03第三章-导数与微分

第三章 导数与微分

一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求

1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题.

2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式.

3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法.

4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法.

5.了解可导、可微、连续之间的关系.

重点 导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法.

难点 求复合函数和隐函数的导数的方法.

（二） 内容提要

1.导数的概念 ⑴导数

设函数)(x f y =在点0

x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在点0

x 处有增量)0(≠∆∆x x ，x x ∆+0

仍在该邻域内时，相应地，函数有增量)()(0

x f x x f y -∆+=∆，若极限

000

0()()lim

lim

x x f x x f x y

x x

∆→∆→+∆-∆=∆∆ 存在，则称)(x f 在点0

x 处可导，并称此极限值为)(x f 在点0

x 处的导数，记为)(0

x f '，也可记为0

00

0d d d d ,

,)(x x x f

x x x y x x y x y ==='

'或，即

x

x f x x f x y

x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim

lim

)(00000.

若极限不存在，则称)(x f y =在点0

x 处不可导. 若固定0

x ，令x x x

=∆+0

，则当0→∆x 时，有0x x →，所以函数)(x f 在

点0

x 处的导数)(0

x f '也可表示为

00

)

()(lim

)(x x x f x f x f x --='→.

⑵ 左导数与右导数

① 函数)(x f 在点0

x 处的左导数

)(0

x f -

'＝x

x f x x f x

y x x ∆-∆+=∆∆-

-

→∆→∆)

()(lim

lim 000

.

② 函数)(x f 在点0

x 处的右导数

)(0x f +'＝x

x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆+

+

→∆→∆)

()(lim

lim

000

0. ③函数)(x f 在点0

x 处可导的充分必要条件是)(x f 在点0

x 处的左导

数和右导数都存在且相等．

２．导数的几何意义 ⑴曲线的切线

在曲线上点M 的附近，再取一点1M ，作割线1MM ，当点1M 沿曲线

移动而趋向于M 时，若割线1MM 的极限位置MT 存在，则称直线MT 为曲线在点M 处的切线． ⑵导数的几何意义

函数)(x f y =在点0

x 处的导数表示曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线斜率.

关于导数的几何意义的3点说明:

①曲线)(x f y =上点),(00y x 处的切线斜率是纵标变量y 对横标变量x 的导数.这一点在考虑用参数方程表示的曲线上某点的切线斜率时优为重要.

②如果函数)(x f y =在点0x 处的导数为无穷(即∞=∆∆→∆x y

x 0lim

,此时)

(x f 在0x 处不可导),则曲线)(x f y =上点),(00y x 处的切线垂直于x 轴. ③函数在某点可导几何上意味着函数曲线在该点处必存在不垂直于x 轴的切线.

3.变化率

函数的增量与自变量增量之比，在自变量增量趋于零时的极限，即导数.在科学技术中常常把导数称为变化率(即因变量关于自变量的变化率就是因变量关于自变量的导数).变化率反映了因变量随着自变量在某处的变化而变化的快慢程度.

4.可导与连续的关系

若函数)(x f y =在点x 处可导，则)(x f y =在点x 处一定连续.但反过

来不一定成立，即在点

x 处连续的函数未必在点x 处可导.

5. 高阶导数 ⑴二阶导数

函数)(x f y =的一阶导数)(x f y '='仍然是x 的函数，则将一阶导数

)(x f '的导

数))((''x f 称为函数)(x f y =的二阶导数，记为)(x f ''或y ''或22d d x

y

，即

y ''=)(''y 或 2

2

d d x

y =⎪⎭⎫ ⎝⎛x y x d d d d . ⑵n 阶导数

)1(-n 阶导数的导数称为n 阶导数（n =3，4， ,)1(-n ,n ）分别记 为

)(x f '''

,)()4(x f , ,)()1(x f n -,)()(x f n ，

或y ''', )4(y , ,)1(-n y ,n y ，

或33d d x y , 44d d x y , 11d d --n n x

y

, n n x y d d ， 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数.

6 . 微分 ⑴微分的定义

如果函数)(x f y =在点x 处的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆，可以表示成

)(x o x A y ∆+∆=∆，

其中)(x o ∆是比)0(→∆∆x x 高阶的无穷小，则称函数)(x f y =在点x 处可微，称x A ∆为y ∆的线性主部，又称x A ∆为函数)(x f y =在点x 处的微分，记为y d 或)(d x f ，即x A y ∆=d .

⑵微分的计算

x x f x f d )()(d '=，其中x x ∆=d ,x 为自变量. ⑶一阶微分形式不变性

对于函数)(u f ,不论u 是自变量还是因变量,总有u u f u f d )()(d '=成立.

7. 求导公式 微分公式

表3.1给出了基本初等函数的求导公式及微分公式.