数值分析小论文

“数值分析”课程
第一次小论文
郑维珍2015210459 制研15班（精密仪器系）内容：数值分析在你所在研究领域的应用。

要求：1）字数2500以上；2）要有摘要和参考文献；3）截至10.17，网络学堂提交，过期不能提交！
数值分析在微流控芯片研究领域的应用
摘要：
作者在硕士期间即将参与的课题是微流控芯片的研制。

当前，微流控芯片发展十分迅猛，而其中涉及到诸多材料学、电子学、光学、流体力学等领域的问题，加上微纳尺度上的尺寸效应，理论研究和数值计算都显得困难重重。

发展该领域的数值计算，成为重中之重。

本文从微流体力学、微传热学、微电磁学、微结构力学等分支入手，简要分析一下数值分析方法在该领域的应用。

微流控芯片(Microfluidic Chip)通常又称芯片实验室(Lab-On-a-Chip )，它是20世纪90年代初由瑞士的Manz和Widmer提出的[1-2]，它通过微细加工技术，将微管道、微泵、微阀、微电极、微检测元件等功能元件集成在芯片材料(基片)上，完成整个生化实验室的分析功能，具有减少样品的消耗量、节省反应和分析的时间、高通量和便携性等优点。

通常一个微流控芯片系统都会执行一个到多个微流体功能，如泵、混合、热循环、扩散和分离等，精确地操纵这些流体过程是微流控芯片的关键。

因此它的研究不仅需要生命科学、MEMS、材料学、电子学、光学、流体力学等多学科领域的基础理论的支持，还需要很多数学计算。

1）微流体力学计算[3]：
对微管里的流体动力的研究主要包含了以下几个方面：(1)微管内流体的粘滞力的研究；(2)微管内气流液流的传热活动；(3)在绝热或传热的微管内两相流的流动和能量转换。

这三方面的研究涵盖了在绝热、传热和多相转换条件下，可压缩和不可压缩流体在规则或不规则的微管内的流动特性研究。

由此，再结合不同的初值条件和边界条件，我们可以得到各种常微分方程或偏微分方程，而求解这些方程，就是需要很多数值分析的知识。

例如，文献[4]里就针对特定的初值和边界条件，由软件求解了Navier-Stodes方程：
文献[4]专门有一章节讨论了该方程的离散化和数值求解。

微流体力学主要向两个方面发展：一方面是研究流动非定常稳定特性、分叉解及微尺寸效应下的湍流流动的机理，更为复杂的非定常、多尺度的流动特征，高精度、高分辨率的计算方法和并行算法；另一方面是将宏观流体力学的基本模型，结合微纳效应，直接用于模拟各种实际流动，解决微纳芯片生产制造中提出来的各种问题。

2）微传热方程计算：
常微分、偏微分方程的数值求解应用较为广泛的另一问题就是微流体传热问题。

由传热学的相关知识，我们可以达到如下的传热学基本方程：
该方程在二维情况下经过简化和离散，可以得到如教材第三章所讲的“五点差分格式”的方程组，从而采取数值方法求解[5]。

除此之外，微结构芯片在加工和制造过程中也会有很多热学方面的问题，例如文献[6]所反映的注塑成型工艺中，就有大量的类似问题的解决。

3）微电磁学计算：
由于外加电场的作用，电渗流道中会产生焦耳热效应。

许多研究者对电渗流道中的焦耳热效应进行了数值模拟研究。

新加坡南洋理工大学的G. Y. Tang等在电渗流模型的基础上，考虑了与温度有关的物理系数，在固一液祸合区域内利用
基于有限控制容积的流体动力学方法，数值模拟了电渗流道中的焦耳热效应对微流道中动电质量输送的影响[7]。

时域微分方法(TDDE)在微流体电磁场数值计算中已经得到广泛的运用，其中最为著名的便是时域有限差分法(FDTD)。

时域微分法，顾名思义地讲，就是计算电磁学中微分方程法在时域的形式。

众所周知，电磁场的数值计算方法可分为时域方法和频域方法两类，又可分为积分方程法和微分方程法。

时域微分方法结合时域和微分方程的优点，既可以计算目标的宽频特性，又能够分析复杂边界的目标，并随计算机CPU速度和内存容量的飞速发展，对电大尺寸的物体有着较高的计算速度和精度。

文献[8]中就涉及到很多时域积分的应用。

除此之外，在处理电磁学问题时，经常会遇到对定积分的计算。

例如连续分布电荷所产生电场的电场强度和电势、已知场强分布的电场中两点之间电势差、载流导线所产生的磁场、磁场中载流导线所受力的作用等等。

这些问题的求解除需要相应的电磁学知识外，最后都归结为某一定积分的计算。

通常在大学教科书中，类似问题均可通过解析方法得到解决，即所涉及的定积分都是可积的。

但在实际应用中，许多问题无法得到精确解析解，而通过计算机数值积分的方法却可以得到近似的数值解，从而为处理此类问题带来了方便，并且由于计算机运算速度的提高，大大缩短了获得高精度数值解所需的时间。

文献[8]中介绍了两种数值积分的方法。

4)微结构力学计算：
微机电器件中的微机械构件根据形状尺寸与受力特点，可以简化为微梁、微板、微膜和微杆等力学模型。

当微构件的几何尺寸在微米、亚微米或纳米等范畴时，微构件的力学性能与宏观尺寸下构件的力学性能有很大的不同。

目前，在微小尺度实验中已经证实，当微构件的几何尺寸在微米、亚微米或纳米量级上时，微构件的力学性能具有明显的尺寸效应，而这种尺寸效应现象不能用经典的连续介质力学来描述。

因此，发展和完善能够解释和描述微构件的尺寸效应现象的理论和模型就显得至关重要。

文献[10]基于应变梯度理论和哈密顿变分原理，建立了平面杆件系统中微梁的尺寸效应模型以及数值分析模型，使用了理论分析和数值计算，数值分析中采取分离变量、常数变异、傅立叶变换、数值离散等方法来求解的问题外。

研究结
果反映微构件的弯曲变形、固有频率、屈曲载荷等力学性能的尺寸效应以及力电耦合环境下的吸合特性的尺寸效应，可为微机电系统中微构件的设计和实验研究提供依据。

总结而言，在微流控领域，当前与数值计算相关的主要工作集中于以下几点：针对各种具体情况进行理论分析，建立和简化数学模型，并给出求解的初值和边界条件；探索更有效的算法来提高计算精度，提高运算效率，并降低计算费用；进一步开展数值分析和计算在微流控各方面的应用等。

参考文献：
[1]庞中华,宋满仓,刘莹,张金营. 微流控芯片技术的现状与发展[J]. 塑料,2010,03:11-13.
[2]方肇伦,方群. 微流控芯片发展与展望[J]. 现代科学仪器,2001,04:3-6.
[3]吴平.液滴微流控的实验应用和理论研究[D].中国科学技术大学,2014.
[4]冉瑞.微流控芯片流体数值模拟及实验研究[D].中国科学院研究生院（上海微系统与信息技术研究所）,2006.
[5]白锋.介电润湿与电热流动的实验和数值模拟研究[D].上海交通大学,2013.
[6]楚纯朋.微流控芯片注射成型及模内键合研究[D].中南大学,2014.
[7]G.Y. Tang，C. Yang，C.K. Chai，H.Q. Gong. Numerical analysis of the thermal effect on electroosmotic flow and electrokinetic mass transport in microchannels，AnalyticaChimicaActa，2004，507: 27-37.
[8]袁洪.计算电磁学中时域微分方法的数值特性分析与应用[D].南京农业大学,2007.
[9]张鹏.微流控芯片中多物理场耦合问题的数值模拟研究[D].吉林大学,2006.
[10]周腾.基于颗粒与流体耦合作用的被动式微流控芯片设计理论及实验研究[D].中国科学
院研究生院(长春光学精密机械与物理研究所),2014.。