三年级下册数学奥数试题 容斥问题 人教版
三年级数学-容斥原理问题2
三年级数学－容斥原理问题2
一、选择题
1．三（1）班有50人，其中25人喜欢吃苹果，22人喜欢吃橘子，13人既喜欢吃苹果又喜欢吃橘子．两种水果都不喜欢吃的有（）人．
A：34 B ：16 C：3
2．三（1）班有45人，每人都参加了跳绳比赛或跑步比赛．跳绳比赛的有28人，跑步比赛的有24人，两种活动都参加的有（）人．
A．17 B．7 C．24
3．红星小学三一班有25位同学报了合唱兴趣班，有32位同学报了美术兴趣班，其中有10位同学同时报了这两个兴趣班，三一班至少有（）位同学报了兴趣班．
A．47 B．57 C．67
4．学校开设了两个兴趣小组，三年级20人参加书画小组，18人参加了音乐小组，两个小组都参加的有5人，那么三年级一共有（）人参加了兴趣小组．
A．38 B．33 C．23
5．在运动会上,参加短跑的有12人,参加长跑的有4人,这两项都参加的有4人,共有()人参加这两项比赛．
A．8B．16C．12
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小学奥数计数之容斥原理练习【三篇】
【导语】天⾼鸟飞，海阔鱼跃，学习这舞台，秀出你独特的精彩⽤好分秒时间，积累点滴知识，解决疑难问题，学会举⼀反三。
以下是为⼤家整理的《⼩学奥数计数之容斥原理练习【三篇】》供您查阅。
【第⼀篇】1.⼀个班有45个⼩学⽣,统计借课外书的情况是:全班学⽣都借有语⽂或数学课外书.借语⽂课外书的有39⼈,借数学课外书的有32⼈.语⽂、数学两种课外书都借的有⼈. 3.在1~100的⾃然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个. 4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75⼈,既懂英语⼜懂俄语的20⼈,那么懂俄语的教师为⼈. 5.六⼀班有学⽣46⼈,其中会骑⾃⾏车的17⼈,会游泳的14⼈,既会骑车⼜会游泳的4⼈,问两样都不会的有⼈. 6.在1⾄10000中不能被5或7整除的数共有个. 7.在1⾄10000之间既不是完全平⽅数,也不是完全⽴⽅数的整数有个. 8.某班共有30名男⽣,其中20⼈参加⾜球队,12⼈参加蓝球队,10⼈参加排球队.已知没⼀个⼈同时参加3个队,且每⼈⾄少参加⼀个队,有6⼈既参加⾜球队⼜参加蓝球队,有2⼈既参加蓝球队⼜参加排球队,那么既参加⾜球队⼜参加排球队的有⼈. 9.分母是1001的最简真分数有个. 10.在100个学⽣中,⾳乐爱好者有56⼈,体育爱好者有75⼈,那么既爱好⾳乐,⼜爱好体育的⼈最少有⼈,最多有⼈.【第⼆篇】[ 例1 ] 洗好的8块⼿帕夹在绳⼦上晾⼲，同⼀个夹⼦夹住相邻的两块⼿帕的两边，这样⼀共要多少个夹⼦？ 分析：两块⼿帕有⼀边重叠，⽤3个夹⼦。
三块⼿帕有两边重叠，⽤4个夹⼦，我们发现夹⼦数总⽐⼿帕数多1，因此8块⼿帕就要⽤9个夹⼦。
[ 例2 ] 把图画每两张重叠在⼀起钉在墙上，现在有5张画要多少个图钉呢？ 分析：每排两张画要6个图钉，每排三张画要8个图钉，每排四张画要10个图钉。
可以看出，图画每增加⼀张，图钉就要增加2颗，那么5张画要12个图钉。
1.有两块⽊板，⼀块长72厘⽶，另⼀块长56厘⽶，如果把两块⽊板重叠后钉成⼀块⽊板，重叠部分是20厘⽶。
(完整版)小学奥数-容斥原理(教师版)(可编辑修改word版)
容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。
”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80 种鸟类。
狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。
”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有 60 种兽类。
最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140 种。
”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是 139 种。
”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。
当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。
由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理 1如果被计数的事物有 A、B 两类，那么， A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。
即A∪B = A+B - A∩B容斥原理 2如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么， A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数—既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。
即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C容斥原理 1【例 1】★一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B 类元素”，“语、数都是满分”称为“既是 A 类又是 B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A 类和 B 类元素个数”的总和。
三年级奥数题及参考答案-容斥原理问题
三年级奥数题及参考答案-容斥原理问题
编者导语：数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促进教学改革、提高教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。
这项活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣，吸引他们去进行积极的探索，不断培养和提高他们的创造性思维能力。
为大家准备了小学三年级奥数题，希望小编整理的三年级奥数题及参考答案：容斥原理问题，可以帮助到你们，助您快速通往高分之路!!
容斥原理
三年级科技活动组共有 63人。
在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人。
每个同学都至少完成了一项活动。
问：同时完成这两项活动的同学有多少人?
解：因42+34=76，76>63，所以必有人同时完成了这两项活动。
由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，42+34-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)=63。
由减法运算法则知，完成两项活动的人数为
76-63=13(人)。
三年级数学容斥应用题
三年级数学容斥应用题在数学学习中，容斥原理是一种重要的计数技巧，它可以帮助我们解决一些看似复杂的问题。
容斥原理的基本思想是：如果我们需要计算几个集合中元素的总数，可以先计算每个集合中的元素数，然后减去它们的交集部分，以避免重复计数。
现在，让我们通过几个具体的应用题来深入理解这一原理。
# 例题一：班级兴趣小组小明所在的班级有30名学生，其中参加数学兴趣小组的有10人，参加英语兴趣小组的有15人。
但是，有5名学生同时参加了数学和英语兴趣小组。
请问，班级中至少参加一个兴趣小组的学生有多少人？解答：首先，我们计算参加数学兴趣小组和英语兴趣小组的学生总数，即10 + 15 = 25人。
但是，这样计算会将同时参加两个小组的5名学生重复计算了两次。
根据容斥原理，我们需要从总数中减去这部分重复的学生数，即25 - 5 = 20人。
所以，班级中至少参加一个兴趣小组的学生有20人。
# 例题二：公园里的游客在一个公园里，有100名游客。
其中，有60人参观了动物园，有40人参观了植物园。
但是，有20人既参观了动物园又参观了植物园。
此外，还有10人没有参观任何景点。
请问，公园里参观了至少一个景点的游客有多少人？解答：首先，我们计算参观动物园和植物园的游客总数，即60 + 40 = 100人。
但是，这样计算会将同时参观两个景点的20名游客重复计算了两次。
根据容斥原理，我们需要从总数中减去这部分重复的游客数，即100 - 20 = 80人。
然后，我们需要加上没有参观任何景点的10人，因为题目要求的是至少参观一个景点的游客数。
所以，公园里参观了至少一个景点的游客有80 + 10 = 90人。
# 例题三：图书馆借书情况图书馆有三种类型的图书：科幻、历史和文学。
有50名学生借了科幻书，有30名学生借了历史书，有20名学生借了文学书。
但是，有10名学生同时借了科幻和历史书，有5名学生同时借了科幻和文学书，还有3名学生同时借了历史和文学书。
小学奥数趣味学习《容斥问题》典型例题及解答
小学奥数趣味学习《容斥问题》典型例题及解答容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。
数量关系:A∪B = A+B - A∩BA∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C解题思路和方法:先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
可画文氏（韦恩）图来解题。
例题1：有两块木板各长50厘米，把两块木板钉成一块长木板，中间钉在一起的重叠部分长8厘米。
钉成的木板长 _____ 厘米。
解：1、本题考查了学生的运算能力、应用能力。
解决重叠问题时，要注意重叠的部分不能重复计算。
2、两块木板一共长50+50=100（厘米），如果钉在一起，说明原来的两个8厘米变成了一个8厘米，这样钉成的木板比100厘米少了8厘米，所以钉成的木板长100-8=92（厘米）。
例题2：有两张各长20厘米的纸条，粘贴在一起后的总长是36厘米，那么重叠部分长（）厘米。
A、2B、4C、8D、16解：1、此题考查孩子的应用能力、运算能力。
孩子没有进行画图理解，只是凭自己的主观想象进行思考，没有找到总长度与重复部分长度之间的关系，在后面计算时出现错误。
2、两张纸条如果没有重叠，那么一共长20＋20＝40（厘米），而重叠后的长度是36厘米，短了40－36＝4（厘米），说明重叠部分的长度是4厘米。
选择B。
例题3：某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，这个班共有多少人？解：根据题意画图2、我们可以先算出19+20+21=60（人），但是这里有被重复算的和漏算的，我们要注意减去重复的部分，加上漏算的部分。
03小学奥数练习卷(知识点：容斥原理)后附答案解析
03小学奥数练习卷（知识点：容斥原理）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共2小题）1．三年级有108个小朋友去春游，带矿泉水的有65人，带水果的有63人，每人至少带一种．其中既带矿泉水又带水果的有（）人．A．19B．20C．21D．222．某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有（）个学生这三项运动都会．A．4B．5C．6D．7第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共43小题）3．把1到81这81个正整数随意放置在一个圆周上，统计所有相邻的3个数的奇偶性后得知，3个数全是奇数的有25组，恰有2个奇数的有17组．那么，恰有1个奇数的有组，没有奇数的有组．4．某校国标舞团共有43人，其中会拉丁舞的有15人，会探戈的有13人，两者都会的有5人，那两种都不会的有人．5．空军突击队共有25名士兵，每个人都擅长射击和武术中的一项或者两项，如果士兵中擅长射击的有20人，擅长武术的有12人，则两项均擅长的士兵有人．6．同学们去春游，带水壶的有80人，带水果的有70人，两样都没带的有6人．若既带水壶又带水果的人数是所有参加春游人数的一半，则参加春游的同学共有人．7．对120种食物是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果是：含甲的62种，含乙的90种，含丙的68种，含甲、乙的48种，含甲、丙的36种，含乙、丙的50种，含甲、乙、丙的25种．问（1）仅含维生素甲的有种．（2）不含甲、乙、丙三种维生素的有种．8．在1～100的自然数中，是5的倍数或是7的倍数的数有个．9．一次数学测试只有2道题，四年一班48名同学中，答对第一题的有36人，答对第二题的有32人，两题都答对的有22人，两题都答错的有人．10．一次数学测试只有2道题，三年一班48名同学中，每人至少都答对1题．其中答对第一题的有36人，答对第二题的有32人，两题都答对的有人．11．海军突击队共有士兵30人，每个人都擅长射击和空手格斗中的一项或两项，如果士兵中擅长射击的有12人，擅长空手格斗的有23人．那么，这两项均擅长的士兵有人．12．三支蜡烛分别能燃烧30，40，50分钟（但是不是同时点燃的），已知这三支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有10分钟，只有一支蜡烛处于燃烧状态的时间有20分钟．那么正好有两支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有分钟．13．某班语文、数学期中考试成绩统计表如下，语文得100分的有10人，数学得100分的有12人，两科都得100分的有3人，两科都未能得100分的有26人，这个班共有人．14．实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加，这个班有人参加了语文或数学兴趣小组．15．“两会”是“全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”的简称，如果2017年“人大会议”和“政协会议”均历时11天，并且两个会议有9天同时进行．那么，2017年的“两会”将一共进行天．16．五年级共有69名同学报名参加了学校运动会，每位同学至少在短跑、跳高、标枪比赛中参加一项，已知其中参加短跑的有32人，参加跳高的有33人，参加标枪的有39人，而在参加跳高的同学中有22人还报名了其他项目，在参加标枪的同学中有23人还报名参加了其他项目，如果只有5名同学参加了全部三个项目，那么恰好参加两项比赛的同学共有人．17．中环杯的某个考场中一共有45个学生，其中英语好的有35人，语文好的有31人，两门功课都好的有24人，那么两门功课都不好的学生有人．18．学而思准备成立“滑滑社团”，要求必须至少会滑冰、滑雪中的一项，才有资格成为团员．已知有2015名符合上述要求的人前来报名，其中不会滑冰的有406人，不会滑雪的有460人，那么，其中两种运动都会的有人．19．小明买了4个苹果、6个梨和8个桃，小红买了5个苹果、7个梨和6个桃．在接下去的18天中，他们每人每天吃一个水果，有三天两人都吃苹果；有两天两人都吃梨，还有三天一人吃苹果，另一人吃梨，那么有天两人都吃桃．20．动物王国中有一个奇怪的猫村，已知猫村共有60只猫，其中有漂亮尾巴的27只，漂亮毛色的45只，所有猫毛色或尾巴至少一项漂亮，则两样都漂亮的有只．21．佳佳是一位国旗爱好者，他从全世界193个国家的国旗中，挑出了43面带星星图案或带月亮图案的国旗，发现其中带星星图案的国旗有34面．带月亮图案的国旗有18面，那么既带星星图案又带月亮图案的国旗有面．22．有编号为1，2，3，…2015的2015盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制．若将编号为2的倍数，3的倍数，5的倍数的灯线都各拉一下，这时，亮着的灯有盏．23．一次数学竞赛有A，B，C三题，参赛的39个人中，每人至少答对了一道题．在答对A的人中，只答对A的比还答对其它题目的多5人；在没答对A的人中，答对B的是答对C的2倍；又知道只答对A的等于只答对B的与只答对C的人数之和．那么答对A的最多有人．24．学而思在“五一劳动节”即将发行新版积分卡．如果旧版积分卡上共出现300位老师，新版积分卡上共出现400位老师，其中有150位老师在新旧两版积分卡中都出现了，那么，在新旧两版积分卡上共出现了位老师．25．学校组织六年级的240名同学们参加学科竞赛．其中，既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有40人，两项比赛都不参加的有24人，只参加语文竞赛与只参加数学竞赛的人数之比为5：3，那么，这些同学中，参加语文竞赛的有人，参加数学竞赛的有人．26．某班有40名学生，其中15人参加数学兴趣小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么该班学生中，这两个小组都不参加的共有人．27．少年宫春季书法班，美术班、器乐班招生，书法班招收了29名学员，美术班招收了28名学员，器乐班招收了27名学员，在这些学员中，既报书法又报美术的有13名，既报书法又报器乐的有12人，既报美术又报器乐的有11名，三个科目都报的有5名，那么，只参加一个科目学习的学员有名．28．少年宫春季书法班，美术班，器乐班招生．书法班招收了29名学员，在这些学员中，既报书法又报美术的有13名，既报书法又报乐器的有12人，三个科目都报的有5名．那么，只参加书法学习的学员有名．29．某校3年级共有学生100人，其中68人爱看体育频道，55人爱看文艺频道，另有3人这两个频道都不爱看．那么这两个频道都爱看的学生有人．30．四年级的两个班共有学生72人，其中有女生35人，四（1）班有学生36人，四（2）班有男生19人，则四（1）班有女生人．31．如图，有边长都是 2 的红、黄、蓝三张透明的正方形塑料片．先将红色塑料片平放于桌面，再放上黄色嫩料片，重叠部分是一个边长是1的橙色正方形；然后又放上蓝色塑料片，它和橙色正方形的重叠部分是一个边长是0.5 的黑色正方形．此时，三张塑料片在桌面上覆盖的面积是．32．甲、乙、丙三校合办画展，参展的画中，有41幅不是甲校的，有38幅不是乙校的，甲、乙两校参展的画共43幅，那么，丙校参展的画有幅．33．少年宫春季书法班、美术班、器乐班招生．书法班招收了29名学员，美术班招收了28名学员，器乐班招收了27名学员．在这些学员中，既报书法又报美术的有13名，既报书法又报器乐的有12人，既报美术又报器乐的有11名，三个科目都报的有5名．那么，只参加一个科目学习的学员有名．34．一共有52个学生参加游园活动，其中参观植物馆的有12人，参观动物馆的有26人，参观科技馆的有2人，既参观植物馆又参观动物馆的有5人，既参观植物馆又参观科技馆的有2人，既参观动物馆又参观科技馆的有4人，三个馆都参观的有1人，则有人这三个馆都没有参观．35．2013年国庆节，某市组织了2013人进行大型团体表演操，参加表演的都是三、四、五年级的学生，他们身穿全红、全白或全蓝的运动衣．已知四年级有600人，五年级有800人，三个年级穿白色运动衣的共有800人．三年级穿红色、蓝色运动衣，四年级穿红色运动衣，五年级穿白色运动衣的学生各有200人．那么，四年级穿蓝色运动衣的有人．36．某班有40名学生，其中15名参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加，那么有人两个小组都不参加．37．十一长假，语文老师布置了两篇作文，题目是：《20年后的母校》、《伦敦奥运会》，结果有34人完成了《20年后的母校》，有46人完成了《伦敦奥运会》，全班52人中没有人偷懒（都至少完成了一片作文），那么，两篇作文都完成了的有人．38．设a、b、c分别是0﹣9中的数字，它们不同时都为0也不同时都为9，将循环小数0.b化成最简分数后，分子有不同情况．39．四年级某班50人，做两题数学选择题，做对第一题的有36人，做对第二题的有24人，两题都对的18人，那么两题都没有做对的最多有人．40．老师出了200道题让王亮、李涛和张清三人做．三人每人都做对了120道．且每道题都有人做对，如果把三人都做对的题称为简单题，只有一人做对的称为难题，那么，难题比简单题多道．41．科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有人．42．在某一学校，星期一有15个学生缺席，星期二有12个同学缺席，星期三有9个同学缺席．如果这三天至少有一天缺席的学生有 22 人，那么在这三天都缺席的学生最多有人．43．学校数学竞赛出了A，B，C三道题，至少做对一道的有25人，其中做对A 题的有10人，做对B题的有13人，做对C题的有15人．如果三道题都做对的只有1人，那么只做对两题的共有人．44．某次数学竞赛以后52 人参加，共考5道题，每道题做错的人数统计如下：如果每人都至少做对1道题，只做对1题有7人，5道题都做对的有6人，只做对2道题和只做对3道题的人数相同，那么做对4道题的有人．45．一个班在一年中组织了三次郊游活动，有70%的学生参加了第一次郊游，80%的同学参加了第二次郊游，90%的同学参加了第三次郊游，有12人这三次郊游都参加了，全班每人至少参加两次，这个班有学生．三．解答题（共5小题）46．六年级一班春游，带矿泉水的有18人，带水果的有16人，这两种至少带一种的有28人，求两种都带的有多少人？47．某小学举办工艺品展览，学校展出了每个年级学生的手工艺品，其中有20件不是五年级的，有30件不是六年级的，五六年级参展的手工艺品共有10件，其它年级参展的手工艺品共有多少件？48．三（1）班全班 45名学生报名参加校运动会，除拔河比赛全班全部参加外，其余三个项目每人至少参加一项比赛，已知全班参加踢毽子比赛的有 39 人，参加投篮的有 28人，问三项比赛都报名参加的有多少人？49．某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生，参加语文竞赛的有120名女生，80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人？50．某校初一年级举行语文和数学竞赛，参加竞赛的人数占全年级总人数的40%，参加语文竞赛的人数占竞赛人数的，参加数学竞赛的人数占竞赛人数的，两项都参加的有14人，那么该校初一年级共有学生多少名？参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．三年级有108个小朋友去春游，带矿泉水的有65人，带水果的有63人，每人至少带一种．其中既带矿泉水又带水果的有（）人．A．19B．20C．21D．22【分析】把带矿泉水的有65人和带水果的有63人加在一起，然后减去三年级的总人数就是两样都带的人数．【解答】解：65+63﹣108=128﹣108=20（人）；答：既带矿泉水又带水果的有20人．故选：B．【点评】此题考查了利用容斥原理解决问题的方法，两样都带的人数被算了2次，就是带矿泉水和带水果的人数比总人数多出的人数，这是解决本题的关键．2．某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有（）个学生这三项运动都会．A．4B．5C．6D．7【分析】这道题可以采用逆思考的方法，找出至少一项运动不会的人数，然后用全班人数减去至少一项运动不会的人数，剩下的是三项运动都会的人数；由已知，不会游泳的有21人，不会骑车的有15人，不会打乒乓球的有8人，至少一项运动也不会的最多的人数即可算出，再根据容斥原理，由此即可求要求的出答案．【解答】解：不会游泳的有48﹣27=21（人），不会骑车的有48﹣33=15（人），不会打乒乓球的有48﹣40=8（人），所以至少有一项运动不会的最多有：21+15+8=44（人），那么全班三项运动都会的至少有：48﹣44=4（人）；答：至少有4人会三项运动．故选：A．【点评】解答此题的关键是，在理解题意的基础上，采用逆思考的方法，找准对应量，正确运用容斥原理，列式解答即可．二．填空题（共43小题）3．把1到81这81个正整数随意放置在一个圆周上，统计所有相邻的3个数的奇偶性后得知，3个数全是奇数的有25组，恰有2个奇数的有17组．那么，恰有1个奇数的有14 组，没有奇数的有25 组．【分析】1到81，有41个奇数，40个偶数，根据圆周上所有位置的数都出现三次，可得奇数出现的总次数为41×3=123，由于3个数全是奇数的有25组，恰有2个奇数的有17组．即可求出恰有1个奇数的组数，没有奇数的组数．【解答】解：1到81，有41个奇数，40个偶数，因为圆周上所有位置的数都出现三次，所以奇数出现的总次数为41×3=123，由于3个数全是奇数的有25组，恰有2个奇数的有17组．那么，恰有1个奇数的有123﹣3×25﹣2×17=14；没有奇数的有81﹣25﹣17﹣14=25，故答案为14，25．【点评】本题考查容斥原理，考查奇偶数问题，比较基础．4．某校国标舞团共有43人，其中会拉丁舞的有15人，会探戈的有13人，两者都会的有5人，那两种都不会的有20 人．【分析】根据“其中会拉丁舞的有15人，会探戈的有13人，”两者的总人数是15+13=28人，则至少会一种的有28﹣5=23（人）；所以两样都不会的人数有：43﹣23=20（人）；据此解答即可．【解答】解：43﹣（15+13﹣5）=43﹣23=20（人）答：两种都不会的有 20人．故答案为：20．【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解两者都会的人数是会拉丁舞和会探戈的人数的重叠部分，知识点是：既A又B=（A+B）﹣总人数．5．空军突击队共有25名士兵，每个人都擅长射击和武术中的一项或者两项，如果士兵中擅长射击的有20人，擅长武术的有12人，则两项均擅长的士兵有7 人．【分析】直接把擅长射击的20人，和擅长武术的12人相加求出总人数，这样就把两项均擅长的士兵重复加了2次，然后用20+12的和减去25人就是两项均擅长的士兵人数．【解答】解：20+12﹣25=32﹣25=7（人）答：两项均擅长的士兵有 7人．故答案为：7．【点评】此题考查容斥原理的实际运用：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．6．同学们去春游，带水壶的有80人，带水果的有70人，两样都没带的有6人．若既带水壶又带水果的人数是所有参加春游人数的一半，则参加春游的同学共有104 人．【分析】设既带水壶又带水果的为x人，则参加春游的同学共有2x人，根据“至少带一样的人数+两样都没带的人数=总人数”列方程为：80+70﹣x+6=2x，解方程即可得解．【解答】解：设既带水壶又带水果的为x人，则参加春游的同学共有2x人，由题意可得：80+70﹣x+6=2x156﹣x=2x3x=156x=52则2x=2×52=104答：则参加春游的同学共有104人．故答案为：104．【点评】本题考查了容斥原理，知识点是：总人数=（A+B）﹣既A又B+既非A 又非B．7．对120种食物是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果是：含甲的62种，含乙的90种，含丙的68种，含甲、乙的48种，含甲、丙的36种，含乙、丙的50种，含甲、乙、丙的25种．问（1）仅含维生素甲的有 3 种．（2）不含甲、乙、丙三种维生素的有9 种．【分析】根据题意和容斥原理，知道仅含维生素甲的食物=含甲的﹣含甲、乙的﹣含甲、丙的+含甲、乙、丙的食物的种类；先求出含甲或乙或丙的食物的种数，即可求出不含甲、乙、丙三种维生素的数量．【解答】解：（1）62﹣48﹣36+25=3（种）；（2）120﹣（62+90+68﹣48﹣36﹣50+25），=120﹣111，=9（种）；答：仅含维生素甲的有3种，不含甲、乙、丙三种维生素的有9种．【点评】解答此题的关键是，弄清题意，找出数量关系，根据容斥原理，列式解答即可．8．在1～100的自然数中，是5的倍数或是7的倍数的数有32 个．【分析】本题应列举出5的倍数有多少个，列举出7的倍数有多少个，然后相加即可．【解答】解：在1到100这100个自然数中，5的倍数有20个，7的倍数有14个，既是5的倍数又是7的倍数有2个，故5的倍数或7的倍数的个数是：20+14﹣2=32．故答案为：32．【点评】此题用列举法，把符合条件的列出来，然后数一数，算一算即可得出结论．9．一次数学测试只有2道题，四年一班48名同学中，答对第一题的有36人，答对第二题的有32人，两题都答对的有22人，两题都答错的有 2 人．【分析】根据“答对第一题的有36人，答对第二题的有32人，”可得两者的总人数：36+32=68人，这其中把两道题都答对的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得至少答对1道题的人数是：68﹣22=46（人），然后用总人数48减去46就是两题都答错的人数，据此解答即可．【解答】解：48﹣（36+32﹣22）=48﹣46=2（人）答：两题都答错的有2人．故答案为：2．【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B=A+B﹣总数量（两种情况）．本题关键是求出至少答对1道题的人数．10．一次数学测试只有2道题，三年一班48名同学中，每人至少都答对1题．其中答对第一题的有36人，答对第二题的有32人，两题都答对的有20 人．【分析】根据“答对第一题的有36人，答对第二题的有32人”可得两者的总人数：36+32=68人，这其中把两道题都答对的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两道题都答对的人数是：68﹣48=20（人），据此解答即可．【解答】解：36+32﹣48=68﹣48=20（人）答：两道题都答对的有20人．故答案为：20．【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B=A+B﹣总数量（两种情况）．11．海军突击队共有士兵30人，每个人都擅长射击和空手格斗中的一项或两项，如果士兵中擅长射击的有12人，擅长空手格斗的有23人．那么，这两项均擅长的士兵有 5 人．【分析】根据容斥原理公式，用12加上23，然后减去总人数30就是这两项均擅长的士兵．【解答】解：12+23﹣30=35﹣30=5（人）答：这两项均擅长的士兵有 5人．故答案为：5．【点评】本题考查了容斥原理1：两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和=A 类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．12．三支蜡烛分别能燃烧30，40，50分钟（但是不是同时点燃的），已知这三支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有10分钟，只有一支蜡烛处于燃烧状态的时间有20分钟．那么正好有两支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有35 分钟．【分析】根据容斥原理可得正好有两支蜡烛同时处于燃烧状态的时间．【解答】解：根据容斥原理可得正好有两支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有（30+40+50﹣10×3﹣20）÷2=35分钟，故答案为35．【点评】本题考查工程问题，考查容斥原理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13．某班语文、数学期中考试成绩统计表如下，语文得100分的有10人，数学得100分的有12人，两科都得100分的有3人，两科都未能得100分的有26人，这个班共有45 人．【分析】语文得100分的有10人，数学得100分的有12人，则语数得100分的共有10+12=22人，又数学、语文都得100分的有3人，所以得100分的人数共有22﹣3=19人，又两门功课都未得100分的有26人，所以这个班共有19+26=45人．【解答】解：10+12﹣3+26=22﹣3+26=45（人）答：这个班共有 45人．故答案为：45．【点评】首先根据“A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数”求出得100分共有多少人是完成本题的关键．14．实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加，这个班有45 人参加了语文或数学兴趣小组．【分析】由题意，用28+29就是只参加语文兴趣小组、只参加数学兴趣小组以及两个小组都参加的人数和，再减去重复计算的两个小组都参加的人数，即得参加兴趣小组的总人数．【解答】解：28+29﹣12=57﹣12=45（人）答：这个班有 45人参加了语文或数学兴趣小组．故答案为：45．【点评】解答此题注意28+29把两个小组都参加的人数多算了一次，所以要减去12．15．“两会”是“全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”的简称，如果2017年“人大会议”和“政协会议”均历时11天，并且两个会议有9天同时进行．那么，2017年的“两会”将一共进行13 天．【分析】求“两会”进行的天数，若将“人大会议”进行的时间与“政协会议”进行的时间相加，那么“两会同时进行的天数（9天）”被重复算了一次，需要减去，问题即解．【解答】解：根据容斥原理，可得11+11﹣9=13（天）．答：“两会”一共进行13天．答案填：13．【点评】此题属于两个量的重叠问题，运用韦恩图能快速判断“两会”进行的时间．16．五年级共有69名同学报名参加了学校运动会，每位同学至少在短跑、跳高、标枪比赛中参加一项，已知其中参加短跑的有32人，参加跳高的有33人，参加标枪的有39人，而在参加跳高的同学中有22人还报名了其他项目，在参加标枪的同学中有23人还报名参加了其他项目，如果只有5名同学参加了全部三个项目，那么恰好参加两项比赛的同学共有25 人．【分析】参加短跑的人数+参加跳高的人数+参加标枪的人数﹣参加短跑和跳高的人数﹣参加跳高和标枪的人数﹣参加短跑和标枪的人数+三个项目都参加的人数=69，根据这个可以算出参加短跑和跳高的人数+参加跳高和标枪的人数+参加短跑和标枪的人数总和，然后再根据三个项目都参加的人数算出只参加两个项目的人数．【解答】解：参加短跑和跳高的人数+参加跳高和标枪的人数+参加短跑和标枪的人数总和32+33+39+5﹣69=40（人）只参加两个项目的人数40﹣3×5=25（人）故填25【点评】此题中参加短跑和跳高的人数中包含了三个项目都参加的人数，参加跳高和标枪的人数与参加短跑和标枪的人数也如此．17．中环杯的某个考场中一共有45个学生，其中英语好的有35人，语文好的有31人，两门功课都好的有24人，那么两门功课都不好的学生有 3 人．【分析】由题意，用35+31就是只英语好、只语文好以及两门功课都好的人数和，再减去重复计算的两门功课都好的人数，即得至少一门功课好的人数，然后用总人数减去至少一门功课好的人数就是两门功课都不好的学生数．【解答】解：45﹣（35+31﹣24）=45﹣42=3（人）答：两门功课都不好的学生有3人．故答案为：3．【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：总数量=A+B﹣既A又B（两种情18．学而思准备成立“滑滑社团”，要求必须至少会滑冰、滑雪中的一项，才有资格成为团员．已知有2015名符合上述要求的人前来报名，其中不会滑冰的有406人，不会滑雪的有460人，那么，其中两种运动都会的有1149 人．【分析】要求必须至少会滑冰、滑雪中的一项，才有资格成为团员．已知有2015名符合上述要求的人前来报名，其中不会滑冰的有406人，不会滑雪的有460人，【解答】解：由题意，要求必须至少会滑冰、滑雪中的一项，才有资格成为团员．已知有2015名符合上述要求的人前来报名，其中不会滑冰的有406人，不会滑雪的有460人，那么两种运动都会的有2015﹣406﹣460=1149，故答案为1149．【点评】本题考查容斥原理，考查集合思想的运用，比较基础．19．小明买了4个苹果、6个梨和8个桃，小红买了5个苹果、7个梨和6个桃．在接下去的18天中，他们每人每天吃一个水果，有三天两人都吃苹果；有两天两人都吃梨，还有三天一人吃苹果，另一人吃梨，那么有 4 天两人都吃桃．【分析】有三天两人都吃苹果，有两天两人都吃梨，5天后小明还剩下1个苹果4个梨，小红还剩下2个苹果5个梨；有三天一人吃苹果一人吃梨，吃完后小明还剩2个梨和8个桃子，小红还剩4个梨和6个桃子；最后根据小明和小红不能在同一天吃梨（一人吃梨，另一人吃桃子）可推断出两人共同吃桃子的天数．【解答】解：（1）有三天两人都吃苹果，有两天两人都吃梨，5天后小明还剩下1个苹果4个梨，小红还剩下2个苹果5个梨；（2）有三天一人吃苹果一人吃梨，所以小明吃剩下的1个苹果时，小红吃梨；小红吃剩下的2个苹果时，小明吃梨；（3）小明吃剩下的2个梨时小红只能吃桃；小红吃剩下的4个梨时，小明只能。
奥数 容斥原理(例题+详解)
容斥原埋在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。
例1、桌上有两张圆纸片A、B.假设圆纸片A的面积为30平方厘米，圆纸片B的面积为20平方厘米.这两张圆纸片重叠部分的面积为10平方厘米.则这两张圆纸片覆盖桌面的面积由容斥原理的公式（1）可以算出为：｜A∪B｜=30＋20-10＝40（平方厘米）。
例2、求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。
分析解这类问题时首先要知道在一串连续自然数中能被给定整数整除的数的个数规律是：在n个连续自然数中有且仅有一个数能被n整除.根据这个规律我们可以很容易地求出在1至100中能被3整除的数的个数为33个，被7整除的数的个数为14个，而其中被3和7都能整除的数有4个，因而得到解：设A=｛在1～100的自然数中能被3整除的数｝，B＝｛在1～100的自然数中能被7整除的数｝，则A∩B=｛在1～100的自然数中能被21整除的数｝。
∵100÷3＝33…1，∴｜A｜＝33。
∵100÷7＝14…2，∴｜B｜=14。
∵100÷21＝4…16，∴｜A∩B｜=4。
由容斥原理的公式（1）：｜A∪B｜＝33＋14-4=43。
答：在1～100的自然数中能被3或7整除的数有43个。
例3、求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析如果在1～100的自然数中去掉5的倍数、6的倍数，剩下的数就既不是5的倍数也不是6的倍数，即问题要求的结果。
解：设A＝｛在1～100的自然数中5的倍数的数｝，B=｛在1～100的自然数中6的倍数的数｝，数.为此先求｜A∪B｜。
∵100÷50=20，∴｜A｜=20又∵100÷6＝16…4，∴｜B｜=16∵100÷30＝3…10，∴｜A∩B｜=3，｜A∪B｜=｜A｜+｜B｜-｜A∩B｜=20＋16-3＝33。
小学数学三年级难点问题——容斥原理
小学数学三年级难点问题——容斥原理容斥原理是小学数学的难点之一，对于三年级的同学来说，这个知识点比较新，会有一些不适应，今天我们就用一道例题来介绍一下容斥原理及其计算方法。
文氏图三（2）班共有60人，其中，喜欢足球的23人，喜欢跑步的30人，既喜欢足球又喜欢跑步的有6人，问既不喜欢足球，也不喜欢跑步的有几人？首先，我们把喜欢足球的23人列出来。
喜欢踢球的23人再将喜欢跑步的30人列出来。
喜欢踢球的23人和喜欢跑步的30人注意，有6个同学既喜欢踢球又喜欢跑步，我们用红色标记出来。
6个人既喜欢踢球又喜欢跑步这样的话，我们可以看得出来，喜欢踢球，喜欢跑步的同学就是上图中所有的圆点，其中包括蓝色圆点、棕色圆点和红色圆点，它们一共有23+30-6=47个，也就是有47人喜欢踢球或者喜欢跑步，那么既不喜欢踢球，又不喜欢跑步的同学就是总数减去这47人，即60-47=13人，他们是不是在教室里当学霸呢？实际上，容斥原理问题我们可以用画图的方法很快的计算出来，具体地说，就是画一个文氏图，对于此题，我们先画一个椭圆，表示喜欢踢球的人，如下图所示。
用一个椭圆表示喜欢踢球的人（抽象画法）然后再画一个与刚才的椭圆有重叠的椭圆，表示喜欢跑步的同学。
喜欢踢球和喜欢跑步的同学两个椭圆重叠的部分就是既喜欢踢球又喜欢跑步的同学。
题目问的是既不喜欢踢球又不喜欢跑步的人数，从图中可以看出，蓝色部分就是要求的既不喜欢踢球又不喜欢跑步的人。
显然，我们通过图形可以看出，蓝色部分等于整个长方形减去两个椭圆遮住的部分，而两个椭圆遮住的部分等于黄色区域+绿色区域-重叠区域，这样看是不是一目了然啊。
因此，列出算式就是60-（23+30-6）=13人。
奥数班三年级第5讲 容斥原理
【课堂精练】
4. 两张长 4厘米，宽 2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在 桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？
4 厘 米
2厘 米 图3
长方形面积： 4 × 2 = 8平方厘米 正方形面积： 2× 2 = 4平方厘米
覆盖面积： 8 ＋ 8 - 4= 12平方厘米
15
【课堂精练】
5. 一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都 不会的有4人。两样都会的有多少人？
第5讲 容斥原理
三年级奥数班
【知识点拨】
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部 分不被重复计算，通常我们采用以下计数方法。这种方法的基 本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对 象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出 去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为 容斥原理。
9
【典型例题】
例6：某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红 旗的共有 34人，手中有黄旗的共有 26人，手中有蓝旗的共有18 人．其 中手中有红、黄、蓝三种小旗的有 6人．而手中只有红、黄两种小旗的 有9 人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4 人，手中只有红、蓝两种小旗 的有 3人，那么这个班共有多少人？
【典型例题】
【典型例题】
例1：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并
且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少
人？
数学得满分 语文得满分 语文得满分
维恩图
15人 4人 12人
12人
15 ＋ 12 – 4 = 23人
4
【典型例题】 一、容斥原理1： A 人 AB人 B人 总人数 = A ＋ B – AB
小学数学容斥问题练习题
小学数学容斥问题练习题容斥原理是数学中常用的一种组合计数方法，用于处理多个集合的交集和并集问题。
它在解决数学问题时具有广泛的应用，尤其在概率论、组合数学和数论等领域中常见。
下面是一系列关于容斥原理的小学数学练习题，帮助学生更好地理解和应用容斥原理。
题一：小李家中有红、黄、蓝三个颜色的球各3个。
现从这堆球中无规则地取出5个球，求其中至少有两个颜色完全相同的球的取法数目。
解答：假设A表示至少有两个球颜色相同的事件，定义A1为有两个红球相同的事件，A2为有两个黄球相同的事件，A3为有两个蓝球相同的事件。
则A = A1 ∪ A2 ∪ A3。
利用容斥原理，根据公式：P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A1 ∩ A2) - P(A2 ∩ A3) - P(A1 ∩ A3) + P(A1 ∩ A2 ∩ A3)首先计算P(A1)：从3个红球中选出2个红球，再从剩下的球中选出3个球，所以P(A1) = C(3, 2) × C(6, 3) = 90。
同理可得：P(A2) = 90， P(A3) = 90，P(A1 ∩ A2) = C(3, 2) × C(3, 1) × C(3, 2) = 27，P(A2 ∩ A3) = 27，P(A1 ∩ A3) = 27。
最后计算P(A1 ∩ A2 ∩ A3)：从3个红球中选择2个红球，再从剩下的球中选择1个黄球，最后从剩下的球中选择2个蓝球，所以P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = C(3, 2) × C(3, 1) × C(3, 2) = 27。
将以上数据代入公式，可得：P(A) = 90 + 90 + 90 - 27 - 27 - 27 + 27 = 216所以，在取出5个球时，至少有两个颜色完全相同的球的取法数目为216。
题二：小明有一盒糖果，里面装有红、黄、蓝三种颜色的糖果各5个。
小明每次从盒子中随机取出3个糖果。
(完整版)小学奥数-容斥原理(教师版)(可编辑修改word版)
容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。
”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80 种鸟类。
狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。
”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有 60 种兽类。
最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140 种。
”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是 139 种。
”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。
当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。
由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理 1如果被计数的事物有 A、B 两类，那么， A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。
即A∪B = A+B - A∩B容斥原理 2如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么， A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数—既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。
即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C容斥原理 1【例 1】★一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B 类元素”，“语、数都是满分”称为“既是 A 类又是 B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A 类和 B 类元素个数”的总和。
奥数容斥问题
奥数容斥问题奥数容斥问题是数学竞赛中一个经典的计数原理问题。
通过运用容斥原理，我们可以解决集合之间的重复计数问题。
本文将介绍奥数容斥问题的定义、原理和应用，并通过具体的例题进行说明。
首先，让我们来了解奥数容斥问题的定义。
在组合数学中，容斥原理用于计算多个集合的交集和并集的元素个数。
具体而言，在包含多个集合的问题中，容斥原理帮助我们消除了重复计数的问题。
接下来，我们将详细介绍奥数容斥问题的原理。
假设有n个集合A_1, A_2, ..., A_n，我们的目标是计算它们的并集以及交集中元素的个数。
利用容斥原理，我们可以先计算每个集合的元素个数，再根据交集的元素个数进行加减运算，以消除重复计数的影响。
具体而言，假设A表示所有集合的并集，A_1, A_2, ..., A_n 分别表示这些集合。
根据容斥原理，我们可以得出以下公式：|A_1 ∪ A_2 ∪ ... ∪ A_n| = |A_1| + |A_2| + ... + |A_n| - |A_1 ∩ A_2| - |A_1 ∩ A_3| - ... - |A_(n-1) ∩ A_n| + ... + (-1)^(n-1) |A_1 ∩ A_2 ∩ ... ∩A_n|其中，|X| 表示集合 X 的元素个数。
上述公式中，第一项表示每个集合的元素个数之和，第二项表示两个集合的交集元素个数之和，第三项表示三个集合的交集元素个数之和，以此类推。
交替的符号(-1)^(n-1) 用于保证加减运算的正确性。
了解了奥数容斥问题的定义和原理之后，下面我们将通过一个具体的例题来说明其应用。
例题：某班级共有60名学生，其中30人会打乒乓球，40人会弹钢琴，20人既会打乒乓球又会弹钢琴。
请问至少会其中一项技能的学生有多少人？解析：我们可以定义集合 A 表示会打乒乓球的学生，集合 B 表示会弹钢琴的学生。
根据题目给出的信息，我们有 |A| = 30，|B| = 40，|A ∩ B| = 20。
容斥原理问题
五、拓展与反思
解决容斥原理问题时，需要分析好题意， 条理要清晰。学会画韦恩图，借助图形， 能够更好的理解题意 。
六、参考文献
[1]赵静，但琦：数学建模与数学实验（第3版） P170-172
高等教育出版社
容斥原理问题是人教版三年级数学下册数学广角里内容使学生会借助直观图利用集合的思想方法解决简单的实际问题培养学生用不同的方法解决问题的意识
容斥原理问题的模型
一、问题背景
容斥原理问题是人教版三、年级数学下册数学广 角里内容，使学生会借助直观图，利用集合的思 想方法解决简单的实际问题，培养学生用不同的 方法解决问题的意识。让学生经历集合图的产生 过程，理解集合图的意义，体会集合图的好处， 学会利用集合的思想方法来思考问题。利用生活 事例让学生感受到数学与生活的密切联系，进一 步树立学数学用数学的意识。这里运用数学建模 的思想，对容斥原理问题进行拓展延伸，并用数 学建模解决容斥原理问题。
1.图书馆有100本书。 2.这100本书中有甲的签名33本。 3.这100本书中有乙的签名44本。 4.这100本书中有丙的签名55本。 5.同时有甲、乙签名的图书为29本。 6.同时有甲、丙签名的图书为25本。 7.同时有乙、丙签名的图书为36本。
四、问题解决ห้องสมุดไป่ตู้
解 令这100本书中有甲签名的书属于集合A1，有乙签名的数属于集合A2，有丙签名的属于 集合A3，则有 |A1|=33,|A2|=44,|A3|=55 |A1∩A2|=29 |A1∩A3|=25 |A2∩A3|=36 本题只用算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100做差即可。 |A1∪A2∪A3|=|A1|+|A2|+|A3|-（|A1∩A2|+|A1∩A3|+|A2∩A3|）+| A1∩A2∩A3| 当| A1∩A2∩A3|最大时，|A1∪A2∪A3|也有最大值。也就是说当三人都借过的书最多 时，甲、乙、丙至少有一人借过的书最多。 而| A1∩A2∩A3|最大不超过|A1|,|A2|,|A3|，|A1∩A2|，|A1∩A3|，|A2∩A3|6个数 中的最小值，所以| A1∩A2∩A3|最大为25. 此时|A1∪A2∪A3|=33+44+55-（29+25+36）+25=67，即甲、乙、丙中至少有一人借过 的书最多为67，所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过。
小学数学奥数测试题容斥原理_人教版
小学数学奥数测试题容斥原理_人教版2019年小学奥数计数专题——容斥原理1．某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加? 2．某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．那么语文成绩得满分的有多少人?3．50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?4．在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：①标签号为2的倍数，奖2支铅笔；②标签号为3的倍数，奖3只铅笔；③标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；④其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?5．有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3.5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．12．图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?13．如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?14．甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?15．甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?参考答案1．17【解析】有至少参加一个小组的同学有15+18－10＝23人，所以有40－23＝17人两个小组都不参加．2．9【解析】有数学、语文至少有一门得满分的学生有45－29＝16人．所以语文成绩得满分的有16－10+3＝9人．3．38【解析】在转过两次后，面向老师的同学分成两类： 第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数．1～50之间，4的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡450＝12，6的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡650＝8，即是4的倍数又是6的倍数的数一定是12的倍数，所以有⎥⎦⎤⎢⎣⎡1250＝4． 于是，第一类同学有50－12－8+4＝34人，第二类同学有4人，所以现在共有34+4＝38名同学面向老师．4．232【解析】1～100，2的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100＝50个，3的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡3100＝33个，因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一定是6的倍数，所以这样的数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡6100＝16人． 于是，既不是2的倍数，又不是3的倍数的数在1～100中有100－50－33+16＝33．所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有50×2+33×3+33×1＝232支．5．90【解析】我们只用先计算剪了多少刀，再加上1即为剪成的段数．从一端开始，将绳上距离这个端点整数厘米数的点编号，并将距离长度作为编号．有1～180，3的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡3180＝60个，4的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡4180＝45个，而既是3的倍数，又是4的倍数的数一定是12的倍数，所以这样的数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡12180＝15个． 注意到180厘米处的记号无法剪断，所以剪了(60－1)+(45－1)－(15－1)＝89，所以绳子被剪成89+1＝90段．6．3【解析】将东河小学分成3个部分，六年级、五年级、其他年级，那么有五年级和其他年级共作画16幅，六年级和其他年级共作画15幅．而五、六年级共作画25幅，所以其他年级的画共有(16+15－25)÷2＝3幅．7．36【解析】设这些卡片共有x 张，那么标有3的倍数的卡片有32x 张，标有4的倍数的卡片有43x 张，而标有12的倍数的卡片既属于3的倍数又属于4的倍数． 所以有32x+43x －15＝x ，解得x ＝36． 即这些卡片一共有36张．8．686个【解析】1～1000之间，5的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡51000＝200个，7的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡71000＝142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡351000＝28个．所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000－200－142+28＝686个．9．62【解析】设参加自然兴趣小组的人组成集合A ，参加美术兴趣小组的人组成集合B ，参加语文兴趣小组的人组成集合C ．|A|＝25，|B|＝35，|C|＝27，|B ∩C|＝12，|A ∩B|＝8，|A ∩C|＝9，|A ∩B ∩C|＝4,|A ∪B ∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A ∩B|－|A ∩C|－|B ∩C|+|A ∩B ∩C|.所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27－12－8－9+4＝62，而这个班每人至少参加一项．即这个班有62人．10．58【解析】设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ．|A|＝|B|＝|C|＝30， |A ∩B|＝6，|B ∩C|＝8，|A∩C|＝5，|A∪B∪C|＝73，而|A∪B∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A∩B|－|B∩C|－|A∩C|+|A∩B∩C|.有73＝30×3－6－8－5+|A∩B∩C|，即|A∩B∩C|＝2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只．是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6－2＝4，8－2＝6，5－2＝3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73－4－6－3－2＝58．11．21【解析】设参加数学小组的学生组成集合A，参加语文小组的学生组成集合B，参加文艺小组的学生组成集合C．三者都参加的学生有x人．有|A∪B∪C|＝46，|A|＝24，|B|＝20，|C|＝3.5|A∩C|＝7|A∩B∩C|，|B∩C|＝2|A∩B∩C|，|A∩B|＝10．因为|A∪B∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A∩B|－|A∩C|－|B∩C|+|A∩B∩C|，所以46＝24+20+7x－10－2x－2x+x，解得x＝3，即三者的都参加的有3人．那么参加文艺小组的有3×7＝21人．12．33【解析】设甲借过的书组成集合A，乙借过的书组成集合B，丙借过的书组成集合C．|A|＝33，|B|＝44，|C|＝55，|A∩B|＝29，|A ∩C|＝25，|B∩C|＝36．本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100作差即可．|A∪B∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A∩B|－|A∩C|－|B∩C|+|A∩B∩C|，当|A∩B∩C|最大时，|A∪B ∪C|有最大值．也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最多．而|A∩B∩C|最大不超过|A|、|B|、|C|、|A∩B|、|B∩C|、|A∩C|6个数中的最小值，所以|A∩B ∩C|最大为25．有此时|A∪B∪C|＝33+44+55－29－25－36+25＝67，即三者至少有一人借过的数最多为67本，所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．13．9960【解析】如下图，下图中“○”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应的线段都在“○”位置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，显然此时就有显现的红色点最少，有1994×5－(2－1)×10＝9960个．14．4【解析】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68－100＝46盆，此时甲单独浇过的为78－46＝32盆，乙单独浇过的为68－46＝22盆；欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端，于是三者都浇过花最少为58－32－22＝4盆．15．12【解析】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都读过的最少为：75+60－100＝35个，此时甲单独读过的为75－35＝40个，乙单独读过的为60－35＝25个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52－40＝12个．评注：注意与14题的区别，本题中必须是从一端连续的排下去，而14题没有要求连续．。
容斥问题(一)三年
容斥问题（一）（三年级）例题1、某班上体育课，全班排成4行，小芳排的位置是：从前数第6个，从后数第7个。
这个班共有多少名学生？1、某班排成4行去看电影，小亮排的位置是：从前数第5个，从后数第8个。
这个班共有多少名学生？2、某班上间操，全班排成4行，小刚排的位置是：从前数第7个，从后数第9个。
这个班共有多少名学生？例题2、同学们排队做操，每行人数同样多，小明的位置从左起是第4个，从右起是第3个，从前数是第5个，从后数是第6个。
做操的同学共有多少个？1、同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多，小红的位置无论左起、右起，前数、后数都是第4个。
跳舞的同学共有多少人？2、三年4班学生排队做操，每行人数同样多，小梅的位置是从前数第6个，从后面数是第5个，从左数从右数都是第4个。
做操的同学共有多少个？3、为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左起是第2个，从右起是第4个；从前数是第3个，从后数是第5个。
鲜花队共有多少人？例题3、一班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订这两种报纸中的一种，一班一共有多少人？1、三班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成的有31人，每人至少完成一项作业。
三班一共有多少人？2、一个旅行社，导游中会说英语的有24人，会说俄语的有18人，两样都会的有10人，每个导游至少会说这两种语言中的一种。
这个旅行社有多少名导游？3、一个俱乐部里，会下象棋的有69人，会下围棋的有52人，两种棋都会下的有30名，每人至少会下这两种棋中的一种。
这个俱乐部一共有多少人？例题4、把两块一样长的木板像下图这样钉在一起，成了一块木板。
如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米。
这两块木板各长多少厘米？1、把两块一样长的纸条粘在一起，形成一段更长的纸条。
这段粘在一起的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米。
三年级数学-容斥原理问题1
三年级数学－容斥原理问题1
一、解答题
1．一次英语单词听写，小欣写对了20个，小文写对了18个，小丽写对了15个。
（1）如果小丽写对的单词中有3个小文写错了，那么小文和小丽都写对的单词有多少个？
（2）如果小丽写对的单词小欣全部写对了，小文写对的单词中有2个小欣写错了，那么他们三人一共写对了多少个单词？
2．佳园小学三年级共有180名学生，在一天里看中央台电视节目的有100人，看地方台电视节目的有110人，两个都看的有40人。
（1）只看地方台，没看中央台的学生有多少人？
（2）地方台与中央台的节目都没看的学生有多少人？
3．48人中无弟弟的有38人，有弟弟无妹妹的有8人，无弟弟有妹妹的人数是有弟弟有妹妹人数的2倍，试问：这48人当中是独生子女的有几个？
试卷第1页，总6页。
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3春精8 容斥问题
姓名：得分：
1、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。
问这个俱乐部里两种棋都会下的有多少人？
2、一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请举手”有37人举手，又问：“谁做完了数学作业？请举手”有42人举手，最后问：“谁语文、数学作业都没做完？请举手”结果没有人举手。
求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个？
3、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订阅《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人？
4、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答的不对？
5、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
6、在1到100的全部自然数中，既不是5的倍数，也不是6的倍数的数有多少个？
7、光明小学举办学生书法展览。
学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品一共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？
8、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。
这个文艺组一共有多少人？
9、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种都订阅的有25人。
两种报纸都没有订阅的有多少人？。