分析力学基础
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分析力学的原理与应用
分析力学的原理与应用一、分析力学的概述•分析力学是力学中的一个重要分支，它研究物体的运动和受力情况，基于物体的力学性质和动力学原理来进行分析和计算。
二、分析力学的基本原理1.牛顿第二定律•牛顿第二定律是分析力学的基础，它表明一个物体的加速度与作用在它上面的力成正比。
公式表达为F=ma，其中F是作用在物体上的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
2.动能定理•动能定理是分析力学中重要的定理，它表明当物体受到外力时，由该外力所做的功等于物体动能的变化，即 $W=\\Delta KE$。
其中，W代表功，KE代表动能的变化。
3.力的合成与分解•在分析力学中，力的合成与分解是一个基本的技巧，用于将一个力分解为多个分力或将多个分力合成为一个力。
这在分析力学中的应用十分广泛。
4.质点系的动力学原理•质点系的动力学原理是研究质点系整体运动的理论基础，它基于质点系的质量、速度和力的关系，描述质点系的运动状态。
三、分析力学的应用领域1.静力学•静力学是分析力学的一个重要应用领域，它研究物体在静力平衡状态下受到的力和力的平衡条件。
静力学广泛应用于建筑、桥梁和机械等领域，用于分析和设计各种结构。
2.动力学•动力学是分析力学的另一个重要应用领域，它研究物体在运动状态下受到的力和运动方程。
动力学可以应用于机械、车辆、航空航天等领域，用于分析和设计各种运动系统。
3.振动与波动•分析力学还可以应用于研究物体的振动和波动问题。
振动和波动是许多实际问题中常见的现象，如桥梁的振动、地震波的传播等。
分析力学可以提供对这些问题的详细分析和计算。
4.流体力学•分析力学还可以应用于研究流体力学问题。
流体力学研究流体的运动和受力情况，分析力学提供了用于分析和计算流体力学问题的方法和原理。
四、分析力学的未来发展•随着科学技术的不断进步，分析力学在各个领域的应用越来越广泛。
未来，分析力学将继续发展，提供更多的理论和方法，以解决复杂的力学问题。
同时，随着计算机技术的发展，计算机模拟在分析力学中的应用也将日益重要，可以更加准确地计算和预测物体的运动和受力情况。
第六章 分析力学基础
第六章 分析力学基础本章是动力学问题的引深，将介绍解决刚体和刚体系统动力学问题中经常采用的分析方法，这些方法将在某个方面使动力学问题的解决得以方便或简化，有的方法将直接涉及到动力学分析的计算机应用，这些方法包括达朗贝尔原理、虚位移原理、第一类拉格朗日方程和第二类拉格朗日方程。
第一节 达朗贝尔原理达朗贝尔原理（有的书称之为达朗伯原理）的核心是引入惯性力和惯性力矩的概念，从而将动力学问题转化为静力学问题解决。
（一） 达朗贝尔惯性力我们已经知道，牛顿第二定律描述了一个质点的运动规律，即F r m = （6.1.1）这里，r表示该质点在惯性参考基中的位置，F 则表示该质点所受外力的主矢量。
如果将上式改写为0=-r m F（6.1.2）再定义r m F -=* （6.1.3）称为该质点的达朗贝尔惯性力，则牛顿第二定律可以改写为如下形式：0=+*F F （6.1.4）上式可以这样理解：质点的达朗贝尔惯性力与该质点所受到所有真实的外力的矢量和等于零，或者说，质点的达朗贝尔惯性力与该质点所受到所有真实的外力组成一个平衡力系。
这个结论称之为质点的达朗贝尔原理。
下面就（6.1.4）式作出讨论：① 所谓所有真实外力包括主动力和理想约束力。
② 达朗贝尔惯性力与非惯性基下的牵连惯性力和科氏惯性力是有区别的，后者仅仅是为了将非惯性基下的动力学方程写成类似于惯性基的形式而采用的，显然，它们取决于惯性基的运动，而达朗贝尔惯性力与非惯性基存在与否没有关系，达朗贝尔惯性力的定义为了将相对惯性基的动力学方程改写为另外一种形式，即一种力的平衡形式。
③ 达朗贝尔原理也称为动静法，即动力学问题的静力学处理方法。
④ 达朗贝尔惯性力是描述相对惯性基的运动，所以，它也直接简称为惯性力。
对于一个由n 个质点组成的质点系统，每个质点的外力中显然包含了系统内其他质点的作用力，但是对于整个系统而言，它们之间的作用力相互抵消，因此，该质点系的外力仅仅是系统外部的作用力，当然包括主动力和理想约束力。
分析力学基础
➢ 系统的动能
分析力学基础
T 1 {q}T [M ]{q} 2
✓在定常约束情况下，动能T是广义速度的二次齐次函 数（或称二次型） ✓系统的动能T除了广义速度全等于零外，它总是大于 零，因此动能T具有恒正的性质。 ✓在线性代数里称T这样的函数为正定二次型，相应地 称它的系数矩阵[M]是正定的。
✓对于正定的矩阵，它的全部主子行列式的值都大于零。
k
mk rk rk
动能T将是广义速度的零次、一次和二次函数
➢ 动能和势能
分析力学基础
讨论约束和时间t无关的定常约束情况，各点的坐标
只是广义坐标的函数而不显含t
rk
rk
(q1
,
q
2
,,
qn
)
rk rk
n il
n
rk
j1 qi
rddk rtk
in1rkqrki
n
qi
i 1
rk q j
qi q j
n
mij qi q j
j 1
由于系数mij仅是广义座标的函数，由上式可见，在定 常约束的情况下，动能T是广义速度的二次齐次函数。
在微振动理论中，若广义座标一律按平衡位置取作原
点，则振动过程中qi是偏离平衡位置的小量，将系数 mij在平衡位置附近按台劳级数展开得
mij
mij
0
n s 1
mij qs
✓ 但这一方法是按照各质点或刚体的运动来建立方程的，为此常 常要引入那些未知的约束反力。
✓ 对于某些复杂的系统，采用这样的方法来建立力或力矩同速度、 加速度等运动量之间的矢量关系不仅显得复杂，而且引入了那些 我们不必知道的未知约束反力。
➢ 引言
分析力学基础
01-1 分析力学基础
1.1 分析力学基础 1.1.1 直角坐标与广义坐标
燕山大学
Yanshan University
平面直角坐标：用平面上的长度值表示平面上一点位置的坐标。 平面直角坐标系oxy。 三维直角坐标：在二维直角坐标系（oxy）的基础上,再添加一个 垂直于x轴、y轴的坐标轴，称为z轴。x轴、y轴、z轴满足右手定 则，则坐标系oxyz为三维直角坐标。 广义坐标：能决定系统几何位置的彼此独立的量。
Q2 P L sin t cos 0
(3)系统运动微分方程
d L dt q j L Qj q j j 1, 2, , n
燕山大学
Yanshan University
Q1 P sin t 0 Q2 P L sin t cos 0
两个相互啮合的光滑表面所构成的约束
燕山大学
Yanshan University
两曲面相互啮合的约束条件：两曲面不能脱
开，也不能相互嵌入；则有： δrN1=δrN2
N1与N2两者互为作用力与反作用力：
N1= -N2 由于δrT1及δrT2与约束力N1及N2相垂直，因 而约束力在该方向不做功。在虚位移下，约 束力所做的虚功为：
x1 l1 x2 l2
特点：从运动的观点来研究系统的静力平衡问题。 优点：只考虑外力，不必考虑支反力，应用方便。
虚位移
燕山大学
Yanshan University
虚位移：约束允许的微小位移。 (1)虚位移是微小的、即时发生的，即不考虑它们发生的过程。
(2)独立的虚位移数等于系统的自由度数。
对于图示杠杆系统，杠杆两端的虚位移δx1和δx2。由于杠杆是单自 由度系统，因此δx1和δx2只有一个是独立的。
分析力学基础
n
有势力Fi在直角坐标系的投影为Fix、Fiy、Fiz
W Fix dxi Fiy dyi Fiz dzi
i 1
n
V Fix xi
V Fiy yi
n
V Fiz zi
xi yi zi 代入到广义力公式 Qk Fix Fiy Fiz q q q i 1 k k k
y
B
xB l1 sin 1 l2 sin 2 将B的坐标用广义坐标表示： yB l1 cos 1 l2 cos 2
变分
xB l1 cos 11 l2 cos 22 yB l2 sin11 l2 sin22
拉格朗日方程
§15-2 广义力与平衡条件
f k r1，r2，…，rn，t 0
设系统的一组广义坐标为
2, …, s k 1, q1，q2，……，qN N 3n s 2, …, n i 1,
将各质点的坐标表示为：
ri ri q1，q2，…，qN，t
ri ri qk k 1 qk
拉格朗日方程
§15-1 自由度和广义坐标
自由度 确定系统位置的独立参数数目
设n个质点组成的质点系，若受s个完整约束作用，
则质点系在空间的位置可以由N=3n-s个独立参数
完全确定 广义坐标
完全确定系统位置的最少参数
（ 可以是长度，角度，面积等）
对于完整系统，广义坐标数等于系统自由度数
拉格朗日方程
假设系统受s个完整约束，约束方程：
r 两边对 qk 求偏导： i qk qk
N ri ri ri qj t qk j 1 q j
有势力Fi在直角坐标系的投影为Fix、Fiy、Fiz
W Fix dxi Fiy dyi Fiz dzi
i 1
n
V Fix xi
V Fiy yi
n
V Fiz zi
xi yi zi 代入到广义力公式 Qk Fix Fiy Fiz q q q i 1 k k k
y
B
xB l1 sin 1 l2 sin 2 将B的坐标用广义坐标表示： yB l1 cos 1 l2 cos 2
变分
xB l1 cos 11 l2 cos 22 yB l2 sin11 l2 sin22
拉格朗日方程
§15-2 广义力与平衡条件
f k r1，r2，…，rn，t 0
设系统的一组广义坐标为
2, …, s k 1, q1，q2，……，qN N 3n s 2, …, n i 1,
将各质点的坐标表示为：
ri ri q1，q2，…，qN，t
ri ri qk k 1 qk
拉格朗日方程
§15-1 自由度和广义坐标
自由度 确定系统位置的独立参数数目
设n个质点组成的质点系，若受s个完整约束作用，
则质点系在空间的位置可以由N=3n-s个独立参数
完全确定 广义坐标
完全确定系统位置的最少参数
（ 可以是长度，角度，面积等）
对于完整系统，广义坐标数等于系统自由度数
拉格朗日方程
假设系统受s个完整约束，约束方程：
r 两边对 qk 求偏导： i qk qk
N ri ri ri qj t qk j 1 q j
第3章分析力学基础-文档资料
V F iy yi
F iz
V zi
V V V ( x y z V i i i) x y z i i i
Nn
n n x y z i i i F F F 设： Q k ix iy iz q q q i 1 1 1 k i k i k n
则：
W Q q 0
F k 1 k k
N
q k :
Qk :
为广义虚位移
称为广义力 δk为线位移， Qk 量纲是力的量纲； δk为角位移， Qk 量纲是力矩的量纲。
同理：
yi zi
N
N
k 1
yi qk q k zi qk q k
k 1
q k 为广义虚位移。虚位移用广义坐标表示。
×
§ 3-2 以广义坐标表示的质点系平衡条件
在虚位移原理中，以质点直角坐标的变分表示虚位移。 这些虚位移通常不独立，需要建立虚位移之间的关系。 若直接用广义坐标变分来表示虚位移，广义虚位移之间相互独 立，虚位移原理可表示为简洁形式。
n W F r ( F x F y F z ) i i ix i iy i iz i F n i 1 i 1
n N N N
xi
N
k 1 N
xi q qk yi q qk zi q qk
k
x y z yi i i i ( F q F q F q ) i x k i y k i z k q q q i 1 k 1 k k 1 k k 1 k
分析力学基础
n k n k
( e)
ri 则 ( Fi mi ai )dri Q jdq j mi ai ( dq j ) i 1 j 1 i 1 j 1q j dvi ri (Q j mi )dq j 0 dt q j j 1 i 1
k n
dvi ri Q j mi 0 dt q j i 1
(i 1,2,, n)
用广义坐标表示虚位移： N ri δ ri δ qk (i 1,2,, n) k 1 qk
广义虚位移
6
§3-2 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
7
虚功方程
ri δ ri δ qk k 1 qk
N
(i 1,2,, n)
δ W Q1 δ q1
2. 解析法
Qk ( Fxi
i 1 n
Q1
δW δ q1
9
xi yi zi Fyi Fzi ) qk qk qk
例题 1
杆 OA 和 AB 以铰链连接， O端悬挂于圆柱铰链上，如 图所示。杆长OA=a，AB=b, 杆重和铰链的摩擦都忽略 不计。今在点 A 和 B 分别作 用向下的铅垂力 FA 和 FB ， 又在点 B 作用一水平力 F 。 试求 平衡 时 1 ， 2 与 FA ， FB ，F之间的关系。
10
例 题 1
解： 杆 OA和 AB的位置可由点 A和 B的四个坐标
xA ，yA和xB ，yB完全确定，由于OA和AB杆的长 度一定，可列出两个约束方程
2 2 xA yA a2
O
x
( xB x A ) 2 ( y B y A ) 2 b2
因此系统有两个自由度。现选择1和2为系统的 两个广义坐标，计算其对应的广义力Q1和Q2。
( e)
ri 则 ( Fi mi ai )dri Q jdq j mi ai ( dq j ) i 1 j 1 i 1 j 1q j dvi ri (Q j mi )dq j 0 dt q j j 1 i 1
k n
dvi ri Q j mi 0 dt q j i 1
(i 1,2,, n)
用广义坐标表示虚位移： N ri δ ri δ qk (i 1,2,, n) k 1 qk
广义虚位移
6
§3-2 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
7
虚功方程
ri δ ri δ qk k 1 qk
N
(i 1,2,, n)
δ W Q1 δ q1
2. 解析法
Qk ( Fxi
i 1 n
Q1
δW δ q1
9
xi yi zi Fyi Fzi ) qk qk qk
例题 1
杆 OA 和 AB 以铰链连接， O端悬挂于圆柱铰链上，如 图所示。杆长OA=a，AB=b, 杆重和铰链的摩擦都忽略 不计。今在点 A 和 B 分别作 用向下的铅垂力 FA 和 FB ， 又在点 B 作用一水平力 F 。 试求 平衡 时 1 ， 2 与 FA ， FB ，F之间的关系。
10
例 题 1
解： 杆 OA和 AB的位置可由点 A和 B的四个坐标
xA ，yA和xB ，yB完全确定，由于OA和AB杆的长 度一定，可列出两个约束方程
2 2 xA yA a2
O
x
( xB x A ) 2 ( y B y A ) 2 b2
因此系统有两个自由度。现选择1和2为系统的 两个广义坐标，计算其对应的广义力Q1和Q2。
第3章分析力学基础-资料
yAl1sin11
1
l1
1
l1 1
xB l1cos11
yA
yB l1sin11
Q 1W 1 1 F 1yAF 2y 1 BF xB
2
F1
l2
l1 1
B
F
F 1 ( l1 si1n 1 ) F 2 ( l1 si1n 1 ) F (l1 co 1 1 s ) F2 1
×
xi xi (q1, q2,, qN ) yi yi (q1, q2,, qN ) zi zi (q1, q2,, qN )
rixiiyijzik
r ix iiy ijz ik
x i q x 1 i q 1 q x 2 i q 2 q x N i q N k N 1 q x k i q k
N k 1
yi qk
qk
k N 1(i n 1F ix q x k i i n 1F iy q y k i i n 1F iz q zk i)q k 0
z i
N k 1
zi qk
qk
×
W F k N 1 (i n 1F ix q x k i i n 1F iy q y k i i n 1F iz q z k i)q k 0
F
F2
F 1 ( l1si1 n1 ) F 2( l1si1 n1 l2si2 n2)
F (l1co 1 s1 l2co 2 s2 ) 0
×
(F 1l1sin 1F2l1sinF1c l o 1)s1 (F2l2sin 2F2c l o 2s)2 0
1
l1
1
l1 1
xB l1cos11
yA
yB l1sin11
Q 1W 1 1 F 1yAF 2y 1 BF xB
2
F1
l2
l1 1
B
F
F 1 ( l1 si1n 1 ) F 2 ( l1 si1n 1 ) F (l1 co 1 1 s ) F2 1
×
xi xi (q1, q2,, qN ) yi yi (q1, q2,, qN ) zi zi (q1, q2,, qN )
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x i q x 1 i q 1 q x 2 i q 2 q x N i q N k N 1 q x k i q k
N k 1
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N k 1
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F
F2
F 1 ( l1si1 n1 ) F 2( l1si1 n1 l2si2 n2)
F (l1co 1 s1 l2co 2 s2 ) 0
×
(F 1l1sin 1F2l1sinF1c l o 1)s1 (F2l2sin 2F2c l o 2s)2 0
[物理]分析力学基础
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令
xi yi zi Qk ( Fxi Fyi Fzi ) (k 1,, N ) qk qk qk i 1
n
则有 WF Qkqk 0
k 1
N
与广义坐标qk对 应的广义力，量 纲可为力或力矩。
虚功方程（用广义力广义坐标表示）
WF Qk qk 0
于是，虚位移原理的表达式成为
V 0
上式说明，在势力场中，具有理想约束的质点系的平 衡条件为质点系的势能在平衡位置处一阶变分为零。 如果用广义坐标 q1，q2， ，qN 表示质点系的位置, 则质点系的势能可以写成广义坐标的函数，即
V V q1，q2， ，qN
根据广义力表达式，在势力场中可将广义力 QN 写成 用势能表达的形式，即
述了质点系的几何约束方程。
xi xi q1 , q2 ,, q N , t yi yi q1 , q2 ,, q N , t i 1,2,, n zi zi q1 , q2 , , q N , t
一旦确定了质点系的广义坐标，则也隐含地描
z
M
y
z
j
R
M
y
x
z R (x y )
2 2 2
x
q
若质点 M 限定在半球面上运动，球半径为R。是 具有1个质点的空间质点系，有1个约束方程：
n 1, s 1
自由度数为：
N 3n s 3 1 2
通常用 2 个独立参数 j 和 q 表示。
z
j
R
M
y
x
q
质点 M 的空间坐标可用广义坐标表示为：
3、用广义坐标表示虚位移——广义虚位移
ri ri q1 , q2 ,, qN , t i 1,2, ,n
[物理]分析力学基础
xi yi zi Qk ( Fxi Fyi Fzi ) qk qk qk V xi V yi V zi ( ) xi qk yi qk zi qk V qk (k 1， 2， ，N )
这样，由广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式
ri ri qk k 1 qk
N
或
二、以广义坐标表示的质点系平衡条件
在虚位移原理中，以质点直角坐标的变分表示 虚位移。这些虚位移通常不独立，需要建立虚位移 之间的关系。若直接用广义坐标变分来表示虚位移， 广义虚位移之间相互独立，虚位移原理可表示为简 洁形式。为此将广义虚位移代入虚功方程
x R sin j cosq y R sin j sin q Z R cosq
一般地，设有由 n 个质点组成的非自由质点系的
位置可由 N 个广义坐标
q1 , q2 ,, qN来确定，则
质点系内各质点的坐标可表为广义坐标的函数，即
或写为：ri ri q1 , q2 ,, q N , t
z
M
yห้องสมุดไป่ตู้
z
j
R
M
y
x
z R (x y )
2 2 2
x
q
若质点 M 限定在半球面上运动，球半径为R。是 具有1个质点的空间质点系，有1个约束方程：
n 1, s 1
自由度数为：
N 3n s 3 1 2
通常用 2 个独立参数 j 和 q 表示。
z
j
R
M
y
x
q
质点 M 的空间坐标可用广义坐标表示为：
3、用广义坐标表示虚位移——广义虚位移
ri ri q1 , q2 ,, qN , t i 1,2, ,n
分析力学基础
p mi ri ri i 1 qk ql
qk ql
第5章 分析力学基础
或：
5.3 动能和势能
1 n n V ＝ mk l qk ql 2 k 1 l 1 p k 和 ql 为广义速度， mk l 为广义质量系数， k l ＝ mi ri ri 。 m 其中，q qk ql i 1
虚位移原理的另一种表述
若系统有n个自由度，任意一点的坐标矢量可以用n个广义坐标和时间 t来表示，即：r ＝r ( q ， ， ， ， ) q q t
i i 1 2 n
由于虚位移与时间无关，则有：
代入虚功方程，得：
p n
ri d ri ＝ d qk k 1 q k
n
ri d W ＝ Fi d qk i 1 k 1 q k
第5章 分析力学基础
对换求和的次序，得：
5.2 虚位移原理
p ri d W ＝ Fi i 1 q k 1 k p ri 其中， Qk ＝ Fi q i 1 k 义力。
n
d qk
(k 1, 2, , n) 为与广义坐标qk 对应的广
势力场和势力
质点从力场中某一位置运动到另一位置时，作用力的功与质点经历的路 径无关，而只与其起点及终点位置有关，这就是所谓的势力场。重力场、 万有引力场和弹性力场都是势力场。在势力场中质点所受的力称为势力。
势能
所谓势能是把质点从当前位置移至势能零点的过程中势力所作的功。根据势 能的定义，特别需要强调的是：势能大小与规定的势能零点位置有关。
这样，虚功方程可以写成：
d W ＝ Q d q ＝ 0
n k k k 1
第一章 分析力学基础
唯一的数y与之对应，则称在集合E上给定了一个函数
y = f (x) (x, y R)
在闭区间a, b上的连续函数A（x），积分
b
I = a A(x)dx
设定义在 a, b上的所有连续函数组成的集合为 ，则
上式给出了集合 到数域R的一个映射关系，称之为泛函 数，记为
I (A) (I R,A )
n个质点组成的质点系，任一瞬时这n个质点在空间中 位置的集合称为该质点系的位形。
所有满足约束条件的质点系的位形的集合称为该质点 系位形空间 。可以证明，对于完整约束系统，位形空间为 线性空间。
对于保守系统，位形空间的每一个元素（即质点系的 每一个位形），都有唯一的势能值与之对应，因此，质点 系的势能可以看成是定义在位形空间的一个泛函数。
n
δWF δWFi i 1
n
i 1
( Fix
N k 1
xi qk
δqk
Fiy
N k 1
yi qk
δqk
Fiz
N k 1
zi qk
δqk )
N n (Fix
k 1 i1
xi qk
Fiy
yi qk
Fiz
zi qk
)δqk 0 Nhomakorabea令Qk
n
( Fix
i 1
xi qk
Fiy
yi qk
势能变分的定义
设y=f（x）是定义在数域R上的可微函数，当自变量x发生 微小变化dx时，对应函数值的微小变化称为函数的微分，记 作
dy = f (x + dx) - f (x) = f (x)dx
设 I (A) 是定义在集合 上的泛函数，当自变量A发 生微小变化 A 时，对应泛函数值的微小变化称为泛函数的 变分
y = f (x) (x, y R)
在闭区间a, b上的连续函数A（x），积分
b
I = a A(x)dx
设定义在 a, b上的所有连续函数组成的集合为 ，则
上式给出了集合 到数域R的一个映射关系，称之为泛函 数，记为
I (A) (I R,A )
n个质点组成的质点系，任一瞬时这n个质点在空间中 位置的集合称为该质点系的位形。
所有满足约束条件的质点系的位形的集合称为该质点 系位形空间 。可以证明，对于完整约束系统，位形空间为 线性空间。
对于保守系统，位形空间的每一个元素（即质点系的 每一个位形），都有唯一的势能值与之对应，因此，质点 系的势能可以看成是定义在位形空间的一个泛函数。
n
δWF δWFi i 1
n
i 1
( Fix
N k 1
xi qk
δqk
Fiy
N k 1
yi qk
δqk
Fiz
N k 1
zi qk
δqk )
N n (Fix
k 1 i1
xi qk
Fiy
yi qk
Fiz
zi qk
)δqk 0 Nhomakorabea令Qk
n
( Fix
i 1
xi qk
Fiy
yi qk
势能变分的定义
设y=f（x）是定义在数域R上的可微函数，当自变量x发生 微小变化dx时，对应函数值的微小变化称为函数的微分，记 作
dy = f (x + dx) - f (x) = f (x)dx
设 I (A) 是定义在集合 上的泛函数，当自变量A发 生微小变化 A 时，对应泛函数值的微小变化称为泛函数的 变分
分析力学基础
r =(e 0 0)
T
由结构对称性，可知OZ 轴为圆盘的惯性主轴 由结构对称性，可知 利用惯性力和惯性力矩公式，可得 利用惯性力和惯性力矩公式，
αy + ω 2 x ω 2 me * 2 F = m − αx + ω y = 0 0 0
yA = r v A − ωr = 0
定常约束与非定常约束 约束方程中不显含时间的约束称为定常约束（ 约束方程中不显含时间的约束称为定常约束（稳定 定常约束 约束） 否则称为非定常约束 不稳定约束） 非定常约束（ 约束），否则称为非定常约束（不稳定约束）。 完整约束与非完整约束 约束方程中的变量只是坐标和时间而不包含坐标对 时间的导数，或者微分项（坐标对时间的导数） 时间的导数，或者微分项（坐标对时间的导数）可 以积分为有限形式，这类约束称为完整约束 完整约束。 以积分为有限形式，这类约束称为完整约束。 约束方程中包含坐标对时间的导数， 约束方程中包含坐标对时间的导数，而且方程不能 积分为有限形式，这类约束称为非完整约束 非完整约束。 积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。 约束方程不包含时间 以及质点速度，这类约束称为稳 定的完整约束 。
点建立连体基，刚体绕OZ 轴转角为 ϕ 在O 点建立连体基，刚体绕 刚体角速度和角加速度分别为
z z
ω
α
Pk
ɺ ω = ωz = ϕz
ɺ α = α z = ϕɺz
vk
C
Pk 为刚体上任意一点，其速度、加速 为刚体上任意一点，其速度、 度、惯性力分别为
rk
O
r
y
ɺ rk = ω z × rk ɺɺ = α z × r + ω 2 z × ( z × r ) rk k k F * = − m ɺɺ r
分析力学基础
分析力学（第六章）零． 总说矢量力学侧重于几何和矢量的应用； 分析力学偏重于解析数学；两者风格不同，但在力学范围内完全等价，由于分析力学具有普适的表述方式，可推广到其它学科中应用。
一．分析力学的基本概念1．系统描述相关的概念（1）力学系：n 个相互作用着的质点构成的力学系统； （2）位形：力学系的位置状态； （3）约束：限制质点自由运动的条件；分类：几何约束（限制几何位置），微分约束（约束中包含速度）不完整约束稳定约束（与时间无关），不稳定约束（与时间有关） 可解约束（可以解除），不可解约束（不可以解除） （4）自由度s ：描写力学系所须独立坐标的个数 k n s -=3 约束方程的个数 自由度数目 质点的个数（5）广义坐标：s 个独立坐标参量可以把体系3n 个坐标参量表示出来：)3,,2,1(),;,,,(21n i t q q q x xs i i==。
s 个独立坐标参量称为广义坐标（6）广义速度：广义速度分量),,2,1(,s dtdq q==ααα的全体2．系统原理相关的概念（1） 实位移：在时间间隔（0≠dt）内发生的真实位移r d（2） 虚位移：设想发生的位移rδ（时间没变化，非真正的位移） 在稳定约束下，实位移是虚位移中的一个；在不稳定约束下，实位移不同于虚位移（P167,图6.2）；（3） 虚功：力在虚位移下所作的功（4） 理想约束：体系中约束力所作的功之和为零 01=⋅∑=r F ni N iδ光滑曲面、曲线、铰链；不可伸长的杆、绳；固定点约束； 固定曲面上的纯滚动等都是理想约束。
（5） 拉格朗日函数（拉氏函数或拉格朗日量）体系的动能和势能之差);();,();,(t q V t q q T t qq L -= 适用于体系受保守力的情况。
（6） 广义动量：αααqT qL p∂∂=∂∂=αq 为线量时，αp 为动量分量；αq 为角量时，αp 为角动量分量；（7） 广义力：αααq x F q W t q q q Qi ni is ∂∂=∂∂=∑=3121);,,,( 的全体αq 为线量时，αQ 为力的分量；αq 为角量时，αQ 为力矩分量；（8） 哈密顿函数（或哈密顿量）αααqp L t p q H s∑=+-=1);,(应把广义速度都看成p q ,的函数（9） 正则变量：广义坐标和广义动量称为力学系的正则变量； ),,2,1(,s q p=ααα构成2s 维抽象空间，任一瞬时力学系的广义坐标和广义动量确定了相空间的一个点（称为相点）（10）泊松括号：∑=∂∂∂∂-∂∂∂∂=sq H p G p H q G H G 1)(],[ααααα体系的某一力学量，哈密顿量二．基本原理1． 虚功原理质点i 处于平衡状态：),,2,1( 0s i r F r F W i N i i ii==⋅+⋅=δδδ体系处于平衡状态：011=⋅+⋅=∑∑==ni i N ni i i r F r F W iδδδ（1）坐标表示在理想约束的情况下，力系的平衡条件是作用在质点上的主动力所作的虚功之和等于零：∑=⋅=ni iix FW 31δδ（2）广义坐标表示 )3,,2,1( 11n i q q x t tx q q x xsi i si i=∂∂=∂∂+∂∂=∑∑==ααααααδδδδαααααααααδδδδq Qq q x Fq q x F Wssni iis i ni i∑∑∑∑∑======∂∂=∂∂=1131131)(广义力分量 体系处于平衡时，广义力分量都应等于零。
第17章 分析力学基础
W1
2
B
W2
P
即 ( P cos1 (0.5W1 W2 ) sin 1 )l11 ( P cos2 0.5W2 sin 2 )l2 2 0 ∵ 1 、 2彼此独立， ∴上式中1、2前的系数须分别为零， P cos1 (0.5W1 W2 ) sin 1 0 即 P cos2 0.5W2 sin 2 0 解得
§4 拉格朗日方程
将动力学普遍方程用独立的广义 坐标表示，即可推导出
第二类拉格朗日方程。
拉格朗日
拉格朗日 （Lagrange 1736 — 1813）法 籍意大利人，数学 家、力学家、天文 学家，十九岁成为 数学教授，与。
x
W2
B
( P cos 2 0.5W2 sin 2 )l2 2 0
P cos 2 0.5W2 sin 2 0
解得
2P 2 arctan W 2
§3 动力学普遍方程
引言
K •摆长不定，如何 确定其摆动规律？
φ1 φ2 •多杆摆问题
1 rC1 C1
y
rA rC2
W1 A
x
W
2 C2
rB
B
P
F
P rB W1 rC1 W2 rC 2 0
W2
Pl11 cos1 W1 0.5l1 sin 1 W2l11 sin 1 0
( P cos1 (0.5W1 W2 ) sin1 )l1 1 0 P cos1 (0.5W1 W2 ) sin1 0
即
在理想约束条件下，质点系的各个质点在任意瞬 时所受的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上 所做虚功之和等于零。
分析力学基础
理论力学 ( II )
第 三 章 分析力学基础
自由度和广义坐标是分析力学最基本的概念. 自由度和广义坐标是分析力学最基本的概念. 虚位移原理的广义坐标描述便是: 虚位移原理的广义坐标描述便是: 对应于各广 义坐标的广义力分别为零是系统静止平衡的充 要条件. 虚位移原理也称静力学普遍方程. 要条件. 虚位移原理也称静力学普遍方程.虚位 移原理与达朗伯原理的结合便得到动力学普遍 方程. 方程. 动力学普遍方程的广义坐标表达可得到 拉格朗日方程. 拉格朗日方程. 确切地说是第二类拉格朗日方 程.它是完整约束下的质点系统的运动微分方 程通式.
k =1 k =1
N
的广义力. 称Qk 为系统对应于广义坐标qk 的广义力 ( k = 1、2、3……N ) 、 、 广义力的求法: 广义力的求法 (1) 在直角坐标系下
∂x i ∂y i ∂z i Qk = ∑ ( Fix ) + Fiy + Fiz ∂q k ∂q k ∂q k i =1
n
( k = 1 , 2 , 3.......N )
x D = b cos α + l cos β δx D = − b sin αδα − l sin βδβ δy D = a cos αδα + l cos βδβ
D
F
x y = a sin α + l sin β C
由
∑ (F
ix
⋅ δ x i + F iy ⋅ δ y i ) = 0
F δ x D + Py C = 0
N
用直角坐标系下的投影表达为: 用直角坐标系下的投影表达为
xi = x i ( q1 ,q2 ,q3 ......q N ) yi = yi ( q1 ,q2 ,q3 ......q N ) z i = z i ( q1 ,q2 ,q3 ......q N ) δx i = ∑ ∂x i ⋅ δqk ∂qk k =1 N ∂y δy i = ∑ i ⋅ δq k k = 1 ∂q k N ∂z δz i = ∑ i ⋅ δqk k = 1 ∂q k
第 三 章 分析力学基础
自由度和广义坐标是分析力学最基本的概念. 自由度和广义坐标是分析力学最基本的概念. 虚位移原理的广义坐标描述便是: 虚位移原理的广义坐标描述便是: 对应于各广 义坐标的广义力分别为零是系统静止平衡的充 要条件. 虚位移原理也称静力学普遍方程. 要条件. 虚位移原理也称静力学普遍方程.虚位 移原理与达朗伯原理的结合便得到动力学普遍 方程. 方程. 动力学普遍方程的广义坐标表达可得到 拉格朗日方程. 拉格朗日方程. 确切地说是第二类拉格朗日方 程.它是完整约束下的质点系统的运动微分方 程通式.
k =1 k =1
N
的广义力. 称Qk 为系统对应于广义坐标qk 的广义力 ( k = 1、2、3……N ) 、 、 广义力的求法: 广义力的求法 (1) 在直角坐标系下
∂x i ∂y i ∂z i Qk = ∑ ( Fix ) + Fiy + Fiz ∂q k ∂q k ∂q k i =1
n
( k = 1 , 2 , 3.......N )
x D = b cos α + l cos β δx D = − b sin αδα − l sin βδβ δy D = a cos αδα + l cos βδβ
D
F
x y = a sin α + l sin β C
由
∑ (F
ix
⋅ δ x i + F iy ⋅ δ y i ) = 0
F δ x D + Py C = 0
N
用直角坐标系下的投影表达为: 用直角坐标系下的投影表达为
xi = x i ( q1 ,q2 ,q3 ......q N ) yi = yi ( q1 ,q2 ,q3 ......q N ) z i = z i ( q1 ,q2 ,q3 ......q N ) δx i = ∑ ∂x i ⋅ δqk ∂qk k =1 N ∂y δy i = ∑ i ⋅ δq k k = 1 ∂q k N ∂z δz i = ∑ i ⋅ δqk k = 1 ∂q k
分析力学基础
l2
B
l 2 1
2
F2
F
F2 l 2 sin 2 Fl2 cos 2 Q1 ( F1 F2 )l1 sin 1 Fl1 cos1 0 Q2 F2 l2 sin 2 Fl2 cos 2 0
tg1
×
F tg 2 F2
×
xi xi (q1 , q2 ,, qN ) yi yi (q1 , q2 ,, qN ) zi zi (q1 , q2 ,, qN )
ri xi i yi j zi k ri xi i yi j zi k
N xi xi xi xi xi q1 q2 q N qk q1 q2 q N k 1 q k
1 l1
y
A
2 F1
l2
B
F tg1 F1 F2
F2
F
×
方法 2：
x
2 不变，给 1 虚位移 1
y A l1 sin 1 1
x B l1 cos1 1 y B l1 sin 1 1
y
1 l1
1
l1 1
A
W1 F1y A F2y B Fx B Q1 1 1
n WF Firi (Fixxi Fiyyi Fizzi )
n i 1 i 1
xi xi q k k 1 q k
N
xi yi zi ( Fix qk Fiy qk Fiz qk ) i 1 k 1 q k k 1 q k k 1 q k
×
F1l1 sin 1 F2 l1 sin 1 Fl1 cos1 0 F1l 2 sin 2 F2 l 2 sin 2 Fl2 cos 2 0
B
l 2 1
2
F2
F
F2 l 2 sin 2 Fl2 cos 2 Q1 ( F1 F2 )l1 sin 1 Fl1 cos1 0 Q2 F2 l2 sin 2 Fl2 cos 2 0
tg1
×
F tg 2 F2
×
xi xi (q1 , q2 ,, qN ) yi yi (q1 , q2 ,, qN ) zi zi (q1 , q2 ,, qN )
ri xi i yi j zi k ri xi i yi j zi k
N xi xi xi xi xi q1 q2 q N qk q1 q2 q N k 1 q k
1 l1
y
A
2 F1
l2
B
F tg1 F1 F2
F2
F
×
方法 2：
x
2 不变，给 1 虚位移 1
y A l1 sin 1 1
x B l1 cos1 1 y B l1 sin 1 1
y
1 l1
1
l1 1
A
W1 F1y A F2y B Fx B Q1 1 1
n WF Firi (Fixxi Fiyyi Fizzi )
n i 1 i 1
xi xi q k k 1 q k
N
xi yi zi ( Fix qk Fiy qk Fiz qk ) i 1 k 1 q k k 1 q k k 1 q k
×
F1l1 sin 1 F2 l1 sin 1 Fl1 cos1 0 F1l 2 sin 2 F2 l 2 sin 2 Fl2 cos 2 0
第14章 分析力学基础
理论力学电子教案
分析力学基础
1
第 14 章 分析力学基础
§14-1 自由度•约束与广义坐标 §14-2 虚位移原理 §14-3 动力学普遍方程 §14-4 第一类拉格朗日方程 §14-5 第二类拉格朗日方程 §14-6 拉格朗日方程初积分
理论力学电子教案
分析力学基础
2
牛顿力学研究的主要内容在于确定物体运动与
动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程（简称拉格
朗日方程）。成为研究动力学问题的有力手段，在
解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、
规范。
理论力学电子教案
分析力学基础
5
§14-1 自由度•约束与广义坐标
1. 自由度 自由质点：质点可占据空间任何位置。
非自由质点：质点在空间的运动受到某种限制，它
的位置和（或）速度必须满足某种限制条件。 非自由质点系：由非自由质点组成的系统。 一个自由质点在空间的位置可用直角坐标（x,y,z) 表示，这3个坐标独立可变，称为3个自由度。若被限 制在平面内运动，则它的位置可由2个坐标确定，因而 具有2个自由度。
f j ( x1 , y1 , z1 ,, xn , yn , zn ; t ) 0
( j 1,2,, s )
理论力学电子教案
分析力学基础
11
几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是 几何约束。非完整约束一定是运动约束，但运动约 束未必是非完整约束。 如右图，刚性杆限制了 刚杆 绳 质点M拉伸和压缩方向的位移， 这类约束称为双面约束（或 固执约束）。若刚性杆改为 2 +y 2 l 2 x2+y2=l2 x 绳，则只限制单一方向运 动，该类约束称为单面约束（或非固执约束）。显 然双面约束方程为等式，单面约束方程为不等式。
分析力学基础
1
第 14 章 分析力学基础
§14-1 自由度•约束与广义坐标 §14-2 虚位移原理 §14-3 动力学普遍方程 §14-4 第一类拉格朗日方程 §14-5 第二类拉格朗日方程 §14-6 拉格朗日方程初积分
理论力学电子教案
分析力学基础
2
牛顿力学研究的主要内容在于确定物体运动与
动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程（简称拉格
朗日方程）。成为研究动力学问题的有力手段，在
解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、
规范。
理论力学电子教案
分析力学基础
5
§14-1 自由度•约束与广义坐标
1. 自由度 自由质点：质点可占据空间任何位置。
非自由质点：质点在空间的运动受到某种限制，它
的位置和（或）速度必须满足某种限制条件。 非自由质点系：由非自由质点组成的系统。 一个自由质点在空间的位置可用直角坐标（x,y,z) 表示，这3个坐标独立可变，称为3个自由度。若被限 制在平面内运动，则它的位置可由2个坐标确定，因而 具有2个自由度。
f j ( x1 , y1 , z1 ,, xn , yn , zn ; t ) 0
( j 1,2,, s )
理论力学电子教案
分析力学基础
11
几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是 几何约束。非完整约束一定是运动约束，但运动约 束未必是非完整约束。 如右图，刚性杆限制了 刚杆 绳 质点M拉伸和压缩方向的位移， 这类约束称为双面约束（或 固执约束）。若刚性杆改为 2 +y 2 l 2 x2+y2=l2 x 绳，则只限制单一方向运 动，该类约束称为单面约束（或非固执约束）。显 然双面约束方程为等式，单面约束方程为不等式。
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牛顿的《原理》只提供了分析质点受力与运动的原型，对于复杂的力学系 统，甚至对一个简单的刚体的运动方程也还没有弄清楚。刚体的运动方程是 1765年由欧拉（Euler）最后弄清楚的。 按照当时已有的力学知识,要分析一个稍许复杂的机构,例如一个有五级 齿轮的传动系统的运动,也还是无能为力的.如果拿这个问题去请教牛顿,牛顿 只会处理自由质点运动,不会处理刚体运动,何况还是带约束的呢.而转去请教 欧拉呢?他不得不将整个系统化归为五个”隔离体”即五个刚体,分别列出五个 刚体的运动方程,而不同刚体之间又有作用力和反作用力的耦合,所以得面对 数十个方程联立的微分方程组.这样处理问题是太复杂了. 拉格朗日自有他的高招,他将这个系统简化为一个广义坐标的系统,因 为这个虽然有五个轮子的系统只要有一个参数便可以描述它的例如随便以 其中某一个轮子的转角为参数,这个参数知道了,整个齿轮系统的状态也便 知道了.然后再计算当系统动起来后系统的动能.这时便可以列出一个广义 坐标满足的二阶方程,这是何等的简便啊! 拉格朗日是怎么作到这一点的呢?
O
x
1
自由度： 2
a A
2
广义坐标： 1 2
二、受力分析：
y
b
B
F
计算广义坐标 1 、 2 对应 的 广义力
FA
FB
以下分两种方法进行计算
O
x
1
第一种方法： 解析法
xi yi zi Qk X i q Yi q Z i q i 1 k k k
即用质点系的平衡条件是： 所有的广义力都等于零
利用广义坐标表示的平衡条件求解实际问题时，关健在 于如何表达其广义力。
通常求广义力的方法有两种：
方法一：是采用公式计算
x y z X i i Yi i Z i i Qk qk qk qk i 1
一、以广义坐标表示的质点系的平衡条件 由虚位移原理： 具有理想约束的质点系的平衡条件为
F r
i
i
0
在上式中，虚位移不一定是独立的虚位移，所以在解题时，还要建立虚位移 之间的关系，然后才能将问题解决。如果我们直接用广义坐标的变分来表示虚位 移，则这种广义虚位移之间是相互独立的，这时虚位移原理可以表示为更简洁的 形式。
1
Q1 ( FA FB )a sin 1 Fa cos 1
O
x
1
2
a 2
保持 1 不变，只有 2 时：
y
2
yA 0
yB b sin 22
F1
B
F2
Q2
F
xB b cos 22
W
2
2
FA y A FB yB F xB
这本书的第二版共分两卷,有785页之多.第一卷的一半是静力学,主要讨论质点组和流体的平 衡问题,第一卷的后一半和第二卷是讨论动力学的,动力学共分13章.
推动天体运行的人：拉格朗日
人类能够在二十世纪进入太空与两个人有 很大关系，一个是牛顿，一个是拉格朗日。 牛顿的万有引力定律奠定了天体力学的基 础，而拉格朗日的行量研究则开拓了近代 天文学。 ——加加林
以q1，q2，…，qN表示质点系的广义坐标，则各质点的坐标都 可以写成这些广义坐标的函数。
F r
i
i
0
直角坐标形式： X ixi Yiyi Z izi 0
W
F
X x Y y
i 1 i i i
n
n
i
Z izi
N xi yi zi X i Yi Zi qk qk qk qk i 1 k 1 N n x y z X i i Yi i Z i i qk qk qk qk k 1 i 1
§1-1
1 自由度
自由度与广义坐标
自由度: 确定系统位置的独立坐标数目。 自由度为3
自由质点 曲面上运动的质点 曲线上运动的质点
自由度为2
自由度为1
2 广义坐标 广义坐标：确定系统位置的独立变量。 完整约束条件下：自由度数=广义坐标数
x θ y l θ1
x
l1 M1（x1，y1） l2 θ2 M2（x2，y2）
W
QA
A
FA xA PC yC
1 ( FA PC ) xA 2
A
W
x A
1 PC FA 2
WB PyB PC
M（x，y）
y
对于具有大量互相约束的力学系统,广义坐标的引进,实际上是消除约 束的和简化计算最方便的途径.拉格朗日在他的分析力学中还引进了另一 种消除约束的办法,即以约束力代替约束,称为不定乘子法.所得到的方程 也称为拉格朗日第一类方程.从这个意义上讲,我们也可以说,分析力学是 针对有大量约束的复杂系统的力学,也可以说是近代工业的力学. 分析力学中引进的广义坐标实际上是最早高维空间的概念.后来到了 1854年,德国的数学家黎曼(Riemann)引进了黎曼几何,黎曼流形,才对力学 上的广义坐标给了一个比较深刻的解释,所以我们也可以说,分析力学是 流形上的力学.拉格朗日使力学脱离了古典欧氏几何的束缚,但并没有使 它永远脱离几何,而是使力学与更高层次的几何____流形几何或现代微分 几何相联系在一起.
第一章 分析力学基础
我们知道的东西是有限的,我们不知道的东西是无限的.
_______ 拉普拉斯
Classical Mechanics (没有相对论的力学）
1687年, 《自然哲学的数学原理》 此后两个方向发展 1 扩大研究范围。法国达朗伯，瑞士欧拉。 2 寻求新的表达形式。瑞士伯努利，法国拉格朗日，英国哈密顿 拉格朗日的目标： 1788 《分析力学》， 分析力学的理论体系
哈密顿在评论拉格朗日的分析 力学工作时说他把力学处理为” 一种科学的诗”
经典力学的基础
1）不含理想约束力的动力学方程组。 2）方程个数最少的动力学方程组。
一本没有图的力学书 《分析力学》
从古代开始的力学和天文学著作都涉及大量的几何知识并且有许多几何 图形的插图。 “没有学过几何的人,不准入内!” 巨著《天体运行论》 （1543年,哥白尼）的第一版扉页上。 “几何学是建立在力学实践之上的，它无非是普通力学的一部分， 能精确地提出并论证测量的方法。” 《自然哲学的数学原理》（1687，牛顿）第一版序言 101年之后，法国大革命前一年。
F tan1 FA FB
F tan 2 FB
O
1
x
a 1 1
第二种方法： 几何法 保持 2 不变，只有 1 时：
1
y A yB a sin 1 1
a 1
y
2
F1
Q1
B
F2
F
xB a cos1 1
W
1
1
FA y A FB yB F xB
r r (q1 , q2 ,..., qN , t )
z
v u
r ( x, y, z )
f ( x, y, z, t ) 0
r r ( x, y, z )
f ( x, y, z, t ) 0
y
x
z z( x, y, t )
r r ( x, y, t )
§1-2
以广义坐标表示的质点系平衡条件
n
k 1,2,..., N
方法二： 只给质点系—个广义虚位移δqk不等于零,而
其它（N-1）个广义虚位移均为零。
此时：
WF Qkqk Qkqk
k 1
N
Qk
W
q k
F
例 杆OA和AB以铰链相连，O端悬挂于圆柱铰链上、如图所示 。杆长OA＝a．AB＝b，杆重和铰链的摩擦都忽略不计,今在点 A和B分别作用向下的铅垂力FA相FB，又在点B作用一水平力F. 试求平衡时 1 、 2 与FA、FB、F之间的关系。 解： 一、研究对象：系统
设: q1 , q2 , ... , qN 为系统的一组广义坐标
可以将各质点的坐标表示为:
ri ri (q1 ,...qN , t )
对上式进行等时变分运算
(i 1,..., n)
ri ri q j j 1 q j
N
(i 1,..., n)
q1 , ... , qN 为广义坐标的变分,称为广义虚位移。
我过完了我的一生，我在数学中得到了一些名声。我从不 恨任何人，我没有作过什么坏事，死会是很好的；但是我 的妻子不希望我死。
如果让你在19世纪以前，在世界范围内选六位最著名的数学家。 多数人会选这样六位：
阿基米德、牛顿、莱布尼兹、欧拉、拉格朗日、柯西。
Archimedes, 287 BC---212BC Isaac Newton,1642，12，25－1727，3，20 Gottfried Wilhelm Leibniz,1646－1716 Leonhard Euler,1707－1783 Joseph Louis Lagrange, 1736，1，25－1813，4，11 Cauchy,Augustin-Louis,1789,821—1857,523
n
a A
2
k 1,2,..., N
y
b
B F FB
Q1 FA
Q2 FA
y A y x FB B F B 1 1 1
y A y x FB B F B 2 2 2
y B a sin 1 1
y B b sin 2 2
人物记事
●他是欧洲最伟大的数学家之一，曾担 任柏林科学院的数学部主任。 ●他意志坚强．涉猎广泛，尤其是在 “解析函数论”中成就突出。