湘教版九年级下册2.3二次函数的应用3教案

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湘教版数学九年级下册1.5《二次函数的应用》教学设计1

湘教版数学九年级下册1.5《二次函数的应用》教学设计1一. 教材分析湘教版数学九年级下册 1.5《二次函数的应用》是本册的一个重点和难点内容。

这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的，主要让学生学会如何运用二次函数解决实际问题。

教材通过引入二次函数的应用，使学生能够更好地理解和掌握二次函数的知识，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的图像和性质，能够熟练地求解二次方程。

但学生在解决实际问题时，往往不知道如何运用二次函数的知识。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将二次函数的知识运用到实际问题中，提高学生的解决问题的能力。

三. 教学目标1.让学生掌握二次函数的应用，能够将二次函数的知识运用到实际问题中。

2.提高学生解决实际问题的能力。

3.培养学生的创新意识和实践能力。

四. 教学重难点1.重点：让学生掌握二次函数的应用。

2.难点：如何引导学生将二次函数的知识运用到实际问题中。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.案例教学法：通过分析具体案例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用。

3.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论和交流，提高学生的合作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于导入和巩固环节。

2.准备二次函数的应用案例，用于讲解和分析。

3.准备教学PPT，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

例如，教师可以提出一个问题：“一个长方形的面积是24平方厘米，长是6厘米，求宽是多少厘米？”让学生思考和解答。

2.呈现（10分钟）教师呈现相关的实际问题，让学生了解二次函数在实际问题中的应用。

例如，教师可以呈现一个问题：“一个抛物线的顶点是(2, -3)，求这个抛物线与x轴的交点坐标。

”3.操练（10分钟）教师引导学生进行实际的操作，解决实际问题。

九年级数学下册《二次函数》教案、教学设计

（二）教学设想
1.针对重点内容的设想
（1）采用直观演示法，通过绘制二次函数图像，引导学生观察、分析图像性质，使他们在直观感知的基础上，形成对二次函数性质的深入理解。
（2）设计具有层次性的练习题，由浅入深地让学生掌握二次函数的定义、图像和性质，使他们在解决问题的过程中，逐步提高自己的数学能力。
2.针对难点内容的设想
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，讨论以下问题：
a.二次函数的定义是什么？各参数有什么含义？
b.二次函数的图像有哪些性质？如何判断开口方向、对称轴和顶点？
c.如何将二次函数的解析式转化为顶点式？顶点式与解析式的互化方法是什么？
2.小组代表发言：每个小组选派一名代表，汇报本组的讨论成果，分享对二次函数性质的理解和应用。
九年级数学下册《二次函数》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式，并能根据实际情境抽象出二次函数模型；
2.掌握二次函数图像的性质，如开口方向、对称轴、顶点等，并能够通过描点法或解析法绘制二次函数图像；
3.掌握二次函数的顶点式和解析式的互化方法，了解其几何意义，并能够应用于实际问题中；
（1）运用实际问题引入顶点式与解析式的互化，让学生在实际情境中感受互化的意义，降低学习难度。
（2）通过小组合作、讨论交流，引导学生共同探究二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点等性质的几何意义，培养学生合作解决问题的能力。
（3）设计专题讲座，针对二次函数在实际问题中的应用，如最值问题、优化问题等，进行详细讲解，帮助学生克服难点。
（五）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学内容，总结二次函数的定义、图像性质、顶点式与解析式的互化等方面。

《二次函数的应用》教案 (同课异构)2022年湘教版 (2)

2.3 二次函数的应用一、教学目标：1、体验从实际问题中抽象出函数关系式的过程，进一步感受数学模型思想和数学应用价值。

2、能够运用二次函数的性质和图象解决实际问题。

二、教学重点、难点：用二次函数的性质和图象解决实际问题。

三、教学过程：1、情境创设：如图，某喷灌设备的喷头B高出地面1.4m，如果喷出的抛物线形水流的水平距离x(m)与高度y(m)之间的关系式为二次函数y＝a(x－4)2＋3，求水流落地点D与喷头底产部A的距离。

(精确到0.1m)2、探索活动(1)探索问题解决的总体思路与方案。

(2)确定二次函数关系式。

(3)根据点D的几何特征，确定其坐标。

(4)给出符合实际意义的解释。

3、例题精析：例1：在一场足球比赛中，有一个球员从球门正前方10米处将球踢出球门，当球飞行的水平距离为6米时，球到达最高点，此时球高3米，球门廁2.44米，问该球员能否射中球门？例2：如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA＝1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA距离为1m处到达距水面最大高度2.25m，(1)水池半径至少要多少米，才有使喷出的水流不致落在池外？(2)如果修水池每平方米造价为130元，问修这个水池至少要花多少钱？〔π取3.14，精确到元〕4、课堂练习：小明是学校田径队的运发动，根据测试资料分析，他掷铅球的出手高度(铅球脱手时高地面的高度)为2m，如果出手后铅球在空中飞行的水平距离x(m)与高度y(m)之间的关系为二次函数y＝a(x－4)2＋3，那么小明掷铅球的出手点与铅球落地点之间的水平距离是多少？(精确到0.1m)5、布置作业：教材P30习题6.4:：4、5。

二次函数的应用(3)一、学习目标：1、进一步体验应用函数模型解决实际问题的过程，感受数学的应用价值。

湘教版九年级数学下册二次函数的应用教案

《二次函数的应用》教案教学目标一、知识与技能1．巩固并熟练掌握二次函数的性质．2．能够运用二次函数的性质解决实际问题．3．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．增强解决问题的能力．二、能力目标建立二次函数模型，进一步体会如何应用二次函数的有关知识解决一些生活实际问题，进而提高理解实际问题、从数学角度抽象分析实际问题和运用数学知识解决实际问题的能力．三、情感态度与价值观1．从实际生活中认识到：数学来源于生活，数学服务于生活．2．培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成．3．经历求最大面积的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．教学重点能利用实际问题列出二次函数的解析式，并能利用二次函数的性质求出最大值和最小值．教学难点能利用几何图形的有关知识求二次函数的解析式．教学过程一、相关知识回顾1．函数223y x x =+-的最值是，是最（填“大”或者“小”）值．2．说说你是如何做的？3．将函数2245y x x =+-化成顶点式，并指出顶点坐标，对称轴．二、新课引入1．合作讨论，解决问题：如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角的边上．（1）如果设矩形的一边AB =x m ，那么AD 边的长度如何表示？（2）设矩形的面积为y m 2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？解：（1）设AD 的长度为a m ，则：BC =a mBC ∥AD （已知） ∴403040a x -= ∴3304a x =- 即3304AD x =-（2）∵223(30)433043(20)300(040)4y x ax x x x x x =⋅=⋅-=-+=--+<< 当20300x y ==最大时，2．变式训练，灵活运用议一议：如果把上题中的矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？小组成员之间相互讨论．解：由勾股定理可得，这个三角形的斜边长为50m易求得斜边上的高为24m ．设矩形的一边 m AD x =，另一边AB =a m ，则有242450a x -= 解得：122425a x =-所以2212242512(25)300(050)25y x ax x x x =⋅=-=--+<< 因此，当25=x 时，300=最大y3．归纳总结解决问题的路和方法整理（1）数据（常量、变量）提取；（2）自变量、因变量识别；（3）构建函数解析式，并求出自变量的取值范围；（4）利用函数（或图像）的性质求最大（或最小）值．4．迁移运用，培养能力例1、某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m .当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01m ），此时，窗户的面积是多少？解： 74π 15x y x ++= ∴4715x x y π--= 015x <<且1570154x x π--<< ∴0 1.48x <<设窗户的面积是S m 2.则：222221π221157ππ22471522715225()21456S x xy x x x x x x x =+--=+⋅=-+=--+ ∴当15 1.0714x =≈时，225 4.0256S =≈最大因此，当x 约为1.07 m 时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为4.02m 2.例2、某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件.根据销售经验，提高单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量会减少10件.当销售单价为多少时，该店能在一个月内获最大利润？5．归纳总结，探索规律．（1）对问题情景中的数量（提取常量、变量）关系进行梳理；（2）建立函数模型（求出解析式及相应自变量的取值范围等）（3）建立函数模型（求出解析式及相应自变量的取值范围等），解决问题用字母（参数）来表示不同数量（如不同长度的线段）间的大小联系；6．变式与拓展，灵活掌握练习1、如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，周长为16米．（1）求截面积S （米2）关于底部宽x （米）的函数解析式，及自变量x 的取值范围？（2）试问：当底部宽x 为几米时，隧道的截面积S 最大（结果精确到0.01米）？练习题2、已知，直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长可能达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长．1．解：∵隧道的底部宽为x ，周长为16，则隧道下部矩形的高为π284x +-故当48.4432≈+=πx 米时，S 有最大值答：当隧道的底部宽度为4.48米时，隧道的面积最大2．解：设其中的一条直角边长为x ，则另一条直角边长为（2－x ），又设斜边长为y ，则：所以：当x =1，此时两条直角边的长均为1练习3、如课本图，抛物线形悬索桥，已知悬索桥两端主塔高150m ，主塔之间的距离为900m ，是建立适当的直角坐标系，求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式.练习4、小妍想将一根72cm 长的彩带剪成两段，分别为成两个正方形，则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？此时的面积和是多少？归纳小结：1．本节课我们主要学习了哪些知识？利用几何图形的性质，列出二次函数的解析式，并求最大（小）值y =。

二次函数-湘教版九年级数学下册教案设计

1．5 二次函数的应用第1课时抛物线形二次函数1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点一：建立二次函数模型【类型一】运动轨迹问题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，209)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2＋4.将点C的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所以此球一定能投中．(2)将x ＝1代入解析式，得y ＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．【类型二】拱桥、涵洞问题(2014·湖北潜江)如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD －DC －CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M (12，0)和抛物线顶点P (6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB 二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M (12，0)，最大高度为6米，点P 的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P 的横坐标为6，即P (6，6)．(2)设此函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6.因为函数y ＝a (x －6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a (0－6)2＋6，即a ＝－112.所以此函数关系式为y ＝－112(x －6)2＋6＝－112x 2＋x ＋3.(3)设A (m ，0)，则B (12－m ，0)，C (12－m ，－112m 2＋m ＋3)，D (m ，－112m 2＋m ＋3)．即“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB ＝(－112m 2＋m ＋3)＋(12－2m )＋(－112m 2＋m ＋3)＝－16m 2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m ＝0时，AD ＋DC ＋CB 有最大值为18.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.。

湘教版九年级数学下册二次函数教学案

湘教版九年级数学下册二次函数教学案总13课时编写人阳卫民第二章、二次函数总序第9个教案课题建立二次函数模型第1课时编写时间2022年11月日执教时间2022年11月日执教班级教学目标：知识与技能：1．探索并归纳二次函数的概念，熟练掌握二次函数的一般形式及自变量的取值范围。

2．能够表示简单变量之间的二次函数关系。

过程与方法：通过用二次函数表示变量之间关系的体验过程，增强对函数的感性认识，培养学生分析问题，解决问题的能力。

情感态度价值观：通过学生之间的交流合作的过程，培养学生的合作意识，体验与他人交流合作的重要性。

教学重点：建立二次函数数学模型和理解二次函数概念。

教学难点：建立二次函数数学模型。

教具：电脑、课件教学方法：分析法、讨论法、讲授法、练习法学具：教学过程及教学内容设计：一、创设情境，导入新课1．欣赏一组录像画面：篮球场上同学们传球投篮，田径场上同学们投掷铅球2．观察：篮球投篮时，掷铅球时在空中运行的路线是一条什么样的路线？3．导入课题二、合作交流，解读探究（课件演示）1．通过实际问题建立二次函数模型问题一：植物园的面积（教科书“动脑筋”问题1）------植物园的面积随着砌法的不同怎样变化？问题二：电脑的价格（教科书“动脑筋”问题2）2．二次函数的概念和一般形式A.交流讨论：观察上面得出的两个函数关系式有什么共同点？B.归纳及注意：二次函数的自变量取值范围是所有实数。

C.二次函数的特殊形式。

三、应用迁移，巩固提高（课件演示例题）1．类型之一----二次函数的概念2．类型之二----建立二次函数模型四、总结反思，拓展升华五、当堂检测反馈作业：后记：总序第10个教案第二章、二次函数课题二次函数的图象与性质第1课时编写时间2022年11月日执教时间2022年11月日执教班级教学目标：知识与技能：1．能够运用描点法作出函数y=a某2(a＞0)的图象。

2．能根据图象认识和理解二次函数y=a某2(a＞0)的性质。

2018-2019学年湘教版九年级数学下册全册教案(含教学反思)

1．1 二次函数1．掌握二次函数的概念，能识别一个函数是不是二次函数；(重点)2．能根据实际情况建立二次函数模型，并确定自变量的取值范围．(难点)一、情境导入已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为y(平方米)，窗户宽为x(米)，你能写出y与x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？二、合作探究探究点一：二次函数的相关概念【类型一】二次函数的识别下列函数哪些是二次函数？(1)y＝2－x2; (2)y＝1x2－1；(3)y＝2x(1＋4x); (4)y＝x2－(1＋x)2.解析：(1)是二次函数；(2)是分式而不是整式，不符合二次函数的定义，故y＝1x2－1不是二次函数；(3)把y＝2x(1＋4x)化简为y＝8x2＋2x，显然是二次函数；(4)y＝x2－(1＋x)2化简后变为y＝－2x－1，它不是二次函数而是一个一次函数．解：二次函数有(1)和(3)．方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式中自变量最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】根据二次函数的定义求待定字母的值如果函数y＝(k＋2)xk2－2是y关于x的二次函数，则k的值为多少？解析：紧扣二次函数定义求解，注意易错点为忽视k＋2≠0.解：根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2＝2，k ＋2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝±2，k ≠－2，∴k ＝2.方法总结：紧扣定义中的两个特征：①二次项系数不为零；②自变量最高次数为2. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型三】与二次函数系数有关的计算已知一个二次函数，当x ＝0时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝12；当x ＝－1时，y ＝18.求这个二次函数中各项系数的和．解析：解：设二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．把x ＝0，y ＝0；x ＝2，y ＝12；x ＝－1，y ＝18分别代入函数表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝12，a －b ＋c ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，b ＝0，c ＝0.所以这个二次函数的表达式为y ＝18x 2.所以a ＋b ＋c ＝18＋0＋0＝18，即这个二次函数中各项系数的和为18. 方法总结：涉及有关二次函数表达式的问题，所设的表达式一般是二次函数表达式的一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．解决这类问题要根据x ，y 的对应值，列出关于字母a ，b ，c 的方程(组)，然后解方程(组)，即可求得a ，b ，c 的值．探究点二：建立简单的二次函数模型一个正方形的边长是12cm ，若从中挖去一个长为2x cm ，宽为(x ＋1)cm 的小长方形．剩余部分的面积为y cm 2.(1)写出y 与x 之间的函数关系式，并指出y 是x 的什么函数？ (2)当x 的值为2或4时，相应的剩余部分的面积是多少？解析：几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x 的代数式表示出来．如图所示．解：(1)y＝122－2x(x＋1)，又∵2x≤12，∴0<x≤6，即y＝－2x2－2x＋144(0<x≤6)，∴y 是x的二次函数；(2)当x＝2时，y＝－2×22－2×2＋144＝132，当x＝4时，y＝－2×42－2×4＋144＝104，∴当x＝2或4时，相应的剩余部分的面积分别为132cm2或104cm2.方法总结：二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型．许多实际问题都可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型来解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计本节课是从生活实际中引出二次函数模型，从而得出二次函数的定义及一般形式，会写简单变量之间的二次函数关系式，并能根据实际问题确定自变量的取值范围，使学生认识到数学来源于生活，又应用于生活实际之中.1．2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质1．会用描点法画二次函数y＝ax2(a>0)的图象，理解抛物线的概念；(重点)2．掌握形如y＝ax2(a>0)的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．(重点)一、情境导入自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常量)，h 与t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象是什么形状呢？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象已知y ＝(k ＋2)xk 2＋k 是二次函数． (1)求k 的值；(2)画出函数的图象．解析：根据二次函数的定义，自变量x 的最高次数为2，且二次项系数不为0，这样能确定k 的值，从而确定表达式，画出图象．解：(1)∵y ＝(k ＋2)xk 2＋k 为二次函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k ＝2，k ＋2≠0，解得k ＝1；(2)当k ＝1时，函数的表达式为y ＝3x 2，用描点法画出函数的图象．列表：x －1 －12 0 12 1 … y ＝3x 2334343…描点：(－1，3)，(－12，34)，(0，0)，(12，34)，(1，3)．连线：用光滑的曲线按x 的从小到大的顺序连接各点，图象如图所示．方法总结：列表时先取原点(0，0)，然后在原点两侧对称地取四个点，由于函数y ＝ax 2(a ≠0)图象关于y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以先计算y 轴右侧的两个点的纵坐标，左侧对应写出即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题探究点二：二次函数y ＝ax 2(a >0)的性质已知点(－3，y 1)，(1，y 2)，(2，y 3)都在函数y ＝x 2的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是________．解析：方法一：把x ＝－3，1，2分别代入y ＝x 2中，得y 1＝9，y 2＝1，y 3＝2，则y 1>y 3>y 2；方法二：如图，作出函数y ＝x 2的图象，把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y 1>y 3>y 2；方法三：∵该图象的对称轴为y 轴，a >0，∴在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大，而点(－3，y 1)关于y 轴的对称点为(3，y 3)．又∵3>2>1，∴y 1>y 3>y 2.方法总结：比较二次函数中函数值的大小有三种方法：①直接把自变量的值代入解析式中，求出对应函数值进行比较；②图象法；③根据函数的增减性进行比较，但当要比较的几个点在对称轴的两侧时，可根据抛物线的对称轴找出某个点的对称点，转化到同侧后，然后利用性质进行比较．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题探究点三：二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象与性质的简单应用已知函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数． (1)求满足条件的m 的值；(2)m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？解析：由二次函数的定义知：m 2＋m －4＝2且m ＋2≠0；抛物线有最低点，则抛物线开口向上，即m ＋2>0.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2或m ＝－3，m ≠－2，∴当m ＝2或m ＝－3时，原函数为二次函数；(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m ＋2>0，即m >－2，∴取m ＝2.∴这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)．当x >0时，y 随x 的增大而增大．方法总结：二次函数必须满足自变量的最高次数是2且二次项的系数不为0；函数有最低点即开口向上．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.第2课时二次函数y＝ax2(a<0)的图象与性质1．会用描点法画二次函数y＝ax2(a<0)的图象；(重点)2．掌握形如y＝ax2(a<0)的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．(重点)一、情境导入上节课我们学习了a >0时二次函数y ＝ax 2的图象和性质，那么当a <0时，二次函数y ＝ax 2的图象和性质又会有怎样的变化呢？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝ax 2(a <0)的图象【类型一】二次函数y ＝ax 2(a <0)的图象在直角坐标系内，作出函数y ＝－12x 2的图象．解析：作函数的图象采用描点法，即“列表、描点、连线”三个步骤．解：列表：x 0 1 2 … y ＝－12x 2－12－2…描点和连线：画出图象在y 轴右边的部分，利用对称性，画出图象在y 轴左边的部分，如图．方法总结：(1)列表应以0为中心，选取x >0的几个点求出对应的y 值；(2)描点要准；(3)画出y 轴右边的部分，利用对称性，可画出y 轴左边的部分，连线要用平滑的曲线，不能是折线．【类型二】同一坐标系中两种不同图象的判断当ab >0时，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝ax ＋b 在同一直角坐标系中的图象大致是( )解析：根据a 、b 的符号来确定．当a >0时，抛物线y ＝ax 2的开口向上．∵ab >0，∴b >0.∴直线y ＝ax ＋b 过第一、二、三象限；当a <0时，抛物线y ＝ax 2的开口向下．∵ab >0，∴b <0.∴直线y＝ax＋b过第二、三、四象限．故选D.方法总结：本例综合考查了一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a的符号是否一致入手进行分析．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题探究点二：二次函数y＝ax2(a<0)的性质【类型一】二次函数y＝ax2(a<0)的性质(2015·山西模拟)抛物线y＝－4x2不具有的性质是()A．开口向上B．对称轴是y轴C．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大D．最高点是原点解析：此题应从二次函数的基本形式入手，它符合y＝ax2的基本形式，根据它的性质，进行解答．因为a＝－4＜0，所以图象开口向下，顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴，最高点是原点．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．故选A.方法总结：抛物线y＝ax2(a<0)的开口向下，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴．当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．当x＝0时，图象有最高点，y 有最大值0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】二次函数y＝ax2的开口方向、大小与系数a的关系如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a、b、c、d的大小关系为()A．a>b>c>dB．a>b>d>cC．b>a>c>dD．b>a>d>c答案：A方法总结：抛物线y ＝ax 2的开口大小由|a |确定，|a |越大，抛物线的开口越小；|a |越小，抛物线的开口越大．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题探究点三：二次函数y ＝ax 2的图象与几何图形的综合应用已知二次函数y ＝ax 2(a ≠0)与直线y ＝2x －3相交于点A (1，b )，求： (1)a ，b 的值；(2)函数y ＝ax 2的图象的顶点M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点B 的坐标； (3)△AMB 的面积．解析：直线与二次函数y ＝ax 2的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB 的面积，一般应画出草图进行解答．解：(1)∵点A (1，b )是直线y ＝2x －3与二次函数y ＝ax 2的图象的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ×12，b ＝2×1－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1；(2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)．由－x 2＝2x －3，解得x 1＝1，x 2＝－3， ∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与二次函数的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)；(3)如图所示，作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C 、D ，根据点的坐标的意义，可知MD ＝3，MC ＝1，CD ＝1＋3＝4，BD ＝9，AC ＝1，∴S △AMB ＝S 梯形ABDC －S △ACM －S △BDM ＝12×(1＋9)×4－12×1×1－12×3×9＝6.方法总结：解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计本节课仍然是从学生画图象着手，结合上节课y ＝ax 2(a ＞0)的图象和性质，从而得出y ＝ax 2(a ＜0)的图象和性质，进而得出y ＝ax 2(a ≠0)的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯.第3课时二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质1．会用描点法画出y ＝a (x －h )2的图象；2．掌握形如y ＝a (x －h )2的二次函数图象的性质，并会应用；(重点) 3．理解二次函数y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2之间的联系．(难点)一、情境导入涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过．如图建立直角坐标系，你能得到函数图象解析式吗？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质【类型一】 y ＝a (x －h )2的顶点坐标已知抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a ，h 的值．解：∵抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h ＝－2.又∵抛物线y ＝a (x ＋2)2经过点(－4，2)，∴a (－4＋2)2＝2.∴a ＝12.方法总结：二次函数y ＝a (x －h )2的顶点坐标为(h ，0)．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】二次函数y ＝a (x －h )2图象的形状顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y ＝－12x 2的图象相同的抛物线的解析式为( )A ．y ＝12(x －2)2B ．y ＝12(x ＋2)2 C ．y ＝－12(x ＋2)2 D ．y ＝－12(x －2)2 解析：因为抛物线的顶点在x 轴上，所以可设该抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2(a ≠0)，而二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)与y ＝－12x 2的图象相同，所以a ＝－12，而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h ＝－2，把a ＝－12，h ＝－2代入y ＝a (x －h )2得y ＝－12(x ＋2)2.故选C. 方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题【类型三】二次函数y ＝a (x －h )2的增减性及最值对于二次函数y ＝9(x －1)2，下列结论正确的是( )A ．y 随x 的增大而增大B ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大C ．当x ＝－1时，y 有最小值0D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大解析：因为a ＝9＞0，所以抛物线开口向上，且h ＝1，顶点坐标为(1，0)，所以当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．故选D.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题探究点二：二次函数y ＝a (x －h )2图象的平移【类型一】利用平移确定y ＝a (x －h )2的解析式抛物线y ＝ax 2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a 的值和平移后的函数关系式．解析：y ＝ax 2向右平移3个单位后的关系式可表示为y ＝a (x －3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a 的值．解：二次函数y ＝ax 2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y ＝a (x －3)2，把x ＝－1，y ＝4代入，得4＝a (－1－3)2，a ＝14，∴平移后二次函数关系式为y ＝14(x －3)2.方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a 不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】确定y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2的关系向左或向右平移函数y ＝－12x 2的图象，能使得到的新的图象过点(－9，－8)吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．解：能，理由如下：设平移后的函数为y ＝－12(x －h )2，将x ＝－9，y ＝－8代入得－8＝－12(－9－h )2，所以h ＝－5或h ＝－13，所以平移后的函数为y ＝－12(x ＋5)2或y ＝－12(x ＋13)2. 即抛物线的顶点坐标为(－5，0)或(－13，0)，所以应向左平移5或13个单位．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题探究点三：二次函数y ＝a (x －h )2与几何图形的综合把函数y ＝12x 2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C ，并与直线y ＝x 分别相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，求△ABC 的面积．解析：利用二次函数平移规律先确定平移后的抛物线解析式，确定C 点坐标，再解由所得到的二次函数解析式与y ＝x 组成的方程组，确定A 、B 两点坐标，最后求△ABC 的面积．解：平移后的函数为y ＝12(x －4)2，顶点C 的坐标为(4，0)，OC ＝4. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12（x －4）2，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8. ∵点A 在点B 的左边，∴A (2，2)，B (8，8)，∴S △ABC ＝S △OBC －S △OAC ＝12×4×8－12×4×2＝12.方法总结：两个函数交点的横、纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计通过本节学习使学生认识到y ＝a (x －h )2的图象是由y ＝ax 2的图象左右平移得到的，初步认识到a ，h 对y ＝a (x －h )2位置的影响，a 的符号决定抛物线方向，|a |决定抛物线开口的大小，h 决定向左、向右平移，从中领会数形结合的数学思想.第4课时二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与性质1．会用描点法画出y ＝a (x －h )2＋k 的图象；2．掌握形如y ＝a (x －h )2＋k 的二次函数的图象与性质，并会应用；(重点)3．理解二次函数y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2之间的联系．(难点)一、情境导入前面我们是如何研究二次函数y ＝ax 2、y ＝a (x －h )2的图象与性质的？如何画出y ＝12(x －2)2＋1的图象？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与性质【类型一】二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象已知y ＝12(x －3)2－2的部分图象如图所示，抛物线与x 轴交点的一个坐标是(1，0)，则另一个交点的坐标是________．解析：由抛物线的对称性知，对称轴为x ＝3，一个交点坐标是(1，0)，则另一个交点坐标是(5，0)．解：(5，0)变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质试说明抛物线y ＝2(x －1)2与y ＝2(x －1)2＋5的关系．解析：对抛物线的分析应从开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性，及最大(小)值几个方面分析．解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同；(2)它们的对称轴相同，都是x ＝1.当x <1时都是左降，当x >1时都是右升；(3)它们都有最小值．不同点：(1)顶点坐标不同．y ＝2(x －1)2的顶点坐标是(1，0)，y ＝2(x －1)2＋5的顶点坐标是(1，5)；(2)y ＝2(x －1)2的最小值是0，y ＝2(x －1)2＋5的最小值是5.方法总结：对于y ＝a (x －h )2＋k 类抛物线，a 决定开口方向；|a |决定开口大小；h 决定对称轴；k 决定最大(小)值的数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题探究点二：二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象的平移将抛物线y ＝13x 2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( ) A ．y ＝13(x －2)2－1 B ．y ＝13(x －2)2＋1 C ．y ＝13(x ＋2)2＋1 D ．y ＝13(x ＋2)2－1 解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y ＝13x 2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y ＝13x 2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y ＝13x 2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y ＝13(x －2)2－1.故选A. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点三：二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与几何图形的综合如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y ＝(x －h )2＋k .所得抛物线与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，顶点为D .(1)求h ，k 的值；(2)判断△ACD 的形状，并说明理由．解析：(1)按照图象平移规律“左加右减，上加下减”可得到平移后的二次函数的解析式；(2)分别过点D 作x 轴和y 轴的垂线段DE ，DF ，再利用勾股定理，可说明△ACD 是直角三角形．解：(1)∵将抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x ＋1)2－4，∴h＝－1，k＝－4；(2)△ACD为直角三角形．理由如下：由(1)得y＝(x＋1)2－4.当y＝0时，(x＋1)2－4＝0，x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)．当x＝0时，y＝(x＋1)2－4＝(0＋1)2－4＝－3，∴C 点坐标为(0，－3)．顶点坐标为D(－1，－4)．作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y轴于点F，如图所示．在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20；在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18；在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2.∵AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计通过本节学习使学生掌握二次函数y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k图象的变化关系，从而体会由简单到复杂的认识规律.第5课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质1．会用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；2．会用配方法或公式法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴，并掌握其性质；(重点)3．二次函数性质的综合应用．(难点)一、情境导入火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h＝－5t2＋150t＋10表示．经过多长时间火箭达到它的最高点？二、合作探究探究点一：化二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 为y ＝a (x －h )2＋k 的形式把抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y ＝x 2－3x ＋5，则( )A ．b ＝3，c ＝7B ．b ＝6，c ＝3C ．b ＝－9，c ＝－5D ．b ＝－9，c ＝21解析：y ＝x 2－3x ＋5化为顶点式为y ＝(x －32)2＋114.将y ＝(x －32)2＋114向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，即为y ＝x 2＋bx ＋c .则y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x ＋32)2＋194，化简后得y ＝x 2＋3x ＋7，即b ＝3，c ＝7.故选A.方法总结：二次函数由一般式化为顶点式，平移时遵循“左正右负，上正下负”，逆向推理则相反．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题探究点二：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质【类型一】二次函数与一次函数图象的综合在同一直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m 和函数y ＝mx 2＋2x ＋2(m 是常数，且m ≠0)的图象可能是( )解析：A 、B 中由函数y ＝mx ＋m 的图象可知m ＜0，即函数y ＝mx 2＋2x ＋2开口方向朝下，对称轴为x ＝－b 2a ＝－22m ＝－1m＞0，则对称轴应在y 轴右侧，故A 、B 选项错误；C 中由函数y ＝mx ＋m 的图象可知m ＞0，即函数y ＝mx 2＋2x ＋2开口方向朝上，对称轴为x ＝－b 2a ＝－22m ＝－1m＜0，则对称轴应在y 轴左侧，故C 选项错误；D 中由函数y ＝mx ＋m 的图象可知m ＜0，即函数y ＝mx 2＋2x ＋2开口方向朝下，对称轴为x ＝－b 2a ＝－22m ＝－1m＞0，则对称轴应在y 轴右侧，与图象相符，故D 选项正确．故选D.方法总结：熟记一次函数y ＝kx ＋b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．【类型二】二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质若点A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在抛物线y＝x2－4x－m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是()A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2解析：∵二次函数y＝x2－4x－m中a＝1＞0，∴开口向上，对称轴为x＝－b2a＝2.∵A(2，y1)中x＝2，∴y1最小．又∵B(－3，y2)，C(－1，y3)都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故y2＞y3.∴y2＞y3＞y1.故选C.方法总结：当二次项系数a＞0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型三】二次函数图象的位置与各项系数符号的关系已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－b2a＞0；④abc＞0.其中正确的结论是________．解析：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0，抛物线与y轴的正半轴相交，可得出c ＞0，对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，∴abc＜0；∵对称轴在y轴右侧，对称轴为－b2a＞0；由图象可知：当x＝1时，y＞0，∴a＋b＋c＞0.∴①②③④都正确．方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题【类型四】二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为() A．3 B．－1 C．4 D．4或－1解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝4ac－b24a＝4a（a－1）－424a＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故选C.方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题探究点三：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与几何图形的综合应用如图，已知二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A (2，0)、B (0，－6)两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积．解：(1)把A (2，0)、B (0，－6)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝－6. ∴这个二次函数的解析式为y ＝－12x 2＋4x －6； (2)∵该抛物线对称轴为直线x ＝－42×（－12）＝4， ∴点C 的坐标为(4，0)，∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2，∴S △ABC ＝12×AC ×OB ＝12×2×6＝6. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题三、板书设计本节课所学的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质可以看作是y ＝ax 2，y ＝a (x －h )2，y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质的归纳与综合，让学生初步体会由简单到复杂，由特殊到一般的认识规律.*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求二次函数解析式的方法；(重点)2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的解析式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．(难点)一、情境导入某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米．你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？二、合作探究探究点一：不共线三点确定二次函数的表达式【类型一】用一般式确定二次函数解析式已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的解析式．解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．解：设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝－4，a ＋b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝－4.∴这个二次函数的解析式为y ＝2x 2＋3x －4.方法总结：当题目给出函数图象上的任意三个点时，设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】用顶点式确定二次函数解析式已知二次函数的图象顶点坐标是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式．解：设二次函数解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，∵图象顶点是(－2，3)，∴h ＝－2，k ＝3，依题意得5＝a (－1＋2)2＋3，解得a ＝2.∴二次函数的解析式为y ＝2(x ＋2)2＋3＝2x 2＋8x ＋11.方法总结：若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设y ＝a (x －h )2＋k .顶点坐标为(h ，k)，对称轴为x＝h，最值为当x＝h时，y最值＝k.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】用交点式确定二次函数解析式已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的解析式．解析：由于已知图象与x轴的两个交点，所以可设y＝a(x－x1)(x－x2)求解．解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)．又因为抛物线过点M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.方法总结：此题也可设y＝a(x－h)2＋k，因为与x轴交于(－1，0)，(1，0)，故对称轴为y轴．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点二：二次函数解析式的综合运用如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．解析：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，根据对称轴是x＝－3，求出b＝6，即可得出答案；(2)根据CD∥x轴，得出点C与点D关于x＝－3对称，根据点C在对称轴左侧，且CD ＝8，求出点C的横坐标和纵坐标，再根据点B的坐标为(0，5)，求出△BCD中CD边上的高，即可求出△BCD的面积．解：(1)把点A (－4，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得16－4b ＋c ＝－3，c －4b ＝－19.∵对称轴是x ＝－3，∴－b2＝－3，∴b ＝6，∴c ＝5，∴抛物线的解析式是y ＝x 2＋6x ＋5；(2)∵CD ∥x 轴，∴点C 与点D 关于x ＝－3对称．∵点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，∴点C 的横坐标为－7，∴点C 的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B 的坐标为(0，5)，∴△BCD 中CD 边上的高为12－5＝7，∴△BCD 的面积＝12×8×7＝28.方法总结：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及利用解析式分析二次函数的图象和性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算.1．4 二次函数与一元二次方程的联系1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；(重点)2．通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)一、情境导入小唐画y ＝x 2－6x ＋c 的图象时，发现其顶点在x 轴上，请你帮小唐确定字母c 的值是多。

九年级数学下册《二次函数的应用》教案、教学设计

（2）设计一些综合性的题目，让学生运用二次函数的顶点式、交点式进行求解，提高学生的问题解决能力。
3.拓展作业：
（1）针对优秀生，布置一些具有挑战性的题目，如研究二次函数图像的变换规律、探讨二次方程与二次不等式之间的关系等。
（2）鼓励学生利用网络、书籍等资源，了解二次函数在其他学科领域的应用，拓宽知识视野。
（三）情感态度与价值观
在本章节的教学中，学生将形成以下情感态度与价值观：
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发他们探索数学问题的热情，增强自信心和自主学习的意识。
2.通过解决实际生活中的问题，使学生感受到数学与现实生活的紧密联系，认识数学的价值，提高学习的积极性。
3.培养学生的团队合作意识，让他们在交流、互助中学会尊重他人，培养良好的人际沟通能力。
2.运用问题驱动法，设计具有挑战性的问题和实际案例，激发学生的兴趣和求知欲，培养其独立思考、合作交流的能力。
3.利用数形结合的方法，结合图像和解析式，帮助学生形象地理解二次函数的几何意义，提高解决问题的直观感知能力。
4.通过分类讨论、逐步推进的解题策略，培养学生的逻辑思维和条理性。
5.组织课堂讨论和小组活动，鼓励学生分享解题心得，提高表达和沟通能力。
九年级数学下册《二次函数的应用》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
在本章节《二次函数的应用》的教学中，学生将掌握以下知识与技能：
1.理解二次函数的定义及其图像特点，能够识别并写出一般形式的二次函数表达式。
2.学会运用二次函数的顶点式、交点式等不同形式进行问题求解，掌握求解二次方程的方法。
3.能够利用二次函数解决实际生活中的问题，如最值问题、范围问题等，并能够解释其几何意义。
4.掌握二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系，能够进行简单的综合应用。

二次函数的图象与性质（3）教案

湘教版数学九年级1.2二次函数的图象与性质（3）教学设计课题 1.2二次函数的图象与性质（3）单元第一章二次函数学科数学年级九年级学习目标 1、经历用描点法画二次函数y =a (x -h )2+k 的图象的过程，并通过图象认识函数的性质．2、经历函数y =a (x -h )2+k 与y =ax 2（a ≠0）图象平移规律的探究过程．3、会运用二次函数的知识解决简单的问题.重点会用描点法画出二次函数y =a (x -h )2+k 的图象与性质．难点理解二次函数y =a (x -h )2+k 的图象与抛物线y =ax 2的图象的关系．教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课1、二次函数y=ax 2与y=a (x-h )2的关系2、二次函数y=a (x -h )2的性质抛物线y=a (x -h )2的对称轴，顶点坐标，开口方向，最大值（最小值）___．学生凭借已有的知识经验对提出的问题以个别回答的方式一一作答，教师给予评价．从学生已经研究过的问题出发，一方面对前面所学的知识起到复习巩固的作用，另一方面为探究新问题提供研究方式和方法，激发学生探究的欲望．讲授新课一、探究y =a (x -h )2+k 的图象与性质 1、画出二次函数212y x =，21(1)2y x =- ，21(1)32y x =-+的图象，并探究它们的图象特征和性质．列表：自变量x 从顶点的横坐标向右开始取值．描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分．利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分．学生在教师指导下填写表格中相应的函数值并画图，然后画函数图象，让学生对比分析．让学生亲身经历列表、描点画图的过程，从列表过程中体会二次函数数量间的关系，从画图中体会位置关系．观察上表，对于每一个给定的x 值，函数 21(1)32y x =-+的值与函数21(1)2y x =-的值有何关系？从上表看出：对于每一个给定的x 值，函数 21(1)32y x =-+的值都要比函数21(1)2y x =-的值大3．由此你可以得到什么结论？请与同桌交流你发现的结论．函数21(1)32y x =-+的图象可由二次函数21(1)2y x =-的图象向上平移3个单位而得到．因此，二次函数21(1)2y x =-的图象也是抛物线，它的对称轴为直线x =1（与抛物线 21(1)2y x =- 的对称轴一样），顶点坐标为（1，3）（它是由抛物21(1)2y x =-的顶点（1，0）向上平移3个单位得到的），它的开口向上．2、问题：1、212y x =的图象经过怎样的平移得到21(1)32y x =-+的图像？ 212y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位即可得到21(1)32y x =-+的图象．3、若将抛物线21(1)2y x =-向下平移2个单位，得到的函数解析式是什么？将抛物线21(1)2y x =-向下平移2个单位，得到的函数解析式是21(1)22y x =--．二、二次函数y =a (x -h )2+k 的性质二次函数y =a (x -h )2+k 的图象是抛物线，它具有下述性质：三、二次函数y =a (x -h )2+k 的画法1、画y =a (x -h )2+k 的图象的步骤如下：第一步：写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；第二步：列表(自变量x 从顶点的横坐标开始取值)，描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；第三步利用对称性，画出图象在对称轴左边学生独立完成再小组合作交流．完成例4、例5．让学生从大量实例中，总结得出一般规律，进一步体会特殊到一般的解决数学问题的方法，提高学生抽象概括能力．培养学生应用数学知识解决问题的能力．2、结论：一般地抛物线y=a（x-h）2+k与y=ax2的形状相同，位置不同．。

湘教版数学九年级下册1.5《二次函数的应用》教学设计2

湘教版数学九年级下册1.5《二次函数的应用》教学设计2一. 教材分析湘教版数学九年级下册1.5《二次函数的应用》是本节课的教学内容。

这部分教材主要让学生掌握二次函数在实际问题中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教材通过引入实际问题，引导学生运用二次函数的知识进行解答，从而巩固和提高学生的数学素养。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的基本知识，包括二次函数的定义、图像和性质。

但学生在应用二次函数解决实际问题方面可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，引导学生将所学知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。

三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的应用；2.能够运用二次函数解决实际问题；3.提高学生的数学素养，培养学生的解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数在实际问题中的运用；2.如何引导学生将实际问题转化为二次函数问题。

五. 教学方法1.案例分析法：通过引入实际问题，引导学生运用二次函数知识进行解答；2.讨论法：在课堂上，引导学生分组讨论，共同解决问题；3.引导法：教师引导学生将实际问题转化为二次函数问题，帮助学生建立数学模型。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于课堂讲解和练习；2.准备多媒体教学设备，用于展示问题和解答过程；3.准备教案和教学课件。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生思考如何运用二次函数知识解决实际问题。

2.呈现（10分钟）教师展示准备好的实际问题，让学生分组讨论，共同思考如何运用二次函数知识进行解答。

3.操练（10分钟）教师引导学生分组进行练习，将实际问题转化为二次函数问题，并求解。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）教师挑选几组典型的问题，让学生上讲台进行讲解，加深学生对二次函数应用的理解。

5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：如何判断一个实际问题是否可以运用二次函数解决？学生分组讨论，分享自己的看法。

湘教版数学九年级下册1.2《二次函数的图象与性质》教学设计3

湘教版数学九年级下册1.2《二次函数的图象与性质》教学设计3一. 教材分析《二次函数的图象与性质》是湘教版数学九年级下册1.2节的内容。

这部分内容主要让学生了解二次函数的图象特征，掌握二次函数的性质，包括顶点坐标、开口方向、对称轴等。

通过这部分的学习，学生能够更好地理解二次函数的实质，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，对函数有一定的认识。

但是，二次函数相对于一次函数来说，其图象和性质更加复杂，需要学生能够抽象思维，理解并掌握二次函数的图象与性质。

三. 教学目标1.了解二次函数的图象特征，掌握二次函数的性质。

2.能够运用二次函数的性质解决实际问题。

3.培养学生的抽象思维能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.二次函数的图象特征2.二次函数的性质3.二次函数性质在实际问题中的应用五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法自主学习二次函数的图象与性质，以案例分析法讲解实际问题，使学生能够将理论知识与实际问题相结合，提高解决实际问题的能力。

六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次函数的概念，例如：抛物线与x轴的交点问题。

让学生观察抛物线的图象，引导学生思考抛物线的特征。

2.呈现（15分钟）利用PPT课件展示二次函数的图象，让学生观察并分析二次函数的图象特征，如顶点坐标、开口方向、对称轴等。

同时，引导学生通过实际问题，理解二次函数的性质。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数的性质解决问题。

教师巡回指导，为学生提供帮助。

4.巩固（10分钟）教师出示一些练习题，让学生独立完成，检验学生对二次函数性质的掌握情况。

同时，教师选取部分学生的作业进行点评，纠正学生在解题过程中可能出现的错误。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：如何判断一个二次函数的图象是向上还是向下开口？如何求解二次方程的根？让学生通过小组合作，探讨这些问题。

湘教版数学九下第二章二次函数word教案

湘教版九年级数学下册第二章二次函数教案（共15课时）编写时间20 年月日执行时间20 年月日。

总序第_1_0_个教案课题第２章二次函数建立二次函数模型共_1_课时第_1_课时课型新授教学目标1. 通过对实际问题情境分析，建立二次函数的模型.2. 初步理解二次函数的概念，并能确定自变量的取值范围．3. 进一步体验建立数学模型的思想方法．重点难点重点：建立二次函数数学模型和理解二次函数概念．难点：建立二次函数数学模型．教学策略探究、讲解、练习教学活动课前、课中反思（一）创设情境１．欣赏一组录像画面：篮球场上同学们传球投篮，田径场上同学们投掷铅球，同学们课余游戏抛硬币，石拱桥的桥拱……２．观察：篮球投篮时，掷铅球时，抛硬币时……在空中运行的路线是一条什么样的路线？（二）复习引入我们已知道，可以建立数学模型一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）来刻画直线，反比例函数ｙ＝ｋ/ｘ（ｋ≠０）来刻画双曲线，那么像前面所看到的曲线，我们又该建立一个什么样的数学模型来刻画它们呢？要刻画它，我们今天还需要学习一种新的函数关系———二次函数．（点出课题）（三）探求新知１.出示投影１，教科书Ｐ.２１“动脑筋”中问题———植物园的面积随着砌法的不同怎样变化（１）学生阅读审题，独立思考，自主探索．设与围墙相邻的每一面墙的长都为ｘｍ，则与围墙相对的一面墙的长为（１００－２ｘ）ｍ，于是矩形植物园的面积Ｓ＝ｘ(１００－２ｘ），即Ｓ＝－２ｘ２＋１００ｘ．（２）学生合作讨论ｘ的取值范围．由ｘ＞０，１００－２ｘ＞０，得０＜ｘ＜５０．（３）概括．由上述（1）、（2）可得关系式Ｓ=-２ｘ２+100ｘ，０＜ｘ＜５０，有了这个关系式，我们对植物园的面积Ｓ随着砌法的不同而变化的情况就了如指掌了．２.出示投影２，教科书Ｐ.２１”动脑筋”中问题———电脑的价格．师生共同分析交流，得出：平均降价率ｘ与售价ｙ之间的关系：ｙ＝6000（１－ｘ）２，０＜ｘ＜１．即ｙ＝6000ｘ２－12000ｘ＋6000，０＜ｘ＜１．引导学生观察上述两个函数解析式，并说出函数关系式Ｓ＝-2ｘ２＋100ｘ（０＜ｘ＜５０）和ｙ＝6000ｘ２－12000ｘ＋6000（０＜ｘ＜１）有什么共同特点？通过上述分析抽象出：函数解析式是自变量的二次多项式，这样的函数称为二次函数，它的一般形式为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠０）．二次函数的自变量的取值范围是所有实数．但对于实际问题中的二次函数的自变量的取值范围一般会有一些限制．二次函数有下列特殊形式：ｙ＝ａｘ２（ａ≠０，ｂ＝０，ｃ＝０）；ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ（ａ≠０，ｂ≠０，ｃ＝０）；ｙ＝ａｘ２＋ｃ（ａ≠０，ｂ＝０，ｃ≠０）．（四）讲解例题例１．下列函数中，哪些是二次函数？（１）ｙ＝３ｘ－１；（２）ｙ＝３ｘ２＋１；（３）ｙ＝３ｘ３＋２ｘ２；（４）ｙ＝２ｘ２－２ｘ＋１；（５）ｙ＝ｘ２；（６）ｙ＝ｋｘ２－２．例２.已知y＝(ｍ２－２ｍ）ｘ２ｍ２－３ｍ是二次函数，求ｍ的值．（五）应用新知教科书Ｐ.２２练习题．选取部分学生的解题过程在投影上显示，师生共同评价订正．（六）课堂小结１.判断一个函数是否是二次函数，关键看什么？自变量最高次数是２，二次项系数ａ≠０．２.二次函数中，自变量取值有什么限制？从两方面考虑：一是自变量取值要使函数解析式有意义；二是自变量取值要使实际问题有意义．（七）布置作业教科书Ｐ.２３习题Ａ组第１，２题，选做Ｂ组．课后反思编写时间20 年月日执行时间20 年月日。

九年级数学下册《二次函数在几何方面的应用》教案、教学设计

-着重考查学生对二次函数与几何问题的理解和应用能力。
2.教师巡回指导，解答学生疑问，及时发现问题并给予指导。
（五）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学内容，总结二次函数在几何方面的应用方法和技巧。
2.教师点评学生的总结，强调重点和难点，梳理知识体系。
3.提醒学生课后加强练习，巩固所学知识，为下一节课的学习做好准备。
（3）计算抛物线y = x^2与直线x = 2所围成的封闭图形的面积。
2.提高拓展题：
（1）已知抛物线y = x^2 + 2x - 3，求该抛物线在x轴上方的部分与x轴所围成的图形的面积。
（2）求解抛物线y = -x^2 + 4x + 5与直线y = 2x + 1的交点坐标，并分析交点个数及其几何意义。
-二次函数求解几何问题的方法和步骤。
2.各小组分享讨论成果，教师点评并总结。
-鼓励学生发表自己的观点，培养他们的表达能力。
-对学生的解答给予肯定和鼓励，指出其中的不足，引导他们进一步完善。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
-选择不同难度的题目，以满足不同层次学生的需求。
-鼓励学生运用二次函数知识，自主解决几何问题。
2.创设生活情境，让学生在实际问题中感受二次函数与几何图形的联系。
-通过生活中的实例，如抛物线形状的拱桥、体育比赛中抛物线运动的球等，让学生认识到二次函数在实际生活中的应用。
3.分层次教学，满足不同学生的学习需求。
-对基础薄弱的学生，重点巩固二次函数的基本概念和性质，逐步引导他们运用到几何问题中。
1.创设情境：以生活中的实例引入，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究二次函数在几何方面的应用。

【重磅】新湘教版九年级下册数学全册教案

第1章二次函数1.1二次函数【知识与技能】1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围.【过程与方法】经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.【情感态度】体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识. 【教学重点】二次函数的概念.【教学难点】在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程.一、情境导入，初步认识1.教材P2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积S(m2）与相邻于围墙面的每一面墙的长度R(m)的关系式是S=-2R2+100R,(0<R<50)；电脑价格R （元）与平均降价率R的关系式是R=6000R2-120RRR+6000,(0<R<1).它们有什么共同点?一般形式是R=aR2+bR+c(a,b,c为常数，a≠0)这样的函数可以叫做什么函数?二次函数.2.对于实际问题中的二次函数,自变量的取值范围是否会有一些限制呢?有.二、思考探究，获取新知二次函数的概念及一般形式在上述学生回答后,教师给出二次函数的定义:一般地,形如R=aR 2+bR+c(a, b,c 是常数,a ≠0)的函数，叫做二次函数，其中R 是自变量,a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.注意:①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时,要连同符号一起指出.三、典例精析，掌握新知例1指出下列函数中哪些是二次函数.(1)R=(R-3)2-R 2；(2)R=2R(R-1)；(3)R=32R-1；(4)R=22x；(5)R=5-R 2+R. 【分析】先化为一般形式，右边为整式，依照定义分析.解:(2)(5)是二次函数,其余不是.【教学说明】判定一个函数是否为二次函数的思路:1.将函数化为一般形式.2.自变量的最高次数是2次.3.若二次项系数中有字母,二次项系数不能为0.例2讲解教材P3例题.【教学说明】由实际问题确定二次函数关系式时,要注意自变量的取值范围. 例3已知函数R=(m 2-m)R 2+mR+(m+1)(m 是常数），当m 为何值时:(1)函数是一次函数;(2)函数是二次函数.【分析】判断函数类型,关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零,列出相应方程或不等式.解:(1)由200m m m ⎧-=⎨≠⎩得010m m ⎩=≠⎧⎨或, ∴m=1.即当m=1时，函数R=(m 2-m)R 2+mR+(m+1)是一次函数.(2)由m 2-m ≠0得m ≠0且m ≠1,∴当m ≠0且m ≠1时，函数R=(m 2-m)R 2+mR+(m+1)是二次函数.【教学说明】学生自主完成，加深对二次函数概念的理解，并让学生会列二次函数的一些实际应用中的二次函数解析式.四、运用新知，深化理解1.下列函数中是二次函数的是（） A.2123y x x =+- B.R=3R 3+2R 2C.R=(R-2)2-R 3D.21y =- 2.二次函数R=2R(R-1)的一次项系数是（）A.1B.-1C.2D.-23.若函数232(3)1k k y k x kx -+=-++是二次函数，则k 的值为（）A.0B.0或3C.3D.不确定4.若R=(a+2)R 2-3R+2是二次函数，则a 的取值范围是 .5.已知二次函数R=1-3R+5R 2,则二次项系数a= ,一次项系数b= ,常数项c= .6.某校九（1）班共有R 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手R 次，试写出R 与R 之间的函数关系式，它（填“是”或“不是”）二次函数.7.如图,在边长为5的正方形中,挖去一个半径为R 的圆（圆心与正方形的中心重合），剩余部分的面积为R.(1)求R 关于R 的函数关系式；（2）试求自变量R 的取值范围；（3）求当圆的半径为2时，剩余部分的面积（π取3.14，结果精确到十分位）.【答案】1.D2.D3.A4.a ≠-25.5,-3,16.21122y x x =-是 7.（1）R=25-πR 2=-πR 2+25.(2)0＜R ≤52.(3)当R=2时，R=-4π+25≈-4×3.14+25=12.44≈12.4.即剩余部分的面积约为12.4.【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，待学生完成上述作业后，教师指导.五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次函数的有关概念.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳.1.教材P 4第1~3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是从生活实际中引出二次函数模型,从而得出二次函数的定义及一般形式,会写简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围,使学生认识到数学来源于生活,又应用于生活实际之中.1.2二次函数的图象与性质第1课时二次函数R=aR2(a＞0)的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画函数R=aR2(a＞0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用R=aR2(a＞0)的图象和性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数R=aR2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数R=aR2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画R=aR2(a＞0)的图象.2.理解,掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步认识问题1请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状呢?问题2如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思考探究，获取新知探究1画二次函数R=aR2(a＞0)的图象.画二次函数R=aR2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图R=R2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学.②从列表和描点中,体会图象关于R轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势.如图(1)就是R=R2的图象的错误画法.误区二：并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形.如图(2)就是漏掉点(0,0)的R=R 2的图象的错误画法.误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止.如图(3),就是到点(-2,4),(2,4)停住的R=R 2图象的错误画法.探究2R=aR 2(a ＞0)图象的性质在同一坐标系中，画出R=R 2,212y x =,R=2R 2的图象. 【教学说明】要求同学们独立完成图象,教师帮助引导,强调画图时注意每一个函数图象的对称性.动脑筋观察上述图象的特征(共同点),从而归纳二次函数R=aR2(a ＞0)的图象和性质.【教学说明】教师引导学生观察图象,从开口方向,对称轴,顶点,R 随R 的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调.R=aR 2(a ＞0)图象的性质1.图象开口向上.2.对称轴是R 轴，顶点是坐标原点，函数有最低点.3.当R ＞0时，R 随R 的增大而增大，简称右升；当R ＜0时，R 随R 的增大而减小，简称左降.三、典例精析，掌握新知例已知函数24(2)kk y k x +-=+是关于R 的二次函数. (1)求k 的值.(2)k 为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当R 在哪个范围内取值时，R 随R 的增大而增大？【分析】此题是考查二次函数R=aR 2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k 的方程，进而求出k 的值，然后根据k+2＞0，求出k 的取值范围，最后由R 随R 的增大而增大，求出R 的取值范围.解:(1)由已知得22042k k k +≠+-=⎧⎨⎩,解得k=2或k=-3. 所以当k=2或k=-3时，函数24(2)k k y k x +-=+是关于R 的二次函数.(2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,所以k+2＞0.由（1）知k=2，最低点是（0,0),当R ≥0时，R 随R 的增大而增大.四、运用新知，深化理解1.（广东广州中考）下列函数中，当R ＞0时，R 值随R 值增大而减小的是（）A.R=R 2B.R=R-1C.34y x =D.R=1x2.已知点（-1,R 1),(2,R 2),(-3,R 3)都在函数R=R 2的图象上，则（）A.R 1＜R 2＜R 3B.R 1＜R 3＜R 2C.R 3＜R 2＜R 1D.R 2＜R 1＜R 33.抛物线R=13R 2的开口向，顶点坐标为，对称轴为，当R=-2时，R= ；当R=3时，R= ,当R ≤0时，R 随R 的增大而；当R ＞0时，R 随R 的增大而 .4.如图，抛物线R=aR 2上的点B ，C 与R 轴上的点A （-5，0），D （3，0）构成平行四边形ABCD ，BC 与R 轴交于点E （0，6），求常数a 的值.【教学说明】学生自主完成,加深对新知识的理解和掌握,当学生疑惑时，教师及时指导.【答案】1.D2.A3.上,(0,0),R 轴，43，±3,减小，增大 4.解：依题意得：BC=AD=8，BC ∥R 轴，且抛物线R=aR 2上的点B ，C 关于R轴对称，又∵BC与R轴交于点E（0，6），∴B点为（-4，6），C点为（4，6），将（4，6）代入R=aR2得：a=3.8五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次函数R=aR2(a＞0)图象的画法及其性质.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.1.教材P7第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是从学生画R=R2的图象，从而掌握二次函数R=aR2(a＞0)图象的画法，再由图象观察、探究二次函数R=aR2(a＞0)的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.第2课时二次函数R=aR2(a＜0)的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画函数R=aR2(a＜0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用R=aR2(a＜0)的图象与性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数R=aR2(a＜0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数R=aR2(a≠0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性.【教学重点】①会画R=aR2(a<0)的图象；②理解、掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.一、情境导入，初步认识1.在坐标系中画出R=12R2的图象，结合R=12R2的图象，谈谈二次函数R=aR2(a＞0)的图象具有哪些性质？2.你能画出R=-12R2的图象吗？二、思考探究，获取新知探究1画R=aR2(a＜0)的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出R=-12R2的图象.【教学说明】教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学们完成后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学.问:从所画出的图象进行观察,R=12R2与R=-12R2有何关系？归纳：R=12R2与R=-12R2二者图象形状完全相同，只是开口方向不同，两图象关于R轴对称.(教师引导学生从理论上进行证明这一结论)探究2二次函数R=aR2(a＜0)性质问：你能结合R=-1R2的图象，归纳出2R=aR2(a＜0)图象的性质吗？【教学说明】教师提示应从开口方向，对称轴，顶点位置，R随R的增大时的变化情况几个方面归纳，教师整理，强调R=aR2(a<0)图象的性质.1.开口向下.2.对称轴是R轴，顶点是坐标原点，函数有最高点.3.当R＞0时，R随R的增大而减小，简称右降，当R＜0时，R随R的增大而增大，简称左升.探究3二次函数R=aR2(a≠0)的图象及性质学生回答：【教学点评】一般地，抛物线R=aR2的对称轴是，顶点是，当a＞0时抛物线的开口向，顶点是抛物线的最点，a越大，抛物线开口越；当a＜0时，抛物线的开口向，顶点是抛物线的最点，a越大，抛物线开口越，总之，|a|越大，抛物线开口越 .答案:R轴，（0，0），上，低，小，下，高，大，小三、典例精析，掌握新知例1填空：①函数R=(-2R)2的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是 .②函数R=R2,R=1R2和R=-2R2的图象如图所示，2请指出三条抛物线的解析式.解:①抛物线，（0，0），R轴，向上；②根据抛物线R=aR2中,a的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为R2,中间为R=R2,在R轴下方的为R=-2R2.R=12【教学说明】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.抛物线R=aR2中，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，|a|越大，开口越小.例2已知抛物线R=aR2经过点（1，-1），求R=-4时R的值.【分析】把点(1,-1)的坐标代入R=aR2,求得a的值，得到二次函数的表达式，再把R=-4代入已求得的表达式中，即可求得R的值.解:∵点（1，-1）在抛物线R=aR2上，-1=a·12，∴a=-1,∴抛物线为R=-R2.当R=-4时，有-4=-R2，∴R=±2.【教学说明】在求R=aR2的解析式时，往往只须一个条件代入即可求出a值.四、运用新知，深化理解1.下列关于抛物线R=R2和R=-R2的说法，错误的是（）A.抛物线R=R2和R=-R2有共同的顶点和对称轴B.抛物线R=R2和R=-R2关于R轴对称C.抛物线R=R2和R=-R2的开口方向相反D.点（-2，4）在抛物线R=R2上，也在抛物线R=-R2上2.二次函数R=aR2与一次函数R=-aR(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是（）3.二次函数226=-,当R＜0时，R随R的增大而减小，则(1)m my m x+-m= .4.已知点A（-1，R1),B(1,R2),C(a,R3)都在函数R=R2的图象上，且a＞1,则R1,R2,R3中最大的是 .5.已知函数R=aR2经过点(1,2).①求a的值；②当R＜0时，R的值随R值的增大而变化的情况.【教学说明】学生自主完成,加深对新知的理解和掌握,当学生疑惑时，教师及时指导.【答案】1.D2.B3.24.R35.①a=2②当R＜0时，R随R的增大而减小五、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？在学生回答的基础上，教师点评：（1）R=aR2(a<0)图象的性质；（2）R=aR2(a≠0)关系式的确定方法.1.教材P10第1~2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课仍然是从学生画图象,结合上节课R=aR2(a＞0)的图象和性质，从而得出R=aR2(a＜0)的图象和性质，进而得出R=aR2（a≠0)的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯.第3课时二次函数R=a(R-h)2的图象与性质【知识与技能】1.能够画出R=a(R-h)2的图象，并能够理解它与R=aR2的图象的关系，理解a,h对二次函数图象的影响.2.能正确说出R=a(R-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】经历探索二次函数R=a(R-h)2的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想.【情感态度】1.在小组活动中体会合作与交流的重要性.2.进一步丰富数学学习的成功体验,认识到数学是解决实际问题的重要工具,初步形成积极参与数学活动的意识.【教学重点】掌握R=a(R-h)2的图象及性质.【教学难点】理解R=a(R-h)2与R=aR2图象之间的位置关系，理解a,h对二次函数图象的影响.一、情境导入，初步认识1.在同一坐标系中画出R=12R2与R=12(R-1)2的图象，完成下表.2.二次函数R=12(R-1)2的图象与R=12R2的图象有什么关系？3.对于二次函数12(R-1)2,当R取何值时，R的值随R值的增大而增大？当R 取何值时，R的值随R值的增大而减小?二、思考探究，获取新知归纳二次函数R=a(R-h)2的图象与性质并完成下表.三、典例精析，掌握新知例1教材P12例3.【教学说明】二次函数R=aR2与R=a(R-h)2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”.例如R=aR2向左平移1个单位得到R=a(R+1)2,R=aR2向右平移2个单位得到R=a(R-2)2的图象.例2已知直线R=R+1与R轴交于点A，抛物线R=-2R2平移后的顶点与点A重合.①水平移后的抛物线l的解析式；②若点B（R1,R1),C(R2,R2)在抛物线l ＜R1＜R2，试比较R1,R2的大小.上，且-12解:①∵R=R+1,∴令R=0，则R=-1,∴A（-1,0)，即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又∵抛物线l是由抛物线R=-2R2平移得到的，∴抛物线l的解析式为R=-2(R+1)2.②由①可知，抛物线l的对称轴为R=-1,∵a=-2＜0,∴当R＞-1时，R随R＜R1＜R2,∴R1＞R2.的增大而减小，又-12【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点.四、运用新知，深化理解1.二次函数R=15(R-1)2的最小值是（）A.-1B.1C.0D.没有最小值2.抛物线R=-3(R+1)2不经过的象限是（）A.第一、二象限B.第二、四象限C.第三、四象限D.第二、三象限中，当R＞0时，R随R的增大而增大，则二次函数3.在反比例函数R=kxR=k(R-1)2的图象大致是（）4.（1）抛物线R=1R2向平移个单位得抛物线3(R+1)2;R=13(2)抛物线向右平移2个单位得抛物线R=-2(R-2)2.5.（广东广州中考）已知抛物线R=a(R-h)2的对称轴为R=-2,且过点（1，-3）.(1)求抛物线的解析式;(2)画出函数的大致图象;(3)从图象上观察,当R取何值时，R随R的增大而增大？当R取何值时，函数有最大值（或最小值）？【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑.【答案】1.C2.A3.B4.(1)左,1(2)R=-2R2(R+2)2(2)略（3）当R＜-2时，R随R增大而增大；当R=-25.解：(1)R=-13时，R有最大值0.五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答的基础上,教师点评:(1)R=a(R-h)2的图象与性质；（2）R=a(R-h)2与R=aR2的图象的关系.1.教材P12第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.通过本节学习使学生认识到R=a(R-h)2的图象是由R=aR2的图象左右平移得到的，初步认识到a,h对R=a(R-h)2位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h决定向左右平移；从中领会数形结合的数学思想.第4课时二次函数R=a(R-h)2+k的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画二次函数R=a(R-h)2+k的图象.掌握R=a(R-h)2+k的图象和性质.2.掌握R=a(R-h)2+k与R=aR2的图象的位置关系.3.理解R=a(R-h)2+k,R=a(R-h)2,R=aR2+k及R=aR2的图象之间的平移转化.【过程与方法】经历探索二次函数R=a(R-h)2+k的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想，培养观察、分析、总结的能力.【情感态度】1.在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性.2.体验数学活动中充满着探索性,感受通过认识观察,归纳,类比可以获得数学猜想的乐趣.【教学重点】二次函数R=a(R-h)2+k的图象与性质.【教学难点】由二次函数R=a(R-h)2+k的图象的轴对称性列表、描点、连线.一、情境导入，初步认识复习回顾:同学们回顾一下:①R=aR2,R=a(R-h)2,（a≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，R随R 的增减性分别是什么？②如何由R=aR2(a≠0)的图象平移得到R=a(R-h)2的图象？③猜想二次函数R=a(R-h)2+k的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及R随R的增减性如何？二、思考探究，获取新知探究1R=a(R-h)2+k的图象和性质1.由老师提示列表，根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题：(R+1)2-1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及R随R的增减性①R=-12如何？R2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得抛物线②将抛物线R=-12R=-1(R+1)2-1.22.同学们讨论回答：①一般地，当h＞0,k＞0时，把抛物线R=aR2向右平移h个单位，再向上平移k个单位得抛物线R=a(R-h)2+k;平移的方向和距离由h,k的值来决定.②抛物线R=a(R-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标及R随R的增减性如何？探究2二次函数R=a(R-h)2+k的应用【教学说明】二次函数R=a(R-h)2+k的图象是，对称轴是，顶点坐标是，当a＞0时，开口向，当a＜0时，开口向.答案：抛物线，直线R=h,(h,k),上，下三、典例精析，掌握新知例1已知抛物线R=a(R-h)2+k,将它沿R轴向右平移3个单位后，又沿R轴向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为R=-3(R+1)2-4,求原抛物线的解析式.【分析】平移过程中,前后抛物线的形状,大小不变,所以a=-3,平移时应抓住顶点的变化，根据平移规律可求出原抛物线顶点，从而得到原抛物线的解析式.解:抛物线R=-3(R+1)2-4的顶点坐标为（-1,-4),它是由原抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为（-4，-2).故原抛物线的解析式为R=-3(R+4)2-2.【教学说明】抛物线平移不改变形状及大小，所以a值不变，平移时抓住关键点：顶点的变化.例2如图是某次运动会开幕式点燃火炬时的示意图，发射台OA的高度为2m，火炬的高度为12m,距发射台OA的水平距离为20m,在A处的发射装置向目标C发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为抛物线形，当火球运动到距地面最大高度20m时，相应的水平距离为12m.请你判断该火球能否点燃目标C？并说明理由.【分析】建立适当直角坐标系,构建二次函数解析式,然后分析判断.解:该火球能点燃目标.如图,以OB所在直线为R轴，OA所在直线为R轴建立直角坐标系，则点（12，20）为抛物线顶点，设解析式为R=a(R-12)2+20,∵点（0，2）在图象上，∴144a+20=2,∴a=-18,∴R=-18(R-12)2+20.当R=20时，R=-18×(20-12)2+20=12,即抛物线过点（20,12),∴该火球能点燃目标.【教学说明】二次函数R=a(R-h)2+k的应用关键是构造出二次函数模型.四、运用新知，深化理解1.若抛物线R=-7(R+4)2-1平移得到R=-7R2,则必须（）A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D.先向右平移1个单位，再向上平移4个单位2.抛物线R=R2-4与R轴交于B,C两点，顶点为A，则△ABC的周长为（）A.45B.45+4C.12D.25+43.函数R=aR2-a与R=aR-a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是（）4.二次函数R=-2R2+6的图象的对称轴是，顶点坐标是，当R 时，R随R的增大而增大.5.已知函数R=aR2+c的图象与函数R=-3R2-2的图象关于R轴对称，则a= ,c= .6.把抛物线R=(R-1)2沿R轴向上或向下平移，所得抛物线经过Q（3，0），求平移后抛物线的解析式.【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，教师引导解疑.【答案】1.B2.B3.C4.R轴，（0，6），＜05.3,26.R=(R-1)2-4五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？2.在学生回答的基础上，教师点评：①二次函数R=a(R-h)2+k的图象与性质；②如何由抛物线R=aR2平移得到抛物线R=a(R-h)2+k.【教学说明】教师应引导学生自主小结，加深理解掌握R=aR2与R=a(R-h)2+k二者图象的位置关系.1.教材P15第1~3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.掌握函数R=aR2,R=a(R-h)2,R=a(R-h)2+k图象的变化关系，从而体会由简单到复杂的认识规律.第5课时二次函数R=aR2+bR+c的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画二次函数R=aR2+bR+c的图象.2.会用配方法求抛物线R=aR2+bR+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、R随R的增减性.3.能通过配方求出二次函数R=aR2+bR+c(a≠0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值.【过程与方法】1.经历探索二次函数R=aR2+bR+c(a≠0)的图象的作法和性质的过程，体会建立二次函数R=aR2+bR+c(a≠0)对称轴和顶点坐标公式的必要性.2.在学习R=aR2+bR+c(a≠0)的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想. 【情感态度】进一步体会由特殊到一般的化归思想,形成积极参与数学活动的意识.【教学重点】①用配方法求R=aR2+bR+c的顶点坐标；②会用描点法画R=aR2+bR+c 的图象并能说出图象的性质.【教学难点】能利用二次函数R=aR2+bR+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通过对称性画出二次函数R=aR2+bR+c(a≠0)的图象.一、情境导入，初步认识请同学们完成下列问题.1.把二次函数R=-2R2+6R-1化成R=a(R-h)2+k的形式.2.写出二次函数R=-2R2+6R-1的开口方向，对称轴及顶点坐标.3.画R=-2R2+6R-1的图象.4.抛物线R=-2R2如何平移得到R=-2R2+6R-1的图象.5.二次函数R=-2R 2+6R-1的R 随R 的增减性如何？【教学说明】上述问题教师应放手引导学生逐一完成，从而领会R=aR 2+bR+c 与R=a(R-h)2+k 的转化过程.二、思考探究，获取新知探究1如何画R=aR 2+bR+c 图象，你可以归纳为哪几步？学生回答、教师点评：一般分为三步：1.先用配方法求出R=aR 2+bR+c 的对称轴和顶点坐标.2.列表,描点,连线画出对称轴右边的部分图象.3.利用对称点,画出对称轴左边的部分图象.探究2二次函数R=aR 2+bR+c 图象的性质有哪些？你能试着归纳吗？学生回答，教师点评：抛物线R=aR 2+bR+c=224()24b ac b a x a a -++,对称轴为R=-2b a,顶点坐标为(-2b a ,244ac b a -),当a ＞0时，若R ＞-2b a ，R 随R 增大而增大，若R ＜-2b a ，R 随R 的增大而减小；当a ＜0时，若R ＞-2b a ，R 随R 的增大而减小，若R<-2b a，R 随R 的增大而增大. 探究3二次函数R=aR 2+bR+c 在什么情况下有最大值，什么情况下有最小值，如何确定？学生回答，教师点评：三、典例精析，掌握新知例1将下列二次函数写成顶点式R=a(R-h)2+k 的形式，并写出其开口方向，顶点坐标，对称轴.R2-3R+21②R=-3R2-18R-22①R=14R2-3R+21解：①R=14=1(R2-12R)+214=1(R2-12R+36-36)+214(R-6)2+12.=14∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为（6，12），对称轴是R=6.②R=-3R2-18R-22=-3(R2+6R)-22=-3(R2+6R+9-9)-22=-3(R+3)2+5.∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为（-3,5)，对称轴是R=-3.【教学说明】第②小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解.例2用总长为60m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？①S与l有何函数关系？②举一例说明S随l的变化而变化?③怎样求S的最大值呢?解:S=l(30-l)=-l2+30l(0＜l＜30)=-(l2-30l)=-(l-15)2+225画出此函数的图象，如图.∴l=15时，场地的面积S最大（S的最大值为225)【教学说明】二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分.四、运用新知，深化理解1.（北京中考）抛物线R=R2-6R+5的顶点坐标为（）A.(3,-4)B.(3,4)C.(-3,-4)D.(-3,4)2.（贵州贵阳中考）已知二次函数R=aR2+bR+c(a ＜0)的图象如图所示，当-5≤R≤0时，下列说法正确的是（）A.有最小值5、最大值0B.有最小值-3、最大值6C.有最小值0、最大值6D.有最小值2、最大值63.如图，二次函数R=aR2+bR+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与R轴相交于负半轴.(1)给出四个结论：①a＞0;②b＞0;③c＞0；④a+b+c=0.其中正确结论的序号是 .(2)给出四个结论:①abc＜0;②2a+b＞0;③a+c=1;④a＞1.其中正确结论的序号是 .【教学说明】通过练习,巩固掌握R=aR2+bR+c的图象和性质.【答案】1.A2.B3.(1)①④(2)②③④五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答的基础上，教师点评：（1）用配方法求二次R=aR2+bR+c的顶点坐标、对称轴；（2）由R=aR2+bR+c的图象判断与a,b,c有关代数式的值的正负；（3）实际问题中自变量取值范围及函数最值.1.教材P15第1~3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.R=aR2+bR+c的图象和性质可以看作是R=aR2,R=a(R-h)2+k，R=a(R-h)2+k的图象和性质的归纳与综合，让学生初步体会由简单到复杂，由特殊到一般的认识规律.R1.3不共线三点确定二次函数的表达式【知识与技能】1.掌握用待定系数法列方程组求二次函数解析式.2.由已知条件的特点,灵活选择二次函数的三种形式，合适地设置函数解析式,可使计算过程简便.【过程与方法】通过例题讲解使学生初步掌握,用待定系数法求二次函数的解析式.【情感态度】通过本节教学,激发学生探究问题,解决问题的能力.。

九年级数学下册《二次函数的一般应用》教案、教学设计

（五）总结归纳
在课堂的最后，我会引导学生对本节课的知识点进行总结归纳。首先，让学生回顾二次函数的定义、一般形式、顶点式及其性质。然后，让学生谈谈在解决实际问题中，如何运用二次函数的知识，并分享自己的学习心得。
最后，我会对本节课的重点、难点进行强调，并对学生在课堂上的表现给予肯定和鼓励，激发学生学习数学的兴趣，为下一节课的学习打下基础。
（四）课堂练习
在这一环节，我会设计几道具有代表性的练习题，让学生独立完成。练习题包括以下类型：
1.求解二次函数的顶点、对称轴、开口方向等基本性质；
2.利用顶点式求解实际问题的最值；
3.结合二次方程、不等式知识，解决综合性问题。
我会要求学生在规定时间内完成练习，并及时给予反馈，针对学生存在的问题进行讲解，巩固所学知识。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：二次函数的一般形式及其性质，二次函数在实际问题中的应用。
2.难点：将实际问题转化为二次函数模型，运用数形结合方法解决最值问题，以及顶点式的灵活运用。
（二）教学设想
1.教学方法：
-采用情境教学法，设计贴近生活的实际问题，引导学生从实际问题中发现二次函数的模型；
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的概念和性质有了一定的了解，但在实际应用方面尚存在一定的困难。此时，他们正处于思维逐渐由具体向抽象过渡的阶段，对数学问题的理解和解决能力有待提高。因此，在本章节的教学中，应关注以下学情：
1.学生对二次函数的一般形式和顶点式的掌握程度，以及能否灵活运用这些知识解决实际问题；
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，培养学生的独立思考和解决问题的能力，特布置以下作业：
1.请同学们完成课本第56页的练习题第1、2、3题。这些题目主要考察对二次函数基本性质的理解和运用，希望同学们能够通过解题，加深对二次函数图像和性质的认识。

湘教版数学九年级下册1.5《二次函数的应用》说课稿

湘教版数学九年级下册1.5《二次函数的应用》说课稿一. 教材分析湘教版数学九年级下册1.5《二次函数的应用》这一节，主要让学生掌握二次函数在实际生活中的应用。

教材通过生活中的实例，引导学生理解二次函数的图像和性质，以及如何利用二次函数解决实际问题。

教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握二次函数的应用。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本概念和性质，对二次函数有一定的认识。

但是，学生对二次函数在实际生活中的应用可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我将会注重引导学生将理论知识与实际生活相结合，提高他们解决实际问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数在实际生活中的应用，能够运用二次函数解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识分析和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数在实际生活中的应用。

2.教学难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，以及如何利用二次函数解决实际问题。

五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题，掌握二次函数的应用。

2.教学手段：利用多媒体课件，展示二次函数的图像和实际问题的情境，帮助学生更好地理解和应用。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入二次函数的应用。

2.讲解新课：讲解二次函数在实际生活中的应用，引导学生理解二次函数的图像和性质。

3.实践操作：让学生分组讨论，解决一些实际的二次函数问题。

4.总结提升：对二次函数的应用进行总结，引导学生理解二次函数的实际意义。

5.布置作业：布置一些有关的练习题，巩固所学知识。

七. 说板书设计板书设计主要包括二次函数的图像、性质和实际应用。

通过板书，让学生清晰地了解二次函数在实际生活中的应用。

八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、作业完成情况和实践操作来进行。

九年级数学下册《二次函数的图像与性质(3)》教学教案(湘教版)

九年级数学下册《二次函数的图像与性质（3）》教学教案（湘教版）一、教学目标1.掌握二次函数图像的开口方向和对称轴的性质。

2.理解二次函数图像与二次函数的系数之间的关系。

3.能够利用二次函数图像的性质解决实际问题。

4.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

二、教学重点1.二次函数图像的开口方向和对称轴的性质。

2.二次函数图像与二次函数系数之间的关系。

三、教学内容本节课主要教授九年级数学下册《二次函数的图像与性质（3）》教材内容，包括以下几个方面：1.复习和总结二次函数图像的基本性质。

2.介绍二次函数图像的开口方向和对称轴的性质，并通过例题进行讲解。

3.分析二次函数系数与图像的关系，引导学生探索二次函数系数对图像的影响。

4.给学生布置作业，巩固所学知识。

四、教学过程1. 复习与导入（15分钟）•复习上节课所学的二次函数图像的基本性质，包括开口方向、对称轴和顶点等。

•引导学生回忆如何确定二次函数图像的开口方向和对称轴。

•提问学生：二次函数的图像是否一定是抛物线？为什么？2. 讲解开口方向和对称轴的性质（20分钟）•通过示意图展示二次函数图像的不同开口方向，并解释不同开口方向的特点。

•介绍二次函数图像的对称轴，并解释如何确定对称轴的表达式。

•通过例题讲解如何利用开口方向和对称轴的性质绘制二次函数图像。

3. 探究二次函数系数与图像的关系（30分钟）•引导学生观察二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c。

•通过调整a、b、c的值，观察图像的变化，并总结a、b、c与图像的关系。

•引导学生发现二次函数系数a、b、c与图像的对称轴、顶点、开口方向等之间的联系。

4. 练习和作业布置（15分钟）•给学生分发练习题，包括填空题、选择题和解答题，巩固所学知识。

•布置作业：要求学生利用所学知识，解决实际问题，绘制对应的二次函数图像，并简要说明解题过程。

五、教学反思通过本节课的教学，学生掌握了二次函数图像的开口方向和对称轴的性质，理解了二次函数系数与图像的关系，并通过例题和练习巩固了所学知识。

九年级下册《二次函数的图像与性质(3)》(湘教版)数学教案

九年级下册《二次函数的图像与性质（3）》（湘教
版）数学教案
标题：九年级下册《二次函数的图像与性质（3）》数学教案
一、教学目标
1. 知识与技能：掌握二次函数的基本性质，能够熟练地画出二次函数的图像，并通过图像理解二次函数的性质。

2. 过程与方法：通过观察、分析和实践，让学生体验从具体到抽象，从特殊到一般的认知过程，培养学生的数形结合思想。

3. 情感态度与价值观：培养学生认真细致的学习态度，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重难点
重点：理解和掌握二次函数的图像及其性质。

难点：如何通过图像理解二次函数的性质。

三、教学过程
1. 导入新课：复习上节课的内容，引入二次函数的概念，提出本节课要学习的内容。

2. 新课讲解：
(1) 介绍二次函数的一般形式y=ax²+bx+c(a≠0)，并解释每个系数的意义。

(2) 讲解二次函数的图像是抛物线，以及抛物线的开口方向、对称轴、顶点等基本概念。

(3) 通过具体的例子，演示如何画出二次函数的图像，并通过图像解释二次函数的性质。

3. 学生活动：组织学生进行小组活动，让他们自己动手画出几个二次函数的图像，并通过图像找出这些函数的性质。

4. 课堂总结：回顾本节课所学的内容，强调二次函数的图像和性质的重要性。

5. 布置作业：布置一些相关的习题，让学生在课后练习。

四、教学反思
在教学过程中，要注意引导学生主动参与，鼓励他们提问和讨论，提高他们的学习积极性。

同时，也要注意关注学生的反馈，及时调整教学方法和节奏，确保每个学生都能理解和掌握二次函数的图像和性质。

湘教版数学九下二次函数的应用3

九年级数学下册二次函数的应用教案三湘教版教学目标1．经历利用二次函数解决实际问题的进程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，进展解决问题的能力.3．体会数学与人类社会的紧密联系，了解数学的价值．增进对数学的明白得和学好数学的信心．4．熟悉到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对增进社会进步和进展人类理性精神的作用重点与难点能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，进展解决问题的能力．一、切躯体会数学的美欣赏生活中抛物线的图片，回忆二次函数的有关知识。

图1 图2 图3 图4二、切身经历生活中的数学1.求二次函数y=-100x2+100x+200的最值？（学生板演，同桌检查，相互帮忙）生活化，能够相互讨论一下！2.如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.依照图4中的直角坐标系,左面的一条抛物线能够用y=²++10表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称⑴钢缆的最低点到桥面的距离是-----，⑵两条钢缆最低点之间的距离是---(3)右边的抛物线解析式是-----3.如上图2是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下，若是喷头所在处A （0，），水流线路最高处B （1，），则该抛物线的解析式为____________若是不考虑其他因素，那么水池的半径至少要____米，才能使喷出的水流不致落到池外。

请问：解决一个一般的二次函数的最值问题与实际问题中的最值问题最大的区别在哪里?4、得出解这种题的一样步骤：（1）列出二次函数的解析式，并依照自变量的实际意义，确信自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。

五、数学问题生活化：用8 m 长的铝合金型材做一个形状如图7所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？六、数学问题生活化例1.如图窗户边框的上部份是由4个全等扇形组成的半圆，下部份是矩形。

湘教版九年级下2.3 二次函数的应用

二次函数的应用【知识要点】运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先用应当求出函数解析式和自变量的取值范围，求得的最大值或最小值对用的字变量的值必须在自变量的取值范围内. 课内同步精练●A 组基础练习1. 二次函数y=x 2－3x －4的顶点坐标是 , 对称轴是直线，与x 轴的交点是，当x= 时，y 有最，是 .2. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 的符号是，b 的符号是，c 的符号是 .当x 时， y ＞0，当x 时，y=0,当x 时，y < 0 .3.若二次函数y=mx 2－3x+2m －m 2的图象经过原点，则m 的值是（）A .1 B. 0 C. 2 D. 0或24. 下列各图中有可能是函数y=ax 2+c,(0,0)a y a c x=≠>的图象是（）●B 组提高训练5. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系y=－+ +43（0≤x≤30）.y 值越大，表示接受能力越强．(l) x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)某同学思考10分钟后提出概念，他的接受能力是多少？(3)学生思考多少时间后再提出概念，其接受能力最强？课外拓展练习●A 组基础练习1. 抛物线y=ax 2+bx ，当a>0,b<0时，它的图象象经过第象限.2. 抛物线y=2x 2+4x 与x 轴的交点坐标分别是A( ),B( ).3. 已知二次函数y=－x 2+mx+2的最大值为94，则m= ． 4. 正方形边长为 2 ，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与二的函数关系式 .5. 二次函数y=4x 2－x+1的图象与x 轴的交点个数是（）A. l 个个 C. l 个 D.无法确定6. 已知二次函数y=x 2－4x －5，若y>0,则（）A . x>5 B.－l ＜x ＜5 C. x>5或x ＜－1 D. x>1或2x<－5●B 组提高训练7. 学开车的人不仅需要熟悉交通规则、掌握驾驶要领，还要掌握为使车子停止前进而刹车后汽车继续滑行的距离．资料显示，当路况良好、路面于燥时，刹车后汽车滑行的距离与车速之间的对应关系如表所示：(1)绘制汽车滑行的距离s （单位：m ）相对于车速v （单位：km/h ）的图象．(2)证明汽车滑行的距离s （单位：m ）及车速v （单位： km / h ）之间有如下的关系： 23316512s v v =+ (3)利用以上信息估计上表所未填出的车速及所对应的汽车滑行的距离．(4)在路况不良时，表中的滑行距离须分别修正为 45, 72, 105, 144及189m ，在这种情况下，(2)中的函数关系应如何调整？。