哈工大电路答案第12章

答案12.1解：分别对节点①和右边回路列KCL 与KVL 方程：Cq u u i i qi C L L R C C /===--==ψ将各元件方程代入上式得非线性状态方程：C q C q f f q/)/()(21=--=ψψ方程中不明显含有时间变量t ，因此是自治的。

答案12.2解：分别对节点①、②列KCL 方程： 节点①：=1i 321S 1/)(R u u i q--= 节点②：=2i 423212//)(R u R u u q--= 将)(),(222111q f u q f u == 代入上述方程，整理得状态方程：⎩⎨⎧+-=++-=)/())((/)(/)(/)(4343223112S 3223111R R R R q f R q f q i R q f R q f q答案12.3解：分别对节点①列KCL 方程和图示回路列KVL 方程得：⎩⎨⎧-=-=(2)(1) /323321u u R u i qS ψ 3u 为非状态变量，须消去。

由节点①的KCL 方程得：0413332432=-++-=++-R u u R u i i i i 解得)/()]()([)/()(433224114332413R R R f R q f R R R i R u u ++=++=ψ 将)(111q f u =、)(222ψf i = 及3u 代入式(1)、(2)整理得：⎩⎨⎧++-+-=+++-=Su R R R R f R R R q f R R R f R R q f q)/()()/()()/()()/()(4343224331124332243111ψψψ 答案12.4解：由KVL 列出电路的微分方程：=L u )(sin )(d d 3t R u Ri tS ωβψαψ+-=+-= 前向欧拉法迭代公式：)](sin )([31k k k k t R h ωβψαψψ+-+=+后向欧拉法迭代公式：)](sin )([1311++++-+=k k k k t R h ωβψαψψ梯形法迭代公式：)](sin )()(sin )([5.013131++++-+-+=k k k k k k t R t R h ωβψαωβψαψψ答案12.5解：由图(a)得：tu C u U t C t u Ci R R C R d d )(d dd d S -=-== (1) 由式(1)可知，当0>R i 时，0d d <t u R ，R u 单调减小；当0<R i 时，0d d >tuR ，R u 单调增加。

由此画出动态路径如图(b)所示。

V 3)0()0(S =-=++C R u U u响应的初始点对应P 。

根据动态轨迹，分段计算如下。

(1) AB 段直线方程为： 4+-=R R i u 。

由此得AB 段线性等效电路，如图(c)。

SU (c)U -+R u (d)由一阶电路的三要素公式得：V 4p =R u ，s 1-=τV )e 4(e )](0)(0[/p p t t R R R R u u u u -=-+=-++τ )0(1t t <<设1t t =时，动态点运动到A 点，即2e 41=-t ，求得s 693.02ln 1≈=t 。

(2) OA 段． 1t t >时，R u 将位于OA 段，对应直线方程R R i u =。

线性等效电路如图(d)。

由图(d)求得：)(1e 2t t R u --= V )(1t t >答案12.6解：0>t 时，由图(a)得R R i Ct u 1d d -=，0>R i R u 只能下降。

画出动态路径如图(b)所示。

响应的起始位置可以是A 或B 点。

(1) 设起始位置是A 点，响应的动态轨迹可以是A-O 或A-C-D-O ，其中C-D过程对应电流跳变。

(1.1) 设动态轨迹为A-O 。

非线性电阻在此段等效成Ω2 的线性电阻，响应电压为：t C t u 0.5e 2)(-= V )0(>t (1) (1.2) 设动态路径为A-C-D-O 。

(c) AC段等效电路(d) BC段等效电路AC 段的等效电路如图(c)所示。

由图(c)求得：V 2)0(=+C u ，V 3)(p =t u C ，s 1-=τ 由三要素公式得：)e 3(t C u -= V )0(t t << (2) 设1t 时刻到达C 点，即 1e 31=-t 解得 693.0≈t s 。

t t >时，动态轨迹位于DO 段，非线性电阻变成线性Ω2电阻，响应为)0.5(1e )(t t C t u --= V )(t t > (3) (2) 设起始位置为B 点，则设动态路径为B-C-D-O 。

位于BC 段时，线性等效电路如图(d)所示。

由图(d)求得V 1)(p -=t u C ，s 1=τt C t u -+-=e 31)(V )1'(0t t << (4)设1t '时刻到达C 点，即1e 311＝t -+- 解得 405.05.1ln 1≈='t s 。

CD 段对应电流跳变，瞬间完成。

1t t '>后动态轨迹进入DO 段，非线性电阻变成Ω2线性电阻。

响应为)'0.5(1)(t t C t u --=e V )'(t t > (5)上述式(1)、(2)与(3)、(4)与(5)是本题的三组解答。

答案12.7解：0t t ≤≤时，工作于OA 段，对应线性电感：iL ψ＝。

初始值0)0(=+ψ，特解R EL t p ⨯=1)(ψ，时间常数RL 1=τ 由三要素法，电路的零状态响应为：)e 1(e)]0()0([)()(111p p t L Rt L R L REt t --++-=-+=ψψψψ (1) 设1t 时刻到达A 点，即)e 1(1111t L RL RE--=ψ，解得111111111ln//ln ψψ-=-=∞∞i L i L R L R E L R E L R L t (2) 当t t >时， ψψ+=i L ，其中电感ii L --=∞∞ψψ。

对应上式的时间常数与强制分量分别是RL=τ，∞=∞=ψψψ)()(t p 故当t t >时的响应为21e))(1τψψψψt t t --∞∞-+=(答案12.8解：由图(a)电路得：V 3V 5.4636)0(=⨯+=-u当0>t 时，将除非线性电容以外的电路用戴维南电路等效，如图(c)所示。

其中等效电阻Ω==12//)6//3(i R 开路电压V 5.1OC =U 。

(1)10t t ≤≤时，电路工作在AB 段内，1112+=+=q C q u ，对应的线性等效电路如图(d)所示。

(c)(d)5.1-+u u(e)图 12.8V 3)0()0(==-+u u ，s 1=RC ＝τ，V 5.1)(p =t u 电路响应)V 1.5e 1.5(e )]0()0([)()(/p p t t u u t u t u --+++=-+=τ )(10t t ≤≤ 随着时间的延续，电压u 单调减小，设1t 时刻电压u 下降至A 点，即21.5e 1.51=+-t解得s 10.11≈t 。

(2) t t >时，工作在AO 段，u q 5.0=，此时电容等效为F 5.0的线性电容，如图(e)所示。

由图（e ）得时间常数及强制分量分别为：s 5.0'==RC τ，V 5.1)()(p ==∞=O C U u t u 电路响应：V ]e 5.05.1[e )]()([)()()(2')/(1p 1p 11t t t t t u t u t u t u ----+=--=τ答案12.9解：应用小信号分析法。

V 10S='u 单独作用时，电路的直流解为： A 01.0S0='=Ru I 。

(1) 动态电感H 06.06d d 00d ====I I i i L ψ。

小信号线性等效电路如图(b)所示。

0)0(=∆+i ，A 10)(3-=∞∆i ，s 106/5d -⨯==R L τ 根据三要素法求得：)(ε)e1(10)e1)((510613t i i t t L R d⨯----=-∞=∆∆ A (2)式(1)与式（2）相加得本题解答：A )](ε)e1(1001.0[)()(5106130t t i I t i t ⨯---+=∆+=答案12.10解：用小信号分析法求解。

（１）直流工作点V 4V 122120=⨯+=R R R U（２）动态电容F 104|d d 6d 0-=⨯==U u uq C（３）小信号电路如图（a ）所示，利用三要素公式求u ∆。

0)0(=∆+u ,V 3/1p =∆us 016.01041061261263d =⨯⨯⨯+⨯==-RC τ V )()e 1(31e )]0()0([5.62/p p t u u u u t t ετ--++-=∆-∆+∆=∆电路完全解答为)()e 1(3145.620t u U u t ε--+=∆+= V答案12.11解：用小信号分析法求解。

(1) 计算直流工作点。

直流电流源单独作用时，电容视为开路，如图(b)所示。

列KVL 方程得：05.0)(10000=++-U U I I S (1) 其中203010U I -=，代入式(1)得：010********=-+U U 解得：⎩⎨⎧-=)(V 39.1566.39V0舍去U (2) 动态电导S 10278.139.6102|d d 23d 0--=⨯=⨯⨯==U u uiG (2) 用复频域分析法计算阶跃响应。

复频域电路模型如图(c)所示。

-∆+)(s U /1.0(c)对图(c)列节点电压方程得：10/)](5.0/1.0[)()101(s U s s U G sC d ∆-=∆++解得42141063.1)1063.1(1000)(⨯++=⨯+=∆s A s A s s s U其中0614.021=-=A AV )()e 1(0614.0)(41063.1t t u t ε⨯--=∆ (3)式(2)与(3)相加得： V )]()e 1(0614.039.6[41063.1t u t ε⨯--+=答案12.12解：用小信号分析法求解。

(1) 计算直流工作点。

在S i 的直流分量作用时，电感视为短路，电容视为开路，如图(b)。

2I IdR 图题12.12(b)(c)0)2(1=+-⨯R L U I将2R R I U =代入上式得02=-+L L I I 20解得：⎩⎨⎧-=)舍去(A 2A10L I (1) A 1==L R I I , V 1==R C U U(2) 小信号等效电路为二阶动态电路，可用复频域分析法计算阶跃响应。