最新弹塑性力学思考与练习1
(完整版)弹塑性力学作业(含答案)(1)
第二章 应力理论和应变理论2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。
解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知 σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应力符号均按材力的规定）代入材力有关公式得： 代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy= -4 τxy = +2由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。
2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。
材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。
试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。
解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c 截面的内力：N z =γ·A ·z ；c 截面上的应力：z z N A zz A Aγσγ⋅⋅===⋅；所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为：z z z E Eσγε==；则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：()22z z z z z z z z y zz l d l d d zd EEEγγγε=⎰⋅∆=⎰⋅=⎰=⎰=ooooV ；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：()2222ll A l lW ll d l EEAEAγγ⋅⋅⋅⋅⋅=⎰∆===oV ；（W=γAl ） 2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦应力单位为kg ／cm 2 。
试确定外法线为n i（也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P v、正应力σn 及剪应力τn 。
弹塑性力学 陈明祥版的 课后习题答案++汇总
七、张量概念及其基本运算（附录一）
1、张量概念
◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具 。
◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。
◆ 任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的， 它们是不以人们的意志为转移的。
静力学：研究力系或物体的平衡问题，不涉及 物体运动状态的改变；如飞机停在地 面或巡航。
运动学：研究物体如何运动，不讨论运动与受 力的关系； 如飞行轨迹、速度、 加速度。
动力学：研究力与运动的关系。 如何提供加速度？
● 按研究对象分：
◆ 一般力学： 研究对象是刚体。研究力及其与
运动的关系。分支学科有理论力学，分析力学等。
五、 弹塑性力学的基本假设
（1）连续性假设：假定物质充满了物体所 占有的全部空间，不留下任何空隙。
（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内 部各点处，以及每一点处各个方向上的 物理性质相同。
（3）力学模型的简化假设： （A）完全弹性假设 ； （B）弹塑性假设。
⑷ 几何假设——小变形条件
假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定： （A）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以
◆ 分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们 当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题 的求解与表述。
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明
的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。
◆ห้องสมุดไป่ตู้在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向
弹塑性力学课程作业 参考答案
弹塑性力学课程作业1 参考答案一．问答题1. 答：请参见教材第一章。
2. 答：弹塑性力学的研究对象比材料力学的研究对象更为广泛，是几何尺寸和形态都不受任何 限制的物体。
导致这一结果的主要原因是两者研究问题的基本方法的不同。
3. 答：弹塑性力学与材料力学、结构力学是否同属固体力学的范畴，它们各自求解的主要问题都是变形问题，求解主要问题的基本思路也是相同的。
这一基本思路的主线是：（1）静 力平衡的受力分析；（2）几何变形协调条件的分析；（3）受力与变形间的物理关系分析； 4. 答：“假设固体材料是连续介质”是固体力学的一条最基本假设，提出这一基本假设得意义是为利用数学中的单值连续函数描述力学量（应力、应变和位移）提供理论依据。
5. 答：请参见本章教材。
6. 答：略（参见本章教材）7. 答：因为物体内一点某微截面上的正应力分量 σ 和剪应力分量τ 同材料的强度分析 问题直接相关，该点微截面上的全应力则不然。
8. 答：参照坐标系围绕一点截取单元体表明一点的应力状态，对单元体的几何形状并不做 特定的限制。
根据单元体所受力系的平衡的原理研究一点的应力状态。
研究它的目的是： 首先是了解一点的应力状态任意斜截面上的应力，进一步了解该点的主应力、主方向、 最大（最小）剪应力及其作用截面的方位，最终目的是为了分析解决材料的强度问题。
9．答：略（请参见教材和本章重难点剖析。
） 10. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。
）11. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。
） 这样分解的力学意义是更有利于研究材料的塑性变形行为。
12. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。
）纳唯叶 (Navier) 平衡微分方程的力学意义是：只有满足该方程的应力解和体力才是客观上可能存在的。
13. 答：弹塑性力学关于应力分量和体力分量、面力分量的符号规则是不一样的。
它们的区别请参见教材。
14、答：弹塑性力学的应力解在物体内部应满足平衡微分方程和相容方程（关于相容方程详见第3、5、6章），在物体的边界上应满足应力边界条件。
弹塑性力学第五章 简单弹塑性力学问题1
利用 2 ij ij ，以上各式易改写为张量形式
ij ,kl kl ,ij ik , jl jl ,ik
这六个方程的几何意义是被分割后的微分单元体在受力 变形后能重新拼合成连续体，即不会出现“撕裂”或 “套叠”等现象。如图（这里略）
(5.17)
F cos 2 1 2 A (1 2cos3 ) F 1 3 A (1 2cos3 )
(5.18)
由式(5.18)可见 3 1 ，当F增加时，杆3将首先屈服。 显然，当 3 s 时，桁架开始初始屈服，由式（5.18)可 求得桁架初始屈服时对应的荷载值 Fe
3.本构方程 1）弹性阶段，即
f ( ij ) 0或f ( ij ) 0, df 0
本构方程可表示为两种可相互转换的形式：（1）应力表 示应变；（2）应变表示应力
或
1 ij ij kk ij E E
(5.4)
ij kk ij 2G ij
为
1
因此，有变形协调关系
1 2 3 cos
2
(5.16)
1、弹性阶段——弹性解和弹性极限荷载
当荷载F足够小时，各杆应力都小于屈服应力，整个桁架 处于弹性阶段。由2 3 E 3
联立式(5.14)、(5.15)和(5.17)并求解，得
5.5 叠加原理（线弹性体）
考虑同一边界条件下作用在同一固体上的两组荷载情况:第 ' ' 一组体力 X i 和面力 X i' ,第二组为体力 X i''和面力 .设它 X i' ' ' 们引起的应力场、应变场和位移场分别为 ij、ij、ui ， '' '' '' 和 ij、ij、ui ，则在线弹性和小变形情况下两组荷载共同 作用时产生的应力场、应变场和位移场，等于各自单独作用 时引起的相应场之和，即
弹塑性力学-陈明祥版的-课后习题答案++
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明
的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向
的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。
x j xk
（I-25）
4.张量的分解
张量一般是非对称的。若张量 ai的j 分量满足
aij a ji
（I-27）
则 aij称为对称张量。 如果 的分ai量j 满足
aij a ji
（I-28）
则称为反对称张量。显然反对称张量中标号重复的
分量(也即主对角元素)为零，即 a11 a22 。a33 0
弹塑性力学与材料力学同属固体力学的 分支学科，它们在分析问题解决问题的基本 思路上都是一致的，但在研究问题的基本方 法上各不相同。其基本思路如下：
(1) 受力分析及静力平衡条件 (力的分析)
物体受力作用处于平衡状态，应当满足的条件 是什么？（静力平衡条件）
(2) 变形的几何相容条件 (几何分析)
材料是均匀连续的，在受力变形后仍应是连续 的。固体内既不产生“裂隙”，也不产生“重叠 ”， 此时材料变形应满足的条件是什么？（几何相 容条件）
建立起普 遍适用的理 论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解
法的严密性和普遍适用性为特点；
2、弹塑性的工程解答一般认为是精确的；
3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠
进行度量。
四、 弹塑性力学的基本任务
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
弹塑性力学部分习题及答案
解
根据梁的弯曲变形公式，y = Fx/L(L - x)，其中y为挠度，F 为力，L为梁的长度。代入题目给定的数据，得y = (frac{300 times (4 - x)}{8})。当x = 2时，y = (frac{300 times (4 - 2)}{8}) = 75mm。
习题三答案及解析
解析
和变形情况。
04
弹塑性力学弹塑性力学的基本假设。
答案
弹塑性力学的基本假设包括连续性假设、均匀性假设、各向同性假设和非线性假设。连 续性假设认为物质是连续的，没有空隙；均匀性假设认为物质的性质在各个位置都是相 同的；各向同性假设认为物质的性质在不同方向上都是相同的；非线性假设认为弹塑性
习题二答案及解析
01 02 03 04
解析
选择题主要考察基本概念的理解，如能量守恒定律、牛顿第二定律等 。
填空题涉及简单的力学计算，如力的合成与分解、牛顿第二定律的应 用等。
计算题要求应用能量守恒定律和牛顿第二定律进行计算，需要掌握基 本的力学原理和公式。
习题三答案及解析
01
答案
02
选择题
03
1. A
2. 解
根据牛顿第二定律，F = ma，其中F为力，m为质量，a 为加速度。代入题目给定的数据，得a = (frac{400}{5}) = 80m/s(}^{2})。再根据运动学公式s = ut + (frac{1}{2})at(}^{2})，得s = 10 × 2 + (frac{1}{2} times 80 times (2)^2) = 108m。
04
计算题要求应用胡克定律和动量守恒定律进行计算，需要掌握基本的 力学原理和公式。
习题二答案及解析
弹塑性力学陈明祥版课后习题答案++
第一章 绪 论
一、 学科分类 ·弹塑性力学 二、 弹塑性力学的研究对象 三、 弹塑性力学的基本思路与研究方法 四、 弹塑性力学的基本任务 五、 弹塑性力学基本假设 六、 弹塑性力学发展概况 七、张量概念及其基本运算
一、学科分类 ·弹塑性力学
1、学科分类
按运动与否分：
静力学：研究力系或物体的平衡问题，不涉及 物体运动状态的改变；如飞机停在地 面或巡航。
◆ 法国科学家库伦(C.A.Corlomb1773年）、 屈雷斯卡(H.Tresca1864年）、 圣文南和莱 ( M.Levy ) 波兰力学家胡勃(M.T.Houber 1904年）、 米塞斯(R.von Mises1913年）、 普朗特(L.Prandtl 1924) 罗伊斯(A.Reuss 1930)、享奇 （H.Hencky)、 纳戴(A.L.Nadai) 、伊留申(A.A.Ииьющин)
建立起普 遍适用的理 论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解
法的严密性和普遍适用性为特点；
2、弹塑性的工程解答一般认为是精确的；
3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠
进行度量。
四、 弹塑性力学的基本任务
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
阐明了应力、应变的概念和理论； 弹性力学和弹塑性力学的基本理论框架 得以确立。
七、张量概念及其基本运算（附录一）
1、张量概念
弹塑性力学复习思考题.docx
研究生弹塑性力学复习思考题1. 简答题：（1） 什么是主平而、主应力、应力主方向？简述求一点主应力的步骤？ （2） 什么是八面体及八面体上的剪应力和正应力有何其特点 （3） 弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么？ （4） 偏应力第二不变量丿2的物理意义是什么？（5） 什么是屈服面、屈服函数？ Tresca 屈服条件和Mises 屈服条件的儿何 与物理意义是什么？（6） 什么是Drucker 公设？该公设有何作用？（能得出什么推论？） （7） 什么是增量理论？什么是全量理论？ （8） 什么是单一 Illi 线假定？（9） 什么是平而应力问题？什么是平而应变问题？在弹性范用内这两类问题之间有 和联系和区别？（10） 论述薄板小挠度弯曲理论的基木假定？二、计算题1、已知P 点的应力张量为「3 1 r叭=10 21 2 0求该点的主应力、主方向及最人剪应力2、利用应变协调条件检杳其应变状态是否存在存在?° 红 i f + YP ________ OiLti -------- 二.=0dx idx j dXjdXtt, dx i dx h(1) e x =Axy 2, £y =Bx 2y, y xy =0, A^ B 为常数=k(x 2+ y 2\= ky 2,/vv = 2kxy k 为常数y xz z z2z 25x 2⑵ % = y 23、写出如下问题的边界条件(a)用直角坐标,(b)用极坐标°ly4、正方形薄板三边固定，另一边承受法向压力p = -p. sin —,如图所示，设位移函数为 b利用Ritz 法求位移近似解（泊松比v=0）o5、 悬臂梁在自 由端受亲中力P 作用，如图所示。
试用极小势能原理求最大挠度dP丿 -Z ----------------------------------------- 1z/ X< -------------------- -------------------------- >、'y第5题图提示设梁的挠1111线为2 3vv = a 2x +a 3x6、 对给定的应力函数： （1） （p } = = Cxy 3,试确定它们哪个能作为平面问题的应力函数，并分析它们能解什么问题？3F xv 3 P（2） 证明0= —[xy - ^-] + — b 可以作为应力函数，并求在区域xAO,—cYyYc 区4c " 3c~ 4c'域内的应力分量，并分析该应力函数可以解决那类平|何问题。
(完整word版)弹塑性力学思考题答案
弹塑性理论思考题⒈ 一点的应力状态？答：通过一点P 的各个面上应力状况的集合 ⒉ 一点应变状态？ 答：[受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变与剪应变(任意两相互垂直方向所夹直角的改变量)的总和，就表示了该点的应变状态。
]代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变⒊ 应力张量？应力张量的不变量？应力球张量？体积应力？平均应力？应力偏张量？偏应力第二不变量J2的物理意义？单向应力状态、纯剪应力状态的应力张量？给出应力分分量，计算第一，第二不变量。
答：应力张量：代表一点应力状态的应力分量，当坐标变化时按一定的规律变化，其变换关系符合张量之定义，因此，表示点的应力状态的9个分量构成一个二阶张量，称为应力张量。
一点的应力状态可以借用矩阵以张量σij 表示：。
其中：xz τ=zxτ，xy τ=yx τ，yz τ=zy τ。
应力张量的不变量：对于一个确定的应力状态,只有一组(三个)主应力数值,即J 1,J 2,J 3是不变量,不随着坐标轴的变换而发生变化。
所以J 1,J 2,J 3分别被称为应力张量的第一、第二、第三不变量。
应力张量可分解为两个分量0-00+00m x m xy xz ij m yxy m yz m zx zy z m σσσττσστσστσττσσ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，等式右端第一个张量称为应力球张量，第二个张量称为应力偏张量。
应力球张量：应力球张量，表示球应力状态（静水应力状态），只产生体积变形，不产生形状变形，任何切面上的切应力都为零，各方向都是主方向。
应力偏张量：应力偏张量，引起形状变形，不产生体积变形，切应力分量、主切应力、最大正应力及主轴同原σij ，二阶对称张量，同样存在三个不变量J 1' ,J 2' ,J 3' 体积应力：P46平均应力：12311()()33m x y z σσσσσσσ=++=++，m δ为不变量,与坐标无关。
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（3）.当物体一小部分边界上的位移边界条件不能 精确满足时，也可在此部分边界上以静力等效的力 的边界条件代替加以求解； （4）.利用圣维南原理有时在工程结构受力分析中 可以近似判断应力分布、应力集中情况。
弹性力学理论解的唯一性定理及其在弹性 力学问题求解中的作用
解的唯一性定理： 在给定的线性弹性力学问题中，假定弹性体中
a q
b
2. 如图单位厚度的变截面薄板，设侧面上任意一 点A处的外法线与x轴的夹角为 ，试建立A点处应 力分量 x 、 y 、 xy 之间的关系。
3. 图示平板受力后，经过某种分析，得到应力为
x
A
tg
1
y x
x2
xy
y2
C
y
A
tg
1
y x
xy x2
y2
B
xy
Ay 2 x2 y2
o
无初始应力，那么，只要所给答案能满足该问题所 涉及范围内的全部方程、边界条件以及多连体中的 位移单值条件，它就是正确的唯一答案。
作用： 由于弹性力学问题求解联立微分方程十分困
难，所以常采用半逆解法和逆解法。解的唯一性定 理告诉我们，求解弹性力学问题的方法不限于正面 解法，可以针对具体问题灵活多变。无论使用什么 解法，只要解答满足全部方程、边界条件以及多连 体的位移单值条件，就是正确、唯一的答案。
弹塑性力学思考与练习1
4.为保证物体的连续性，物体内部的应变分量 一定要满足（变形协调方程、本构方程）。 5.平衡微分方程是通过在物体内任一点取个微 元体，建立所有（ 力、应力）之间的平衡条件 导出的。 6.对于特定的物体，所受外力一旦给定，它内 部的应力状态就是完全（确定、不确定）了， 与研究问题时坐标系的选取方式（有关、无 关）。
7.经典弹性力学问题是（线性，非线性）问题， 问题的解是（可叠加，不可叠加）的。 8.设问题的边界条件全部为应力边界条件，如果 一组应力分量满足平衡方程又满足应力边界条件， 则这组应力（一定，不一定）是问题的正确解答。 9.应变的大小与该点邻域的线素长度（有关，无 关），与线素的方向（有关，无关）。
x
hL
y
问：（1）这组应力是否可能在平板中存在？（2）平 板边界受什么样的载荷作用？
4. 设有应变分量
如果它们是一种可能的应变状态它在求解弹性力学 问题中有什么意义？ 2.弹性平面问题的类型及各自的特点有哪些？ 3.弹塑性力学中简化后的应力——应变关系模型有哪 些？绘出它们各自的应力——应变关系曲线。 4.什么是屈服准则？ 以Tresca屈服准则为例说明如 何确定屈服常数。
5.试说明两类平面问题应力、应变以及基本方程有 何异同，由平面应力问题的到平面应变问题的解 在材料常数上应作怎样的代换？ 6.受力物体是单连通的，若按应力求解，应力分量 要满足什么条件才是问题的正确解答？常体力时， 应力函数要满足什么条件才是所给问题的正确解？
论述题
1.列出弹性平面应力问题的数学模型，并论述求解 该模型的方法？
2.在常体力条件下，论述按应力求解弹性平面应力 问题数学模型的过程。
计算题 1. 某种材料制成的圆环如图所示，其内半径为a， 外半径为b，在内边界承受集度为q的均匀分布的表 面力作用，假定圆环材料为理想弹塑性，屈服时符 合Tresca准则，试确定该圆筒所能承受的弹性极限 载荷(以及极限载荷）。
关于圣维南原理在求解弹性力学问题中的意义：
在数学上弹性力学问题被称为边值问题，其待求的未 知量（应力、应变、位移）完全满足基本方程并不困难， 但是，要求在全部边界上都逐点满足边界条件往往存在很 大难度。圣维南原理的存在，可以使问题得到简化： （1）.在符合圣维南原理的那部分边界上，可以放弃严格 的逐点边界条件，而改为满足另一组静力等效的合力形式 表示的整体边界条件； （2）.当物体一小部分边界上仅仅知道物体所受外力的合 力而不知其分布方式时，可以在这部分边界上直接写合力 条件进行求解；
10.材料进入塑性状态后，应力与应变之间（是、不 是）一一对应的，某一应力对应的应变与（温度、 加载历史）有关。 11.在进行结构设计时，采用弹性设计方法要比用弹 塑性设计方法（节约、浪费）材料。 12.材料的弹性性质（受、不受）塑性变形的影响是 弹塑性理论的假设之一。 13.材料的屈服极限在数值上与（比例极限、弹性极 限）非常接近，工程上可以认为近似相等。