y 2

说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用.

2

例3分析：第(1)小题，直接运用完全平方公式 -x 为公式中a , 3y 为公

3

式中b ,利用差的平方计算；第(2)小题应把(a b)2化为(a b)2再利用和的 平方计算；第(3)小题，可把任意两项看作公式中a ,如把(3a 4b)作为公式中 的a ，5c 作为公式中的b ,再两次运用完全平方公式计算.

解：(1) (3y

2 \2 (I x 3y)2 4 x 2 4xy 9y 2

(2) (a

b)2 =(a b)2

2 2

a 2a

b b

(3) (3a 4b 5c)2 (3a 4b)2 10c(3a 4b) 25c 2

2 2 2

=9a 30ac 40bc 2 5c

16b 2 4ab

2 2 2

(a b) a b .

例4 分析：第(1)小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完

全平方式计算.第(2)小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项 a c , 和互为

相反数的项b ,所以先利用平方差公式计算［(a c) b ］与［(a c) b ］的积, 再利用完全平方公式计算

(a c)2;第三小题先需要利用幕的性质把原式化为

［(x 10(x 1)(x 2

1)］2

，再利用乘法公式计算.

说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幕的性质,

说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误:

2 2 2

(a b) a b ,

解：(1)原式=(x 2

2

、i 2

2 \ I 2

a )(x a ) (x a 2)2 x 4 2a 2x 2 a 4

(2)原式=[(a

c) b][(a c) b]

2 2

(a c) b

2

=a

_ 2 , 2

2 ac c b

(3)原式=[(x

2 2

1)(x 1)(x

2 2 2

[(x 1)( x 1)] = (x 4

1)2

x 8

2x 4

1