电路分析第5章

《电路分析简明教程》
1、线性性质
§ 5-1
例 若f (t )= sinωt 的定义域在[0，∞），求其象函数。
解 根据欧拉公式
f (t) sin t e jt e jt
2j 根据拉氏变换的线性性质，得
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2、延迟性质 若
§5-1
则 例 试求延迟的阶跃函数f(t)=ε( t - t 0) 的象函数。 解 根据延迟性质和单位阶跃函数的象函数,得
（
s
K2 - p2
）
式中
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§5-2 复频域中的电路定律与电路模型
分析电阻电路的两类约束、定理乃至技巧都适用
于动态电路的复频域分析法（运算法）。
一、KVL、KCL的复频域形式
1、对任一节点 ΣI（s）=0
2、对任一回路 ΣU（s）=0
二、元件伏安关系（VAR)的复频域形式及电路模型
(2) 绘出电路的复频域模型。注意不要遗漏附加电 源，且要特别注意附加电源的方向。
(3) 根据电路两类约束的复频域形式，对复频域模型 列写电路方程，求出响应的象函数。这里可以采用第一、 第二章中分析电阻电路的各种方法。
(4) 用部分分式展开法和查阅拉氏变换表，将以求的 的象函数进行拉氏逆变换，求出待求的时域响应。
（s
K11 - p1）2
（ K2 s - p2
）
对于单根，待定系数仍采用
公式计算。
而待定系数K11和K12，可以用下面方法求得。 将式两边都乘以(s-p1)2，则K11被单独分离出来，即
K11 （ [ s - p1）2F(s)] S=P1
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又因为
d ds
[（s
-
p1）2 F (s)]
式中s=σ+jω为复数，F(s)称为f(t)
皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 (Laplace，Pierre-Simon， 1749～1827) 法国数学家、 天文学家。他从青年时期就 显示出卓越的数学才能，他 是天体力学的主要奠基人， 是分析概率论的创始人，是 应用数学的先躯。以他的名 字命名的拉普拉斯变换和拉 普拉斯方程，在科学技术的 各个领域有着广泛的应用。
※第五章 动态电路的复频域分析法
本章中心内容 §5-1拉普拉斯变换 §5-2复频域中的电路定律与电路模型 §5-3动态电路的复频域分析法 §5-4应用实例 本章学习要求
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本章中心内容
第五章
阐明对于具有多个动态元件的复杂电路 ，通过拉 普拉斯变换(积分变换之一),把已知的时域函数变 换为复频域函数,从而把时域的微分方程化为复频 域函数的代数方程。求出复频域函数后,再作逆变 换,返回时域。
根几种情况。
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§ 5-1
(1) 如果D(s)=0有n个单根，设n个单根分别是p1、p2、 …pn。于是F(s)可以展开为
式中K1、K2、…、Kn是待定系数。 将上式两边都乘以(s-p1)，得
令s=p1，则等式除第一项外都变为零，这样求得
同理可求得K2、K3、…、Kn。
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所以确定式中各待定系数的公式为 也可以用求极限的方法确定Ki的值，即
确定各待定系数的另一公式为
§ 5-1
确定了各待定系数后，相应的原函数为
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2s2 + 9s + 9 例 求 F (s) = s 2 + 3s + 2 的原函数f (t)。 解 因为
§5- 1
设 则
F1 (s)
I（s s）=
2 s
，电感 L 的附加电压源为
Li（L 0-）
1 3
1A
1 3
A
复频域电路模型, 如图(b) 所示。
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应用节点电压法，得
其中 得时域响应
§5- 3
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§5-4 应用实例
一、脉冲变压器前沿影响的分析 脉冲变压器是电子变压器一种特殊类型，它是利用 铁心的磁饱和性能把输入的正弦波电压变换成接近矩 形的单极性脉冲输出电压的变压器。 脉冲变压器前沿影响的等效电路如图所示，其中 R1=200Ω，R2=2kΩ，L=40μH， C=50pF，Us=10V，电 路具有零初始条件。 开关闭合后，电压u2（t） 的暂态变化过程反映了脉冲 变压器的前沿影响。 用拉普拉斯变换分析如下：
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§ 5-1
对于不能从拉氏变换表中查出原函数的，如果能把 象函数分解为若干较简单的、能即为所求原 函数，这种方法称为部分分式展开法。下面分析象函 数的部分分式展开法及其逆变换方法。
1、象函数的有理分式
电路响应的象函数通常可表示为两个实系数的s的多 项式之比，即s的一个有理分式
则
K1、K2也为共轭复数。
设 K1 K1 ej
则
故
K2 K1 e-j
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例
求 F(s) =
s3
s +1 + 2s2 + 2s
的原函数f (t)。
解 令 D(s)=s3+2s2+2s =0
得
p1=0
p2=-1+j
p3=-1-j
待定系数为 s +1
K1 = 3s 2 + 4s + 2 S=0 = 0.5
的象函数，相应地f(t)则称为F(s)的原函数。
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§ 5-1
通常用符号 表示对方括号里的时域函数作拉氏 变换。因此，时域函数f (t)的拉氏变换可表示为
定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，是为了将f (t) 中可能出现的t=0时的冲激函数纳入拉普拉斯变换的 范围中，从而给计算存在冲激函数激励的电路带来 方便。
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§5- 4
(1)画出拉普拉斯变换等效电路如右图所示。
(2)利用分压公式可得：
R2
1 sC
U2(s)
R2
1 sC
R1
sL
R2 R2
1
sC 1
sC
US s
R2U S s[(sL R1)(sR2C 1) R2 ]
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代入给定数据并经整理后得：
§5- 4
(3)用部分分式展开求拉普拉斯反变换，令
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下面求几种典型的时间函数的象函数。 (1)指数函数 f(t) = eαt (α为实数)
§ 5-1
(2)单位阶跃函数f (t)=ε(t)
(3)单位冲激函数f (t)=δ(t)
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二、拉普拉斯变换的常用性质
§ 5-1
拉普拉斯变换有许多重要性质，在此仅介绍与分 析线性电路有关的一些基本性质。通过这些基本 性质的讨论，我们将很方便地推导出其它一些常 用函数的拉氏变换和电路定律及元件VAR的复频 域形式。
着重介绍拉普拉斯变换、复频域中的电路定律与 电路模型、动态电路的复频域分析法。
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§ 5-1 拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换 拉普拉斯变换(简称拉氏变换)是 把一个时域函数f(t)变换到复频域
(s域)内的复变函数F(s)的一种积
分变换。一个定义在[0，∞)区间 的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式 F(s)定义为
=
3s + 5 s 2 + 3s +
2
=
K1 s +1
+
K2 s+2
K1
3s 5 (s2 3s 2)
S=-1
3s 5 2s 3
S=-1
2
K2
3s 5 (s2 3s 2)
S=- 2
3s 5 2s 3
S=- 2
1
故原函数为
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(2)如果D(s)=0，具有共轭复根P1 =α+jω，P2=α-jω §5- 1
给出了一些常用激励函数的拉氏变换，可供查阅使
用。
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三、拉普拉斯逆变换
§5- 1
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时,需要把求 得的响应逆变换为时间函数。
已知象函数F( s)求原函数f( t)的变换称为拉普拉斯 逆变换,它定义为
用符号
表示拉氏逆变换，即
◆用上式进行拉氏逆变换涉及到计算一个复变函数的 积分，一般比较复杂。如果象函数F(s)比较简单，往 往能从拉氏变换表中查出其原函数f (t)。
式及电路模型，可知图(a)电路的时域模型所对应的
复频域模型如图 (b)所示。
电感的
附加电
(a)时域 模型
电容的
压源
(b)复频 域模型
附加电
复频域KVL方程
压源
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§5-3 动态电路的复频域分析法
用动态电路的复频域分析法线性动态电路的步骤 归纳如下：
(1) 根据换路前一瞬间电路的工作状态，计算i(0-)和 u(0-)，以便确定电路的复频域模型中的附加电源。
§5- 3
式中
(4)求时域响应
查表得
i（2 t）
3 (e-3t 7
- e-10t
)ε(t)A
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§5- 3
例 2 图(a) 所示电路，已知 电流源 is(t)=2ε(t)A， iL(0-)=1 A, uC(0-)=0, 其它参数如图。试求电路响应 u(t)。
(a)
(b)
解
is(t) 的象函数
1、电阻元件
根据电阻元件VAR的时域表达式
u(t)=Ri(t)，两边取拉氏变换得
(a) 时域模型
上式为电阻元件VAR的复频域形式，
其电路模型如右图(b)所示。
(b) 复频域模型
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2、电感元件
§5- 2
根据电感元件VAR的时域表达
式 u(t) L di(t)，两边取拉氏变
换得
dt
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§5- 3
例1 电路如图(a)所示。已知：Us=1V，L=0.2H， R1=6Ω，C=0.1F，R2=4Ω。开关S原处于打开状态，且 电路已稳定。t=0时将开关闭合，求t>0时电路的电流
i2(t)。
(a)
(b)
解 (1)计算iL(0-)和uC(0-) 开关S打开时，iL(0-)=0，uC(0-)=0，电路处于零状态。
=
K12被分离出来，即 K12
K
12
+
d （[ s ds
-
p1）（2 s
d ds
（[ s
-
p1）2 F
(s)]
K2 - p2
s p1
+ ...)]
§5- 1
从以上分析过程可以推论得出当D(s)=0具有q阶重
根，其余为单根时的分解式为
F
(s)
K1q s - p1
（sK-（1 pq-11））2
（s
K11 - p1）q
(2)绘出复频域模型如图(b)
(3)列写和求解电路方程
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用网孔法得
§5- 3
将元件参数代入上式，得
(b)
解得 6 0.2s 1
s
-6 I2 (s) 6 0.2s
0 -6
s2
3 13s
30
（s+3）3(s+10)
K1 s+3
K2 s+10
- 6 10 10
s
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式中m和n为正整数，且n≥m。
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2、有理分式化为真分式 (1) 若n>m，则F(s)为真分式。
§ 5-1
(2) 若n=m，则
3、象函数的真分式的部分展开法及拉氏逆变换
设
为真分式，用部分分式展开法展开
真分式时，需要对分母多项式作因式分解，求出
D(s)=0的根。D(s)=0的根可以是单根、共轭复根和重
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3、电容元件 根据电容VAR的时域表达式
两边取拉氏变换得
§5- 2
附
(a)时域模型 加
电 压 源
对应复频域的戴维宁模型如右图(b) 所示。其中1/sC为电容的复频域阻 抗，u(0-)/s为附加电压源的电压。
(b) 复频域的戴
维宁模型
附
加
电
流
或
源
对应复频域的诺顿模型如右图(c)
所示。其中sC为电容的复频域导纳， (c) 复频域的
Cu(0-)为附加电流源的电流。
诺顿模型
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例 图(a)为RLC串联电路。设电源电压为u(t)， 电§5感- 2
中初始电流为i(0-)，电容中初始电压为u(0-)。试画出 其复频域电路，并列写其复频域电路的KVL方程。
解 根据电阻、电感、电容元件的VAR的复频域形
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3、微分性质
§ 5-1
若 则
例 应用微分性质求δ（t）的象函数。 解 由单位冲击函数与单位阶跃函数的关系式可得
而 故
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4、积分性质 若 则
§5- 1
例 利用积分性质求函数f (t)= t象函数。
解 由于
f（t） t
t
ε( )d
0-
而
所以
◆在工程上，激励函数一般不是很多，教材表5-1-1
附
(a)时域模型
加 电
压
源
即 对应复频域的戴维宁模型如右图(b) 所示。其中sL为电感的复频域阻抗， Li(0-)为附加电压源的电压。
(b) 复频域的 戴维宁模型
附 加
或
电 流
源
对应复频域的诺顿模型如右图(c)所 示。其中1/sL为电感的复频域导纳，
(c)复频域的 诺顿模型
i(0-)/s为附加电流源的电流。
§5- 1
原函数 f（t）=
= 0.5+0.7072e-t cos(t-135º)
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§5- 1
(3)如果D(s)=0具有重根，则应含(s-p1)n的因式。现
设p1为D(s)=0的二重根，其余为单根，则D(s)中含有 (s-p1)2的因式。F(s)可分解为
F
(s)
K12 s - p1