全等三角形三种证明方法经典例题

全等三角形经典例题

典型例题：

知识点一：全等三角形判定1

例1:如图，在厶AFD和厶EBC中，点A , E, F, C在同一直线上，有下面四个论断：(1)

AD = CB ; (2) AE = CF; ( 3) DF = BE ; (4) AD // BC。请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。

思路分析：

1) 题意分析：本题一方面考查证明题的条件和结论的关系，另一方面考查全等三角形判定1中的三边对应关系。

2) 解题思路：根据全等三角形判定 1 :三边对应相等的两个三角形全等。首先确定命题的条件为三边对应相等，而四个论断中有且只有三个条件与边有关，因此应把论断中的(1) (2) (3)作为条件，来证明论断(4)。在证明全等之前，要先证明三边分别对应相等。解答过程：

已知：如图，在△ AFD和厶EBC中，点 A , E, F, C在同一直线上，AD = CB , AE = CF, DF = BE。求证：AD // BC。

证明：•/ AE = CF

••• AE + EF = CF+ EF

••• AF = CE

在厶AFD和厶CEB中，

AD CB

'AF CE

DF BE

• △ AFD EBC (SSS)

•-Z A = Z C

• AD // BC

解题后的思考：在运用全等三角形判定1判断三角形全等时，一定要找准三边的对应关系，然后给出证明。

小结：本例题一方面考查了命题的书写与证明，另一方面通过本题的严格证明锻炼学生

的逻辑思维能力，进一步规范了三角形全等证明题的书写。

知识点二：全等三角形判定2

例2：已知：如图，0P是AOC和BOD的平分线，OA OC, OB OD。

求证：(〔)△ OAB OCD ; (2) AB CD。

F

思路分析：

1） 题意分析：本题主要考查全等三角形判定

2中的对应关系。

2） 解题思路：根据全等三角形判定 2 :两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 在证明三角形全等之前，要先证明两边及夹角分别对应相等。

解答过程：证明：（1）v OP 是 AOC 和 BOD 的平分线，

•••/ AOP = Z COP , / BOP =Z DOP

•••/ AOP -/ BOP =/ COP -/ DOP

•••/ AOB = / COD

在厶OAB 和厶OCD 中，

OA OC AOB COD OB OD

• △ OAB ◎△ OCD （ SAS ） （2）由（1）知厶OAB 也厶OCD • AB = CD

解题后的思考：在判断三角形全等时，一定要根据全等三角形判定 2，找准对应边和对

应角。

思路分析:

1） 题意分析：本题主要考查全等三角形判定 2的应用。

2） 解题思路：根据全等三角形判定 2 :两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 在证明三角形全等之前， 要先将用于证明三角形全等的条件准备好。 即如何由已知条件证明

出两边和一角相等，以及如何用上

AB //CD 这个条件。

解答过程： 连接BD •/ AB // CD • / 1=/ 2

在厶ADB 和厶CBD 中,

AB CD ABD CDB BD DB

例3:已知：如图,

AD = BC

•••△ADB ◎△ CBD （SAS）

••• AD = BC,Z ADB =Z CBD

• AD // BC

综上：AD // BC, AD = BC

解题后的思考：本题中证明三角形全等用到了公共边，这是解决问题的关键所在；在解

决这类问题时要善于从题目中发现这些重要的隐含条件。

例4:（ 1）在图1中，△ ABC和厶DEF满足AB = DE , AC = DF，/ A = Z D，这两个三角形全等吗？（2）在图2中，△ ABC和厶ABD满足AB = AB , AC = AD，/ B=Z B,这两个三角形全等吗？

思路分析：

1）题意分析：本题主要考查应用全等三角形判定2判定三角形全等的方法和需注意的问题。

2）解题思路：在图1中，△ ABC和厶DEF满足AB = DE , AC = DF，/ A = Z D,即两个三角形满足SAS的条件，所以这两个三角形全等。（2）在图2中，△ ABC和厶ABD满足AB = AB , AC = AD，/ B = Z B,这两个三角形虽然也有两边和一角相等，但两个三角

形的形状、大小完全不相同，所以这两个三角形不全等。

解题后的思考：有两边和一角相等的两个三角形不一定全等，要根据所给的边与角的位

置进行判断：（1）当两个三角形满足两边及夹角对应相等即“SAS”时，这两个三角形全等；

（2）当两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA ”时，这两个三角形不一

定全等。在证明题中尤其要注意这一点。

小结：本题组主要考查了对全等三角形判定2的掌握情况，即两边和它们的夹角对应相

等的两个三角形全等。另一方面，也提醒我们要注意两边和一角相等的另外一种情形，即“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定不全等。”另外，在证明两个三角形全等时，

要注意挖掘题目中的隐含条件如公共边或公共角等。

知识点三：全等三角形判定3

例5：如图，BE 丄AE , CF 丄AE , ME = MF。

求证：AM是厶ABC的中线。

A.

C

E

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