高考数学解题技巧大揭秘专题函数导数不等式的综合问题

专题五 函数、导数、不等式的综合问题

1.已知函数f (x )＝ln x ＋k

e x

(k 为常数，e ＝ 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．

(1)求k 的值；

(2)求f (x )的单调区间；

(3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e

－2

.

解 (1)由f (x )＝

ln x ＋k

e x

， 得f ′(x )＝1－k x －xln x

xe

x

，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝

1

xe x

(1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)，

令h(x )＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)，

当x ∈(0,1)时，h(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h(x )＜0. 又e x

＞0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0；

x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0.

因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)因为g(x )＝xf ′(x )，

所以g(x )＝1

e

x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)，

由(2)得，h(x )＝1－x －xln x ，

求导得h′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2

)． 所以当x ∈(0，e －2

)时，h′(x )＞0，函数h(x )单调递增； 当x ∈(e －2

，＋∞)时，h′(x )＜0，函数h(x )单调递减． 所以当x ∈(0，＋∞)时，h(x )≤h(e －2

)＝1＋e －2

. 又当x ∈(0，＋∞)时，0＜1

e

x ＜1，

所以当x ∈(0，＋∞)时，1e

x h(x )＜1＋e －2，即g(x )＜1＋e －2

.

综上所述结论成立．

导数与函数、方程、不等式的交汇综合，以及利用导数研究实际中的优化问题，是命题的热点，而且不断丰富创新．题型以解答题的形式为主，综合考查学生分析问题、解决问题的能力．

应通过一些典型例题的分析提高分析问题和解决问题的能力．解题时要善于把复杂的、生疏的、非规范化的问题转化为简单的、熟悉的、规范化的问题来解决.

利用导数解决方程根的问题

常考查：①确定零点，图象交点及方程解的个数问题；②应用零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或范围．该类试题一般以含参数的高次式、分式、指数式或对数式结构的函数、方程呈现．主要考查学生转化与化归、数形结合思想，以及运用所学知识解决问题的能力．

【例1】► 已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2

－10x 的一个极值点． (1)求a ；

(2)求函数f (x )的单调区间；

(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的取值范围． [审题视点] [听课记录]

[审题视点] (1)由f ′(3)＝0求a ；(2)由f ′(x )＞0或f ′(x )＜0，求函数f (x )的单调区间；(3)求f (x )的极值，结合图象可确定b 的取值范围．

解 f (x )的定义域：(－1，＋∞)． (1)f ′(x )＝a

1＋x ＋2x －10，

又f ′(3)＝a

4＋6－10＝0，∴a ＝16.

经检验此时x ＝3为f (x )极值点，故a ＝16. (2)f ′(x )＝16

1＋x ＋2x －10

＝2x 2

－8x ＋6x ＋1

＝

2x －1x －3

x ＋1

.

当－13时，f ′(x )>0； 当1

∴f (x )单调增区间为：(－1,1)，(3，＋∞)，单调减区间为(1,3)．

(3)由(2)知，f (x )在(－1,1)内单调增加，在(1,3)内单调减少，在(3，＋∞)上单调增

加，且当x ＝1或x ＝3时，f ′(x )＝0.所以f (x )的极大值为f (1)＝16ln 2－9，极小值为

f (3)＝32ln 2－21.

因为f (16)>162

－10×16>16ln 2－9＝f (1)，

f (e －2－1)<－32＋11＝－21

所以在f (x )的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)直线y ＝b 与y ＝f (x )的图象各有一个交点，当且仅当f (3)

因此b 的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．

对于研究方程根的个数的相关问题，利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好地解决．这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．

【突破训练1】设函数f (x )＝(1＋x )2

－2ln (1＋x )． (1)求函数f (x )的单调区间；

(2)若关于x 的方程f (x )＝x 2

＋x ＋a 在[0,2]上恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围．

解 (1)函数的定义域为(－1，＋∞)， 因为f (x )＝(1＋x )2

－2ln (1＋x )， 所以f ′(x )＝2⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤x ＋1－1x ＋1＝2x x ＋2x ＋1，

由f ′(x )＞0，得x ＞0；由f ′(x )＜0，得－1＜x ＜0， 所以，f (x )的递增区间是(0，＋∞)，递减区间是(－1,0)． (2)方程f (x )＝x 2

＋x ＋a ，即x －a ＋1－2ln (1＋x )＝0， 记g(x )＝x －a ＋1－2ln (1＋x )(x ＞－1)， 则g′(x )＝1－

21＋x ＝x －1

x ＋1

， 由g′(x )＞0，得x ＞1； 由g′(x )＜0，得－1＜x ＜1.

所以g(x )在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增． 为使f (x )＝x 2

＋x ＋a 在[0,2]上恰有两个相异的实根， 只须g(x )＝0在[0,1)和(1,2]上各有一个实根， 于是有⎩⎪⎨⎪

⎧

g 0≥0，g 1＜0，

g 2≥0，

即⎩⎪⎨⎪

⎧

－a ＋1≥0，2－a －2ln 2＜0，3－a －2ln 3≥0，

解得2－2ln 2＜a ≤3－2ln 3，