高中数学《圆的标准方程》导学案

2.1 圆的标准方程

[学习目标] 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点． 2.会根据已知条件求圆的标准方程． 3.能准确判断点与圆的位置关系.

【主干自填】

1．确定圆的条件

(1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于□01定长． (2)确定圆的条件：□02圆心和□03半径． 2．圆的标准方程

(1)以C (a ，b )为圆心，半径为r □

04(x －a )＋(y －b )＝r . (2)当圆心在坐标原点时，半径为r 的圆的标准方程为□05x ＋y ＝r . 3．中点坐标

A (x 1，y 1)，

B (x 2，y 2)的中点坐标为□06⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.

4．点与圆的位置关系

点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：

(1)几何法：将所给的点M 与圆心C 的距离跟半径r 比较： 若|CM |＝r ，则点M 在□07圆上； 若|CM |>r ，则点M 在□08圆外； 若|CM |

09圆内．

(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：

点M(m，n)在□10圆上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；

点M(m，n)在□11圆外⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2；

点M(m，n)在□12圆内⇔(m－a)2＋(n－b)2

【即时小测】

1．思考下列问题

若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆心坐标是什么？半径呢？

提示：圆心坐标(－a，－b)，半径：|t|.

2．圆心是C(2，－3)，且经过原点的圆的方程为()

A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13

B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13

C．(x＋2)2＋(y－3)2＝13

D．(x－2)2＋(y＋3)2＝13

提示：B设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

∵圆心是C(2，－3)且过原点，∴a＝2，b＝－3.

∴r＝(2－0)2＋(－3－0)2＝13，

∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.

3．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(1,2)()

A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外

提示：C∵(1－2)2＋(2－3)2＝2<4，

∴点在圆内．

4．圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝4的面积等于()

A．π B．2π C．4π D．8π

提示：C由题可知r＝2，∴S＝πr2＝4π.

例1写出下列各圆的标准方程．

(1)圆心在原点，半径为8；

(2)圆心在(2,3)，半径为2；

(3)圆心在(2，－1)且过原点．

[解]设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

(1)∵圆心在原点，半径为8，即a＝0，b＝0，r＝8，

∴圆的方程为x2＋y2＝64.

(2)∵圆心为(2,3)，半径为2，即a＝2，b＝3，r＝2，

∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.

(3)∵圆心在(2，－1)且过原点，

∴a＝2，b＝－1，r＝(2－0)2＋(－1－0)2＝ 5.

∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.

类题通法

求圆的标准方程的方法

直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．

[变式训练1]求满足下列条件的圆的标准方程．

(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；

(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；

(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．

解(1)由两点间距离公式，

得r＝(6－2)2＋(3＋2)2＝41，

∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.

(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．

又|AB|＝(－4－6)2＋(－5＋1)2＝229，

∴半径r＝29.

∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.

(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，

半径r＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝5，

∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.

例2已知两点P1(3,6)，P2(－1,2)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(2,2)，N(5,0)，Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？

[解]由已知得圆心坐标为C(1,4)，

圆的半径r＝1

2|P1P2|＝1

2(3＋1)

2＋(6－2)2＝2 2.

∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－4)2＝8.

∵(2－1)2＋(2－4)2＝5<8，

(5－1)2＋(0－4)2＝32>8，(3－1)2＋(2－4)2＝8，

∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上．

类题通法

判断点与圆位置关系的方法

判定点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系，即比较|MC|与r

的关系：

若点M在圆C上，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；

若点M在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；

若点M在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2

[变式训练2]点A(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是()

A．－1

C．a<－1或a>1 D．a＝±1

答案A

解析∵点A(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，

∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，解得－1

例3求圆心在直线l：2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)和点B(3，－2)的圆的方程．

[解]解法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

则

⎩⎪

⎨

⎪⎧2a－b－3＝0，

(5－a)2＋(2－b)2＝r2，

(3－a)2＋(－2－b)2＝r2，

解得

⎩⎪

⎨

⎪⎧a＝2，

b＝1，

r＝10.

∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.

解法二：∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，