七年级数学下平面图形折叠问题
初一数学下学期培优训练小专题08 平行与折叠问题
初一数学下学期培优训练小专题08 平行与折叠问题【模型讲解】如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E ，F 分别是边AC ，AB 上的点，连接EF ，将△AEF 沿EF 折叠，得到A EF '△，当A EF '△的边A F '与△ABC 的一边平行时，∠AEF 的度数是_____． 解：如图1，若A F BC ∥时，∴A FBB ，∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴60B A FB ，∵将△AEF 沿EF 折叠，得到A EF '△，∴AFE A FE '∠=∠，∴∠BFE ＝180°﹣∠AFE ，∴∠AFE ﹣60°＝180°﹣∠AFE ，∴∠AFE ＝120°，∴∠AEF ＝180°﹣120°﹣30°＝30°；如图2，设A F '与AB 交于点H ，若A F BC ∥时，∴∠BCA ＝∠FHA ＝90°，∴∠AFH ＝180°﹣∠AHF ﹣∠A ＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵将△AEF 沿着EF 折叠，∴30AFE A FE ；∴∠AEF ＝180°﹣∠A ﹣∠AFE ＝120°；如图3，若A E AF ∥时，∴30A EB A ，∴150A EA ，∵将△AEF 沿着EF 折叠，∴75AEF A EF '∠=∠=︒；综上所述：30°或75°或120°．【模型演练】1．一条两边沿互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知20DAB ABC ∠-∠=︒，且DF CG ∥，则3DAB ABC ∠+∠=（ ）A ．180︒B ．150︒C ．160︒D ．200︒2．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB 、CD ，若CD BE ，∠1=42°，则∠2的度数是（ ）A ．48°B ．45°C ．96°D ．40°3．如图所示的四种沿AB 进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a ，b 互相平行的是（ ）A ．如图1，展开后测得∠1=∠2B ．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4C ．如图3，测得∠1=∠2D ．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°4．如图，将一张对边互相平行的纸条沿EF 折叠，若∠EFB ＝32°，则①32C EF '∠=︒；②∠AEC ＝148°；③∠BGE ＝64°；④∠BFD ＝116°，则下列结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．为了检验一条纸带的两条边线是否平行，小明沿AB 折叠后，如图，测量得到：①14∠=∠；②BC BA =；③CA CB =；④3=4∠∠．其中能够判定两条边线EF 、GH 互相平行的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．则1∠与α∠的关系式是（ ）A ．16012α∠=︒+∠B ．14512α∠=︒+∠C ．11902α∠+∠=︒D ．111202α∠+∠=︒ 7．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB 、CD ，若CD BE ∥，且266∠=︒，则1∠的度数是______．8．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB 和CD ．若CD BE ∥，162∠=︒，则2∠的度数为______．9．如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2．若∠1＝68°，则∠2＝_______°．10．在“妙折生平——折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，AB），请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠∠B＝32°，∠C＝60°，点D是AB边上的固定点（BD＜12（DE为折痕），点B落在点F处，使EF与三角形ABC的一边平行，则∠BDE为____________度．11．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部A'的位置，且A'与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝34°.若保持△A'DE的一边与BC平行，则∠ADE 的度数____．12．如图，将一条两边互相平行的纸带按图折叠，则α的度数等于______．13．如图，在△ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点C'处，当C D'平行于△ABC边时，∠CDB的大小为______．14．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x°（1）∠EFB＝_____．（用含x的代数式表示）（2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝_____．（用含x的代数式表示）．15．如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处，若EB′恰好与BC平行，且∠B＝80°，则∠CDE＝_____°．16．如图，将一张上、下两边平行（即AB∥CD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．(1)试说明∠1＝∠2；(2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度数．17．如图，把长方形ABCD的两角折叠，折痕分别为EF、HG，点B、D折叠后的对应点分别是B'、D，并且使HD'与B F'在同一直线上，已知长方形的两组对边分别平行，试说明两条折痕EF、GH也相互平行．18．有一条纸带ABCD ，现小强对纸带进行了下列操作：(1)为了检验纸带的两条边线AB 与CD 是否平行，小强如图①所示画了直线l 后，量得∠1=∠2，则AB CD ∥，理由为 ;(2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设∠1为70°，请求出∠α的度数；(3)如图③，已知这是一条长方形纸带，点E 在折线AD →DC 上运动，点F 是AB 上的动点，连接EF 将纸带沿着EF 折叠，使点A 的对应点A '落在DC 上，若CA F x '∠=，请用含x 的代数式来表示EAA ∠'的度数为 .（直接写出答案）19．综合与实践：折纸中的数学知识背景我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．知识初探AB GH AH BG，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝90︒，将长方形纸条沿直(1)如图1，长方形纸条ABGH中，,线CD折上，点A落在A'处，点B落在B'处，B'C交AH于点E，若∠ECG＝70︒，则∠CDE＝；类比再探(2)如图2，在图1的基础上将∠HEC对折，点H落在直线EC上的H'处，点G落在G'处得到折痕EF，则折痕EF与CD有怎样的位置关系？说明理由；(3)如图3，在图2的基础上，过点G'作BG的平行线MN，请你猜想∠ECF和∠H'G'M的数量关系，并说明理由．答案与解析【模型讲解】如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E ，F 分别是边AC ，AB 上的点，连接EF ，将△AEF 沿EF 折叠，得到A EF '△，当A EF '△的边A F '与△ABC 的一边平行时，∠AEF 的度数是_____． 解：如图1，若A F BC ∥时，∴A FB B ，∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴60B A FB ，∵将△AEF 沿EF 折叠，得到A EF '△， ∴AFE A FE '∠=∠，∴∠BFE ＝180°﹣∠AFE ，∴∠AFE ﹣60°＝180°﹣∠AFE ，∴∠AFE ＝120°，∴∠AEF ＝180°﹣120°﹣30°＝30°；如图2，设A F '与AB 交于点H ，若A F BC ∥时，∴∠BCA ＝∠FHA ＝90°，∴∠AFH ＝180°﹣∠AHF ﹣∠A ＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵将△AEF 沿着EF 折叠，∴30AFE A FE ；∴∠AEF ＝180°﹣∠A ﹣∠AFE ＝120°；如图3，若A E AF ∥时，∴30A EB A ，∴150A EA ，∵将△AEF 沿着EF 折叠，∴75AEF A EF '∠=∠=︒；综上所述：30°或75°或120°．【模型演练】1．一条两边沿互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知20DAB ABC ∠-∠=︒，且∠+∠=（）∥，则3DAB ABCDF CGA．180︒B．150︒C．160︒D．200︒【答案】D【分析】将围巾展开，根据折叠的性质得：则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，设∠ABC=x，根据平行线的性质得：∠FDC=∠KCG=2x，由平角的定义列式：∠FDC+∠FDM=180°，可得x的值，从而得结论．【解析】解：如图乙，将围巾展开，则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，设∠ABC=x，则∠DAB=x+20°，∵CD∥AB，∴∠ADM=∠DAB=x+20°=∠ADF，∵DF∥CG，∴∠FDC=∠KCG=2x，∵∠FDC+∠FDM=180°，∴2x+2（x+20°）=180°，解得：x=35°，∴3∠DAB+∠ABC=3（x+20°）+x=4x+60°=200°，故选：D．【点评】此题考查了平行线性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．2．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD BE，∠1=42°，则∠2的度数是（）A．48°B．45°C．96°D．40°【答案】C【分析】根据平行线的性质和折叠性质即可求解．【解析】解：如图，∵AG BE，AD BC，∴∠1=∠5，∠5=∠4∴∠4=∠1=42°，∵CD BE，∴∠4=∠3=42°，由折叠性质得：∠6=∠3＝42°，又∠6+∠3+∠2=180°，∴∠2=96°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质、折叠的问题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理．3．如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（）A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°【答案】C【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．【解析】A 、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以a b ∥；B 、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90∘，所以a b ∥；C 、∠1=∠2不能判定a ，b 互相平行；D 、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以a b ∥．故选：C ．【点评】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．4．如图，将一张对边互相平行的纸条沿EF 折叠，若∠EFB ＝32°，则①32C EF '∠=︒；②∠AEC ＝148°；③∠BGE ＝64°；④∠BFD ＝116°，则下列结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【分析】根据平行线的性质及翻折变换的性质对各小题进行逐一分析即可．【解析】解：①∵AE ∥BG ，∠EFB =32°，∴C EF '∠=∠EFB =32°，故本小题正确；②∵AE ∥BG ，∠EFB =32°，∴∠AEF =180°-∠EFB =180°-32°=148°，∵∠AEF =∠AEC +∠GEF ，∴∠AEC ＜148°，故本小题错误；③∵C EF '∠=32°，∴∠GEF =C EF '∠=32°，∴C EG '∠=C EF '∠+∠GEF =32°+32°=64°，∵AE ∥BG ，∴∠BGE =C EG '∠=64°，故本小题正确；④∵∠BGE =64°，∴∠CGF =∠BGE =64°，∵DF ∥CG ，∴∠BFD =180°-∠CGF =180°-64°=116°，故本小题正确．综上，①③④正确，共3个．故选：C ．【点评】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 5．为了检验一条纸带的两条边线是否平行，小明沿AB 折叠后，如图，测量得到：①14∠=∠；②BC BA =；③CA CB =；④3=4∠∠．其中能够判定两条边线EF 、GH 互相平行的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由等腰三角形的性质可得12,∠=∠但是不能判定平行，可判断②，由等腰三角形的性质可得23,∠=∠再结合轴对称的性质可得2,ABH ∠=∠可判断③，由轴对称的性质可得34,ABH ∠=∠=∠但不能判定平行，从而可得答案．【解析】解：14,∠=∠∴,EF GH ∥ 故①符合题意；∵,BC BA =∴12,∠=∠ 不能得到,EF GH ∥ 故②不符合题意；∵,CA CB =∴23,∠=∠由折叠可得：3,ABH ∠=∠∴2,ABH ∠=∠∴EF GH ∥，故③符合题意； 34,3,ABH ∠=∠∠=∠∴34,ABH ∠=∠=∠ 不能得到,EF GH ∥ 故④不符合题意；故选B【点评】本题考查的是轴对称的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握“轴对称的性质与等腰三角形的性质及平行线的判定方法”是解本题的关键． 6．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．则1∠与α∠的关系式是（ ）A ．16012α∠=︒+∠B ．14512α∠=︒+∠C ．11902α∠+∠=︒D ．111202α∠+∠=︒ 【答案】C【分析】根据折叠性质，先得出3=4∠∠，根据AB CD ，得出12∠=∠，4α∠=∠，得出34α∠=∠=∠，根据234180∠+∠+∠=︒，得出12180α∠+∠=︒，即可得出结论．【解析】解：根据折叠可知，3=4∠∠，∵AB CD ，12∴∠=∠，4α∠=∠，∴34α∠=∠=∠，∵234180∠+∠+∠=︒，12180α∴∠+∠=︒，即11902α∠+∠=︒，故C 正确． 故选：C ．【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，根据题意得出12∠=∠，34α∠=∠=∠是解题的关键．7．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB 、CD ，若CD BE ∥，且266∠=︒，则1∠的度数是______．【答案】57°##57度【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到5431DCF ∠=∠=∠=∠=∠，再根据同旁内角互补可得4∠，进而得出1∠．【解析】解：如图，延长BC 到点F ，纸带对边互相平行，431∴∠=∠=∠，由折叠得，5DCF ∠=∠，∵CD BE ∥，4DCF ∴∠=∠，54∴∠=∠，245180∠+∠+∠=︒，6624180∴︒+∠=︒，即457∠=︒，157∴∠=︒．故答案为：57︒．【点评】本题主要考查了平行线的性质，图形的折叠，熟练掌握平行线的性质，图形的折叠的性质是解题的关键．8．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB 和CD ．若CD BE ∥，162∠=︒，则2∠的度数为______． 【答案】68°##68度【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到21124BCD EBF ∠=∠=∠=︒，进而得出56CDA ∠=︒，再由折叠的性质得268∠=︒．【解析】解：如图，延长CB 到点F ，由折叠可得， 21124EBF ∠=∠=︒，∵//CD BE ，∴124BCD EBF ∠=∠=︒，纸带对边互相平行，∴//BC AD ，∴18012456CDA ∠=︒-︒=︒，由折叠可得，2=180-268CDA ∠︒∠=︒，故答案为：68︒．【点评】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．9．如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2．若∠1＝68°，则∠2＝_______°．【答案】22°##22度【分析】延长CE，交AD与点F，根据平行的性质有∠2=∠DFE，再根据∠1+∠DFE=90°，即可求出∠DFE，则问题得解．【解析】延长CE，交AD与点F，如图，∥，∠DEC=90°，根据题意有：AD BC∴∠2=∠DFE，∠DEF=∠DEC=90°，∴△DEF是直角三角形，即∠1+∠DFE=90°，∵∠1=68°，∴∠DFE=90°-∠1=22°，∴∠2=22°，故答案为：22°．【点评】本题考查了由平行线的性质探究角的关系；掌握两直线平行内错角相等是解题关键．10．在“妙折生平——折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，AB），请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠∠B＝32°，∠C＝60°，点D是AB边上的固定点（BD＜12（DE为折痕），点B落在点F处，使EF与三角形ABC的一边平行，则∠BDE为____________度．【答案】28°或74°或118°【分析】分三种情况，分别画出图形，结合平行线的性质和三角形内角和定理，三角形外角的性质，即可求解．∥时，【解析】解：当BD EF由折叠得，∠B =∠F =32°，∠BED =∠DEF ，∵BD EF ∥，∴∠B =∠CEF =32°，∴∠BEF =180°-32°=148°，∴111487422BDE BED DEF BEF ∠=∠=∠=∠=⨯︒=︒； 当AC EF ∥时，∵AC EF ∥，∴∠BEF =∠C =60°，∴113022BED FED BEF C ∠=∠=∠=∠=︒， ∴1801803230118BDE B BED ︒∠=-∠-∠=-︒-=︒︒︒；当AC EF ∥时，∴∠CEF =∠C =60°，∴∠BGD =∠CEF +∠F =92°，∴∠BDG =180°-∠B -∠BGD =56°，∴56211228BDG BDE =∠=︒⨯=∠︒； 综上所述，∠BDE 为28°或74°或118°．故答案为：28°或74°或118°【点评】本题主要考查了图形的折叠，平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 11．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使得点A 落在四边形BCDE 的外部A '的位置，且A '与点C 在直线AB 的异侧，折痕为DE ，已知∠C ＝90°，∠A ＝34°.若保持△A 'DE 的一边与BC 平行，则∠ADE 的度数____．【答案】45°或28°【分析】根据题意，分A E BC '∥，∥A D BC '两种情况分析，根据平行线的性质与三角形的内角和定理即可求解．【解析】解：∵将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使得点A 落在四边形BCDE 的外部A '的位置， ∴当ED BC ∥时，经过折叠A '在AC 上，不符题意，依题意，,A A ADE A DE ''∠=∠∠=∠，①当A E BC '∥，9090A EB B A A ''∴∠=∠=︒-∠=︒-∠90AFD A EF '∴∠=∠=︒()11902822ADE ADF A ∴∠=∠=︒-∠=︒ ②当∥A D BC '时，90ADF C ∴∠=∠=︒1452ADE ADF ∠=∠=︒ 故答案为：45°或28°【点评】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握三角形的外角的性质，内角和定理，平行线的性质是解题的关键．12．如图，将一条两边互相平行的纸带按图折叠，则α的度数等于______．【答案】75°##75度【分析】由平行线的性质可知∠2=∠1，由折叠的性质可知2α+30=180，列方程求解．【解析】解：∵AD BC ，∴∠2=∠1=30°，∴2α+30=180，∴α=75，故答案为：75°．【点评】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．根据折叠性质及互补关系列出方程是解题的关键． 13．如图，在△ABC 中，∠A ＝56°，∠C ＝46°，D 是线段AC 上一个动点，连接BD ，把△BCD 沿BD 折叠，点C 落在同一平面内的点C '处，当C D '平行于△ABC 边时，∠CDB 的大小为______．【答案】67︒或118︒【分析】先根据折叠的性质可得C DB CDB '∠=∠，设(0)C DB CDB x x '∠=∠=>，再分①C D AB '∥和C D BC '两种情况，画出相应的图形，利用平行线的性质、平角的定义建立方程，解方程即可得．【解析】解：由折叠的性质得：C DB CDB '∠=∠，设(0)C DB CDB x x '∠=∠=>，由题意，分以下两种情况：①如图，当C D AB '∥时，56C D A A '∴∠=∠=︒，56ADB C C D DB x A '∴∠=∠-=-'∠︒，180ADB CDB ∠+∠=︒，56180x x ∴-︒+=︒，解得118x =︒，即118CDB ∠=︒；②如图，当C D BC '时，46C D C A '∴∠=∠=︒，180CDB D C C D B A ∠+∠+'=∠︒'，46180x x ∴++︒=︒，解得67x =︒，即67CDB ∠=︒；综上，CDB ∠的大小为67︒或118︒，故答案为：67︒或118︒．【点评】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、一元一次方程的应用，正确分两种情况，并画出图形是解题关键．14．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x°（1）∠EFB＝_____．（用含x的代数式表示）（2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝_____．（用含x的代数式表示）．【答案】90°-12x°32x°-90°【分析】（1）由平行线的性质得∠DEF=∠EFB，∠AEH+∠EHB=180°，折叠和三角形的外角得∠D'EF=∠EFB，∠EFB=12∠EHB，最后计算出∠EFB=90°-12x°；（2）由折叠和平角的定义求出∠EFC'=90°+12x°，再次折叠经计算求出∠EFC"=32x°-90°．【解析】解：（1）如图1所示，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB，∠AEH+∠EHB=180°，又∵∠DEF=∠D'EF，∴∠D'EF=∠EFB，又∵∠EHB=∠D'EF+∠EFB，∴∠EFB=12∠EHB，又∵∠AED'=x°，∴∠EHB=180°-x°∴∠EFB=12（180°-2）=90°-12x°故答案为：90°-12x°；(2)如图2所示，∵∠EFB+∠EFC'=180°，∴∠EFC=∠EFC'=180°-（90°-12x°）=90°+12x°，又∵∠EFC'=2∠EFB+∠EFC"，∴∠EFC"=∠EFC'-2∠EFB=90°+12x°-2（90°-12x°）=32x°-90°，故答案为：32x°-90°．【点评】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义以及角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系．15．如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处，若EB′恰好与BC平行，且∠B＝80°，则∠CDE＝_____°．【答案】130【分析】先求出∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，根据平行线的性质得到∠B′DC=80°，进而得到∠BD B′=100°，∠BDE=50°，即可求出∠CDE＝130°．【解析】解：由折叠的定义得∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，∵EB′∥BC，∴∠B′=∠B′DC=80°，∴∠BD B′=180°-∠B′DC=100°，∴∠BDE =∠B ′DE =50°，∴∠CDE ＝180°-∠BDE =130°．故答案为：130【点评】本题考查了折叠的定义，平行线的性质，邻补角的定义等知识，熟知相关知识并根据图形灵活应用是解题关键．16．如图，将一张上、下两边平行（即AB ∥CD ）的纸带沿直线MN 折叠，EF 为折痕．(1)试说明∠1＝∠2；(2)已知∠2＝54°，求∠BEF 的度数． 【答案】(1)见解析(2)117︒【分析】（1）连续两次利用定理“两直线平行，内错角相等”即可求证；（2）先利用12∠=∠求出1∠，再利用AEF OEF ∠=∠求出OEF ∠，最后利用关系式1BEF OEF ∠=∠+∠求解即可．（1）解：证明：∵ABCD ， ∴1EOF ∠=∠．∵A E C F ''∥，∴2EOF ∠=∠，∴12∠=∠．（2）∵12∠=∠，∠2＝54°∴154∠=︒．根据折叠的性质知：AEF OEF ∠=∠，∴2AEO OEF ∠=∠．又∵1180AEO ∠+∠=︒，即21180OEF ∠+∠=︒，∴()11801632OEF ∠=︒-∠=︒， ∴1117BEF OEF ∠=∠+∠=︒．【点评】本题考查平行的性质，折叠的性质，掌握平行的性质和折叠前后对应的角相等是解题的关键． 17．如图，把长方形ABCD 的两角折叠，折痕分别为EF 、HG ，点B 、D 折叠后的对应点分别是B '、D ，并且使HD '与B F '在同一直线上，已知长方形的两组对边分别平行，试说明两条折痕EF 、GH 也相互平行．【答案】见解析【分析】先根据折叠得出DHG D HG '∠=∠，BFE B FE '∠=∠，再根据平行线的性质得出DHF BFH ∠=∠，即可得出D HG B FE ''∠=∠，最后根据平行线的判定得出结论．【解析】证明：根据折叠可知，DHG D HG '∠=∠，BFE B FE '∠=∠，∵长方形的两组对边分别平行，即AD BC ∥∴DHF BFH ∠=∠，∵12D HG DHF '∠=∠，12B FE BFH '∠=∠， ∴D HG B FE ''∠=∠，∴EF GH ∥．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，折叠的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等和内错角相等两直线平行，是解题的关键．18．有一条纸带ABCD ，现小强对纸带进行了下列操作：(1)为了检验纸带的两条边线AB 与CD 是否平行，小强如图①所示画了直线l 后，量得∠1=∠2，则AB CD ∥，理由为 ;(2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设∠1为70°，请求出∠α的度数；(3)如图③，已知这是一条长方形纸带，点E 在折线AD →DC 上运动，点F 是AB 上的动点，连接EF 将纸带沿着EF 折叠，使点A 的对应点A '落在DC 上，若CA F x '∠=，请用含x 的代数式来表示EAA ∠'的度数为 .（直接写出答案）【答案】(1)同位角相等，两直线平行(2)=α∠︒55(3)12x 或1902x ︒- 【分析】(1)根据平行线的判定方法即可解决问题；(2)如图②−1中，证明∠α=∠4即可解决问题；(3)分两种情形：如图③−1中，证明∠DEA ′=2∠EAA ′，∠DEA ′=∠CA ′F 即可；如图③−2中，证明∠EA ′F =2∠EAA ′即可解决问题．（1）解：如图①中，∵∠1=∠2，∴AB CD ∥(同位角相等两直线平行)，故答案为：同位角相等，两直线平行；（2）解：如图②−1中，由翻折的性质可知，∠3=∠4，∵CD AB∥，∴∠α=∠3，∴∠α=∠4，∵∠1=∠2=70°，∴1(18070)552α∠=⨯︒-︒=︒；（3）解：如图③−1中，由翻折可知，EA=EA′，∠EA′F=∠DAB=90°，∴∠EAA′=∠EA′A，∴∠DEA′=∠EAA′+∠EA′A=2∠EAA′，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，∵∠DEA′+∠DA′E=90°，∠DA′E+∠CA′F=90°，∴∠DEA′=∠CA′F，∴∠CA′F=2∠DAA′，∴1122 EAA CA F x ∠'=∠'=；如图③−2中，由翻折可知，EA=EA′，F A=F A′，∴∠EAA′=∠EA′A，∠F AA′=∠F A′A，∵AB CD∥，∴∠EA′A=∠F AA′，∴∠EAA′=∠AA′F，∴∠EA′F=2∠EAA′，∵∠CA′F+∠EA′F=180°，∴2∠EAA′=180°−x，∴1902 EAA x ∠'=︒-，故答案为：12x或1902x︒-．【点评】本题考查了平行线的性质，矩形的性质，三角形内角和定理及外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．19．综合与实践：折纸中的数学知识背景我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．知识初探(1)如图1，长方形纸条ABGH 中，,AB GH AH BG ，∠A ＝∠B ＝∠G ＝∠H ＝90︒，将长方形纸条沿直线CD 折上，点A 落在A '处，点B 落在B '处，B 'C 交AH 于点E ，若∠ECG ＝70︒，则∠CDE ＝ ； 类比再探(2)如图2，在图1的基础上将∠HEC 对折，点H 落在直线EC 上的H '处，点G 落在G '处得到折痕EF ，则折痕EF 与CD 有怎样的位置关系？说明理由；(3)如图3，在图2的基础上，过点G '作BG 的平行线MN ，请你猜想∠ECF 和∠H 'G 'M 的数量关系，并说明理由． EF CD ，理由见解析ECF H G '+∠【分析】（1）先根据折叠的性质可得线的性质即可得；先根据折叠的性质可得O MN 于O O BG ，根据平行线的性质可得90EH O G ''∠+∠=︒，最后根据等量代换即可得出结论．）解：由折叠的性质得：BCD ∠70ECG ∠=︒BCD ∴∠=AH BG ，CDE BCD ∴∠=∠故答案为：55︒．（2）解：EF CD ，理由如下：由折叠的性质得：AH BG ，BCE HEC ∠=∠∴，ECD CEF ∴∠=∠，EF CD ∴．（3）解：90ECF H G M ''∠+∠=︒，理由如下：如图，过点H '作H O MN '于O ，H G M OH G ''''∴∠=∠，又MN BG ，H O BG '∴，ECF EH O '∴∠=∠，由折叠的性质得：90EH G H ''∠=∠=︒，90EH O OH G '''∴∠+∠=︒，90ECF H G M ''∴∠+∠=︒．【点评】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平行公理推论等知识点，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题关键．。
数学初中折叠问题解题技巧
数学初中折叠问题解题技巧
初中数学中的折叠问题是一种常见的问题类型，涉及到几何和代数等多个方面，具有一定的挑战性和趣味性。
下面是一些折叠问题的解题技巧:
1. 观察折叠过程，提取关键信息。
在折叠问题中，通常会涉及到两个或多个图形的折叠，需要观察折叠过程，并提取关键信息。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，关键信息可能是矩形的长和宽，或者是正方形的边长。
2. 利用几何图形的性质，进行推理和计算。
折叠问题通常涉及到几何图形的性质，例如面积、周长、角等。
在解决问题时，需要利用这些性质进行推理和计算。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，可以利用矩形的面积和周长推导出正方形的面积和周长，进而计算出折叠后的形状。
3. 利用代数知识，进行化简和求解。
折叠问题还可以利用代数知识进行化简和求解。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，可以利用矩形的面积和周长推导出正方形的面积和周长，并将它们用代数式表示出来。
然后，通过解方程组或代数式的方法求解答案。
4. 寻找规律，构建模型。
有些折叠问题可以通过寻找规律，构建模型来解决。
例如，在将一个正多边形折叠成平面图形的过程中，可以尝试利用正多边形的边数来构建模型。
通过模型，可以更好地理解和解决问题。
折叠问题是初中数学中的一种重要问题类型，需要学生掌握一定
的几何和代数知识，并学会利用这些知识进行推理和计算。
同时，学生还需要具备较强的逻辑思维能力和分析问题的能力，才能有效地解决折叠问题。
七年级数学展开与折叠
在机械制造中，经常需要将零件展开成平面图形进行加工和制造。这样可以提高加工精度 和效率，也可以减少材料浪费和降低成本。同时，在机械装配过程中，也需要将零件按照 一定规律进行折叠和组装。
02
平面图形展开与折叠
正方形和长方形展开
正方形展开
正方形可以沿着对角线或者中垂线展开成一个直线 段或者两个相等的直角三角形。
物理理论的数学化
许多物理理论最终需要转化为数学 模型以便进行更深入的分析和研究， 如量子力学和广义相对论等。
数学在化学中的应用
化学计量学
数学在化学计量学中有着广泛应 用，如化学方程式的配平、摩尔
质量的计算等。
化学反应动力学
数学方法可以帮助研究化学反应 的速率和机理，如反应速率常数
的确定、反应机理的推导等。
圆形和扇形展开后，其各边长度和角 度关系可能会发生变化。同时，圆形 和扇形的面积和周长也会发生变化。
扇形展开
扇形是圆的一部分，可以沿着半径或者圆弧 展开，得到一个平面图形。根据展开方式的 不同，可以得到不同的形状，如三角形、梯 形等。
03
立体图形展开与折叠
正方体和长方体展开
正方体展开
正方体有6个面，12条棱，8个顶 点，可以展开成6个相连的正方形 。展开后，相对的面不相邻。
实现变废为宝
利用废旧纸张、布料等材 料进行展开与折叠的手工 制作，可以实现资源的再 利用，具有环保意义。
05
拓展内容：数学在其他领域的应用
数学在物理中的应用
描述物理现象
数学语言可以精确描述物理现象， 例如牛顿第二定律 F=ma 就用数 学表达式阐明了力和加速度之间
的关系。
解决物理问题
数学方法如微积分、常微分方程等 被广泛应用于解决物理问题，如求 解运动方程、分析电磁场等。
数学折叠问题初一
数学折叠问题初一数学折叠问题是一种典型的几何问题，它涉及到图形在空间中的变换和计算。
在初中阶段，数学折叠问题不仅能帮助学生巩固几何知识，还能提高他们的空间想象力和逻辑思维能力。
本文将从数学折叠问题的概念、应用场景、解决方法以及在初中的教学意义等方面进行详细阐述。
一、数学折叠问题的概念与基本原理数学折叠问题是指在平面或空间几何中，通过对一个图形进行折叠，使其变为另一个图形的问题。
在这个过程中，图形的形状、大小和位置可能会发生变化。
解决数学折叠问题需要掌握图形的折叠原理，了解图形的各个部分之间的关系。
二、数学折叠问题的应用场景数学折叠问题在日常生活和学术研究中具有广泛的应用。
例如，在建筑、设计和制造领域，数学折叠问题可以帮助我们更好地理解和分析空间结构；在数学和物理研究中，数学折叠问题有助于探究图形的变换和性质。
三、解决数学折叠问题的方法与技巧解决数学折叠问题有以下几种方法：1.观察法：通过观察图形的特征，找到图形之间的联系和规律。
2.折叠法：将图形按照折叠线进行折叠，分析折叠前后的图形关系。
3.方程法：建立数学模型，利用方程求解图形折叠问题。
4.几何变换法：利用平移、旋转等几何变换，将问题转化为已知图形的性质。
四、数学折叠问题在初中的教学意义数学折叠问题在初中阶段的教学具有重要意义。
通过解决数学折叠问题，学生可以：1.加深对几何图形的理解和掌握；2.提高空间想象力和逻辑思维能力；3.培养观察、分析和解决问题的能力；4.巩固和拓展数学知识，为高中阶段的学习打下基础。
五、提高初中生数学折叠问题能力的建议1.多做练习：通过大量练习，熟练掌握数学折叠问题的解题技巧；2.培养空间想象力：通过观察和折叠实物，提高空间想象力；3.学会分类和归纳：将数学折叠问题进行分类，总结规律；4.及时请教老师：在遇到难题时，及时向老师请教，确保掌握数学折叠问题的解题方法。
初中几何折叠问题的三种解法
初中几何折叠问题的三种解法初中几何折叠问题的三种解法初中几何是数学中的一个重要分支，而折叠问题则是初中几何中常见的一种问题。
在这里，我们将介绍三种不同的方法来解决初中几何折叠问题。
方法一：手工模拟法手工模拟法是一种简单直观的方法。
它通过将纸张折叠成所需形状来解决问题。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 将纸张按照比例剪成相应大小。
3. 按照题目要求，将纸张进行折叠，直到得到所需形状。
4. 计算所需参数并得出答案。
优点：手工模拟法操作简单易懂，适合初学者使用。
同时也能够帮助学生更好地理解折叠问题的本质。
缺点：手工模拟法需要较长时间完成，并且需要精确测量和折叠。
同时也容易出现误差和偏差。
方法二：平面几何法平面几何法是一种基于平面几何知识来解决问题的方法。
它通过利用图形相似性和对称性来计算所需参数。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 根据平面几何知识，计算所需参数，如角度、长度等。
3. 得出答案。
优点：平面几何法具有计算速度快、精度高等特点。
同时也能够帮助学生更好地理解平面几何知识的应用。
缺点：平面几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对图形相似性和对称性有深入理解。
同时也容易出现计算错误和漏算情况。
方法三：三维几何法三维几何法是一种基于立体几何知识来解决问题的方法。
它通过利用立体图形的投影和相似性来计算所需参数。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 利用三维几何知识，将立体图形投影到二维平面上，并计算所需参数，如角度、长度等。
3. 得出答案。
优点：三维几何法具有计算速度快、精度高等特点。
同时也能够帮助学生更好地理解立体几何知识的应用。
缺点：三维几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对立体图形的投影和相似性有深入理解。
同时也容易出现计算错误和漏算情况。
结论：初中几何折叠问题可以通过多种方法来解决，其中手工模拟法、平面几何法和三维几何法是常见的三种方法。
七年级数学折叠问题
七年级数学折叠问题一、折叠问题知识点1. 折叠性质折叠前后图形全等，对应边相等，对应角相等。
例如，将一个三角形纸片折叠，折叠线两侧的部分是全等的，那么折叠前后的边长和角度关系不变。
折叠问题常常与轴对称图形相关联，折叠线就是对称轴。
2. 在坐标平面中的折叠如果是在平面直角坐标系中的图形折叠，我们可以利用坐标的性质来解决问题。
例如，已知一个点公式关于某条直线（如公式）折叠后的坐标变化规律。
点公式关于公式对称的点的坐标为公式。
3. 在多边形中的折叠在多边形（如三角形、四边形等）的折叠中，常常会涉及到角度的计算、边长的计算以及面积的计算等。
比如在四边形公式中，将公式沿着公式折叠，如果公式，那么折叠后公式，因为折叠前后对应角相等。
对于边长计算，如果公式，折叠后公式点与公式点重合，且公式是折痕，那么公式（折叠前后对应边相等）。
二、典型题目及解析1. 题目如图，将长方形公式沿公式折叠，使点公式落在公式边上的公式点处，如果公式，求公式的度数。
解析因为四边形公式是长方形，所以公式。
已知公式，那么公式。
由于公式与公式关于公式折叠，所以公式，则公式。
所以公式。
2. 题目有一张矩形纸片公式，公式，公式，将纸片沿公式折叠，使点公式与点公式重合，求公式的长。
解析连接公式，因为四边形公式是矩形，根据勾股定理可得公式。
因为点公式与点公式重合，公式是折痕，所以公式垂直平分公式，设公式与公式相交于点公式。
则公式。
因为公式（公式，公式）。
所以公式，即公式，解得公式。
所以公式。
七年级数学下册平行线【折叠问题】专项练习题+答案
七年级数学下册平行线【折叠问题】专项练习题+答案1、把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若∠CDF=38°，则∠EFD的度数是（ B ）A.72°B.64°C.48°D.52°ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处.若△AFD的周长为18，△ECF的周长为6，四边形纸片ABCD的周长为（ B ）A.20B.24C.32D.48解：由折叠的（电子版关注微信公众号：初一数学语文英语）性质知，AF=AB，EF=BE. 所以四边形纸片ABCD的周长等于△AFD和△ECF的周长和为18+6=24. 故四边形纸片ABCD的周长为24.3.将正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN．则下列说法错误的是（ D ）A.AE⊥MNB.AM=EMC.∠BNO=∠FNOD.∠OEF=90°解：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．∠BAM和∠FEM是对应角，所以∠BNO=∠FNO，∠BAM=∠FEM=90°，4.如图，先将正方形ABCD对折，折痕为EF，将这个正方形展平后，再分别将A，B 折叠到折痕EF，使点A，B都与折痕EF上的点G重合，则下列说法错误的是（ B ）A.∠MGD=90°B.∠DGF=∠MGEC.DG=CGD.∠BCN=∠GCN解：将A，B折叠到折痕EF，使点A，B都与折痕EF上的点G重合，则直线MD，NC 分别是对称轴，根据轴对称图形中，（电子版关注微信公众号：初一数学语文英语）对应线段相等，对应角相等，5.图1的长方形ABCD中，点E在AD边上，AD∥BC，∠A=∠D=90°，∠BEA=60°．（电子版关注微信公众号：初一数学语文英语）现分别以BE，CE为折线，将A，D向BC的方向折过去，图2为对折后A，B，C，D，E五点在同一平面上的位置图．若，则∠BCE的度数为（ D ）A.30°B.32.5°C.35°D.37.5°解：分别以BE，CE为折线，将A，D向BC的方向翻折，则直线BE，CE分别是对称轴，6.如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC于D，交AC于E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是多少cm．（ D ）A.26B.16C.18D.22由轴对称图形的性质，（电子版关注微信公众号：初一数学语文英语）得AD=CD，AE=CE．7.如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，将△ABC对折，使A与B重合，折痕为DE，（电子版关注微信公众号：初一数学语文英语）若△BCD的周长为27cm，则BC的长为多少cm．（ C ）A.10B.9C.7D.138.在Rt△ABC中，CD=3cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使它落在斜边AB上，且与BE重合，△ABD的面积是12cm²，则AB的长是多少cm（ A ）A.8B.4C.9D.3。
七年级折叠问题知识点梳理
七年级折叠问题知识点梳理折叠问题是数学中的一种经典问题，也是考察对数学知识的理解和实际应用能力的重要领域。
在初中数学中，折叠问题也是一个重要的知识点，需要深入理解和掌握。
本文将对七年级折叠问题知识点进行梳理和整理，以帮助同学们更好地掌握这一知识点，从而在考试中取得更好的成绩。
一、基本概念折叠问题是指在平面图形上切割一条或数条线，然后将剩余部分按照指定的顺序进行折叠，并寻求可能出现的图形形态。
常出现的几何图形包括三角形、正方形、长方形等。
二、折叠的基本操作1. 折叠轴：指在平面图形上折叠的参考线，通常为直线。
2. 对称轴：指原图形和折叠后图形的对称轴，它们的交点处是折叠轴。
3. 折线：指从折叠轴起到图形边缘的折叠线段。
4. 折叠方向：指折叠时图形所向的方向，可以是向上、向下、向左或向右。
5. 折痕：指在图形上产生的折叠痕迹。
三、折叠问题的解题方法在解决折叠问题时，首先要对给定图形和折叠过程进行分析，然后选择合适的方法进行求解，一般有以下几种方法：1. 利用对称性：可以利用图形对称性进行折叠，其中对称轴可以作为折叠轴，而对称轴两侧的部分可以通过折叠得到图形的其他部分。
2. 利用折线的特性：根据折线的特性可以确定图形的边长和角度，从而得到图形的面积和形状。
3. 综合使用多种方法：在解决较为复杂的折叠问题时，可以综合使用多种方法，包括对称性、折线特性、面积等多个方面，灵活应用不同的方法。
四、折叠问题的实际应用折叠问题在实际生活中也有广泛的应用，例如在制作纸质建筑模型时，需要根据图纸进行折叠，从而得到复杂的建筑结构；在设计3D打印模型时，需要将平面图形折叠成三维立体模型，从而进行后续加工等。
总之，折叠问题是数学中非常重要的一个知识点，需要同学们用心理解和掌握，善于运用不同的方法解决问题，在实际应用中也能够得心应手。
希望本文对七年级学生们的学习有所帮助，祝愿大家在数学学习中取得更好的成绩。
七年级数学下专题——折叠问题
七年级数学下专题——折叠问题班别 姓名1、 将一张等宽的纸条按图中方式折叠,若∠1 = 50°, 则∠2的度数为 ；2、如图，矩形ABCD 中(AD>AB)，M 为CD 上一点， 若沿着AM 折叠，点N 恰落在BC 上， ∠ANB+∠MNC=____________；3、把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后ED 与BC 的交点为G ，D 、C 分别在M 、N 的位置上，若∠EFG =55°，则∠1=_______°，∠2=_______°4、如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，得到的图形是（ ）5、如图，把矩形ABCD 纸对折，设折痕为MN ，再把B 点叠在折痕上， 得到Rt △ABE ，EB 延长线交AD 或AD 的延长线于F ，则△EAF 是（ ）A.底边与腰不相等的等腰三角形B.各边均不相等的三角形；C.或是各边不相等的三角形，或是底边与腰不相等的等腰三角形；D.等边三角形6、如图(5)，将标号A 、B 、C 、D 的正方形沿图中虚线剪开后，得到标号为P 、Q 、M 、N 的四个图形。
按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形，”的对应关系，填空：A 与______对应，B 与 ______对应，C 与______对应，D 与______对应。
ABCDA BCD NM右下方折右折沿虚线剪开AB CDPQ MN7、将一个正方形纸片依次按图（1），图（2）方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，所看到的图案是（ ）8、如图3，将一张正方形纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（ ）.9、如图2,一张正方形纸片经过两次对折，并在如图2-2位置上剪去一个小正方形，打开后是( ) .图2 图2-1 图2-2 A B C D10、如图1，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是（ ）.图1 A B C D（向上对折）图（1） （向右对折） 图（2） 图（3） 图（4） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．图311、将一圆形纸片对折后再对折，得到右图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是( )12、如图，ABC ∆沿DE 折叠后，点A 落在BC 边上的A '处， 若点D 为AB 边的中点， 50=∠B ，则A BD '∠的度数为 .13、如图8裁剪师傅将一块长方形布料ABCD 沿着AE 折叠， 使D 点落在BC 边的F 处，若∠BAF=60º，则∠DAE=______。
七年级下翻折问题知识点
七年级下翻折问题知识点翻折是数学中非常重要的一个知识点，它在解决几何问题和计算面积等方面都扮演着重要的角色。
本文将介绍七年级下翻折问题的知识点，希望能够帮助到需要的同学。
一、翻折的基本原理翻折是指将平面上的一个图形沿着一条线折成两半，使得两半各自重合在一起。
这个过程中，折痕就是分割线。
这种折叠方法叫做对称翻折。
二、翻折的种类在学习翻折的过程中，我们会遇到三种不同类型的翻折。
它们分别是：1.对称翻折：一张纸在垂直或水平方向上对折，使得两侧完全对称。
2.折叠翻折：将纸张顺着不同方向进行多次对折，得到更加复杂的几何形状。
3.碎片折叠：将纸张撕成碎片，再按照设计图案的方式进行折叠，得到各种有趣的三维造型。
三、翻折的几何性质翻折具有一些基本的几何性质，这些性质对于理解折叠的原理和计算面积等问题极其重要。
以下是几种常见的几何性质：1. 已知一个三角形，将它平移一定长度，再将平移后的三角形翻折，这个过程中形成的是一种“直线对称”的对称关系。
2. 对于平面中的任意一点，将它沿着两条垂线分别翻折，可以得到这个点的“中心对称”图形。
3. 若图形具有多条对称线，则它们都可以作为折叠的轴线，容易得到形状对称的结果。
四、翻折的应用翻折在数学中的应用十分广泛，我们可以用它来解决各种不同类型的几何问题。
以下是翻折具体的几个应用场景：1. 翻折求多边形面积：可以将多边形进行对称折叠，计算得到总面积后再除以对称的数量得到一份面积，再乘以总共的对称数量。
2. 翻折求曲线面积：可以将曲线图形分割成一个个长方形，计算每个长方形的面积后相加即可。
3. 翻折求几何中心：可以将一张纸在确定两条轴线后对称折叠，得到几何中心。
总结在数学学习中，翻折既是一个必要的基本技能，也是解决问题的一个有效工具。
我们需要认真掌握翻折的基本原理和种类，理解折叠后的几何性质，并能够熟练运用其在各种实际问题中。
(完整版)几何图形折叠问题
几何图形折叠问题【疑难点拨】1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1..（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=A．2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．32C．3 D．335.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．二、填空题：6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB 上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．7.（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C 与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，则BC的长．8.（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= ．三、解答与计算题：9.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．10.（2018•山东枣庄•10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【能力篇】一、选择题：11.（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．A．4 B．5 C．6 D．712.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．413.（2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A． B．C．D．二、填空题：14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若=，则= ．15.（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE 折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF=95；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．17.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．18.（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、.将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使.求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长.【探究篇】19.（2018年江苏省泰州市•12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）20.（2018年江苏省宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD 沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，（1）当AM= 时，求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.几何图形折叠问题【疑难点拨】1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1..（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB正确．D、∵sin∠ABE=，∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin∠ABE=．故选：C．【点评】本题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法．2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π【考点】MO：扇形面积的计算；P9：剪纸问题．【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB可得DE=OD=3，先根据S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．【解答】解：如图，∵CD⊥OA，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，∴∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB于点E，则DE=OD=3，∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=﹣×6×3=3π﹣9，则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108，故答案为：36π﹣108．故选A3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6﹣x）2，解方程求出x．【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=，则FD=6﹣x=．故选：B．4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．32C．3 D．33【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．【解答】解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E为AB中点，∴EF=12AB，EF=32，∴AB=AC=3，∵∠BAC=90°，∴BC=2，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．5.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°即可得出∠GFE=60°，进而可得出△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC= EC，再由GE=2BG结合矩形面积为4，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，∴∠GFE=60°．∵AF∥GE，∠AFG=60°，∴∠FGE=∠AFG=60°，∴△GEF为等边三角形，∴EF=GE．∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，∴∠HGE=30°．在Rt△GHE中，∠HGE=30°，∴GE=2HE=CE，∴GH==HE=CE．∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4EC．∵矩形ABCD的面积为4，∴4EC•EC=4，∴EC=1，EF=GE=2．故选C．二、填空题：6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB 上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．【解答】解：分两种情况：①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，∴∠C=30°，AB=AC=，由折叠可得：∠MDN=∠A=60°，∴∠BDN=30°，∴BN=DN=AN，∴BN=AB=，∴AN=2BN=．∵∠DNB=60°，∴∠ANM=∠DNM=60°，∴∠AMN=60°，∴AN=MN=；②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，由题可得：∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，∴∠BDN=60°，∠BND=30°，∴BD=DN=AN，BN=BD\1AB=，∴AN=2，BN=，过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，∴AH=AN=1，HN=，由折叠可得：∠AMN=∠DMN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM=HN=，∴MN=．故答案为：或．7.（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C 与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．【解答】解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，如图，过点K作KM⊥BC于点M，设KM=x，则EM=x、MF=x，∴x+x=+1，解得：x=1，∴EK=、KF=2，∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++，∴BC的长为3++．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8.（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= 75°．【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBG=∠EGB．，然后再根据∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠AGB=∠BGH，据此可得答案．【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，∴∠EBG=∠EGB．∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．又∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC．∴∠AGB=∠BGH．∵∠DGH=30°，∴∠AGH=150°，∴∠AGB=∠AGH=75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答与计算题：9.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE ≌△CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．10.（2018•山东枣庄•10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2=GF•AF．理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO•AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF•AF．（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2，AF=10，∴AD==4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4﹣=．【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．【能力篇】一、选择题：11.（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由折叠的性质可得AE=A1E．∵△ABC为等腰直角三角形，BC=8，∴AB=8．∵A1为BC的中点，∴A1B=4，设AE=A1E=x，则BE=8﹣x．在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5．故答案为：5．故选B12.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB．∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA．∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正确；③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE．∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL）．∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个．故选B．13. （2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O 中，点C 在优弧上，将弧沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为，AB=4，则BC 的长是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⊥AB ，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到=，所以AC=DC ，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF 后得到CE=BE=3，于是得到BC=3 2．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图， ∵D 为AB 的中点， ∴OD ⊥AB ， ∴AD=BD=AB=2，在Rt △OBD 中，OD=22(5)2 =1， ∵将弧沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．∴弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆， ∴=，∴AC=DC ， ∴AE=DE=1，易得四边形ODEF 为正方形， ∴OF=EF=1，在Rt △OCF 中，CF=22(5)1 ， ∴CE=CF+EF=2+1=3， 而BE=BD+DE=2+1=3， ∴BC=3．故选：B ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理． 二、填空题：14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，将BF 延长交AD 于点G ．若=，则= ．【解答】解：连接GE ．∵点E 是CD 的中点，∴EC=DE ．∵将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，∴EF=DE ，∠BFE=90°．在Rt △EDG 和Rt △EFG 中，∴Rt △EDG ≌Rt △EFG （HL ），∴FG=DG ．∵=，∴设DG=FG=a，则AG=7a，故AD=BC=8a，则BG=BF+FG=9a，∴AB==4a，故==．故答案为：．15.（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE 折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是①②③（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF=95；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质．【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：如图1中，当AE=EB时，∵AE=EB=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，∴∠BEC=∠EAF，∴AF∥EC，故①正确，作EM⊥AF，则AM=FM，在Rt△ECB中，EC==，，∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，∴△CEB∽△EAM，∴=，∴=，∴AM=，∴AF=2AM=95，故②正确，如图2中，当A、F、C共线时，设AE=x．则EB=EF=3﹣x，AF=13﹣2，在Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，∴x2=（﹣2）2+（3﹣x）2，∴x=，，∴AE=，故③正确，如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，故答案为①②③．【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．【分析】（1）先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC再判断出AE=DE，即可得出结论；（2）①利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，进而判断出∠GPF=∠PFB即可得出结论；②判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；③判断出△GEF∽△EAB，即可得出结论．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，∵E是AD中点，∴AE=DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）①在矩形ABCD，∠ABC=90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF=∠PFB，∴∠BPF=∠BFP，∴BP=BF；②当AD=25时，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEC，∴，设AE=x，∴DE=25﹣x，∴，∴x=9或x=16，∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，设BP=BF=PG=y，∴，∴y=，∴BP=，在Rt△PBC中，PC=，cos∠PCB==；③如图，连接FG，∵∠GEF=∠BAE=90°，∵BF∥PG，BF=PG，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE=∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴，∴BE•EF=AB•GF=12×9=108．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．17.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE ≌△CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．18.（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、.将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使.求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长. 【答案】（1）解：连接OC，OD，由翻折可得OD=OC，∵OC是⊙O的半径，∴点D在⊙O上。
数学折叠问题解题思路
数学折叠问题解题思路折纸问题是数学中一个非常有趣的分支，它不仅能够让我们深入理解数学的几何概念，还能够启发我们思考和解决实际问题。
其中，数学折叠问题因其直观、有趣和实用而备受瞩目。
在本文中，我们将深入探讨数学折叠问题的解题思路以及如何通过数学折叠问题更好地理解抽象概念。
一、什么是数学折叠问题？数学折叠问题（origami），顾名思义，是指利用折纸来模拟和解决数学问题的一种方法。
在这些问题中，我们通常会用一张平面纸或一条带子，通过折叠或切割等方法，构造出具有一定几何形状或特性的结构。
同时，这些结构也可以被视为数学中的几何图形，具有一系列性质和关系。
举例来说，我们可以通过折纸的方法构造出各种不同形状的三角形、正方形、五边形等几何图形。
我们也可以利用折纸的方法来解决一些有趣的几何问题，例如黄金分割、对称性和模等等。
同时，在实际应用中，数学折叠问题也常常可以帮助我们解决各种实际问题，例如包装设计、建筑结构和无人机机翼设计等等。
二、解决数学折叠问题的思路要解决数学折叠问题，我们需要把它们抽象化，转化为数学模型。
然后，我们可以利用数学方法来分析和求解这些模型。
解决数学折叠问题的具体步骤如下：1. 构造模型在解决数学折叠问题之前，我们首先需要构造一个几何模型。
这个模型应该直观易懂，能够较好地反映出实际问题的本质。
同时，为了避免出现误解和模糊，我们需要确保模型的各个细节都被准确地描述出来。
2. 定义问题一旦我们有了几何模型，我们就需要明确问题，即要求解的目标。
不同的问题会有不同的定义方式，通常需要我们用数学符号和语言进行精确描述。
3. 分析问题在定义问题之后，我们需要通过分析模型和问题，来找到一些潜在的解决方法和路径。
这个过程中，我们需要运用数学知识和技巧，例如计算几何、向量和三角几何等等。
同时，我们也需要注意处理问题中可能出现的特殊情况和边界条件。
4. 求解问题一旦我们找到了解决问题的方法和路径，我们就可以开始具体的求解过程。
初中数学中的折叠问题
初中数学中的折叠问题一、矩形中的折叠折叠后BG 和BH 在再过点A ′折叠使边与对角线BD 重形中根据勾股定合，然后再沿着则∠DFB 等于的位置，已知重合部分是以折痕为底边的等腰三角形理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等9．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等 10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在边AD 上 不与A 、D 重合．MN 为折痕，折叠后B ’C ’与DN 交于P ．(1)连接BB ’，那么BB ’与MN 的长度相等吗？为什么？(2)设BM =y ，AB ’=x ，求y 与x 的函数关系式；(3)猜想当B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC ’B ’面积最小？并验证你的猜想． 二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（ ）C题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ 14．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°，图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．将一张长为70 cm的长方形纸片ABCD，沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是（）16．一根30cm、宽3cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，则最初折叠时，求MA的长三、三角形中的折叠实践与运用：(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。
初中数学折叠问题(全)精品
初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。
本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。
其实对于折叠问题，我们要明白： 1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x ，然后根据轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD= 度．折叠前后的对应角相等2．如图所示，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A ′处，再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC ，若AB=4，AC=3，则△ADE 的面积是 ．对称轴垂直平分对应点的连线3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可GA'C D4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积．重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状 三角形．对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF8．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等321FEDCBA54132G D‘FC‘DBCAE9．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B 落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在边AD 上 不与A 、D 重合．MN 为折痕，折叠后B’C’与DN 交于P ．(1)连接BB’，那么BB’与MN 的长度相等吗？为什么？ (2)设BM=y ，AB’=x ，求y 与x 的函数关系式；(3)猜想当B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．PC'NB CADMB'QPH C'N BCADM B'二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQa2130°BEFACD14．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°，图c 中的∠CFE=∠GFC -∠EFG15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60cm ，则原纸片的宽AB 是（ ）16．一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长图c 图b图aCDGFEAC GDFEAFDBCAEB BGE F D A EF D B C AB C60c m三、三角形中的折叠17．如图，把Rt△ABC（∠C=90°），使A，B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则CE：AE=（3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE，∠2=180°-2∠CED，再根据三角形内角和定理比可求20．观察与发现：将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．实践与运用：(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．在第一次折叠中可得到∠EAD = ∠FAD在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线，则AD⊥EF∴∠AEF = ∠AFE∴△AEF是等腰三角形(1)由折叠可知∠AEB = ∠FEB，∠DEG = ∠BEG而∠BEG = 45°+ ∠α因为∠AEB + ∠BEG + ∠DEG = 180°所以 45°+ 2（45°+∠α）= 180°∠α = 22.5°由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。
初一数学展开与折叠试题
初一数学展开与折叠试题1.右图是一个由相同小正方体搭成的几何体俯视图,小正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数,则这个几何题的主视图是 ( )【答案】A【解析】本题考查的是三视图俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有3列，从左到右分别是3，2，1个正方形．由俯视图中的数字可得：主视图有3列，从左到右分别是3，2，1个正方形．故选A．2.如图是正方体的平面展开图,每个面上标有一个汉字, 与“油”字相对的面上的字是( )A．北B．京C．奥D．运【答案】A【解析】本题考查了正方体的的表面展开图正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答即可．因为正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“油”字相对的字是“北”．故选A.3.下面四个图形中,经过折叠能围成如图只有三个面上印有图案的正方体纸盒的是( )【答案】B【解析】本题考查的是正方体的展开图根据图中符号所处的位置关系作答．三角形图案的顶点应与圆形的图案相对，而选项A，C与此不符，所以错误；三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻，而选项D与此也不符，正确的是B，故选B．4.圆锥侧面展开图可能是下列图中的( )【答案】D【解析】本题考查的是圆锥的侧面展开图根据圆锥的侧面展开图是一个扇形即可得到结果。
圆锥的侧面展开图是一个扇形，故选D。
5.将圆柱形纸筒沿母线剪开铺平,得到一个矩形(如图).如果将这个纸筒沿线路剪开铺平,得到的图形是A．矩形B．半圆C．三角形D．平行四边形【答案】D【解析】此题主要考查了图形的剪拼利用展开图可以得出将这个纸筒沿线路B→M→A剪开铺平时，AB与另对应点仍然连接，得出得到的图形是平行四边形．∵将圆柱形纸筒沿母线AB剪开铺平，则得到一个矩形（如图）．若将这个纸筒沿线路B→M→A剪开铺平，AB与另对应点仍然连接，∴得到的图形是平行四边形．故选D．6.下列图中,左边的图形是立方体的表面展开图,把它折叠成立方体｡它会变成右边的【答案】C【解析】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力在验证立方体的展开图式，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．根据展开图中各种符号的特征和位置，可得能变成的是C．故选C．7.小红将考试时自勉的话“细心·规范·勤思”写在一个正方体的六个面上,其平面展开图如图所示,那么在该正方体中,和“细”相对的字是__________.【答案】范【解析】本题考查了正方体的的表面展开图正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答即可．因为正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“细”字相对的字是“范”．8.圆锥侧面展开图可能是下列图中的（）【答案】D【解析】本题考查的是圆锥的侧面展开图根据圆锥的侧面展开图是一个扇形即可得到结果。
数学初中折叠问题解题技巧
数学初中折叠问题解题技巧
初中数学中的折叠问题是一种常见的几何问题，涉及到对图形的折叠、展开或转化等操作。
以下是一些常见的折叠问题解题技巧:
1. 观察特殊图形法：直接观察题目所给出的目标图形中的特殊面，或者特殊图形连接的位置，然后对比选项，与之不符的直接排除。
2. 相对面不相邻法：空间折叠类题目要结合排除法解题，最常用的排除技巧是相对面不相邻原则。
即一定要抓住某两个相邻面或对立面的图形特征，从而可以利用排除法选择正确答案，违背这些特征的，便是错误选项。
3. 初中数学坐标系里折叠的问题：对于在平面直角坐标系中的折叠问题，可以通过建立直角坐标系来解决。
一般来说，需要根据折叠前后的形状及坐标变化关系，画出折叠后的图形，然后根据题意找到对应的坐标值。
4. 长方形折叠问题：对于长方形的折叠问题，可以通过对折将长方形变成长方体，然后根据长方体的面积公式及长方形的面积公式来求解。
另外，也可以利用折叠的性质：折叠后的图形与图形全等，来解决问题。
总结起来，对于折叠问题的解题技巧，需要结合具体的题目来进行理解和应用。
同时，需要学生具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力，才能更好地解决折叠问题。
初中数学几何图形中的折叠问题解题思路
初中数学几何图形中的折叠问题解题思路折叠问题中的背景图形通常有，三角形、正方形、矩形、梯形等，解决这类问题的关键是一定要灵活运用轴对称和背景图形的性质。
轴对称性质：折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。
典型例题：例题1、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，E、F 分别为 AB、BC 上的点，沿线段 EF 将∠B 折叠，使点 B 恰好落在AC 上的点 D 处，试问当△ADE 恰好为直角三角形时，此时 BE 的长度为多少?解题思路：△ADE 为直角三角形分两种情况：①∠ADE = 90°，②∠AED = 90°，此题需要分类讨论，结合三角形的相似、折叠的性质，来求折叠中线段的长度，关键是能画出折叠后的图形。
解答过程：当∠ADE = 90°时，如下图所示：证明：先来证明四边形 DEBF 为棱形：∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ADE = 90°，∴ DE∥BC ，∴∠DEF = ∠EFB ，又∵沿线段 EF 将∠B 折叠，∴ DE = BE ,DF = BF ，∠DFE = ∠BFE ，∴∠DEF = ∠DFE ，DE = DF = BF ，∴四边形 DEBF 为棱形。
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是棱形)。
再来证明Rt△ADE ∽Rt△ACB (相似三角形判断图形中的“A”字型)∵在三角形 ACB 中，DE∥BC ，∴ Rt△ADE ∽ Rt△ACB ，设棱形 DEBF 的边长为 x , 则有 DE = x , AE = 10 - x ,在 Rt△ACB 中，AB = 10 , AC = 8 ,由勾股定理得：BC = 6 。
∴ DE : BC = AE : AB , 即 x : 6 = (10-x) : 10 ,解得 x = 15/4 ,∴ BE = 15/4 ;当∠AED = 90°时，如下图所示：易证 Rt△AED ∽ Rt△ACB ，由折叠的性质可得 DE = BE ，设 DE = BE = x ，则 AE = 10 - x ，由相似三角形的性质可得：DE : BC = AE : AC , 即 x : 6 = ( 10 -x ) : 8 ,解得 x = 30/7，∴ BE = 30/7 。
七年级折叠问题知识点
七年级折叠问题知识点折叠问题是数学中的一个经典问题。
在数学竞赛和考试中，被认为是一种基本函数，是考察数学运算能力和思维逻辑的基本题型之一。
而在七年级的数学课中，也会接触到一些折叠问题。
本文将介绍七年级折叠问题的知识点，供大家参考。
一、折纸图形的平移、旋转和对称在折叠问题中，图形的平移、旋转和对称是常见的变换方式。
因此，掌握这些变换的基本概念及性质是十分重要的。
1.平移变换平移变换指的是保持图形形状不变的情况下，将整个图形沿着某一方向移动一定距离后得到的新图形。
平移变换的性质是：对于平面上任意两点A和B，其平移后的位置A'和B'可以由向量AB和A'B'相等得到。
2.旋转变换旋转变换指的是保持图形形状不变的情况下，将整个图形绕给定的点（旋转中心）顺时针或逆时针旋转一定角度后得到的新图形。
旋转变换的性质是：任何平面上的图形旋转一周后均回到原来的位置。
3.对称变换对称变换指的是保持图形形状不变的情况下，将整个图形绕某条直线对称后得到的新图形。
对称变换的性质是：对称变换前后的图形具有相等的形状和大小。
二、折纸图形的叠合和重合折叠问题中，叠合和重合是两个核心概念。
只有掌握了这些概念，才能更好地解决折叠问题。
1.叠合叠合指的是将两个相同的图形重叠在一起，使它们完全重合的过程。
叠合要求两个图形的形状和大小完全相同。
2.重合重合指的是将两个不完全相同但有一定相似之处的图形重合在一起，使它们重合的程度最大。
重合要求两个图形的形状和大小不需要完全相同。
三、折纸图形的解析与构造折叠问题通常需要进行图形的解析和构造。
下面介绍两个基本的解析和构造方法。
1.解析方法解析方法指的是通过观察图形特征，确定图形各个部分的位置、大小和形状的方法。
解析方法的关键在于观察，要将图形各个部分的位置、大小和形状仔细观察、分析和比较，找出它们之间的关系，以便在后续的折叠中更好地处理图形。
2.构造方法构造方法指的是通过折叠纸张的方式，得到所需的图形的方法。
七年级下册数学折叠知识点
七年级下册数学折叠知识点数学中的折叠，是一种将平面图形沿着一条或多条直线折叠的方法，通过折叠，可以使得原本的形状变化或被拼合成为其他图形。
折叠不仅能加强数学的直观性和形象性，也能深化对立体几何的理解。
在七年级下册的学习中，折叠是一个重要的知识点，下面我们来看看具体的内容。
一、折叠的基本概念折叠是指将纸张或橡皮等平面物体按照一定的方法折叠成为一定形状的技巧。
在数学中，折叠不仅可以用来解决平面几何中的问题，还可以用来研究立体几何的性质。
二、折叠的方法与技巧1. 对称折叠对称折叠是将一张图案沿着它的对称线对折，使得图案的两侧完全重合的过程。
对称折叠常用于几何中，可以用来证明几何定理，也可以用来解决折纸难题。
2. 拼合折叠拼合折叠是指将图案中的不同部分通过折叠和组合的方式拼合成为一个整体的过程。
拼合折叠可以帮助学生理解平面图形的构造，也可以拓展他们的空间想象能力。
3. 折叠展开图折叠展开图是指将一个立体图形通过分解折叠成为平面图形后，再将平面图形展开为一个二维图形的过程。
折叠展开图可以帮助学生理解立体几何图形的构造和性质，并且可以用来计算面积和体积等问题。
三、折叠的应用领域1. 数学在数学中，折叠可以用来解决几何问题，比如通过折叠构造等获得图形的性质，或通过折叠展开图计算各种图形的面积和体积。
2. 工程学在工程学中，折叠可以用来制作各种模型和原型，比如汽车、船只、房屋等，可以帮助工程师们更好地理解和设计产品。
3. 艺术设计在艺术设计中，折纸、折扇等技巧十分常见，是展示创意的一种手段。
折纸艺术能够通过不同的折叠方式，来创造出各种美观、有趣的形态。
四、折叠的重要性折叠不仅能够锻炼学生的思维能力和空间想象能力，还能够拓展他们的艺术视野和文化素养。
通过折叠，学生们不仅可以加深对几何和数学的理解，还可以培养创造力和审美能力。
总之，折叠是一项充满趣味和挑战的技能，它不仅能够加强学生对数学的直观理解，也能够帮助他们在实践中掌握几何的基本概念和方法。
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初一数学中的折叠问题 张文彩 折叠问题是一个热点问题，不仅在中考中居于很重要的地位，而且在初一初二年级的期中期末考试中都是经常遇到的题目。
初一年级的折叠问题大多是与平行有关的问题，然后根据平行线的性质求出有关角的度数问题，初二的折叠问题不仅与平行线有关，还和直角三角形的勾股定理，等腰三角形性质等相关的问题，初三的折叠问题就显得复杂得多，因为与初中阶段所学的各个知识点都有可能相关。
下面就从最简单的初一数学知识有关折叠的问题进行总结。
一．折叠矩形的一个角，求角的度数问题。
例1.如图，将矩形ABCD 沿AE 对折，使点D 落在点F 处，若∠CEF=60°，则∠EAF 等于（ ）；∠AED 的大小为 （ ）
A. 60°
B. 50°
C. 40°
D. 30°
解析：根据折叠的性质，折叠的角等于原图形中的角，也就是∠DEA=∠FEA ；再根据平角的度数是180°和条件∠CEF=60°，先求出∠DEA ，然后根据三角形内角和是180°求出∠DAE ，最后求出∠EAF 。
解：∵∠CEF=60°，∴∠DEA=21
（180°-60°）=60°．
在Rt △ADE 中，∠DAE=90°-∠DEA=90°-60°=30°．
∵△EAF 由△EAD 翻折而成，
∴∠EAF=∠EAD=30°．
故选D ．
例2. 将矩形ABCD 沿折线EF 折叠后点B 恰好落在CD 边上的点H 处，且 ∠CHE=40°，求∠EFB 的度数．
解析：折叠的性质：折叠后得到的角等于原来的角，也就是∠EHF=∠B=90°，∠EFH=∠BFE. 因为∠CHE=40°，所以∠FHC=90°+40°=130°，再根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，求得∠HFB，最后求得∠EFB的度数。
解：根据折叠的性质：∠EHF=∠B=90°，∠EFH=∠BFE
∵∠CHE=40°，∴∠FHC=90°+40°=130°
∵CD∥BA, ∴∠EFH=180-∠FHC=50度
∴∠BFE=∠EFH=50÷2=25°。
．把一张长方形纸条按图6－10的方式折叠后，量得∠AOB'＝110°，则∠B'OC＝_______．
例3.将长方形ABCD沿着BD折叠，得到△BC/D,使C/D与AB交于点E，若∠1=35°，则∠2的度数为（）
A.20°
B.30°
C.35°
D.55°
解析：这道题目是沿矩形对角线折叠一角。
解题方法是根据矩形的性质：对边平行，四个角都是直角，和三角形内角和是180°。
可以先求出∠DBC=90°-35°
=55°，∠DBA=∠1=35°。
再由折叠性质得∠DBC/=∠DBC=55°，所以∠2=∠DBC/-∠DBA=20°
二．沿矩形内部的一条斜线段折叠，求一个角的度数问题。
常用的方法是：邻补角互补，折叠得到的角等于原来的角，平行线的性质。
例4.（2015安阳期末）把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（）
解析：根据平角的定义可以先求出∠1的邻补角=130度，再根据折叠的性质可以求出∠BFE=65度。
最后由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，既可以求出∠AEF=180-∠BFE=115度。
解：∵∠1=50°
∴2∠BFE=130度；∴∠BFE=65度
∵AD∥BC, ∴∠AEF=180-∠BFE=115度
例5.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠EFB=70°，求∠AED′的度数．
解析：根据折叠性质∠DEF=∠D′EF,根据两直线平行，内错角相等可以求得∠EFB=∠DEF=70°；所以∠DED′=140°，最后根据邻补角互补既可以求得∠AED′的度数。
解：∵AD∥BC, ∴∠DEF=∠EFB=70°
根据折叠性质∠DEF=∠D′EF=70°；∴∠DED′=140°；
∴∠AED′=180°-∠DED′=40°
例6.把一张长方形ABCD沿EF折叠后，ED交BC于点，点D、C分别落在D′、C′位置上，若∠EFG=55°，求∠AEG和∠BGE的
度数。
解：∵AD∥BC, ∴∠DEF=∠EFG=55°
由折叠可知∠DEF=∠FEG=55°
∴∠EDG=110°，
∴∠AEG=180°-∠EDG=70°
∵AD∥BC，∴∠BGE=180°-∠AEG=110°
三．折叠宽度相等纸条，已知一个角的度数，求另一个角的度数。
常用的方法：平行线的性质，邻补角的性质。
例7.将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1=______度．
解：根据两直线平行，同位角相等，和邻补角互补的性质，∠1=180°-2×64°=52°例8.将一张长方形纸条按下图所示的方法折叠，则∠1的度数为______．
解：根据两直线平行，内错角相等，和折叠的性质：2∠1=130°。
所以∠1=65°例8. 有一条直的等宽纸带，按如图折叠时，纸带重叠部分中的∠α为（）度．A. 75 B. 70 C. 60 D. 80
解析：根据根据两直线平行，同位角相等，
∠EBH=30°，再由邻补角互补，可以求出∠EBH的邻补角等于150度，然后根据折叠的性质可以求出
∠ABH=∠α的内错角=75°，所以∠α=75°。
例9.如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若∠1=60°，
则∠2= 度。
解析：根据平行线的性质，和已知条件∠1=60°可以求出∠1的内错角=60°，再根据折叠的性质，∠2的邻补角就是2∠1=120°
所以∠2=60°
例9
四．折叠平行四边形，求角度的问题
常用的方法有：除了根据折叠性质之外还要根据平行线的性质，和三角形内角和是180度来解决问题。
例10。
将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，
使点B落在点B/处，若∠1=∠2=44°，则∠B=
（）
A．66°B．104°C．114°D．124°
解析：∵DC∥AB
∴∠1=∠B/AB=44°，
根据折叠可知∠BAC=∠B/AC=∠B/AB的一半=22°
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=114°
五．除了折叠之外还有三角板与矩形纸片的放置问题，解决这类问题的方法也是运用平行线的性质和三角板特殊角的问题来解决。
例11.将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠3＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠2+∠4＝90°；（4）∠5-∠2＝90°，其中正确的个数是（? ）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：直角三角板三个角都是特殊的角，除了90°的角外还有30°，45°，60°的角。
比如这道例题中三角板的三个角分别是45°，45°，90°。
纸条的对边位置关系是平行关系，所以就有
∠2=∠1，∠3=∠4，∠5+∠4＝180°，∠2+∠4＝90°，再由邻补角互补，∠3+∠5＝180°，所以就能推出，（2）（3）正确。
对于第（4）需要进行推导一下。
因为∠5+∠4＝180°，∠2+∠4＝90°，所以∠5+∠4=90°+∠2+∠4，所以∠5-∠2＝90°也是正确的。
所以正确的结论是（2）（3）（4）选C
例12（2016安阳期末）如图a，ABCD是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是_________°
（2）若∠DEF=α，把图3中∠CFE用α表示．
解析：（1）图a，因为AD∥BC，∠DEF=26°，所以∠DEF=∠BFE=26°，图b ∠AEG=180°-26°×2=128°=∠EGF=∠GFD
图c ∠CFE=∠GFD-∠BFE=128°-26°=102°
（2）图a，因为AD∥BC，∠DEF=α，所以∠DEF=∠BFE=α，
图b ∠AEG=180°-α×2=180°-2α=∠EGF=∠GFD
图c ∠CFE=∠GFD-∠BFE=180°-2α-α=180°-3α。