无穷级数总结
无穷级数知识点总结考研
无穷级数知识点总结考研一、无穷级数的概念无穷级数是由无穷多个数的和组成，通常用符号∑表示。
其一般形式为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...... + a_n + ......其中a_n是一个数列，称为级数的通项。
无穷级数是由级数的部分和组成的序列，即S_n = a_1 + a_2 + ...... + a_n，所以求无穷级数的和，就是求该序列的极限，即lim(S_n)。
在实际运用中，我们通常是通过研究级数的部分和的性质，来求级数的和或证明级数的敛散性。
二、无穷级数的敛散性1. 收敛与发散的定义级数的和S = ∑a_n，如果级数的部分和S_n = a_1 + a_2 + ...... + a_n存在极限L，即lim(S_n) = L，那么称级数收敛，其和为L，记作∑a_n = L。
如果级数的部分和S_n的极限不存在，或者极限为无穷大，即lim(S_n) = ±∞，那么称级数发散。
2. 收敛级数的判定（1）正项级数收敛判定对于正项级数∑a_n，即a_n≥0，根据级数的部分和单调递增有界的结论，若存在常数M，使得对一切n始终成立S_n ≤ M，那么级数收敛；如果对于任意的M > 0，总存在n_0，使得对一切n > n_0有S_n > M，那么级数发散。
（2）比较判别法若对于所有的n，总有0 ≤ a_n ≤ b_n，且∑b_n收敛，那么∑a_n也收敛；若对于所有的n，总有a_n ≥ b_n ≥ 0，且∑b_n发散，那么∑a_n也发散；若∑b_n发散，且对于足够大的n，总有a_n＞b_n，则∑a_n发散。
（3）比值判别法若存在常数0 < q < 1及整数n_0，使得当n > n_0时，有a_n_+1/a_n ≤ q，那么级数收敛；若a_n_+1/a_n≥1，那么级数发散；若a_n_+1/a_n不满足以上两个条件，那么比值判别法无法判断级数的敛散性。
无穷级数总结范文
无穷级数总结范文无穷级数是数列求和的一种方式，在数学中有重要的地位和应用。
无穷级数的概念最早由数学家Gottfried Leibniz引入，之后被广泛研究和应用。
在本文中，我们将总结无穷级数的基本概念、性质和常见的应用领域，以便读者更好地理解和应用无穷级数。
一、无穷级数的基本概念无穷级数是指由无穷多个数相加得到的和。
一般地，一个无穷级数可以写成以下形式：S=a1+a2+a3+...其中，a1、a2、a3等为数列的各项。
我们可以通过求无穷级数的部分和来研究其性质。
对于一个无穷级数，其第n个部分和Sn定义为：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an二、无穷级数的收敛和发散无穷级数可能收敛（即有限）也可能发散（即无限）。
为了研究无穷级数的收敛性，我们引入了极限的概念。
当部分和的数列{Sn}存在有限极限s时，即lim(n->∞)Sn = s，我们称该无穷级数收敛，并且其和为s。
我们用∑表示无穷级数。
如果部分和的数列{Sn}不存在有限极限，即lim(n->∞)Sn不存在，或者lim(n->∞)，Sn， = ∞，我们称该无穷级数发散。
无穷级数的收敛性与其各项的大小和取值有关，我们将在下一章节中讨论。
三、无穷级数的性质1.部分和的性质：对于一个无穷级数，其部分和的性质对于判断其收敛性起到重要的作用。
如果一个无穷级数的部分和数列收敛，则该无穷级数收敛；如果一个无穷级数的部分和数列发散，则该无穷级数发散。
2.数项级数的性质：对于一个收敛的无穷级数，其数项级数的性质也是重要的。
数项级数是指将无穷级数中的各项重新排列后所得到的级数。
对于一个收敛的无穷级数，其数项级数的和与原级数的和相同。
3.加法运算：如果两个无穷级数都收敛，则它们的和也收敛，并且和的值等于各级数的和的和。
4.数乘运算：如果一个无穷级数收敛，则对该级数的每一项乘以同一个常数后所得到的级数也收敛，并且和的值等于常数与原级数的和的乘积。
高等数学无穷级数知识点总结
高等数学无穷级数知识点总结
无穷级数是高等数学中的一个重要内容，它涉及到很多重要的概念和定理。
以下是一些高等数学无穷级数的知识点总结:
1. 无穷级数的基本概念：无穷级数是指一个数列的项按一定规律相加而成的数列。
其中，无穷级数的定义域可以是实数集或复数集。
2. 无穷级数的分类：无穷级数可以分为数项级数和函数项级数两大类。
数项级数是指以常数项级数的形式表示的无穷级数，而函数项级数则是以函数项的形式表示的无穷级数。
3. 无穷级数的敛散性：无穷级数的敛散性是指级数是否收敛或发散。
如果一个无穷级数收敛，则称其为收敛级数，反之则称为发散级数。
4. 无穷级数的判别法：无穷级数的判别法是指判断一个无穷级数是否收敛的方法。
常用的判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和莱布尼兹判别法等。
5. 无穷级数的和应用：无穷级数在数学中有着广泛的应用，例如求和、积分、微积分等。
在实际应用中，无穷级数往往被用来求解各种问题。
6. 无穷级数的和函数：无穷级数的和函数是指级数的每一项相加得到的总和。
无穷级数的和函数具有很多重要的性质，例如连续性、可导性等。
7. 无穷级数的广义性质：无穷级数的广义性质是指关于无穷级数的一些扩展概念和定理。
例如，无穷级数的前 n 项和的广义性质、
无穷级数的广义收敛性等。
以上是高等数学无穷级数的一些重要知识点总结。
希望能对读者有所帮助。
高数课件28无穷级数
任意项级数审敛法总结
绝对收敛判别法
对于任意项级数，首先尝试判断其是否绝对收敛。若绝对收敛，则原级数一定收敛。
交错级数审敛法
对于交错级数，可以利用交错级数审敛法进行判断。若满足条件，则交错级数收敛。
其他审敛法
除了绝对收敛和交错级数审敛法外，还有其他一些审敛法可用于判断任意项级数的敛散性 ，如比较审敛法、比值审敛法等。在实际应用中，可以根据级数的具体形式选择合适的审 敛法进行判断。
泰勒级数是用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。
原理介绍
泰勒级数的基本思想是将复杂的函数用多项式来逼近，通过逐次求导并代入展开点的值，得到各阶导 数在该点的值，进而构造出相应的多项式。
常见函数泰勒展开式举例
要点一
常见函数泰勒展开式
如$e^x$、$sin x$、$cos x$、$ln(1+x)$等函数的泰勒展 开式。
电力系统
在电力系统中，傅里叶级数被用于 分析周期性电气信号的谐波成分， 为电力系统的稳定运行提供支持。
傅里叶变换与离散时间信号处理关系
傅里叶变换与傅里叶级数关系
傅里叶变换是傅里叶级数的推广，可以将非周期函数表 示为连续频谱的形式。
离散时间信号处理中的傅里叶变 换
在离散时间信号处理中，傅里叶变换被广泛应用于频域分 析和滤波器设计等方面，为数字信号处理提供了重要工具。 同时，离散傅里叶变换（DFT）及其快速算法（FFT）也在 实际应用中发挥着重要作用。
判断原级数的收敛性。
适用范围
02
适用于通项可以表示为某个函数的级数，且该函数在相应区间
内单调、可积。
应用举例
03
如对于形如$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^p}$的$p$级数，可
无穷级数与绝对收敛
无穷级数与绝对收敛无穷级数是数学中一个重要的概念，它在许多领域中有着广泛的应用。
本文将讨论无穷级数的概念以及它与绝对收敛的关系。
一、无穷级数的定义在数列中，我们可以将一系列的数按照一定的规律排列起来形成一个无穷序列，例如：a₀，a₁，a₂，a₃，……，aₙ，……而无穷级数则是将这些无穷序列的项按照一定的顺序求和得到的结果，即：S = a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + ……其中，S表示无穷级数的和。
二、绝对收敛的定义当一个无穷级数的所有项都是正数时，如果这个级数的部分和数列是有上界的，即存在一个常数M，使得对于所有的正整数n，我们有：a₁ + a₂ + a₃ + …… + aₙ ≤ M那么我们称该无穷级数是绝对收敛的。
三、绝对收敛的性质对于绝对收敛的无穷级数，有以下重要性质：1. 绝对收敛的级数是收敛的。
即如果一个级数是绝对收敛的，那么它一定是收敛的。
2. 绝对收敛的级数的和与项的排列顺序无关。
即无论我们如何调整级数中的项的顺序，只要级数绝对收敛，其和都是固定的。
3. 绝对收敛的级数可以进行项的加减和数的乘除运算。
即如果两个级数都是绝对收敛的，那么它们的和、差、积和商都是绝对收敛的。
4. 绝对收敛的级数的部分和数列是有界的。
即部分和数列是有上界的。
5. 绝对收敛的级数的任意子系列也是绝对收敛的，且其和相同。
四、绝对收敛与条件收敛除了绝对收敛之外，还有一种情况是条件收敛。
条件收敛是指一个无穷级数是收敛的，但它的相反数级数也是收敛的。
五、绝对收敛的判别法我们有理由相信，对于一个无穷级数是否是绝对收敛的，应该有一些判别法则。
以下是一些常见的判别法：1. 比较判别法：若对于所有的正整数n，都有|aₙ|≤ bₙ，且级数Σbₙ是收敛的，则级数Σaₙ绝对收敛。
2. 比值判别法：若对于所有的正整数n，都有|aₙ₊₁/aₙ| ≤ L，其中L < 1，则级数Σaₙ绝对收敛。
3. 根值判别法：若对于所有的正整数n，都有|aₙ|¹/n ≤ L，其中L < 1，则级数Σaₙ绝对收敛。
无穷级数知识点总结专升本
无穷级数知识点总结专升本一、概念无穷级数是由无限多个项组成的级数，其中每个项都是一个数字或者变量的表达式。
无穷级数通常用符号∑表示，其中∑表示总和，表示对所有项进行求和。
无穷级数可以是收敛的，也可以是发散的。
对于收敛的无穷级数，其和可以用极限来表示；对于发散的无穷级数，其和不存在。
二、级数的性质1.级数的部分和级数的部分和是指级数前n项的和，用Sn表示。
当n趋向无穷大时，级数的部分和就是级数的和。
当级数的部分和的极限存在时，级数收敛；当级数的部分和的极限不存在时，级数发散。
2.级数的收敛与发散级数的收敛指的是级数的部分和的极限存在，也就是级数的和存在；级数的发散指的是级数的部分和的极限不存在，也就是级数的和不存在。
3.级数的敛散性级数敛散性指的是级数的收敛性或发散性。
级数的敛散性可以通过级数的部分和的极限是否存在来判断。
4.级数的比较性级数的比较性是指通过级数的部分和与其他级数的部分和进行比较来判断级数的敛散性。
可以通过比较原则、比值原则、根值原则等方法来比较级数的敛散性。
5.级数的运算性质级数满足加法、数乘、绝对收敛、收敛性与级数重新排列等运算性质。
三、收敛级数1.正项级数对于所有项均为非负数的级数，称为正项级数。
正项级数通常采用单调有界数列的性质来判断是否收敛。
2.幂级数幂级数是形式为∑an*x^n的无穷级数，其中an为常数系数，x为自变量。
幂级数通常需要通过收敛半径来判断其收敛性。
3.级数的收敛判别法级数的收敛判别法是用来判断级数是否收敛的方法，包括比较法、审敛法、根值法、比值法、积分法等。
4.级数收敛性的应用无穷级数的收敛性可以应用于数学和物理等领域，如泰勒级数、傅立叶级数等。
四、发散级数1.发散级数的定义对于发散级数而言，其和不存在，无法通过有限项之和来表示。
发散级数可能是几何级数、调和级数、交错级数等。
2.级数的发散判别法级数的发散判别法是用来判断级数是否发散的方法，例如：项数发散法、数值发散法、微分法等。
无穷级数总结
无穷级数总结无穷级数是数学中的重要概念，常出现在分析学、代数学、数论等领域。
它的形式为一列数相加的无穷和。
无穷级数的研究对于了解数学的发展历程和数学的基本思想方法具有重要意义。
本文将对无穷级数的定义、性质、收敛与发散的判定方法以及一些典型的无穷级数进行介绍和总结。
无穷级数的定义意味着\[S_n=a_1+a_2+...+a_n\]\[S=a_1+a_2+a_3+...\]其中，$S_n$表示级数的前n项和，S表示整个级数的和，$a_n$表示级数的第n项。
我们称一个无穷级数收敛或发散取决于它的部分和序列。
具体来说，如果存在一个有限的实数 S，使得对于任意给定的正数 $\varepsilon $，当 n 大于一些自然数 N 时，总有\[ ，S-S_n，< \varepsilon \]那么我们说该级数是收敛的，并把这个实数S叫做级数的和，记做\[ S=\sum_{n=1}^{+ \infty } a_n\]如果上述性质不成立，即对于任意给定的正数S，当n大于一些自然数N时，总存在\[ ，S-S_n， \geq \varepsilon \]那么我们说该级数是发散的。
在判断无穷级数是否收敛时，可以运用收敛的充分条件。
其中，比较判别法、比值判别法、根值判别法是最常用的方法之一1.比较判别法：如果存在一个收敛的级数 $\sum b_n$，使得对于所有的正整数 n，有 $，a_n， \leq b_n$，那么级数 $\sum a_n$ 收敛。
反之，如果级数$\sum a_n$ 发散，那么对于所有的正整数 n，必有 $，a_n， \geqb_n$ 对一些发散的正项级数 $\sum b_n$ 成立。
2.比值判别法：对于正项级数 $\sum a_n$，如果存在一个常数 L，使得当 n 大于一些正整数 N 时，总有 $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq L < 1$，那么级数$\sum a_n$ 收敛。
高数无穷级数总结
高数无穷级数总结高等数学中，无穷级数是一个重要的概念和工具。
无穷级数可以理解为由无限多个数相加得到的结果。
在无穷级数的研究中，主要考虑级数的收敛性、发散性以及求和的方法等问题。
在这篇文章中，我将总结无穷级数的定义、收敛性和发散性以及几种常见的求和方法。
首先，我们来回顾一下无穷级数的定义。
一个无穷级数可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1、a2、a3等为数列中的元素，n为数列中的项数。
当n趋向无穷大时，无穷级数的求和结果就是S。
接下来，我们来探讨无穷级数的收敛性和发散性。
一个无穷级数可能是收敛的，也可能是发散的。
如果一个无穷级数的部分和逐渐趋于一个有限的数S，那么我们说这个无穷级数是收敛的，并且收敛于S。
如果一个无穷级数的部分和没有趋于一个有限的数，那么我们说这个无穷级数是发散的。
收敛的无穷级数是非常重要的，因为它们在实际应用中经常出现。
我们可以通过几种方法来判断一个无穷级数的收敛性。
其中，比较判别法、比值判别法和积分判别法是最常用的三种判别法。
比较判别法是通过将无穷级数与一个已知的收敛级数或发散级数进行比较来判断收敛性。
比值判别法是通过计算无穷级数的相邻项比值的极限来判断收敛性。
积分判别法是通过将无穷级数中的项与函数进行比较来判断收敛性。
除了收敛性判别外，我们还有几种常见的方法来求解收敛的无穷级数的和。
其中，部分和法、数学归纳法、特殊级数和特殊函数是常用的求和方法。
部分和法是通过计算无穷级数的前n 项和来逼近无穷级数的和。
数学归纳法是通过递归地将级数的前n项和与第n+1项进行比较来求和。
特殊级数是一类特殊形式的无穷级数，常见的有几何级数、调和级数和幂级数等。
特殊函数是一类与无穷级数有密切关系的函数，例如指数函数、对数函数和三角函数等。
在实际应用中，无穷级数有着广泛的应用。
例如，泰勒级数是一种常见的无穷级数，它可以将一个函数表示为无穷项多项式的形式，从而在计算和研究函数时提供了便利。
无穷级数知识点总结简短
无穷级数知识点总结简短
1. 无穷级数的定义
无穷级数是指由无限个数相加而成的级数，通常表示为：
S = a1 + a2 + a3 + ...
其中，a1, a2, a3...表示级数的每一项。
2. 无穷级数的收敛与发散
无穷级数可能收敛也可能发散。
如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷时收敛于某一有
限数，即lim(S_n) = S，则称该无穷级数收敛；如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷
时发散至无穷大或者发散至负无穷大，即lim(S_n) = ±∞，则称该无穷级数发散。
3. 无穷级数的收敛性判别法
无穷级数的收敛性判别法有很多种，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判
别法等。
这些判别法可以用来判断无穷级数的收敛性，并且在实际问题中有很多应用。
4. 无穷级数的性质
无穷级数有许多重要的性质，包括级数的线性性质、级数的绝对收敛性、级数的收敛域等。
这些性质在研究无穷级数的收敛性和计算级数的和时非常重要。
5. 无穷级数的应用
无穷级数在物理、工程、计算机科学等领域都有重要的应用。
例如，在物理学中，泰勒级
数可用于近似计算非线性函数的值；在工程学中，级数可以用来描述振动、波动等现象；
在计算机科学中，级数在算法复杂性分析和数值计算中也有广泛的应用。
总之，无穷级数是数学中一个重要的概念，它涉及到收敛与发散、收敛性判别法、性质和
应用等方面，对于理解和应用级数有着重要的意义。
无穷极数知识点总结
无穷极数知识点总结1. 无穷级数的定义无穷级数是指由无穷多个项组成的级数，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中每一项an是一个实数或复数。
无穷级数可以是收敛的，即其和是一个有限的值，也可以是发散的，即其和不存在或为无穷大。
2. 无穷级数的收敛无穷级数收敛的概念是指无穷级数的和在某个范围内趋于一个有限的值。
收敛的无穷级数在数学分析和实际应用中有着广泛的应用，例如在泰勒级数展开、微积分中的积分计算等方面。
无穷级数的收敛有多种判别法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法等。
3. 无穷级数的发散无穷级数发散的概念是指无穷级数的和无法趋向于一个有限的值，而是趋向于无穷大或者根本无法定义。
无穷级数的发散也有多种判别法，例如奇偶项判别法、柯西收敛准则等。
4. 绝对收敛与条件收敛无穷级数的收敛有两种情况，一种是绝对收敛，即该级数每一项的绝对值级数收敛；另一种是条件收敛，即该级数每一项的绝对值级数发散，但级数本身却收敛。
绝对收敛级数在某种程度上更容易处理和计算，而条件收敛级数的性质相对更为复杂，也更有意思。
5. 级数收敛的充分条件对于实数级数来说，级数部分和序列的收敛性与级数本身的收敛性之间是十分紧密的，因此研究级数部分和序列的收敛性可以得到级数收敛的充分条件。
比如级数收敛的柯西准则、级数收敛的柯西——施瓦茨准则、莱布尼茨级数收敛准则等。
6. 无穷级数的运算无穷级数也可以进行加减乘除等运算，不过进行这些运算时需要满足一定的条件，比如级数收敛、级数部分和序列的收敛性等。
无穷级数的运算规则也有许多特殊的性质，如级数的收敛性与绝对收敛性的性质、级数的乘法运算性质、级数的幂级数展开等。
7. 级数收敛的应用无穷级数的研究在数学中有着广泛的应用，比如在分析学中的泰勒级数展开、微积分中的求和、微分方程的求解、数论中的级数和等方面都有不同程度的应用。
无穷级数也在物理学、工程学、经济学等应用领域中有着很多重要的应用。
无穷级数知识点总结公式
无穷级数知识点总结公式无穷级数的定义：无穷级数的一般形式可以表示为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]其中，\( a_n \) 是级数的第 n 个项。
级数的和通常记为 \( S \)，即\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]当级数的和存在有限值时，称级数收敛；当级数的和不存在有限值时，称级数发散。
无穷级数的性质：1. 无穷级数的和与项的次序无关级数的项次序可以进行重新排列，其和仍然相同。
2. 收敛级数的任意项的和都趋于零对于收敛级数，其各项的和对应的部分和序列的极限为级数的和。
3. 收敛级数的每一项都可以表示为部分和序列的差对于收敛级数，其每一项都可以表示为相邻两个部分和之差。
无穷级数的收敛性：在讨论无穷级数时，我们关心的一个重要问题是该级数是否收敛。
无穷级数的收敛性可以通过不同的收敛判别法来进行判断。
1. 正项级数收敛判别法对于正项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)：- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) 且 \( a_n \) 单调递减（即 \( a_{n+1} \leq a_n \)），则级数收敛；- 若 \( a_n \) 单调递减且有界，则级数收敛；- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n \) 不存在或 \( \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \) ，则级数发散。
2. 比较判别法设 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 和 \( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 为两个级数，若存在正常数 \( C \)，当 \( n \) 充分大时有 \( 0 \leq a_n \leq Cb_n \)，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 收敛时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 收敛，级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 发散时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 发散。
无穷级数重要知识点总结
无穷级数重要知识点总结一、无穷级数的定义1.1 无穷级数的概念无穷级数是一种特殊的数列求和形式。
它由一个无穷数列的项之和构成，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中a1, a2, a3, ...是数列的项。
无穷级数的和是用极限的概念来定义的，即当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和趋于一个确定的数。
1.2 无穷级数的收敛和发散无穷级数有两种基本的收敛性质：收敛和发散。
当无穷级数的和存在时，我们称这个级数是收敛的；当无穷级数的和不存在时，我们称这个级数是发散的。
1.3 无穷级数的通项无穷级数的通项是指级数中每一项的公式表示。
通项的形式多种多样，可以是一个简单的代数式，也可以是一个复杂的函数表达式。
通项的形式对于判断无穷级数的收敛性有着重要的作用。
二、无穷级数的性质2.1 无穷级数的加法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的和也存在，并且等于这两个级数的和的和。
即∑(ai + bi) = ∑ai + ∑bi。
2.2 无穷级数的乘法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的乘积也存在，并且等于这两个级数的乘积的和。
即(∑ai) * (∑bi) = ∑(ai * bi)。
2.3 无穷级数的极限性质当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和会趋于一个确定的数。
这个极限的存在性和确定性是无穷级数的一个重要性质。
2.4 无穷级数的收敛性质对于一个给定的无穷级数，我们需要研究它的收敛性质，即它是否收敛、以及收敛到哪个数。
无穷级数的收敛性质对于很多数学问题有着深远的影响。
2.5 无穷级数的发散性质发散是无穷级数的另一个重要性质，它表示无穷级数的和不存在。
(完整版)无穷级数总结
n1、概念与性质1. 定义：对数列5,氏丄,U n L ,U n 称为无穷级数，U n 称为一般项；若部分和n1数列｛S n ｝有极限S ，即lim S n S ，称级数收敛，否则称为发散• n2. 性质① 设常数 c 0 ，则 U n 与 cU n 有相同的敛散性；n1n1② 设有两个级数 U n 与v n，若 U n s ，v n，则(U n v n )s ；n1n1n1n1n1若 U n 收敛，v n 发散，则(U n v n ) 发散；n1n1n1若 U n ， v n 均发散，则(U n v n ) 敛散性不确定；n1n1n1③ 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④ 设级数 U n 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．n1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；② 一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定. ⑤ 级数 U n 收敛的必要条件： lim U n 0 ；n1n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；③若 U n 发散，则 lim U n 0 未必成立． n1 n 二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法① 定义：若 U n 0 ，则 U n 称为正项级数 .n1② 审敛法：U n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界无穷级数总结②若 lim U n n0 ，则 U n 未必收敛；n1充要条件：正项级数(ii ) 比较审敛法：设U n①与V n②都是正项级数，且U n %(n 1,2丄),n 1 n 1则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散•A.若②收敛，且存在自然数N，使得当n N时有U n kvjk 0)成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N，使得当n N时有U n kv n(k 0)成立，则①发散；B.设U n为正项级数，若有p 1使得u n2(n 1,2,L )，贝U U n收敛；若n 1 n n 11U n (n 1,2,L )，贝U U n 发散•n n 1C.极限形式：设U n①与V n②都是正项级数，若limb |(0 | )，则n 1 n 1 n V nU n与V n有相同的敛散性.n 1 n 1注：常用的比较级数：a 1 1 .①几何级数：ar n 1 1 r r 1•n 1发散r 1②p级数：［收敛P1时.n p发冃攵P1时，n r③调和级数：1111发散.n 1 n2n(iii)比值判别法(达郎贝尔判别法)设a n是正项级数，若n 1①lim r 1，则a n收敛；②lim r 1，则发散.n a n n 1 n a n n 1注：若lim 1，或lim a n1，推不出级数的敛散.例丄与厶，虽然n a n n n 1 n n 1 n lim 1，|im n a n1，但 -发散，而 & 收敛•n a n n■n 1 n n 1 n(iv)根值判别法(柯西判别法)设a n是正项级数，lim、, a n，若1，n 1 n级数收敛，若1则级数发散.(v)极限审敛法：设U n 0，且lim n P U n l，则①lim n p U n l 0且p 1，则级n n数U n发散；②如果p 1，而lim n p U n l(0 l ),则其收n 1 n敛.(书上P317-2- (1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件.2.交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2丄)，则(1)n 1U n称为交错级数•n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数(1)n 1U n，若U n U n 1且lim U n0，‘n贝u ( 1)n u收敛•n 1注：比较U n与U n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察也1是否小于1；U n②差值法，即考察U n U n 1是否大于0；③由U n找出一个连续可导函数f(x)，使U n f(n) ,(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3.一般项级数的判别法：①若U n绝对收敛，则U n收敛.n 1 n 1②若用比值法或根值法判定|U n |发散，则U n必发散.n 1 n 1三、幕级数1.定义：a n x n称为幕级数.n 02.收敛性①阿贝尔定理：设幕级数a n X n在X0 0处收敛，则其在满足X I X0的所n 0xx 0有x 处绝对收敛.反之，若幕级数 a n x n 在X 1处发散，则其在满足x X i n 0 的所有X 处发散. ②收敛半径（i ）定义：若幕级数在X X o 点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R ，使得①当X X o R 时，幕级数收敛；②当x X o R 时，幕级数发散；R称为幕级数的收敛半径•（ii ）求法：设幕级数 a n X n的收敛半径为R ，其系数满足条件limn 0n或n lim 器丙I ，则当0 1 时，R 1 ;当10时，R ， 当I 时，R 0 .注：求收敛半径的方法却有很大的差异.前一个可直接用公式，后一个则须分奇、 偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求.在分成奇偶项之后，由于通项中出 现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法.（iii ）收敛半径的类型 A. R 0，此时收敛域仅为一点； B. R，此时收敛域为（C.R =某定常数，此时收敛域为一个有限区间. 3. 幕级数的运算（略） 4. 幕级数的性质a n 1a n①若幕级数的收敛半径R则和函数 S(x)a n X n 在收敛区间（R, R ）内连续.②若幕级数的收敛半径R 则和函数 S(x)a n X n 在收敛区间（R, R ）内可导,且可逐项求导，即S （x ）n \a n X )(a n Xna n X n 1，收敛半径不变.n 1③若幕级数的收敛半径R0，则和函数 S(x)na n X在收敛区间（R, R ）内可积,x且可逐项积分，即S （t ）dta n t n dt(x ( R, R))，收敛半径不nx / ，x ( n!出其假设和函数s(x)与其导数s(x)的关系)，从而得到新级数的和函数； 注：系数为若干项代数和的幕级数，求和函数时应先将级数写成各个幕级数的代 数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数 的和函数. ②数项级数求和nU n U k .根据S n 的求法又可分为：直接法、拆项法、递推法.变.5.函数展开成幕级数①若f(x)在含有点X 0的某个区间I 内有任意阶导数, f (X0) 、2(X X o )2!f (n 1)()- --(X X 0)(n 1}(n 1)!(n 1)!I 内能展开成为泰勒级数的充要条件为为 f (x) f (X 0)f (X 0)(X X o )f(n 1)(-)(X X 0)(n 1)，记 R n (x)f (x)在X 。
级数知识点总结和例题
n
n
lim
un +1 u 1 或 lim n +1 不易计算或不存在时，不能用此法 (见例 6 评注、例 7(5)、例 9) 。 n u n u n n
5.用根植审敛法 (1)若 1 ，则
设 lim n un
n
un 收敛；(2)若 1(或 ) ，则 un 发散；
n
思路二：求 s2 n ,而 s2 n +1 =s2 n +u2 n +1 ,则 lim sn s lim s2 n lim s2 n 1 s .(见例 2 解法
n n n
1) 2.用收敛级数的性质判定级数的敛散性 (1)要判定某一级数的敛散性,可根据级数的性质将该级数转化成敛散性已知的级数来讨 论,(见例 2 解法 2,例 4,例 5).需要掌握下面三个最常用级数的敛散性: 等比级数
x
们将一些简单函数间接展开成幂级数. 11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 [l , l ] 上的函数展开为傅 里叶级数，会将定义在 [0, l ] 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和 函数的表达式.
11.2 基本题型及解题思路分析 题型 1 用级数敛散性的定义与性质判定级数的敛散性
例 5 (1991-研)已知级数
(1)n1 an 2 ， a2n1 5 ，则级数 an =__________.
n 1 n 1 n 1
【分析】此题关键是弄清三个级数的一般项之间的关系。 解：因为 an 2a2 n1 (1)
n 1
an ，又 (1) n 1 an ， a2 n 1 均收敛，故由收敛级数的
无穷级数与级数收敛性
无穷级数与级数收敛性无穷级数是数学中的重要概念，与级数收敛性密切相关。
在这篇文章中，我们将介绍无穷级数的定义，讨论级数是否收敛以及如何判断级数的收敛性。
一、无穷级数的定义无穷级数是由一系列数相加得到的和。
一个无穷级数可以用以下形式表示：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中a₁, a₂, a₃, ...为该级数的项。
数列（a₁, a₂, a₃, ...）为级数的一般项。
二、级数的收敛与发散一个无穷级数可能收敛或发散。
当级数的和在某个有限值时，我们称该级数收敛；若级数的和无法得到有限值，则称级数发散。
判断级数收敛性的方法主要有两种：部分和数列法和比值判别法。
1. 部分和数列法假设级数的部分和数列为{S₀, S₁, S₂, ...}，其中S₀ = a₁,S₁ = a₁ + a₂,S₂ = a₁ + a₂ + a₃,...若部分和数列（S₀, S₁, S₂, ...）收敛于某个有限值S，那么级数也收敛，并且级数的和为S。
反之，如果部分和数列发散或趋于无穷，那么级数也发散。
2. 比值判别法比值判别法是通过计算级数各项之间的比值来判断级数的收敛性。
假设级数的一般项为aₙ。
计算固定项之后两项的比值：rₙ = aₙ₊₁ / aₙ若rₙ的极限存在且小于1，则级数收敛；若rₙ的极限大于1或无穷大，则级数发散；若rₙ的极限等于1，则无法判断级数的收敛性。
三、级数收敛的例子现在我们将通过几个例子来说明如何判断级数的收敛性。
1. 伯努利级数伯努利级数是数学中的一个著名级数，形式为：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...我们可以通过比值判别法来判断其收敛性。
计算相邻两项的比值：rₙ = (1/(n+1)) / (1/n) = n / (n + 1)当n趋于无穷大时，rₙ的极限等于1。
因此，根据比值判别法，伯努利级数发散。
2. 几何级数几何级数是一个常见的级数形式，形如：a + ar + ar² + ar³ + ...其中a为首项，r为公比。
无穷级数总结
无穷级数总结一、概念与性质1.定义：对数列U1,U2^|,U^| , U n称为无穷级数，U n 称为一般项；若部分和数列｛S n｝有极限S，即lim S n S，称级数收敛，否则称为发散•n2•性质①设常数C 0,贝U U n与CU n有相同的敛散性；n 1 n 1②设有两个级数U n与V n，若U n S，V* ，则（U n V n） S ；n 1 n 1 n 1 n 1 n 1若U n收敛，V n发散，则（片V n ）发散；n 1 n 1 n 1若U n，V n均发散，则（U n冷）敛散性不确定；n 1 n 1 n 1③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数U n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和.n 1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定.⑤级数U n收敛的必要条件：lim U n 0 ；n 1 n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若lim U n 0，则U n未必收敛；n n 1③若U n发散，则lim U n 0未必成立. nn 1二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法①定义：若U n 0，则U n称为正项级数•n 1②审敛法：（ii ） 比较审敛法：设 U n ①与 V n ②都是正项级数，且U n %（n 1,2,），n 1n 1川则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散•A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N 时有U n k%（k 0）成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当n N 时有U n kv n （k 0）成立，则 ①发散；1B. 设 U n 为正项级数，若有 p 1使得U n 帀（n 1,2,川），则U n 收敛；若n 11（ U n （n nC. 极限形式：U n 与 V n 有相同的敛散性.n 1n 1注：常用的比较级数：①几何级数：n 1 arr 1 1 r ・n 1发散r 1②p 级数：1收敛P 1时n 1n p发散P 1时， ③调和级数:11 1 1发散.n 1 n2n（iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设 a n 是正项级数，若n 11，或iim; a n 1，推不出级数的敛散.例丄与2，虽然nn 1 n n 1 n充要条件：正项级数U n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界），贝U Un 发散.n 11,2, U n ①与 V n ②都是正项级数，若lim 也1（0丨 ），则1 nV n①limna n 1 anr 1，则 a n 收敛；②lim 也 n 1nan r 1，则 a n 发散.n 1注：若limna n 1 anlim a n^ 1, lim n a n 1，但丄发散，而g收敛.n a n n■'n 1 n n 1 n2n ___(iv)根值判别法(柯西判别法)设a n是正项级数，』m ■, a n，若 1 ,n 1 n级数收敛，若1则级数发散.(v)极限审敛法：设u n o，且lim n p u n l，则①lim n p U n l 0且p 1，则级n n数U n发散；②如果p 1，而lim n p U n l(0 l ),则其收n 1 n敛.(书上P317-2- (1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件.2.交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2J||)，则(1)n 1U n称为交错级数.n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数(1)n 1u n，若u n u n 1且lim u n0，n 1 n贝U ( 1)n1u n收敛.n 1注：比较u n与u n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察也是否小于1；u n②差值法，即考察u n u n 1是否大于0;③由u n找出一个连续可导函数f(x)，使u n f(n) ,(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3.一般项级数的判别法：①若u n绝对收敛，则u n收敛.n 1 n 1②若用比值法或根值法判定|u n |发散，则u n必发散.n 1 n 1、幕级数1. 定义： a n X n称为幕级数.n 02. 收敛性有X 处绝对收敛.反之，若幕级数 a n X n在X !处发散，则其在满足x X !n 0的所有X 处发散. ②收敛半径(i) 定义：若幕级数在X X 0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R ，使得①当X X 0 R 时，幕级数收敛；②当XX 。
高等数学（无穷级数判定方法总结）
⾼等数学（⽆穷级数判定⽅法总结）对于⽆穷级数判断收敛与发散的⽅法。
定义：对于⼀个级数他的前n项和如果n→+OO的极限存在就是收敛的，否则发散。
例⼦：1等⽐级数：公⽐|q| < 1收敛，否则发散。
性质：1满⾜相加相减性，其收敛性仍然满⾜相减相加。
2括号匹配后不该变收敛性质3如果级数收敛，那么n→+oo时，⼀般项An必须趋近于0.但这仅仅是充分条件，调和级数可以说明。
4柯西审敛原理（正项级数）⽐较⽅法：1求出部分和并判断其有界性（⽐较蠢⼀般不能⽤）2⽐较审敛法，说⽩了就是放缩法，证明收敛的时候找⼀个⽐他⼤的还收敛的，证明发散的时候就找⼀个⽐他⼩的还发散的。
（⽐较有技术含量的⽅法，注意放缩的⽅法和⽬的，已经形式，⾼中数学曾多次在放缩⽅法中⼤做⽂章，考察⼀些⽐较难的放缩思想）。
3关于P级数，所谓p级数就是这样的形式，1/(n^p)，如果p>1收敛，反之发散。
（p级数同样可以应⽤于分⼦分母的差，设分母－分⼦为p，判断⽅法与上述⼀致）4关于⽐较审敛法，还有⼀种极限形式，就是两个⽐值的极限，⽐如An/Bn的极限如果是⼀个>=0且不为正⽆穷⼤的常数，Bn收敛，An也收敛。
Bn发散，An也发散。
若为⽆穷⼤则只能判断发散。
（这⾥有⼀个⾮常重要的应⽤就是等价⽆穷⼩的应⽤，为1的常数让我可以⾃由的判断收敛还是发散。
附上⽐较不容易被发现的等价⽆穷⼩，Ln（x+1）~ x，1 - cosx = x*x/2，arctanx~x）；5⽐值审敛法。
这个也是极限形式的，容易与⽐较审敛法的第⼆种形式弄混，他的形式是这样的：An+1/An的极限ρ，如果<1收敛，=1不确定，>1发散。
（最常⽤于阶乘级数的判定）。
6根值审敛法。
这个要求强度不⼤，就是对⼀般项开n次⽅求极限得到的ρ，收敛判断⽅法与壁纸收敛法⼀样（当题⽬中有⽐较明显的n次⽅的时候可以尝试⼀下这种办法）7极限审敛法，感觉好冷门的判断⽅法，n*An的极限>0则原级数发散。
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无穷级数总结一、概念与性质1.定义：对数列 u1, u2 ,L,u n L ，u n称为无穷级数， u n称为一般项；若部分和n 1数列 { S n} 有极限S，即lim S n S ，称级数收敛，否则称为发散 .n2.性质①设常数 c0 ，则u n与cu n有相同的敛散性；n 1n 1②设有两个级数u n与v n，若u n s ，v n，则(u n v n ) s；n1n 1n1n 1n 1若u n收敛，v n发散，则(u n v n ) 发散；n 1n 1n 1若u n，v n均发散，则(u n v n ) 敛散性不确定；n 1n 1n 1③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数u n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．n 1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定．⑤级数u n收敛的必要条件： lim u n0 ；nn 1注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若 lim u n 0 ，则u n未必收敛；n n 1③若u n发散，则n 1二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法lim u n0 未必成立．n①定义：若 u n0 ，则u n称为正项级数.n 1② 审敛法：（ i）充要条件：正项级数u n收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.n 1（ ii ）比较审敛法：设 u n ①与v n ②都是正项级数， 且 u nv n (n1,2,L ) ，n 1n 1则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散 .A. 若②收敛，且存在自然数 N ，使得当 nN 时有 u nkv n (k 0) 成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当 nN 时有 u n kv n (k0) 成立，则①发散；B. 设u n 为正项级数，若有p 1 使得 u1 (n 1,2,L ) ，则u n收敛；若n 1nnpn1u n1u n 发散 .(n 1,2,L ) ，则nn 1C. 极限形式：设u n ①与v n ②都是正项级数，若 limu nl (0 l) ，则n 1n 1nv nu n 与v n 有相同的敛散性 .n 1n 1注：常用的比较级数：ar n 1ar 1 ；①几何级数：1 rn 1发散r11收敛p时② p 级数：1 ；n 1 n p发散 p1时③ 调和级数：1111 发散．1n2nn（ iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设a n 是正项级数，若n 1①注：若lima n 1r1，则 a n 收敛；② lima n 1r 1，则a n 发散．na nn 1na nn 1an 1n11lim1，或 lim a n1 ，推不出级数的敛散 .例与，虽然a nn 1n n 1n 2nnliman 11， lim n an 1 ，但1 发散，而 1 收敛 .na nnn 1nn 1n 2（ iv ）根值判别法（柯西判别法）设na n 是正项级数， lim an，若 1 ，n 1n级数收敛，若1则级数发散．（ v）极限审敛法：设u n0 ，且lim n p u n l ，则①lim n p u n l0 且 p 1 ，则级n n数u n发散；②如果 p 1 ，而 lim n p u n l (0l) ,则其收n1n敛．（书上 P317-2-（1））注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法．正项级数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件．2.交错级数及其审敛法①定义：设 u n 0(n 1,2,L ) ，则( 1)n 1u n称为交错级数.n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数( 1)n 1u n，若 u n un 1且 lim u n0 ，n 1n则( 1)n 1 u n收敛.n 1注：比较 u n与 u n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察u n 1是否小于 1；u n②差值法，即考察 u n u n 1是否大于0；③由 u n找出一个连续可导函数 f ( x) ，使 u n f (n), (n 1,2, ) 考察 f ( x) 是否小于0．3.一般项级数的判别法：①若u n绝对收敛，则u n收敛 .n 1n1②若用比值法或根值法判定| u n |发散，则u n必发散.n1n1三、幂级数1.定义：a n x n称为幂级数.n 02.收敛性① 阿贝尔定理：设幂级数a n x n在 x00处收敛，则其在满足 x x0的所n 0有 x 处绝对收敛．反之，若幂级数 a n x n在 x1处发散，则其在满足 xx1n 0的所有 x 处发散．② 收敛半径（i）定义：若幂级数在x x0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数 R ，使得①当x x0R 时，幂级数收敛；②当x x0R 时，幂级数发散；R称为幂级数的收敛半径.（ii ）求法：设幂级数 a n x n的收敛半径为R，其系数满足条件 lim an 1l ，n 0n a n或 lim n a n l，则当 0 l时， R1；当 l 0 时， R，n l当l时，R 0．注：求收敛半径的方法却有很大的差异．前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法．（i ii ）收敛半径的类型A.R 0 ，此时收敛域仅为一点；B.R，此时收敛域为( , )；C. R =某定常数，此时收敛域为一个有限区间．3.幂级数的运算（略）4.幂级数的性质①若幂级数的收敛半径R 0 ，则和函数S( x) a n x nn 0②若幂级数的收敛半径R 0 ，则和函数S( x) a n x nn 0在收敛区间在收敛区间( R, R) 内连续．( R, R) 内可导，且可逐项求导，即 S ( x) (a n x n )(a n x n )na n x n 1，收敛半径不变．n 0n 0n 1③若幂级数的收敛半径 R 0 ，则和函数S( x) a n x n在收敛区间 ( R, R) 内可积，n0x xa n t n )dt x且可逐项积分，即S(t )dt(a n t n dt ( x ( R, R)) ，收敛半径不00n 0n 00变．5.函数展开成幂级数①若 f ( x) 在含有点 x 0 的某个区间 I 内有任意阶导数， f ( x) 在 x 0 点的 n 阶泰勒公式为 f ( x)f ( x 0 ) f (x 0 )( x x 0 )f (x 0 )2 f (n) ( x 0 )2! (x x 0 )( x x 0 )n!f (n1) ()( x x 0 )( n 1)，记 R n ( x) f (n1) ()x 0) ( n 1) ， 介于 x, x 0 之间，则 f ( x) 在 ( n 1)!(n 1)! ( xI 内能展开成为泰勒级数的充要条件为lim R n ( x) 0,x I .n②初等函数的泰勒级数 ( x 0 0)（ i ） e xx n , x (,) ；n 0 n!（ ii ） sin x(1) n 1 x 2n 1 , x( ,) ；n 1(2n 1)!（ iii ） cos x( 1) nx 2n( ,) ；( 2n)! , xn 0（ iv ） ln(1 x)( 1) n x n 1( 1, 1] ；n 1, xn 0（ v ） (1 x)1(1) ( n 1) x n , x( 1, 1), (R) ；n 1n!（ vi ）1xx n , x1 ；1 x( 1) n x n , x 1.1 n 01 n 06.级数求和①幂级数求和函数解题程序（ i ）求出给定级数的收敛域；（ ii ）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数 s( x) 与其导数 s ( x) 的关系），从而得到新级数的和函数；注：系数为若干项代数和的幂级数， 求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和，然后分别求出它们的和函数， 最后对和函数求代数和， 即得所求级数的和函数．②数项级数求和（ i ）利用级数和的定义求和，即 lim S n s ，则u n s ，其中nn 1ns n u 1 u 2u nu k ．根据 s n 的求法又可分为：直接法、拆项法、递k1推法．A. 直接法：适用于u k 为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；k 1B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求n 项和时，除首尾两项外其余各项对消掉．（ ii ）阿贝尔法（构造幂级数法）a nlima n x n ，其中幂级数a n x n ，可通n 0x 1 n 0n 0过逐项微分或积分求得和函数 S(x) ．因此a nlim s(x) ．n 0x 1四、傅里叶级数 1. 定义①定义 1：设 f (x) 是以 2为周期的函数，且在 [ , ] 或 [ 0, 2 ] 上可积，则11a nf ( x) cos nxdx11b nf ( x) sin nxdx2 0, 1, 2 ) ，f (x) cosnxdx, (n 02 1, 2, ) ，f (x) sin nxdx,( n 0称为函数 f (x) 的傅立叶系数．②定义 2：以 f (x) 的傅立叶系数为系数的三角级数1 a 0(a n cos nx b n sin nx) ．2n 1称为函数 f ( x) 的傅立叶级数，表示为f ( x)～1a 0(a n cos nx b n sin nx) ．2n 1③定义 3：设 f (x) 是以 2l 为周期的函数，且在 [l , l ] 上可积，则以1l f (x) cosn xdx, (n 0, 1, 2 ) ，a nll l1lf (x) sinnxdx, (n 1, 2) 为系数的三角级数 b nll l1a 0( a n cosnx b n sinnx)称为 f ( x) 的傅立叶级数，表示为2n 1llf ( x)～ 1a 0(a n cosnx b n sin nx) ．2l ln 12. 收敛定理（狄里赫莱的充分条件）设函数f ( x) 在区间 [ , ] 上满足条件①除有限个第一类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点，则 f ( x) 的傅立叶级数在 [ ,] 上收敛，且有f x ), x 是 f x 的连续点 ；( ( )1[ f ( x 0 0) f ( x 0 0)],a 02 .( a n cos nx b n sin nx)2x 是 f x 的第一类间断点 ；n 1( )1[ f (0)f (0)], x23. 函数展开成傅氏级数①周期函数（ i ）以 2 为周期的函数 f ( x) ： f ( x)～ aa n cos nxb n sin nx2n 11f ( x) cos nxdx(n 0, 1, 2, ) ， b n 1f ( x) sin nxdx(n1, 2,) ；a n注：①若 f ( x) 为奇函数，则 f ( x)～b n sin nx (正弦级数 )， a n 0 (n0, 1, 2, )n 1b n2f ( x)sin nxdx(n1, 2, ) ；②若 f ( x) 为偶函数，则f x ～a 0a n cos nx (余弦级数 )，( )2n 1a n2f ( x)cos nxdx (n0,1, 2, ) ， b n 0(n 1, 2, ) .（ ii ）以 2l 为周期的函数 f ( x) ： f x ～aa nnn x)( )2 cosx + bn sinn 1l l1lnxdx(n0, 1, 2,1l n xdx(n 1, 2, ) ；a nf (x) cos) ， b nf (x) sinllllll注：①若 f ( x) 为奇函数，则 f ( x)～b n sinn0 (n0,1, 2, )x (正弦级数 )， a nn 1l2 b nll 0f ( x)sin nxdx(n 1, 2, ) ；l②若 f ( x) 为偶函数，则f x ～aa nn ( )cosx ， (余弦级数 )2n 1l2a nllf ( x)cos nxdx (n 0, 1, 2, ) ， b n 0(n 1, 2, ) .l②非周期函数（ i ）奇延拓：f ( x), 0 x，则 F ( x) 除 x 0 外在A. f (x) 为 [0, ] 上的非周期函数，令 F ( x)x),xf ([, ] 上 为 奇 函 数 ， f ( x)～ b n sin nx ( 正 弦 级 数 ) ， b n2f (x)sin nxdxn 1(n1, 2, ) ；B.f (x), 0 x lf (x) 为 [0, l ] 上的非周期函数，则令 F (x)f ( x), l，则 F (x) 除 x 0 外x 0在 [,] 上为奇函数，～n2f ( x)b n sin x (正弦级数)，b nn 1l l (n1, 2,) .lnf ( x)sin xdx l（ ii ）偶延拓：A. f (x)为[0,] 上的非周期函数，令 F ( x) f ( x),0x，f ( x),x0则 F (x) 除x0 外在[ ,] 上为偶函数， f (x)～a0a n cosnx (余2n 1弦级数 )，a n 20, 1, 2,) .f ( x)cos nxdx (nB. f (x)为[0, l ]上的非周期函数，令 F ( x) f ( x),0x l，则f ( x),l x0f ( x)～a0a n cosnx (余弦级数)，a n22n 1l llf ( x)cosnxdx (n 0,1, 2, ).l注：解题步骤：①画出图形、验证狄氏条件．画图易于验证狄氏条件，易看出奇偶性；②求出傅氏系数；③写出傅氏级数，并注明它在何处收敛于 f ( x) ．。
无穷级数与级数收敛性
无穷级数与级数收敛性在数学中，级数是无穷个数的和。
无穷级数是一种重要的概念，与级数的收敛性密切相关。
本文将对无穷级数和级数的收敛性进行探讨。
一、无穷级数的定义和性质无穷级数可以用以下形式表示：S = a1 + a2 + a3 + ...其中a1, a2, a3, ... 是数列的项。
为了简化问题，我们假设这是一个实数数列。
在数学中，我们通常关注无穷级数的偏和部分和。
偏和是前n项的和，表示为Sn = a1 + a2 + ... + an。
当n趋向无穷时，Sn也趋向无穷。
我们用S表示无穷级数的和，如果对任意ε > 0，存在一个正整数n，使得当n > N时，|Sn - S| < ε，我们称该级数是收敛的。
否则，我们称它是发散的。
二、级数的收敛性准则1. 正项级数收敛准则：如果级数的所有项都是非负数，并且数列a1, a2, a3, ...是递减的，那么该级数是收敛的。
2. 比较判别法：如果存在一个收敛级数Σb1 + b2 + b3 + ...，对于所有n，都有an ≤ bn，那么级数Σa1 + a2 + a3 + ...也是收敛的。
3. 比值判别法：如果存在一个正数q，使得对所有n自然数，都有an₊₁/ an ≤ q，那么级数Σa1 + a2 + a3 + ...是收敛的。
4. 根值判别法：如果存在一个正数p，使得对所有n自然数，都有√(an₊₁)/√(an) ≤ p，那么级数Σa1 + a2 + a3 + ...是收敛的。
三、级数的收敛性判断1. 若级数Σan收敛，则必有lim n→∞ an = 0。
即常数项数列必趋于零。
2. 正项级数，即所有项都为非负数的级数，我们可以利用正项级数收敛准则来判断其收敛性。
四、级数的运算当级数Σan和Σbn收敛时，我们可以进行如下的运算：1. 若c是一个常数，那么级数Σ(c · an)也是收敛的，其和等于c · Σan。
2. 级数Σ(an + bn)也是收敛的，其和等于Σan + Σbn。
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无穷级数总结一、概念与性质1. 定义：对数列 u 1,u 2,L ,u n L ， u n 称为无穷级数， u n 称为一般项；若部分和 n1数列｛&｝有极限S ，即limS n S ，称级数收敛，否则称为发散.n2. 性质① 设常数 c 0 ，则 u n 与 cu n 有相同的敛散性；n1n1② 设有两个级数 u n 与 v n ，若 u n s ，v n，则 (u n v n ) s ；n1n1n1n1n1若 u n 收敛，v n 发散，则 (u n v n ) 发散；n1n1n1若 u n ，v n 均发散，则(u n v n ) 敛散性不确定；n1n1n1③ 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④ 设级数 u n 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．n1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定. ⑤ 级数 u n 收敛的必要条件： lim u n 0 ；n1n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；③若 u n 发散，则 lim u n 0 未必成立． n1 n 二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法① 定义：若 u n 0 ，则 u n 称为正项级数 .n1② 审敛法：i ) 充要条件：正项级数 u n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界②若 lim u n0 ，则 u n 未必收敛；n1(ii ) 比较审敛法：设U n①与V n②都是正项级数，且U n %(n 1,2丄)，则若②n 1 n 1收敛则①收敛；若①发散则②发散•A.若②收敛，且存在自然数N，使得当n N时有u n kv n(k 0)成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N，使得当n N时有u n kv n(k 0)成立，则①发散；1B.设U n为正项级数，若有p 1使得u n—p (n 1,2丄)，贝U U n收敛；若n 1 n n 11U n (n 1,2,L )，贝U U n 发散•n n 1C.极限形式：设U n①与v n②都是正项级数，若lim l(0 l )，则n 1 n 1 n V nU n与V n有相同的敛散性n 1 n 1注：常用的比较级数：a①几何级数：ar n1 1 r r 1n 1 发散r| 1②p级数：［收敛P 1时.n 1 np发冃攵P 1时，③调和级数：丄1 1 1发散.n 1 n 2 n(iii )比值判别法(达郎贝尔判别法)设a n是正项级数，若n 1①lim也r 1，则a n收敛；②lim也r 1，则a.发散.n a n n 1 n a n n 1注：若lim 也1，或lim ：恳1,推不出级数的敛散.例1与2，虽然佃乩1，nan n n 1 n n 1n n a.lim n a n 1，但丄发散，而 $收敛•n' n 1 n n 1 na n是正项级数，lim , a n ，若1，级数收敛,n(iv )根值判别法(柯西判别法)设若 1则级数发散.(v )极限审敛法：设U n 0，且lim n p u n l ，则①lim n p u n l 0且p 1，则级数u n 发nnn 1散；②如果p 1，而limn%. 1(0 l ),则其收敛.(书上P317-2- n(1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件. 2. 交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2丄)，则 (1)n 1U n 称为交错级数•n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数 (1)n1U n ，若U nn 1收敛.注：比较u n 与u n 1的大小的方法有三种: ① 比值法，即考察是否小于1；u n② 差值法，即考察u n u n 1是否大于0； ③由u n 找出一个连续可导函数f(x)，使u n f(n),(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3. 一般项级数的判别法： ①若u n 绝对收敛，则 u n 收敛.n 1n 1②若用比值法或根值法判定 |u n I 发散，则 u n 必发散.n 1n 1三、幕级数 1. 定义： a n x n称为幕级数•n 02. 收敛性① 阿贝尔定理：设幕级数 a n x n在X 。
0处收敛，则其在满足 x | |x 。
的所有x 处绝n 0对收敛.反之，若幕级数 a n X n 在X 1处发散，则其在满足x | |X 1的所有x 处发散. n 0 ② 收敛半径(i )定义：若幕级数在x X 0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数u n 1 且 limu0，则(1)n1u nn 1R ，使得①当XX 。
R 时，幕级数收敛；②当 XX 。
R 时，幕级数发 散；R 称为幕级数的收敛半径.(ii)求法：设幕级数 a n X n的收敛半径为R ，其系数满足条件n 0limnan 1a nl ，或nlimM a n | 1，则当0 l 时，R1；当l 0时，R当l 时，R 0 .注：求收敛半径的方法却有很大的差异.前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项(有 时会出现更复杂的情况)分别来求.在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不 能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法.(iii )收敛半径的类型 A. R 0，此时收敛域仅为一点； B. R ，此时收敛域为(，)；C. R =S 定常数，此时收敛域为一个有限区间. 3. 幕级数的运算(略) 4. 幕级数的性质开成为泰勒级数的充要条件为lim R n (X) 0, X I .n①若幕级数的收敛半径 R 0，则和函数S(x)a n X n在收敛区间(R, R)内连续.n 0②若幕级数的收敛半径 R 0，则和函数S(X )a n X n在收敛区间(n 0R, R)内可导，且可逐项求导，即 S (X ) ( a n X n )n 0(a n X n)n 0na n X n 1，收敛半径不变.n 1③若幕级数的收敛半径 R 0，则和函数S(X )a n X n在收敛区间(n 0R, R)内可积，且可逐项x积分，即0S(t)dta n t n)dtxa n t ndt(x n(R, R))，收敛半径不变.5. 函数展开成幕级数 ①若f(x)在含有点X 0的某个区间I 内有任意阶导数,f (X)在X 0点的n 阶泰勒公式为 f (x) f(x °) f (x °)(x x °) f (n 1}() (x X 0)(n 1，记 R n (x) f (X 0), 、2 —(x x 0) 2! ：(n 1)()(n 1)! f (n)(X 0)(—(x n!(x X 0)(n °，介于 X 。
) X,X 0之间，则f (x)在I 内能展②初等函数的泰勒级数(X 。
0)(vi )亠1 x6. 级数求和①幕级数求和函数解题程序(i )求出给定级数的收敛域；(ii )通过逐项积分或微分将给定的幕级数化为常见函数展开式的形式(或易看出其假设和函数s(x)与其导数s(x)的关系)，从而得到新级数的和函数；注：系数为若干项代数和的幕级数，求和函数时应先将级数写成各个幕级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数. ②数项级数求和nS n U 1 U 2 U nU k .根据S n 的求法又可分为：直接法、拆项法、递推法.k 1A. 直接法：适用于 U k 为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；k 1B. 拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求 n 项和时，除首尾两项外其余各项对消掉.分或积分求得和函数S(x).因此 a nlim s(x).X 1四、傅里叶级数(i ) e xn 0nx，X((ii ) sin x (iii ) cosx (iv ) ln(1 x)n 1 2n 1 (1) x,x n 1(2n1)!n 2n(4,x (2n)! (1)n x n1(v ) (1 x),xo n 1(1)丄 n!1,1] n 1)x n,x ( 1,1), ( R)；(i )禾【」用级数和的定义求和，即 lim S n ns，贝UU n s ，其中n 1(ii )阿贝尔法(构造幕级数法)an 0lim a n X n ，其中幕级数a n X n，可通过逐项微n 0 n 01.定义①定义1：设f(x)是以2为周期的函数，且在［,］或［0,2 ］上可积，则f (x) cosnxdx, (n 0,1, 2 ),b n - f (x)sin nxdx, (n 1, 2 )为系数的三角级数l l l 】a 0(a n cosnx b nsin nx)称为f(x)的傅立叶级数，表示为2n 1l l(a n cosnx b nsin — x). n 1 l l2.收敛定理(狄里赫莱的充分条件)设函数 f(x)在区间［,］上满足条件①除有限个第一类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点,f (x), x是 f (x)的连续点； 12【f(x 0 0) f(x 。
0)],x 0是f (x)的第一类间断点； 1 2【f(0) f( 0)], x3.函数展开成傅氏级数 ①周期函数b nf (x)sinnxdxf (x)sin nxdx,(n 1,2,),称为函数f(x)的傅立叶系数.②定义2：以f(x)的傅立叶系数为系数的三角级数那0(a n cosnx b n sin nx).n 1称为函数f (x)的傅立叶级数，表示为f(x)〜1 a 0(a n cosnx b n sin nx).n 1③定义3:设f(x)是以21为周期的函数，且在［1,1］上可积，则以a nf (x) cos xdx, (n 0,1, 2 )，则f(x)的傅立叶级数在［］上收敛，且有 f (x) cos nxdx f(x)〜1a 0(a n cosnx b n sinnx)(i )以2为周期的函数f(x) : f(x)〜西2a n cosnxb n sin nx n 1f(x)〜 b n s inn x (正弦级数)，a n 0 (n 0,1,2,)n 12a .— 0f (x)cos nxdx (n 0,1, 2,为奇函数，f(x)〜 b n sin nx (正弦级数)n 1a nf (x) cosnxdx(n 0,1,2, ) , b nf (x) sin nxdx(n 1,2,)；b n— o f (x)sinnxdx(n 1,2,②若f(x)为偶函数，则f(x)〜罟a n cosnx (余弦级数)，n 1B. f(x)为［0,l ］上的非周期函数，则令F(x) f(x), 0 f( x), x x 0，则 F(x)除 x 0外在［,］上 为奇函数，f(x 〜 b n sin nx (正弦级数)，b n - n 1 11I n0f (x)sin T xdx(n 1,2,). (ii )偶延拓:A. f(x)为［0,］上的非周期函数，令F(x) f(x), 0 x， f ( x), x 0 则F(x)除x 0外在［,］上为偶函数，f(x)〜詈 a n cosnx (余弦级 n 1 数)，a n — 0 f (x)cos nxdx (n 0,1, 2,). B f(x)为［。