基本不等式应用技巧之高级篇

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基本不等式的几种应用技巧

（１）各项必须为正值
（２）含变量的各项和或积必须为定值（３）必须有自变量值能使函数值取到“=”号
“一正,二定,三相等”
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基本不等式的几种应用技巧
题型一：基本不等式的直接应用
例１已知 x, y R xy的最大值为 ________。

x y ，且满足＝１，则３４
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基本不等式的几种应用技巧
6 6 2 解 : y 3x 2 ＝３ x １ 2 ３二定 x 1 x 1 6 2 x １ x 2 1 ３＝６２３２３ 6 2 当且仅当３ x １ 2 时，等号成立 x 1
2

ห้องสมุดไป่ตู้

即ymin ６２３
2
成立，故原函数的值域为２５５，
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基本不等式的几种应用技巧
题型四：“１”的整体代换
1 １例４.已知 x, y R , 若2 x y 1,求的最小值 x y 解 x 0，y 0 错因：解答中两次： 1 2 x y 2 2 xy
当且仅当sin 等号成立.
2 2
2时，
2 时，即sin sin
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基本不等式的几种应用技巧
又0 sin 1,原函数不能取最小值 2 2.
2 的单调性么？ y t 在0,1上单调递减， t
当 t 1 时，即sin 1, y有最小值 .
1 1 １１正解： 2x y x y x y
y 2x 3 3 2 2 x y
“1”代换法

不等式的应用解题方法与技巧

不等式的应用解题方法与技巧解不等式的问题需要掌握一些基本的数学知识，以下是一些解决不等式问题的方法和技巧：
1. 熟悉基本概念：理解不等式的基本定义，知道什么是大于、小于、等于以及他们的符号表示。

此外，还要了解绝对值、平方根等基本数学概念。

2. 掌握求解步骤：一般情况下，求解一个不等式需要先移项，再化简，最后确定解集。

在移项时要注意变号，在化简时要灵活运用乘法分配律等基础知识。

3. 注意系数正负：在移项过程中，如果某个项的系数为负，那么这个项就需要改变符号。

因此，注意每个项的系数是正还是负是非常重要的。

4. 能够识别图形：有时不等式的问题会转化为几何问题，这时能够识别直角坐标系中的直线、圆、抛物线等各种图形是非常有用的。

5. 利用特殊值检验：当无法直接求出解集时，可以尝试使用特殊值来检验答案是否正确。

比如，对于形如ax + b > 0的不等式，可以尝试取x = -b/a看看是否满足不等式。

6. 不断练习：解决不等式问题需要一定的技巧和经验，多做题目可以帮助你更好地理解和熟练这些技巧。

(高级篇)基本不等式及其应用

基本不等式及其应用一、待定系数法1、设,,(0,)x y z ∈+∝，且222541x y z ++=，则+xy yz 的范围是．解析：设22221=(5)4x ty t y z ++-+≥+，∵ xy 与yz 系数相同)4t =⇒=，∴ 144xy yz ≥+1xy yz +≤，∴ 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==222244zy y x ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===29210252z y x 时等号成立．即28t ≤，解得2222≤≤-t ．所以+a b 的范围是]22,22[-．2、设0x y z >、、，则222+223xy yzx y z ++的范围是．解析：2222+(2)3x ty t y z +-+≥+，12，解得76=t，故2222+232)x y z xy yz +≥+，所以222max+223xy yzx y z =++ 小结：同时三个（或以上）变量的平方和为常数时，求两个变量乘积之和的最值时，可利用待定系数法将其中一个变量的系数进行拆分，然后利用基本不等式，配凑出变量系数之比等于所求变量系数之比，从而求出最值．二、柯西不等式1、已知+∈R y x ,，22=+y x ，则22y x x ++的最小值为．解析：58)2(545453])54()53)[((222222=+=++≥+++=++y x y x x y x x y x x ，当且仅当53=x ，54=y 时，等号成立．2、已知⎩⎨⎧≥--≤--03201y x y x ，)0,0(>>+=b a by ax z 最小值为52，则22b a +的最小值为____________．解析：由题意得)0,0(52>>=+b a b a ，设20)2()12)((22222=+≥++b a b a ，所以422≥+b a ，即22b a +的最小值为4．3、已知,,0a b c >，且1a b c ++=，则222(+1)+49a b c +的最小值是．解析：因为1a b c ++=，所以(+1)+2a b c +=，2222211[(+1)+49][1+()+()]23a b c +4)1(]313212)1[(22=+++=⨯+⨯++≥c b a c b a ，故222144(+1)+4949a b c +≥222(+1)+49a b c +的最小值是14449．三、权方和不等式1、已知1>a ，0>b ，若2=+b a 恒成立，则ba 211+-的最小值是________．解析：2231)21()2(11211222+=-++≥+-=+-b a b a b a ，当且仅当b a 211=-，即2=a ，22-=b 时取等号.2、设x 、y 是正实数，且1=+y x ，则2221y x x y +++的最小值是________．解析：222()12134y x y x x y x y ++≥=++++，当21y x x y =++，即2=x ，1=y 时，等号成立，∴ 2221y x x y +++的最小值是41.3、已知1>a 、1>b ，则2211ab b a +--的最小值是________．解析：令)0(2>=-+t t b a ，2222()(2)4=48112a b t a b t b a a b t t +++≥=++≥--+-当2211a b a b b a +-=⎧⎪⎨=⎪--⎩时，即2a =，2=b ，两个等号同时成立. 4、对任意实数1>x ，21>y ，不等式1)1(4)12(2222≥-+-x a y y a x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：min2221412⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-≤x y y x a ，设220x y t +-=>，则844)2(22)2(14122222≥++=+=-++≥-+-t t t t y x y x x y y x ，当⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+1212222x y y x y x 即2x =， 1=y ，两个等号同时成立.5、若正实数x ，y 满足1=+y x ，则1x +的最小值为________．解析：21(1)2(12)511114==112121212222224y y x x y x y x y x y x y --+++++=++-≥-=++++++ 当14222x y =+，即32=x ，13y =时等号成立，故121x x y ++的最小值45.6、若正实数x ，y 满足1=+y x ，则2281x y+的最小值为________．解析：33322222(12)8112=27()x y x y x y +++≥=+，当12x y =，即31=x ，23y =时等号成立，故2281x y +的最小值27.小结：在a 、b 、x 、y ＞0，y x b a y b x a ++≥+222)(，当yb x a =时等号成立，它是柯西不等式的变形．四、切线放缩法1、0>a ，0>b ，482=++b a ，则ba 13+的最小值为________．解析：21)(x x f +=在)3,1(处的切线为38+=x y ，可知)0(3882>+≥+x x x∴384++≥b a ，即43≤+b a ，4434322541434349)13(4313=⋅+≥+++=++≥+b a a b b a a b b a b a b a 当且仅当1==b a 时等号成立，ba 13+的最小值为4.2、若正实数x ，y 满足1=+y x ，则2281x y+的最小值为________．解析：∵21x y =在)9,31(处的切线2754+-=x y ，∴x x542712-≥，同理y y 545482-≥ 所以2281(2754)(5454)27x y x y+≥-+-=，当且仅当31=x ，32=y 时取等号．3、已知正实数x ，y 满足2215=-y x ，则2233y x y x --+的最小值是________．解析：设23)(x x x f -=在23=x 处的切线方程为 29415-=x y ，所以2941523-≥-x x x ，4)(223y y y y y y -≥-=-，所以129422294152233=-=--≥--+y x y x y x当且仅当 23=x ，21=y 时等号成立．五、放缩法1、若不等式C B C A B k sin sin 19sin sin sin 2>+对任意△ABC 都成立，则k 的最小值为________．解析：由正弦定理可得bc ac kb 192>+，则219bac bc k ->，由⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=--<-⇒->b c b c bc b c c c b c c b b c b ac b c c b a ,20)(,18)(||1919||2222当b c ≤时，1918)(2≤+bc b c当b c >时，10020)(2≤+-bc b c所以，100≤k .2、在△ABC 中，角A 、B 、C 分别为a 、b 、c ．若kbc ab c >+22，则实数k 的最大值是________．解析：ca b c bc ab c k +=+≤222，∵ c b a ->，所以1221222-≥-+=-+>+c b b c c c b b c c a b c ，所以122-≤k .3、若实数x 、y 、z 、t 满足100001≤≤≤≤≤t z y x ，则tz y x +的最小值是________．解析：5011000012100001=⋅≥+≥+yy y y tz y x ，易错提醒：50001100001100001=+≥+tz y x ，这个结果是不对的，矛盾出现在哪里呢？观察以下，已知条件100001≤≤≤≤≤t z y x ，不难发现当x 和z 取得最小值时，11≤≤y ，即1=y ，同理y 和t 取得最大值时，z 会等于10000，因为x 、z 和y 、t 交叉相等! 故先只对x 、t 放缩，tz y t z y x +≥+1，对于y 、z ，不妨研究z ，显然z 放缩到1时，则1=y ，z 的最小值为y ，所以5011000012100001=⋅≥+≥+yy y y t z y x .。

基本不等式最值解题技巧

基本不等式最值解题技巧
1、分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。

2、
基本不等式解题技巧得深入拓展——拼凑定和，拼凑定积，拼凑常数降幂，拼凑常数升幂，约分配凑，引入参数拼凑，引入对偶式拼凑，确立主元拼凑。

基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。

其表述为：两个正实数
的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

在采用基本不等式时，必须牢记“一正”“二定”“三成正比”的七字真言。

“一正”就是指两个式子都为正数，“二定”就是指应用领域基本不等式谋最值时，和或四维定值，“三成正比”就是指因且仅当两个式子成正比时，就可以挑等号。

两大技巧
“1”的妙用。

题目中如果发生了两个式子之和为常数，建议这两个式子的倒数之和
的最小值，通常用所求这个式子除以1，然后把1用前面的常数则表示出，并将两个式子
进行即可排序。

如果题目未知两个式子倒数之和为常数，谋两个式子之和的最小值，方法
同上。

调整系数。

有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是
很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。

基本不等式技巧总结

基本不等式技巧总结
以下是 6 条关于基本不等式技巧总结：
1. 嘿，你知道吗？利用基本不等式的时候要注意“一正二定三相等”啊！就像走路一样，得一步一步来。

比如说，要求 2x + 3/x（x>0）的最小值，咱就得先确定这都是正数，然后用基本不等式算出来，这不是小菜一碟嘛！
2. 哇塞，基本不等式有时候就像一把神奇的钥匙！你看啊，当碰到一些式子要找最值的时候，马上就想到它。

像给一个房间找最舒服的布置一样，咱得找对方法呀！比如求x² + 4 / x²（x ≠ 0）的最小值，用基本不等式不就轻
松搞定啦！
3. 哎呀呀，基本不等式的技巧可重要啦！就跟搭积木一样，得搭对了才稳。

好比要算 3x + 4 / (3x)（x>0）的最值，那咱就按照规则来，不就稳稳地得到答案啦，多有意思呀！
4. 嘿哟，基本不等式在解题中那可是大功臣呀！它能让复杂的式子变得简单明了。

就好比在迷雾中找到一条清晰的路。

像求(a + 1)(b + 1) / ab（a，
b>0）的最小值，用基本不等式一用，哇塞，答案一下子就出来了，神奇吧？
5. 哈哈，基本不等式的技巧简直绝了！就像战场上的秘密武器一样。

你想想，要算 5x + 9 / (5x)（x>0）的最小值，普通方法可能费劲，但是用基本不等式，那真是轻松加愉快呀！
6. 哇哦，可别小看基本不等式的技巧呀！这可是数学的宝贝呀！比如说，要让一块蛋糕怎么分最合理，基本不等式就能帮上大忙啦。

就像一把精准的尺子，量出最合适的答案呢！
我的观点结论就是：掌握好基本不等式的技巧，那解题真的会变得超有趣而且超高效呀！。

【高考数学解题指导】基本不等式应用技巧之高级篇

重难点突破：基本不等式4大应用9大技巧一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值典例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解析：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2，∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）技巧一：凑项例1. 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

高考数学：不等式高级水平必备

高考数学：不等式高级水平必备在高考数学中，不等式是考察学生数学思维和解决问题能力的重要部分。

不等式的解法和应用涉及到众多数学思想和技巧，比如转化思想、基本不等式、不等式的性质等。

因此，掌握不等式的高级水平是高考数学取得高分的必要条件之一。

基本不等式是高中数学中最重要的不等式之一，也是解决实际问题中经常用到的。

基本不等式主要涉及到算术平均数和几何平均数之间的关系，即“平均数大于等于几何平均数”。

在应用基本不等式时，需要注意等号成立的条件和取值范围。

例题：已知x>0，求(x + 1/x)的最小值。

解：由基本不等式可得，x + 1/x ≥ 2√(x × 1/x) = 2，当且仅当x = 1时取等号。

因此，(x + 1/x)的最小值为2。

不等式的性质是解决不等式问题的基石，包括传递性、可加性、可乘性等。

在解复杂的不等式时，常常需要通过变形将其转化为几个简单的不等式组，再分别解不等式组。

例题：解不等式(x - 1)(x + 2) > 0。

解：由不等式的可加性和可乘性可得，不等式(x - 1)(x + 2) > 0等价于两个简单的不等式组：①x - 1 > 0且x + 2 > 0；②x - 1 < 0且x + 2 < 0。

解得第一个不等式组的解集为x > 1，第二个不等式组的解集为x < -2。

因此，原不等式的解集为{x|x > 1或x < -2}。

绝对值不等式是高中数学中一个重要的不等式，它涉及到绝对值的性质和运算规则。

绝对值不等式的解法一般需要先去掉绝对值符号，再解不等式。

例题：解不等式|x - 3| < x - 1。

∣x−3∣=−(x−3)。

因此，原不等式等价于两个简单的不等式组：①x - 3 < x - 1；②- (x - 3) < x - 1。

解得第一个不等式组的解集为空集，第二个不等式组的解集为{x|x > 2}。

利用基本不等式求最值高一

利用基本不等式求最值的技巧注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

技巧二：凑系数例２. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

技巧三：分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

技巧四：换元技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x=+的单调性。

变式已知2>x ，求2632-+-=x x x y 的最小值. 例：求函数2y =练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈2．已知01x <<，求函数y =的最大值.；3．203x <<，求函数y =.条件求最值1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

2：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。

变式：（1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx 11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

基本不等式应用题解题技巧

基本不等式应用题解题技巧
1. 嘿，你知道不，遇到基本不等式应用题，咱得先看清题目呀！就像走路得先知道往哪儿走。

好比说，给你个例子，要建个篱笆围个矩形场地，一边靠墙，其他三边用篱笆，篱笆长度一定，问怎么围面积最大。

这时候是不是就得用基本不等式解题技巧啦？
2. 哎呀，一定要抓住关键信息呀！就像抓小偷得知道从哪儿下手。

比如说一个制作盒子的问题，给定材料面积，问怎么制作盒子容积最大。

这里面可藏着好多解题技巧要用起来呢！
3. 嘿呀，注意等量关系呀！这可太重要啦，就像开锁找对钥匙一样。

比如一道买东西算最值的题，总价不能超，问怎么买最合适。

不注意这些咋解题呢！
4. 哇塞，要合理设未知数啊！这可不能马虎，好比给自己选一件合适的衣服。

像那种两个数和一定求积最大的题目，设好未知数不就好解决多啦！
5. 哈哈，分类讨论也很关键呐！这就像走不同的路去目的地。

例如不同条件下用基本不等式求最值，那可得认真探讨呀！
6. 嘿，别忘了检查结果合不合理呀！可不能像没头苍蝇乱撞。

比如说算出来的边长不可能是负数之类的，一定得留意呀！
7. 哎哟喂，多做几道题练练手呀！不然技巧怎么能熟练运用呢。

像是那种生产产品数量和利润的问题，多做几遍不就熟了嘛！
8. 哇哦，和同学讨论讨论也很棒呀！三个臭皮匠还顶个诸葛亮呢！比如那道关于资源分配求最优的题，大家一起讨论肯定思路更广呀！
9. 总之，学会这些基本不等式应用题解题技巧，那解题就像囊中取物一样简单！咱可得好好掌握呀！。

高中不等式的解题方法与技巧

高中不等式的解题方法与技巧高中不等式是数学中的一个重要部分，它在数学竞赛和日常生活中都有广泛应用。

解决不等式问题需要掌握一些方法和技巧，下面将介绍一些常用的解题方法。

1. 移项法移项法是解决不等式问题最基本的方法之一。

当我们遇到一个不等式时，可以将其看做一个方程，然后通过移项使不等式符号变为相反的符号。

例如：2x + 5 > 7移项后得到：2x > 2x > 12. 合并同类项法合并同类项法是指将含有相同未知数的项合并在一起。

例如：3x + 5 > 4x - 1合并同类项后得到：x > -63. 因式分解法因式分解法是指将不等式中的多项式因式分解，并根据因子的正负性来确定未知数的取值范围。

例如：2x^2 - x - 3 > 0将其因式分解得到：(2x + 3)(x - 1) > 0由于两个因子都为二次函数，所以可以画出函数图像来确定未知数的取值范围。

4. 借助图像法借助图像法是指通过画出函数图像来确定未知数的取值范围。

例如：x^2 - 4x + 3 > 0将其转化为函数图像的形式，得到：从图像中可以看出，不等式的解为x < 1或x > 3。

5. 取绝对值法取绝对值法是指将不等式中的绝对值转化为两个不等式，并根据两个不等式的解来确定原不等式的解。

例如：|2x - 3| > 5将其转化为两个不等式，得到：2x - 3 > 5 或者 2x - 3 < -5解得：x > 4 或者 x < -1综合起来，原不等式的解为x < -1或者 x > 4。

以上是一些常用的高中不等式解题方法和技巧。

需要注意的是，在解决问题时要注意符号的变化和特殊情况。

同时，还需要多做题、多思考、多总结，才能够掌握这些方法和技巧，并在实际应用中灵活运用。

基本不等式十大解题技巧

基本不等式十大解题技巧
基本不等式是数学中的一个重要概念，也是高中数学中的重点和难点之一。

以下是基本不等式解题的十大技巧：
1. 均值不等式法：利用算术平均值与几何平均值的关系，将不等式中的变量转化为平均值的形式，然后利用均值不等式进行证明。

2. 柯西不等式法：利用柯西不等式，将不等式中的变量转化为乘积形式，然后利用柯西不等式进行证明。

3. 均值不等式的逆推法：利用均值不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为和的形式，然后利用均值不等式进行证明。

4. 几何平均值不等于算术平均值法：利用几何平均值与算术平均值的关系，将不等式中的变量转化为几何平均值的形式，然后利用不等式进行证明。

5. 利用三角不等式法：利用三角不等式，将不等式中的变量转化为三角形的三边长度，然后利用三角不等式进行证明。

6. 利用柯西不等式的逆推法：利用柯西不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为乘积形式，然后利用柯西不等式进行证明。

7. 利用平均不等式法：利用平均不等式，将不等式中的
变量转化为平均值的形式，然后利用不等式进行证明。

8. 利用柯西不等式法的逆推法：利用柯西不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为乘积形式，然后利用柯西不等式进行证明。

9. 利用均值不等式的逆推法：利用均值不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为和的形式，然后利用均值不等式进行证明。

10. 利用几何平均值不等于算术平均值法的逆推法：利用几何平均值与算术平均值的关系，将不等式中的变量转化为几何平均值的形式，然后利用不等式进行证明。

以上是基本不等式解题的十大技巧，掌握这些技巧可以帮助学生更好地理解和应用基本不等式。

基本不等式万能方法

基本不等式万能方法
1. 哎呀呀，你知道吗，基本不等式的万能方法之一就是观察呀！就像找宝藏一样去观察式子的特点。

比如说，给你个式子a+b≥2√ab，咱看看能
不能找到其中的 a 和 b 呀，然后利用这个方法巧妙解题，这多有意思呀！
2. 嘿，告诉你哦，凑数也是个超棒的办法呢！比如要证一个式子，咱就想办法把它凑成基本不等式的形式。

就好比搭积木，找到合适的那块拼上去，神奇不？像 x + 1/x，这不就能凑出可以用基本不等式的样子嘛！
3. 哇塞，还有变形呢！式子有时候就像个调皮的小孩子，得给它变变样子它才乖。

比如把式子进行恒等变形，让基本不等式能发挥作用。

就跟给小娃娃换装一样，变得合适了就能解决问题啦，好神奇呀！
4. 嘿呀，另外千万别忘了整体代换呀！这就像是给式子换了个“身份”。

比如已知某个整体的值，然后把式子用这个整体代换进去，精妙吧！就像用魔法把难题变简单啦！
5. 哈哈，还有构造呀！这就如同建筑师一样，根据条件构造出合适的式子来应用基本不等式。

想象一下，用智慧的双手搭建解题的桥梁，多带劲！
6. 哟呵，同向不等式相加也是一招呢！把几个同向的不等式加在一起，就能得出新的结论。

这就像把好多小糖果聚在一起变成大糖果一样，有趣极了！
7. 哇哦，主次元转换也是可以的呀！有时候换个角度看问题，把主元辅元换换，就能柳暗花明啦。

就像换个视角看世界，发现新的美好，厉害吧！
总的来说，基本不等式的万能方法真是丰富多彩呀，只要掌握了这些，解题就不在话下啦！。

基本不等式技巧窍门

基本不等式技巧窍门一、基本不等式的概念和基本类型1.算术平均数和几何平均数的不等式：即对于任意非负数a和b，有以下不等式成立：(a+b)/2 >= sqrt(ab)2.算术平均数和谐均值的不等式：即对于任意非负数a和b，有以下不等式成立：(a+b)/2 >= 2ab/(a+b)3.几何平均数和谐均值的不等式：即对于任意非负数a和b，有以下不等式成立：sqrt(ab) >= 2ab/(a+b)根据这些基本不等式，可以进一步推导一系列其他类型的不等式。

二、基本不等式的应用实例1.求函数的极值：当函数的取值范围为非负数时，可以通过基本不等式推导出函数的最大值或最小值。

2.解决几何问题：例如，求解三角形的最大面积或最短边长等问题时，可以利用基本不等式来推导和证明相关的不等式。

3.证明数学定理：基本不等式可以作为证明数学定理的重要工具，例如，证明柯西-施瓦茨不等式和霍尔德不等式等。

三、基本不等式的技巧和窍门1.设想数学模型：在使用基本不等式时，可以通过设想合适的数学模型来降低问题的复杂性，从而更容易利用基本不等式进行推导和证明。

2.利用对称性和等价变形：基本不等式通常具有对称性和等价变形的特点，可以根据这些特点对给定的问题进行适当的变形，从而使得不等式的应用更为简单和直观。

3.运用递归和数学归纳法：对于一些复杂的不等式问题，可以通过递归和数学归纳法的思想，将复杂问题分解为简单的基本情况，然后利用基本不等式进行递推和证明。

4.运用等比数列的性质：在一些涉及等比数列的不等式问题中，可以通过运用基本不等式的几何平均数和谐均值不等式来简化问题，从而得到更简洁的推导和证明过程。

总结起来，基本不等式是一种重要的数学工具，能够帮助解决各种求极值的问题。

在应用基本不等式时，需要灵活运用各种技巧和窍门，根据具体的问题和数学模型进行变形和推导。

通过学习和掌握基本不等式的应用，可以提高解决数学问题的能力和思维能力。

高中数学解题方法系列：用基本不等式求最值的4种策略

高中数学解题方法系列：用基本不等式求最值的 4 种策略基本不等式 a + b ≥ 2（ a > 0, b > 0 当且仅当a = b 时等号成立）是高中必修五《不等式》一章的重要内容之一，也是高考常考的重要知识点。

从本质上看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求取积的最值、和的最值当中，基本不等式将会焕发出强大的生命力，它将会是解决最值问题的强有力工具。

本文将结合几个实例谈谈运用基本不等式求最值的三大策略。

一、基本不等式的基础知识[1]基本不等式：如果a > 0, b > 0 ，则 a + b ≥ 2，当且仅当a = b 时等号成立。

在基本不等式的应用中，我们需要注意以下三点：“一正”： a 、b 是正数，这是利用基本不等式求最值的前提条件。

“二定”：当两正数的和a + b 是定值时，积ab 有最大值；当两正数的积ab 是定值时，和a + b 有最小值。

“三相等”： a = b 是a +b = 2的充要条件，所以多次使用基本不等式时，要注意等号成立的条件是否一致。

二、利用基本不等式求最值的四大策略策略一利用配凑法，构造可用基本不等式求最值的结构通过简单的配凑（凑系数或凑项）后，使原本与基本不等式结构不一致的式子，变为结构一致，再利用均值不等式求解最值。

题型一配凑系数例 1 设0 < x < 3 ，求函数 y = 4x (3 - 2x ) 的最大值。

2分析：因为4x + (3 - 2x ) = 3 + 2x 不是个定值，所以本题无法直接运用基本不等式ab ab ab⎪ ⎭求解。

但凑系数将 4 x 拆为2 ⋅ 2x 后可得到和2x + (3 - 2x) = 3 为定值，从而可利用基本不等式求其最大值。

解：因为0 <x <32，所以 3 - 2x > 0⎛2x + 3 - 2x ⎫2 9故y = 4x(3 - 2x) = 2 ⋅ 2x(3 - 2x) ≤ 2⎝ 2 ⎪=2当且仅当2x = 3 - 2x, 即x =3∈⎛0,3 ⎫时等号成立.所以原式的最大值为9.2⎪4 ⎝ 2 ⎭题型二配凑项1 配凑常数项例2 已知x <5，求函数y = 4x - 2 +414x -5的最大值。

基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧

基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧应用一:求最值例1:求下列函数的值域（1）y ＝3x ２+＼f(1,2ｘ 2) （2)y =x +错误!解：（1）ｙ=３x 2+错误!≥2错误!＝错误! ∴值域为[错误!,+∞）（2）当x >０时,ｙ＝x +错误!≥2错误!＝2;当ｘ＜0时， y =x +1x ＝ -（- x －１x）≤-2错误!＝-2∴值域为（-∞,-2]∪［2,+∞)解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。

解:因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->,11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-,即1x =时，上式等号成立，故当1x =时,max 1y =。

评注:本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数,使其积为定值。

技巧二:凑系数例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。

解析：由知,，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当,即x ＝2时取等号当x =２时,(82)y x x =-的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。

基本不等式的八种应用技巧

基本不等式的八种应用技巧1. 代入数值验证基本不等式可以通过代入具体数值进行验证。

选择适当的数值，将其代入不等式中，计算结果来判断不等式是否成立。

通过验证可以确认不等式是否正确，确定不等式的适用范围。

2. 不等式的加减运算规则基本不等式在加减运算中有一些特殊规则，可以简化计算过程。

例如，不等式两边同时加上或减去一个相同的数值，不等式的关系不变。

对于复杂的不等式，通过使用加减运算规则可以简化计算。

3. 不等式的乘除运算规则基本不等式在乘除运算中也有一些特殊规则，可以简化计算。

例如，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等式的关系不变；但是如果乘以或除以一个负数，则不等式的关系会发生改变。

熟练运用乘除运算规则可以有效处理复杂的不等式。

4. 不等式的倒数规则当基本不等式中的数值取倒数时，不等式的关系会发生改变。

原来大于的不等式变为小于，原来小于的不等式变为大于。

这一规则在处理负数或分数时尤为重要，需要注意倒数规则的运用。

5. 不等式的平方规则基本不等式的平方规则指的是取平方后不等式的关系会发生改变。

当不等式中的数值为正数时，取平方后不等式的关系保持不变；但是当不等式中的数值为负数时，取平方后不等式的关系会发生反转。

在处理含有平方的不等式时需要注意平方规则的运用。

6. 不等式的绝对值规则当基本不等式中出现绝对值时，需要根据绝对值的定义来处理。

根据绝对值的性质，可以将不等式分解为两个不等式来求解。

绝对值规则在处理含有绝对值的不等式时非常有用。

7. 不等式的开方规则当不等式中的数值开方后，不等式的关系可能会发生改变。

对于正数，开方不改变不等式的关系；但是对于负数，则需要特殊处理。

通过熟练掌握开方规则，可以更好地处理带有开方的不等式。

8. 不等式的数轴表示将不等式用数轴表示可以更直观地理解不等式的解集。

通过在数轴上绘制有向线段表示不等式的解集，可以更清晰地描述不等式的范围和解的情况。

数轴表示在不等式的可视化方面起到重要作用。

专题2.1 基本不等式的应用技巧(解析版)

专题2.1 基本不等式的应用技巧(解析版)基本不等式的应用技巧基本不等式是数学中常见的一种重要工具，通过它可以解决各种问题。

本文将介绍一些基本不等式的应用技巧，并通过解析版的方式进行具体分析。

1. 不等式的加减变形不等式的加减变形是不等式求解中常用的技巧。

通过对不等式两边同时加减同一个数，可以改变不等式的形式，从而更好地进行化简和求解。

例如，对于不等式 a + x < b，我们可以通过减去 a 并加上负数 x，得到 x < b - a。

这样，原不等式就被转化为一个更简单的形式，使得求解变得更加容易。

2. 不等式的乘除变形和加减变形类似，不等式的乘除变形也是常见的求解技巧之一。

通过对不等式两边同时乘除同一个数（要求该数不为0），可以改变不等式的方向以及取值范围。

例如，对于不等式 a/x > b，若 a 和 b 均为正数，我们可以将不等式两边同时乘以正数 x，得到 a > b*x。

这样，原不等式的方向被颠倒，变为大于号，并且取值范围也随之改变。

3. 绝对值不等式的应用绝对值不等式是基本不等式中的一个重要分支。

它关注的是具有绝对值符号的不等式，需要特别注意其取值范围的变化。

例如，对于不等式 |x - a| < b，我们可以通过分情况讨论来解决。

当x - a > 0 时，原不等式可以简化为 x - a < b；当 x - a < 0 时，原不等式可以简化为 a - x < b。

通过进一步化简和求解，可以得到不等式的解集。

4. 不等式的应用实例分析接下来，我们通过一个具体实例来进行不等式的应用分析。

假设有一条长为 20m 的绳子，要将其分成两段，其中一段的长度是另一段的3倍。

我们需要求解这两段绳子的长度。

设绳子的一段长度为 x，则另一段长度为 3x。

根据题意，我们可以得到以下不等式：x + 3x = 20，即 4x = 20。

通过解方程，可得 x = 5，因此一段绳子的长度是 5m，另一段绳子的长度是 15m。

运用基本不等式的一个规则和四个技巧

运用基本不等式的一个规则和四个技巧基本不等式是数学中常用的一个重要的不等式方法，它在解决各种不等式问题中起到了重要的作用。

下面我将介绍基本不等式中的一个规则和四个技巧，并给出一些用它们解决问题的例子。

1.规则：基本不等式的一个重要规则是，如果a>b，则a^2>b^2、也就是说，两个正数（或两个负数）之间的大小关系在平方后仍然成立。

这个规则的一个应用是在解决含有平方项的不等式时，通过平方化的转化，简化不等式的计算过程。

例如，要求解不等式x^2-5x+6>0，我们可以将不等式的两边同时平方，得到(x-3)(x-2)>0。

根据规则，我们知道(x-3)(x-2)大于零的条件是x-3和x-2要么都大于零，要么都小于零。

因此，不等式的解集是x<2或x>32.技巧一：取平方根如果两个正数（或两个负数）之间的大小关系在平方后仍然成立，则在开根号后仍然成立。

这个技巧在解决含有根号的不等式时非常有用。

例如，要求解不等式√(x-2)>3，我们可以将不等式两边都平方，得到x-2>9、然后，我们可以把9移到不等式的右边，得到x>113.技巧二：分解将不等式进行分解，可以将原问题简化为多个小问题，并从中得到更多的信息。

例如，要求解不等式x^2-5x+4≤0，我们可以将不等式进行分解，得到(x-4)(x-1)≤0。

根据不等式的性质，我们知道(x-4)(x-1)小于等于零的条件是x-4和x-1要么都小于等于零，要么都大于等于零。

因此，不等式的解集是1≤x≤44.技巧三：配方对于一些特定的不等式，可以通过配方的方法，将不等式变换成更简单的形式。

例如，要求解不等式x^2-8x+16≥0，我们可以通过配方将其变为(x-4)^2≥0。

根据不等式的性质，我们知道(x-4)^2大于等于零的条件是(x-4)大于等于零。

因此，不等式的解集是x≥45.技巧四：取倒数对于一些正数，其倒数的大小关系与它本身的大小关系是相反的。

基本不等式的高阶形式

基本不等式的高阶形式1. 基本不等式的简单介绍大家好，今天咱们来聊聊一个看似有点严肃，但其实可以说得轻松愉快的话题——基本不等式，尤其是它的高阶形式。

听起来是不是有点高大上？别担心，我会尽量用简单易懂的语言带大家走进这个数学的小世界。

说到基本不等式，咱们就像在玩一个数学游戏，能让我们用简单的数值得到一些很有意思的结论。

就好比你在逛超市，发现一件原价100块的衣服，现在只要80块，哇，省下的钱可不少，这就是一种“实惠”的感觉。

1.1 基本不等式的含义那么，基本不等式到底是个啥呢？简单来说，它告诉我们，在一些特定的条件下，某些数字的关系是有规律可循的。

比如说，如果你有几个数，它们的平均值总是大于或等于它们的几何平均值。

这听起来有点复杂，但换个角度想想，大家都知道，平常生活中，总有一些“鸡蛋不能放在一个篮子里”的道理，对吧？所以，这个不等式就像一个聪明的朋友，提醒你要多考虑不同的可能性。

1.2 不等式的日常应用其实，这个不等式在我们生活中的应用可多了。

例如，想想你在做饭时，食材的搭配。

为了让菜肴更加美味，你可能会用到不同的调味料。

而不等式就像那道理：在选择调味料时，某些组合的“平均味道”总是比单一调料要好，听起来是不是很有道理？所以，有时在生活中，你只要稍微注意一下，就能发现这些“数学”的影子无处不在。

2. 高阶形式的探讨接下来，我们要进入一个更有趣的环节，就是基本不等式的高阶形式。

别紧张，就像爬山一样，前面的路有点陡峭，但只要一步一步来，绝对不会迷路的。

高阶形式的基本不等式其实就是在原来的基础上，给了我们更多的“玩法”。

它就像是一个升级版的游戏，让你可以用更复杂的方式来处理数据。

2.1 高阶不等式的特点高阶形式的基本不等式就像一个超级英雄，具有更强的能力。

比如，咱们可以对多个数进行组合，得出更加精准的结论。

在生活中，很多时候，我们面临的不仅仅是两个数字的选择，而是更多的数字在一起时的比较。

就像在篮球比赛中，你需要考虑的不仅是每个球员的得分，还要看整体的配合和团队的默契。