椭圆极坐标方程及其应用
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作业3.
作业4.Biblioteka Baidu
作业5.
作业5.已知以F为焦点的抛物线 上的两点A、B满足 ,求弦AB的中点到准线的距离.
参考答案：
例1.
练习1.
例2.
练习2..
例3.解：（Ⅰ）设椭圆方程为 .
因焦点为 ，故半焦距 .又右
准线 的方程为 ，从而由已知
，
因此 .
故所求椭圆方程为 .
（Ⅱ）方法一:记椭圆的右顶点为 ,并设 ,不失一般性
假设 ,且
例2.（07年全国Ⅰ）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．过 的直线交椭圆于 两点，过 的直线交椭圆于 两点，且 ，垂足为 ，求四边形 的面积的最值．
练习2.（05年全国Ⅱ）P、Q、M、N四点都在椭圆 上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知 求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.
例3.（07年重庆理）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为 ，右准线 的方程为 .
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有 ,求a的取值范围.
作业1.（08年宁夏文）过椭圆 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于 两点, 为坐标原点, 则△ 的面积为.
作业2.（09年全国Ⅰ）已知椭圆 的右焦点为F,右准线 ，点 ，线段AF交C于点B。若 ,求 。
作业3.（15年四市二模）如图，在平面直角坐标系 中，四边形 的顶点都在椭圆 上，对角线 与 分别过椭圆的左焦点 和右焦点 ，且 ，椭圆的一条准线方程为
椭圆的极坐标方程及其应用
如图，倾斜角为 且过椭圆 的右焦点 的直线 交椭圆 于 两点，椭圆 的离心率为 ，焦准距为 ，请利用椭圆的第二定义推导 ，并证明: 为定值
改为：抛物线 呢
例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的直线与 相交于 两点．若 ，求 。
练习1.（10年辽宁理科）设椭圆C： 的右焦点为F，过点F的直线 与椭圆C相交于A，B两点，直线 的倾斜角为60o, ，求椭圆C的离心率；
a2<a2b2-b2,a2<(a2-1)b2=b4,
因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0,
解得a> 或a< (舍去)，即a> ,
综合（i）(ii)，a的取值范围为（ ，+ ）.
解法二。
作业1.
作业2【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。
解:过点B作 于M,并设右准线 与x轴的交点为N，易知FN=1.由题意 ,故 .又由椭圆的第二定义,得 .
又设点 在 上的射影为 ,因椭圆的离心率 ,据椭圆第二定义得
.
又
(定值)
方法二:记椭圆的右顶点为 ,并设 ,不失一般性假设 ,且
,另设点 ,则
点 在椭圆上,
,以下同方法一
(定值)
推广：
引理1: .
证明: -----------------------(1)
----------------------(2)
……
----------( )
将上述 个式子相加得
证明:记椭圆的右顶点为 ,并设 ,不失一般性
假设 ,且
又设点 在 上的射影为 ,据椭圆第二定义得
.
在引理1中,令 ,则
.
练习3.
解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，
因为△MNF为正三角形，
所以 ,
即1＝
因此，椭圆方程为
(Ⅱ)设
(ⅰ)当直线AB与x轴重合时，
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，
设直线AB的方程为：
整理得
所以
因为恒有 ，所以 AOB恒为钝角.
即 恒成立.
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m R恒成立，
即a2b2m2>a2-a2b2+b2对m R恒成立.
当m R时，a2b2m2最小值为0，所以a2-a2b2+b2<0.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点 ，使 ，证明：
为定值，并求此定值.
推广：已知椭圆 , 是椭圆的右焦点,在椭圆上任取 个不同点 ,若
,则 ，你能证明吗
练习3.（08年福建理科）如图，椭圆 的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（1）求椭圆方程；
（2）求四边形 面积的取值范围。
练习4.（08年安徽文）已知椭圆 ，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知过点F1(-2,0)倾斜角为 的直线交椭圆C于A，B两点.求证：
（Ⅲ）过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求 的最小值.
作业4.Biblioteka Baidu
作业5.
作业5.已知以F为焦点的抛物线 上的两点A、B满足 ,求弦AB的中点到准线的距离.
参考答案：
例1.
练习1.
例2.
练习2..
例3.解：（Ⅰ）设椭圆方程为 .
因焦点为 ，故半焦距 .又右
准线 的方程为 ，从而由已知
，
因此 .
故所求椭圆方程为 .
（Ⅱ）方法一:记椭圆的右顶点为 ,并设 ,不失一般性
假设 ,且
例2.（07年全国Ⅰ）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．过 的直线交椭圆于 两点，过 的直线交椭圆于 两点，且 ，垂足为 ，求四边形 的面积的最值．
练习2.（05年全国Ⅱ）P、Q、M、N四点都在椭圆 上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知 求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.
例3.（07年重庆理）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为 ，右准线 的方程为 .
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有 ,求a的取值范围.
作业1.（08年宁夏文）过椭圆 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于 两点, 为坐标原点, 则△ 的面积为.
作业2.（09年全国Ⅰ）已知椭圆 的右焦点为F,右准线 ，点 ，线段AF交C于点B。若 ,求 。
作业3.（15年四市二模）如图，在平面直角坐标系 中，四边形 的顶点都在椭圆 上，对角线 与 分别过椭圆的左焦点 和右焦点 ，且 ，椭圆的一条准线方程为
椭圆的极坐标方程及其应用
如图，倾斜角为 且过椭圆 的右焦点 的直线 交椭圆 于 两点，椭圆 的离心率为 ，焦准距为 ，请利用椭圆的第二定义推导 ，并证明: 为定值
改为：抛物线 呢
例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的直线与 相交于 两点．若 ，求 。
练习1.（10年辽宁理科）设椭圆C： 的右焦点为F，过点F的直线 与椭圆C相交于A，B两点，直线 的倾斜角为60o, ，求椭圆C的离心率；
a2<a2b2-b2,a2<(a2-1)b2=b4,
因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0,
解得a> 或a< (舍去)，即a> ,
综合（i）(ii)，a的取值范围为（ ，+ ）.
解法二。
作业1.
作业2【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。
解:过点B作 于M,并设右准线 与x轴的交点为N，易知FN=1.由题意 ,故 .又由椭圆的第二定义,得 .
又设点 在 上的射影为 ,因椭圆的离心率 ,据椭圆第二定义得
.
又
(定值)
方法二:记椭圆的右顶点为 ,并设 ,不失一般性假设 ,且
,另设点 ,则
点 在椭圆上,
,以下同方法一
(定值)
推广：
引理1: .
证明: -----------------------(1)
----------------------(2)
……
----------( )
将上述 个式子相加得
证明:记椭圆的右顶点为 ,并设 ,不失一般性
假设 ,且
又设点 在 上的射影为 ,据椭圆第二定义得
.
在引理1中,令 ,则
.
练习3.
解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，
因为△MNF为正三角形，
所以 ,
即1＝
因此，椭圆方程为
(Ⅱ)设
(ⅰ)当直线AB与x轴重合时，
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，
设直线AB的方程为：
整理得
所以
因为恒有 ，所以 AOB恒为钝角.
即 恒成立.
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m R恒成立，
即a2b2m2>a2-a2b2+b2对m R恒成立.
当m R时，a2b2m2最小值为0，所以a2-a2b2+b2<0.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点 ，使 ，证明：
为定值，并求此定值.
推广：已知椭圆 , 是椭圆的右焦点,在椭圆上任取 个不同点 ,若
,则 ，你能证明吗
练习3.（08年福建理科）如图，椭圆 的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（1）求椭圆方程；
（2）求四边形 面积的取值范围。
练习4.（08年安徽文）已知椭圆 ，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知过点F1(-2,0)倾斜角为 的直线交椭圆C于A，B两点.求证：
（Ⅲ）过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求 的最小值.