初高中数学衔接教案(含答案)

第一讲 数与式

1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 解不等式：13x x -+-＞4．

解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；

②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，

∴不存在满足条件的x ；

③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．

综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．

解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．

所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知

点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．

x ＜0，或x ＞4． 练 习 1．填空：

（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则

x =_________.

（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题：

下列叙述正确的是 （ ）

（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．

1

A 0 C |x －1|

|x －3|

图1．1－1

1.1.

2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 2

2

()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 2

2

2

()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2

2

3

3

()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2

2

3

3

()()a b a ab b a b -++=-；

（3）三数和平方公式 2

2

2

2

()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：2

2(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．

解法一：原式=2222

(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦

=2

4

2(1)(1)x x x -++ =6

1x -．

解法二：原式=2

2

(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =3

3(1)(1)x x +- =6

1x -．

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222

a b c ++的值． 解： 2

2

2

2

()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．

练 习 1．填空：

（1）221111

()9423

a b b a -=+（ ）

； （2）(4m + 22

)164(m m =++ )；

(3 ) 2222

(2)4(a b c a b c +-=+++ )．

2．选择题：

（1）若2

1

2

x mx k +

+是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2

m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m

（2）不论a ，b 为何实数，22

248a b a b +--+的值 （ ）

（A ）总是正数 （B ）总是负数

（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式

一般地，形如0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为

无理式. 例如 32a b 2

12

x ++，22x y ++是有理式．

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化