高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版)
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解：在椭圆 （ ）中， ， ，
于是该椭圆的左右焦点分别为 ，
表示椭圆 （ ）上的点 与定点 之间的连线的斜率
令 ，则直线 的方程为 ，即
联立 ，得
令
则 ， （舍去）
又 ，这里 为椭圆 （ ）的右顶点
故 ， ，即 的最大值为 ，最小值为 ．
19. 在直线 ： 上任取一点 ，过点 且以椭圆 的焦点为焦点作椭圆，则点 的坐标为__________时，所作的椭圆的长轴最短，此时该椭圆的方程为__________.
注2：椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦。椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是椭圆的所有焦点弦中最短的弦。设椭圆的方程为 （ ），过其焦点 且垂直于 轴的直线交该双曲线于 、 两点（不妨令点 在 轴的上方），则 ， ，于是该椭圆的通径长为 .
（ⅰ）当 时，点的轨迹是椭圆；
（ⅱ）当 时，点的轨迹是线段 ；
（ⅲ）当 时，点的轨迹不存在。
注2：若用 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为 （ ， ），即 .
注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： 千万不可忘记。
2.椭圆的第二定义：
平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数 （ ）的点的轨迹叫做椭圆。
（4）有时为方便解题，中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为 ，但此时 、 必须满足条件： ， ，且 .
5、点与椭圆的位置关系
点 与椭圆 （ ）的位置关系有以下三种情形：
（ⅰ）若 ，则点 在椭圆上；
（ⅱ）若 ，则点 在椭圆外；
（ⅲ）若 ，则点 在椭圆内；
【例题选讲】
题型1：椭圆定义的应用
1. 平面内存在一动点 到两个定点 、 的距离之和为常数 （ ），则点 的轨迹是（）
4、关于椭圆的标准方程，需要注意的几个问题
（1）关于椭圆的标准方程，最基本的两个问题是：其一，当题目已指明曲线的位置特征，并给出了“特征值”（指 、 、 的值或它们之间的关系，由这个关系结合 ，我们可以确定出 、 、 的值）时，我们便能迅速准确地写出椭圆的标准方程；其二，当题目已给出椭圆的标准方程时，我们便能准确地判断出曲线的位置特征，并能得到 、 、 的值。
（ⅱ）当 以点 为直角顶点时，
设
则
又 ，
于是此时
这表明，此种情形下，点 在椭圆 外，不满足题意。
故 的面积为
16. 已知 、 是椭圆在 轴上的两个焦点， 为椭圆上一点， .
（1）求该椭圆离心率的取值范围；
（2）求证： 的面积只与该椭圆的短轴长有关.
解（1）：由该椭圆的焦点在 轴上，可设其方程为 （ ）
则由该椭圆过 ， 两点，有 ，解得：
故所求椭圆的方程为 ，即 .
11.在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为坐标原点，焦点 、 在 轴上，离心率为 . 若过 的直线 交 于 、 两点，且 的周长为16，那么 的方程为__________.
解：由椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，可设其方程为 （ ）
解：由该椭圆的中心在坐标原点，焦点在 轴上，可设其方程为 （ ）
设 是该椭圆的右焦点，则与其较近的长轴的端点为
于是有 （ ）
又 ， 是该椭圆上的对称点， 是该椭圆的右焦点
又
为等腰直角三角形，其中
于是有 ，即
又
，即 ，代入（ ），得
于是 ，
故所求椭圆的方程为
题型4：与椭圆的焦点有关的三角形问题
14. 设 是椭圆 上的一点， 、 是该椭圆的两个焦点，且 ，则 =__________.
于是由（ ）式，有
（ⅱ）当椭圆 的焦点在 轴上时， ，
于是由（ ）式，有
故 的值为3或5
9. 已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且经过点 ，则该椭圆的方程为__________.
解：由题设条件知， ①
（ⅰ）当椭圆的焦点在 轴上时，设其方程为 （ ）
则由该椭圆过点 ，有 ②
联立①、②得， ，
解：（1） 方程 表示椭圆
故当 时，方程 表示椭圆。
（2） 方程 表示焦点在 轴上的椭圆
故当 时，方程 表示焦点在 轴上的椭圆。
（3） 方程 表示焦点在 轴上的椭圆
故当 时，方程 表示焦点在 轴上的椭圆。
8. 已知椭圆 的焦距为2，则 =__________.
解：由题意知， 于是 （ ）
（ⅰ）当椭圆 的焦点在 轴上时， ，
连接 ，由 是直线 的垂直平分线知，
而 ，
于是点 的轨迹是以 ， 为左右焦点的椭圆，其中 ，
， ，
又该椭圆的中心为 的中点
故点 的轨迹方程为
注：本题点 的轨迹方程虽是椭圆，但该椭圆不关于坐标原点对称，而是关于点 对称，其方程可由把椭圆 沿 轴向右平移了 个单位得到。
4. 方程 表示的曲线是（）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 线段
因而由题意，有
故所求椭圆的方程为
注：由本题可见，椭圆的右（左）顶点到右（左）焦点的距离最小，到左（右）焦点的距离最大。以后在遇到相关问题时，这个结论可以直接用。
13. 已知椭圆的中心在坐标原点，在 轴上的一个焦点 与短轴的两个端点 、 的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点 的距离为 ，则这个椭圆的方程为__________.
（6）准线方程： ；
（7）焦准距： ；
（8）离心率： 且 . 越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁；
（9）焦半径：若 为椭圆 在第一象限内一点，则由椭圆的第二定义，有 ， ；
（10）通径长： .
注1：椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离。以椭圆的右焦点 和右准线 ： 为例，可求得其焦准距为 .
解：由该椭圆的中心在坐标原点，长轴在 轴上，可设其方程为 （ ）
， 而
，即
于是椭圆 的方程可化为
设 是该椭圆上任意一点
则
，
令 ，
其对称轴为
（ⅰ）当 ，即 时，函数 在 上单调递减
此时，
于是 解得：
这显然与 矛盾，因此此种情况不存在。
（ⅱ）当 时，这显然与 矛盾，因此此种情况不存在。
（ⅲ）当 ，即 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减
解：在椭圆 中，
于是 ，
在 中，由余弦定理，有
于是
故
15. 已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在该椭圆上. 若点 、 、 是一个直角三角形的三个顶点，则 的面积为____________.
解：在椭圆 中，
于是 ，
（ⅰ）当 以点 或 为直角顶点时，
或 ，而
或
于是此时总有
并且此种情形下，
即点 在椭圆 上，满足题意。
又 线段 的中点在 轴上，而 是线段 的中点
于是
（法一）在 中，
又由椭圆的定义，有 ①
②Fra Baidu bibliotek
联立①、②得， ，
故 ，即 是 的7倍。
（法二） ，而
故 ，即 是 的7倍。
6. 设 、 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆上的一点。已知 ， ， 是一个直角三角形的三个顶点，且 ，则 =__________.
解：在椭圆 中，
在 中，由余弦定理，有
又
而
，即
于是
又
故该椭圆离心率的取值范围是
证（2）：由（1）知，
故 的面积只与该椭圆的短轴长有关
题型5：椭圆中的最值问题
17. 设 是椭圆 的左焦点，点 是椭圆上的一个动点， 为定点，则 的最小值为__________.
解：在椭圆 中， ， ，
于是该椭圆的左右焦点分别为 ，
故
18. 若 满足 （ ），则 的最大值、最小值分别为__________.
于是 ，
（ⅰ）当 时，
又 ①
于是
又
②
联立①、②得， ，
于是此时
（ⅱ）当 时，
而 ③
④
联立③、④得， ，
于是此时
故 的值为2或
题型2：求椭圆的方程
7. （1）若方程 表示椭圆，则 的取值范围是__________；
（2）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是__________；
（3）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是__________.
A.圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 椭圆或线段
解：由题意知，
（ⅰ）当 时，点 的轨迹是椭圆；
（ⅱ）当 时，点 的轨迹是线段 .
故点 的轨迹是椭圆或线段
2.已知圆 ： ，点 ， 是圆 上任意一点，线段 的中垂线 和直线 相交于点 ，则点 的轨迹方程为__________.
解：圆 ： 的圆心坐标为 ，半径
圆锥曲线第1讲 椭圆
【知识要点】
1、椭圆的定义
1.椭圆的第一定义：
平面内到两个定点 、 的距离之和等于定长 （ ）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作 ）大于这两个定点之间的距离 （记作 ），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下：
2、椭圆的标准方程
（1）焦点在 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是 （ ）；
（2）焦点在 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是 （ ）.
注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在 轴还是在 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟 走，椭圆的焦点在 轴；长半轴跟 走，椭圆的焦点在 轴。
（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为 （ ）或 （ ）；若题目未指明椭圆的焦点究竟是在 轴上还是 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 （ ， ，且 ）.
而
，即
于是
又
于是
故椭圆 的方程为
题型3：椭圆的性质
12. 椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的方程为_________.
解：不妨设所求椭圆的方程为 （ ）
设 是该椭圆上任意一点， 是其一个焦点
令 ，
则
又 ，
于是当 ，即点 为椭圆 的右顶点时， 取得最小值，且 ；
当 ，即点 为椭圆 的左顶点时， 取得最大值，且 .
解：在椭圆 中， ， ，
于是该椭圆的左右焦点分别为 ，
要使过点 且以椭圆 的焦点为焦点所作的椭圆的长轴最短
必须使 最小
设 关于直线 ： 的对称点为
则由 ，即 ，得
于是直线 的方程为 ，即
显然，使 取得最小值的点 即为直线 与直线 的交点
联立 ，得
此时
，
故所求椭圆的方程为
20. 若点 和点 分别为椭圆 的中心和左焦点，点 为椭圆上任意一点，则 的最大值为__________，此时点 的坐标为__________.
解：在椭圆 中，
于是
设
则 ， ，并且
于是 ，
令 ，
其对称轴为
函数 在 上单调递增
于是
将 代入方程 中，得
故 的最大值为6，此时点 的坐标为 .
21. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 轴上，离心率 . 已知点 到这个椭圆上一点的最远距离为 ，则该椭圆的方程为__________，该椭圆上到点 的距离为 的点的坐标是__________.
解：由 ，有
这表明，点 到定点 的距离与它到定直线 ： 的距离之比等于常数 （ ）．由椭圆的第二定义知，点 的轨迹是椭圆，即方程 表示的曲线是椭圆。
5. 椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 在椭圆上。若线段 的中点在 轴上，则 是 的（）
A.7倍 B. 5倍 C. 4倍 D. 3倍
解：在椭圆 中，
于是
连接 ，由 是直线 的中垂线知，
而 ，
于是点 的轨迹是以 ， 为左右焦点的椭圆，其中 ，
， ，
又该椭圆的中心为坐标原点
故点 的轨迹方程为
3.已知点 ，点 是圆 上的一个动点，线段 的垂直平分线交圆的半径 于点 ，当点 在圆周上运动时，点 的轨迹方程为__________.
解：圆 ： 的圆心坐标为 ，半径
于是此时该椭圆的方程为
（ⅱ）当该椭圆的焦点在 轴上时，设其方程为 （ ）
则由该椭圆过点 ，有 ③
联立①、③得， ，
于是此时该椭圆的方程为
故所求椭圆的方程为 或
10. 已知椭圆的中心在坐标原点、以坐标轴为对称轴，且经过两点 ， ，则椭圆的方程为__________.
解：设所求椭圆的方程为 （ ， ，且 ）
（2）椭圆的标准方程中的参数 、 、 是椭圆所固有的，与坐标系的建立无关； 、 、 三者之间的关系： 必须牢固掌握。
（3）求椭圆的标准方程，实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数 、 。根据题目已知条件，我们列出以 、 为未知参数的两个方程，联立后便可确定出 、 的值。特别需要注意的是：若题目中已经指明椭圆的焦点在 轴或 轴上，则以 、 为未知参数的方程组只有一个解，即 、 只有一个值；若题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上，则以 、 为未知参数的方程组应有两个解，即 、 应有两个值。
3、椭圆的性质
以标准方程 （ ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
（1）范围： ， ；
（2）对称性：关于 轴、 轴轴对称，关于坐标原点中心对称；
（3）顶点：左右顶点分别为 ， ；上下顶点分别为 ， ；
（4）长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ；
（5）长半轴 、短半轴 、半焦距 之间的关系为 ；
于是该椭圆的左右焦点分别为 ，
表示椭圆 （ ）上的点 与定点 之间的连线的斜率
令 ，则直线 的方程为 ，即
联立 ，得
令
则 ， （舍去）
又 ，这里 为椭圆 （ ）的右顶点
故 ， ，即 的最大值为 ，最小值为 ．
19. 在直线 ： 上任取一点 ，过点 且以椭圆 的焦点为焦点作椭圆，则点 的坐标为__________时，所作的椭圆的长轴最短，此时该椭圆的方程为__________.
注2：椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦。椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是椭圆的所有焦点弦中最短的弦。设椭圆的方程为 （ ），过其焦点 且垂直于 轴的直线交该双曲线于 、 两点（不妨令点 在 轴的上方），则 ， ，于是该椭圆的通径长为 .
（ⅰ）当 时，点的轨迹是椭圆；
（ⅱ）当 时，点的轨迹是线段 ；
（ⅲ）当 时，点的轨迹不存在。
注2：若用 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为 （ ， ），即 .
注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： 千万不可忘记。
2.椭圆的第二定义：
平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数 （ ）的点的轨迹叫做椭圆。
（4）有时为方便解题，中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为 ，但此时 、 必须满足条件： ， ，且 .
5、点与椭圆的位置关系
点 与椭圆 （ ）的位置关系有以下三种情形：
（ⅰ）若 ，则点 在椭圆上；
（ⅱ）若 ，则点 在椭圆外；
（ⅲ）若 ，则点 在椭圆内；
【例题选讲】
题型1：椭圆定义的应用
1. 平面内存在一动点 到两个定点 、 的距离之和为常数 （ ），则点 的轨迹是（）
4、关于椭圆的标准方程，需要注意的几个问题
（1）关于椭圆的标准方程，最基本的两个问题是：其一，当题目已指明曲线的位置特征，并给出了“特征值”（指 、 、 的值或它们之间的关系，由这个关系结合 ，我们可以确定出 、 、 的值）时，我们便能迅速准确地写出椭圆的标准方程；其二，当题目已给出椭圆的标准方程时，我们便能准确地判断出曲线的位置特征，并能得到 、 、 的值。
（ⅱ）当 以点 为直角顶点时，
设
则
又 ，
于是此时
这表明，此种情形下，点 在椭圆 外，不满足题意。
故 的面积为
16. 已知 、 是椭圆在 轴上的两个焦点， 为椭圆上一点， .
（1）求该椭圆离心率的取值范围；
（2）求证： 的面积只与该椭圆的短轴长有关.
解（1）：由该椭圆的焦点在 轴上，可设其方程为 （ ）
则由该椭圆过 ， 两点，有 ，解得：
故所求椭圆的方程为 ，即 .
11.在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为坐标原点，焦点 、 在 轴上，离心率为 . 若过 的直线 交 于 、 两点，且 的周长为16，那么 的方程为__________.
解：由椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，可设其方程为 （ ）
解：由该椭圆的中心在坐标原点，焦点在 轴上，可设其方程为 （ ）
设 是该椭圆的右焦点，则与其较近的长轴的端点为
于是有 （ ）
又 ， 是该椭圆上的对称点， 是该椭圆的右焦点
又
为等腰直角三角形，其中
于是有 ，即
又
，即 ，代入（ ），得
于是 ，
故所求椭圆的方程为
题型4：与椭圆的焦点有关的三角形问题
14. 设 是椭圆 上的一点， 、 是该椭圆的两个焦点，且 ，则 =__________.
于是由（ ）式，有
（ⅱ）当椭圆 的焦点在 轴上时， ，
于是由（ ）式，有
故 的值为3或5
9. 已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且经过点 ，则该椭圆的方程为__________.
解：由题设条件知， ①
（ⅰ）当椭圆的焦点在 轴上时，设其方程为 （ ）
则由该椭圆过点 ，有 ②
联立①、②得， ，
解：（1） 方程 表示椭圆
故当 时，方程 表示椭圆。
（2） 方程 表示焦点在 轴上的椭圆
故当 时，方程 表示焦点在 轴上的椭圆。
（3） 方程 表示焦点在 轴上的椭圆
故当 时，方程 表示焦点在 轴上的椭圆。
8. 已知椭圆 的焦距为2，则 =__________.
解：由题意知， 于是 （ ）
（ⅰ）当椭圆 的焦点在 轴上时， ，
连接 ，由 是直线 的垂直平分线知，
而 ，
于是点 的轨迹是以 ， 为左右焦点的椭圆，其中 ，
， ，
又该椭圆的中心为 的中点
故点 的轨迹方程为
注：本题点 的轨迹方程虽是椭圆，但该椭圆不关于坐标原点对称，而是关于点 对称，其方程可由把椭圆 沿 轴向右平移了 个单位得到。
4. 方程 表示的曲线是（）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 线段
因而由题意，有
故所求椭圆的方程为
注：由本题可见，椭圆的右（左）顶点到右（左）焦点的距离最小，到左（右）焦点的距离最大。以后在遇到相关问题时，这个结论可以直接用。
13. 已知椭圆的中心在坐标原点，在 轴上的一个焦点 与短轴的两个端点 、 的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点 的距离为 ，则这个椭圆的方程为__________.
（6）准线方程： ；
（7）焦准距： ；
（8）离心率： 且 . 越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁；
（9）焦半径：若 为椭圆 在第一象限内一点，则由椭圆的第二定义，有 ， ；
（10）通径长： .
注1：椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离。以椭圆的右焦点 和右准线 ： 为例，可求得其焦准距为 .
解：由该椭圆的中心在坐标原点，长轴在 轴上，可设其方程为 （ ）
， 而
，即
于是椭圆 的方程可化为
设 是该椭圆上任意一点
则
，
令 ，
其对称轴为
（ⅰ）当 ，即 时，函数 在 上单调递减
此时，
于是 解得：
这显然与 矛盾，因此此种情况不存在。
（ⅱ）当 时，这显然与 矛盾，因此此种情况不存在。
（ⅲ）当 ，即 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减
解：在椭圆 中，
于是 ，
在 中，由余弦定理，有
于是
故
15. 已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在该椭圆上. 若点 、 、 是一个直角三角形的三个顶点，则 的面积为____________.
解：在椭圆 中，
于是 ，
（ⅰ）当 以点 或 为直角顶点时，
或 ，而
或
于是此时总有
并且此种情形下，
即点 在椭圆 上，满足题意。
又 线段 的中点在 轴上，而 是线段 的中点
于是
（法一）在 中，
又由椭圆的定义，有 ①
②Fra Baidu bibliotek
联立①、②得， ，
故 ，即 是 的7倍。
（法二） ，而
故 ，即 是 的7倍。
6. 设 、 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆上的一点。已知 ， ， 是一个直角三角形的三个顶点，且 ，则 =__________.
解：在椭圆 中，
在 中，由余弦定理，有
又
而
，即
于是
又
故该椭圆离心率的取值范围是
证（2）：由（1）知，
故 的面积只与该椭圆的短轴长有关
题型5：椭圆中的最值问题
17. 设 是椭圆 的左焦点，点 是椭圆上的一个动点， 为定点，则 的最小值为__________.
解：在椭圆 中， ， ，
于是该椭圆的左右焦点分别为 ，
故
18. 若 满足 （ ），则 的最大值、最小值分别为__________.
于是 ，
（ⅰ）当 时，
又 ①
于是
又
②
联立①、②得， ，
于是此时
（ⅱ）当 时，
而 ③
④
联立③、④得， ，
于是此时
故 的值为2或
题型2：求椭圆的方程
7. （1）若方程 表示椭圆，则 的取值范围是__________；
（2）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是__________；
（3）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是__________.
A.圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 椭圆或线段
解：由题意知，
（ⅰ）当 时，点 的轨迹是椭圆；
（ⅱ）当 时，点 的轨迹是线段 .
故点 的轨迹是椭圆或线段
2.已知圆 ： ，点 ， 是圆 上任意一点，线段 的中垂线 和直线 相交于点 ，则点 的轨迹方程为__________.
解：圆 ： 的圆心坐标为 ，半径
圆锥曲线第1讲 椭圆
【知识要点】
1、椭圆的定义
1.椭圆的第一定义：
平面内到两个定点 、 的距离之和等于定长 （ ）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作 ）大于这两个定点之间的距离 （记作 ），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下：
2、椭圆的标准方程
（1）焦点在 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是 （ ）；
（2）焦点在 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是 （ ）.
注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在 轴还是在 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟 走，椭圆的焦点在 轴；长半轴跟 走，椭圆的焦点在 轴。
（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为 （ ）或 （ ）；若题目未指明椭圆的焦点究竟是在 轴上还是 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 （ ， ，且 ）.
而
，即
于是
又
于是
故椭圆 的方程为
题型3：椭圆的性质
12. 椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的方程为_________.
解：不妨设所求椭圆的方程为 （ ）
设 是该椭圆上任意一点， 是其一个焦点
令 ，
则
又 ，
于是当 ，即点 为椭圆 的右顶点时， 取得最小值，且 ；
当 ，即点 为椭圆 的左顶点时， 取得最大值，且 .
解：在椭圆 中， ， ，
于是该椭圆的左右焦点分别为 ，
要使过点 且以椭圆 的焦点为焦点所作的椭圆的长轴最短
必须使 最小
设 关于直线 ： 的对称点为
则由 ，即 ，得
于是直线 的方程为 ，即
显然，使 取得最小值的点 即为直线 与直线 的交点
联立 ，得
此时
，
故所求椭圆的方程为
20. 若点 和点 分别为椭圆 的中心和左焦点，点 为椭圆上任意一点，则 的最大值为__________，此时点 的坐标为__________.
解：在椭圆 中，
于是
设
则 ， ，并且
于是 ，
令 ，
其对称轴为
函数 在 上单调递增
于是
将 代入方程 中，得
故 的最大值为6，此时点 的坐标为 .
21. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 轴上，离心率 . 已知点 到这个椭圆上一点的最远距离为 ，则该椭圆的方程为__________，该椭圆上到点 的距离为 的点的坐标是__________.
解：由 ，有
这表明，点 到定点 的距离与它到定直线 ： 的距离之比等于常数 （ ）．由椭圆的第二定义知，点 的轨迹是椭圆，即方程 表示的曲线是椭圆。
5. 椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 在椭圆上。若线段 的中点在 轴上，则 是 的（）
A.7倍 B. 5倍 C. 4倍 D. 3倍
解：在椭圆 中，
于是
连接 ，由 是直线 的中垂线知，
而 ，
于是点 的轨迹是以 ， 为左右焦点的椭圆，其中 ，
， ，
又该椭圆的中心为坐标原点
故点 的轨迹方程为
3.已知点 ，点 是圆 上的一个动点，线段 的垂直平分线交圆的半径 于点 ，当点 在圆周上运动时，点 的轨迹方程为__________.
解：圆 ： 的圆心坐标为 ，半径
于是此时该椭圆的方程为
（ⅱ）当该椭圆的焦点在 轴上时，设其方程为 （ ）
则由该椭圆过点 ，有 ③
联立①、③得， ，
于是此时该椭圆的方程为
故所求椭圆的方程为 或
10. 已知椭圆的中心在坐标原点、以坐标轴为对称轴，且经过两点 ， ，则椭圆的方程为__________.
解：设所求椭圆的方程为 （ ， ，且 ）
（2）椭圆的标准方程中的参数 、 、 是椭圆所固有的，与坐标系的建立无关； 、 、 三者之间的关系： 必须牢固掌握。
（3）求椭圆的标准方程，实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数 、 。根据题目已知条件，我们列出以 、 为未知参数的两个方程，联立后便可确定出 、 的值。特别需要注意的是：若题目中已经指明椭圆的焦点在 轴或 轴上，则以 、 为未知参数的方程组只有一个解，即 、 只有一个值；若题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上，则以 、 为未知参数的方程组应有两个解，即 、 应有两个值。
3、椭圆的性质
以标准方程 （ ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
（1）范围： ， ；
（2）对称性：关于 轴、 轴轴对称，关于坐标原点中心对称；
（3）顶点：左右顶点分别为 ， ；上下顶点分别为 ， ；
（4）长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ；
（5）长半轴 、短半轴 、半焦距 之间的关系为 ；