数学建模麻将问题

B 题 麻将问题

摘要

麻将，又名麻雀牌，三种基础花色的名字叫做“万、条、筒”。在中国麻将

竞赛规则下，本题主要通过玩家和牌情况，推断其牌型即为“见万就和”的极致

牌型问题。

至于问题一，玩家牌型的问题。我们在尽量简化麻将模型与本题的契合度的

情况下，在去除掉麻将繁琐的牌数及规则以后，运用集合及逐步分析的方法，借

鉴常微分方程中picard 逐步逼近法的证明方法，通过引理及定理的证明，从而建

立了非常简单的C B A +=的集合模型，并在我们模型的条件下找到了适合的5

种解。

9}6,7,8,9,9,1,2,3,4,5,,1,{11=C ；

8}6,6,6,6,7,1,2,3,4,5,,1,{12=C ；

,9,9,9},4,5,6,7,8{2,3,4,4,43=C ；

,6,7,8},4,5,6,6,6{2,3,4,4,44=C ；

}8,7,7,7,7,6,5,4,3,3,3,3,2{5=C 。

至于问题二：玩家牌型的唯一性问题，在借鉴了问题一中得数学模型及牌型解得

情况下，通过麻将规则及本题的和牌规则验证了5组解得合理性及可实现性，我

们得到了玩家唯一的牌型9}6,7,8,9,9,1,2,3,4,5,

,1,{11=C ，即满足题意的玩家牌型是唯一的，术语：九莲宝灯。

关键词：九莲宝灯，见万就和，数学建模麻将问题，逐步分析法。

一个麻将玩家手中的牌，使得他摸到或吃到任何一张“万”牌都和。问这个

玩家手里是什么牌？要求给出算法，并考虑唯一性的问题。不能光给答案。

根据中国麻将竞赛规则，筛选出来一定的牌，然后通过集合的笛卡尔积，根

据和牌的牌型，整理出可能的排列组合，然后对相关的组合进行验证，得出玩家

手中的牌。

通过反证法，证明牌型的唯一性问题。

二、模型假设

● 模型和牌的规则是建立在中国麻将竞赛规则的标准之上的。

● 通过相关资料的证明，本题中的相关数据与字牌及花牌没有联系，故模型中

不考虑东南西北中发白及花牌的影响，只考虑91-万、条、筒。

● 又万、条、筒的性质在本文中是等价的，则本文中仅以万为例来分析牌型。

● 模型中支持一杠多用，为了简化模型难度，从而假设文中不考虑明杠与暗杠。

● 模型过程中忽略了实际打牌过程中的总体大局的考虑。

三、符号约定

A ：9,9,9,9},2,1,1,2,2,2,,1,{1 =A 代表91-万共36张牌的集合。

B ：A 的子集，共23个元素。

C ：A 的子集，共13个元素，同时代表玩家未和牌时的牌型。

n ：代表介于3与7万之间的牌或3与7之间的整数。

S ：A 集合能够构成的所有1组13张万子解中缺少n 的某一个。

1S ：S 中所有满足大于1小于1-n 的牌的集合。

2S ：S 中所有满足大于1+n 小于9的牌的集合。

麻将，作为一种大众化的游戏，群众在玩乐时必定也会考虑它的社会责任等

影响，如它的公平性，是否会被不法份子利用，或对玩者心理造成恶性影响等。

经过各种资料的查询，本题用专业术语来讲称为“见万就和”或者叫做“九莲宝

灯”，我们首先对问题进行初步研究，在最理想的情况下——排出了人为因素的

影响，本文主要从它和牌的基本原理入手，尽量简化麻将模型，转化为数学集合

及排列组合的问题。

为能够较为容易地得到理想的，最能体现实际情况的结果，我们有必要从简

入繁，从易入难分析讨论。先忽略东南西北中发白以及花牌等因素，在不考虑万、

条、筒区别的情况下通过数学排列组合求出近似结果，然后再一一添加各类因素，

逐渐逼近理想结果。我们对问题进行更加深入地研究分析，通过对麻将规则的理

解及和牌形式的分析，我们简单的将麻将牌和其和牌看做三个集合的加减问题A

为麻将牌集，C B A +=,C 为玩家牌型共13张，B 为其补集，通过建立相应的排

列组合，从而求得C 的不同的取法。

五、模型的建立与求解

5.1.1模型的建立

中国麻将竞赛规则下的和牌的基本牌型 ：

（1）11、123、123、123、123

（2）11、123、123、123、111（1111）

（3）11、123、123、111、111（1111）

（4）11、123、111、111、111（1111）

（5）11、111、111、111、111（1111）

本题转化成等价的、抽象的数学问题：

集合9,9,9,9},2,1,1,2,2,2,,1,{1A =代表91-万共36张牌，C B A +=，子集B

有23个数字，子集C 有13个数字，要求B 的任何1个数字加上C 的13个数字

组成5群，1群是相同的2个数字，其余每群是相同的3个数字或者连续的3个

数字，试求C 有几种不同取法？（即)}

2,2,2(),2,2,2(),2,2,2(),2,2,2(),1,1{(1_=+B C 其中)1,1(表示相同的2个牌，)2,2,2(表示连续的3张牌或者3张相同的牌，此时

处于和牌的情况）

从常微分方程picard 逐步逼近法证明解的存在唯一性定理的基本原理中，比

对得出了此题的基本模型。从对两个引理的证明中，我们引出了一个定理的证明，

通过对定理的证明，我们得到了符合题目要求的C 的5个取法，然后运用实际理

论的验证，排除掉不合理的部分，从而得到了正确的玩家牌型。

5.1.2模型的求解

定义1：凡是符合麻将和牌问题的l3张万字牌称为1组解或称1组13张万

字解．

定义2：只差所需要的一张牌即能和牌的状态称为听牌，此时的解称为听解。

集合C 必然处于听牌状态。

关于13张万字听解对于1万～9万中任何1张都是和牌时发生的情况叙述如下（1万～9万分别用1-9数字来表示）：

和的牌 和牌时相对应的牌型

1 （1 1） （1 1 1） （1

2 3）

2 （2 2） （2 2 2） （1 2 3） （2

3 4）

3 （3 3） （3 3 3） （1 2 3） （2 3 4） （3

4 5）

4 （4 4） （4 4 4） （2 3 4） （3 4 5） （4

5 6）

5 （5 5） （5 5 5） （3 4 5） （4 5 6） （5

6 7）

6 （6 6） （6 6 6） （4 5 6） （5 6 7） （6

7 8）

7 （7 7） （7 7 7） （5 6 7） （6 7 8） （7 8 9）

8 （8 8） （8 8 8） （6 7 8） （7 8 9）

9 （9 9） （9 9 9） （7 8 9）

表格 1

以上所有不同情况共有3+4+5*5+4+3=39种，39种中有2*9+3*30=108张，

除去使得和牌的39张后，把剩下的69张按照牌名、出现次数进行统计(见下图)。

每张牌出现次数的平均值为

73

27969≥=，大于平均值的有3万，4万，5万，6万，7万，它们在麻将和牌问题中具有相对重要的权数，获得下述结果。

引理1 任何1组13张万字解都有3，4，5，6，7。（反证法） 证明：假设1组13张万子解中没有n 万()Z n n ∈≤≤,73,S 表示所有1组13

张万子解中缺少n 万的某一个。

由于缺少了n 万，所以n 前后将构不成连续的3张。故可以将1组13张万

子解分为两个集合1S 和2S 如下: