全国名校高考数学一轮复习优质专题汇编(知识点详解附专题训练) 数列求和之裂项相消法

第6节 数列求和之裂项相消法

【基础知识】

1．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前错误！未找到引用源。项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似错误！未找到引用源。（其中错误！未找到引用源。是各项不为零的等差数列，错误！未找到引用源。为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：

（1）错误！未找到引用源。，特别地当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。；

（21

k

=

，特别地当错误！未找到引用源。时，

=；

（3）()()

221111212122121n n a n n n n ⎛⎫

==+- ⎪-+-+⎝⎭ （4）()()(

)()()1111

122112n a n n n n n n n ⎛⎫==- ⎪ ⎪+++++⎝⎭ （5）

)()1

1(11q p q p p q pq <--=

一般裂项模型：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）

n n n n tan )1tan()

1cos(cos 1sin -+=+ （3）

1

1

1)1(1+-

=+=

n n n n a n （4）

)1

21121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n

（5）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n

(6)

n

n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2

)1(1

1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=

-则 （7）)1

1(1))((1C

An B An B C C An B An a n +-+-=++=

（8）

n a ==

【规律技巧】

1. 在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．

对于不能由等差数列、等比数列的前n 项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．

应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式．

使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．

用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特

别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式．

2. 利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：

(1)裂项过程中易忽视常数，如)211(21)2(1+-=+n n n n 容易误裂为11

2

n n -

+，漏掉前面的系数12

；

(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．

【典例讲解】

【例1】 正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2

n －(n 2＋n －1)S n －

(n 2＋n )＝0.

(1)求数列{a n }的通项公式a n ；

(2)令b n ＝n ＋1

（n ＋2）2a 2n

，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *

，都有T n ＜564.

【解析】(1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2

＋n )＝0，

得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.

由于{a n }是正项数列，所以S n ＞0，S n ＝n 2＋n . 于是a 1＝S 1＝2，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n .综上，数列{a n }的通项a n ＝2n .

规律方法 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．

【变式探究】 (2014·山东卷)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)

n －1

4n

a n a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】(1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×1

2×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1.

(2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n （2n －1）（2n ＋1）

＝(－1)

n －1

⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，

T n ＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1

－12n ＋1＝2n

2n ＋1

.