量纲分析法最新版本
3.1量纲分析法
x K
dy ry 1 y dt
rt , t 时间无量纲化
dy y 1 y d
简化后的模型不含参数！便于理论分析和数值求解。
例2：简化三次方程
az bz cz d 0, a 0
3 2
b b 令x z (z与 a 具有相同的量纲！ ) 3a
3
未定
Fr 3
对方程组Ay=0选择符合要求的基础解系
3.2 量纲分析在物理模拟中的应用
例: 航船阻力的物理模拟
通过航船模型确定原型船所受阻力 3 3 , 3 ) f l ( 2 f l g ( 2 , 3 ) 1 1 g1 1 可得原 已知模 s v s v 1 1 型船所 型船所 , , 2 3 2 2 3 2 l 受阻力 g1l1 l 受阻力 gl 1
s qj
j 1
m
ysj
1 fg 1l 3 1 2 l s 2 1 1 2 2 g l v 3
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价 为得到阻力 f 的显式表达式
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价
v v w
3
w
k Aa
3.4: 思路与步骤
专业分析软件
一. 层次分析法简介
层次分析法(AHP: Analytic Hierarchy Process) 是美国著名的运筹学家T.L.Saaty等人于20世纪70年代提出的一 种决策方法。其主要特点是按照思维、心理的规律把决策过程层 次化、数量化，合理地将定性问题定量化处理。
2：量纲分析法
量纲齐次原则
用数学公式表示一物理定律时， 用数学公式表示一物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致 所谓量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求物理量之间的关系 下面用一个简单的例子来说明 单摆运动：质量为m的小球系在长度为l的线一端，作单摆运动 求其周期t的表达式 在这个问题中出现的物理量有t,m,l,g，设他们之间有关系 1--4
α1 α 2 +α 3
T
− 2α 3
按照量纲齐次原则应有：
α1 = 0 α2 + α3 = 0 − 2α 3 = 1
1--5
可得出其解为
1 1 α 1 = 0, α 2 = , α 3 = − 2 2
量纲齐次定理： q1 , q 2 , q 3 ,...... q m
得
l t=λ g
＃
设有m个物理量 f ( q1 , q 2 , q 3 ,...... q m ) = 0
在万有引力公式中，引力常数G是有量纲的 是有量纲的， 例3 在万有引力公式中，引力常数 是有量纲的，根据量 纲齐次性， 的量纲为 的量纲为M 其实， 纲齐次性，G的量纲为 -1L3T-2，其实，在一量纲齐次的公 式中除以其任何一项，即可使其任何一项化为无量纲， 式中除以其任何一项，即可使其任何一项化为无量纲，因 此任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲变 量的函数。例如， 量的函数。例如，与万有引力公式 F = Gm 1m 2 2 r 相关的物理量有： 相关的物理量有：G、m1、m2、r和F。 和 。
∂v −1 −1 −1 [ ] = LT • L = T ∂x
量纲矩阵为：
A 3×7
1 1 1 1 − 3 −1 1 1 0 0 0 1 1 0 = − 2 0 0 − 1 0 − 1 − 2
5.2 量纲分析
1、量纲分析指数法
（1）柏金汉姆法（π定理法）（E.Buckingham） 柏金汉姆法（ 定理法） E.Buckingham） 列出影响现象的各个参量 f(x1、x2、x3…xn)=0 确定k个量纲彼此独立物理量为重复变量 确定k 其它物理量量纲用重复变量量纲的幂积形式表示 其它物理量量纲用重复变量量纲的幂积形式表示 量纲用重复变量量纲
5.2
量纲分析
原理:1、 原理:1、量纲和谐性原则 :1 2、 Π定理 重点： 重点：量纲分析法
5.2.1 量纲和谐性
量纲和谐性原则 任何一个完整的物理方程， 各项量纲必定是和谐的。 任何一个完整的物理方程，其各项量纲必定是和谐的。 量纲必定是和谐的 量纲分析法的物理本质在于描述现象的微分方程中各项量纲的 一致性。 一致性。 量纲和谐性原则应用: 量纲和谐性原则应用: 可检验方程的正确性。 可检验方程的正确性。 物理量单位换算。 物理量单位换算。工程计算时常采用的经验公式中系数往往 时采取某一单位制（早期许多采用英制）确定，使用时单位制 时采取某一单位制（早期许多采用英制）确定， 改变，要注意单位系数换算。 改变，要注意单位系数换算。 推导相似准数和准数方程
5.2.4 量纲分析法
应用量纲理论寻找相似准数和准数方程的方法， 应用量纲理论寻找相似准数和准数方程的方法，称为量纲 分析法。 分析法。 基本思路： 基本思路： 1、列出影响该现象的全部物理量及待求物理量（因变量）， 列出影响该现象的全部物理量及待求物理量（因变量）， 将因变量与其他物理量之间的关系写成一般的不定函数式。 将因变量与其他物理量之间的关系写成一般的不定函数式。 2、根据量纲理论，求出因变量和自变量的关系。 根据量纲理论，求出因变量和自变量的关系。 3、再通过量纲分析和适当的组合，将上述不定函数式改写 再通过量纲分析和适当的组合， 为无量纲数群之间的关系式，即准数方程（准则方程）。 为无量纲数群之间的关系式，即准数方程（准则方程）。 量纲分析法分指数法和矩阵法两大类。 量纲分析法分指数法和矩阵法两大类。 指数法和矩阵法两大类
第十一章量纲分析法(续)(2011-9-11)
第十一章 量纲分析法 （续）
1
量纲、量纲和谐性原理
2
问题1
什么是量纲，什么是单位，二者之间有什么 区别和联系？
a2 1 b2 0 c2 0
2
D2 D1
a3 4 b3 2 c3 1
3
p
D14Q2
25
5. 写出无量纲量方程
f (1, 2 , 3 )
f
( D11Q
, D2 D1
,
p D14Q 2
)
0
上式中的数可根据需要取其倒数，而不会改变它 的无量纲性质。即：
D14Q2 f ( D11Q , D2 )
H有关。
12
解： 1.
分析影响因素，列出函数方程
根据题意可知，水泵的输出功率N 与单位体积水的
重量 、 流g量Q、扬程H 有关,用函数关系式表示
为
f (N, ,Q, H ) 0
2. 将N写成γ ，Q，H的指数乘积形式，即
N k aQbH c
13
3. 写出量纲表达式
dim N dim( aQbH c )
答：（1）基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选 （M，L，T）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基 本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。 （2）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说， 不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量 在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。 （3）为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列式 应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、动 力学量中各选一个，即可满足要求。
第9章 量纲分析
量纲的分类：基本量纲 导出量纲
基本量纲是一组具有独立性的量纲。在 水力学领域中有三个基本量纲：[ L ] ， [ T ]， [ M ]。
导出量纲由基本量纲组合或推导出来的 量纲。如加速度的量纲 [a]=LT-2 ；力的量 纲 [F]=[ma]=MLT-2
可知p / v2与其余三个无量纲数有关，那么
p/v2=F1(l/d, /d, 1/Re)= (l/d)F2( /d, 1/Re)
p/g= p/= (l/d)(v2/2g)F2( /d, 1/Re)
令= F2( /d, 1/Re) p/= (l/d)(v2/2g)
这就是达西公式， 为沿程阻力系数， 表示了等直圆管中流动流体的压降与 沿程阻力系数、管长、速度水头成
1=l1v1d1 2=2v2d2 3=3v3d3 4= p4v4d4
将上述表达式写成量纲形式 [1]=L(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T （1） [2]=L(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0
（2） [3]=ML-1T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0
（3） [4]=ML-1T-2 (ML-3)4(LT-1)4L4=M0L0T0
所以 3=/vd=1/Re 求解方程（4） M: 1+4=0 → 4= -1
T: -2-4=0 → 4= -2 L: -1-3 4+ 4+4=0 → 4= 0 所以 4= p / v2 因此，所解问题用无量纲数表示的方程为
F(l/d, /d, 1/Re, p / v2)=0
至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。 由上式
有量纲量和无量纲量
水力学中任何物理量C的量纲可写成 [C]=[ M ][ L ][ T ]
量纲分析法
（注：在流体力学中称 Fr =
v lg
为
Froude
数，
Re
=
lvρ μ
为
Reynold
数。）
3． 无量纲化 单位和量纲在建模过程中是一个需要注意的问题，在建立模型时，为了满足量纲齐次原 则需要引入新的参量，这使得模型十分复杂；在建立和分析模型时，模型所描述的实际问题 的内涵性质一般应该独立于度量单位的选择。因此在机理模型建立过程中如何使得模型摆脱
模型建立：
由万有引力定律 m1
d2y dt 2
=
−k
m1m2 (y + r)2
，y(0)
=
0,
y′(0)
=
v 。由假设
2，y′′(0)
=
−g
。
在方程始终令 t = 0 ，则有 g = k m2 ，则模型可以简化为 r2
y′′
=
−
r2g (y + r)2
,
y(0)
=
0,
y′(0)
=
v
。
在模型中有三个参量 r, g, v ，两个变量 t, y 。这些量都是有量纲的，下面将利用无量纲
2
二、 轮廓模型
1．量的比例关系
因为模型表达了不同量纲的量之间的转换规律，不同量纲的量的乘幂之间一定存在比例
关系。所以在同一模型中，若量 X1 和 X 2 的量纲分别为 [ X 1 ] = X α 和 [ X 2 ] = X β ，则一
定有
X1
=
kX
α 2
/
β
。
例 4（几何上的比例关系）
对于正立方体：设棱长为 L1 = a ，底面周长为 L2 = 4a ，底面对角线长 L3 = 2a ，立
量纲分析法
量纲数 j j n k , n，并代入变量的量纲组成量纲关系式。
如在该问题中，有：
4 h A1 d A2 A3
5
g B1
d B2 B3
步骤 5：对量纲关系式中的每一个基本量纲令等式两边的幂
量纲分析法
一、量纲
1. 量纲的定义 是用来描述物体或系统物理状态的可测量性质，如长度、质量、速度、 加速度。 2. 基本量纲
彼此无关的量纲，如长度、质量和时间。 3. 导出量
最终要用基本量纲的组合来确定的量纲，如速度、加速度、动量等。 国际单位制中基本量纲为：
[L]、[t]、[M]、[T]。
二、量纲分析法—π定理
为无量纲的量，所以有
ML1T 2 L x LT 1 y ML3 z M z Lx y3zT y
z 1, y 2, x 0
p
2
同理有，分别有：
ML1T 1 L x4 LT 1 y4 ML3 z4 M L T z4 x4 y4 3z4 y4
2
2g
hf
P
g
2
g
f 1 , l , Re d d
莫迪图
hf
Re ， l
dd
2
2g
例题： 在层流情况下，流过一小等边三角形截面的孔（边长为 b
，孔长为 L )的体积流量 Q 为动力粘性系数 、单位长度上的压降
p / L 及 b 的函数。试将此关系写成无因次式。在其他条件不变的
z4 1, y4 1, x4 1
4
量纲分析法
第三节 量纲分析法量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
3.1 量纲齐次原则与Pi 定理许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。
例如在动力学中，把长度l , 质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记为[][][]T t M m L l ===,,; 而速度f v ，力的量纲可表示为[][]21,--==MLT f LT v .在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L 、M 、T 、I 、Θ、J 、和N ；称为基本量纲。
任一个物理量q 的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，[]ηξεδγβαJ N I T M L q Θ=量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。
量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。
例3—1： 单摆运动，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期t 的表达式。
解：在这个问题中有关的物理量有g l m t ,,,设它们之间有关系式3211αααλg l m t =---------------（3.1）其中32,,ααα为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（3．1）式的量纲表达式有[][][][]321αααg l m t = 整理得：33212αααα-+=T LM T --------------（3.2）由量纲齐次原则应有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=12003321αααα ---------------（3.3）解得：,21,21,0321-===ααα 代入（3．1）得 glt λ= -------（3.4）（3.4）式与单摆的周期公式是一致的下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理，定理：设n 个物理量n x x x ,,,21 之间存在一个函数关系()0,,,21=n x x x f --------------（3.5）[][]m x x 1为基本量纲，n m ≤。
(最新整理)关于量纲分析法
单摆运动的规律由公式 F(t, l, m, g, ) = 0 给出。
假设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
t ml g 1 2 3 (1)
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量 (1)的量纲表达式
[t][m ]1[l]2[g]3 T M LT 1 2 3 2 3
t2l1g F()0
(t l/g)
Pi定理 (Buckingham) 设 f(q1, q2, , qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量
纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为
n
[q] X, aij
j
i
j1,2, ,m
i1
量纲矩阵记作 A{aij}nm, 若ranAkr
需要平衡的地方：频繁订货则c1增加而储存费降低，T小；减少 订货次数则c1减少而储存费增加，T大。
构造模型
记q(t)为t时刻货物的存量，具体形式为：
q(t)=Q-rt，
0tT且Q=rt
考虑一个定货周期的总费用：
q
T
cc1c2 0 q(t)dt
Q
c1c21 2rT 2c1c21 2QTr
从此模型不难看出，当T= 0 时总费用最低。 T 2T
一、量纲齐次原则
物理量的量纲
物 长度 l 的量纲记 L=[l] 理 质量 m的量纲记 M=[m] 量 时间 t 的量纲记 T=[t]
的 速度 v 的量纲 [v]=LT-1
量 纲
加速度 a 的量纲 [a]=LT-2
力 f 的量纲 [f]=LMT-2
动力学中 基本量纲 L, M, T
导出量纲
国际单位制SI制的基本量
量纲分析法课件
力系数 、重力加速度 g 和玻璃管的内径 d 有关。
试用 定理确定 h的表达式。
解： 步骤 1：设其一般的函数关系为
h f , ,g,d
步骤 2：列写变量的量纲幂指数矩阵
设有变量 qi i 1, ,n影响某个流动过程，则 n个
变量的量纲幂指数矩阵为 4
,4
d x4 y4 z4
,5
l
d x5 y5 z5
,6
d x6 y6 z6
15
各物理量的量纲如下：
物理量 d
p
l
量纲 L LT 1 ML3 ML1T 2 ML1T 1 L L
为无量纲的量，所以有
ML1T 2 L x LT 1 y ML3 z M z Lx y3zT y
而这些物理量包括有 m 个基本变量时，则可以用因次 分析的方法获得(n-m)个无因次数群。这个现象的特征 可以用这(n-m)个无因次数群的关系形式来表示。这即 π 定理，是因次分析的基本定理，它是由 Bucking-ham 于 1914 年根据物理方程式因次和谐的原理导出的。 3
例题：一个细玻璃管插入水中，由于表面张力的作用产生
(1) 选定的 k 个独立变量本身不能组成无量
纲的组合量 即不存在一组不全为零的幂指数
i i 1, ,k,k n ，使下式成立
q11 q2 2 qk k Q10 Q2 0 Qm 0 1
7
q1
q2
…
qk
Q1
C11
C12
…
C1 k
Q2
C 21
C 22
…
C2k
Qm
k
k
k
k
M M
第一讲 1关于量纲分析法
第一讲 1关于量纲分析法量纲分析法是一种解决物理、化学和工程问题的方法，它可以通过分析问题中的物理量的量纲关系，将问题简化，较为准确地估算出某些物理量的数量关系。
量纲是描述物理量的属性的量，它体现在物理量的单位上。
例如，长度的单位是米，质量的单位是千克，时间的单位是秒等等。
在物理、化学和工程问题中，一个物理量的单位需要严格保持一致，因为这个单位可以影响到任何计算结果的准确性。
量纲分析方法可以帮助工程师和科学家在一些情况下，快速地估算某些物理量的数量关系，而不必依靠实验数据或进行复杂的计算。
使用该方法需要首先确定问题中哪些物理量是重要的，然后将它们表示成独立的基本物理量的乘积形式，例如，长度、质量和时间。
接下来，将这些物理量进行量纲分析，确定它们之间的关系，得到以基本物理量的某些函数表示的量纲方程。
该方程描述了物理量之间的数量关系，并且可以用来估算未知的物理量。
例如，当需要知道管道中水流速度的数量关系时，可以使用量纲分析方法来估算它的大小，而不必测量或计算它。
量纲分析法的一个重要应用是在建立数学模型时的物理量选择和相似性问题。
例如，当设计一个飞机模型时，需要考虑到飞机原型中的物理量之间的相似性关系，这可以通过使用量纲分析方法来实现。
该方法还可以帮助工程师和科学家预先估算某些物理量的变化范围，这对于解决实际问题非常有用。
总之，量纲分析法是工程和科学领域中重要的方法之一，它可以帮助工程师和科学家更快速地解决问题。
它的应用范围非常广泛，包括飞机设计、渗透透过、化学反应等等。
然而，该方法仅仅是一个审慎预估的工具，它必须与实验和计算相结合，以确定物理量之间的真实关系。
量纲分析法
X 1
[
M
]
1
[
1
L]
[T
]
1
X 2
[
M
]
2
[
L]
2
[T
]
2
X 3
[
M
]
3
[
L]
3
[T
]
3
X1 、X2 、X3独立。
F(1, 2 , 3, n3) 0
确定各指数，得各π值，再回代F得物理方程式。
1
X4
X X X 1
1
1
1
2
3
2
X5
X X X 2
2
2
1
2
3
3
X6
X X X 3
3
7.4 相似准则（单项力相似）
单项力与惯性力I 的对比关系。
F
FP Fm
P
l
2 P
u
2 P
m
l
2 m
u
2 m
或
FP
P
l2 Pu NhomakorabeaP
2
Fm
m
l
2 m
u
2 m
即
单项力
惯性力
FP l 2u
2
Ne
（N e）p （N e）m
F l2u2
F l / u
3 l
u
F t m u
1
相似判据
7.4.1 雷诺相似准则（粘性力相似） 7.4.2 佛如德准则（重力相似）
3
1
2
3
例2 求有压管流压强损失表达式。 解： ⑴有关物理量为
有关量数n=7。 ⑵基本量纲 ，m=3。 ⑶组成项，π数n- m=4
量纲分析法
最纲分析法量纲分析法在流体力学和模型试验等领域被广泛应用，成为一种有效的研究手段。
量纲分析常用于：（1）物理量量纲的推导；（2）根据量纲和谐原理，校核由理论分析推导出的代数形式方程各项因次是否正确；（3）量纲分析基于表达自然现象的物理规律，不取决于所用量纲的单位，因而，在表达这些规律的公式中，可用无量纲组合的形式来表示，从而使方程形式简化；（4）用于确定模型实验的相似条件，指导整理实验资料、把无量纲数组合整理成含有待定系数的函数式，这个函数式可将模型参数换算、推广至原型，其中待定系数由实验确定。
在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法有两种：一种称瑞利（Rayleigh）法，适用于比较简单的问题；另一种称定理，是一种具有普遍性的方法。
一、瑞利法瑞利法的基本原理是某一物理过程同n个物理量有关其中的某个物理量可表示为其它物理量的指数乘积（9-3）写出量纲式为=K·dim()dimqi将量纲式中各物理量按式（9-1）表示为基本量纲的指数乘积形式，并根据量纲和谐原理，确定指数，就可得出表达该物理过程的方程式。
用瑞利法求力学方程，在有关物理不超过4 个，待求的量纲指数不超过3个时，可直接根据量纲和谐条件，求出量纲指数，建立方程。
二、定理定理是量纲分析更为普遍的原理，由美国物理学家布金汉（Buckingham）1915年提出，又称为布金汉定理。
定理指出，若某一物理过程包含n个物理量，即其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由n个物理量构成的（n-m）个无量纲项所表达的关系式来描述，即（9-4）由于无量纲项用表示，定理由此得名。
定理可用数学方法证明。
定理的应用步骤：（1）找出物理过程有关的物理量（2）从n个物理量中选取m个基本量，不可压缩流体运动通常选取速度以及密度、特征长度三个基本量。
（3）基本量依次与其余物理量组成项………（4）满足为无量纲项，定出各项基本量的指数a、b、c。
数学模型与数学建模 第4章 量纲分析法
模型中有参数：m、K、C
令 x0=x(0) , w0 =
K m
, v0=x0 w0 ,
根据量纲齐次性, 有 [ w0 ]=T－1 ,
[ K ]=MT－2,
[ F ]=MLT－2 , [ C ]= MT－1.
引进无量纲量：
T=w0t , X=x/x0 , V=v/v0
得
dx d ( x0 X ) w0 x0dX v0dX v T dt dT dT d( ) w0
= －X－AV+F0 其中，因v0=x0w0 , w0=
K m
K
原方程变形为
dV AV F0 X dT
优点：
1. 减少了参数的个数； 2. 方程中的变量X、V、T都是无量纲量.
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中 建立数学模型的一种方法.
对所设问题有一定了解，在实验和经验的 基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之 间的关系. 例4.2.1 单摆运动 将质量为m 的一个小球系在长度为l 的线的 一端,稍偏离平衡位置后小球在重力mg的作用
解得方程组的一个解为 代入(4)式有
y1 2 y2 0 y3 1 y4 1
t l
2 1
g
2 1
t
l g
或者 F ( ) t l
g 0
(5)
将此例一般化有以下定理
f=l2v2ρψ(π1,π2,π3) 其中ψ表示一个未定函数 用量纲分析法确定的航船阻力与各物理量 之间的关系，这个结果用通常的机理分析法 难以得到 虽然函数ψ的形式无从知道,但这个表达式 在物理模拟问题中仍有用途. 例4.2.3 物理模拟中的比例模型 利用航船阻力问题的结果讨论怎样构造航 船模型，以确定原型航船在海洋中受到的阻力
传热的量纲分析法
对流传热系数：()t g c l u f p ∆=βρρλμα,,,,,, i f p e d c b a t g c l u K )(∆=βρρλμα①流体的速度：u 单位：s m 量纲：[1-LT ]②设备的特性尺寸：l 单位：m 量纲：[L ]③流体的黏度：μ 单位：sm kg m s s m kg s m N s Pa ⋅=⋅⋅=⋅=⋅222 量纲：[11--T ML ] ④流体的热导率：λ 单位：K s m kg K m s m s m kg K m s m N K m s J K m W ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅32)( 量纲：[13--θMLT ]⑤流体的密度：ρ 单位：3m kg 量纲：量纲：[3-ML ]⑥流体的定压比热容：p c 单位：Ks m K kg s m m kg K kg J ⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅222)( 量纲：[122--θT L ] ⑦单位体积流体的升浮力：t g ∆βρ 单位：22231sm kg K K s m m kg ⋅= 量纲：[22--T ML ] ⑧对流传热系数：α 单位：K s kg K m s m s m kg K m W ⋅=⋅⋅⋅=⋅3222)( 量纲：[13--θMT ] i f p e d c b a t g c l u K )(∆=βρρλμα13--θMT =a LT ）（1-b L c T ML )(11--d MLT )(13--θe ML )(3-f T L )(122--θi T ML )(22--等号两边量纲一致原则M i e d c +++=1T i f d c a 2233-----=-θ f d --=-1L i f e d c b a 2230-+-+-+=选 i f a ,,为已知量，用于表示其他另4个变量ia e fd i a f c i a b +=-=--=-+=1213 if p a tg l c Lu K l ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=223μβρλμμρλα在自然对流中，由于温差导致流体具有密度差而引起升浮力。
传热的量纲分析法
传热的量纲分析法对流传热系数: ，，,,fu,l,,,,,,,c,,g,,tpfabcdei ,Kulc(g,t),,,,,,p,1?流体的速度: 单位: 量纲:[] LTumsl?设备的特性尺寸: 单位:量纲:[] mLNkg,mskg,1,1Pa,s,,s,,,?流体的黏度: 单位: 量纲:[] ,MLT222msmm,sJN,mkg,mmkg,m,Wm,K,,,,?流体的热导率: 单位: ()23s,m,Ks,m,Kss,m,Ks,K ,3,1量纲:[] MLT,,33?流体的密度: 单位: 量纲:量纲:[] ,MLkgm2kg,m,mm2,2,1?流体的定压比热容: 单位: 量纲:[LT,]cJkg,K,,()p22s,kg,Ks,Kkgm1kg,2,2?单位体积流体的升浮力: 单位: 量纲:[] K,MLT,g,,t3222msKm,s kg,mmkg2,3,1Wm,K,,()?对流传热系数: 单位: 量纲:[MT,] ,223ss,m,Ks,K fabcdei ,,Kul,,,c(,g,,t)p,3,1,1ab,1,1c,3,1d,3e2,2,1f,2,2iMT,(LT)=L (MLT)(MLT,)(ML)(LT,)(MLT) 等号两边量纲一致原则1,c，d，e，i M,3,,a,c,3d,2f,2iT, ,1,,d,f0,a，b,c，d,3e，2f,2iL选为已知量，用于表示其他另4个变量 a,f,ib,a，3i,1c,f,a,2i d,1,fe,a，iifa32,c,,,,,,,,,,lLulg,tp,,,,,,K,, 2,,,,,,,,,,,,,,,,在自然对流中，由于温差导致流体具有密度差而引起升浮力。
单位体积流体的升浮力 ,g,,tV流体温度和由于?，则? ttt,tt22211流体的密度则 ,和,,，,V,V，,V112121dV1dV温度膨胀系数 ,,,dT,TTVdTV1133流体的比体积 v,m/kgv,m/kg12,,12,v单位质量流体的体积变化v,v，,v,v， (1)211v1v,v(1，,,t)21T11 ,(1，,,t)T,,21,,,(1，,,t)12Tmg,,g单位体积流体的重力 V由于温差而产生的重力的变化量就是温差产生的升力(,-,)g,[,(1，,,t)-,]g,,,g,t122T22T单位体积流体的升浮力 ,g,,t199条建筑设计知识1. 公共建筑通常以交通、使用、辅助三种空间组成2. 美国著名建筑师沙利文提出的名言‘形式由功能而来’3. 密斯.凡.德.罗设计的巴塞罗那博览会德国馆采用的是‘自由灵活的空间组合’开创了流动空间的新概念4. 美国纽约赖特设计的古根海姆美术馆的展厅空间布置采用形式是串联式5. 电影放映院不需采光6. 点式住宅可设天井或平面凹凸布置可增加外墙面，有利于每层户数较多时的采光和通风7. 对结构形式有规定性的有大小和容量、物理环境、形状的规定性 8. 功能与流线分析是现代建筑设计最常用的手段9. 垂直方向高的建筑需要考虑透视变形的矫正10. 橙色是暖色，而紫色含有蓝色的成分，所以偏冷;青色比黄色冷、红色比黄色暖、蓝色比绿色冷11. 同样大小冷色调较暖色调给人的感觉要大12. 同样距离，暖色较冷色给人以靠近感13. 为保持室内空间稳定感，房间的低处宜采用低明度色彩 14. 冷色调给人以幽雅宁静的气氛15. 色相、明度、彩度是色彩的三要素;三元色为红、黄、蓝 16. 尺度的概念是建筑物整体或局部给人的视角印象大小和其实际大小的关系 17. 美的比例，必然正确的体现材料的力学特征18. 不同文化形成独特的比例形式19. 西方古典建筑高度与开间的比例，愈高大愈狭长，愈低矮愈宽阔 20.‘稳定’所涉及的要素是上与下之间的相对轻重关系的处理21. 人眼观赏规律H 18?,45? 局部、细部2H 18?,27? 整体3H ,18? 整体及环境22. 黄金分隔比例为1:1.61823. 通风屋面只能隔离太阳辐射不能保温，适宜于南方 24. 总图布置要因地制宜，建筑物与周围环境之间关系紧凑，节约因地; 适当处理个体与群体，空间与体形，绿化和小品的关系; 合理解决采光、通风、朝向、交通与人流的组织25. 热水系统舒适稳定适用于居住建筑和托幼蒸汽系统加热快，适用于间歇采暖建筑如会堂、剧场 26. 渐变具有韵律感27. 要使一座建筑显得富有活力，形式生动，在构图中应采用对比的手法对比的手法有轴线对比、体量对比、方向对比、虚实对比、色彩对比 28. 要使柱子看起来显得细一些，可以采用暗色和冷色 29. 巴西国会大厅在体型组合中采用了对比与协调的手法 30. 展览建筑应使用穿套式的空间组合形式31. 室外空间的构成，主要依赖于建筑和建筑群体组合 32. 在意大利威尼斯的圣马可广场的布局中，采用了强调了各种空间之间的对比33. 当坡地坡度较缓时，应采用平行等高线布置34. 建筑的有效面积=建筑面积-结构面积35. 加大开窗面积的方法来解决采光和通风问题较易办到 36. 中国古代木结构大致可分为抬梁式、穿斗式和井干式三种37. 建筑构图原理的基本范畴有主从与重点、对比与呼应、均衡与稳定、节奏与韵律和比例与尺度38. 建筑构图的基本规律是多样统一39. 超过8层的建筑中，电梯就成为主要的交通工具了40. 建筑的模数分为基本模数、扩大模数和分模数41. 建筑楼梯梯段的最大坡度不宜超过38?42. 住宅起居室、卧室、厨房应直接采光，窗地比为1/7，其他为1/12 43. 住宅套内楼梯梯段的最小净宽两边墙的0.9M，一边临空的0.75M 住宅室内楼梯踏步宽不应小于0.22M，踏步高度不应小大0.20M 44. 住宅底层严禁布置火灾危险性甲乙类物质的商店，不应布置产生噪声的娱乐场所45. 地下室、贮藏室等房间的最低净高不应低于2.0米46. 室内坡道水平投影长度超过15米时，宜设休息平台47. 外墙内保温所占面积不计入使用面积烟道、风道、管道井不计入使用面积阳台面积不计入使用面积壁柜应计入使用面积48. 旋转楼梯两级的平面角度不大于10度，且每级离内侧扶手中心0.25处的踏步宽度要大于0.22米49. 两个安全出口之间的净距不应小于5米50. 楼梯正面门扇开足时宜保持0.6米平台净宽，侧墙门口距踏步不宜小于0.4米，其门扇开足时不应减少梯段的净宽35. 加大开窗面积的方法来解决采光和通风问题较易办到36. 中国古代木结构大致可分为抬梁式、穿斗式和井干式三种 37. 建筑构图原理的基本范畴有主从与重点、对比与呼应、均衡与稳定、节奏与韵律和比例与尺度38. 建筑构图的基本规律是多样统一39. 超过8层的建筑中，电梯就成为主要的交通工具了40. 建筑的模数分为基本模数、扩大模数和分模数41. 建筑楼梯梯段的最大坡度不宜超过38?42. 住宅起居室、卧室、厨房应直接采光，窗地比为1/7，其他为1/12 43. 住宅套内楼梯梯段的最小净宽两边墙的0.9M，一边临空的0.75M 住宅室内楼梯踏步宽不应小于0.22M，踏步高度不应小大0.20M 44. 住宅底层严禁布置火灾危险性甲乙类物质的商店，不应布置产生噪声的娱乐场所45. 地下室、贮藏室等房间的最低净高不应低于2.0米46. 室内坡道水平投影长度超过15米时，宜设休息平台47. 外墙内保温所占面积不计入使用面积烟道、风道、管道井不计入使用面积阳台面积不计入使用面积壁柜应计入使用面积48. 旋转楼梯两级的平面角度不大于10度，且每级离内侧扶手中心0.25处的踏步宽度要大于0.22米49. 两个安全出口之间的净距不应小于5米50. 楼梯正面门扇开足时宜保持0.6米平台净宽，侧墙门口距踏步不宜小于0.4米，其门扇开足时不应减少梯段的净宽35. 加大开窗面积的方法来解决采光和通风问题较易办到36. 中国古代木结构大致可分为抬梁式、穿斗式和井干式三种 37. 建筑构图原理的基本范畴有主从与重点、对比与呼应、均衡与稳定、节奏与韵律和比例与尺度38. 建筑构图的基本规律是多样统一39. 超过8层的建筑中，电梯就成为主要的交通工具了40. 建筑的模数分为基本模数、扩大模数和分模数41. 建筑楼梯梯段的最大坡度不宜超过38?42. 住宅起居室、卧室、厨房应直接采光，窗地比为1/7，其他为1/12 43. 住宅套内楼梯梯段的最小净宽两边墙的0.9M，一边临空的0.75M 住宅室内楼梯踏步宽不应小于0.22M，踏步高度不应小大0.20M 44. 住宅底层严禁布置火灾危险性甲乙类物质的商店，不应布置产生噪声的娱乐场所45. 地下室、贮藏室等房间的最低净高不应低于2.0米46. 室内坡道水平投影长度超过15米时，宜设休息平台47. 外墙内保温所占面积不计入使用面积烟道、风道、管道井不计入使用面积阳台面积不计入使用面积壁柜应计入使用面积48. 旋转楼梯两级的平面角度不大于10度，且每级离内侧扶手中心0.25处的踏步宽度要大于0.22米49. 两个安全出口之间的净距不应小于5米50. 楼梯正面门扇开足时宜保持0.6米平台净宽，侧墙门口距踏步不宜小于0.4米，其门扇开足时不应减少梯段的净宽51. 入地下车库的坡道端部宜设挡水反坡和横向通长雨水篦子 52. 室内台阶宜150*300;室外台阶宽宜350左右，高宽比不宜大于1:2.5 53. 住宅公用楼梯踏步宽不应小于0.26M，踏步高度不应大于0.175M 54. 梯段宽度不应小于1.1M(6层及以下一边设栏杆的可为1.0M)，净空高度2.2M55. 休息平台宽度应大于梯段宽度，且不应小于1.2M，净空高度2.0M56. 梯扶手高度0.9M，水平段栏杆长度大于0.5M时应为1.05M 57. 楼梯垂直杆件净空不应大于0.11M，梯井净空宽大于0.11M时应采取防护措施58. 门洞共用外门宽1.2M，户门卧室起居室0.9M，厨房0.8M，卫生间及阳台门0.7M，所有门洞高为2.0M59. 住宅层高不宜高于2.8M60. 卧室起居室净高?2.4M，其局部净高?2.1M(且其不应大于使用面积的1/3)61. 利用坡顶作起居室卧室的，一半面积净高不应低于2.1M 利用坡顶空间时，净高低于1.2M处不计使用面积;1.2--2.1M计一半使用面积;高于2.1M全计使用面积62. 放家具墙面长3M，无直接采光的厅面积不应大于10M2 63. 厨房面积?、??4M2;?、??5M264. 厨房净宽单面设备不应小于1.5M;双面布置设备间净距不应小于0.9M 65. 对于大套住宅，其使用面积必须满足45平方米66. 住宅套型共分四类使用面积分别为34、45、56、68M2 67. 单人卧室?6M2;双人卧室?10M2;兼起居室卧室?12M2; 68. 卫生间面积三件3M2;二件2--2.5M2;一件1.1M269. 厨房、卫生间净高2.2M70. 住宅楼梯窗台距楼地面净高度低于0.9米时，不论窗开启与否，均应有防护措施71. 阳台栏杆净高1.05M;中高层为1.1M(但要,1.2);杆件净距0.11 72. 无外窗的卫生间应设置防回流构造的排气通风道、预留排气机械的位置、门下设进风百叶窗或与地面间留出一定缝隙73. 每套应设阳台或平台、应设置晾衣设施、顶层应设雨罩;阳台、雨罩均应作有组织排水;阳台宜做防水;雨罩应做防水74. 寒冷、夏热冬冷和夏热冬暖地区的住宅，西面应采取遮阳措施 75. 严寒地区的住宅出入口，各种朝向均应设防寒门斗或保温门 76. 住宅建筑中不宜设置的附属公共用房有锅炉房、变压器室、易燃易爆化学物品商店但有厨房的饮食店可设77. 住宅设计应考虑防触电、防盗、防坠落78. 跃层指套内空间跨跃两楼层及以上的住宅79. 在坡地上建住宅，当建筑物与等高线垂直时，采用跌落方式较为经济 80. 住宅建筑工程评估指标体系表中有一级和二级指标81. 7层及以上(16米)住宅必须设电梯82. 宿舍最高居住层的楼地面距入口层地面的高度大于20米时，应设电梯 83. 医院病房楼，设有空调的多层旅馆，超过5层的公建室内疏散楼梯，均应设置封闭楼梯间(包括首层扩大封闭楼梯间)设歌舞厅放映厅且超过3层的地上建筑，应设封闭楼梯间。
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参数通过测量和最小二乘法计算可以得到。
原理分析
t ml g 1 2 3
为什么假设这种形式？
设p= f(x,y,z) 对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2，
p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
x,y,z的量纲单
位缩小a,b,c倍 p 1 f( a 1 ,b 1 x ,c 1 y )p z 2 , f( a 2 ,b 2 x ,c 2 y )
n
[qj] Xiaij, j1,2,,m i1
量纲矩阵记作 A{aij}nm, 若ranAkr
即线性齐次方程组 Ay0 有 m-r 个基本解，记作
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r
m
则 q ysj
s
j
j 1
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
第一讲 关于量纲分析法
量纲分析法是二十世纪初，一些物理学家提出的一种 在物理领域建立数学模型的办法。
所谓量纲分析法，即在经验和实验的基础上，利用物 理量的量纲所提供的信息，根据量纲齐次原则来确定 物理量之间的关系。
量纲，即物理量的单位，如速度的量纲就是 m/s
一、量纲齐次原则
物理量的量纲
物 长度 l 的量纲记 L=[l] 理 质量 m的量纲记 M=[m] 量 时力；
2、忽略地球自转对单摆运动的影响；
m
3、摆线是刚体，在摆动中无形变；
4、摆轴部分没有摩擦。
mg
在这样的假设条件下，与单摆运动有关的物理量分别有：
t、m、l、g、
单摆运动的规律由公式 F(t, l, m, g, ) = 0 给出。
假设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
的 速度 v 的量纲 [v]=LT-1
量 纲
加速度 a 的量纲 [a]=LT-2
力 f 的量纲 [f]=LMT-2
动力学中 基本量纲 L, M, T
导出量纲
国际单位制SI制的基本量
• 长度 l • 质量 m • 时间 t • 电流强度 I
• 温度
文K • 光强 J
拉cd
• 物质的量
米L 公斤M
秒T 安培A
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1,0,0)T y2 ( 0, 2, 0, 0,1,0)T y3 ( 1, 3, 1, 0,0,1)T
m
q ysj
s
j
j 1
而且存在一个未定的函数关系：
(1,2,3)0
1 2
1 1
g 2l 2v l 2s
3
g l f 1 3 1
航船阻力模型
注意3中含有 f ，为了得到 f 的 关系式，不妨设
1 2
1 1
g 2l 2v l 2s
3
g
l 1 3
f 1
3 12 2
则
由 (1,2,3)0得 3(1,2) 及
至此我们已经建立了阻力 f 与其他各物理量之间的关系式。 仍是未知的函数关系，看起来似乎没什么用，其实不然。
A{aij}nm
A 0 0 1 0 0 1 (M) 2 0 0 1 0 2 (T)
m=6, n=3
(g) (l) () (v) (s) (f )
f(q1,q2,,qm)0
(g,l, ,v,s,f)0
rank A = r
Ay = 0 有m-r个基本解
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
0
y
2
0
y 1 2 y 4 0
基本解 y ( y1, y2 , y3, y4 )T (2, 0, 1, 1)T
t2l1g F()0
(t l/g)
Pi定理 (Buckingham) 设 f(q1, q2, , qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量 纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为
Pi定理的意义
Pi定理实际上给出了一个量纲分析法建 模的方法和理论支持，即这个定理证明 了：量纲分析法是可行的，没有任何理 论上的疑点。
下面就利用Pi定理中给出的步骤和方法来解决一个 新的建模问题。
二、波浪对航船的阻力
与航船阻力有关的物理量：
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s,
t m1l2g3 (1)
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量 (1)的量纲表达式
[t][m ]1[l]2[g]3 T M LT 1 2 3 2 3
1 0 2 3 0 2 3 1
1 0 2 1 / 2 3 1 / 2
t l g
对比
t 2 l g
对比这里计算出的公式和实际公式
开尔
堪德
摩尔N
其他所有物理量的单位都由这7个基本量复合得到。
量纲齐次原则
引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
对无量纲量，[]=1(=L0M 0T 0)
量纲齐次原则 等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
单摆运动示例
例:单摆运动 求摆动周期 t 的表达式
海水密度, 重力加速度g。
f(q1,q2,,qm)0 (g,l, ,v,s,f)0
n
[q ] j
X ,aij i
i 1
[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M,
[v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
j 1,2, , m
1 1 3 1 2 1 (L)
[ t ] L 0 M T0 1
[
m
]
L0M
1T
0
[
l
]
L1M
0T
0
[ g ] L 1 M 0 T 2
(L0M0T1)y1(L0M1T0)y2(L1M0T0)y3 (L1M0T2)y4 L0M0T0
LM T L M T y 3 y 4 y 2 y 1 2 y 4
0 00
y3
y 4
p1
p
1
p2
p
2
f(x1,y1,z1)f(a1x,b1y,c1z) f(x2,y2,z2) f(a2x,b2y,c2z)
p= f(x,y,z)的形式为 f(x,y,z)xyz
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式 f(t,m ,l,g)0
t ml g y1 y2 y3 y4 y1~y4 为待定常数, Δ为无量纲量