北师大版三角形的证明(全章节复习题)
北师大版八年级下册三角形证明复习含答案
三角形证明专题复习一．选择题（共15小题）1．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．62．如图，已知△ABC的面积为8，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线交AD于点P，连接PC，则△BPC的面积为（）A．2B．4C．5D．63．如图，已知△ABC，AB＝5，∠ABC＝60°，D为BC边上的点，AD＝AC，BD＝2，则DC＝（）A．0.5B．1C．1.5D．24．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，点D在BC边上，且AD＝AC．若BD＝，则CD的长为（）A．4B．C．5D．5．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若△BCD的周长是14，BC＝6，则AC 的长是（）A．6B．8C．10D．146．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且，则线段BE的长为（）A．B．2C．3D．7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为（）A．3B．10C．12D．158．如图，△ABC的一角被墨水污了，但小明很快就画出跟原来一样的图形，他所用定理是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．HL9．如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（）A．15海里B．20海里C．30海里D．求不出来10．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝3，BC＝5，则△BEC的周长为（）A．8B．10C．11D．1311．如图，∠MON＝60°，OA平分∠MON，P是射线OA上的一点，且OP＝4，若点Q是射线OM上的一个动点，则PQ的最小值为（）A．1B．2C．3D．412．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数不可能为（）A．120°B．75°C．60°D．30°13．已知实数a，b满足|a﹣2|+（b﹣4）2＝0，则以a，b的值为两边的等腰三角形的周长是（）A．10B．8或10C．8D．以上都不对14．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，M，N经过点O，且MN∥BC，若AB＝5，△AMN的周长等于12，则AC的长为（）A．7B．6C．5D．415．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠C的度数是（）A．36°B．38.5°C．64°D．77°二．填空题（共15小题）16．△ABC中，AD⊥BC于D，∠ACD＝60°，若AD＝2，AB＝2，则BC＝______．17．已知等腰三角形的周长是14，设其腰长是x，底边长是y，则y与x的函数关系式为y ＝______，自变量x的取值范围是______．18．如图，已知∠AOB＝30°，点P在边OA上，OP＝14，点E，F在边OB上，PE＝PF，EF＝6．若点D是边OB上一动点，则∠PDE＝45°时，DF的长为______．19．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是______．20．如图，D为△ABC中BC边上一点，AB＝CB，AC＝AD，∠BAD＝24°，则∠C＝______°．21．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则这个三角形的面积为______cm2．22．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是______．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠EBC ＝30°，则∠A的度数为______．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ADC＝60°，∠B＝30°，若CD＝3cm，则BD＝______cm．25．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，BD⊥BC交AC于点D，BD＝1，则AC 的长______．26．在△ABC中，AB＝AD＝CD，且∠C＝40°，则∠BAD的度数为______．27．如图，在△ABC中，AD＝BD＝BC，若∠A＝x°，则∠ABC＝______度（用含x的代数式表示）．28．如图，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠B＝28°，则∠CAD的度数为______°．29．如图，点O是边长为2的等边三角形ABC内任意一点，且OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，则OD+OE+OF＝______．30．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝______．三．解答题（共20小题）31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE∥DF．32．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．（1）求BC的长；（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA的长．33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点P为AC的中点，点D为AB 边上一点，且AD＝PD，延长DP交BC的延长线于点E，若AB＝2，求PE的长．34．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE＝BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F求证：（1）EF⊥AB；（2）DE＝2DF．35．如图，在△ABC中，∠ACB＝110°，∠B＞∠A，D，E为边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC．（1）若∠A＝30°，求∠DCE的度数；（2）∠DCE的度数会随着∠A度数的变化而变化吗？请说明理由．36．已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．37．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由；（2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由．38．如图，三角形ABC中，AC＝BC，D是BC上的一点，连接AD，DF平分∠ADC交∠ACB的外角∠ACE的平分线于F．（1）求证：CF∥AB；（2）若∠DAC＝40°，求∠DFC的度数．39．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD＝3，求BD的长．40．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠1＝32°，求∠D的度数．41．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，连接AD、DC．（1）求证：∠CAD＝∠DBC；（2）求∠BDC的度数．42．如图，点O是△ABC边AC上的一个动点，过O点作直线MN∥BC．设MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝8，CF＝6，求OC的长．43．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连结CD，DE，已知∠EDB＝∠ACD．（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，BD＝2时，求EB的长．44．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D．（1）求∠ADC的度数；（2）求证：△ACD为等腰三角形．45．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC 于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．（2）求证：FB＝FE．46．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB 于E，交AC于F，若BE＝3，EF＝5，试求CF的值．47．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，AD＝BD，△ADC是等腰三角形，求△ABC三个内角的度数．48．如图，∠BAD＝90°，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于D．（1）求∠BAC的度数；（2）若AB＝10，BC＝10，求△ABD的周长．49．如图，已知∠1与∠2互为补角，且∠3＝∠B，（1）求证：EF∥BC；（2）若AC＝BC，CE平分∠ACB，求证：AF＝CF．50．如图，等边△ABC的边长为12，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E．过点E作EF⊥AC于点F．（1）若AD＝2，求AF的长；（2）当AD取何值时，DE＝EF？三角形证明专题复习参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．2．解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的平分线，∴AP＝PD，∴S△BPD＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD，∴S△BPC＝S△BPD+S△CPD＝S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∵△ABC的面积为8，∴S△BPC＝×8＝4．故选：B．3．解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AD＝AC，∴E是CD的中点，在Rt△ABE中，AB＝5，∠ABC＝60°，∴BE＝，∵BD＝2，∴DE＝﹣2＝，∴CD＝1，故选：B．4．解：过点A作AE⊥BC，∵AD＝AC，∴E是CD的中点，∵∠B＝60°，AB＝8，在Rt△ABE中，BE＝4，∵BD＝，∴DE＝4﹣＝，∴CD＝5，故选：C．5．解：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD．∵△BCD的周长是14，BC＝6，∴AB＝BD+CD＝14﹣6＝8，∵AB＝AC，∴AC＝8．故选：B．6．解：连接BD，如图，∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝×60°＝30°，在Rt△BDE中，BE＝DE＝×＝3．故选：C．7．解：作DH⊥AC于H，如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，∵AD为∠BAC的角平分线，∴DB＝DH，∵×AB×CD＝DH×AC，∴6（8﹣DH）＝10DH，解得DH＝3，∴S△ADC＝×10×3＝15．故选：D．8．解：作△DEF，使DE＝AB，∠A＝∠D，∠E＝∠B，根据ASA定理可知，△DEF与原来的图形一样，他所用定理是ASA，故选：C．9．解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里），∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°，∴∠C＝∠NAC，∴BC＝AB＝30海里．即从海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选：C．10．解：∵AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，∴AE＝BE，∵AD＝3，∴AB＝6，∴AE+EC＝AC＝AB＝6，∵BC＝5，∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝6+5＝11；故选：C．11．解：作PQ′⊥OM于Q′，∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，∴∠POQ′＝30°，∴PQ′＝OP＝2，由垂线段最短可知，PQ的最小值是2，故选：B．12．解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OCE＝∠OEC＝（180°﹣30°）＝75°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝30°；综上，∠OEC的度数不可能为60°，故选：C．13．解：根据题意得a﹣2＝0，b﹣4＝0，解得a＝2，b＝4，①a＝2是底长时，三角形的三边分别为4、4、2，∵4、4、2能组成三角形，∴三角形的周长为10，②a＝2是腰边时，三角形的三边分别为4、2、2，2+2＝4，不能组成三角形．综上所述，三角形的周长是10．故选：A．14．解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝5，△AMN的周长等于12，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝5+AC＝12，∴AC＝7，故选：A．15．解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，∵在三角形ABD中，AB＝AD，∠BAD＝26°，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°，又∵AD＝DC，在三角形ADC中，∴∠C＝∠ADB＝77°×＝38.5°．故选：B．二．填空题（共15小题）16．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠ACD＝60°，∴∠CAD＝30°，∵AD＝2，∴CD＝AD＝2，∵AB＝2，∴BD＝＝＝4，如图1，BC＝BD+CD＝6，如图2，BC＝BD﹣CD＝2，综上所述，BC＝6或2，故答案为：6或2．17．解：∵2x+y＝14，∴y＝14﹣2x，即x＜7，∵两边之和大于第三边∴x＞，综上可得＜x＜7故答案为：y＝﹣2x+14，＜x＜7．18．解：如图，过点P作PH⊥OB于点H，∵PE＝PF，∴EH＝FH＝EF＝3，∵∠AOB＝30°，OP＝14，∴PH＝OP＝7，当点D运动到点F右侧时，∵∠PDE＝45°，∴∠DPH＝45°，∴PH＝DH＝7，∴DF＝DH﹣FH＝7﹣3＝4；当点D运动到点F左侧时，D′F＝D′H+FH＝7+3＝10．所以DF的长为4或10．故答案为4或10．19．解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝70°，∴∠EDB＝20°，∵当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，当点P在AB上，∵DE＝DP1，∴∠DP1E＝∠AED＝70°，∴∠EDP1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，当点P在AC上，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD，过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，∴DG＝DH，在Rt△DEG与Rt△DP2H中，，∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），∴∠AP2D＝∠AED＝70°，∵∠BAC＝180°﹣50°﹣50°，∴∠EDP2＝140°，当点P在AC上，同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），∴∠EDG＝∠P3DH，∴∠EDP3＝∠GDH＝100°，故答案为：40°或100°或140°．20．解：设∠C＝α，∵AB＝CB，AC＝AD，∴∠BAC＝∠C＝α，∠ADC＝∠C＝α，又∵∠BAD＝24°，∴∠CAD＝α﹣24°，∵△ACD中，∠DAC+∠ADC+∠C＝180°，∴α﹣24°+α+α＝180°，∴α＝68°，∴∠C＝68°，故答案为：68．21．解：设△ABC的顶角为∠BAC，过C点作AB边的高，交BA的延长线于点D，∴S△ABC＝AB•CD，∵AB＝AC，∠B＝15°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，CD＝AC＝4，∴S△ABC＝AB•CD＝×8×4＝16，故答案为：16．22．解：过P作PE⊥OA于点E，∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，∴PE＝PD，∵PD＝2，∴PE＝2，∴点P到边OA的距离是2．故答案为2．23．解：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∵DE垂直且平分AB，∴EA＝EB，∴∠ABE＝∠A，∴∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∴30°+（180°﹣∠A）＝180°﹣2∠A，解得∠A＝40°．故答案为：40°．24．解：∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，∴AD＝BD，∵∠C＝90°，∴∠CAD＝30°，∴BD＝AC＝2CD＝6cm，故答案为：6．25．解：∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝30°，∴∠A＝∠ABD，∵BD＝1，∴AD＝BD＝1，∵CD＝2BD＝2，∴AC＝AD+DC＝1+2＝3，故答案为3．26．解：∵AD＝DC∴∠DAC＝∠C，∵∠C＝40°，∴∠DAC＝40°，∴∠BDA＝∠C+∠DAC═80°，∵AB＝AD∴∠BDA＝∠B＝80°，∴∠BAD＝180°﹣∠BDA﹣∠B＝20°．故答案为：20°．27．解：∵∠A＝x°，AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x°，∴∠CDB＝2∠A＝2x°，∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝（180﹣3x）°，故答案为：（180﹣3x）．28．解：∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝28°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝28°+28°＝56°，∵AD＝AC，∴∠C＝∠ADC＝56°，∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣56°﹣56°＝68°．故答案为：68．29．解：连接OA、OB、OC，过A作AQ⊥BC于Q，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝2，BQ＝CQ＝＝1，由勾股定理得：AQ＝＝＝，∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO，∴＝++，∴＝，∴＝×2×（OE+OF+OD），解得：OD+OE+OF＝，故答案为：．30．解：延长CE交AB于F，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，过点A作AM⊥BC 于M，如图所示：∵CE⊥AD，∴∠AEF＝∠AEC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠F AE＝∠CAE，DH＝DN，在△AEF与△AEC中，，∴△AEF≌△AEC（ASA），∴AF＝AC＝8，∠AFE＝∠ACE，EF＝CE，∵∠AFC＝∠B+∠ECD，∴∠ACF＝∠B+∠ECD，∴∠ACB＝2∠ECD+∠B，∵∠ACB＝3∠B，∴2∠ECD+∠B＝3∠B，∴∠B＝∠ECD，∴CF＝BF，∵BC＝BD，∴＝，S△ADB＝DH•AB＝AM•BD，S△ACD＝DN•AC＝AM•CD，∴＝，即＝＝，∴AB＝AC＝，∴CF＝BF＝﹣8＝，∴CE＝CF＝，故答案为：．三．解答题（共20小题）31．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝54°，∴∠CBD＝126°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝63°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，∴∠CEB＝90°﹣63°＝27°．又∵∠F＝27°，∴∠F＝∠CEB＝27°，∴DF∥BE32．解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，同理，EA＝EC，∵△ADE的周长5，∴AD+DE+EA＝5，∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5（cm）；（2）∵△OBC的周长为13，∴OB+OC+BC＝13，∵BC＝5，∴OB+OC＝8，∵OM垂直平分AB，∴OA＝OB，同理，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．33．解：∵∠BAC＝30°，AD＝PD，∴∠A＝∠APD＝∠CPE＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠PCE＝90°，∴PE＝2CE，设CE＝x，则PE＝2x，PC＝AP＝x，Rt△ABC中，AB＝2，∴BC＝1，∴AC＝，∴2x＝，x＝，∴PE＝2x＝1．34．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，∵D为AC的中点，∴AD＝CD＝AC，∵CE＝BC，∴CD＝CE，∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，∴∠E＝∠CDE＝30°，∵∠B＝60°，∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即EF⊥AB；（2）连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵D为AC的中点，∴∠DBC＝∠ABD＝ABC＝30°，∵∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E，∴DE＝BD，∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2DF，即DE＝2DF．35．解：（1）设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝110°﹣∠ACE＝110°﹣x﹣y．∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝x+y，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝110°﹣x﹣y+x＝110°﹣y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC＝180°，∴x+（110°﹣y）+（x+y）＝180°，解得x＝35°，∴∠DCE＝35°；（2）由（1）知，∠DCE的度数不会随着∠A度数的变化而变化．36．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，∵∠DEF＝60°，∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，∴∠2＝∠1＝50°；（2）∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，又∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，∠1＝∠3，∴∠FDE＝∠DEB，∴DF∥BC．37．解：（1）成立．理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE．在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE＝CE；（2）成立．理由：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF．∴△ABF为等腰直角三角形∴AF＝BF，由（1）知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF在△AEF和△BCF中，，∴△AEF≌△BCF（ASA），∴AE＝BC，∵BD＝BC，∴BD＝AE．38．（1）证明：∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ACE＝∠ABC+∠CAB＝2∠ABC∵CF是∠ACE的平分线，∴∠ACE＝2∠FCE∴2∠ABC＝2∠FCE，∴∠ABC＝∠FCE，∴CF∥AB；（2）∵CF是∠ACE的平分线，∴∠ACE＝2∠FCE＝∠ADC+∠DAC∵DF平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠FDC；∴2∠FCE＝∠ADC+∠DAC＝2∠FDC+∠DAC，∴2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC∵∠DFC＝∠FCE﹣∠FDC∴2∠DFC＝2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC＝40°∴∠DFC＝20°．39．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵∠B＝30°，∴∠BAD＝∠B＝30°，又∵∠C＝90°∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴∠DAC＝∠CAB﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∴在Rt△ACD中，，∴AD＝2CD＝2×3＝6，∴BD＝AD＝6．40．解：∵∠BAC＝90°，∠1＝32°，∴∠ABC＝90°﹣32°＝58°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝ABC＝29°，∵CD∥AB，∴∠D＝∠ABD＝29°．41．证明（1）∵AB＝AC，∠BAC＝100°∴∠ABC＝∠ACB＝40°∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠DBC＝20°∵BD＝AB∴∠ADB＝∠DAB＝80°∴∠CAD＝20°∴∠CAD＝∠DBC（2）延长AD到点E，使得AE＝BC，∵BD＝AB＝AC，∠CAD＝∠DBC，∴△DBC≌△CAE，∴CD＝CE，∠BDC＝∠ACE，∴∠CDE＝∠CED＝α，∵∠ADB＝80°，∴∠BDE＝100°∴∠BDC＝∠ACE＝100°+α，∴20°+100°+α+α＝180°，∴α＝30°，∴∠BDC＝130°．42．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF；（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，∵CE＝8，CF＝6，∴EF＝＝10，∴OC＝EF＝5．43．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形；（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，过D作DH⊥CE于H，∵BD＝2，∠DBH＝60°，∴BH＝BD＝1，DH＝＝，DH＝EH＝，∴BE＝EH﹣BH＝﹣1．44．解：（1）∵DE垂直平分AB，∴DB＝DA，∴∠B＝∠DAB，∵∠B＝40°，∴∠B＝∠DAB＝40°，∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝80°；（2）∵∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣40°＝80°＝∠ADC，∴CA＝CD，∴△ACD为等腰三角形．45．解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，又∵EF∥BC，∴∠EBC＝∠BEF，∴∠EBF＝∠FEB，∴BF＝EF．46．解：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，CD平分∠ACB，∴∠ACO＝∠BCO，又EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠ACB，∴∠ABO＝∠EOB，∠FOC＝∠ACO，∴OE＝BE＝3，OF＝FC，∵EF＝5，∴OF＝2，∴FC＝2．47．解：∵△ADC是等腰三角形，∴AC＝DC，∴∠DAC＝∠ADC，又∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C＝∠BAD，设∠B＝x，则∠ADC＝∠B+∠BAD＝2x，∴∠DAC＝∠ADC＝2x，∠BAC＝∠DAC+∠BAD＝3x，于是在△ABC中，有∠B+∠C+∠BAC＝x+x+3x＝180°，解得x＝36°，∴在△ABC中，∠BAC＝108°，∠B＝∠C＝36°．48．解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，设∠B＝∠C＝x°，∵∠BAD＝90°，∴∠ADB＝90°﹣∠B＝（90﹣x）°∵DE垂直平分AC∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x°，∴90﹣x＝2x，解得：x＝30，∴∠BAC＝90°+30°＝120°；（2）由（1）知DA＝DC∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+BC＝10+10．49．（1）证明：∵∠1+∠FDE＝180°，∠1，∠2互为补角，∴∠2＝∠FDE，∴DF∥AB，∴∠3＝∠AEF，∵∠3＝∠B，∴∠B＝∠AEF，∴FE∥BC．（2）解：∵EF∥BC，∴∠BCE＝∠FEC，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∴∠FEC＝∠ACE．∴FC＝FE，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，又∵∠B＝∠AEF，∴∠A＝∠AEF，∴AF＝FE，∴AF＝CF．50．解：（1）∵AB＝12，AD＝2∴BD＝AB﹣AD＝10在Rt△BDE中∠BDE＝90°﹣∠B＝30°∴BE＝BD＝5∴CE＝BC﹣BE＝7在Rt△CFE中∠CEF＝90°﹣∠C＝30°∴CF＝CE＝，∴AF＝AC﹣FC＝；（2）在△BDE和△EFC中，∴△BDE≌△CEF（AAS）∴BE＝CF∴BE＝CF＝EC∴BE＝BC＝4，∴BD＝2BE＝8，∴AD＝AB﹣BD＝4，∴AD＝4时，DE＝EF．。
北师大版八下数学《三角形的证明》单元测试1(含答案)
第一章三角形的证明单元测试一、填空题1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.3.如图1，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20 cm，则点M到AB 的距离是_________.图1 图24.如图2，等边△ABC中，F是AB中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则AE=_________，AE∶EC=_________.5.如图3，△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于D，若AB=10 cm，AC=6 cm，则△ACD的周长为_________.图3 图46.如图4，∠C=90°，∠ABC=75°，∠CDB=30°，若BC=3 cm，则AD=___ cm.7.如图5，B在AC上，D在CE上，AD=BD=BC，∠ACE=25°，∠ADE=_________.图5图68.等腰直角三角形一条边长是1 cm ，那么它斜边上的高是_________ cm. 9.如图6，在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别取OQ =OP ，OT =OS ，PT 和QS 相交于点C ，则图中共有_________对全等三角形.10.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.11.三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.二、选择题12.等边三角形的高为23，则它的边长为（ ） A.4B.3C.2D.513.等腰三角形的顶角是n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）A.290 nB.90－2nC.2n D.90°－n °14.下列由线段a 、b 、c 组成的三角形，不是直角三角形的是（ ） A.a =3，b =4，c =5 B.a =1，b =34，c =35 C.a =9，b =12，c =15D.a =3，b =2，c =515.直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（ ） A.6B.7.5C.10D.1216.△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB 的长是（ ）A.5 cmB.6 cmC.5 cmD.8 cm17.如图7，△ABC 中，AB =AC ，BC =BD ，AD =DE =EB ，则∠A 的度数为（ ）图7A.55°B.45°C.36°D.30°18.等腰△ABC 中，AC =2BC ，周长为60，则BC 的长为（ ） A.15B.12C.15或12D.以上都不正确19.直角三角形两直角边分别是5 cm 、12 cm ，其斜边上的高是（ ） A.13 cmB.1330cmC.1360cmD.9 cm20.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（ ）A.25B.50C.100D.6021.等腰三角形的底边为a ，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（ ） A.23a B.33 a C.63a D.21a 22.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（ ）A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形23.等腰三角形ABC 中，∠A =120°，BC 中点为D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，AE =4cm，则AD等于（）A.8 cmB.7 cmC.6 cmD.4 cm24.下列说法中，正确的是（）A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等25.如图8，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8，BE=3，那么AC长为（）图8A.8B.5C.3D.3426.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成下图9，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（）图9A.4B.3C.2D.127.下列定理中逆定理不存在的是（）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等*28.已知一个直角三角形的周长是4+26，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（ ）A.5B.2C.45D.1三、解答题29.已知：如图10，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.图1030.已知：如图11，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =21∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =21DB .图1131.已知三角形的三边分别是n 2+n ，n +21和n 2+n +21(n ＞0)，求证：这个三角形是直角三角形.32.如图12，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BA C.图1233.如图13，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD，连结DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=2，求BE的长.图13*34.①在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于N，交BC的延长线于M，∠A=30°，求∠NMB的大小.②如果将①中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小.③你感到存在什么样的规律性？试证明.（请同学们自己画图）④将①中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？参考答案一、1.55°，55°或70°，40° 2.18或21 3.20 cm 4.251∶3 5.16 cm 6.6 7.75° 8.22或219.4 10.如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真 11.等腰二、12.A 13.C 14.D 15.A 16.D 17.B 18.B 19.C 20.B 21.D 22.D 23.A 24.C 25.D 26.B 27.D 28.B三、29.略 30.略 31.略 32.略 33.134.①15° ②35° ③AB 的垂直平分线与底边BC 所夹的锐角等于∠A 的一半 ④不需要修改。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题(答案及解析)
北师大版八年级下册第一章三角形的证明测试题一．选择题（共10小题）1、等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°2．一个等腰三角形的两边长分别为3，6，则它的周长为（）A．9 B．12 C．15 D．12或153．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°4．一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对5．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°6．如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．37．如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180°C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°8．如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（）A．110°B．120°C．130°D．140°9．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF=（）A．55°B．60°C．65°D．70°10．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm²，则S阴影等于（）A．2cm²B．1cm²C．cm²D．cm²二．填空题（共5小题）11．等边三角形是一个轴对称图形，它有______条对称轴．12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为______．13．在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为______.14．等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为______．15．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A6B6A7的边长为______．三．解答题（共8小题）16．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB平分∠EAD．17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．18．如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．19．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．（1）求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．求证：△BDE是等腰三角形．21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．23．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？北师大版八年级下册第一章三角形的证明测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1、等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选B．2．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A．12 B．16 C．20 D．16或20【解答】解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．故此三角形的周长=8+8+4=20．故选C．3．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，∴∠B=25°，∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，故选D．4．一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对【解答】解：当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，∴周长为13cm；当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，∴周长为14cm，故选C5．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D．6．如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3【解答】解：过A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，∴AB=AC=2，∵DE垂直平分AB，∴BE=AE，∴AE+CE=BC=2，∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，故选：A．7．如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180°C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°【解答】解：∵∠1=∠3，∠B=∠C，∠1+∠B+∠3=180°，∴2∠1+∠C=180°，∴2∠1+∠1﹣∠2=180°，∴3∠1﹣∠2=180°．故选B．8．如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（）A．110°B．120°C．130°D．140°【解答】解：∵∠A=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°，又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∴∠PBA=∠PCB，∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°×=70°，∴∠BPC=180°﹣70°=110°．故选A．9．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF=（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF（SAS），∴∠EFC=∠DEB，∵∠A=50°，∴∠C=（180°﹣50°）÷2=65°，∴∠CFE+∠FEC=180°﹣65°=115°，∴∠DEB+∠FEC=115°，∴∠DEF=180°﹣115°=65°．故选：C．10．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则S阴影等于（）A．2cm2 B．1cm2 C．cm2 D．cm2【解答】解：根据三角形的面积公式，知：等底等高的两个三角形的面积相等．即有：S阴影=S△BCE=S△ABC=1cm2．故选：B．二．填空题（共10小题）11．等边三角形是一个轴对称图形，它有 3 条对称轴【解答】解：等边三角形是轴对称图像，它有三个顶点，所以对应3条对称轴故答案为：312．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为69°或21°．【解答】解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°﹣48°=42°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣42°）=69°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，∴∠BAC=180°﹣42°=138°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣138°）=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．故答案为：69°或21°．13．在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为16或8．【解答】解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，又知BD将三角形周长分为15和21两部分，∴可知分为两种情况①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16；②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8．经验证，这两种情况都是成立的．∴这个三角形的底边长为8或16．故答案为：16或8．14．等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为35°或20°．【解答】解：在△ABC中，AB=AC，①当∠A=70°时，则∠ABC=∠C=55°，∵BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣55°=35°；②当∠C=70°时，∵BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣70°=20°；故答案为：35°或20°．15．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A6B6A7的边长为32a ．【解答】解:∵△A1B1A2是等边三角形∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝B1A2＝A1A2∵∠MON=30°∴∠OB1A1=30°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角和∠OB1A1=∠B1A1A2－∠MON）∴OA1=A1B1（等边对等角）∴OA1=A1A2=a同理，根据∠MON=∠OB2A2，可得：A2A3=A2B2=OA1＋A1A2=2A1A2=2a同理，可推出：A3A4=2A2A3=4a同理，可推出：A4A5=2A3A4=8a同理，可推出：A5A6=2A4A5=16a同理，可推出：A6A7=2A5A6=32a 即题目所求另外我们不难发现，第n个（△A1B1A2为第一个）等边三角形的边长为AnAn+1=(2^n-1)a 注：2的n-1次方倍的a三．解答题（共8小题）16．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB平分∠EAD．【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴BD=BC，AD⊥BC，∵BE=BC，∴BD=BE，∵AE⊥BE，∴AB平分∠EAD．17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD∴∠D=∠C=90°，在Rt△ABD和Rt△BAC中，，∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），∴∠DBA=∠CAB，∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形．另外一种证法：证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD∴∠D=∠C=90°在Rt△ABD和Rt△BAC中∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）∴AD=BC，在△AOD和△BOC中，∴△AOD≌△BOC（AAS），∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形．18．如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．【解答】解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A，∵BD=DC，∴∠C=∠CBD，设∠C=∠CBD=x，则∠BDA=∠A=2x，∴∠ABD=180°﹣4x，∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，解得：x=25°，所以2x=50°，即∠A=50°，∠C=25°．19．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．（1）求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=20°；（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，∴∠ABC=∠ACB=55°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=35°；（3）∠NMB=∠A．理由：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=∠A．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．求证：△BDE是等腰三角形．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE∥AC，∴∠EAD=∠CAD，∠EDA=∠CAD，∴∠EAD=∠EDA，∵BD⊥AD，∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA∴∠EBD=∠BDE，∴DE=BE，∴△BDE是等腰三角形．21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HF），∴∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．23．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？【解答】解：（1）当点D在BC的中点时，DE=DF，理由如下：∵D为BC中点，∴BD=CD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）DE+DF=CG．证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（3）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．。
北师大版八年级下册三角形证明复习含答案
北师大版八年级下册三角形证明复习含答案三角形证明专题复习一．选择题（共15小题）1．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF ＝（）A．3B．4C．5D．62．如图，已知△ABC的面积为8，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线交AD于点P，连接PC，则△BPC的面积为（）A．2B．4C．5D．63．如图，已知△ABC，AB＝5，∠ABC＝60°，D为BC边上的点，AD＝AC，BD＝2，则DC＝（）A．0.5B．1C．1.5D．24．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，点D在BC边上，且AD ＝AC．若BD＝，则CD的长为（）A．4B．C．5D．5．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若△BCD的周长是14，BC＝6，则AC 的长是（）A．6B．8C．10D．146．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且，则线段BE的长为（）A．B．2C．3D．7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC 的角平分线，则三角形ADC的面积为（）A．3B．10C．12D．158．如图，△ABC的一角被墨水污了，但小明很快就画出跟原来一样的图形，他所用定理是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．HL9．如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（）A．15海里B．20海里C．30海里D．求不出来10．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝3，BC＝5，则△BEC的周长为（）A．8B．10C．11D．1311．如图，∠MON＝60°，OA平分∠MON，P是射线OA上的一点，且OP＝4，若点Q是射线OM上的一个动点，则PQ的最小值为（）A．1B．2C．3D．412．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E 满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数不可能为（）A．120°B．75°C．60°D．30°13．已知实数a，b满足|a﹣2|+（b﹣4）2＝0，则以a，b的值为两边的等腰三角形的周长是（）A．10B．8或10C．8D．以上都不对14．如图，△ABC中，BO 平分∠ABC，CO平分∠ACB，M，N经过点O，且MN∥BC，若AB＝5，△AMN的周长等于12，则AC的长为（）A．7B．6C．5D．415．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠C的度数是（）A．36°B．38.5°C．64°D．77°二．填空题（共15小题）16．△ABC中，AD⊥BC于D，∠ACD＝60°，若AD＝2，AB＝2，则BC＝______．17．已知等腰三角形的周长是14，设其腰长是x，底边长是y，则y与x的函数关系式为y ＝______，自变量x的取值范围是______．18．如图，已知∠AOB＝30°，点P在边OA上，OP＝14，点E，F在边OB上，PE＝PF，EF＝6．若点D是边OB上一动点，则∠PDE ＝45°时，DF的长为______．19．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC 的中点，点E在AB上，∠AED＝70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是______．20．如图，D为△ABC中BC边上一点，AB＝CB，AC＝AD，∠BAD＝24°，则∠C＝______°．21．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则这个三角形的面积为______cm2．22．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是______．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠EBC ＝30°，则∠A的度数为______．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ADC＝60°，∠B＝30°，若CD＝3cm，则BD＝______cm．25．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，BD⊥BC交AC 于点D，BD＝1，则AC 的长______．26．在△ABC中，AB＝AD＝CD，且∠C＝40°，则∠BAD的度数为______．27．如图，在△ABC中，AD＝BD＝BC，若∠A＝x°，则∠ABC＝______度（用含x的代数式表示）．28．如图，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠B＝28°，则∠CAD的度数为______°．29．如图，点O是边长为2的等边三角形ABC内任意一点，且OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，则OD+OE+OF＝______．30．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝______．三．解答题（共20小题）31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE∥DF．32．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．（1）求BC的长；（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA 的长．33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点P为AC的中点，点D为AB 边上一点，且AD＝PD，延长DP交BC的延长线于点E，若AB＝2，求PE的长．34．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE＝BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F求证：（1）EF⊥AB；（2）DE＝2DF．35．如图，在△ABC中，∠ACB＝110°，∠B＞∠A，D，E为边AB 上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC．（1）若∠A＝30°，求∠DCE的度数；（2）∠DCE的度数会随着∠A度数的变化而变化吗？请说明理由．36．已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC 上一点，且∠DEF＝60°．（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．37．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由；（2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由．38．如图，三角形ABC中，AC＝BC，D是BC上的一点，连接AD，DF平分∠ADC交∠ACB的外角∠ACE的平分线于F．（1）求证：CF∥AB；（2）若∠DAC＝40°，求∠DFC的度数．39．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD＝3，求BD的长．40．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，CD∥AB 交BD于点D，已知∠1＝32°，求∠D的度数．41．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，连接AD、DC．（1）求证：∠CAD＝∠DBC；（2）求∠BDC的度数．42．如图，点O是△ABC边AC上的一个动点，过O点作直线MN∥BC．设MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝8，CF＝6，求OC的长．43．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连结CD，DE，已知∠EDB＝∠ACD．（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，BD＝2时，求EB的长．44．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D．（1）求∠ADC的度数；（2）求证：△ACD为等腰三角形．45．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC 于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．（2）求证：FB＝FE．46．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB 于E，交AC于F，若BE＝3，EF＝5，试求CF的值．47．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，AD＝BD，△ADC是等腰三角形，求△ABC三个内角的度数．48．如图，∠BAD＝90°，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于D．（1）求∠BAC的度数；（2）若AB＝10，BC＝10，求△ABD的周长．49．如图，已知∠1与∠2互为补角，且∠3＝∠B，（1）求证：EF∥BC；（2）若AC＝BC，CE平分∠ACB，求证：AF＝CF．50．如图，等边△ABC的边长为12，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E．过点E作EF⊥AC于点F．（1）若AD＝2，求AF的长；（2）当AD取何值时，DE＝EF？三角形证明专题复习参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．2．解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的平分线，∴AP＝PD，∴S△BPD＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD，∴S△BPC＝S△BPD+S△CPD＝S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∵△ABC 的面积为8，∴S△BPC＝×8＝4．故选：B．3．解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AD＝AC，∴E是CD的中点，在Rt△ABE中，AB＝5，∠ABC＝60°，∴BE＝，∵BD＝2，∴DE＝﹣2＝，∴CD＝1，故选：B．4．解：过点A作AE⊥BC，∵AD＝AC，∴E是CD的中点，∵∠B＝60°，AB＝8，在Rt△ABE中，BE＝4，∵BD＝，∴DE＝4﹣＝，∴CD＝5，故选：C．5．解：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD．∵△BCD的周长是14，BC＝6，∴AB＝BD+CD＝14﹣6＝8，∵AB＝AC，∴AC＝8．故选：B．6．解：连接BD，如图，∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝×60°＝30°，在Rt△BDE中，BE＝DE＝×＝3．故选：C．7．解：作DH⊥AC于H，如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，∵AD为∠BAC的角平分线，∴DB＝DH，∵×AB×CD＝DH×AC，∴6（8﹣DH）＝10DH，解得DH＝3，∴S△ADC＝×10×3＝15．故选：D．8．解：作△DEF，使DE＝AB，∠A＝∠D，∠E＝∠B，根据ASA定理可知，△DEF与原来的图形一样，他所用定理是ASA，故选：C．9．解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里），∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°，∴∠C＝∠NAC，∴BC＝AB＝30海里．即从海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选：C．10．解：∵AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，∴AE ＝BE，∵AD＝3，∴AB＝6，∴AE+EC＝AC＝AB＝6，∵BC＝5，∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝6+5＝11；故选：C．11．解：作PQ′⊥OM于Q′，∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，∴∠POQ′＝30°，∴PQ′＝OP＝2，由垂线段最短可知，PQ的最小值是2，故选：B．12．解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OCE＝∠OEC＝（180°﹣30°）＝75°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝30°；综上，∠OEC的度数不可能为60°，故选：C．13．解：根据题意得a﹣2＝0，b﹣4＝0，解得a＝2，b＝4，①a＝2是底长时，三角形的三边分别为4、4、2，∵4、4、2能组成三角形，∴三角形的周长为10，②a＝2是腰边时，三角形的三边分别为4、2、2，2+2＝4，不能组成三角形．综上所述，三角形的周长是10．故选：A．14．解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝5，△AMN的周长等于12，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝5+AC＝12，∴AC＝7，故选：A．15．解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，∵在三角形ABD中，AB＝AD，∠BAD＝26°，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°，又∵AD＝DC，在三角形ADC中，∴∠C＝∠ADB＝77°×＝38.5°．故选：B．二．填空题（共15小题）16．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠ACD＝60°，∴∠CAD＝30°，∵AD＝2，∴CD＝AD＝2，∵AB＝2，∴BD＝＝＝4，如图1，BC＝BD+CD＝6，如图2，BC＝BD﹣CD＝2，综上所述，BC＝6或2，故答案为：6或2．17．解：∵2x+y＝14，∴y＝14﹣2x，即x＜7，∵两边之和大于第三边∴x＞，综上可得＜x＜7故答案为：y＝﹣2x+14，＜x＜7．18．解：如图，过点P作PH⊥OB于点H，∵PE＝PF，。
北师大版八年级数学下册第一章：三角形的证明 复习
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明同步测试一．选择题1．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF 2．如图，点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∠BOD是直角．若∠1＝25°，那么∠BOE的度数是（）A．90°B．145°C．155°D．165°3．如图，平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（2，2），点N在x轴上，若△OMN是等腰三角形，则满足条件的点N共有（）个．A．3 B．4 C．5 D．84．如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连接．则下列说法错误的是（）A. ．两点关于所在直线对称B. ．两点关于所在直线对称C. 是等腰三角形D. 射线是的平分线5．如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组6．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS7．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN ＝3，则CM的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.58．在如图中，，于，于，．交于点，则下列结论中不正确的是（）A. B. 点在的平分线上C. D. 点是的中点9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE ＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④10．如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（）A．A处B．B处C．C处D．D处11．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离为（）A. B. C. D.12．下列命题是假命题的是（）A．矩形的对角线相等且互相平分B．两点之间，线段最短C．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D．角平分线上的点到角两边的距离相等二．填空题13．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：（写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．14．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝°．15．如图，已知，垂直平分交．于．两点，若，，则的周长为．16．如图，在中，，平分，交于点，若，则．17．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE 是等腰三角形，那么∠OEC的度数为．18．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BC ＝6cm，则AC＝，DE＝．三．解答题19．已知：如图1，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′＝90°求证：Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等．（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；（2）如图2，将△ABC和A′B′C′拼在一起（即：点A与点B′重合，点B与点A′重合），BC和B′C′相交于点O，请用此图证明上述命题．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E．F，求证：DE＝DF．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF．求证：AF＝BF．22．已知：如图，在△BAC中，AB＝AC，D，E分别为AB，AC边上的点，且DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形．23．如图，已知∠CPB＝65°，AB∥CP，点D，E分别是PC，PB上一点，连接DE，使DE＝PE，∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F．（1）∠BED＝130°；（2）求∠BFD的度数．24．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°．（1）图1中：∠DEF＝45°，图2中：∠DEF＝135°；（2）请观察图1．图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题．北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明同步测试答案一．选择题1．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF解：条件是AB＝CD，理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故选：A．2．如图，点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∠BOD是直角．若∠1＝25°，那么∠BOE的度数是（）A．90°B．145°C．155°D．165°解：∵点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∴∠AOC＝∠COE＝90°，∵∠DOB是直角，∠1＝25°，∴∠BOC＝∠DOB﹣∠1＝90°﹣25°＝65°，∴∠BOE＝∠COE+∠BOC＝90°+65°＝155°．故选：C．3．如图，平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（2，2），点N在x轴上，若△OMN是等腰三角形，则满足条件的点N共有（）个．A．3 B．4 C．5 D．8解：如上图：满足条件的点N共有（﹣2，0）（2，0）（2，0）（4，0）．故选：B．4．如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连接．则下列说法错误的是（）A. ．两点关于所在直线对称B. ．两点关于所在直线对称C. 是等腰三角形D. 射线是的平分线解：连接．，根据作图得到．．在与中，（），，即射线是的平分线，正确，不符合题意；根据作图得到，是等腰三角形，正确，不符合题意；根据作图得到，又射线平分，是的垂直平分线，．两点关于所在直线对称，正确，不符合题意；根据作图不能得出平分，不是的平分线，．两点关于所在直线不对称，错误，符合题意．故答案为：．两点关于所在直线对称5．如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组解：①．∵△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故①正确；②．∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，故②正确；③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，故③正确；④．∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故④正确；即正确的个数是4，故选：D．6．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），故选：A．7．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5解：过点P作PD⊥CB于点D，∵∠ACB＝60°，PD⊥CB，PC＝12，∴DC＝6，∵PM＝PN，MN＝3，PD⊥OB，∴MD＝ND＝1.5，∴CM＝6﹣1.5＝4.5．故选：D．8．在如图中，，于，于，．交于点，则下列结论中不正确的是（）A. B. 点在的平分线上C. D. 点是的中点解：，于，于，，，故本选项正确；，，，，，，点在的平分线上，故本选项正确；，，，，，，正确；是的中点，无法判定，故本选项错误．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE ＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．10．如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（）A．A处B．B处C．C处D．D处解：根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线，所以EF上的点到M．N的距离相等，即发射塔应该建在C处，故选：C．11．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离为（）A. B. C. D.解：在中，，为的中点，．12．下列命题是假命题的是（）A．矩形的对角线相等且互相平分B．两点之间，线段最短C．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D．角平分线上的点到角两边的距离相等解：A．矩形的对角线相等且互相平分，是真命题；B．两点之间，线段最短，是真命题；C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原命题是假命题；D．角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题；故选：C．二．填空题13．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：AC＝AD（写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．解：条件是AC＝AD，∵∠C＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故答案为：AC＝AD．14．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝90°．解：在Rt△AEC和Rt△DAB中∴Rt△AEC≌Rt△DAB（HL），∴∠ACE＝∠ABD，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠EAC+∠ABD＝90°，∴∠AFB＝90°，即∠CFD＝90°，∴∠ACD+∠BDC＝90°，故答案为90．15．如图，已知，垂直平分交．于．两点，若，，则的周长为．解：垂直平分，，的周长．故答案为：．16．如图，在中，，平分，交于点，若，则．解：，，平分，，．17．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE 是等腰三角形，那么∠OEC的度数为120°或75°或30°．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣30°）＝75°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝30°；故答案为：120°或75°或30°．18．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BC ＝6cm，则AC＝5cm，DE＝8cm．解：∵BC＝6cm，∴BD＝DC＝3（cm），∵AD⊥BC，BD＝DC，AB＝5cm，∴AC＝AB＝5（cm），∵点C在AE的垂直平分线上，∴EC＝AC＝5（cm），∴DE＝DC+EC＝8（cm），故答案为：5cm；8cm．三．解答题19．已知：如图1，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′＝90°求证：Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等．（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；（2）如图2，将△ABC和A′B′C′拼在一起（即：点A与点B′重合，点B与点A′重合），BC和B′C′相交于点O，请用此图证明上述命题．解：（1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等；（2）在△ACO和直角△A'C'O′中，，∴△ACO≌△A′C′O，∴OC＝C′O，AO＝A′O，∴BC＝B′C′，在△ABC与△A′B′C′中，∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E．F，求证：DE＝DF．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵点D为BC中点，∴DB＝DC，∴在△DBE和△DCF中，∴△DBE≌DCF（AAS），∴DE＝DF．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF．求证：AF＝BF．证明：连接CF，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD，AD⊥BC，∴BF＝CF，∵FE垂直平分AC，∴AF＝CF，∴AF＝BF．22．已知：如图，在△BAC中，AB＝AC，D，E分别为AB，AC边上的点，且DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形．23．如图，已知∠CPB＝65°，AB∥CP，点D，E分别是PC，PB上一点，连接DE，使DE＝PE，∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F．（1）∠BED＝130°；（2）求∠BFD的度数．解：（1）∵DE＝PE，∴∠EDP＝∠CPB＝65°，∴∠BED＝∠EDP+∠CPB＝130°，故答案为：130；（2）∵AB∥CP，∴∠ABP+∠CPB＝180°，∴∠ABP＝115°，∵∠EDP＝65°，∴∠CDE＝115°，∵∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F．∴∠FBE＝∠ABE＝57.5°，∠FDE＝∠CDE＝57.5°，∴∠BFD＝360°﹣57.5°﹣57.5°﹣130°＝115°．24．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°．（1）图1中：∠DEF＝45°，图2中：∠DEF＝135°；（2）请观察图1．图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题．解：（1）图1，∵AB∥DE，∴∠B＝∠DGC＝45°，∵BC∥EF，∴∠DEF＝∠DGC＝45°；图2，∵AB∥DE，∴∠B＝∠BGE＝45°，∵BC∥EF，∴∠DEF+∠BGE＝180°，∴∠DEF＝180°﹣45°＝135°；故答案为45°，135°；（2）∠DEF与∠ABC相等，∠DEF与∠ABC互补，结论：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．。
北师大版八年级数学下册 《三角形的证明》全章复习与巩固--巩固练习(基础) 含答案解析
《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【巩固练习】一、选择题1.△ABC中，AB=AC，BD 平分∠ABC交AC 边于点D，∠BDC=75°，则∠A的度数是（）A．35°B．40°C．70°D．110°2．三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（）A． 1 个B． 2 个C． 3个D．不确定3．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，其中一定可以拼成的图形的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④4．如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD的是（）A． AD=AE B．∠AEB=∠ADC C． BE=CD D． AB=AC5．（2015•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A．B．2 C．3 D．+26．（2016•湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm 或14cm D．以上都不对7．有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形（）A．必定全等B．必定不全等C．不一定全等D．以上答案都不对8．面积相等的两个三角形（）A．必定全等B．必定不全等C．不一定全等D．以上答案都不对二、填空题9.如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是_________ 度．10.△ABC中，∠A是∠B的2 倍，∠C比∠A+∠B还大12°，那么∠B=_________ 度．11．（2015 秋•洛阳校级月考）如果a，b，c 为三角形的三边，且（a﹣b）+（a﹣c）+|b2 2﹣c|=0，则这个三角形是．12．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE 交于点H，请你添加一个适当的条件：_________ ，使△AEH≌△CEB．13．等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是_________ ．14．在△ABC和△ADC中，下列论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：_________ ．15．在△ABC中，边AB、BC、AC 的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC 的大小关系是_________ ．16．已知△ABC中，∠A=90°，角平分线BE、CF 交于点O，则∠BOC=_________ ．三、解答题17.（2015 秋•定州市期中）如图，四边形ABCD 中，∠B=90°，AB∥CD，M 为BC 边上的一点，且AM 平分∠BAD，DM 平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M 为BC 的中点．18.（2016 秋•太和县期中）如图：△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于F 点，过F 点作DE∥BC，分别交AB、AC 于点D、E．求证：（1）BD=DF．（2）△ADE的周长等于AB+AC．19. 如图，D，E 是△ABC边上的两点，且BD=DE=EC=AD=AE，求∠BAC的度数．20.（2015春•建昌县期末）已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．（1）在图1中，当AB=AD=10m时，△ABD的周长为（2）在图2中，当BA=BD=10m时，△ABD的周长为（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．；；【答案与解析】一.选择题1.【答案】B；【解析】解：设∠A的度数是x，则∠C=∠B=∵BD平分∠ABC交AC边于点D，∴∠DBC=，∴++75=180°，∴x=40°.∴∠A的度数是40°.故选B．2．【答案】B；【解析】解：由三角形内角和为180度可知：三角形的三个内角中，锐角的个数不少于2个．故选B．3.【答案】D；【解析】解：两个全等的直角三角形，一定可以拼成平行四边形（直角边重合，两直角不邻），等腰三角形（直角边重合，两直角相邻），以及矩形（斜边重合）；若为等腰直角三角形，则可拼成正方形；所以①②④一定可以拼接而成，③不一定拼成．4.【答案】B；【解析】解：A、根据AAS（∠A=∠A，∠C=∠B，AD=AE）能推出△ABE≌△ACD正确，故本选项错误；B、三角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；C、根据AAS（∠A=∠A，∠B=∠C，BE=CD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；D、根据ASA（∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；5.【答案】C；【解析】解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB ，∠C=90°，∴CD=DE=1， 又∵直角△BDE 中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2，∴BC=CD+BD=1+2=3． 故选 C ．6.【答案】C ；【解析】解：当 4cm 为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是 4cm ，4cm ，5cm 符合三角形的三边关系， ∴周长为 13cm ；当 5cm 为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm ，5cm ，4cm ，符合三角形的三边关系， ∴周长为 14cm ， 故选 C.7.【答案】A ；【解析】解：有两个角和其中一个角的对边对应相等， 符合“角角边”判定方法， 所以，两个三角形必定全等． 8.【答案】C ；【解析】解：因为两个面积相等的三角形，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不 同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等；故面积相等的两个三角 形不一定全等． 二、填空题9．【答案】 20；【解析】解：∵三角形是等腰三角形， ∴两个底角相等，∵等腰三角形的一个底角是 80°， ∴另一个底角也是 80°， ∴顶角的度数为 180°﹣80°﹣80°=20°． 10．【答案】28；【解析】解：设∠B=x ，则∠A=2x ，∠C=3x+12°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴x+2x+3x+12°=180°，解得 x=28°． 故答案为：28．11.【答案】等边三角形；【解析】解：∵（a ﹣b ） +（a ﹣c ） +|b ﹣c|=0，22 ∴a ﹣b=0，a ﹣c=0，b ﹣c=0， ∴a=b ，a=c ，b=c ， ∴a=b=c ，∴这个三角形是等边三角形； 故答案为：等边三角形．12.【答案】AH=CB或EH=BE或AE=CE；【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，所以根据AAS添加AH=CB或EH=BE；根据ASA添加AE=CE．可证△AEH≌△CEB．13.【答案】cm或cm；【解析】解：（1）当1cm是斜边，则其高就是斜边1的一半是cm；（2）当其直角边是1cm时，根据勾股定理得其斜边是cm，再根据其高是斜边的一半得高是cm；所以它斜边上的高是cm或cm．14.【答案】在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．【解析】解：把①②作为条件③作为结论，∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴BC=BD．故答案为：在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．15.【答案】PA=PB=PC;【解析】∵边AB的垂直平分线相交于P，∴PA=PB，∵边BC的垂直平分线相交于P，∴PB=PC，∴PA=PB=PC．16.【答案】135°;【解析】解：∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵角平分线BE、CF交于点O，∴∠OBC+∠OCB=45°，∴∠BOC=180°﹣45°=135°．故答案为135°．三、解答题17.【解析】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM=180°，∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M为BC的中点．18.【解析】证明：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB．∵DE∥BC，∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC，∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，∴DB=DF；（2）由（1）证得DB=DF，同理EC=EF．∵DE=DF+EF，∴DE=BD+CE，∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC．19.【解析】解：因为AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．因为BD=AD，AE=EC，所以∠B=∠BAD=（180°﹣∠ADB）=（180°﹣120°）=30°，∠C=∠CAE=（180°﹣∠AEC）=（180°﹣120°）=30°．所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．20．【解析】解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，∴DC==6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），故AD==4（m），则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，∵DA=DB，∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，∴DC+AC=AD，222即x+8=（6+x），222解得；x=，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M为BC的中点．18.【解析】证明：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB．∵DE∥BC，∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC，∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，∴DB=DF；（2）由（1）证得DB=DF，同理EC=EF．∵DE=DF+EF，∴DE=BD+CE，∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC．19.【解析】解：因为AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．因为BD=AD，AE=EC，所以∠B=∠BAD=（180°﹣∠ADB）=（180°﹣120°）=30°，∠C=∠CAE=（180°﹣∠AEC）=（180°﹣120°）=30°．所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．20．【解析】解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，∴DC==6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），故AD==4（m），则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，∵DA=DB，∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，∴DC+AC=AD，222即x+8=（6+x），222解得；x=，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M为BC的中点．18.【解析】证明：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB．∵DE∥BC，∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC，∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，∴DB=DF；（2）由（1）证得DB=DF，同理EC=EF．∵DE=DF+EF，∴DE=BD+CE，∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC．19.【解析】解：因为AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．因为BD=AD，AE=EC，所以∠B=∠BAD=（180°﹣∠ADB）=（180°﹣120°）=30°，∠C=∠CAE=（180°﹣∠AEC）=（180°﹣120°）=30°．所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．20．【解析】解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，∴DC==6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），故AD==4（m），则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，∵DA=DB，∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，∴DC+AC=AD，222即x+8=（6+x），222解得；x=，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M为BC的中点．18.【解析】证明：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB．∵DE∥BC，∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC，∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，∴DB=DF；（2）由（1）证得DB=DF，同理EC=EF．∵DE=DF+EF，∴DE=BD+CE，∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC．19.【解析】解：因为AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．因为BD=AD，AE=EC，所以∠B=∠BAD=（180°﹣∠ADB）=（180°﹣120°）=30°，∠C=∠CAE=（180°﹣∠AEC）=（180°﹣120°）=30°．所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．20．【解析】解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，∴DC==6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），故AD==4（m），则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，∵DA=DB，∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，∴DC+AC=AD，222即x+8=（6+x），222解得；x=，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．。
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元测试题(含详细解析)
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元测试题一．选择题（共12小题）1．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3B．4C．6D．52．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．363．已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或104．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．25．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm6．如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm7．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．8．如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°9．若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.811．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）A．1B．2C．D．12．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°二．填空题（共6小题）13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为_________．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．15．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=_________．16．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= _________．17．在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是_________．18．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= _________度．三．解答题（共12小题）19．如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．20．如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．21．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．23．如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．24．如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．26．已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．27．如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．28．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求点D到斜边AB的距离．29．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=3，AC=4，AD是∠CAB的平分线，AD交BC于D，求BD的长．30．如图，四边形ABCD中，AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC于点E，求证：CD=CE．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3B．4C．6D．5考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．2．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．36考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．解答：解：∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠CBP．∵直线L为BC的中垂线，∴BP=CP，∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，即3∠ABP+60°+24°=180°，解得∠ABP=32°．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．3．已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系．分析：先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长．解答：解：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，∴，解得，当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8．故选：A．点评：本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．4．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．2考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理．专题：几何图形问题．分析：连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．解答：解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF===2，∵H是AF的中点，∴CH=AF=×2=．故选：B．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．5．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，再求出AC的长，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=4cm，∴AC=2AE=2×4=8cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm．故选B．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键．6．如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理．专题：探究型．分析：连接AD，先由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质可得出∠DAB的度数，根据线段垂直平分线的性质可求出AD的长及∠DAC的度数，最后由直角三角形的性质即可求出AC的长．解答：解：连接AD，∵DE是线段AB的垂直平分线，BD=15，∠B=15°，∴AD=BD=10，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=AD=5cm．故选C．点评：本题考查的是直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分的性质是解答此题的关键．7．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．分析：由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．解答：解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠COP=30°，∵CP∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠COP=∠CPO，∴OC=CP=2，∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，∴∠CPE=30°，∴CE=CP=1，∴PE==，∴OP=2PE=2，∵PD⊥OA，点M是OP的中点，∴DM=OP=．故选：C．点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．8．如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE，再根据等边对等角，得∠C=∠CAE=x，然后根据三角形的内角和定理列方程求解．解答：解：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，∴AE=CE．∴∠C=∠CAE=x．根据三角形的内角和定理，得∠C+∠BAC=180°﹣∠B，即x+4x=140°，x=28°．则∠C=28°．故选A．点评：此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．9．若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°考点：等腰三角形的性质．分析：分88°内角是顶角和底角两种情况讨论求解．解答：解：88°是顶角时，等腰三角形的顶角为88°，88°是底角时，顶角为180°﹣2×88°=4°，综上所述，它的顶角是88°或4°．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论．10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.8考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．专题：计算题．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：∵EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE，设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x，在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，即x2=22+（4﹣x）2，解得x=2.5，即CE的长为2.5．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）A．1B．2C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠DBC=30°，从而得到∠DBC=∠ACB，然后利用等角对等边的性质求出BD的长度，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，过点D作DE⊥BC于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠DBC=∠ACB，∴BD=CD=4，在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，∴AD=BD=×4=2，过点D作DE⊥BC于点E，则DE=AD=2．故选B．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及等角对等边的性质，小综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．12．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°考点：等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程．解答：解：∵AC=AE，BC=BD∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，∴∠A=180°﹣2x°，∠B=180°﹣2y°，∵∠ACB+∠A+∠B=180°，∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）=180，得x+y=140，∴∠DCE=180﹣（∠AEC+∠BDC）=180﹣（x+y）=40°．故选D．点评：根据题目中的等边关系，找出角的相等关系，再根据三角形内角和180°的定理，列出方程，解决此题．二．填空题（共6小题）13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为15．考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．解答：解：作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3．∴△ABD的面积为×3×10=15．故答案是：15．点评：此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是2．考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．分析：根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．解答：解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°，∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°，∴直角△DBE中，BE=2DE=2．故答案是：2．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°．15．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=55°．考点：角平分线的性质．分析：首先过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，由△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，易证得AE是∠CAH的平分线，继而求得答案．解答：解：过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，∴EH=EF，EG=EF，∴EH=EG，∴AE是∠CAH的平分线，∵∠BAC=70°，∴∠CAH=110°，∴∠CAE=∠CAH=55°．故答案为：55°．点评：此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．16．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= 4：5：6．考点：角平分线的性质．专题：压轴题．分析：首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．解答：解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，∴OD=OE=OF，∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．故答案为：4：5：6．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．17．在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是15°．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：由DE垂直平分AC，∠A=50°，根据线段垂直平分线的性质，易求得∠ACD的度数，又由AB=AC，可求得∠ACB的度数，继而可求得∠DCB的度数．解答：解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=50°，∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ACB=∠B==65°，∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=15°．故答案为：15°．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．18．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= 72度．考点：线段垂直平分线的性质；菱形的性质．专题：计算题．分析：欲求∠CPB，可根据菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法．解答：解：先连接AP，由四边形ABCD是菱形，∠ADC=72°，可得∠BAD=180°﹣72°=108°，根据菱形对角线平分对角可得：∠ADB=∠ADC=×72°=36°，∠ABD=∠ADB=36度．EP是AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得∠DAP=∠ADB=36°，∴∠PAB=∠DAB﹣∠DAP=108°﹣36°=72度．在△BAP中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP=180°﹣72°﹣36°=72度．由菱形对角线的对称性可得∠CPB=∠APB=72度．点评：本题开放性较强，解法有多种，可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法，在这些方法中，最容易理解和表达的应为对称法，这也应该是本题考查的目的．灵活应用菱形、垂直平分线的对称性，可使解题过程更为简便快捷．三．解答题（共12小题）19．如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．考点：线段垂直平分线的性质．分析：先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，故可得出BD+AD=BD+CD=BC，进而可得出结论．解答：解：∵DE垂直平分，∴AD=CD，∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm，又∵AB=10cm，∴△ABD的周长=AB+BC=10+11=21（cm）．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．20．如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．考点：等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据三线合一定理证明CF平分∠ACB，然后根据CF平分∠ACB，根据邻补角的定义即可证得．解答：证明：∵CD=CA，E是AD的中点，∴∠ACE=∠DCE．∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF．∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180°，∴∠ACE+∠ACF=90°．即∠ECF=90°．∴CE⊥CF．点评：本题考查了等腰三角形的性质，顶角的平分线、底边上的中线和高线、三线合一．21．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．考点：含30度角的直角三角形；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：延长DA，CB，交于点E，可得出三角形ABE与三角形CDE相似，由相似得比例，设AB=x，利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到AE=2x，利用勾股定理表示出BE，由BC+BE表示出CE，在直角三角形DCE中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到2DC=CE，即可求出AB的长．解答：解：延长DA，CB，交于点E，∵∠E=∠E，∠ANE=∠D=90°，∴△ABE∽△CDE，∴=，在Rt△ABE中，∠E=30°，设AB=x，则有AE=2x，根据勾股定理得：BE==x，∴CE=BC+BE=4+x，在Rt△DCE中，∠E=30°，∴CD=CE，即（4+x）=3，解得：x=，则AB=．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．考点：角平分线的性质；勾股定理．分析：（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．解答：解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15．点评：本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．23．如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．考点：直角三角形斜边上的中线．专题：证明题．分析：由于AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，因此可以AB为媒介，再根据斜边上的中线等于斜边的一半来证CE=ED．解答：证明：在Rt△ABC中，∵E为斜边AB的中点，∴CE=AB．在Rt△ABD中，∵E为斜边AB的中点，∴DE=AB．∴CE=DE．点评：本题考查的是直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．24．如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．考点：等腰三角形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）在等腰△ACD中，CF是顶角∠ACD的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知F是底边AD的中点，由此可证得EF是△ABD的中位线，即可得到EF∥BC的结论；（2）易证得△AEF∽△ABD，根据两个相似三角形的面积比（即相似比的平方），可求出△ABD的面积，而四边形BDFE的面积为△ABD和△AEF的面积差，由此得解．解答：（1）证明：∵在△ACD中，DC=AC，CF平分∠ACD；∴AF=FD，即F是AD的中点；又∵E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线；∴EF∥BC；（2）解：由（1）易证得：△AEF∽△ABD；∴S△AEF：S△ABD=（AE：AB）2=1：4，∴S△ABD=4S△AEF=6，∴S△AEF=1.5．∴S四边形BDFE=S△ABD﹣S△AEF=6﹣1.5=4.5．点评：此题主要考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理及相似三角形的判定和性质．25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．专题：证明题．分析：此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质证明题目的结论．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵CE⊥BD，∴∠BEC=90°．∵∠A=90°，∴∠A=∠BEC．∵BD=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE．点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形放在梯形的背景之下，利用全等三角形的性质与判定解决题目问题．26．已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题；证明题．分析：根据已知利用SAS判定△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等就可得到AE=CF；根据已知利用角之间的关系可求得∠EFC的度数．解答：（1）证明：在△ABE和△CBF中，∵，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=30°，∴∠CAB=∠ACB=（180°﹣90°）=45°，∠EAB=45°﹣30°=15°．∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB=15°．∵BE=BF，∠EBF=90°，∴∠BFE=∠FEB=45°．∴∠EFC=180°﹣90°﹣15°﹣45°=30°．点评：此题主要考查了全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质等知识点的掌握情况；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．27．如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据AD是∠EAF的平分线，那么DE=DF，如果证得EA=FA，那么我们就能得出AD是EF的垂直平分线，那么就证得EF⊥AD了．因此证明EA=FA是问题的关键，那么就要先证得三角形AED和AFD全等．这两个三角形中已知的条件有∠EAD=∠FAD，一条公共边，一组直角，因此两三角形全等，那么就可以得出EA=AF了．（2）要求AD的长，在直角三角形AED中，有了DE的值，如果知道了∠ADE或∠EAD的度数，那么就能求出AD了．如果DE∥AC，那么∠EAC=90°，∠EAD=45°，那么在直角三角形AED中就能求出AD的长了．解答：（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，∴∠EAD=∠DAF．∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴∠DEA=∠DFA=90°又AD=AD，∴△DEA≌△DFA．∴EA=FA∵ED=FD，∴AD是EF的垂直平分线．即AD⊥EF．（2）解：∵DE∥AC，∴∠DEA=∠FAE=90°．又∠DFA=90°，∴四边形EAFD是矩形．由（1）得EA=FA，∴四边形EAFD是正方形．∵DE=1，∴AD=．点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．本题中利用全等三角形得出线段相等是解题的关键．。
北师大版八年级数学 下册第一章：三角形的证明 期末复习题
北师大版八年级数学下册第一章：三角形的证明期末复习题一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是(A)A．HL B．ASA C．SAS D．AAS2．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为(A)A．35° B．40°C．45°D．50°3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知△PAB的周长为14，PA＝4，则线段AB的长度为(A)A．6 B．5 C．4 D．34．在△ABC中，AB＝AC＝2，D为BC的中点，∠C＝30°，则AD的长为(C)A. 3B. 2 C．1 D．25．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为(B)A．12 B．9 C．8 D．66．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(A)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对7．若等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是(B)A．80° B．80°或20°C．80°或50°D．20°8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是(C)A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为(C)A．5 B．4 C．3 D．2e10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ，下列四个结论：①EF ＝BE ＋CF ； ②∠BOC ＝90°＋12∠A ；③点O 到△ABC 各边的距离相等； ④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝mn. 其中正确的结论是(A) A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④二、填空题(每小题3分，共21分)11．在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点．若∠B ＝50°，则∠DAC 的度数是40°． 12．如果三角形三边长分别为6 cm ，8 cm ，10 cm ，那么它最短边上的高为8cm. 13．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC 交AC 于点E.若DE ＝7，AE ＝5，则AC 的长为12．14．如图，在锐角△ABC 中，直线PL 为BC 的垂直平分线，射线BM 为∠ABC 的平分线，PL 与BM 相交于点P.若∠PBC ＝30°，∠ACP ＝20°，则∠A 的度数为70°．15．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，直线m 经过点C ，分别过点A ，B 作直线m 的垂线，垂足分别为点E ，F.若AE ＝3，AC ＝5，则线段EF 的长为1或7．16．已知△ABC ≌△DEF ，BC ＝EF ＝6 cm ，△ABC 的面积为18 cm 2，则EF 边上的高的长是6cm.17．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为三、解答题(共69分)18．已知△ABN 和△ACM 位置如图所示，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2.求证： (1)BD ＝CE ；(2)∠M ＝∠N.【解答】 证明：(1)在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)． ∴BD ＝CE. (2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE ＝∠2＋∠DAE ， 即∠BAN ＝∠CAM. 由(1)，得△ABD ≌△ACE ， ∴∠B ＝∠C. 在△ACM 和△ABN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠B ，AC ＝AB ，∠CAM ＝∠BAN ， ∴△ACM ≌△ABN(ASA)．19．如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ，点E 在AC 上．求证： (1)AC 平分∠BAD ；(2)BE ＝DE.证明：(1)在△ABC 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，BC ＝DC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS)．∴∠BAC ＝∠DAC ，即AC 平分∠BAD. (2)由(1)得，∠BAE ＝∠DAE.在△BAE 和△DAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝DA ，∠BAE ＝∠DAE ，AE ＝AE ，∴△BAE ≌△DAE(SAS)．∴BE ＝DE.20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，连接AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F.(1)若∠C ＝36°，求∠BAD 的度数； (2)求证：FB ＝FE.解：(1)∵AB ＝AC ， ∴∠C ＝∠ABC. ∵∠C ＝36°，∵BD ＝CD ，AB ＝AC ， ∴AD ⊥BC. ∴∠ADB ＝90°.∴∠BAD ＝90°－36°＝54°. (2)证明：∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE ＝∠CBE ＝12∠ABC.∵EF ∥BC ， ∴∠FEB ＝∠CBE. ∴∠FBE ＝∠FEB. ∴FB ＝FE.21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CA 延长线上一点，DE ⊥BC ，交线段AB 于点F.请找出一组相等的线段(AB ＝AC 除外)，并加以证明．解：AD ＝AF. 证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C. ∵DE ⊥BC ，∴∠BEF ＝∠DEC ＝90°.∴∠BFE ＋∠B ＝90°，∠D ＋∠C ＝90°. ∴∠BFE ＝∠D. ∵∠BFE ＝∠DFA ，∴AD＝AF.22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA＝∠DFC＝90°.∵D为AC的中点，∴DA＝DC.又∵DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)．∴∠A＝∠C.∴∠A＝∠B＝∠C.∴△ABC是等边三角形．23．按照有关规定：距高铁轨道200米以内的区域内不宜临路新建学校、医院、敬老院和集中住宅区等噪声敏感建筑物．如图是一个小区平面示意图，长方形ABEF为一新建小区，直线MN为高铁轨道，C，D 是直线MN上的两点，点C，A，B在同一直线上，且DA⊥CA，CD＝2AD.小王看中了①号楼A 单元的一套住宅，与售楼人员的对话如下：小王心中一算，发现售楼人员的话不可信，请你用所学的数学知识说明理由． 解：过点A 作AG ⊥MN ，垂足为G. ∵CD ＝2AD ＝440，DA ⊥CA ， ∴AC ＝4402－2202＝220 3. ∵S △ACD ＝12AC ·AD ＝12CD ·AG ，∴AG ＝2203×220440＝1103≈191＜200.∴A 单元用户会受到影响，售楼人员的话不可信．24．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，交AB 于点E. (1)求证：△ABD 是等腰三角形； (2)若∠A ＝40°，求∠DBC 的度数；(3)若AE ＝6，△CBD 的周长为20，求△ABC 的周长．解：(1)证明：∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ， ∴DB ＝DA.∴△ABD 是等腰三角形．(2)∵△ABD 是等腰三角形，∠A ＝40°， ∴∠ABD ＝∠A ＝40°，∠ABC ＝∠C ＝(180°－40°)÷2＝70°. ∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°. (3)∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，AE ＝6，∴AB＝2AE＝12，BD＝AD.∵△CBD的周长为20，∴BD＋CD＋BC＝20.∴AC＋BC＝20.∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝12＋20＝32.25．已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.(1)如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；(2)如图2，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC；(3)猜想，若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请说明理由．解：(1)证明：过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°. 又∵OB＝OC，∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL)．∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2)证明：过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°. 又∵OB＝OC，∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL)．∴∠DBO＝∠ECO.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠DBO＋∠OBC＝∠ECO＋∠OCB，即∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.(3)不一定成立．理由：如图3，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°.又∵OB＝OC，∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL)．∴∠DBO＝∠ECO.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠DBC＝∠ECB.∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.如图4，可知AB≠AC.∴若点O在△ABC的外部时，AB＝AC不一定成立．。
(完整版)北师大版八年级三角形证明课后题汇总
1.1 等腰三角形1、将下面证明中每一步的理由写在括号内：已知：如图，AB＝CD，AD＝CB．求证：∠A＝∠C．证明：连接BD．在△BAD和△DCB中，∵AB＝CD( )AD＝CB( )BD＝DB( )∴△BAD≌△DCB( )∴∠A＝∠C( )2、已知：如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．3、如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D，求∠BAD的度数。
4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，连接BE,CE,请找出图中所有相等的角。
5、如图，在△ABC中，AB=BC,点D,E都在BC上，且AD=AE,证明BD=CE.1、如图，在△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于点D.若BD=BC,则∠A等于多少度？2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC中点，点E,F分别在AB和AC尚，并且AE=AF.求证：DE=DF3、已知：如图，D，E分别是等边三角形ABC的两边AB,AC上的点，且AD=CE。
求证：CD=BE4、如图，在一个风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC⑴分别在AB,AD的中点E,F处拉两根彩线EC,FC.证明:这两根彩线的长度相等。
⑵如果AE=1/3AB,AF=1/3AD,那麼彩线的长度相等吗?如果AE=1/4AB,AF=1/4AD呢?由此你能得到什麼结论?1、已知：如图，∠CEA是△ABC的外角，AD平行BC，且∠1=∠2.求证：AB=AC.2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，EP垂直于BC，垂足为P，EP交AB于点F。
求证：△AEF是等腰三角形。
3、如图，一艘船从A处出发，以18kn的速度向北航行，经过10h到处B处。
分别从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．求从B处到灯塔C 的距离．1、已知：如图，△ABC是等边三角形，与BC平行的直线分别交AB和AC于点D,E, 求证：△ADE是等边三角形。
三角形的证明综合测试(北师版)(含答案)
三角形的证明综合测试（北师版）一、单选题(共7道，每道10分)1.在三角形内部，到三角形各边距离相等的点是这个三角形( )A.各内角平分线的交点B.各边上高线的交点C.各边垂直平分线的交点D.各边上中线的交点答案：A解题思路：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.故选A.试题难度：三颗星知识点：角平分线的判定定理2.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则AC与DC的关系是( )A.AC=2DCB.AC=3DCC. D.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形3.判断下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②若a>1，b>1，则a+b>2；③线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；④直角三角形两锐角互余.其中逆命题正确的有( )A.③④B.①③④C.②③④D.①②③④答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：逆命题4.用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设( )A.一个三角形中至少有两个钝角B.一个三角形中至多有一个钝角C.一个三角形中至少有一个钝角D.一个三角形中没有钝角答案：A解题思路：由反证法的定义知，反证法就是从结论的反面出发进行假设，∴证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设一个三角形中至少有两个钝角．故选A．试题难度：三颗星知识点：反证法5.如图，将正方形对折后展开（图4是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，则下图中阴影直角三角形满足一条直角边等于斜边的一半的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：30°角所对的直角边等于斜边的一半6.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD的长( )A. B.5C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线性质定理7.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②∠DFB=∠EFC；③△ADE 的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的是( )A.①②③B.①②③④C.①③D.①答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线加平行会出现等腰三角形二、填空题(共3道，每道10分)8.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为____.答案：14解题思路：试题难度：知识点：等腰三角形三线合一9.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=____度.答案：45解题思路：试题难度：知识点：垂直平分线性质定理10.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则∠FAG等于____度．答案：30解题思路：试题难度：知识点：全等三角形的判定定理。
北师大版八年级数学下《第一章三角形的证明》单元测试题(有答案)
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题一、精心选一选，慧眼识金（每小题2分，共20分）1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（）去配.A.①B.②C.③D.①和②2．下列说法中，正确的是（）.A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等D．面积相等的两个三角形全等3．如图2，AB⊥C D，△AB D、△B CE都是等腰三角形，如果C D=8cm，BE=3c m，那么A C长为（）.A．4c m B．5c m C．8c m D．34c m4．如图3，在等边ABC 的度数是（）.,中，D E分别是B C A C上的点，且,B D CE，A D与BE相交于点P，则12450B．55C．60D．75A．0005．如图4，在ABC中，A B=A C，A 36ABC ACB，B D和CE分别是和的平分线，且相交于点P.在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（）.A．9个B．8个C．7个D．6个,l,l6．如图5，l表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可123供选择的地址有（）.A．1处B．2处C．3处D．4处7．如图 6，A 、C 、E 三点在同一条直线上，△D A C 和△EB C 都是等边三角形，AE 、B D 分别与 C D 、CE 交于点 M 、N ，有如下结论：①△AC E ≌△D C B ；② C M ＝C N ；③ A C ＝D N. 其中，正确结论的个数是（）.A ．3 个B ．2 个C ． 1 个D ．0 个8．要测量河两岸相对的两点 A 、B 的距离，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C ，D ，使 C D=B C ，再作出 BFABC ED C ≌ ，得 ED =A B. 因此，的垂线 DE ，使 A ，C ，E 在同一条直线上（如图 7），可以证明 ABC ED C ≌测得 DE 的长就是 A B 的长，在这里判定 的条件是( ). A ．AS AB ．S ASC ．SSSD ．H L9．如图 8，将长方形 A B C D 沿对角线 B D 翻折，点 C 落在点 E 的位置，BE 交 A D 于点 F. BDF 求证：重叠部分（即 ）是等腰三角形. 证明：∵四边形 A B C D 是长方形，∴A D ∥B CBDE 又∵ 与 BD C 关于 B D 对称， 2 3. ∴ B D F 是等腰三角形.∴ 请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（）.1 2 ；②1 3；③3 4；④BDC BDE ① A ．①③B ．②③C ．②①D ．③④10.如图9，已知线段a，h作等腰△AB C，使AB＝A C，且BC＝a，B C边上的高A D＝h.张红的作法是：（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线M N，M N与BC相交于点D；（3）在直线M N上截取线段h；（4）连结AB，AC，则△AB C为所求的等腰三角形.上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（）.A.（1）B.（2）C.（3）D.（4）二、细心填一填，一锤定音（每小题2分，共20分）1．如图10，已知，在△A B C和△D C B中，A C=D B，若不增加任何字母与辅助线，要使△A B C≌△D C B，则还需增加一个条件是____________.2．如图11，在Rt AB C中，BA C90,,AB A C，分别过点B C作经过点A的直线的垂线段B D，C E，若B D=3厘米，CE=4厘米，则DE的长为_______.3．如图12，P，Q是△A B C的边B C上的两点，且BP＝P Q＝Q C＝A P＝A Q，则∠A B C等于_________度.4．如图13，在等腰ABC中，A B=27，A B的垂直平分线交A B于点D，交AC于点E ，若BCE的周长为50，则底边BC的长为_________.ABC中，A B=A C，A B的垂直平分线与A C所在的直线相交所得的锐角为50，则0 5．在底角B的大小为________.6．在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是________.(填序号)7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边A C=5c m，B C=10c m，将△A B C 折叠，点B 与点A 重合，折痕为DE，则C D 的长为________.8．如图15，在ABC中，A B=A C ，A 120 ，D 是BC 上任意一点，分别做D E⊥A B 于E，DF⊥A C于F，如果BC=20cm，那么DE+D F= _______cm.9．如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°，D E是AB的中垂线，垂足为D，交BCE于点，若BE 4，则AC_______ .10．如图17，有一块边长为24m 的长方形绿地，在绿地旁边B 处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小颖想在A 处立一个标牌“少走_____步，踏之何忍？”但小颖不知在“_____”处应填什么数字，请你帮助她填上好吗？（假设两步为1米）？三、耐心做一做，马到成功（本大题共48分）ABC 中，ACB 90，C D 是A B 边上的高，A 301．（7 分）如图18，在.求证：A B= 4BD.0 02．（7分）如图19，在ABC900中，C ，A C=B C，A D平分CAB交B C于点D，DE⊥A B于点E，若A B=6c m.你能否求出BDE的周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.3．（10分）如图20，D、E分别为△AB C的边AB、AC上的点，BE与C D相交于O点.现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝O C；③∠ABE＝∠ACD；④BE＝C D.(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：．．命题的条件是和，命题的结论是和(均填序号).(2)证明你写出的命题.已知：求证：证明：4．（8分）如图21，在ABC中，A 900，AB=A C，AB C的平分线B D交A C于D，CE⊥B D的延1BD2长线于点E.求证：CE.ABC中，C 900.5．（8分）如图22，在（1）用圆规和直尺在A C上作点P，使点P到A、B的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）当满足（1）的点P到A B、B C的距离相等时，求∠A的度数.6．（8分）如图23，AOB90，O M平分A O B，将直角三角板的顶点P在射线O M上移动，两直角边分别与O A、O B相交于点C、D，问PC与P D相等吗？试说明理由.四、拓广探索（本大题12分）ABC如图24，在中，A B=A C，A B的垂直平分线交A B于点N，交B C的延长线于点M，若A400.（1）求N M B 的度数；（2）如果将（1）中A的度数改为70，其余条件不变，再求N M B的度数；（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；（4）若将（1）中的A改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？答案：一、精心选一选，慧眼识金1．C；2．B；3．D．点拨：B C=BE=3c m，A B=B D=5c m；ABD≌BCE；4．C．点拨：利用5．B；6．D．点拨：三角形的内角平分线或外角平分线的交点处均满足条件；7．B．点拨：①②正确；8．A；9．C；10．C．点拨：在直线M N上截取线段h，带有随意性，与作图语言的准确性不相符.二、细心填一填，一锤定音1．答案不惟一.如ACB DBC；ABD≌CAE；2．7厘米.点拨：利用3．30；BE CE AC AB 27 ，可得 B C 50 27 23；4．23．点拨：由 5．7020 .点拨；当ABC 为锐角三角形时，B 70ABC 为钝角三角形时，B 20 ；或 ；当 0 0 0 06．①、③、④、⑤.点拨：三个角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形，所以②不存在逆定理；15cm C D x B D AD 10 x Rt ACD (10 x)x 5 ，解得 7． . 点拨：设 ，则易证得 .在 中， 2 2 2 4 15 x .4 1 18．10．点拨：利用含30角的直角三角形的性质得， D E DF BD C D BC . 0 22Rt AEC 中，AEC 309．2 . 点拨：在，由 AE=BE= 4，则得 A C=2； 0 10．16．点拨：AB=26 米，A C+B C =34 米，故少走 8 米，即 16 步. 三、耐心做一做，马到成功 1．∵ACB 90，A 300 ，∴AB=2BC ，B 60.0 0又∵C D ⊥A B ，∴DCB 30，∴B C=2B D.∴AB= 2BC= 4B D.2．根据题意能求出BDE的周长.C 900 ，DEA 90，又∵A D 平分C A B∵ 在 ，∴DE=D C.Rt AD C Rt A D E 和 Rt AD C Rt A D E≌ （HL ）. 中，DE=D C ，A D =A D ，∴ ∴A C=A E ，又∵A C =B C ，∴AE=B C.BDE DE DB EB BC EB AE EB AB ∴ 的周长 . BDE ∵A B=6c m ，∴ 3．（1）①，③；②，④.的周长=6cm. （2）已知：D 、E 分别为△ABC 的边 AB 、AC 上的点，BE 与 C D 相交于 O 点，且AB ＝AC ，∠ABE ＝∠AC D. 求证：OB ＝O C ，BE ＝C D.证明：∵ A B=A C ，∠ ABE ＝∠ AC D ，∠ A=∠A ，∴△ A B E ≌△ A C D （AS A ）.∴BE=C D. 又∵ABC ACB ，∴BC D AC BAC D AB C ABE CBEBOC ∴ 是等腰三角形，∴OB ＝O C. 4．延长 CE 、B A 相交于点 F.EBF F 90,ACF F 900 ，∴ EBFACF .∵ 0 在 RtABD Rt ACF 中，∵DBA ACF和，A B=A C ，ABD Rt ACF ≌ B D CF.∴ Rt （AS A ）. ∴ 在 Rt BCE Rt BFE 中，∵BE=BE ，EBC EBF和，BCE Rt BFE≌ （ASA ）.∴ Rt 1 12 EF ∴CE . ∴CE C F B D .25．（1）图略. 点拨：作线段 A B 的垂直平分线. （2）连结 BP.∵点 P 到 A B 、B C 的距离相等， ∴BP 是ABC的平分线，∴ABP PBC .又∵点 P 在线段 A B 的垂直平分线上，∴P A=PB ，∴A ABP.1 A ABP PB C 90 30 ∴ 0 0 . 36．过点 P 作 PE ⊥O A 于点 E ，PF ⊥O B 于点 F. ∵O M 平分AOB，点 P 在 O M 上，∴PE=PF.又∵A OB 9090 ，∴ EPF .0 0 ∴EPF CP D，∴EPC FPDRt PCE Rt PDF .∴ ≌ （AS A ），∴PC=P D.四、拓广探索1 1 B ACB 180 1804070 （1）∵A B=A C ，∴ .∴ BA 0.0 00 22N M B 90B 90 70 20 ∴ . 0 0 0 0 （2）解法同（1）.同理可得， （3）规律：NM BN M B 35.的度数等于顶角A 度数的一半.1 证明：设A .∵A B=A C ，∴B C180 .0 ，∴ B21 1 BN M 900 ，∴N MB 90 B 90 180 . ∵ 0 0 0 22N M B的度数等于顶角 A 度数的一半.即A （4）将（1）中的 改为钝角，这个规律不需要修改.仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半.BE CE AC AB 27 ，可得 B C 50 27 23；4．23．点拨：由 5．7020 .点拨；当ABC 为锐角三角形时，B 70ABC 为钝角三角形时，B 20 ；或 ；当 0 0 0 06．①、③、④、⑤.点拨：三个角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形，所以②不存在逆定理；15cm C D x B D AD 10 x Rt ACD (10 x)x 5 ，解得 7． . 点拨：设 ，则易证得 .在 中， 2 2 2 4 15 x .4 1 18．10．点拨：利用含30角的直角三角形的性质得， D E DF BD C D BC . 0 22Rt AEC 中，AEC 309．2 . 点拨：在，由 AE=BE= 4，则得 A C=2； 0 10．16．点拨：AB=26 米，A C+B C =34 米，故少走 8 米，即 16 步. 三、耐心做一做，马到成功 1．∵ACB 90，A 300 ，∴AB=2BC ，B 60.0 0又∵C D ⊥A B ，∴DCB 30，∴B C=2B D.∴AB= 2BC= 4B D.2．根据题意能求出BDE的周长.C 900 ，DEA 90，又∵A D 平分C A B∵ 在 ，∴DE=D C.Rt AD C Rt A D E 和 Rt AD C Rt A D E≌ （HL ）. 中，DE=D C ，A D =A D ，∴ ∴A C=A E ，又∵A C =B C ，∴AE=B C.BDE DE DB EB BC EB AE EB AB ∴ 的周长 . BDE ∵A B=6c m ，∴ 3．（1）①，③；②，④.的周长=6cm. （2）已知：D 、E 分别为△ABC 的边 AB 、AC 上的点，BE 与 C D 相交于 O 点，且AB ＝AC ，∠ABE ＝∠AC D. 求证：OB ＝O C ，BE ＝C D.证明：∵ A B=A C ，∠ ABE ＝∠ AC D ，∠ A=∠A ，∴△ A B E ≌△ A C D （AS A ）.∴BE=C D. 又∵ABC ACB ，∴BC D AC BAC D AB C ABE CBEBOC ∴ 是等腰三角形，∴OB ＝O C. 4．延长 CE 、B A 相交于点 F.和，A B=A C ，ABD Rt ACF ≌ B D CF.∴ Rt （AS A ）. ∴ 在 Rt BCE Rt BFE 中，∵BE=BE ，EBC EBF和，BCE Rt BFE≌ （ASA ）.∴ Rt 1 12 EF ∴CE . ∴CE C F B D .25．（1）图略. 点拨：作线段 A B 的垂直平分线. （2）连结 BP.∵点 P 到 A B 、B C 的距离相等， ∴BP 是ABC的平分线，∴ABP PBC .又∵点 P 在线段 A B 的垂直平分线上，∴P A=PB ，∴A ABP.1 A ABP PB C 90 30 ∴ 0 0 . 36．过点 P 作 PE ⊥O A 于点 E ，PF ⊥O B 于点 F. ∵O M 平分AOB，点 P 在 O M 上，∴PE=PF.又∵A OB 9090 ，∴ EPF .0 0 ∴EPF CP D，∴EPC FPDRt PCE Rt PDF .∴ ≌ （AS A ），∴PC=P D.四、拓广探索1 1 B ACB 180 1804070 （1）∵A B=A C ，∴ .∴ BA 0.0 00 22N M B 90B 90 70 20 ∴ . 0 0 0 0 （2）解法同（1）.同理可得， （3）规律：NM BN M B 35.的度数等于顶角A 度数的一半.1 证明：设A .∵A B=A C ，∴B C180 .0 ，∴ B21 1 BN M 900 ，∴N MB 90 B 90 180 . ∵ 0 0 0 22N M B的度数等于顶角 A 度数的一半.即A （4）将（1）中的 改为钝角，这个规律不需要修改.仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半.BE CE AC AB 27 ，可得 B C 50 27 23；4．23．点拨：由 5．7020 .点拨；当ABC 为锐角三角形时，B 70ABC 为钝角三角形时，B 20 ；或 ；当 0 0 0 06．①、③、④、⑤.点拨：三个角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形，所以②不存在逆定理；15cm C D x B D AD 10 x Rt ACD (10 x)x 5 ，解得 7． . 点拨：设 ，则易证得 .在 中， 2 2 2 4 15 x .4 1 18．10．点拨：利用含30角的直角三角形的性质得， D E DF BD C D BC . 0 22Rt AEC 中，AEC 309．2 . 点拨：在，由 AE=BE= 4，则得 A C=2； 0 10．16．点拨：AB=26 米，A C+B C =34 米，故少走 8 米，即 16 步. 三、耐心做一做，马到成功 1．∵ACB 90，A 300 ，∴AB=2BC ，B 60.0 0又∵C D ⊥A B ，∴DCB 30，∴B C=2B D.∴AB= 2BC= 4B D.2．根据题意能求出BDE的周长.C 900 ，DEA 90，又∵A D 平分C A B∵ 在 ，∴DE=D C.Rt AD C Rt A D E 和 Rt AD C Rt A D E≌ （HL ）. 中，DE=D C ，A D =A D ，∴ ∴A C=A E ，又∵A C =B C ，∴AE=B C.BDE DE DB EB BC EB AE EB AB ∴ 的周长 . BDE ∵A B=6c m ，∴ 3．（1）①，③；②，④.的周长=6cm. （2）已知：D 、E 分别为△ABC 的边 AB 、AC 上的点，BE 与 C D 相交于 O 点，且AB ＝AC ，∠ABE ＝∠AC D. 求证：OB ＝O C ，BE ＝C D.证明：∵ A B=A C ，∠ ABE ＝∠ AC D ，∠ A=∠A ，∴△ A B E ≌△ A C D （AS A ）.∴BE=C D. 又∵ABC ACB ，∴BC D AC BAC D AB C ABE CBEBOC ∴ 是等腰三角形，∴OB ＝O C. 4．延长 CE 、B A 相交于点 F.和，A B=A C ，ABD Rt ACF ≌ B D CF.∴ Rt （AS A ）. ∴ 在 Rt BCE Rt BFE 中，∵BE=BE ，EBC EBF和，BCE Rt BFE≌ （ASA ）.∴ Rt 1 12 EF ∴CE . ∴CE C F B D .25．（1）图略. 点拨：作线段 A B 的垂直平分线. （2）连结 BP.∵点 P 到 A B 、B C 的距离相等， ∴BP 是ABC的平分线，∴ABP PBC .又∵点 P 在线段 A B 的垂直平分线上，∴P A=PB ，∴A ABP.1 A ABP PB C 90 30 ∴ 0 0 . 36．过点 P 作 PE ⊥O A 于点 E ，PF ⊥O B 于点 F. ∵O M 平分AOB，点 P 在 O M 上，∴PE=PF.又∵A OB 9090 ，∴ EPF .0 0 ∴EPF CP D，∴EPC FPDRt PCE Rt PDF .∴ ≌ （AS A ），∴PC=P D.四、拓广探索1 1 B ACB 180 1804070 （1）∵A B=A C ，∴ .∴ BA 0.0 00 22N M B 90B 90 70 20 ∴ . 0 0 0 0 （2）解法同（1）.同理可得， （3）规律：NM BN M B 35.的度数等于顶角A 度数的一半.1 证明：设A .∵A B=A C ，∴B C180 .0 ，∴ B21 1 BN M 900 ，∴N MB 90 B 90 180 . ∵ 0 0 0 22N M B的度数等于顶角 A 度数的一半.即A （4）将（1）中的 改为钝角，这个规律不需要修改.仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半.。
北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》单元过关测试卷(含答案)
北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》单元过关测试卷一．选择题（共8小题，满分24分）1．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（）A．4B．30C．18D．122．已知实数a，b满足|a﹣2|+（b﹣4）2＝0，则以a，b的值为两边的等腰三角形的周长是（）A．10B．8或10C．8D．以上都不对3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CE＝2，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，那么AE的为（）A．6B．4C．3D．24．如图，OP平分∠MON，P A⊥ON，PB⊥OM，垂足分别为A、B，若P A＝3，则PB＝（）A．2B．3C．1.5D．2.55．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、N在BC上，则∠EAN＝（）A．58°B．32°C．36°D．34°6．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（）A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形D．如果a：b；c＝3：4：，则△ABC是直角三角形7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，当用反证法证明时，第一步应假设（）A．AB≠AC B．PB＝PC C．∠APB＝∠APC D．∠B≠∠C8．如图，ABC是一钢架的一部分，为使钢架更加坚固，在其内部添加了一些钢管DE、EF、FG…添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等．如果∠ABC＝10°，那么添加这样的钢管的根数最多是（）A．7根B．8根C．9根D．10根二．填空题（共8小题，满分24分）9．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AB＝3，则AC＝．10．如图，已知△ABC中，BC＝4，AB的垂直平分线交AC于点D，若AC＝6，则△BCD 的周长＝．11．如图，小艾同学坐在秋千上，秋千旋转了80°，小艾同学的位置也从A点运动到了A'点，则∠OAA'的度数为．12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝4，则S△ABD＝．13．如图，在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点O作EF∥BC，分别与边AB、AC相交于点E、F，AB＝8，AC＝7，那么△AEF的周长等于．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交边BC于点D，过点D作DE ⊥AB，垂足为E．若∠CAD＝20°，则∠EDB的度数是．15．如图，△ABC是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，则图中共有个等边三角形．16．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，D为AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD，DF⊥BC于点F，求线段BF的长，BF＝．三．解答题（共7小题，满分52分）17．用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角．18．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．19．如图：△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，CE是斜边AB上的高，且AC＝AD．（1）若∠DCE＝15°，求∠B的度数；（2）若∠B﹣∠A＝20°，求∠DCB的度数．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于点E．（1）若∠ABE＝50°，求∠EBC的度数；（2）若△ABC的周长为43cm，BC的长为11cm，求△BCE的周长21．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连结CD，DE，已知∠EDB＝∠ACD．（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，BD＝2时，求EB的长．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．（1）若∠BAC＝90°（图1），求∠DAE的度数；（2）若∠BAC＝120°（图2），求∠DAE的度数；（3）当∠BAC＞90°时，探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系，直接写出结果．23．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．参考答案一．选择题（共8小题）1．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE为等边三角形，∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4，∴△ADE的周长为12．故选：D．2．【解答】解：根据题意得a﹣2＝0，b﹣4＝0，解得a＝2，b＝4，①a＝2是底长时，三角形的三边分别为4、4、2，∵4、4、2能组成三角形，∴三角形的周长为10，②a＝2是腰边时，三角形的三边分别为4、2、2，2+2＝4，不能组成三角形．综上所述，三角形的周长是10．故选：A．3．【解答】解：连接BE，∵DE是边AB的垂直平分线，∴BE＝AE，∴∠EBA＝∠A＝30°，∴∠CBE＝180°﹣90°﹣30°﹣30°＝30°，∴BE＝2CE＝4，∴AE＝BE＝4，故选：B．4．【解答】解：∵OP平分∠MON，P A⊥ON，PB⊥OM，∴PB＝P A＝3，故选：B．5．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC＝106°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣106°＝74°，∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B+∠C＝∠BAE+∠CAN＝74°，∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝106°﹣74°＝32°．故选：B．6．【解答】解：A、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A≈98°，错误不符合题意；B、如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝75°，错误不符合题意；C、如果a：b：c＝1：2：2，12+22≠22，不是直角三角形，错误不符合题意；D、如果a：b；c＝3：4：，，则△ABC是直角三角形，正确；故选：D．7．【解答】解：假设结论PB≠PC不成立，即：PB＝PC成立．故选：B．8．【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB＝10°，∴∠EDF＝∠EFD＝20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个，∴添加这样的钢管的根数最多是8根．故选：B．二．填空题（共8小题）9．【解答】解：如图，∵∠B＝90°，∠A＝30°，∴设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∵AB＝3，∴x2+32＝（2x）2解得：x＝或﹣（舍去），∴AC＝2x＝2，故答案为：2．10．【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△BCD的周长＝BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC＝10，故答案为：10．11．【解答】解：∵秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A'点，∴AOA′＝80°，OA＝OA′，∴∠OAA'＝（180°﹣80°）＝50°．故答案为50°．12．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝4，∴S△ABD＝AB•DE＝×10×4＝20，故答案为20．13．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∴∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO，∴EO＝EB，FO＝FC，∵AB＝8cm，AC＝7cm，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+EO+FO+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝8+7＝15（cm）．故△AEF的周长为15，故答案为：15．14．【解答】解：∵AD平分∠CAB，∠CAD＝20°，∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣40°＝50°，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．15．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°，∵DF∥BC，∴∠F AC＝∠ACB＝60°，∠DAB＝∠ABC＝60°，同理：∠ACF＝∠BAC＝60°在△AFC中，∠F AC＝∠ACF＝60°∴△AFC是等边三角形，同理可证：△ABD△BCE都是等边三角形，因此∠E＝∠F＝∠D＝60°，△DEF是等边三角形，故有5个等边三角形，故答案为：5．16．【解答】解：连接BD，∵△ABC是边长为8的等边三角形，D为AC的中点，∴AC＝BC＝8，AD＝DC＝4，∠DBF＝ABC＝＝30°，由勾股定理得：BD＝＝4，∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°，∴DF＝BD＝＝2，在Rt△DFB中，由勾股定理得：BF＝＝＝6，故答案为：6．三．解答题（共7小题）17．【解答】证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C＝180°，而∠A+∠B+∠C＝180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B+∠C＞180°，而∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．故等腰三角形两底角必为锐角18．【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，∴∠A＝36°．则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．又BD是AC边上的高，则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．19．【解答】解：（1）∵CE⊥AB，∴∠CED＝90°，∵∠ECD＝15°，∴∠ADC＝75°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCB＝15°，∵∠ADC＝∠B+∠DCB，∴∠B＝75°﹣15°＝60°．（2）设∠DCB＝x，则∠ADC＝∠ACD＝∠B+x＝90°﹣x，∴2x＝90°﹣∠B，∵∠A+∠B＝90°，∠B﹣∠A＝20°，∴∠B＝55°，∴2x＝35°，∴x＝17.5°，∴∠DCB＝17.5°20．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB∴∠A＝∠ABE＝50°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，而∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC＝×（180°﹣50°）＝65°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝65°﹣50°＝15°；（2）∵△ABC的周长为43cm，BC＝11cm∴AB＝AC＝16cm，又∵DE垂直平分AB∴EA＝EB，∴△BCE的周长为：BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝16+11＝27cm．21．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴△DEC是等腰三角形；（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，过D作DH⊥CE于H，∵BD＝2，∠DBH＝60°，∴BH＝BD＝1，DH＝＝，DH＝EH＝，∴BE＝EH﹣BH＝﹣1．22．【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67.5°，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°，（2）如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝30°，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝75°，∴∠DAC＝45°，∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE＝15°，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝60°；（3）∠DAE＝∠BAC，理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x∴∠DAE＝∠BAC．23．【解答】解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，x×1+12＝2x，解得：x＝12；（2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t＝12﹣2t，解得t＝4，∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN，∴CM＝BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，y﹣12＝36﹣2y，解得：y＝16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N 运动的时间为16秒．。
北师大最新版第一章三角形证明复习课
4.等边三角形的性质定理： （1）等边三角形的三条边都相等。 （2）等边三角形的三个内角都相等， 并且每个角都等于60°。 （3）三线合一。
5.等边三角形的判定：
(1).三条边都相等的三角形是等边三角形
∵∠ACB=900, BC 1 AB
2
∴ ∠A=300
7.定理：直角三角形的两锐角互余。 它的逆命题：
有两个角互余的三角形是直角三角形。
8.勾股定理:
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 它的逆定理: 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么 这个三角形是直角三角形 9.直角三角形全等的判定定理: 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 (简称“HL”)
1.全等三角形
性质:全等三角形的对应边相等、 对应角相等。
判定：SAS、ASA、SSS、AAS、 （HL）.
2.等腰三角形的性质定理： （1）定理: 等腰三角形的两个底角相等简. 称:等边对等角
（2）推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、
底边上的高线互相重合(三线合一).
A
（1）∵AB=AC, ∠1=∠2(已知). ∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. 1 2
例1:在△ABC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB 求证:DC⊥AC
证明:取AB的中点E,连接DE
∵DA=DB,AE=BE
∴DE⊥AB(等腰三角形三线合一)
∵AB=2AC,E为AB的中点
∴AE=AC
A
在△AED和△ACD中, AE=AC,∠1=∠2,AD=AD ∴△AED≌△ACD(SAS)
新北师大版八年级下册《三角形的证明》
三角形的证明1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等2．下列说法中，正确的是（）A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等D．面积相等的两个三角形全等3．如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°4．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.1．下列说法正确的是（）A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°3．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙5．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．182．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°3．已知△ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（）A．0＜x＜3 B．x＞3 C．3＜x＜6 D．x＞64．如图，∠MON=43°，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动，要使△AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求△ABC的周长．6、如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA.1．如图，已知直线AB∥CD，∠DCF=110°且AE=AF，则∠A等于（）A．30°B．40°C．50°D．70°2．下列说法错误的是（）A．顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等B．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等C．斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等D．两个等边三角形全等3．如图，是一个5×5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B 在小正方形的顶点上．点C也在小正方形的顶点上．若△ABC为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．94．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A．6 B．7 C．D．95．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过D 作DG∥AC交BC于G．求证：（1）△GDF≌△CEF；（2）△ABC是等腰三角形．1．下列说法中不正确的是（）A．有一腰长相等的两个等腰三角形全等B．有一边对应相等的两个等边三角形全等C．斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等D．斜边相等的两个等腰直角三角形全等2．如图，在等边△ABC中，∠BAD=20°，AE=AD，则∠CDE的度数是（）A．10°B．12.5°C．15°D．20°3、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.1．下列命题：①两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形．其中错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的（）A．4倍B．3倍C．2倍D．1倍3．如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DE=DB，则CE的长为．4．如图，等边△ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两点，且BD=CE，连接AD、BE交于F点，则∠FAE+∠AEF的度数是（）A．60°B．110°C．120°D．135°5．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．646.如图①，M、N点分别在等边三角形的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q．（1）求证：∠BQM=60°；（2）如图②，如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立? 若成立，给予证明；若不成立，说明理由．7．如图，C为线段BD上一点（不与点B，D重合），在BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点F，AD与CE交于点H，BE与AC交于点G．（1）求证：BE=AD；（2）求∠AFG的度数；（3）求证：CG=CH．1、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反正假设为（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数2、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反证假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°3、证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角．1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果ab =0，那么a =0，b =0； （4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 2．使两个直角三角形全等的条件是（ ）A ．一个锐角对应相等B ．两个锐角对应相等C ．一条边对应相等D ．两条边对应相等 3．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．44．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ） A ．1B ．43C ．32D ．25．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 是∠BAC 的平分线，若CD =2，那么BD 等于（ ） A ．6B ．4C ．3D ．26．如图，在4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于3，则点A 到边BC 的距离为（ ） A ．3 B ．22C ．4D ．37．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，A ，C ，D 三点在同一直线上，连接BD ，AE ，并延长AE 交BD 于F ．（1）求证：△ACE ≌△BCD ；（2）直线AE 与BD 互相垂直吗? 请证明你的结论．8．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个△ABC ，△ABC 的三个顶点均与小正方形的顶点重合．（1）在图中画△BCD ，使△BCD 的面积=△ABC 的面积（点D 在小正方形的顶点上）． （2）请直接写出以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形的周长．9．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；（1）求证：B′E=BF；（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．1．利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是（）A．已知斜边和一锐角B．已知一直角边和一锐角C．已知斜边和一直角边D．已知两个锐角2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．365B．1225C．94D．3343．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是．4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，且BC=12AB，则∠A等于（）A．30°B．45°C．60°D．不能确定5．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点．求证：CD⊥AB．6．如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1，∠BCD是不是直角? 请说明理由．7．正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）在图1中，画△ABC ，使△ABC 的三边长分别为3、22、5；（2）在图2中，画△DEF ，使△DEF 为钝角三角形且面积为2．【提高练习】1．如图．矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3．则AB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．16D ．553．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：（1）请你分别观察a ，b ，c 与n 之间的关系，并用含自然数n （n ＞1）的代数式表示： a = ，b = ，c = ；（2）猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．4．如图，AC =BC =10cm ，∠B =15°，AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm5．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =15°，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于D ，BD =8，则AC = ．n2345…a 22－1 32－1 42－1 52－1 … b46810…c 22+1 32+1 42+1 52+1 …6．图1、图2分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A 、B 两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C （点C 必须在小正方形的顶点上），使以A 、B 、C 为顶点的三角形分别满足以下要求：（1）在图1中画一个△ABC ，使△ABC 为面积为5的直角三角形； （2）在图2中画一个△ABC ，使△ABC 为钝角等腰三角形．7．已知，如图，△ABC 为等边三角形，AE =CD ，AD 、BE 相交于点P ． （1）求证：△AEB ≌△CDA ； （2）求∠BPQ 的度数；（3）若BQ ⊥AD 于Q ，PQ =6，PE =2，求BE 的长．【典型例题】1．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =30°．AB 的垂直平分线 DE 交AB 于点D ，交BC 于点E ，则下列结论不正确的是（ ） A ．AE =BEB ．AC =BEC ．CE =DED ．∠CAE =∠B2．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于21AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）A．7 B．14 C．17 D．203．三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（）A．三条中线的交点B．三边垂直平分线的交点C．三条高的交点D．三条角平分线的交点4．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处5．如图，AD为∠BAC的角平分，线段AD的垂直平分线交AB于M，交AC于N，试说明MD∥AC．6．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．7．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC 交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．【变式练习】1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°2．如图，在△ABC中，已知AC=29，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．△BCE的周长等于50，求BC的长为多少？3．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，BC=13cm，则△AEG的周长为多少？4．已知：如图，△ABC的∠A＞∠ABC，边BC的垂直平分线DE分别交AC，BC于D，E，则AD+BD与BC的关系是（）A．大于B．小于C．等于D．不能确定5．如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 你能画图说明吗?6．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC－BC=2cm，求AB、BC的长．1．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于D、E点．MN垂直平分AC，分别交AC、BC于M、N点．（1）若∠BAC=100°，求∠EAN的度数；（2）若∠BAC=70°，求∠EAN的度数；（3）若∠BAC=α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式．2．如图2，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠A=35°，则∠D等于（）A．50°B．65°C．55°D．70°3．如图3，在△ABC中，AB=a，AC=b，BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E，则△AEC的周长等于（）A．a+b B．a－b C．2a+b D．a+2b4．如图有一块直角三角形纸片，∠ACB=90°，两直角边AC=4，BC=8，线段DE垂直平分斜边AB，则CD等于（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.55．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线交AD于E，连接EC；则∠AEC等于（）A．100°B．105°C．115°D．120°1．如图，∠POA=∠POB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，OP=13，OD=12，PD=5，则PE=（）A．13 B．12 C．5 D．12．三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的（）A．三条中线交点B．三条角平分线交点C．三条高线交点D．三条高线所在直线的交点3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm4．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP5．如图，直线a、b、c，表示三条相互交叉的公路，现拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可以供选择的地址有（）A．一处B．四处C．七处D．无数处6．求作一点P，使PC=PD，且点P到AC，AB的距离相等．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）7．（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB 的平分线．（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行? 若可行，请证明；若不可行，请说明理由；（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行? 请说明理由．8．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF交AD于点G、试判断线段AD与EF的位置关系，并证明你的结论．9．如图，△ABC中，O是BC的中点，D是∠BAC平分线上的一点，且DO⊥BC，过点D分别作DM⊥AB 于M，DN⊥AC于N．求证：BM=CN．【变式练习】1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A．1 B．2C．3 D．42．如图所示，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D，若OE=4，∠AOB=60°，求DE的长3．如图，利用尺规求作所有点P，使点P同时满足下列两个条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到直线l1，l2的距离相等．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）4．已知：如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．求证：CF=EB．5．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD? 请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系? 请说明理由．【提高练习】1．如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，求PD等于2．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于21MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC =60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S △D AC ：S △ABC =1：3． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．如下图左，在矩形ABCD 中，点P 在AB 上，且PC 平分∠ACB ．若PB =3，AC =10，则△PAC 的面积为 ．5．已知：如上图右，AB ∥CD ，O 为∠BAC 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC 于点E ，若两平行线间的距离为6，求 OE 的长6．2011年4月21日是重庆一中80周年校庆日，学校准备进一步美化校园，在校内一块四边形草坪内栽上一棵银杏树如图，要求银杏树的位置点P 到边AB 、BC 的距离相等，并且P 到点A 、D 的距离也相等．请用尺规作图作出银杏树的位置点P （不写作法，保留作图痕迹）．。
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等腰三角形（基础）知识讲解【学习目标】1．了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图.3．理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程．通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义１.等腰三角形有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示,在△ABC中,AB＝AＣ,△AＢＣ是等腰三角形，其中AB、ＡC为腰,BＣ为底边,∠Ａ是顶角，∠B、∠Ｃ是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a，b(如图）.用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使ＡB=AＣ=ｂ,BC=ａ．作法：１．作线段BＣ=a;2.分别以B,C为圆心,以b为半径画弧,两弧相交于点A;3.连接AB,AC．△ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性(１)等腰三角形是轴对称图形；（2）∠B＝∠C；（3)BD=ＣD，AD为底边上的中线.（4)∠ＡDB＝∠ADＣ=90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴．4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴,每个角的平分线(底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴.要点诠释:（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角），但顶角可为钝角(或直角)．∠Ａ=180°-2∠B,∠B=∠Ｃ=1802A︒-∠.(2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1:等腰三角形的两个底角相等,简称“在同一个三角形中，等边对等角”.推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质２:等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线(两腰上的高、两腰上的中线)相等.要点诠释:这条性质,还可以推广到一下结论：(1)等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。
（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等．(3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等,到底边两端上的距离相等.（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.要点三、等腰三角形的判定定理１.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.要点诠释:(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆.判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.(２)不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”,因为还未判定它是一个等腰三角形.２.等边三角形的判定定理三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.3. 含有3０°角的直角三角形定理：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点四、反证法在证明时，先假设命题的结论不成立,然后从这个假设出发,经过逐步推导论证,最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立,这种证明命题的方法叫做反证法．要点诠释：反证法也称归谬法,是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题.一般证明步骤如下:(1) 假定命题的结论不成立；ﻫ (２) 从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实,以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；(３）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的．【典型例题】类型一、等腰三角形中有关角度的计算题1、如图，在△ABC中，D在BＣ上，且ＡB＝AC＝BD，∠１=3０°，求∠2的度数.ﻫ举一反三：【变式】已知:如图,Ｄ、E分别为AＢ、ＡC上的点,AＣ＝BC＝BD,AD＝ＡE，ＤＥ=CE，求∠B的度数．类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中,有一个角为40°，求其余各角.3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为３，求其余各边．举一反三:【变式】已知等腰三角形的底边ＢC=8cm,且|AC－BC|=２cm，那么腰AＣ的长为( ）． A．１0cm或6cmＢ．１0cm C.6cm D.8cm或6cm类型三、等腰三角形的性质及其运用４、如图，在△ＡＢC中，边AB＞AC．求证:∠ＡCB>∠ＡBC举一反三:【变式】已知：如图,在△ABＣ中,AB＝AC，∠A=60°,BD是中线,延长BＣ至点E，使CＥ=CD. 求证：DＢ＝DE．5、已知:如图,△AＢC的两条高BE、CＤ相交于点O，且OＢ＝OC,求证：△AＢC是等腰三角形.举一反三【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC,∠BＡＤ＝∠CAＥ,点D、E在BC上，试说明△AＤE是等腰三角形.类型三、含有30°角的直角三角形6. 如图所示,△ＡBＣ中,∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足是D,∠A=60°．求证:BＤ＝３AD．举一反三：ﻫ【变式】如图,等边三角形ABC内一点Ｐ，AP＝3,ＢP=4，CＰ=5，求∠APB的度数．类型四、反证法7. 求证：在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°。
举一反三:【变式】下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞１”是假命题的反例是( )A . a= —2B ．ａ= —1C ．ａ=1 D． a=2【巩固练习】一．选择题1．已知一个等腰三角形两边长分别为5,6，则它的周长为( )Ａ．１6 ﻩB.17 C.16或1７ﻩﻩﻩD．10或122. 用反证法证明命题：如果AB⊥CＤ，AB⊥EF,那么CD∥EＦ，证明的第一个步骤是（）A. 假设CＤ∥EF ;B. 假设AB∥EFC. 假设ＣD和EＦ不平行D. 假设AB和EＦ不平行３．将两个全等的且有一个角为３0°的直角三角形拼成如图所示形状,两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（)A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 已知实数x,y满足|x−４｜+(y−８）2＝0，则以x,ｙ的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A.2０或16B.２0C.16ﻩD.以上答案均不对∆沿过D的直线折叠，使点Ａ落在ＢC上F处,若5．如图,D是AB边上的中点,将ABCB∠=︒，则BDF50∠度数是( ）A.６０° Ｂ.70° Ｃ．８0° D．不确定6．如图，在△ＡＢＣ中，AB=AC，BD是∠AＢＣ的平分线,若∠AＤB=９3°,则∠A=（) A.31°B．46.5°C．５６°ﻩD．６2°二．填空题7.如图,△AＢC中，D为AC边上一点，AD＝BＤ=BC,若∠A=４0°,则∠CBD=_＿___°．8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大３0°，则顶角的度数为．９.用反证法证明“如果同位角不相等,那么这两条直线不平行“的第一步应假设____＿＿___.10．等腰三角形的一个角是７0°，则它的顶角的度数是．１1.如图，ＡD是△AＢC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 _______＿_ ．(把所有正确答案的序号都填写在横线上)①∠BAD=∠ACＤ;②∠ＢAＤ=∠CAD；③ＡB+ＢD＝AC＋CD;④AB﹣BＤ=AC﹣CD.１2. 如图,△ABＣ的周长为３2，且AB＝AＣ,AD⊥BC于D，△ＡCD的周长为24，那么AD的长为．三．解答题13．已知：如图,ΔＡＢC中，AＢ＝AＣ,Ｄ是AB上一点,延长CＡ至Ｅ，使AE=AＤ.试确定EＤ与BＣ的位置关系，并证明你的结论.1４．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=ＢC，ＢＥ⊥CE于点E．AＤ⊥CE于点D. 求证：△BEC≌△CDA．１5. 用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．角的平分线的性质（基础）【学习目标】1.掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质.２.掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释:ﻫ用符号语言表示角的平分线的性质定理:若CD平分∠ADB,点Ｐ是ＣD上一点，且PＥ⊥AD于点E,PF⊥ＢD于点F，则PE=ＰF．要点二、角的平分线的判定角平分线的判定:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释:ﻫ用符号语言表示角的平分线的判定：ﻫ若PＥ⊥AD于点E,ＰF⊥ＢＤ于点F,PE=ＰF，则PD平分∠ＡＤＢﻫ要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图ﻫ（１)以Ｏ为圆心,适当长为半径画弧,交ＯA于D，交OB于E.（２）分别以D、E为圆心,大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3)画射线OC.射线OC即为所求．要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心．所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个．如图所示:△ABC的内心为1P ,旁心为234,,P P P ,这四个点到△ＡBC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质１．如图，∠AC Ｂ=9０°，BD 平分∠ＡＢC 交ＡC 于Ｄ，DE ⊥ＡB 于E,E Ｄ的延长线交BC 的延长线于F. 求证：ＡE=CF.２、如图, △ＡBC 中, ∠C ＝ 9０︒， AC ＝ BC, AD 平分∠CAB, 交BC 于D ， DE ⊥AB 于E, 且ＡB ＝6cm , 则△D ＥB 的周长为( )A ． 4cm ﻩＢ. 6cm C.10cm D. 以上都不对举一反三:【变式】已知：如图，ＡD 是△ABC 的角平分线,且:32AB AC =则△A ＢD 与△AC Ｄ的面积之比为（ )A.3：2 B 32 C ．2：23３、如图，ＯC是∠ＡOB的角平分线,Ｐ是OＣ上一点，PＤ⊥ＯＡ交于点D，PE⊥OB 交于点E，Ｆ是OC上除点P、O外一点，连接DＦ、EF，则DF与EF的关系如何?证明你的结论.类型二、角的平分线的判定4、已知，如图，ＣE⊥AB，BD⊥ＡC,∠B＝∠C,BF=CF.求证：AＦ为∠ＢAC的平分线.ﻫ举一反三：【变式】如图，在△ＡB Ｃ中，D 是ＢＣ的中点,D Ｅ⊥AB,DF ⊥ＡＣ，垂足分别是E,F ，BE=ＣF.求证:A Ｄ是△ABC 的角平分线.【巩固练习】 一.选择题1. ＡD 是△ＡBC 的角平分线, 自D 点向ＡB 、ＡC 两边作垂线, 垂足为E 、F ， 那么下列结论中错误的是( ）A.DE ＝ D ＦB. ＡE = ＡF Ｃ．B Ｄ = C Ｄ D. ∠A ＤE = ∠AD Ｆ2．如图，在Rt ΔＡB Ｃ中,∠C ＝90°,BD 是∠AB Ｃ的平分线,交AC 于D,若ＣD=n ,AB=m ,则ΔAB Ｄ的面积是（ ）A ．mn 31 B.mn 21 C.mn D.2mn3. 如图,OP 平分,MON PA ON ∠⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =,则PQ 的最小值为（ )A ．1 B.2 Ｃ.3 D. 44. 到三角形三边距离相等的点是（ ）ﻫ Ａ．三角形三条高线的交点 B.三角形三条中线的交点C.三角形三边垂直平分线的交点D.三角形三条内角平分线的交点５. 如图，下列条件中不能确定点O 在∠ＡPB 的平分线上的是（ ）A.△PB Ａ≌△P ＤＣB. △AOD ≌△C ＯBC. A Ｂ⊥PD,D Ｃ⊥ＰBD.点O 到∠APB 两边的距离相等．6. 已知，如图,AB ∥CD ，∠BAC 、∠ACD 的平分线交于点O ，O Ｅ⊥AC 于E ，且OE ＝5cm ,则直线AB 与C Ｄ的距离为（ ）Ａ. 5cm Ｂ. 10cm C. 15cm D. 20cm二.填空题７.如图，已知∠Ｃ=90°,A Ｄ平分∠B ＡC,ＢD ＝２ＣD,若点D 到AB 的距离等于5cm ，则B Ｃ的长为_＿___cm .8. 如图，在△ＡＢC 中,∠C=90°,DE ⊥ＡB ，∠1＝∠2，且ＡC ＝6cm ,那么线段ＢE 是△AB Ｃ的 ，AE+ＤE ＝ 。