求解断煤交线的解析方法

求解断煤交线的解析方法于轲（淄博矿业集团公司埠村煤矿，山东章丘250215）摘要：运用空间解析几何推导空间平面产状要素（方位角、倾角）与空间平面法线向量方向角的数量关系，建立煤层面及断层面的空间方程，推导断煤交线的空间方程及断煤交线的计算方法关键词：断煤交线；煤层面；断层面；空间方程；方向角；方位角。

断煤交线是指断层面与煤层层面（以下简称煤层面）的交线，在煤层底板等高线图上，是用断煤交线的水平投影来表示的。

断煤交线能正确表示断层在煤层中的位置和延展方向，为采区、采面的布置和确定巷道沿断层或过断层的掘进方向提供依据。

一般说，断层面及煤层面都不是严格的平面，而是复杂的空间曲面。

为了研究问题方便，在有限范围内，可将它们视为平面来处理。

这样就可以以解析几何为手段，取煤层面及断层面的产状要素为计算参数，推导求解断煤交线产状的计算公式。

本文主要介绍断煤交线方位角计算公式的推导及具体的计算方法。

1 断煤交线方位角计算公式的推导首先假定煤层面与断层面均为空间平面，然后建立空间直角坐标系（如图1所示）。

坐标系XOY面为水平面，且X轴指向正北，Y轴指向正东。

（指向正东）图11.1 求煤层面的平面方程设煤层面产状为：ϕ1∠γ1（ϕ1为煤层面的倾向，γ1为煤层面的倾角，0°≤ϕ1≤360°，0°≤γ1≤90°）（1）求煤层面法线的方向余弦 由空间解析几何可以知道： cos α=222zy x xa a a a ++， (0°≤α≤180°)………………①；cos β＝222zy x ya a a a ++，(0°≤β≤180°)………………②；cos γ=222zy x za a a a ++， (0°≤γ≤180°)………………③；上三式中，α、β、γ ─— 煤层面法线与三条坐标轴的正向的夹角，即法线向量的方向角；a x 、a y 、a z ── 煤层面法线向量在三条坐标轴上的投影，即法线向量的坐标。

为求得α、β角的水平投影，令γ＝90°，有cos γ＝0°， 由③式可得a z ＝0，把a z ＝0代入①、②两式中，得： cos α1=22yx x a a a +，………………④cos β1＝22yx y a a a +，………………⑤④、⑤两式中，α1、β1为煤层面倾向线同X 轴和Y 轴的正向的夹角，即α、β的水平投影，它们与煤层倾向ϕ1的关系有表1确定（表1中下标i 为自然数）。

由①÷②和④÷⑤，得：yx a a ＝βαcos cos ＝11cos cos βα …………………………⑥又有cos 2α+cos 2β+cos 2γ＝1 ………………⑦和γ＝180°－γ1 ……………………………⑧联立⑥、⑦、⑧三式，解出煤层面法线向量的方向余弦为：11111cos cos cos sin cos cos sin cos γγβγβαγα-=⋅=⋅= ………………………………⑨ 解⑥、⑦、⑧方程组过程如下：由⑥式得：ααββcos cos cos cos 11⋅=，连同⑧式代入⑦式，得 12122121212122121212221211sin cos 1cos sin cos cos cos cos cos 1)cos cos 1(cos 1)cos ()cos cos cos (cos γααγαβααγαβαγααβα=⋅=+⋅-=+⋅=-+⋅+（这里1cos cos 1212=+βα）1112122cos sin cos cos sin cos αγααγα⋅=∴⋅=把上面这个结果代入⑥式可解出：11cos sin cos βγβ⋅=由⑧式可直接得出1cos cos γγ-= （2） 求煤层面的平面方程 煤层面平面方程的形式为：a x （x －x 1）+a y （y －y 1）+a z （z －z 1）＝0式中，x 1、y 1、z 1 ── 煤层面上一个定点的坐标。

a x 、a y 、a z 由①②③式同⑨式联立求出：12221122211222cos cos sin cos sin γβγαγ⋅++=⋅⋅++=⋅⋅++=z y x z z y x y z y x x a a a a a a a a a a a a 故有：)(cos )(cos sin )(cos sin 11222111222111222=-⋅⋅+++-⋅⋅⋅+++-⋅⋅⋅++z z aaay y a a a x x a a a zyxz y x z y x γβγαγ考虑γ1≠0及z y x a a a 222++≠0， 整理上式，得煤层面的平面方程为：0)()(cos )(cos 111111=-⋅+-⋅+-⋅z z ctg y y x x γβα (Ⅰ)1.2 求断层面的平面方程设断层面产状为：ϕ2∠γ2（ϕ2为断层面的倾向，γ2为断层面的倾角， 0°≤ϕ2≤360°，0°＜γ2≤90°）。

用求煤层面同样的方法，可求出断层面的平面方程为：0)()(cos )(cos 222222=-⋅+-⋅+-⋅z z ctg y y x x γβα (Ⅱ)式中，x 2、y 2、z 2 ── 断层面上一个定点的坐标。

α2、β2为断层面倾向线同X 轴和Y 轴的正向的夹角，它们与倾向ϕ2的关系由表1确定。

1.3 求断煤交线的直线方程联立方程（Ⅰ）和（Ⅱ）即为断煤交线的一般直线方程： {)()(cos )(cos 0)()(cos )(cos 222222111111=-⋅+-⋅+-⋅=-⋅+-⋅+-⋅z z ctg y y x x z z ctg y y x x γβαγβα (Ⅲ)断煤交线的方程向量为：222111cos cos cos cos γβαγβαctg ctg k j i n --=→→→→=→→→⋅+⋅+⋅k j ctg ctg i ctg ctg 221122112211cos cos cos cos cos cos cos cos βαβαγαγαβγβγ令m ＝2211cos cos βγβγctg ctg ,（公式1） p ＝2211cos cos γαγαctg ctg ，（公式2） s ＝2211cos cos cos cos βαβα ，（公式3）则有→→→→⋅+⋅+⋅=k s j p i m n这里，m 、p 、s 分别为断煤交线的方向向量→n 在X 、Y 、Z 轴上的投影，即→n 的坐标。

断煤交线的点向式方程为：Sz z P y y m x x 000-=-=- 式中，x 0、y 0、z 0 ── 断煤交线上的一个定点的坐标，有方程（Ⅲ）确定。

1.4 求断煤交线方位角的余弦 断煤交线的方向余弦为：222cos sp m m ++=α，（0°≤α≤180°），222cos sp m p ++=β，（0°≤β≤180°），222cos sp m s ++=γ，（0°＜γ＜180°），令γ＝90°，则有cos γ＝0，则S=0，代入222cos sp m m ++=α中，得断煤交线方位角余弦的计算公式：22cos pm m +=ϕ （公式4）2 求解断煤交线产状的方法与步骤 2.1 取得计算参数： 煤层面产状：ϕ1∠γ1 断层面产状：ϕ2∠γ22.2 求参数α1、β1、α2、β2 根据表1确定。

2.3 求断煤交线的产状 （1）计算m 、p 、s根据（公式1）、（公式2）、（公式3）计算。

（2）计算ϕ、γ、ϕ′、γ′ϕ′221cos pm m +=-┃┃ （0°≤ϕ′≤90°）（公式5）2221cos sp m s ++=-γ （0°＜γ′＜180°）（公式6）ϕ与γ′的取值及取值范围根据表2确定。

ϕ ── 断煤交线的方位角；ϕ′── 余弦值同断煤交线方位角余弦的绝对值相等的锐角； γ ── 断煤交线与Z 轴正向的夹角 γ ′── 断煤交线的倾角0°≤γ＜90°（3）计算断煤交线产状θ∠γ′（θ为断煤交线的倾向，γ′为断煤交线的倾角） 根据s 的计算符号确定断煤交线的倾向θ: ①s ＞0时，θ＝ϕ②s ＜0时，θ＝ϕ±180°（当ϕ≥180°时取负号，当ϕ＜180°时取正号＝ ③s ＝0时，θ不存在（断煤交线呈水平状）④特殊的，当γ1＝0时（即水平煤层），断煤交线方位角ϕ＝ϕ2±k180°（k ＝0，1。

当ϕ2＜180°时，取“+”；当ϕ2≥180°时，取“－”），此时θ不存在。

断煤交线的倾角γ′由表2确定。

3 应用举例例1.煤层面产状为60°∠60°，断层面产状为150°∠60°，求断煤交线产状。

解：（1）ϕ1＝60°，γ1＝60°；ϕ2＝150°，γ2＝60°（2）根据表1可得：α1＝60°，β1＝30°；α2＝150°，β2＝60°（3）根据（公式1）、（公式2）、（公式3）算得：m＝-0.2113248，p＝0.7886751，s＝1根据（公式5）、（公式6）算得：ϕ′＝75，γ＝39.23°由m＜0，p＞0，s＞0，根据表2可得：ϕ=180°-75°=105°，γ′＝90°-39.23°=50.77°（4）确定θ∵s＞0，∴θ＝ϕ＝105°所求断煤交线产状为105°∠50.77°例2.煤层面产状为75°∠10°，断层面产状为321°∠60°，求断煤交线产状。

解：（1）、ϕ1＝75°，γ1＝10°；ϕ2＝321°，γ2＝60°（2）根据表1可得：α1＝75°，β1＝15°；α2＝48°，β2＝138°（3）根据（公式1）、（公式2）、（公式3）算得：m＝-4.7722613，p＝-3.645399，s＝-0.8386706根据（公式5）、（公式6）算得：ϕ′＝37°22′30″，γ＝97°57′09″由m＜0，p＜0，s＜0，根据表2可得：ϕ=217°22′30″，γ′＝7°57′09″（4）确定θ∵s＜0，∴θ＝217°22′30″-180°＝37°22′30″所求断煤交线产状为37°22′30″∠7°57′09″4 结束语1、本文介绍的求解断煤交线的解析方法，计算简单，无须作图，且可以将计算过程编制计算机程序（由于篇幅限制，程序略）。