上海中学高一10月数学试卷及答案
上海市进才中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题
上海市进才中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________(2)若A B A=I，求实数a的取值范围．18．求关于x的不等式23(32)20(R)ax a x a-++<Î的解集．19．（1）已知xÎR，比较2231x x+-与73x-的大小；（2）设x，y是不全为零的实数，试比较222x y+与2x xy+的大小，并说明理由．20．已知关于x的不等式()()()2245110Rk k x k x k--+++>Î的解集为M．(1)若1k=，求x的取值范围；(2)若RM=，求实数k的取值范围；(3)是否存在实数k，满足：“对于任意正整数n，都有n MÎ；对于任意负整数m，都有m MÏ”，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．21．设A是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A=Î且}u v¹为集合A的生成集．(1)当{}2,3,5A=时，写出集合A的生成集B；(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B=，并说明理由．【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解； （3）不存在，理由反证法说明.【详解】（1）{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B \=（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。
上海市行知中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷
上海市行知中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷一、填空题1．已知全集{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，集合{}0,1,3,5,8A =，集合{}2,4,5,6,8B =，则A B ⋂=. 2．已知方程22240x ax a -+-=的一个实根小于0，另一个实根大于0，求实数a 的取值范围.3．已知21P x =-，222Q x x =-，则P Q 、的大小关系为P Q .4．已知{}1,,A x y =，{}21,,2B x y =，若A B =，则x y -=.5．关于x 的不等式14x x a -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围是.6．已知ππ22αβ-≤<≤，则2αβ-的取值范围是. 7．已知:10x α-<<，:13m x m β-<<-.若α是β的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是.8．若关于x 的不等式()2020ax bx c a ≤++≤>的解集为{}13x x -≤≤∣，则b a的值为. 9．{}20A x x px q =++=，{}210B x qx px =++=，A B ≠∅I ，{}2A B =-I ，则p q +=. 10．已知集合{}Z |21M x a x a =∈≤≤-，若集合M 有15个真子集，则实数a 的取值范围为.二、单选题11．对于实数a 、b 、c ，下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则ac bc <B ．若11a b>，则a b < C ．若0c a b >>>，则a b c a c b <-- D ．若0a b c >>>，则a c a b c b+<+ 12．设集合{}21,Z M x x k k ==+∈，{}31,Z N x x k k ==-∈，则M N =I （ ） A ．{}21,Z x x k k =+∈B ．{}31,Z x x k k =-∈C ．{}61,Z x x k k =+∈D ．{}61,Z x x k k =-∈13．如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S I IB ．()M P S I UC ．()M P S I ID ．()M P S I U14．已知集合{}|N,015M x x x =∈<≤，1A 、2A 、3A 满足：①123A A A M ⋃⋃=；②每个集合都恰有5个元素.集合(1,2,3)i A i =中最大元素与最小元素之和称为i A 的特征数，记为(1,2,3)i X i =，则123X X X ++的值不可能为（ ）A ．37B ．39C ．48D ．57三、解答题15．已知集合403x A x x ⎧⎫-=>⎨⎬+⎩⎭，集合{}221B x a x a =-≤≤+. (1)当3a =时，求A 和A B U ；(2)已知B ≠∅，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.16．某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低x （0x >）个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点.（1）写出税收y （万元）与x 的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围 17．已知函数2()2h x ax ax =++．(1)若对于任意R x ∈，不等式()1h x >-恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当a<0时，解关于x 的不等式()(1)4h x a x <-+．18．（1）已知，且01ab <≤，求证：3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b ；0b a >> （2）设a 、b 、()0,1c ∈，用反证法求证：下列三个关于x 的方程210ax x b ++-=、210bx x c ++-=、210cx x a ++-=中至少有一个有实数根. 19．设集合S 、T 为正整数集*N 的两个子集，S 、T 至少各有两个元素.对于给定的集合S ，若存在满足如下条件的集合T ：①对于任意a 、b S ∈，若a b ≠，都有ab T ∈；②对于任意a 、b T ∈，若a b <，则b S a∈.则称集合T 为集合S 的“K 集”. (1)若集合{}11,3,9S =，写出1S 的“K 集”1T （不需要证明）；(2)若{}212,,,n S x x x =L 存在“K 集”，其中12n x x x <<<L .当11x =时，求n 的最大值；(3)若三元集3S 存在“K 集”3T ，且3T 中恰含有4个元素，求证：31S ∉.。
上海市2022高一数学上学期10月月考试题(含解析)
当 时， ， 不恒成立，
2.当 时，
或 .
综上可得： 或 .
故答案为：
【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围的问题，意在考查分类讨论的思想，属于基础题型.
11.用 表示非空集合 中元素的个数，定义 若 ，且 ，设实数 的所有可能取值构成集合 ，则 _______.
【答案】3
【解析】
21.已知关于的不等式 的解集为 ；
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若存在两个不相等负实数 、 ，使得 ，求实数 的取值范围；
（3）是否存在实数 ，满足：“对于任意 ，都有 ，对于任意的 ，都有 ”，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在，
【解析】
【分析】
（1）讨论二次项系数 和不等于0两种情况，当不等式的解集为 时， 的取值范围；（2）根据不等式的解集形式可知 ，求 的范围；（3）根据题意判断不等式的解集 ，讨论 的情况，根据不等式的解集情况判断是否存在.
（2）依题意建立不等式：
，
解得： ，
又售价不能低于成本价，所以
，解得：
综上：
【点睛】本题考查函数的应用问题，根据题意抽象出二次函数，和不等式，意在考查转化和应用的能力.
20.已知集合 ；
（1）判断8，9，10是否属于 ，并证明；
（2）已知集合 ，证明 的充分必要条件是 ；
（3）写出所有满足集合 的偶数.
集合 表示直线 上除去 的所有点组成的集合，
.
故答案为：
【点睛】本题考查点表示的集合的补集，属于简单题型.
9.已知关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为__________．
上海高一上学期10月月考数学试题(解析版) (2)
一、填空题1．已知集合，则_________.{}{}21,1A x x B x x =-<<=>-A B ⋃=【答案】(2,)-+∞【分析】利用数轴法根据并集运算法则即可得出结果.【详解】根据并集运算法则，画数轴表示出集合如下图所示,A B易知.{}|2A B x x =>- 故答案为：(2,)-+∞2．不等式的解集是_________. 102x x -≥+【答案】()[),21,-∞-+∞ 【分析】分式不等式等价为整数不等式，即可求解.【详解】. ()()()[)12010,21,220x x x x x x ∞∞⎧-+≥-≥⇔⇒∈--⋃+⎨++≠⎩故答案为：()[),21,-∞-+∞ 3．已知集合，，则_________.{}{}22,1,3,3,21,1M a a P a a a =+-=--+{}3M P ⋂=-=a 【答案】1-【分析】根据集合元素的互异性以及交集性质进行分类讨论即可得出符合题意.1a =-【详解】因为，所以，易知，{}3M P ⋂=-3P -∈213a +≠-当时，，此时，，不合题意舍去；33a -=-0a ={}0,1,3M =-{}3,1,1P =--当时，，此时，，满足题意，213a -=-1a =-{}1,0,3M =-{}4,3,2P =--所以.1a =-故答案为：1-4．不等式的解集为_________.21216x x -++≤【答案】 33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】分类讨论解绝对值不等式.【详解】当时，，解得，此时； 12x ≥21216x x -++≤32x ≤1322x ≤≤当时，，即恒成立，此时； 1122x -≤<12216x x -++≤26≤1122x -≤<当时，，解得，此时； 12x <-12126x x ---≤32x ≥-3122x -≤<-故解集为. 33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为： 33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．若，，则的取值范围是_________.14a b <+<24a b -<-<3a b +【答案】()2,10-【分析】令，求出，再由不等式的性质求解.()()3a b m a b n a b +=++-,m n 【详解】令，则，解得， ()()3a b m a b n a b +=++-13m n m n +=⎧⎨-=⎩21m n =⎧⎨=-⎩因为，，故.22()8a b <+<()42a b -<--<()32,10a b +∈-故答案为：()2,10-6．若，则的最小值为_________. 0x >161x x ++【答案】7【分析】配凑法，由均值不等式求和的最小值.【详解】， ()1616111711x x x x +=++-≥=++当且仅当即()时取等号，所以的最小值为7. 1611x x +=+3x =0x >161x x ++故答案为：7.7．若集合，，则使得成立的所有的值组成的2{|560}A x x x =-+={|20}B y my =+=A B A ⋃=m 集合是___________.【答案】 20,1,3⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【分析】依题意可得，首先求出集合，再分类讨论分别计算可得；B A ⊆A 【详解】解：因为，，，所以；{}{}2|5602,3A x x x =-+=={}|20B y my =+=A B A ⋃=B A ⊆①当时，符合题意；0m =B =∅②当，即解得，即；2B ∈220m +=1m =-{}2B =③当，即解得，即； 3B ∈320m +=23m =-{}3B =综上可得 20,1,3m ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭故答案为： 20,1,3⎧⎫--⎨⎩⎭8．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是___________.2(1)(1)10a x a x -+--<x R ∈a 【答案】(]3,1-【分析】先对二次项的系数分类讨论，利用二次函数的性质，即可求出结果．1a -【详解】①当时，不等式化为对一切x ∈R 恒成立，因此满足题意；1a =10-<1a =②当时，要使不等式对一切恒成立，1a ≠()()21110a x a x -+--<x R ∈则必有 ． 210314(1)(1)(1)04(1)a a a a a -<⎧⎪∴-<<-⋅---⎨<⎪-⎩综上①②可知：实数取值的集合是．a (3,1]-故答案为：．(]3,1-9．命题是命题的________条件.:p a b >22:q a b >【答案】必要不充分【分析】解不等式，根据充分必要条件的定义，即可作出判断.22a b >【详解】由，可得，即，22a b >||||a b >||a b >但当时，满足，不满足，1,2a b ==-||a b >22a b >所以命题是命题的必要不充分条件.p q 故答案为：必要不充分10．设集合，，若，则实数的取值范围是(){}2210,A x x p x x R =+++=∈(),0B =-∞A B ⋂=∅p ___________.【答案】(),0∞-【分析】分析可知，方程在上无实根、有唯一正根或两个正根，进行分()2210x p x +++=(),0∞-类讨论，列出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.p p 【详解】分以下几种情况讨论：（1）若方程无实根，则，解得； ()2210x p x +++=()222440p p p ∆=+-=+<40p -<<（2）若方程有实根，则，解得或， ()2210x p x +++=()222440p p p ∆=+-=+≥4p ≤-0p ≥，则不是方程的解，()2020110p ++⨯+=≠ 0x =()2210x p x +++=若方程有唯一的正根，则，解得； ()2210x p x +++=240202p p p ⎧∆=+=⎪⎨+->⎪⎩4p =-若方程有两根不等的实根，设这两个实根分别为、，因为，()2210x p x +++=1x 2x 121=x x 故方程有两个不等的正根，所以，，解得. ()2210x p x +++=240202p p p ⎧∆=+>⎪⎨+->⎪⎩4p <-综上所述，实数的取值范围是.p (),0∞-故答案为：.(),0∞-11．设集合，在S 上定义运算为：，其中k 为被4除的余数，{}0123,,,S A A A A =⊕j i k A A A ⊕=i j +i ，，1，2，3，则满足关系式的x （）的个数为________.0j =20()x x A A ⊕⊕=x S ∈【答案】2【解析】由已知中集合，，，，在上定义运算为：，其中为0{S A =1A 2A 3}A S ⊕j i k A A A ⊕=k i j +被4除的余数，，，1，2，3，分别分析取，，，时，式子的值，并与进行比i 0j =x 0A 1A 2A 3A 0A 照，即可得到答案．【详解】当时，0x A =20020220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当时，1x A =21122240()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕==当时，2x A =22220220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当时，3x A =23322200()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕==则满足关系式的的个数为：2个．20()x x A A ⊕⊕=()x x S ∈故答案为：2．【点睛】本题考查的知识点是集合中元素个数，其中利用穷举法对取值进行分类讨论是解答本题x 的关键.属于中档题.12．已知数集A =()具有性质P ：对任意的，{}12,,n a a a ⋯121,2n a a a n ≤<<<≥(1)i j i j n ≤≤≤、i j a a 与两数中至少有一个属于A ，当时，若，则集合A =___________.ji a a 5n =22a =【答案】{}1,2,4,8,16【分析】推导出，．当时，有，，推导出1n n a A a =∈121111121.n n n a a a a a a a a ---++⋯+==++⋯+5n =524a a a =533a a a =，，，，是首项为1，公比为等比数列．由此能求出集合．1a 2a 3a 4a 5a 2a A 【详解】解：，，，具有性质，1{A a =2a ⋯}n a P 与中至少有一个属于， n n a a ∴n na a A 由于，121n a a a <<⋯<…n n n a a a ∴>故．n n a a A ∉从而，． 1n na A a =∈11a =，，，3，4，，，121n a a a =<<⋯ 2n …(2k n n a a a k ∴>=⋯)n 故，3，4，，．(2k n a a A k ∉=⋯)n 由具有性质可知，3，4，，． A P (2n k a A k a ∈=⋯)n 又，121n n n n n n a a a a a a a a -<<⋯<<，，，， ∴1n n a a =21n n a a a -=⋯12n n a a a -=从而， 12121n n n n n n n a a a a a a a a a a a -++⋯++=++⋯+． ∴1211112n n n a a a a a a a ---++⋯+=++⋯+当时，5n =有，，即， 524a a a =533a a a =25243a a a a == ，，， 1251a a a =<<⋯< 34245a a a a a ∴>=34a a A ∴∉由具有性质可知． A P 43a A a ∈由，得， 2243a a a = 3423a a A a a =∈且，， 3221a a a <=∴34223a a a a a ==， ∴534224321a a a a a a a a a ====即，，，，是首项为1，公比为等比数列．1a 2a 3a 4a 5a 2a 集合，2，4，8，．∴{1A =16}故答案为：．{}1,2,4,8,16二、单选题13．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是,a b a b <A ．B ．C ．D ． 22a b <22ab a b <2211ab a b <b a a b<【答案】C 【详解】若a <b <0,则a2>b2，A 不成立；若B 不成立；若a =1，b=2，则220{,ab a b ab a b>⇒<<,所以D 不成立 ,故选C. 12,2b a b a a b a b==⇒>14．设全集U 是实数集，，，则图中阴影部分所表示的集合是R {}2|4M x x =<{|13}N x x =<<（ ）A ．B ．C ．D ．{|21}x x -<<{|22}x x -<<{|23}x x ≤<{|12}x x <<【答案】C 【解析】求解集合M ，以及集合，即可.M N ⋂()N C M N ⋂【详解】对集合M ：，故{|22}M x x =-<<{|12}M N x x ⋂=<<由图可知阴影部分表示：，(){|23}N C M N x x ⋂=≤<故选：C.【点睛】本题考查集合的运算，以及用韦恩图表示集合，属综合基础题.15．设表示不超过的最大整数,则关于的不等式的解集是[]x x x 2[]3[]100x x --≤A ．[-2，5]B ．（-3,6）C ．[-2,6）D ．[-1,6） 【答案】B【详解】由题意可得：关于x 的不等式x 2−3x −10⩽0的解集是{x |−2⩽x ⩽5}， 又因为[x ]表示不超过x 的最大整数，所以关于x 的不等式[x ]2−3[x ]−10⩽0的解集是{x |−3<x <6}.本题选择B 选项.16．用|S |表示集合S 中元素的个数，设A ，B ，C 为集合，称(A ，B ，C )为有序三元组，如果集合A ，B ，C 满足，且，则称有序三元组(A ，B ，C )为最小相1A B B C C A === A B C =∅交，由集合{1，2，3}的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．5【答案】B【分析】根据定义，确定满足条件的集合，，的元素情况即可求出结果．A B C 【详解】解：， ||||||1A B B C C A === 设，，，∴{}A B x = {}B C y = {}C A z = ，且，，，2，，A B C =∅ x y {1z ∈3}集合，，，，，，∴{A x =}z {B x =}y {C z =}y 若，，，则，，，，，，1x =2y =3z ={1A =3}{1B =3}{2C =3}将1，2，3进行全排列，由个．33326A =⨯=故选：B ．三、解答题17．用反证法证明：“已知，若，则.”a b R ∈、22220a ab b a b ++++-≠1a b +≠【答案】证明见解析【分析】根据反证法定义提出合理假设，得出假设与命题矛盾即可.【详解】假设，1a b +=则，22222()()2(2)(1)0a ab b a b a b a b a b a b ++++-=+++-=+++-=与矛盾，22220a ab b a b ++++-≠故假设不成立，所以原命题成立.18．设集合，， {}240A x x =-=()(){}222150B x x a x a =+++-=(1)若，求实数的值；{}2A B ⋂=a(2)若，求实数的取值范围.A B A ⋃=a 【答案】(1)3a =-(2)]{}(,31a ∞∈--⋃-【分析】（1）由可知，代入集合分类讨论的取值即可得； {}2A B ⋂=2B ∈B a 3a =-（2）根据并集结果可得，再对集合是否为空集进行分类讨论即可得出实数的取值范围.B A ⊆B a 【详解】（1）由集合可得， {}240A x x =-={}2,2A =-由可得，{}2A B ⋂=2B ∈故，解得或，244(1)50a a +++-=1a =-3a =-当时，，此时不满足题意，舍去，1a =-{}2,2B =-{}2,2A B =- 当时，，满足题意，3a =-{}2B =故；3a =-（2）由得，A B A ⋃=B A ⊆当时，即时，满足题意；224(1)4(5)0a a ∆=+--<3a <-B =∅当时，即时，满足题意；Δ0=3a =-{}2B =当时，即时，，解得， 0∆>3a >-()221054a a ⎧+=⎨-=-⎩1a =-综上可得，或；3a ≤-1a =-即实数的取值范围为.a ]{}(,31a ∞∈--⋃-19．（1）解关于的不等式；x 2(21)20ax a x -++>（2）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.x 20ax bx c ++>(4,7)-x 20cx bx a -+≥【答案】（1）答案见解析；（2） 11,,74⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）原不等式化为，对分类讨论求解即可；(1)(2)0ax x -->a （2）根据不等式解集及根与系数的关系，可得，代入所求不等式化简求解即可. 328b a c a=-⎧⎨=-⎩【详解】（1）原不等式化为，(1)(2)0ax x -->当时，可得，解得，0a =20x -<2x <当时，的根为且，解得或， 102a <<(1)(2)0ax x --=1,2a 12a >2x <1x a >当时，可得，解得； 12a =2(2)0x ->2x ≠当时，的根为且，解得或； 12a >(1)(2)0ax x --=1,2a 12a <1x a<2x >当时，由解得，故不等式解集为. a<0(1)(2)0ax x -->12x a <<1(,2)a 综上，当时，解集为；0a =(,2)-∞当时，解集为； 102a <<1(,2)(,)a -∞⋃+∞当时，解集为； 12a ={}2x x ≠当时，解集为； 12a >1(,)(2,)a-∞⋃+∞当时，解集为.a<01(,2)a （2）由题意得，且，解得， a<04747b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩328b a c a =-⎧⎨=-⎩不等式可化为，20cx bx a -+≥22830ax ax a -++≥即，解得或， 228310x x --≥17x ≤-14x ≥故不等式解集为. 11,,74⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭20．已知.2{|13},N {680}M x x x x x =<=-+≤（1）设全集，定义集合元素△，使M △N =M ∩，求M △N 和N △M ；U =R N （2）若，按（1）的运算定义求(M △N )△H .2{|()4}H x x a =-≤【答案】（1）△，△；（2）答案见解析；M {}|12N x x =<<N {}|34M x x =……【分析】（1）解不等式求出，，结合题意计算即可；M N （2）解不等式求出集合，结合（1）中△，分类讨论，可得△△．H M N (M )N H 【详解】解：（1），；13{|}M x x =<<2{|680}{|24}N x x x x x =-+=………根据题意，，或，U =R {|2N x x =<4}x >△，M ∴{}|12N M N x x ==<< 又或，{|1M x x =…3}x …△；N ∴{}|34M N M x x == ……（2），{}{}2|()4|22H x x a x a x a =-≤=-≤≤+ 所以，又，()(),22,H a a =-∞-++∞ {}()|121,2M N x x =<<= 所以()()M N H M N H = 当，或，即，或时，；22a -≥21a +≤4a ≥1a ≤-()()1,2M N H = 当，即时，；122a <-<34a <<()()1,2M N H a =- 当，即时，；122a <+<10a -<<()()2,2M N H a =+ 当，且，即时，．21a -≤22a +≥03a ≤≤()M N H =∅ 21．对于四个正数，如果，那么称是的“下位序对”，,,,x y z w xw yz <(,)x y (,)z w （1）对于2,3,7,11，试求的“下位序对”；(2,7)（2）设均为正数，且是的“下位序对”，试判断之间的大小关系； a b c d ,,,(,)a b (,)c d ,,c a a c d b b d++（3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在，使得n {|02017}t t <<*m N ∈*k ∈N (,2017)m 是的“下位序对”，且是的“下位序对”，求正整数的最小值.(,)k n (,)k n (1,2018)m +n 【答案】（1）；（2）；（3）4035 ()3,11b a c c a b d d+<<+【分析】（1）根据新定义，代入计算判断即可；（2）根据新定义得到，再利用不等式的性质，即可判断；ad bc <（3）由题意得到，从而求出， ()201712018mn k m n k <⎧⎨+>⎩4035n ≥再验证该式对集合内的每个的每个正整数都成立，继而求出最小值.{|02017}t t <<m +∈N m 【详解】（1），37112⨯<⨯ 的“下位序对”是∴(2,7)()3,11（2）是的“下位序对”，(,)a b (,)c d ，ad bc ∴<均为正数，a b c d ,,,故，即 ， ()0a c a bc ad b d b b d b +--=>++a c b b d a+>+同理， a c c b d d+<+综上所述，. b a c c a b d d +<<+第 11 页 共 11 页（3）依题意得， ()201712018mn k m n k <⎧⎨+>⎩注意到整数，故 ,,m n l 1201712018mn k mn n k+≤⎧⎨+-≥⎩于是()()201712017201820181mn n k mn +-≥⨯≥+ 40352017n m∴≥-该式对集合内的每个的每个正整数都成立，{|02017}t t <<m +∈N m ， 4035403520172016n ∴≥=-， 120172018m k m n +<< ， 112017201720182018m m m m +++∴<<+， 211201740352018m m m ++∴<<对集合内的每个，∴{|02017}t t <<m +∈N 总存在，使得是的“下位序对”，k N +∈(,2017)m (,)k n 且是的“下位序对”，(,)k n (1,2018)m +正整数的最小值为4035.n 【点睛】本题主要考查了集合新定义，需理解题干中的定义，考查了学生的知识迁移能力以及分析问题的能力，属于中档题.。
上海市高一上学期10月月考数学试题(解析版)
一、填空题1．已知集合A ＝{x |﹣3≤x ＜3}和B ＝{x |x ＝2k ，k ∈N }关系的文氏图如图所示，则阴影部分表示的集合的元素的个数为___个．【答案】3【分析】根据文氏图可知，阴影部分表示的集合为A ∩B ，然后求出元素个数即可．【详解】∵集合A ＝{x |﹣3≤x ＜3}和B ＝{x |x ＝2k ，k ∈N }，∴阴影部分表示的集合A ∩B ＝{﹣2，0，2}．∴阴影部分表示的集合的元素共有3个．故答案为：3．2．已知，全集，则___（用区间表示） {}2|560,{||11}A x x x B x x =-+>=-<∣U =R A B ⋂=【答案】(](),03,-∞+∞ 【分析】解不等式化简集合，进行集合运算即可.【详解】，{}()(){}()()22|50,,6|2303A x x x x x x -∞+∞=-+>=-->=，()2{||11}{10,|11}B x x x x B ∣-=-<-<==<=所以，.(][),02,B ∞∞=-⋃+(](),03,A B =-∞+∞ 故答案为：.(](),03,-∞+∞3．设A ＝，B ＝{x |x ≤10，x ∈Q }，则A ∩B ＝_____．{}|N x x k =∈【答案】{}1,4,6,9【分析】的的取值范围，从而可求得.10,N k ∈k A B ⋂【详解】因为{}|10,Q B x x x =≤∈得10,N k ≤∈019,N k k ≤≤∈由题：{}|19,N x x k k =≤≤∈{4=所以{}1,4,6,9A B = 故答案为：{}1,4,6,94．已知全集中有个元素，中有个元素．若非空，则的元素个数U A B =⋃m A B ⋃n A B ⋂A B ⋂为___个． 【答案】m n -【分析】法一：由韦恩图判断；法二：由及补集概念即可求.A B A B = 【详解】法一：因为中有个元素，如图所示阴影部分，A B ⋃n又中有个元素，故中有个元素；U A B =⋃m A B ⋂m n -法二：因为有个元素，又全集中有个元素，A B A B = n U A B =⋃m 故的元素个数个．A B ⋂m n -故答案为：.m n -5．“若，则”的否定形式为____．220x x --≤12x -≤≤【答案】若，则或220x x --≤1x <-2x >【分析】根据命题的否定形式直接得出答案.【详解】“若，则”的否定形式：220x x --≤12x -≤≤若，则或.220x x --≤1x <-2x >故答案为：若，则或.220x x --≤1x <-2x >6．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，假设不考虑其它费用，为使宾馆利润最大，每天的房价定为 _____元．【答案】340【分析】设空闲的房间为x ，则房价为元，定价增加了10x 元，表示出利润的函数关()18010x +系，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【详解】解：设空闲的房间为x ，则房价为元，定价增加了10x 元，()18010x +由题意可得，利润，当且仅当()()()()21850180105010185010115602x x x x x x ++-⎛⎫+-+-≤= ⎪⎝⎭==，即时取等号，此时房价为元，所以为使宾馆利润最大，每天1850x x +-＝16x =1801610340+⨯=的房价定为340元．故答案为：340．7．二次函数的图像如图所示，则下列结论中正确的个数是____．2(0)y ax bx c a =++≠（1）异号；（2）当和时，函数值相等；（3）；（4）当时，的取,a b 1x =3x =40a b +=4y =x 值只能为0.【答案】3【分析】根据二次函数的图象得到对称轴即可结合二次函数的性质求解.【详解】根据图象可知：是二次函数与的两个交点，所以可得对称轴方程为 ()2,0,(6,0)-x ，故对称轴为，故异号且，（1）（3）正确； 2x =22b x a=-=,a b 40a b +=因为对称轴为，故当和时，函数值相等， 22b x a=-=1x =3x =当时，的取值为0和4，故（2）正确，（4）错误；故正确的个数是3.4y =x 故答案为：3.8．若的图像x =1对称，则c =_______．()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈【答案】2【详解】本题考查函数的对称性又的对称轴为 ()()2222223322b b f x x b x x ++⎛⎫⎛⎫=-+++=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22b x +=则，得； 212b +=0b =由的图象对称知其定义域关于直线对称，则有()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈1x =[],b c 1x =；2b c +=所以2c =9．不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），则不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0的解集为 ______．【答案】（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【详解】根据不等式ax 2+bx +c ＞0的解集得出a 与b 、c 的关系，再代入不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0中化简求解集即可．【解答】解：不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），所以﹣2和1是ax 2+bx +c ＝0的实数根，且a ＜0；所以，可得b ＝a ，c ＝﹣2a ， 2121b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩所以不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0可化为ax 2+2ax ﹣3a ＜0，即x 2+2x ﹣3＞0，整理可得()()310x x +->，解得x ＜﹣3或x ＞1，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．10．已知命题“若，，则集合”是假命题，()22f x m x =()22g x mx m =-1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭则实数的取值范围是 ______．m 【答案】 ()7,0-【分析】由“”是假命题可知区间上有解，构1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭()2220m m x m -+<1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦造函数，结合二次函数的图象可求的范围.()()222h x m m x m =-+m 【详解】∵，，()22f x m x =()22g x mx m =-又∵“”是假命题， 1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭∴，即在区间上有解 2222m x mx m <-()2220m m x m -+<1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦令，()()222h x m m x m =-+①当，即或时，或，20m m -=0m =1m =()0h x =()2h x =在区间上无解，不合题意； ()0h x <1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦②当，即且时，20m m -≠0m ≠1m ≠是二次函数，其图象是对称轴为轴的抛物线，()h x y 若要使在区间上有解，则需满足： ()0h x <1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦或 22017024m m m m h ⎧->⎪⎨+⎛⎫=< ⎪⎪⎝⎭⎩()22010m m h m m ⎧-<⎪⎨=+<⎪⎩解得，即的取值范围是.70m -<<m ()7,0-故答案为：.()7,0-【点睛】本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是二次函数的性质的应用. 11．对于任意两个数x ，y （x ，y ∈N *），定义某种运算“◎”如下：①当或时，x ◎y ＝x +y ； **2,N 2,N x m m y n n ⎧=∈⎨=∈⎩**21,N 21,N x m m y n n ⎧=-∈⎨=-∈⎩②当时，x ◎y ＝xy ． **2,N 21,N x m m y n n ⎧=∈⎨=-∈⎩则集合A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}的子集个数是 _____．【答案】2048【分析】由新定义化简集合，从而确定子集的个数．A 【详解】由新定义知，A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}()()()()()()()()()()(){}=19283746556473829125101，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共11个元素，故其子集的个数为，112=2048故答案为：2048．12．若关于的不等式的解集为，且存在实数，使得，x 3|1||1|2x ax +++≥R 0x 003|1||1|2x ax +++=则实数的所有取值是____．a 【答案】或. 12-2-【分析】的图像是一条折线，所以的最小值在折点处，故分类讨论，在折点处建立等式求()f x ()f x 解即可.【详解】令，当时，，不合题意，故.()|1||1|f x x ax =+++0a =()|1|11f x x =++≥0a ≠由的解析式易得，的图像是一条折线，且折点满足或，即或()f x ()f x 10x +=10ax +==1x -， 1x a=-又的最小值为，∴的最小值只能在折点处取得. ()|1||1|f x x ax =+++32()f x 当时，则，解得或， =1x -3|1|2a -+=12a =-52所以或， 13()|1||1|22f x x x =++-+≥53()|1||1|25x f x x =+++≥因为的最小值为，所以； ()f x 3212a =-当时，则，解得或， 1x a =-13|1|2a -+=2a =-25所以或，所以. 3()|1||21|2f x x x =++-+≥23()|1||1|55f x x x =+++≥2a =-综上所述，或． 12a =-2a =-故答案为：或. 12-2-二、单选题13．设不等式的解集为，不等式的解集为，则不等式的解集为()0f x ≥[1,2]()0g x ≥∅()0()0f xg x <⎧⎨<⎩（ ）A ．B ．C ．D ．∅(,1)(2,)-∞⋃+∞(1,2)R 【答案】B【分析】根据集合的补集的含义求解即可.【详解】因为不等式的解集为，不等式的解集为，()0f x ≥[1,2]()0g x ≥∅所以不等式的解集为，不等式的解集为 ()0f x <(,1)(2,)-∞⋃+∞()0g x <R 所以不等式的解集为. ()0()0f x g x <⎧⎨<⎩(,1)(2,)-∞⋃+∞故选：B ．三、多选题14．已知为正常数，则不等式（ ） ,,a b m a m a b m b +>+A ．当时成立 B ．当时成立a b <a b >C ．是否成立与无关D ．一定成立 m 【答案】AC【分析】化简不等式即可判断.【详解】因为为正常数，则，且不等式是否成立与,,a b m ()()a m a a m b a b m b a b m b+>⇔+>+⇔>+无关.m 故选：AC.四、单选题15．俗话说“不到长城非好汉”，这句话的意思是“到长城”是“好汉”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】利用命题与逆否命题的关系判断.【详解】设为不到长城，推出为非好汉，即，p ⌝q ⌝p q ⌝⇒⌝则，即好汉到长城，故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.q p ⇒⇒故选：B ．16．已知，为方程的两根，，为方程的两根，则常数1x 2x 20x px q ++=11x +21x +20x qx p ++=p ，q 分别等于（ ）A ．，B ．3，C ．1，3D ．，1 1-3-1-3-【答案】A【分析】根据已知条件由韦达定理得出，关于p ，q 的式子，消去，求解即可得出答案.1x 2x 1x 2x 【详解】，为方程的两根， 1x 2x 20x px q ++=①， 1212x x p x x q +=-⎧∴⎨⋅=⎩ ，为方程的两根，11x + 21x +20x qx p ++=②， ()()12121111x x q x x p +++=-⎧∴⎨+⋅+=⎩ 由①②式消去，可得：，解得， 1x 2x 21p q q p p -+=-⎧⎨-+=⎩13p q =-⎧⎨=-⎩17．已知条件实数满足，条件实数满足，若是的:p x 28200x x --≤:q x 22210(0)x x m m -+->≤p q 必要而不充分条件，则实数的取值范围是（ ）m A ．B ．C ．D ．3m ≥03m <≤3m >03m <<【答案】B【分析】解不等式，必要而不充分条件等价为集合的包含关系，即可列不等式组求解.【详解】，因为是的必要而不充分条件， [][]:2,10,:1,1p x q x m m ∈-∈-+p q 所以，所以且等号不同时成立，所以， [][]1,12,10m m -+⊂-12110m m -≥-⎧⎨+≤⎩03m <≤故选：B.五、解答题18．解下列不等式： (1)； 25123x x x -<---(2).2(1)(2)0x x -+≥【答案】(1)(1,1)(2,3)-U (2){2}[1,)-+∞【分析】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.【详解】（1），由数轴标根法得，解集22253210(1)(1)(2)(3)02323x x x x x x x x x x x --+<-⇔<⇔+---<----为；(1,1)(2,3)-U （2）或， 210(1)(2)020x x x x -≥⎧-+≥⇔⎨+≠⎩20x +=易得解集为.{2}[1,)-+∞ 19．解下列不等式： (1)； 132x-<<(2).(0x -≥【答案】(1) 11(,(,)32-∞-⋃+∞【分析】（1）分类讨论解分式不等式；（2）结合因式分解解不等式.【详解】（1）时，解得；时，解得. 0x >12x >0x <13x <-故解集为； 11(,(,)32-∞-⋃+∞（2），故解集为. (2)0(0(00x x x -≥⎧-≥⇔-≥⇔≥[3,)+∞20．已知集合，求：{}2|20A x x x m =-+=(1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围；A m (2)若，求实数的取值范围.(,0)A ⊆-∞m 【答案】(1)m 1≥(2)1m >【分析】（1）由集合元素的个数转化为方程根的个数列不等式即可求得实数的取值范围； m （2）根据集合关系，讨论或只有负根，列不等式即可求得实数的取值范围.A =∅220x x m -+=m 【详解】（1）若集合至多有1个元素，则至多一个实根{}2|20A x x x m =-+=220x x m -+=所以，故；440m ∆=-≤m 1≥（2）由题意得或只有负根，A =∅220x x m -+=当时，，故，A =∅Δ440m =-<1m >当只有负根时，，无解，220x x m -+=1212Δ440200m x x x x m =-≥⎧⎪+=<⎨⎪=>⎩综上，实数的取值范围为.m 1m >21．关于的不等式，其中. x 2282002(1)94x x mx m x m -+<++++R m ∈(1)解集为空集时，求实数的取值范围； m (2)解集为时，求实数的取值范围.R m 【答案】(1)； 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2). 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】(1)由题意可得恒成立，结合一元二次不等式的解法求解即可；22(1)940mx m x m ++++≥(2) 由题意可得恒成立，结合一元二次不等式的解法求解即可；22(1)94mx m x m ++++0<【详解】（1）解：因为恒为正，22820(4)4x x x -+=-+所以解集为空集时，恒成立，22(1)940mx m x m ++++≥当时，不恒成立，舍去；0m =240x +≥当时，，解得， 0m ≠()()20Δ414940m m m m >⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩14m ≥所以实数的取值范围是； m 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）解：因为恒正，所以解集为时，恒成立， 22820(4)4x x x -+=-+R 22(1)94mx m x m ++++0<当时，不恒成立，舍去；0m =240x +<当时，，解得， 0m ≠()()20Δ414940m m m m <⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩12m ≤-所以实数的取值范围是. m 1,2⎛⎤-∞- ⎝⎦22．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时217,0415,4102x x y x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷2个单位的净化剂，6天后再喷洒个单位的药剂，要使接下来的4天中能(14)a a ≤≤够持续有效净化，试求a 的最小值．【答案】(1)8天(2)4【分析】（1）对进行分类讨论，由求得净化的天数.x 44y ≥（2）根据空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）列不等式，分离常数，结合函数的单调a 性求得的取值范围，进而求得的最小值.a a【详解】（1）一次喷洒4个单位的净化剂，故浓度， ()2684,044202,410x x f x y x x ⎧-≤≤==⎨-<≤⎩则当时，由，得；04x ≤≤26844x -≥04x ≤≤当时，由，解得，所以．410x <≤2024x -≥8x ≤48x <≤综上所述，，08x ≤≤故若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达8天．（2）设从第一次喷洒起，经过天，(610)x x ≤≤浓度， 21()2517(6)42g x x a x ⎛⎫⎡⎤=⨯-+--≥ ⎪⎣⎦⎝⎭当时，， 610x <≤2611717(6)(6)6x a x x x -≥=-----因为在上单调递减， 17()(6)6h x x x =---(6,10]所以当时，取得最小值， 10x =()h x 1(10)4h =则的最大值为4，所以； 117(6)6x x ---4a ≥当时，恒成立．6x =()4174g x a =+≥综上所述，a 的最小值为4．23．已知函数，设关于的方程的两实根为，方程()24(0,,)f x ax x b a a b =++<∈R x ()0f x =12,x x 的两实根为．()f x x =,αβ(1)若，求与的关系式；||1αβ-=a b (2)若均为负整数，且，求的解析式；,a b ||1αβ-=()f x (3)若，求证：．12αβ<<<12(1)(1)7x x ++<【答案】(1)；249(0,,)a ab a a b +=<∈R (2)；()242f x x x =-+-(3)证明见解析.【分析】（1）由题意得有两个不等实根为，，根据韦达定理及230(0,,)ax x b a a b ++=<∈R αβ可求解；||1αβ-=（2）由（1）得，结合均为负整数可求解；249a ab +=,a b （3）由韦达定理可得，结合即可证明. 12124,b x x x x a a+=-=12αβ<<<【详解】（1）由题意得有两个不等实根为，，230(0,,)ax x b a a b ++=<∈R αβ所以． 3940,,b ab a aαβαβ∆=->+=-=由得，即， ||1αβ-=()21αβ-=2294()41b a aαβαβ+-=-=所以，即．294ab a -=249(0,,)a ab a a b +=<∈R （2）由（1）得，因为均为负整数，249a ab +=,a b 所以或或， 149a a b =-⎧⎨+=-⎩941a a b =-⎧⎨+=-⎩343a a b =-⎧⎨+=-⎩显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有，解得，． 149a a b =-⎧⎨+=-⎩1a =-2b =-故所求函数解析式为．()242f x x x =-+-（3）由题意得， 12124,b x x x x a a+=-=又由，得，故， 12αβ<<<30,2b a a αβαβ+=-<=<11a-<所以． ()()121212*********b x x x x x x a a++=+++=-+<++=。
上海市闵行中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学卷(含答案)
高一数学试卷时间：120分钟 满分150分一.填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分.1.已知集合，，则______.2.不等式的解集是______.3.集合可以用列举法表示为______.4.设方程的两根为、，则______.5.已知不等式的解集为，则______.6.若要用反证法证明“对于三个实数a 、b 、c ，若，则或”，第一步应假设______.7.某班共50人，其中21人喜爱篮球运动，18人喜爱乒乓球运动，20人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______.8.已知集合是单元素集，则实数的取值集合为______.9.已知集合，，若，则实数的取值范围是______.10.不等式的解集是______.11.已知、，关于的不等式组解集为，则的值为______.12.已知集合，集合，且，则实数的取值范围是______.二.选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，13-14选对每题得4分，15-16选对每题得5分，否则一律得零分.13.给出下列关系式，错误的是（ ）A. B. C. D.14.“”是“或”的（ ）{}1,2,3,4A ={}πB x x =>A B = 101x x -<+()10,30x y P x y x y ⎧⎫+-=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬--=⎩⎪⎪⎩⎭21830x x -+=1x 2x 1211x x +=210ax bx ++>{}12x x -<<a b +=a c ≠a b ≠b c ≠(){}21320A x a x x =-+-=a {}29180A x xx =-+<{}22560B x x ax a =-+=A B ≠∅ a ()2210x x x ++-≠m n R ∈x 23140x x m nx n⎧-+<⎪⎨<⎪⎩()9,13mn ()()(){}22,220,,A x y ax x a ay y a x R y R =++++>∈∈()()(){}22,1220,,B x y x x y y x R y R =++++>∈∈A B A B = a {}10,1,2∈{}1,2,3∅⊆{}{}11,2,3∈{}{}0,1,21,2,0=2024x y +<2012x <2012y <A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件15.已知关于x 的不等式，下列结论正确的是（ ）A.不等式的解集不可以是；B.不等式的解集可以是；C.不等式的解集可以是；D.不等式的解集可以是.16.已知a 、b 都是正数，集合，，若任意的，都有或.则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D.三.解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.已知集合，集合.（1）求集合；（2）若全集，求.18.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.已知命题：实数满足，命题：实数满足（其中）.（1）若，且命题和中至少有一个为真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.19.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形）.使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且.（1）设米（），求出四边形的面积关于的表达式；（2）为使绿地面积不小于空地面积的一半，求长的最大值.220240mx nx ++>220240mx nx ++>R 220240mx nx ++>∅220240mx nx ++>{}2024x x <220240mx nx ++>()1,20240x a A x x a ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭()(){}0B x b x b x =+-≥m R ∈m A ∈m B ∈a b <a b ≤a b >a b≥{}2280A x x x =+-≤2716x B xx ⎧-⎫=≤⎨⎬-⎩⎭B U R =B A p x 210160x x -+≤q x 22430x mx m -+≤0m >1m =p q x q p m ABCD EFGH 200AB =100BC =AE AH CF CG ===AE x =0100x <≤EFGH S x AE20.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解决下列问题：（1）已知、，设，.比较与的大小；（2）已知命题P ：如果实数a 、b 为正数，且满足，则和中至少有一个成立.判断命题P 是否正确，并说明理由；（3______.（其中a ，b ，c ，d 都为正数）并给出它的代数证明.21.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数和，定义集合.（1）设，，求；（2）设，，，若任意，都有，求实数的取值范围；（3）设，，，若存在，使得且，求实数的取值范围.m n R ∈()()2214a m n =++()22b mn =+a b 2a b +=123b a +≥123a b+≥+≥()m x ()n x ()()()()(){},T m x n x x m x n x =<()3p x x =-()45q x x =--()()(),T p x q x ()1u x x =-()()22v x x a a =-+()()216w x a x =-+0x R ∈()()()][()()()0,,x T u x v x T v x w x ⎡⎤∈⎣⎦ a ()2f x x b =-()41x b g x x +=-()2h x =0x R ∈()()()0,x T f x h x ∈()()()0,x T g x h x ∈b2024学年第一学期单元考试高一数学试卷答案一.填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分.12345660且78910111212二.选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，13-14选对每题得4分，15-16选对每题得5分，否则一律得零分.CACB三.解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.【解】（1）由得：，即，解得：，∴.（2）由（1）知：；由得：，解得：，即，∴.18.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.【解】（1）：实数满足，解得，当时，：，解得，∵和至少有一个为真，∴或，∴，{}4()1,1-(){}2,1-a b =b c =1,18⎧⎫-⎨⎬⎩⎭()1,3()(),11,-∞--+∞ 39-()(),11,-∞-+∞ 2716x x -≤-106x x -≤-()()16060x x x ⎧--≤⎨-≠⎩16x ≤<[)1,6B =()[),16,B =-∞+∞ 2280x x +-≤()()420x x +-≤42x -≤≤[]4,2A =-(][),26,B A =-∞+∞ p x 210160x x -+≤28x ≤≤1m =q 2430x x -+≤13x ≤≤p q 28x ≤≤13x ≤≤18x ≤≤∴实数的取值范围为；（2）∵，由，解得，即：，∵是的充分条件，∴∴，实数的取值范围是19.略20.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.【解】（1）解：∵，∴，即；（2）命题正确用反证法证明如下：假设和都不成立，则且，由已知，实数、为正数实数，∴且，故，可得，与已知矛盾，故假设不成立，∴和中至少有一个成立. （3证明：x []1,80m >22430x mx m -+≤3m x m ≤≤q 3m x m ≤≤q p 238mm ≥⎧⎨≤⎩823m ≤≤m82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()()222142a b m n mn -=++-+()22222222244444420m n m n m n mn m n mn m n =+++---=+-=-≥0a b -…a b …P 123b a +≥123a b+≥123b a +<123a b+<a b 123b a +<123a b +<22233a b a b ++<+2a b +>2a b +=123b a +≥123a b+≥≥22-()2222222222a c b d a c b d ab cd =++++-+++++又因为所以因为a ，b ，c ，d所以21.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.【解】（1）已知，由，即当时，不等式化为，得，此时，不等式的解为.当时，不等式化为，即，恒成立，此时，不等式的解为.当时，不等式化为，得.此时，不等式的解为.综上所述，的解集为，即.（2）由题意知，不等式①恒成立，且不等式②恒成立；由（1）得，，，解得；由②得，，时，不等式化为恒成立，时，应满足，解得；综上知，的取值范围是.()()22ab cd ab cd ⎤=-+=-+⎥⎦()()()()222222222220a c b d ab cd a d b c abcd ad bc ++-+=+-=-≥()()()22222a c b d ab cd ++≥+()ab cd ≥+22+≥≥()3p x x =-()45q x x =--()()p x q x <354x x -+-<5x ≥354x x -+-<6x <56x ≤<35x ≤<354x x -+-<24<35x ≤<3x <354x x -+-<2x >23x <<()()p x q x <()2,6()()()(),2,6T p x q x =()212x x a a -<-+()()22216x a a a x -+<-+()()2221210x a x a a -++++>()()22214210a a a ∆=+-++<34a >-()22160a x a a ---+>1a =1160--+>1a ≠21060a a a ->⎧⎨--+>⎩12a <<a [)1,2（3）已知，，，由题意得，不等式组有解， 由，又， （1）当，即时，上式为，对任意桓成立.此时不等式组有解，满足题意； ②当，即时，，或，要使不等式组有解，则，或，解得，则有；③当，即时，，或.要使不等式组有解，则，或，解得，则有；综上所述，的取值范围是()2f x x b =-()41x b g x x +=-()2h x =()()22f x g x <⎧⎪⎨<⎪⎩()22221122b b f x x b x <⇔-<-<⇔-<<+()()()4214242200111x b x x b x b g x x x x +---++<⇔<⇔<⇔>---421b +=14b =-10>()(),11,x ∈-∞+∞ ()()22f xg x <⎧⎪⎨<⎪⎩421b +<14b <-()242g x x b <⇔<+1x >()()22f xg x <⎧⎪⎨<⎪⎩1422b b -<+112b +>67b >-6174b -<<-421b +>14b >-()21g x x <⇔<42x b >+()()22f x g x <⎧⎪⎨<⎪⎩112b -<1422b b +>+4b <144b -<<b 6,47⎛⎫- ⎪⎝⎭。
2020-2021学年上海市青浦高级中学高一上学期10月质量检测数学试题(解析版)公开课
2020-2021学年上海市青浦高级中学高一上学期10月质量检测数学试题一、单选题1. 下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A.B.C. D. 【答案】A【解析】由韦恩图可以看出, 阴影部分中的元素满足“是 的元素且是 的元素, 或是 的元素”, 由韦恩图与集合之间的关系易得答案.【详解】解: 由已知中阴影部分所表示的集合元素满足“是 的元素且是 的元素, 或是 的元素”,故阴影部分所表示的集合是()()()CA B A C B C =故选:【点睛】本题考查利用韦恩图求集合、考查韦恩图在解决集合间的关系时是重要的工具. 2. 一元二次方程 有解是一元二次不等式 有解的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】D【解析】根据充要条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解: 对于方程 , 当 , 方程有解, 此时 的解集为空集, 故充分性不成立； 若对于 当 时不等式的解集为 , 此时方程 无解, 故必要性也不成立,故一元二次方程20ax bx c ++=有解是一元二次不等式20ax bx c ++>有解的既非充分又非必要条件故选: D【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断, 属于基础题.3．已知 , , 若 , 则对此不等式描述正确的是（ ）A. 若 , 则至少存在一个以 为边长的等边三角形B. 若 , 则对任意满足不等式的 都存在以 为边长的三角形C. 若 , 则对任意满足不等式的 都存在以 为边长的三角形D ．若 , 则对满足不等式的 不存在以 为边长的直角三角形【答案】B【解析】本题可用排除法, 由 ,对于 , 若 , 可得 , 故不存在这样的 错误, 排除 ；对于 时, 成立, 而以 为边的三角形不存在, 错误, 排除 ；对于 时, 成立, 存在以 为边的三角形为直角三角形, 故 错误, 排除 故选B.【 方法点睛】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题.用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等.二、填空题4. 设全集 , 集合 , , 则 ___________【答案】{1,3,4}【解析】根据集合交补含义可得.【详解】因为 , ,{}134A B =，，.故答案为: {1,3,4}【点睛】此题为基础题, 考查集合的运算.5. 被4除余2的所有自然数组成的集合 ___________【答案】{}42,xx k k Z =+∈∣ 【解析】用集合描述法表示.【详解】被4除余2的所有自然数组成的集合{}42,B x x k k Z ==+∈ 故答案为: {}42,xx k k Z =+∈∣ 【点睛】此题为基础题, 考查集合表示方法及整数与整除的相关知识.6. 满足 的集合 有___________个【答案】7【解析】依题意 且 且 至少有一个属于集合 , 再一一列举出来即可；【详解】解: 因为 , 所以 且 且 至少有一个属于集合 , 可能有 , , , , , , 共 个,故答案为: 7【点睛】本题考查集合的包含关系, 求集合的子集, 属于基础题.7. 集合 用列举法表示为_________.【答案】{1,2,3,4}【解析】因为 , 所以 可取 , 分别列方程解出 的值, 结合 , 可得 , 即 , 故答案为 .8．已知集合 , , 则 _________ 【答案】3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由于集合A, B 表示二次函数的值域, 所以先利用配方法求出集合A, B, 再求交集【详解】解: 因为 , 所以 ,所以 ,因为 , 所以 ,所以 ,所以 ,故答案为:【点睛】此题考查集合的交集运算, 考查二次函数值域的求法, 属于基础题9．已知一元二次方程 的两个实根分别为 , , 且 , 则实数 _________【答案】1-【解析】利用根的判定式求出参数的取值范围, 再利用韦达定理计算可得；【详解】解: 因为一元二次方程 的两个实根分别为 , ,所以 , 解得 或所以pp αβαβ+=-⎧⎨=⎩又因为 , 所以 , 即 , 解得 或 （舍去）故答案为:【点睛】本题考查根与系数的关系的应用, 属于基础题.10．若关于 的不等式 的解集为 , 则 _________【答案】1-【解析】依题意可得 与 是方程 的两根, 利用韦达定理计算可得；【详解】解: 因为关于 的不等式 的解集为 , 所以 与 是方程 的两根, 所以 , 解得所以1a b +=-故答案为:【点睛】本题考查一元二次不等式的解集与一元二次方程的关系, 属于基础题.11．已知等式 对 恒成立, 则 _________【答案】3-【解析】化简方程为 , 根据恒成立即可求解.【详解】因为 对 恒成立,所以对恒成立,所以,解得,所以,故答案为:【点睛】本题主要考查了方程的恒成立问题, 考查了运算能力, 属于中档题.12．若实数满足, 且, 则的最小值为______.【答案】【解析】利用基本不等式可得, , 再验证等号成立的条件即可.【详解】∵, , 当且仅当时等号成立.故答案为【点睛】本题考查基本不等式的应用, 运用基本不等式求最值时要注意验证等号成立的条件, 属基础题.13．设, 一元二次方程有整数根的充要条件是__________【答案】3或4【解析】由一元二次方程有实数根△得；又, 则分别讨论为1, 2, 3, 4时的情况即可.【详解】解: 一元二次方程有实数根；又, 则时, 方程, 有整数根2；时, 方程, 有整数根1, 3；时, 方程, 无整数根；时, 方程, 无整数根．所以或.故答案为：3或4.【点睛】本题考查一元二次方程有实根的充要条件及分类讨论的策略, 属于基础题.14．定义, 设集合, , , 则集合__________【答案】{}0,8,10【解析】根据新定义依次求集合元素即可.【详解】{}{}{}()0,4,510,8,10A B C ∇∇=∇=故答案为: {}0,8,10【点睛】新定义题关键在于审题, 是高考常见题型.15．若 , 则 , 则称 是“对偶关系”集合, 若集合 的所有非空子集中是“对偶关系”的集合一共15个, 则实数 的取值集合为__________【答案】{}1,5-【解析】根据定义, 列举集合 , , , 0, 2, 4, 6, 的所有的“对偶关系”的集合, 再去考查实数 的取值即可.【详解】解: 集合 , , , 0, 2, 4, 6, 的所有的“对偶关系”有 与6, 与4, 2与0, 则 与7,这些组合的“对偶关系”有4对, 集合有 个.那么 , 可得 .当 时, 则 , 也满足“对偶关系”．可得实数 的取值集合为 .故答案为： .【点睛】本类问题通常以选择和填空出现, 考查集合和元素之间的关系, 有时也出现在以其他知识为背景的综合题中, 渗透集合的思想, 体现基础性与应用性. 属于基础题三、解答题16. 设 , 求关于 与 的二元一次方程组 的解集.【答案】分类讨论, 答案见解析.【解析】消元得 , 再对参数 分类讨论, 计算可得；【详解】解: 由 得 , 即 （）,当 时, 无解, 解集为 ,当 时, , , 解集为 ．【点睛】本题考查二元一次方程组的解法, 考查分类讨论思想, 属于基础题.17．已知命题方程有两个不相等的负根；命题方程无实根若命题与一真一假, 求实数的取值范围．【答案】44,1,33⎛⎤⎡⎫-∞-⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】先由已知条件求出为真时, 有, 为真时, 有, 再由命题与一真一假, 分情况求解即可【详解】解: 若为真, 则, 解得,若为真, 则, 解得,而命题与一真一假, 共有两种情况,①真假, 则或, 所以；②假真, 则, 所以；综上, 实数的取值范围是．【点睛】此题考查由命题的真假求参数范围, 考查一元二次不等式的解法, 考查计算能力, 属于基础题18．距码头南偏东的400千米处有一个台风中心．已知台风以每小时40千米的速度向正北方向移动, 距台风中心350千米以内都受台风影响．问：从现在起多少时间后, 码头将受台风影响？码头受台风影响的时间有多长？【答案】小时后, 码头将受台风影响, 影响时间为小时.【解析】首先设台风到达处时, 码头开始受台风影响, 离开处时, 码头不再受台风影响, 再利用余弦定理即可得到答案.【详解】设台风到达处时, 码头开始受台风影响, 离开处时, 码头不再受台风影响,如图所示:所以, , ,设, 根据余弦定理得:解得或（舍去）, 所以, .因为, ,所以从现在起个小时后, 码头将受台风影响, 码头受台风影响的时间为小时. 【点睛】本题主要考查余弦定理得实际应用, 考查学生分析问题的能力, 属于中档题.19. （1）已知, 用比较法证明；（2）已知, 用反证法证明: ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用作差法比较大小即可；（2）假设, 则, 结合（1）中的结论, 得到矛盾, 即可得证；【详解】解: （1）,因为, 取等号的条件为而, 故等号无法取得, 即又, 所以,所以33；a b（2）假设, 则, 所以由（1）得,所以,又, 所以,即矛盾, 所以假设错误,所以.【点睛】本题考查作差法比较大小以及反证法证明, 属于基础题.20. 设为正整数, 集合（）, 对于集合中的任意元素和, 记.（1）当时, 若, , 求和的值；（2）当时, 设是的子集, 且满足: 对于中的任意元素、, 当、相同时, 是奇数, 当 、 不同时, 是偶数, 求集合 中元素个数的最大值.【答案】（1） , ；（2）4.【解析】（1）利用 的定义, 求得 和 的值.（2）当 时, 根据 、相同时, 是奇数, 求得此时集合 中元素所有可能取值, 然后验证 、不同时, 是偶数, 由此确定集合 中元素个数的最大值.【详解】（1）依题意(,)M αα()()()111011000022=+-++-++-=⎡⎤⎣⎦； (,)M αβ()()()110111001112=+-++-++-=⎡⎤⎣⎦. （2）当 时, 依题意当 、 相同时, 为奇数, 则 中有“ 个 和 个 ”或者“ 个 和 个 ”.当 、 不同时:①当 中有“ 个 和 个 ”时, 元素为 , 经验证可知 是偶数, 符合题意, 集合 最多有 个元素 .②当 中有“ 个 和 个 ”时, 元素为 , 经验证可知 是偶数, 符合题意, 集合 最多有 个元素 .综上所述, 不管是①还是②, 集合 中元素个数的最大值为 .【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用, 考查分析、思考与解决问题的能力, 属于中档题.。
上海市虹口区复旦大学附属复兴中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷
上海市虹口区复旦大学附属复兴中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷一、单选题1．若a b >，0c <，则下列不等式成立的是（）A ．22ac bc >B ．a b c c >C ．a c b c+<+D ．a b c >-2．已知全集，集合{|(2)0}A x x x =+<，{|||1}B x x =£，则如图所示的阴影部分表示的集合是（）A ．(2,1)-B ．[1,0)[1,2)-⋃C ．(2,1)[0,1]-- D ．[0,1]3．方程220x ax a +-=在区间()0,1和()1,2各有一个根的充要条件是（）A ．(),1a ∞∈--B ．4,13a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭C ．4,03a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭D ．()2,1a ∈--4．已知a ，b ，R c ∈，若关于x 不等式01a c x b x x ≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，则（）A ．不存在有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=B ．存在唯一有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=C ．有且只有两组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=D ．存在无穷多组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=二、填空题5．已知集合R U =，{}211A x x =-<，则A =6．已知集合{1,}A m =-，{}21,B m =，且A B =，则m 的值为.7．若{}241,,24a a a ∈---，则实数a =．8．命题“,a b R ∈，若110a b -+-=，则1a b ==”用反证法证明时应假设为．9．若集合{}2310A x ax x =-+=的子集只有两个，则实数a =．10．设命题p ：集合{}20A x x =-≤≤，命题q ：集合{}211B x a x a =+≤≤-，若p q ⇒，则实数a 的取值范围是11．设12x x 、是方程230x x +-=的两个实数根，则2122020x x -+=12．设关于x 的方程|2||23|||(,)x x ax b a b R -+-=+∈解集为M ，关于x 的不等式(2)(23)0x x --≥的解集为N ，若集合M N =，则⋅=a b .13．集合{}12,,,n A a a a =⋯，任取1,,,,i j j k i k i j k n a a A a a A a a A ≤<<≤+∈+∈+∈这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为．14．设R,Z a m ∈∈，若存在唯一的m 使得关于x 的不等式组21122x m x a -<<+有解，则a 的取值范围是.三、解答题15．已知集合{}2A x x a =-<，集合2112x B x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭．(1)若2a =，求A B ；(2)若A B A = ，求实数a 的取值范围．16．⑴当1x >时，求证：2211x x x x+>+；⑵已知R x ∈，221,4,2a x x b x c x x =-+=-=-．试证明,,a b c 至少有一个不小于1．17．已知关于x 的不等式()()()2245110R k k x k x k --+++>∈的解集为M ．(1)若1k =，求x 的取值范围；(2)若R M =，求实数k 的取值范围；(3)是否存在实数k ，满足：“对于任意正整数n ，都有n M ∈；对于任意负整数m ，都有m M ∉”，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．18．记121211...,...k k t k t k t t a a a a a a a a ===+++=创å∏存在正整数n ，且2n ≥．若集合{}12,,,n A a a a = 满足11n n t t t t a a ===å∏，则称集合A 为“谐调集”．(1)分别判断集合{1,2}E =、集合{1,0,1}F =-是否为“谐调集”；(2)已知实数x 、y ，若集合{,}x y 为“谐调集”，是否存在实数z 满足2z xy =，并且使得{,,}x y z 为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z ，若不存在，请说明理由；(3)若有限集M 为“谐调集”，且集合M 中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合M ．。
上海市南汇中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题
上海市南汇中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．已知a b >，则（ ）A ．22a b >B ．33a b >C ．||||a b >D ．22ac bc >14．设集合A 、B 、C 均为非空集合，下列命题中为真命题的是（ ）A ．若AB BC Ç=Ç，则A C=B ．若A B B C È=È，则A C=C ．若A B B C È=Ç，则C B ÍD ．若A B B C =I U ，则C BÍ15．已知{}{}22R 0,R 0A x x x a B x x x b =Î-+£=Î-+£||，甲：a b =，乙：A B =，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件16．设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A Ç=Æ，()11,2,3,,6i i A A i +Ç=Æ=L ，记1237B A A A A =ÈÈÈÈL ，则B 中元素个数的最小值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8参考答案：1．()1,3-/()3,1-【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为{}1,3,5M =-，{}1,0,1,2,3N =-，所以{}1,3M N =-I ，故答案为：{}1,3-2．{}2,4【分析】根据集合补集和交集的定义进行求解即可.【详解】设集合{}1,5,9C A B ==I ，所以图中阴影部分表示的集合是{}2,4BC =ð，故答案为：{}2,43．1-【分析】讨论2x =-或232x x +=-，解出x 的值，由集合的互异性即可得出答案.【详解】当x ＝-2时，232x x +=-，与互异性矛盾.当232x x +=-时，解得x ＝-1或x ＝-2（舍去）．当x ＝-1时符合题意，故答案为：1-.4．(][),47,-¥-+¥U 【分析】由一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】()()22328032804707x x x x x x x -++£Þ--³Þ+-³Þ³，或4x £-故答案为：(]3,1-．11．4-【分析】由()()2140x x ax -++=得1231x x x a ++=-，即可求解参数．【详解】由()()2140x x ax -++=得10x -=或240x ax ++=所以11x A =Î，240x ax ++=，当2160a D =-=时，2x =是方程240x ax ++=的根，解得4a =-，当0D >时，若方程240x ax ++=的一根为1，则5a =-，方程的另一根为4，不合题意；若1不是方程240x ax ++=的根，则方程两根232x x a +=-=，此时2a =-不满足0D >，舍去.故答案为：4-．12．{}4,6【分析】先将i j x x -的可能结果列出，然后根据i j x x -相同结果出现的次数确定出k 的取值集合.【详解】将=i j x x k -表示为(),,i jx x k ，可得如下结果：()()()()()()()17,1,16,16,1,15,13,1,12,11,1,10,7,1,6,5,1,4,2,1,1，()()()()()()17,2,15,16,2,14,13,2,11,11,2,9,7,2,5,5,2,3,()()()()()17,5,12,16,5,11,13,5,8,11,5,6,7,5,2,()()()()17,7,10,16,7,9,13,7,6,11,7,4,()()()17,11,7,16,11,5,13,11,2,()()17,13,4,16,13,3,()17,16,1,其中k 为4，6都出现了3次，所以若方程=(>0)i j x x k k -至少有三组不同的解，则k 的取值集合为{}4,6，故答案为：{}4,613．B【分析】举特例可判断A ，C ，D ，由函数3y x =在R 上单调递增可判断B.【详解】当1a =，2b =-时，A ，C 错误；因为函数3y x =在R 上单调递增，所以33a b >，B 正确；当0c =时，D 错误.故选：B 14．D【分析】取特例，根据由集合的运算关系可判断ABC ，根据集合的交、并运算，子集的概念可判断D.【详解】对于A ， A B B C Ç=Ç，当{}{}{}1,2,1,1,2,3A B C ===时，结论不成立，则A 错误；对于B, A B B C È=È，当{}{}{}1,2,3,1,2,3A B C ===时，结论不成立，则B 错误；对于C ，A B B C È=Ç，当{}{}{}1,1,2,1,2,3A B C ===时，结论不成立，则C 错误；对于D ，因为A B B ÍI ，A B B C =I U ，所以B C B ÈÍ，又B B C ÍU ，所以B B C =U ，则C B Í，则D 正确.故选：D 15．A【分析】易知当a b =时，两集合,A B 相等；当A B ==Æ时，,a b 不一定相等，即只有充分性成立.【详解】充分性：若a b =，显然两集合对应的不等式相同，可得A B =，即充分性成立；必要性：若A B =，当,A B 都为空集时，此时只需要满足140a -<且140b -<即可，不妨取1,2a b ==，此时满足A B ==Æ，但a b ¹，即必要性不成立；所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选：A 16．A【分析】设1x 、2x 、L 、()4n x n ³是集合B 互不相同的元素，分析可知4n ³，然后对n的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【详解】解：设1x 、2x 、L 、()4n x n ³是集合B 互不相同的元素，若3n =，则12A A ǹÆ，不合乎题意.①假设集合B 中含有4个元素，可设{}112,A x x =，则{}24634,A A A x x ===，{}35712,A A A x x ===，这与17A A Ç=Æ矛盾；②假设集合B 中含有5个元素，可设{}1612,A A x x ==，{}2734,A A x x ==，{}351,A x x =，{}423,A x x =，{}545,A x x =，满足题意.综上所述，集合B 中元素个数最少为5.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.故m的最小值为674，于是当674m=时，A中元素最多，即{674A=，675，676，¼，2021}时满足题意，综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1348．。
上海市高级中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)
高一上学期10月月考数学试题一、填空题1．集合且，且，则____．{|03A x x =≤<}x ∈Z 2{|9B x x =≤}x ∈Z A B = 【答案】{0,1,2}【分析】根据题意先求出集合的具体取值，然后利用交集的定义即可求解.,A B 【详解】因为集合且，且，{|03A x x =≤<}x ∈Z 2{|9B x x =≤}x ∈Z 则，且且，{0,1,2}A =2{|9B x x =≤}{|33x x x ∈=-≤≤Z }x ∈Z 所以，{3,2,1,0,1,2,3}B =---则有，{0,1,2}A B ⋂=故答案为：.{0,1,2}2．已知集合，且，则实数的取值范围为____．{|2},{|}A x x B x x a =≤=≥A B = R a 【答案】2a ≤【分析】数形结合，即可得到答案. 【详解】根据，结合数轴可知，在的左侧或与之重合，故.A B = R a 22a ≤故答案为：.2a ≤3．已知方程的两根为，，则______.230x x +-=1x 2x 12x x -=【分析】由方程易知，根据根与系数的关系写出、，由0∆>12x x +12x x 12x x -=即可求值.【详解】由题设知：，2Δ141(3)130=-⨯⨯-=>∴，，121x x +=-123x x =-∴12x x -===4．已知正实数满足及，则中至少有一128，，， a a a 12820a a a +++= 12812⋅⋅⋅= a a a 128，，， a a a 个小于1，用反证法证明该命题时，第一步是假设结论不成立，则____． 128，，， a a a 【答案】都不小于1【分析】存在量词命题的否定为全称量词命题，写出答案即可.【详解】至少有一个小于1的否定是都不小于1.故答案为：都不小于15．已知条件，，且p 是q 的必要条件，则实数k 的取值范围为:211p k x k -≤≤-:33q x -≤<_________．【答案】(,2]-∞-【分析】根据集合的包含关系得到关于的不等式组解出即可．k 【详解】∴，[)[]3,321,1k k -⊆--∴，解得， 32131k k -≥-⎧⎨≤-⎩2k ≤-故答案为：．(],2-∞-【点睛】结论点睛：一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；p q q p （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；p q p q （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；p q p q （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．p q q p 6．已知等式恒成立，其中为实数，则_____．22231(1)(1)x x a x b x c --=-+-+,,a b c a b c -+=【答案】1-【分析】方法一：将等式左边展开，比较系数可得答案；方法二：令可得答案.0x =【详解】法一：，222231(1)(1)(2)x x a x b x c ax b a x a b c --=-+-+=+-+-+所以；1a b c -+=-法二：在中，令得.22231(1)(1)x x a x b x c --=-+-+0x =1a b c -+=-故答案为：1-7．已知集合，，则____． |0,R 1x A x x x ⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭{}21,R B y y x x ==+∈A B = 【答案】(1,)+∞【分析】解分式不等式得到，得到，进而求出交集.A {|1}B y y =≥【详解】等价与，解得：或， 01x x ≥-()1010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩1x >0x ≤故或，{|0A x x =≤1}x >又，故，211y x =+≥{|1}B y y =≥所以．(1,)A B ⋂=+∞故答案为：.(1,)+∞8．已知若关于的方程有实根，则的取值范围是______________． ,a ∈R x 2104x x a a ++-+=a 【答案】 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】本题考查二次方程有关知识与绝对值不等式知识的综合应用；由于关于的二次方程有实x 根，那么即，而，从而，解得114()04a a ∆=--+≥1144a a -+≤11244a a a -+≤-11244a -≤． 104a ≤≤ 9．若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是_____|3|4x b -<b 【答案】(5,7)【详解】由得 |3|4x b -<4433b b x -+<<由整数有且仅有1，2，3知，解得 40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩57b <<10．定义集合运算，集合，则集合所(){}|,,A B z z xy x y x A y B ==+∈∈ {}{}0,1,2,3A B ==A B 有元素之和为________【答案】18【分析】由题意可得，进而可得结果.0,6,12=z 【详解】当0,2,0==∴=x y z 当1,2,6==∴=x y z 当0,3,0==∴=x y z 当1,3,12==∴=x y z 和为0+6+12=18故答案为：1811．已知集合有整数解，非空集合满足条件：（1），（2）若2{|360M m x mx =∈+-=Z }A A M ⊆，则，则所有这样的集合的个数为____．a A ∈a A -∈A 【答案】31【分析】根据集合有整数解，结合韦达定理可求出集合，再由题目2{|360M m x mx =∈+-=Z }M 信息中集合满足的两个条件，得到集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集A M A 合，即可求解.A 【详解】因为的整数解只能是36的约数，2360x mx +-=当方程的解为，36时，；当方程的解为，18时，；1-35m =-2-16m =-当方程的解为，12时，；当方程的解为，9时，；3-9m =-4-5m =-当方程的解为，6时，；当方程的解为1，时，；6-0m =36-35m =当方程的解为2，时，；当方程的解为，时，；18-16m =312-9m =当方程的解为，时，；49-5m =故集合{35,16,9,5,0,5,9,16,35}M =----由非空集合满足条件：（1），（2）若，则，A A M ⊆a A ∈a A -∈即集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集合，M A A 得这样的集合共有个，52131-=故答案为：.3112．已知集合，其中，，且{}230123|777A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯{}0,1,,6(0,1,2,3)i a i ∈⋅⋅⋅=30a ≠．若正整数m 、n ∈A ，且m+n=2 010(m>n)，则符合条件的正整数m 有_______个．【答案】662【详解】依题意，知m 、n 是七进制中的四位数，而七进制四位数中最大的一个数为，最小的一个数为.3267676762400⨯+⨯+⨯+=317343⨯=因为m+n=2010(m>n)，所以，1006≤m≤1667.故符合条件的正整数m 有1667-1006+1=662(个).二、单选题13．若集合中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）{},,M a b c =A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】根据集合元素的互异性即可判断.【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，{},,M a b c =ABC 则，所以一定不是等腰三角形．a b c ≠≠ABC 故选：D ．14．设集合，在上定义运算，其中为被4除的余数（其中0123,,},{S A A A A =S :i j k A A A ⊕⊕=k i j +，则满足关系式的的个数为（ ）,0,1,2,3i j =20()x x A A ⊕⊕=()x x S ∈A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【分析】根据题目信息，在集合中取值验证即可.S 【详解】当时，0x A =20020220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当时，1x A =2112220()()x x A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=当时，2x A =22220220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当时，3x A =23322200()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕==则满足关系式的的个数为2个，20()x x A A ⊕⊕=()x x S ∈故选：C ．15．已知，则满足关于的方程的充要条件是A ．B ． 220011x ,22R ax bx ax bx ∃∈-≥-220011x ,22R ax bx ax bx ∃∈-≤-C ． D ． 220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≥-220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≤-【答案】C【详解】试题分析：满足关于的方程，则， 0ax b =220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≥-则处取得函数最小值，函数为二次函数，，所以满足关于0x ()212f x ax bx =-0122b b x a a -∴=-=⨯的方程的充要条件是 220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≥-【解析】充分条件与必要条件点评：若则是的充分条件，是的必要条件p q ⇒p q q p16．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 x 2664ax x ax ++--≥a A ．B ．C ．D ．(],1-∞[]1,1-[)1,-+∞(][),11,-∞-+∞ 【答案】B 【分析】分类讨论去绝对值求解.【详解】（1）当或时，，x≥x ≤260x ax --≥不等式为，2664ax x ax ++--≥24x ≥若不等式恒成立，必需2664ax x ax ++--≥2112a a ≥≥-⎧⇒⎨≤⎩≤-所以；11a -≤≤（2， x <<260x ax --<不等式为即，26(6)4ax x ax +---≥2280x ax --≤（ⅰ）当时，不等式对任意恒成立，0x =2280x ax--≤a （ⅱ）当时， 0x <<不等式恒成立即恒成立， 2280x ax --≤42x a x≥-所以，解得， a ≥1a ≥-（ⅲ时， 0x <<不等式恒成立即恒成立， 2280x ax --≤42x a x≤-所以 a ≤1a ≤综上，实数的取值范围是a []1,1-【点睛】本题考查绝对值不等式，含参数的二次不等式恒成立. 含参数的二次不等式恒成立通常有两种方法：1、根据二次函数的性质转化为不等式组；2、分离参数转化为求函数最值.17．已知不等式：①，②，③． |3|2||x x +>22132x x x +≥-+2210x mx +-<(1)分别求出不等式①与②的解集；(2)若同时满足①②的值也满足③，求实数的取值范围．x m 【答案】(1)，或{|13}A x x =-<<{|01B x x =≤<24}x <≤(2) 173m ≤-【分析】（1）解一元二次不等式和高次不等式即可求解；（2）根据不等式的解集包2210x mx +-<含，结合二次函数的性质即可求解.[0,1)(2,3) 【详解】（1）由①得，即，故解集为， 22|3|4||x x +>23690x x --<{|13}A x x =-<<由②得，即， 224032x x x x -≤-+(4)(1)(2)0(1)(2)0x x x x x x ---≤⎧⎨--≠⎩解得解集或，{|01B x x =≤<24}x <≤（2）或，{|01A B x x =≤< 23}x <<由题意得不等式的解集包含，2210x mx +-<[0,1)(2,3) 令，只需， 2()21f x x mx =+-(0)10(3)18310f f m =-<⎧⎨=+-≤⎩解得． 173m ≤-18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下1|1A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭{|1}A x x =>{}11A x x =-<列横线中，求解下列问题．设集合__________，集合． {}22|210B x x x a =++-=（1）若集合B 的子集有2个，求实数a 的取值范围；（2）若，求实数a 的取值范围．A B A ⋃=注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析【分析】（1）依题意集合B 元素个数为1，则，计算可得；0∆=（2）分别求出集合，再由，则，即可得到不等式组，解得即可；A AB A ⋃=B A ⊆【详解】解：（1）∵集合B 的子集有2个，∴集合B 元素个数为1∴2441()0a ∆=--=（2）选①集合 1|1(,0)(1,)A x x ⎧⎫=<=-∞⋃∞⎨⎬⎩⎭集合 {}[][]{}22|210|(1)((1)0B x x x a x x a x a =++-==+-++=∵∴A B A ⋃=B A ⊆显然有1a ≠±要满足条件，必有：，解，即，所以解得或111111a a⎧<⎪⎪--⎨⎪<⎪-+⎩111a <--1101a +>+201a a +>+1a >-2a <-；解，即，所以解得或； 111a <-+1101a +>-01a a >-1a >a<0综上可得()()(),21,01,a ∈-∞-⋃-⋃+∞选②，{|1}A x x =>集合 {}[][]{}22|210|(1)((1)0B x x x a x x a x a =++-==+-++=∵∴A B A ⋃=B A ⊆要满足条件，必有：解得； 1111a a ->⎧⎨-->⎩a ∈∅选③解得{}11A x x =-<{}02A x x =<<集合 {}[][]{}22|210|(1)((1)0B x x x a x x a x a =++-==+-++=∵∴A B A ⋃=B A ⊆要满足条件，必有：解得； 012012a a <-<⎧⎨<--<⎩a∈∅19．选修4-5不等式选讲设均为正数，且，证明：a b c d ,,,a b c d +=+（Ⅰ）若；ab cd>>（Ⅱ是的充要条件．>+a b c d -<-【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【详解】（Ⅰ）因为，，得2a b +=++2c d =++a b c d +=+ab cd >22>（Ⅱ）（ⅰ）若，则．即．因为，所a b c d -<-22()()a b c d -<-22()4()4a b ab c d cd +-<+-a b c d +=+以，由（Ⅰ．ab cd >+>（ⅱ，则，即>22>a b ++>c d ++，所以，于是．因此，a b c d +=+ab cd >22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-a b c d -<-是的充要条件．>a b c d -<-【解析】推理证明．20．已知关于的不等式的解集为；x 22(23)(1)10(R)k k x k x k --+++>∈M (1)若,求的取值范围；R M =k (2)若存在两个不相等负实数，使得，求实数的取值范围；,a b (,)(,)M a b =-∞⋃+∞k (3)是否存在实数，满足：“对于任意，都有；对于任意的，都有”，若k *N n ∈n M ∈Z m -∈m M ∉存在，求出的值，若不存在，说明理由．k 【答案】(1)； 13(,1](,)3k ∈-∞-⋃+∞(2)；13(3,3k ∈(3)存在，3【分析】（1）讨论二次项系数和不为0时，求出原不等式的解集为R 时k 的取值范2230k k --=围；（2）若存在两个不相等负实数，使得，即和是方程,a b (,)(,)M a b =-∞⋃+∞x a =x b =的两根，由判别式及韦达定理求解即可；22(23)(1)10k k x k x --+++=（3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即M 223k k --可．【详解】（1）解：当时，解得或，2230k k --=3k =1k =-当时，不等式化为1＞0，1k =-∴时，解集为R ，1k =-当时，不等式化为，对任意实数x 不等式不成立，3k =410x +>当时，， R M =()()22223014230k k k k k ⎧-->⎪⎨+---<⎪⎩解得：, 13(,1)(,)3k ∈-∞-⋃+∞综上，的取值范围是； k 13(,1](,)3k ∈-∞-⋃+∞（2）解：若存在两个不相等负实数，使得， ,a b (,)(,)M a b =-∞⋃+∞所以方程的两根分别为和,22(23)(1)10k k x k x --+++=x a =x b =所以，()()222222301423010231023k k k k k k k k k k ⎧-->⎪+--->⎪⎪⎪+⎨-<⎪--⎪⎪>⎪--⎩解得：；13(3,)3k ∈（3）解：根据题意，得出解集，；(,)M t =+∞[1,1)t ∈-当时，解得或， 2230k k --=3k =1k =-时，不等式的解集为，满足条件； 3k =1(,)4-+∞时，1＞0恒成立，不满足条件；1k =-当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件； 2230k k -->(,)t ∞+当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件； 2230k k --<(,)t ∞+综上，满足条件的值为3.k 21．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集{}12,,,(2)k A a a a k =≥ (1,2,,)i a i k ∈=Z A 合：，． {}(,)|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈{}(,),,T a b a A b A a b A =∈∈-∈其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和． (,)a b S T m n 若对于任意的，总有，则称集合具有性质．a A ∈a A -∉A P （Ⅰ）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合{}0,1,2,3{}1,2,3-P P 和．S T （Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明． P A (1)2k k n -≤（Ⅲ）判断和的大小关系，并证明你的结论．m n第 11 页 共 11 页【答案】（Ⅰ）集合不具有性质，集合具有性质，相应集合，{}0,1,2,3P {}1,2,3-P (1,3)S =-(3,1)-，集合，（Ⅱ）见解析（Ⅲ）(2,1)T =-(2,3)m n =【详解】解：集合不具有性质． {}0123，，，P 集合具有性质，其相应的集合和是， {}123-，，P S T {}(13)(31)S =--，，，．{}(21)(23)T =-，，，（II ）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．A ()i j a a ，2k 因为，所以； 0A ∉()(12)i i a a T i k ∉= ，，，，又因为当时，时，，所以当时，． a A ∈a A -∉a A -∉()i j a a T ∈，()(12)j i a a T i j k ∉= ，，，，，从而，集合中元素的个数最多为， T 21(1)()22k k k k --=即． (1)2k k n -≤（III ）解：，证明如下：m n =（1）对于，根据定义，，，且，从而．()a b S ∈，a A ∈b A ∈a b A +∈()a b b T +∈，如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与()a b ，()c d ，S a c =b d =a b c d +=+b d =中也至少有一个不成立．故与也是的不同元素．()a b b +，()c d d +，T 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，S T m n ≤（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与()a b T ∈，a A ∈b A ∈a b A -∈()a b b S -∈，()a b ，是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不()c d ，T a c =b d =a b c d -=-b d =至少有一个不成立，故与也是的不同元素．()a b b -，()c d d -，S 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，T S n m ≤由（1）（2）可知，．m n =。
2022-2023学年上海市行知中学高一上学期10月质量检测数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市行知中学高一上学期10月质量检测数学试题一、单选题1．已知a ，b 都是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由a b >推不出22a b >，如1a =，1b =-，满足a b >，但是22a b =，故充分性不成立，由22a b >推不出a b >，如1a =-，0b =，满足22a b >，但是a b <，故必要性不成立； 故“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件； 故选：D2．设0a b >>，则下列不等式中成立的是（ ）A．22ab a ba b +>>+B．22a b aba b +>>+ C．22a b aba b+>>+D．22ab a ba b +>>+ 【答案】B【解析】利用基本不等式比较大小即可. 【详解】0a b >>，2a b+∴>2ab a b <=+22a b aba b+∴>+. 故选：B .【点睛】本题考查利用基本不等式比较大小，注意（1）各项必须为正数；（2）各项相等时才有等号.（3）0,0a b >>时，2112a b a b+≥≥+，即两个数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，大于等于它们的调和平均数.3．在关于x 的方程()22401160x ax x a x -+=+-+=，和223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．44a -≤≤ B ．97a a ≥≤-或 C ．24a a ≤-≥或D ．24a -<<【答案】C【分析】可以采用补集思想．三个判别式均小于0的条件下取交集后再取补集即可．【详解】若方程()22401160x ax x a x -+=+-+=，和223100x ax a +++=都没有实数根.则()()2122221601640443100a a a a ⎧=-<⎪⎪=--<⎨⎪=-+<⎪⎩ ，解得：24a -<<. 则方程()22401160x ax x a x -+=+-+=，和223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根. 所以2a ≤-或4a ≥ 故选：C【点睛】本题考查了命题与命题的否定，考查补集的方法解题，属于基础题． 4．设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点，用Z 表示整数集，则在下列集合：①Z,0+1n n n n ∈≥⎧⎫⎨⎬⎩⎭，②{}R,0x x x ∈≠，③1Z,0n n n ∈≠⎧⎫⎨⎬⎩⎭，④整数集Z .其中，以0为聚点的集合有（ ） A ．②③ B ．①④C ．①③D ．①②④【答案】A【分析】先理解0x 为集合X 的聚点的含义，以0为聚点的集合, 即对任意0a >，都存在x X ∈，使得0x a <<，对四个集合逐一分析， 对① ,当12a <时，不存在满足0x a <<的x ，不是以0为聚点的集合； 对②，都存在2a x =，使得02ax a <=<，是以0为聚点的集合； 对③，都存在1n a>，使10x a n <=<，是以0为聚点的集合；对④，当01a <<时，对任意的x ∈Z ，都有0x =或者1x ≥， 不存在满足0x a <<的x ，不是以0为聚点的集合；【详解】①集合|,01n n Z n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外， 其余的都至少比0大12，∴在12a <的时候，不存在满足0x a <<的x ，∴ 0不是集合|,01n n Z n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭的聚点； ②集合{}|0x x ≠，对任意的a ，都存在2ax =（实际上任意比a 小的数都可以），使得02ax a <=<，∴ 0是集合{}|0x x ≠的聚点； ③集合1|,0n Z n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭中的元素是极限为0的数列，对于任意的0a >，存在1n a >，使10x a n <=<，∴ 0是集合1|,0n Z n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭的聚点；④对于某个1a <，比如0.5a =，此时对任意的x ∈Z ，都有00x -=或者01x -≥，也就是说不可能000.5x <-<，从而0不是整数集Z 的聚点． 综上可知②③正确. 故选A二、填空题5．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}4,5B =，则A B =___________. 【答案】{}2【分析】根据补集及交集的定义运算即得.【详解】∵全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}4,5B =， ∴{}1,2,3B =，A B ={}2. 故答案为：{}2.6．用描述法表示被5除余3的整数的集合为___________. 【答案】{}|53,x x k k Z =+∈【分析】根据条件写出所求数的表达式即可. 【详解】设所求数为x ，则53,x k k Z =+∈ ， 则被5除余3的整数的集合为{}|53,x x k k Z =+∈ ； 故答案为：{}|53,x x k k Z =+∈.7．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R =，则实数a 的取值范围是______________________ . 【答案】1a ≤【分析】由并集的定义及数轴表示可得解.【详解】在数轴上表示出集合A 和集合B ,要使A B R =，只有1a ≤.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，利用数轴找关系是解题的关键，属于基础题. 8．下列语句 ①考数学开心吗？②好好做作业，争取下次数学能及格 ③2不是素数 ④0是自然数其中是命题的语句的序号有___________. 【答案】③④【分析】根据命题的概念即得.【详解】因为可以判断真假的陈述句为命题， 所以①为疑问句，不是命题； ②不能判断真假，不是命题； ③为假命题； ④为真命题；所以是命题的语句的序号有③④. 故答案为：③④.9．若正数,a b 满足25a b +=，则ab 的最大值是______________. 【答案】258【分析】可利用基本不等式求ab 的最大值.【详解】因为,a b 都是正数，由基本不等式有222a b ab +≥522ab ≥，所以258ab ≤，当且仅当55,24a b ==时等号成立，故ab 的最大值为258.故答案为：258【点睛】易错点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.10．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则不等式[]124x <≤的解集为___________. 【答案】[)1,3【分析】由[]124x <≤可得[]122x <≤，然后可得答案.【详解】由[]124x <≤可得[]122x <≤，因为[]x 表示不超过实数x 的最大整数， 所以13x ≤<，即解集为[)1,3. 故答案为：[)1,311．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为____. 【答案】41,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据不等式ax ＞b 的解集为1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，可得b a ，然后将二次不等式化简变形，把ba代入，最后根据一元二次不等式的解法可得结果. 【详解】由已知ax ＞b 的解集为1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为41,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：41,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查不等式的解法，本题关键在于找到b a ＝15，考查分析能力以及计算能力，属基础题.12．对于任意实数x ，不等式()()222240a x a x ----≥无解，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】22a -<≤【分析】这是含参的不等式问题，通过对二次项系数进行讨论以及利用一元二次函数、∆进行求解处理.【详解】当20a -=时，即2a =，则40->，无解，所以2a =；当20a -≠时，即2a ≠，要使不等式()()222240a x a x ----≥无解，则220[2(2)]4(2)(4)0a a a -<⎧⎨∆=-----<⎩，解得22a -<<； 综上，22a -<≤. 故答案为：22a -<≤.13．若108a b -<<<，则a b +的取值范围是___________. 【答案】()10,16-【分析】分0b ≥，0b <讨论，分别利用不等式的性质求出a b +取值范围，进而即得. 【详解】当0b ≥时，有108a -<<，08b ≤<， 故1016a b -<+<，即1016a b -<+<； 当0b <时，100a -<<，100a b -<<<， 故010b b <=-<， 所以100a b a b -<+=-<； 综上，1016a b -<+<. 故答案为：()10,16-.14．关于不等式()22--2022550x x x k x k ≥⎧+++≤⎪⎨⎪⎩的整数解的集合为{}2-，则实数k 的取值范围是___________. 【答案】12k <≤.【分析】通过解一元二次不等式以及利用集合的交集运算进行求解.【详解】由()22--2022550x x x k x k ≥⎧+++≤⎪⎨⎪⎩有：()()()()210250x x x x k -+≥++≤⎧⎪⎨⎪⎩，由()()210x x -+≥有：1x ≤-或2x ≥， 当52k -=-，即52k =，由()()250x x k ++≤有：52x =，不满足； 当52k ->-，即52k <，由()()250x x k ++≤有：52x k -≤≤-，所以要使不等式()22--2022550x x x k x k ≥⎧+++≤⎪⎨⎪⎩的整数解的集合为{}2-，则21k -≤-<-，即12k <≤； 当52k -<-，即52k >，由()()250x x k ++≤有：52k x -≤≤-，所以不等式()22--2022550x x x k x k ≥⎧+++≤⎪⎨⎪⎩的解为52k x -≤≤-，显然不满足；综上，12k <≤. 故答案为：12k <≤. 15．若关于x 的不等式0k x bx a x c++<++的解集为()()2,12,3--，关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为________． 【答案】111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】依题意用1x-替换x ，可得1011kx bx ax cx -+<--，即121x -<-<-或123x <-<，即可解得；【详解】解：关于x 的不等式0k x bx a x c++<++的解集为()()2,12,3--，用1x-替换x 不等式可以化为：1101111b k kx bx x ax cx a c x x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭+=+<--⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()()12,12,3x-∈--即121x -<-<-或123x<-< 可得112x <<或1123x -<<- 故答案为：111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查不等式的解法，考查转化思想，属于基础题.16．已知存在a ，使得0x x a b -+<对任意的[]1,2x ∈恒成立，则b 的取值范围___________. 【答案】23b <-【分析】依题意可得0b <，则问题转化为存在a 使得b bx a x x x-<<+在[]1,2x ∈恒成立，然后求出()bg x x x =+的最小值和()b h x x x=-的最大值，即可得到不等式，求出参数b 的取值范围．【详解】解：问题等价于：当[]1,2x ∈时，||0x x a b -+<恒成立，显然0b <， 当12x ≤≤，也即b bx a x x x+<<-恒成立， 令()b g x x x=+在[]1,2x ∈上单调递增，()max ()222ba g x g ∴>==+，令()bh x x x=-，则()h x在(上单调递减，)+∞上单调递增，①当4b ≤-时()bh x x x=-在[]1,2上单调递减，()min ()222ba h x h ∴<==-．2222b b a ∴+<<-，即2222b b +<-，解得0b <，所以4b ≤-． ②当41b -<<-时，()bh x x x=-≥min ()a h x ∴<=22ba ∴+<<即22b +<1212b --<-+41b -<<-．③当10b -≤<时()bh x x x=-在[]1,2上单调递增，()min ()11a h x h b ∴<==-．212ba b ∴+<<-， 即212b b +<-，解得23b <-，所以213b -≤<-．综上可得当23b <-时，存在实数a ，使得不等式||0x x a b -+<对于任意的[]1,2x ∈都成立 故答案为：23b <-．三、解答题17．解不等式组：3>1+321x x x ⎧-⎪⎨≥⎪-⎩.【答案】{|12x x <<或45}x <≤【分析】分别解出绝对值不等式与分式不等式，再取两不等式的解集的交集. 【详解】解：因为3>1+321x x x ⎧-⎪⎨≥⎪-⎩，对于3>1x -，即31x ->或31x -<-，解得4x >或2x <，对于+321x x -≥，即+3201x x --≥，即501x x -≤-，等价于()()51010x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得15x <≤， 所以不等式组的解集为{|12x x <<或45}x <≤.18．已知集合{}34A x x =-<≤，集合{}121B x k x k =+≤≤-，且A B A ⋃=，试求k 的取值范围．【答案】52k k ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．【分析】由题意得，B A ⊆，结合数轴，分B =∅和B ≠∅两类进行讨论即可求出答案． 【详解】解：∵A B A ⋃=，∴B A ⊆， ①当B =∅时，121k k +>-，∴2k <； ②当B ≠∅，则根据题意如图所示：根据数轴可得12131214k k k k +≤-⎧⎪-<+⎨⎪-≤⎩，解得522k ≤≤，综合①②可得k 的取值范围为52k k ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题主要考查集合间的基本运算，属于基础题．19．上海某化学试剂厂以x 千克/小时的速度生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），为了保证产品的质量，需要一边生产一边运输，这样按照目前的市场价格，每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产运输该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围； (2)要使生产运输900千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【答案】（1）[3,10]；（2）以每小时6千克的速度能获得最大利润，最大利润为457500元.【详解】(1)根据题意，3200(51)3000x x +-≥35140x x ⇒--≥又110x ≤≤，可解得310x ≤≤ 因此，所求x 的取值范围是[3,10] (2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+ 故6x =时，元．因此该工厂应该以每小时6千克的速度生产才能获得最大利润，最大利润为457500元. 【解析】（1）列解不等式；（2）函数的最值．20．（1）求证：已知a ，b ，x ，()0,y ∈+∞，()222a b a b x y x y++≥+，并指出等号成立的条件；（2）求证：对任意的R x ∈，关于x 的两个方程250x x m -+=与2260x x m ++-=至少有一个方程有实数根（反证法证明）；（3）求证：使得不等式()()()()()()0A x y x z B y z y x C z x z y --+--+--≥对一切实数x ，y ，z 都成立的充要条件是A ，B ，0C ≥且()2222A B C AB BC CA ++≤++.【答案】（1）证明见详解； （2）证明见详解； （3）证明见详解.【分析】利用作差法、一元二次不等式的解法、反证法、分类讨论法、不等式的性质进行证明.【详解】（1）证明：(),0,x y ∈+∞，0,0xy x y ∴>+>，要证()222a b a b x y x y++≥+，只需证()222()()a y b x x y xy a b ++≥+，()22222222222()()()(2)a y b x x y xy a b a yx a y b x b xy xya xyb abxy ++-+=+++-++ 222222()0a y b x abxy ay bx =+-=-≥，当且仅当ay bx =时取等号.（2）证明：假设对任意的R x ∈，关于x 的两个方程250x x m -+=与2260x x m ++-=都无实数根，对于方程250x x m -+=有：12540m ∆=-<，解得254m >， 对于方程2260x x m ++-=有：2186-0m ∆=-<（），解得478m <， 由254478m m ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩得，m 无解，故假设不成立. （3）证明：先证必要性，不等式()()()()()()0A x y x z B y z y x C z x z y --+--+--≥可改写为关于x y -的二次式：()()()()()220A x y B A C y z x y C y z ------+-≥，①若0A =，则①式对一切实数x ，y ，z 成立，则只有0B C =≥， 若0A ≠，则因为①式恒成立，所以0A >，()()()22240B A C y z AC y z ∆=-----≤恒成立，所以()240B A C AC ---≤，即()2222A B C AB BC CA ++≤++，所以必要性成立.再证充分性，若,,0A B C ≥且()2222A B C AB BC CA ++≤++，若0A =，则由222B C BC +≤得()20B C -≤，所以B C =， 所以0∆=，所以①式成立，题设成立. 若0A >，则0∆≤，所以①式成立，题设成立. 综上，充要性得证.21．定义区间(),c d ，[),c d ，(],c d ，[],c d 的长度均为d c -，其中d c >.(1)若关于x 的不等式221230ax x -->a 的值； (2)已知实数a ，b （a b >），求111x a x b+≥--解集构成的各区间长度和； (3)已知关于x的不等式组3312x ⎧-<⎪>的解集构成的各区间长度和为6，求实数t 的取值范围. 【答案】(1)2a = (2)2 (3)2027t <≤【分析】（1）根据韦达定理，结合条件可得()2212121264x x x x x x =-=+-，从而求得a 的值.（2）将不等式111x a x b+≥--转化为高次分式不等式，求得不等式的解集，由此求得x 构成的区间的长度和.（3）先解出不等式33x -<的解集为A ，12>的解集为B ，根据A B的长度为6，列不等式组，求出t 的取值范围. 【详解】(1)当0a =时，不符合题意.当0a ≠时，设方程221230ax x --=的两根为12,x x ，则121263,2x x x x a a+=⋅=- 由题意可知()22121212236664x x x x x x a a=-=+-=+ 解得2a =-或3a =因为当3a =时，不等式的解集为两根两边范围，故舍 所以2a =(2)原不等式111x a x b +≥--可转化为()()()220x a b x ab a b x a x b -+++++≤--①，对于()220x a b x ab a b -+++++=，其判别式()220a b ∆=-+>，故其必有两不相等的实数根，设为12,x x ，由求根公式得1x =，2x =下证12b x a x <<<：构造函数()()22f x x a b x ab a b =-+++++，其两个零点为12,x x ，且12x x <.而()()220f a a a b a ab a b b a =-++⋅+++=-<，所以12x a x <<，由于b a <，且()()220f b b a b b ab a b a b =-++⋅+++=->，由二次函数的性质可知12b x a x <<<.故不等式①的解集为(](]12,,b x a x ⋃，其长度之和为()1212x b x a x x a b -+-=+-+()22a b a b =++-+=.(3)因为3306x x -<⇒<<，记()0,6A =，213402tx t >⇒+-<的解集为B ，不等式组3312x ⎧-<⎪>的解集为A B12>等价于()2030340x t x t tx >⎧⎪+>⎨⎪+-<⎩， 所以()0,B ⊆+∞，()0,6A B ⋂=， 由于不等式组的解集的个区间长度和为6，所以不等式组()230340t x t tx ⎧+>⎨+-<⎩，当()0,6x ∈是恒成立.当()0,6x ∈时，不等式()30t x +>恒成立，得0t > 当()0,6x ∈时，不等式2340t tx +-<恒成立，分离常数得243t x x<+恒成立.当()0,6x ∈时，23y x x =+为单调递增函数，所以()230,54y x x =+∈，所以244327x x >+，所以实数2027t <≤.。
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( U A) ( U B) 3. 已知 a b 0 ， b 0 ，那么 a 、 b 、 a 、 b 的大小关系是
4. 已知集合 A {1,2,3} ， B {2,4,5}，则集合 A B 的子集的个数为
5. 满足 M {a1,a2,a3,a4,a5} ，且 M {a1,a2,a3} {a1,a2} 的集合 M 的个数是
、
x
y
1 1
四种情况讨论，推出为常数数列；
必要性：若为常数列， (xn yn )2 (xn1 yn1)(xn1 yn1) 2xn yn xn1yn1 xn1yn1 ，
∴ xn1yn1(x y)2 0 ，∴ x 0 或 y 0 或 x y ，再分情况讨论，∴ x A ， y A
上海中学高一10月数学试卷及答案
一. 填空题
1. 对给出的一些数学符号，请用最恰当的一个填空（ 、 、 、 、 、 ）
（1） 2
R
（2） 4 2 3
{1,2, 3 1}
（3） {(1, 1)}
{ (x ,y ) |y 2x }
（4）{x | x2 3x 2 0}
Q
2. 已知全集U {0,1,2,3,4,5,6,7,8} ，集合 A {0,1,3,5,8}，集合 B {2,4,5,6,8}，则
A. x 和 y 全是零
B. x 和 y 不全是零
C. x 和 y 至少有一个是零
D. x 和 y 至多有一个是零
13. 有下列四个命题：①“若 xy 1，则 x 、 y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三
角形全等”的否命题；③“若 m 1，则 x2 2x m 0 有实数解”的逆否命题；④“若
A. 不能确定
B. 一定是 a1b1 a2b2
C. 一定是 a1b2 a2b1
D. 一定是 1 2
15. 若集合 E {( p,q,r,s) | 0 p s 4,0 q s 4,0 r s 4 且 p,q,r, s N}，
F {(t,u,v,w) | 0 t u 4,0 v w 4 且 t,u,v, w N} ，用 card(X ) 表示集合 X 中
9. 已知集合 A {(x, y) | y x2}， B {(x, y) | y 1 1} ，则 A B x 1 2
10.
已知不等式组
x2
x a a2
0 的解集中恰有两个整数，则实数 a 的取值范围为
x 2a 1
11. 用| S | 表示集合 S 中元素的个数，设 A、B、C 为集合，称 (A, B,C) 为有序三元组，如果
A B B ，则 A B ”的逆否命题；其中为真命题的是（ ）
A. ①②
B. ②③
C. ④
D. ①②③
14. 若 0 a1 a2 ， 0 b1 b2 ，且 a1 a2 b1 b2 1，如果要把 a1b1 a2b2 、 a1b2 a2b1 、
1 按从小到大的顺序排列，那么，排在中间的数（ ） 2
个在集合
T
中，∴对于
k
个元素的集合
A，n
的最大值为 Ck2
k(k 1) 2
19.（1）{0,1,2,3} 不具有性质 P，{1,2,3} 具有性质 P，T {(2,1),(2,3)}；
（2）由定义，0 A，若有序数对 (a,b) T ，则 a A ，b A ，a b A ，∴ b a A ，
∴ (b,a) T ，即对 A 中任取的两数 a、b，形成的两个有序数对 (a,b) 和 (b, a) 中，至多有一
19. 已知集合 A {a1,a2,,ak} (k 2) ，其中 ai Z (i 1,2,, k) ，若对于任意的 a A ， 总有 a A，则称集合 A 具有性质 P. 设集合T {(a,b) | a A,b A,a b A} ，其中 (a,b) 是有序数对，集合 T 中的元素个数为 n. （1）检验集合{0,1,2,3} 与{1,2,3} 是否具有性质 P，并对其中具有性质 P 的集合，写出相
集合 A、B、C 满足| A B | | B C | | C A | 1，且 A B C ，则称有序三元
组 (A, B,C) 为最小相交，由集合{1,2,3,4} 的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有
序三元组的个数为
二. 选择题
12. 已知 x 、 y R ，“| x y | | x y | ”的充要条件是（ ）
6. 对于实数 a 和 b， a b 0 是| a | | b | 的
条件
ab
7. 已知关于 x 的不等式 ax b 0 的解集是[2,) ，则关于 x 的不等式
ax2 (3a b)x 3b 0 的解集是
8. 若“存在 x {x |1 x 2}，使得 3x a 1 0 ”是真命题，则 a 的取值范围是
8. a 7
二. 选择题 12. C
13. D
14. D
15. D
三. 解答题
16. 当 a 0 ， x (,1) ；
当 0 a 1， x (,1) (1 ,) ；当 a 1， a (, 1 )
a
a
17. 略
(1, )
18.
充分性：分
x
y
0 0
、
x y
0 1
、
x2）对任何具有性质 P 的集合 A，求 n 的最大值. （用 k 表示）
参考答案
一. 填空题
1.（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
2. {7}
3. a b b a
4. 32
5. 4
9. {( 1 , 1)} 24
6. 充要
10. (1,2]
7. (,3) (2,) 11. 96
的元素个数，则 card(E) card(F) （ ）
A. 50
B. 100
C. 150
D. 200
三. 解答题 16. 已知实数 a 0 ，解关于 x 的不等式 ax2 (a 1)x 1 0 .
17. 已知 a、b 为非负实数，求证： a3 b3 ab(a2 b2 ) .
18. 已知集合 A {0,1} ，证明：x A 且 y A 是数列 x y 、x2 y2 、x3 y3 、x4 y4 、…、 xn yn 、…为常数数列的充要条件. （常数数列是指数列中的各项为同一个常数的数列）