求解断煤交线的解析方法

求解断煤交线的解析方法

于轲

（淄博矿业集团公司埠村煤矿，山东章丘250215）

摘要：运用空间解析几何推导空间平面产状要素（方位角、倾角）与空间平面法线向量方向角的数量关系，建立煤层面及断层面的空间方程，推导断煤交线的空间方程及断煤交线的计算方法

关键词：断煤交线；煤层面；断层面；空间方程；方向角；方位角。

断煤交线是指断层面与煤层层面（以下简称煤层面）的交线，在煤层底板等高线图上，是用断煤交线的水平投影来表示的。断煤交线能正确表示断层在煤层中的位置和延展方向，为采区、采面的布置和确定巷道沿断层或过断层的掘进方向提供依据。

一般说，断层面及煤层面都不是严格的平面，而是复杂的空间曲面。为了研究问题方便，在有限范围内，可将它们视为平面来处理。这样就可以以解析几何为手段，取煤层面及断层面的产状要素为计算参数，推导求解断煤交线产状的计算公式。本文主要介绍断煤交线方位角计算公式的推导及具体的计算方法。

1 断煤交线方位角计算公式的推导

首先假定煤层面与断层面均为空间平面，然后建立空间直角坐标系（如图1所示）。坐标系XOY面为水平面，且X轴指向正北，Y轴指向正东。

（指向正东）

图1

1.1 求煤层面的平面方程

设煤层面产状为：ϕ1∠γ1（ϕ1为煤层面的倾向，γ1为煤层面的倾角，0°≤ϕ1

≤360°，0°≤γ1≤90°）

（1）求煤层面法线的方向余弦 由空间解析几何可以知道： cos α=

2

22z

y x x

a a a a ++， (0°≤α≤180°)………………①；

cos β＝2

2

2

z

y x y

a a a a ++，(0°≤β≤180°)………………②；

cos γ=

2

2

2

z

y x z

a a a a ++， (0°≤γ≤180°)………………③；

上三式中，α、β、γ ─— 煤层面法线与三条坐标轴的正向的夹角，即法线向量的方向角；

a x 、a y 、a z ── 煤层面法线向量在三条坐标轴上的投影，即法线向量的坐标。 为求得α、β角的水平投影，令γ＝90°，有cos γ＝0°， 由③式可得a z ＝0，把a z ＝0代入①、②两式中，得： cos α1=

2

2y

x x a a a +，………………④

cos β1＝

2

2

y

x y a a a +，………………⑤

④、⑤两式中，α1、β1为煤层面倾向线同X 轴和Y 轴的正向的夹角，即α、β的水平投影，它们与煤层倾向ϕ1的关系有表1确定（表1中下标i 为自然数）。

由①÷②和④÷⑤，得：

y

x a a ＝βα

cos cos ＝11cos cos βα …………………………⑥

又有cos 2α+cos 2β+cos 2γ＝1 ………………⑦

和γ＝180°－γ1 ……………………………⑧

联立⑥、⑦、⑧三式，解出煤层面法线向量的方向余弦为：

1

111

1cos cos cos sin cos cos sin cos γγβγβαγα-=⋅=⋅= ………………………………⑨ 解⑥、⑦、⑧方程组过程如下：由⑥式得：

ααββcos cos cos cos 1

1

⋅=

，连同⑧式代入⑦式，得 1

2

1

221

2121

2

12

21

2121

22

2121

1

sin cos 1cos sin cos cos cos cos cos 1)cos cos 1(cos 1)cos ()cos cos cos (

cos γααγαβααγαβαγααβα=⋅

=+⋅-=+⋅=-+⋅+

（这里1cos cos 1212=+βα）

1

112122cos sin cos cos sin cos αγααγα⋅=∴⋅=

把上面这个结果代入⑥式可解出：

11cos sin cos βγβ⋅=

由⑧式可直接得出1cos cos γγ-= （2） 求煤层面的平面方程 煤层面平面方程的形式为：

a x （x －x 1）+a y （y －y 1）+a z （z －z 1）＝0

式中，x 1、y 1、z 1 ── 煤层面上一个定点的坐标。 a x 、a y 、a z 由①②③式同⑨式联立求出：

12221122211222cos cos sin cos sin γβγαγ⋅++=⋅⋅++=⋅⋅++=z y x z z y x y z y x x a a a a a a a a a a a a 故有：

)(cos )(cos sin )(cos sin 112

2

2111222111222=-⋅⋅+++-⋅⋅⋅+++-⋅⋅⋅++z z a

a

a

y y a a a x x a a a z

y

x

z y x z y x γβγαγ

考虑γ1≠0及z y x a a a 222++≠0， 整理上式，得煤层面的平面方程为：

0)()(cos )(cos 111111=-⋅+-⋅+-⋅z z ctg y y x x γβα (Ⅰ)

1.2 求断层面的平面方程

设断层面产状为：ϕ2∠γ2（ϕ2为断层面的倾向，γ2为断层面的倾角， 0°≤ϕ2≤360°，0°＜γ2≤90°）。

用求煤层面同样的方法，可求出断层面的平面方程为：

0)()(cos )(cos 222222=-⋅+-⋅+-⋅z z ctg y y x x γβα (Ⅱ)

式中，x 2、y 2、z 2 ── 断层面上一个定点的坐标。

α2、β2为断层面倾向线同X 轴和Y 轴的正向的夹角，它们与倾向ϕ2的关系由表1确定。

1.3 求断煤交线的直线方程

联立方程（Ⅰ）和（Ⅱ）即为断煤交线的一般直线方程： {

)()(cos )(cos 0)()(cos )(cos 222222111111=-⋅+-⋅+-⋅=-⋅+-⋅+-⋅z z ctg y y x x z z ctg y y x x γβαγβα (Ⅲ)

断煤交线的方程向量为：

2

2

2

111

cos cos cos cos γβαγβαctg ctg k j i n --=→

→

→

→

=

→

→

→

⋅+

⋅+

⋅k j ctg ctg i ctg ctg 2

2

112

2

112

2

11cos cos cos cos cos cos cos cos βαβαγαγαβγβγ

令

m ＝

2211cos cos βγβγctg ctg ,（公式1） p ＝

2

2

11cos cos γαγαctg ctg ，（公式2） s ＝

2

2

11cos cos cos cos βαβα ，（公式3）