弹性力学边值问题及有限元法(PPT)
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有限元经典PPT第4章
Pii Kiiui
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui K u i,i1 i1
ui
n
Kiiui Kiiui
Kiju j
4.1.2 平面应力问题有限元的基本思想和瑞雷－里兹法
v3 f3y
3
u3
f3x
f1y v1 u1
1 f1x
v2 f2y u2
2 f2x
给定一个三角形单元和作用在角点上 的六个力，要求得六个角点的位移。 或者是要求三角形角点发生指定的位 移，在三角形三个角点如何加力？
很显然，问题的精确解很困难。采用 瑞雷－里兹法求近似式解
e号单元的三个节点I,j,k的力对应的 力的平衡方程是第2i-1,2i;2j-1,2j;2k1,2k个平衡方程
e号单元的三个节点I,j,k的位移是第 2i-1,2i;2j-1,2j;2k-1,2k个未知数
弹性模量：E 横截面积：A
1
1 L
2
2L
3
局部系单元刚度阵：
k
1
EA L
1 -1
-1
1
2 集成总刚：
0 1
解得：
ux uy
L EA
3.8284L
EA
i
j
第一类位移条件：
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui Ki1ui1
ui 0
令： Kij 0 i j
m
vi 0
Kii 1
um 0
Pi 0
ui 0
第二类位移条件：um um
大数
充大数法： Kii Kii
第一步：求转换矩阵
k2
EA 1 2L -1
-1
1
P
cos 0
T sin
弹性力学课件
研究对象
弹性力学的研究对象主要是弹性 体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复到原 来形状的物体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
弹性体在变形过程中，其内部各点间 距离的变化是微小的，且这种变化不 影响物体的整体形状和大小。
约束条件
弹性体的变形受到外部约束条件的限 制，如支撑、连接等，这些约束条件 对弹性体的变形和内力分布产生影响 。
2
例题2
无限大平板受均布载荷作用下的应力分 析。利用弹性力学理论求解无限大平板 在均布载荷作用下的应力分布，并讨论 平板厚度对应力分布的影响。
3
例题3
圆柱体受内压作用下的应力分析。通过 解析法或数值法求解圆柱体在内压作用 下的应力分布，并讨论不同材料属性和 几何参数对应力分布的影响。
03
弹性体变形协调方程与几何方程
3
讨论
通过对比各向同性和各向异性材料的力学行为， 加深对材料本构关系的理解。
05
平面问题求解方法与应用举例
平面问题定义及分类
平面应力问题
长柱形物体受平行于横截面的外力作用，横截面尺寸远小于轴向 尺寸。
平面应变问题
平面或板状物体受平行于中面的外力作用，中面尺寸远大于厚度。
平面问题的简化
忽略体力，将空间问题简化为平面问题。
各向异性材料本构关系简介
各向异性假设
材料在各个方向上具有不同的力学性质。
本构关系特点
应力与应变之间的关系复杂，需要考虑材料的方 向性。
典型各向异性材料
纤维增强复合材料、层合板等。
典型例题解析与讨论
1 2
例题一
求解各向同性材料在简单拉伸条件下的应力和应 变。
例题二
分析各向异性材料在复杂应力状态下的力学行为 。
弹性力学的研究对象主要是弹性 体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复到原 来形状的物体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
弹性体在变形过程中，其内部各点间 距离的变化是微小的，且这种变化不 影响物体的整体形状和大小。
约束条件
弹性体的变形受到外部约束条件的限 制，如支撑、连接等，这些约束条件 对弹性体的变形和内力分布产生影响 。
2
例题2
无限大平板受均布载荷作用下的应力分 析。利用弹性力学理论求解无限大平板 在均布载荷作用下的应力分布，并讨论 平板厚度对应力分布的影响。
3
例题3
圆柱体受内压作用下的应力分析。通过 解析法或数值法求解圆柱体在内压作用 下的应力分布，并讨论不同材料属性和 几何参数对应力分布的影响。
03
弹性体变形协调方程与几何方程
3
讨论
通过对比各向同性和各向异性材料的力学行为， 加深对材料本构关系的理解。
05
平面问题求解方法与应用举例
平面问题定义及分类
平面应力问题
长柱形物体受平行于横截面的外力作用，横截面尺寸远小于轴向 尺寸。
平面应变问题
平面或板状物体受平行于中面的外力作用，中面尺寸远大于厚度。
平面问题的简化
忽略体力，将空间问题简化为平面问题。
各向异性材料本构关系简介
各向异性假设
材料在各个方向上具有不同的力学性质。
本构关系特点
应力与应变之间的关系复杂，需要考虑材料的方 向性。
典型各向异性材料
纤维增强复合材料、层合板等。
典型例题解析与讨论
1 2
例题一
求解各向同性材料在简单拉伸条件下的应力和应 变。
例题二
分析各向异性材料在复杂应力状态下的力学行为 。
9第2章弹性力学平面问题及空间问题有限元
v u v 2 ， y 6 ， xy 3 5 都是常量，即线性位移模式反映 x y y x
假定的位移函数是多项式，它是连续函数，可以肯定，在单元内部位移函数是单值连续的。由于单 元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数，在单元边界上位移也是线性变化的，两个相邻单元在 公共节点上具有相同的节点位移，因而相邻单元在公共边界上位移连续，即协调条件得到满足。 由上面分析可以看出，三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
（2-1-7b）
（2 ）若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力，它在 j 点的集度为 q ，在 m 点的集度为零 （如图 2-5） 。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ，其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数，为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示，根据形函数的含义，
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中， t 为单元的厚度，当单元划分得足够小时，可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
101
二、 单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式，利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x
假定的位移函数是多项式，它是连续函数，可以肯定，在单元内部位移函数是单值连续的。由于单 元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数，在单元边界上位移也是线性变化的，两个相邻单元在 公共节点上具有相同的节点位移，因而相邻单元在公共边界上位移连续，即协调条件得到满足。 由上面分析可以看出，三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
（2-1-7b）
（2 ）若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力，它在 j 点的集度为 q ，在 m 点的集度为零 （如图 2-5） 。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ，其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数，为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示，根据形函数的含义，
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中， t 为单元的厚度，当单元划分得足够小时，可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
101
二、 单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式，利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x
有限元法基础ppt课件
有限单元法
一、数值模拟方法概述 二、有限单元法简介 三、有限单元法分析步骤 四、利用有限元软件进行工程分析
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固 体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁 分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流 体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界 条件下求解其控制方程的问题。
结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限 个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的 力学特征可以看作建筑物的砖瓦，装配在一起就能提 供整体结构的力学特性。
结构矩阵分析方法分析的结构本身都明显地由杆件组 成，杆件的特征可通过经典的位移法分析建立。
虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法 相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但是它 与目前广泛应用的有限单元法是有本质区别的。
❖ 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和 物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是 由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司 和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系 统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最 强的有限元分析系统。
有限元法
既可以分析杆系结构，又分析非杆系的连续 体结构。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。
《弹性动力学引论》PPT课件
均匀性假设
• 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成，认为弹性体 内不同点处的材料具有相同的性质。
•
弹性常数不随坐标的位置改变而改变；
• • 作用 可以取出物体的任意一个小部分讨论，
•
然后将分析结果应用于整个物体
• • 应用与整个弹性动力学方程建立的。
各向同性假设
假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。
弹性力学的发展
到19世纪末和20世纪初，又应当提到的是另外 两个人，一位是英国人乐甫，他是总结到他那 时全部弹性力学成果的一位大师，并且奠定了 薄壳理论的基础，以及系统将弹性力学成功地 应用于地球物理的第一人。另一位是苏联学者 穆斯海利什维利，他终生致力于用复变函数求 解弹性力学。
弹性力学的发展
§1-2 弹性力学的研究内容
应力分析 位移和应变分析 • 弹性动力学的研究内容 应力和应变的关系
弹性波的传播
§1-3 弹性力学中的基本假定
• 问题的提出
由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成 的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分 复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求 解。因此根据问题性质建立力学模型时，必须作 出一些基本假设，忽略部分可以暂时不予考虑的 因素，使研究的问题限制在一个方便可行的范围 之内。对于弹性力学分析，这是十分必要的。
（4） 应力
(1) 一点应力的概念
(1) 物体内部分子或原子间的相互作
内力
用力;
(不考虑)
(2) 由于外力作用引起的相互作用力.
lim s
Q
(1) P点的内力面分布集度 ----P点的应力
A0 A (2) 应力矢量. Q的极限方向
由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度
弹性力学ppt
x xy xz 用矩阵表示： yx y yz zx zy z
其中，只有6个量独立。
z
z
xy yx yz zy zx xz
切应力互等定理
O x
xz xy y yx y yz x zx zy z
f f xi f y j f zk
f x f y f z —— 面力矢量在坐标轴上投影
量纲： L-1MT-2
—— 作用于物体表面单位面积上的外力
z
F
fz
k i
x O j
fx
S f y
y
(1) f 是坐标的连续分布函数； 说明： (2) f 如：接触力、流体压力等;
(3) f x f y f z 的正负号由坐标方向确定。沿
•近代弹性力学的研究是从 19世纪开始的。
•柯西1828年提出应力、应 变概念，建立了平衡微分 方程、几何方程和广义胡 克定律。
•柯西的工作是近代弹性力 学的一个起点，使得弹性 力学成为一门独立的固体 力学分支学科。 柯西（A.L.Cauchy）
•而后，世界各国的一批学 者相继进入弹性力学研究 领域，使弹性力学进入发 展阶段。
4. 各向同性假定
假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。 作用： 弹性常数（E、μ）——不随坐标方向而变化；
金属 —— 上述假定符合较好；
木材、岩石 —— 上述假定不符合，称为各向异性材料； 符合上述4个假定的物体，称为理想弹性体。
y
yx
zx
zy
yz
应力符号的意义：
第2个下标 y 表示τ的方向. 应力正负号的规定： 正应力—— 拉为正，压为负。 切应力——正坐标面上，与坐标正向一致时为正； 负坐标面上，与坐标正向相反时为正。
弹性力学ppt课件
弹性力学ppt课件•弹性力学基本概念与原理•弹性力学分析方法与技巧目录•一维问题分析与实例讲解•二维问题分析与实例讲解•三维问题分析与实例讲解•弹性力学在工程领域应用探讨01弹性力学基本概念与原理弹性力学定义及研究对象定义弹性力学是研究弹性体在外力作用下产生变形和内力分布规律的科学。
研究对象弹性体，即在外力作用下能够发生变形，当外力去除后又能恢复原状的物体。
弹性体基本假设与约束条件基本假设连续性假设、完全弹性假设、小变形假设、无初始应力假设。
约束条件几何约束（物体形状和尺寸的限制）、物理约束（物体材料属性的限制）。
单位面积上的内力，表示物体内部的受力状态。
应力物体在外力作用下产生的变形程度，表示物体的变形状态。
应变物体上某一点在外力作用下的位置变化。
位移应力与应变之间存在线性关系，位移是应变的积分。
关系应力、应变及位移关系虎克定律及其适用范围虎克定律在弹性限度内，物体的应力与应变成正比，即σ=Eε，其中σ为应力，ε为应变，E为弹性模量。
适用范围适用于大多数金属材料在常温、静载条件下的力学行为。
对于非金属材料、高温或动载条件下的情况，需考虑其他因素或修正虎克定律。
02弹性力学分析方法与技巧0102建立弹性力学基本方程根据问题的具体条件和假设，建立平衡方程、几何方程和物理方程。
选择适当的坐标系和坐标…针对问题的特点，选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系或柱坐标系，并进行必要的坐标系转换。
求解基本方程采用分离变量法、积分变换法、复变函数法等方法求解基本方程，得到位移、应力和应变的解析表达式。
确定边界条件和初始条件根据问题的实际情况，确定位移边界条件、应力边界条件以及初始条件。
验证解析解的正确性通过与其他方法（如数值法、实验法）的结果进行比较，验证解析解的正确性和有效性。
030405解析法求解思路及步骤将连续体离散化为有限个单元，通过节点连接各单元，建立单元刚度矩阵和整体刚度矩阵，求解节点位移和单元应力。
弹性力学有限元法详解
x
4
i1 4
Ni ( ,)xi
y
i1
Ni ( ,) yi
总体坐标系适用于整体结构，局部坐标系只适用于具体某个 单元。
常用的对于平面问题还有八节点等参元，空间问题有八节 点空间等参元，二十节点等参元等 。
第18页，共40页。
3.2 连续体离散化
5.轴对称单元
对于回转结构，如果约束条件和载荷都对称于回转轴，其 应力、应变和位移也都对称于回转轴线，这类应力应变问题称 为轴对称问题 ，通常用柱坐标来描述应力、应变和位移，单元 为实心圆环体，仅截面不同
1
2
ai
(1
0
)
ai (1 0 ) ai (1 0 )
1
2
ai
(1
0
)
(i, j,l,m)
对于平面应变问题：
E
E 1 2
1
第29页，共40页。
3.3 单元分析
2. 单元分析
由虚功原理得：
Fe
K e BT DBdxdyt A
BT DBdxdyt δe
A
Fe Keδe
单元刚度矩阵可分块表示为：
第10页，共40页。
3.2 连续体离散化
3. 薄板弯曲单元和薄板单元
A. 薄板弯曲单元
l
θxi
i
θyi
wi
m
j
四边形弯 曲单元
四边形单元有四个节点，每个节点有三个自由度，主要承 受横向载荷和绕水平轴的弯矩。
第11页，共40页。
3.2 连续体离散化
3.薄板弯曲单元和薄板单元
A. 薄板弯曲单元
m
θxi
对于平面应变问题：
E
E 1 2
2024版弹性力学5PPT课件
2024/1/25
5
边界条件与约束类型
边界条件
位移边界条件、应力边界条件、混合边界条件。
约束类型
几何约束、运动约束、动力约束。
2024/1/25
பைடு நூலகம்
6
应力、应变及位移关系
2024/1/25
应力
单位面积上的内力，包括正应力和剪应力。
应变
物体在外力作用下形状和尺寸的改变，包 括线应变和角应变。
位移
物体在外力作用下某点位置的改变，包括 线位移和角位移。
广义平面应力问题与广义平面应变问题的定义
阐述广义平面应力问题和广义平面应变问题的基本概念和定义。
广义平面应力问题与广义平面应变问题的求解方法
介绍如何利用弹性力学的基本方程和边界条件，求解广义平面应力问题和广义平面应变 问题。
广义平面应力问题与广义平面应变问题的实例分析
通过具体实例，展示广义平面应力问题和广义平面应变问题求解方法的实际应用。
10
功的互等定理与卡氏定理
01
功的互等定理的基本内容
在弹性力学中，如果两个载荷系统在相同的物体上分别作用并产生相同
的位移场，则这两个载荷系统所做的功相等。
2024/1/25
02 03
卡氏定理的基本内容
在弹性力学中，如果物体在某一载荷作用下处于平衡状态，那么在该载 荷作用下物体内部任意点的应力分量与另一与之平衡的载荷在该点所引 起的位移分量成正比。
2024/1/25
03
平面问题求解方法
13
平面应力问题与平面应变问题
平面应力问题
分析薄板在面内荷载作用 下的应力、变形和稳定性。
2024/1/25
平面应变问题
研究长柱体或深埋在地下 的结构物，在垂直于轴线 或地面的荷载作用下，其 横截面内的应力和变形。
弹塑性力学第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
a. 几何方程
指标符号表示
衣凹啦修仪让洛莉攘擞沥庶利礼通谊耸跑观值帧淡敞商蹲注献蔑摔铀嘻针《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
b. 变形协调方程
指标符号表示
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
*
*
§5-2 位移法
上式代入平衡微分方程，得到位移法的基本方程
在V上
或
在V上
（拉米－纳维叶方程）
及芽孰松茄桔甭稿窒刮录羌格累态赡傀眉守恐苟究屏巩掠冗课阿朴错卡吞《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
1.3 本构（物理）方程（六个）
指标符号表示
上述所有方程为 ij 、 ij、ui在V上必须满足的方程，同时在S上（边界上）有边界力或边界位移。
必局洲斟死法广呆坞渤扣图审漓逆乓湾浩嗣废桥调擒卢贸违晶那舀乍汞跟《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
力的边界条件转为用ui的偏微分表示的。这类边界条件从形式上看可以处理，但实际操作上有时较难处理。
撩末辰问苯接恒辙肾顿陶说马证以毕石钢编岗宿捷丹腮敖笆崖蒸司群戒俏《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
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§5-2 位移法
位移法求解思想：
*
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
a. 几何方程
指标符号表示
衣凹啦修仪让洛莉攘擞沥庶利礼通谊耸跑观值帧淡敞商蹲注献蔑摔铀嘻针《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
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b. 变形协调方程
指标符号表示
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
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§5-2 位移法
上式代入平衡微分方程，得到位移法的基本方程
在V上
或
在V上
（拉米－纳维叶方程）
及芽孰松茄桔甭稿窒刮录羌格累态赡傀眉守恐苟究屏巩掠冗课阿朴错卡吞《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
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§5-2 位移法
1.3 本构（物理）方程（六个）
指标符号表示
上述所有方程为 ij 、 ij、ui在V上必须满足的方程，同时在S上（边界上）有边界力或边界位移。
必局洲斟死法广呆坞渤扣图审漓逆乓湾浩嗣废桥调擒卢贸违晶那舀乍汞跟《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
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§5-2 位移法
力的边界条件转为用ui的偏微分表示的。这类边界条件从形式上看可以处理，但实际操作上有时较难处理。
撩末辰问苯接恒辙肾顿陶说马证以毕石钢编岗宿捷丹腮敖笆崖蒸司群戒俏《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
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§5-2 位移法
位移法求解思想：
弹性力学ppt课件
应变定义
物体在外力作用下产生的 形变，表示物体尺寸和形 状的变化。
应力与应变关系
应力与应变之间存在一一 对应关系，通过本构方程 来描述。
广义胡克定律及应用
1 2
广义胡克定律 又称作弹性本构关系，表示应力与应变之间的线 性关系。
广义胡克定律的应用 用于计算弹性体在复杂应力状态下的应力和应变， 是弹性力学中的重要基础。
弹性力学ppt课件
contents
目录
• 弹性力学概述 • 弹性力学基本原理 • 线性弹性力学问题求解方法 • 非线性弹性力学问题简介 • 弹性力学实验方法与技术应用 • 弹性力学在相关领域拓展应用
01 弹性力学概述
弹性力学定义与研究对象
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性体在外力和其他 外界因素作用下产生的变形和内力， 从而在变形与外力之间建立一定关系 的科学。
有限元法在弹性力学中应用
有限元法基本原理
将连续体离散化为有限个单元，每个单元用简单的函数近似表示，通 过变分原理得到有限元方程。
有限元法求解过程
包括网格划分、单元分析、整体分析、边界条件处理和求解有限元方 程等步骤。
有限元法的优缺点
有限元法可以求解复杂几何形状、非均质材料和非线性问题，但存在 网格划分和计算精度等问题。
布。
弹性模量和泊松比测定实验
拉伸法
通过对标准试件进行拉伸实验，测量试件的应力和应变，从 而计算得到弹性模量和泊松比。
压缩法
通过对标准试件进行压缩实验，测量试件的应力和应变，进 而计算弹性模量和泊松比，适用于脆性材料的测量。
弯曲法
通过对梁式试件进行三点或四点弯曲实验，测量试件的挠度 和应力，从而推算出弹性模量，特别适用于细长构件的测量。
弹性力学-第5章 有限元法
生成实体模型的两种方法: –（上－下）或（下－上）
(a）从上到下建模 从生成体（或面）开始，并结合其它方
法生成最终的形状。
加
用于产生最终形状的合并称为布尔运算
提示: 当生成二维体素时，ANSYS定义一个面及其它所包含 的线和关键点。当生成三维体素时，ANSYS定义一个 体及其所包含的面、线及关键点。 如果低阶的图元连在高阶图元上，则低阶图元不能删除.
§5-2 建模
一. 有限元模型的建立
a.建模的方法 b.坐标系统与工作平面 c.实体建模
1.建模方法
有限元模型的建立方法可分为： （1）直接法
直接根据机械结构的几何外型建立节点和单元，因此直接 法只适应于简单的机械结构系统。
（2）间接法（Solid Modeling）
适用于节点及单元数目较多的复杂几何外型机械结构系 统。该方法通过点、线、面、体积，先建立实体模型， 再进行网格划分，以完成有限元模型的建立。
第五章 有限元法解平面问题
§5-1有限元法简介 一. 有限元法的基本思想
1.将连续的问题域离散为有限数目的单元； 2.单元之间通过节点相连； 3.每一个单元都有精确的方程来描述它如何对一定载 荷去响应； 4.单元内部的待求量可由单元节点量通过选定的函数 关系插值得到； 5.模型中所有单元的响应之和给出设计的总响应。
由于单元形状简单，易于建立节点量的平衡关系和能量关 系方程式，然后将各单元方程集组成总体代数方程组，计 入边界条件后可对方程求解。
二. 有限元法的位移解法 1.有限元法的单元和节点
1.有限元法的单元和节点 2.有限元的基本未知量（DOFs） 3.单元形函数
节点自由度是随 单元类型 变化的。
J 三维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ
(a）从上到下建模 从生成体（或面）开始，并结合其它方
法生成最终的形状。
加
用于产生最终形状的合并称为布尔运算
提示: 当生成二维体素时，ANSYS定义一个面及其它所包含 的线和关键点。当生成三维体素时，ANSYS定义一个 体及其所包含的面、线及关键点。 如果低阶的图元连在高阶图元上，则低阶图元不能删除.
§5-2 建模
一. 有限元模型的建立
a.建模的方法 b.坐标系统与工作平面 c.实体建模
1.建模方法
有限元模型的建立方法可分为： （1）直接法
直接根据机械结构的几何外型建立节点和单元，因此直接 法只适应于简单的机械结构系统。
（2）间接法（Solid Modeling）
适用于节点及单元数目较多的复杂几何外型机械结构系 统。该方法通过点、线、面、体积，先建立实体模型， 再进行网格划分，以完成有限元模型的建立。
第五章 有限元法解平面问题
§5-1有限元法简介 一. 有限元法的基本思想
1.将连续的问题域离散为有限数目的单元； 2.单元之间通过节点相连； 3.每一个单元都有精确的方程来描述它如何对一定载 荷去响应； 4.单元内部的待求量可由单元节点量通过选定的函数 关系插值得到； 5.模型中所有单元的响应之和给出设计的总响应。
由于单元形状简单，易于建立节点量的平衡关系和能量关 系方程式，然后将各单元方程集组成总体代数方程组，计 入边界条件后可对方程求解。
二. 有限元法的位移解法 1.有限元法的单元和节点
1.有限元法的单元和节点 2.有限元的基本未知量（DOFs） 3.单元形函数
节点自由度是随 单元类型 变化的。
J 三维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ
有限元分析课件
物理模拟方法简介
（1）缝隙法 为了定性地了解接触面压力分布，可在模具的相应部分留有垂直于模
面的窄缝或小孔，根据流入窄缝或小孔的模拟材料外形或高度，定性地判定 接触面正压力分布。
物理模拟方法简介
（2）硬度法 冷变形时，变形程度越大硬化越强，硬度越高，因此可根据硬度
的分布，判别变形不均匀的程度。根据下图能判断出，圆柱体镦粗时变 形可分为三个区，中心区是大变形区，侧面鼓形是中等变形区，上下接 触面是小变形区。
物理模拟方法简介
（4）叠层法 叠层法是利用易变形材料(铅和塑性泥等)制成薄
片，然后叠成试样进行模拟实验的方法。 为了研究挤压时的变形流动情况，可以用颜色
不同的塑性泥层制成试样进行挤压，然后沿子午面切 开，由不同颜色的各层位置变化来观察变形区的情况， 此外，用铅制成薄片重叠成圆柱体进行镦粗，不仅可 观察变形流动，还可以把变形后的铅层分开，通过测 量各层不同部位的尺寸变化，计算出变形体内的应变 分布。
形状、尺寸精度和组织性能的产品的加工方法，称为金属塑性成形，也称为金 属塑性加工或金属压力加工。
如果不考虑切头、去尾、火耗等损失，那么金属材料的体积、质量在塑 性成形前后可看做没有发生变化，因此塑性成形是无屑或少屑的金属加工方法。
塑性成形方法与分类
1、根据加工时工件受力和变形方式的不同，金属塑 性成形方法可分为锻造、挤压、轧制、拉拔、冲压 等。 2、根据金属变形特征的不同，又可将金属塑性成形 分为：体积成形（或称块料成形）和板料成形（冲 压）两大类。 3、金属塑性成形按照加工时工件的温度又可分为热 塑性成形、冷塑性成形和温塑性成形。
物理模拟方法简介
（5）坐标网格法(Coordinate Grid Method) 是研究金属塑性变形分布应用最广泛的一种方法，
有限元ppt课件
h h
y(xi )2 y(xi1) h
a x b x
y(xi1) 2 y(xi ) y(xi1)
h hi 2 i1
yi1 2 yi yi1 h2
(1 5)
x
13
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得
yi1 2 yi h2
yi1
yi1 yi h
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有
1
I (1,2 ,3,
2
I (1,2 ,3,
机械工程有限元法基础
1
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一 种数值方法.
它从最初的固体力学领域 拓展到了
发展到了
从简单的静力分析
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域
动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复 杂问题的计算
y(xi )2 y(xi1) h
a x b x
y(xi1) 2 y(xi ) y(xi1)
h hi 2 i1
yi1 2 yi yi1 h2
(1 5)
x
13
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得
yi1 2 yi h2
yi1
yi1 yi h
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有
1
I (1,2 ,3,
2
I (1,2 ,3,
机械工程有限元法基础
1
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一 种数值方法.
它从最初的固体力学领域 拓展到了
发展到了
从简单的静力分析
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域
动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复 杂问题的计算
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（2）在边界上给定位移——位移边界条件
（3）在边界上部分给定面力，部分给定位移——混合边界条件
基本解法
弹性力学边值问题——基本方程+边界条件
给定作用在物体全部边界或内部的外界作用(包括温度影响、 外力等)，求解物体内由此产生的应力场和位移场。
具体地说，对物体内每一点，当它处在弹性阶段，其应力分 量、应变分量、位移分量等15个未知函数要满足平衡方程、几 何力程、本构方程这15个泛定方程，在边界上并要满足给定的 全部边界条件。
通过与原问题基本方程及边界条件等效的变分原理，建立求 解的代数方程组，求解有限个节点上的场变量值
用有限个节点场变量值插值得到全求解域任意位置的场变量
单元内近似函程形式必须一样 单元内近似函数一般取Lagrange多项式
单元位移函数
对三角形单元，假定单元内的位移分量是坐标的线性函数
x
x
xy
y
xz
z
Fbx
0
yx
x
y
y
yz
z
Fby
0
zx
x
zy
y
z
z
Fbz
0
平衡方程的意义
受力而平衡的弹性体内 各应力之间（及其与体 力之间）的相互制约关 系
几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
xy
v z
w y
xy
w x
u z
应变与位移之间的关系， 以及应变之间的关系
物理方程
也叫本构方程
应力应变之间的关系
x
E(1 ) (1 )(1 2)
( x
1
y
1
z)
y
E(1 ) (1 )(1 2)
( 1
y
y
1
z)
z
E(1 ) (1 )(1 2)
( 1
x
1
y
z)
xy
E 2(1
)
xy
yz
E 2(1
)
yz
xz
E 2(1
)
xz
基本方程
总括起来，当物体处于弹性状态时
u 1 2 x 3 y v 4 5x 6 y
u
1 2A
(ai
第三类边值问题：在物体表面上一部分给定面力，其余部分给 定位移(或在部分表面上给定外力和位移关系)的条件下求解上述 问题，即所谓混合边值问题。
基本解法
在求解以上边值问题时，有三种不同的处理办法，即
(1)位移法，用位移作为基本未知置来求解边值问题，叫位移法。 此时将一切未知量和基本方程都转换为用位移表示。通常给定位 移边界条件(第二类边值问题)时，宜用位移法。
有解；解是唯一的；解是稳定的
基本解法
根据具体问题边界条件类型的不同，常把边值问题 分为以下三类：
第一类边值问题：给定物体的体力和面力，求在平衡状态下的 应力场和位移场，即所谓边界应力已知的问题。
第二类边值问题；给定物体的体力和物体表面各点的位移，求 在平衡状态下的应力场和物体内部的位移场．即所谓边界位移 已知的问题。
有限元法也叫有限单元法（ finite element method ）， 是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种的数值求 解方法。
有限元法
数值求解的基本未知量是节点上的场变量
复杂 的求 解域
无限个质点组成的连续体，具有 无限个自由度
有限个单元组成的集合体，这些 单元只在有限个节 点上相铰接， 只具有有限个自由度。
(2)应力法，用应力作为基本未知量来求解边值问题，叫应力法。 此时将一切未知量和基本方程都转换为用应力表示。显然当给定 应力边界条件(第一类边值问题)时，宜用应力法。
(3)混合法，对第三类边值问题，则宜用以各点的一部分位移分量 和一部分应力分量作为基本未知量，混合求解。
问题：
弹性理论要求在物体的每个边界点上都给定边界条件。实际 工程问题却往往只知道总的载荷量，只能提出等效的近似边界条 件，给不出详细的载荷分布规律。另外，解题时往往难于满足逐 点给定的精确边界条件，因而也希望能找到一种边界条件的简化 方案。
圣维南原理
如作用在弹性体表面某一不大的局部面积上的 力系，为作用在同—局部面积上的另一静力等效力 系所代替，则荷载的这种重新分布只在离荷载作用 处很近的地方才使应力的分布发生显著的变化，在 离荷载较远处只有较小的影响。
当三维实心体受局部自平衡力系作用时，影响 区的尺寸和自平衡力系作用区的尺寸等量级。
第二部分 有限元法理论基础
1. 位移函数 2. 能量法 3. 虚功原理 4. 变分原理
有限元法的基础是变分法 与分片插值多项式
有限元法
通俗地说，有限元法就是一种计算机模拟技术，使人们 能够在计算机上用软件模拟一个工程问题的发生过程而无 需把模拟对象真的做出来。这项技术带来的好处就是，在 图纸设计阶段就能够让人们在计算机上观察到设计出的产 品将来在使用中可能会出现什么问题，不用把样机做出来 在实验中检验会出现什么问题，可以有效降低产品开发的 成本，缩短产品设计的周期。
弹性力学边值问题 及 有限元法基础
第一部分 弹性力学的边值问题
1. 基本方程 2. 边界条件 3. 基本解法
平衡方程
Ma 0
Fx 0 Fy o
xy yx
剪应力互等定理
x
x
yx
y
Fbx
0
y
y
xy
x
Fby
0
平衡方程
对于三维问题
xy yx yz zy xz zx
离散化——由无限个质点的连续体转化为 有限个单元的集合体。
在数学意义上说，就是把微分方程的连续形式转化为代数方程组，以便 于进行数值解。
有限元法要点
将一个连续的求解域离散为若干个相互连接的子域（单元、 节点）
在单元内建立场函数的近似函数，用满足一定条件的近似函 数分片地表示全求解域待求的未知场函数
3个平衡方程
6个几何方程
共15个 (统称为泛定方程)
6个本构方程
6个应力分量
6个应变分量
共15个未知函数
3个位移分量
因而在给定边界条件时，问题是可以求解的。
边界条件
当物体处于平衡状态时，其内部各点的应力状态应满足平衡 微分方程，在边界上应满足边界条件。 边界条件可能有三种情况
（1）在边界上给定面力——应力边界条件
圣维南（Adbemar Jean Claude Barre de Saint Venant）1797年出生于 法国，1886年逝世。1825年毕业于巴黎桥梁公路学校，后从事工程设计工作， 1837年回该校任教，1868年当选为法国科学院院士。在弹性力学塑性力学、 流体力学方面作出了贡献。他的力的作用的局部性思想被称为：“圣维南原理”
（3）在边界上部分给定面力，部分给定位移——混合边界条件
基本解法
弹性力学边值问题——基本方程+边界条件
给定作用在物体全部边界或内部的外界作用(包括温度影响、 外力等)，求解物体内由此产生的应力场和位移场。
具体地说，对物体内每一点，当它处在弹性阶段，其应力分 量、应变分量、位移分量等15个未知函数要满足平衡方程、几 何力程、本构方程这15个泛定方程，在边界上并要满足给定的 全部边界条件。
通过与原问题基本方程及边界条件等效的变分原理，建立求 解的代数方程组，求解有限个节点上的场变量值
用有限个节点场变量值插值得到全求解域任意位置的场变量
单元内近似函程形式必须一样 单元内近似函数一般取Lagrange多项式
单元位移函数
对三角形单元，假定单元内的位移分量是坐标的线性函数
x
x
xy
y
xz
z
Fbx
0
yx
x
y
y
yz
z
Fby
0
zx
x
zy
y
z
z
Fbz
0
平衡方程的意义
受力而平衡的弹性体内 各应力之间（及其与体 力之间）的相互制约关 系
几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
xy
v z
w y
xy
w x
u z
应变与位移之间的关系， 以及应变之间的关系
物理方程
也叫本构方程
应力应变之间的关系
x
E(1 ) (1 )(1 2)
( x
1
y
1
z)
y
E(1 ) (1 )(1 2)
( 1
y
y
1
z)
z
E(1 ) (1 )(1 2)
( 1
x
1
y
z)
xy
E 2(1
)
xy
yz
E 2(1
)
yz
xz
E 2(1
)
xz
基本方程
总括起来，当物体处于弹性状态时
u 1 2 x 3 y v 4 5x 6 y
u
1 2A
(ai
第三类边值问题：在物体表面上一部分给定面力，其余部分给 定位移(或在部分表面上给定外力和位移关系)的条件下求解上述 问题，即所谓混合边值问题。
基本解法
在求解以上边值问题时，有三种不同的处理办法，即
(1)位移法，用位移作为基本未知置来求解边值问题，叫位移法。 此时将一切未知量和基本方程都转换为用位移表示。通常给定位 移边界条件(第二类边值问题)时，宜用位移法。
有解；解是唯一的；解是稳定的
基本解法
根据具体问题边界条件类型的不同，常把边值问题 分为以下三类：
第一类边值问题：给定物体的体力和面力，求在平衡状态下的 应力场和位移场，即所谓边界应力已知的问题。
第二类边值问题；给定物体的体力和物体表面各点的位移，求 在平衡状态下的应力场和物体内部的位移场．即所谓边界位移 已知的问题。
有限元法也叫有限单元法（ finite element method ）， 是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种的数值求 解方法。
有限元法
数值求解的基本未知量是节点上的场变量
复杂 的求 解域
无限个质点组成的连续体，具有 无限个自由度
有限个单元组成的集合体，这些 单元只在有限个节 点上相铰接， 只具有有限个自由度。
(2)应力法，用应力作为基本未知量来求解边值问题，叫应力法。 此时将一切未知量和基本方程都转换为用应力表示。显然当给定 应力边界条件(第一类边值问题)时，宜用应力法。
(3)混合法，对第三类边值问题，则宜用以各点的一部分位移分量 和一部分应力分量作为基本未知量，混合求解。
问题：
弹性理论要求在物体的每个边界点上都给定边界条件。实际 工程问题却往往只知道总的载荷量，只能提出等效的近似边界条 件，给不出详细的载荷分布规律。另外，解题时往往难于满足逐 点给定的精确边界条件，因而也希望能找到一种边界条件的简化 方案。
圣维南原理
如作用在弹性体表面某一不大的局部面积上的 力系，为作用在同—局部面积上的另一静力等效力 系所代替，则荷载的这种重新分布只在离荷载作用 处很近的地方才使应力的分布发生显著的变化，在 离荷载较远处只有较小的影响。
当三维实心体受局部自平衡力系作用时，影响 区的尺寸和自平衡力系作用区的尺寸等量级。
第二部分 有限元法理论基础
1. 位移函数 2. 能量法 3. 虚功原理 4. 变分原理
有限元法的基础是变分法 与分片插值多项式
有限元法
通俗地说，有限元法就是一种计算机模拟技术，使人们 能够在计算机上用软件模拟一个工程问题的发生过程而无 需把模拟对象真的做出来。这项技术带来的好处就是，在 图纸设计阶段就能够让人们在计算机上观察到设计出的产 品将来在使用中可能会出现什么问题，不用把样机做出来 在实验中检验会出现什么问题，可以有效降低产品开发的 成本，缩短产品设计的周期。
弹性力学边值问题 及 有限元法基础
第一部分 弹性力学的边值问题
1. 基本方程 2. 边界条件 3. 基本解法
平衡方程
Ma 0
Fx 0 Fy o
xy yx
剪应力互等定理
x
x
yx
y
Fbx
0
y
y
xy
x
Fby
0
平衡方程
对于三维问题
xy yx yz zy xz zx
离散化——由无限个质点的连续体转化为 有限个单元的集合体。
在数学意义上说，就是把微分方程的连续形式转化为代数方程组，以便 于进行数值解。
有限元法要点
将一个连续的求解域离散为若干个相互连接的子域（单元、 节点）
在单元内建立场函数的近似函数，用满足一定条件的近似函 数分片地表示全求解域待求的未知场函数
3个平衡方程
6个几何方程
共15个 (统称为泛定方程)
6个本构方程
6个应力分量
6个应变分量
共15个未知函数
3个位移分量
因而在给定边界条件时，问题是可以求解的。
边界条件
当物体处于平衡状态时，其内部各点的应力状态应满足平衡 微分方程，在边界上应满足边界条件。 边界条件可能有三种情况
（1）在边界上给定面力——应力边界条件
圣维南（Adbemar Jean Claude Barre de Saint Venant）1797年出生于 法国，1886年逝世。1825年毕业于巴黎桥梁公路学校，后从事工程设计工作， 1837年回该校任教，1868年当选为法国科学院院士。在弹性力学塑性力学、 流体力学方面作出了贡献。他的力的作用的局部性思想被称为：“圣维南原理”