三角函数的图像与性质》一课一练

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三角函数的图象和性质课时课后练习(教师)

1.3三角函数的图象和性质课时1 课后练习1.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x －π4的最小正周期为________．解析：T ＝π3.2.函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是________．解析：∵T ＝2πk 4＝8πk≤2，∴k ≥4π，∴k min ＝13.3.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为________．解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的周期函数，∴f (6)＝f (2)．由f (2)＝－f (0)＝0，得f (6)＝0.4.方程sin x ＝lg x 的解有________个．解析：如图所示，y ＝sin x 与y ＝lg x 的图象有3个交点，故方程有3个解．5.已知y ＝cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝1围成一个封闭的平面图形，则该图形的面积为________．解析：S ＝2×2π×12＝2π.6.将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大的顺序排列为______________________．解析：cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0，且cos 20°＞cos 40°，故cos 150°＜cos 760°＜sin 470°.7.若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________. 解析：∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.8.函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是________．解析：T ＝π4，∴πω＝π4，∴ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝0.9.已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的范围是________．解析：若ω使函数在(－π2，π2)上递减，则ω必小于0，且⎝⎛⎭⎫－π2，π2⊆⎝⎛⎭⎫π2ω，－π2ω，故－1≤ω<0.10.函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．解：f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]，如下图，则k 的取值范围是(1,3)．11.求函数的单调区间．(1) y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π4；(2)y ＝13tan 2x ＋1. 解：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π4＝－sin(2x －π4)．因为2x －π4是关于x 的增函数，所以只需要考虑y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4关于2x －π4的单调性即可．当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时，y ＝sin(2x －π4)为增函数，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π4为减函数，解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π4的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )；同理，令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，求得函数y ＝sin(－2x ＋π4)的单调增区间为 ⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )． (2)令－π2＋k π<2x <π2＋k π(k ∈Z )，∴－π4＋k π2<x <π4＋k π2(k ∈Z )，∴函数y ＝13tan 2x ＋1的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π4＋k π2，π4＋k π2(k ∈Z )．12.求下列函数的值域：(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6；(2)y ＝6－sin x －cos 2x . 解：(1)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]．即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3⎝⎛⎭⎫－π6≤π<π6的值域为[0,2]． (2)y ＝6－sin x －cos 2x ＝sin 2x －sin x ＋5＝⎝⎛⎭⎫sin x －122＋194∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈⎣⎡⎦⎤194，7.即函数y ＝6－sin x －cos 2x 的值域为⎣⎡⎦⎤194，7.13.当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，若使a －2tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的值总大于零，求a 的取值范围．解：∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，∴0≤2x －π3≤π3.又∵y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π3内单调递增， ∴0≤tan(2x －π3)≤3，∴0≤2tan(2x －π3)≤2 3. 由题意知a －2tan(2x －π3)>0恒成立，即a >2tan(2x －π3)，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3恒成立． ∴a >2 3.∴实数a 的取值范围是(23，＋∞)14.已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解：函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为直线x ＝－tan θ.∵y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.因此，θ角的取值范围是⎝⎛⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎭⎫π4，π2.。

三角函数图像与性质练习题及答案

三角函数图像与性质练习题及答案(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--三角函数的图像与性质练习题一选择题1.把函数=sin y x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向左平移4π个单位,这时对应于这个图像的解析式是（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =-C ．sin(2)4y x π=-D ．sin(2)4y x π=+2.函数cos(4)3y x π=+图象的两条相邻对称轴间的距离为（）A ．π8B ．π4C ．π2D ．π3.函数21cos ()xf x -=（）A ．在ππ(,)22-上递增B ．在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减C ．在ππ(,)22-上递减D ．在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增4.下列四个函数中,最小正周期为π,且图象关于直线12x π=对称的是（）A ．sin()23xy π=+B ．sin()23x y π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-5.函数231sin 232y x x =+的最小正周期等于（）A ．πB ．2πC ．4πD ．4π6.“φ=π”是“曲线y=sin(2x +φ)过坐标原点的”（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件xy O π2π 1-1 7.函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（）A ．2sin(2)4y x π=-B ．2sin(2)4y x π=+C ．32sin()8y x π=+D ．72sin()216x y π=+ 8.（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能．．是（）第6题图（）A ．41sin(2)55y x =+B ．31sin(2)25y x =+C ．441sin()555y x =-D ．441sin()555y x =+9.(2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )10.函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为 ( ) A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54]11.已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( ) A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3二填空题12.函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．定义一种运算,令,且,则函数的最大值是______15．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）把函数x y 2sin =的图象沿 x 轴向左平移6π个单位,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数)(x f y =图象,对于函数)(x f y =有以下四个判断: ①该函数的解析式为)6sin(2x 2y π+=; ②该函数图象关于点)0,3(π对称; ③该函数在]6,0[π上是增函数;④函数a x f y +=)(在]2,0[π上的最小值为3,则32=a .其中,正确判断的序号是________________________16.设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．三解答题17. 已知函数2()cos cos f x x x x a =++．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为32，求a 的值．18. 已知函数()()0,,sin 2162cos 62cos 2>∈-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωωπωπωR x x x x x f 的最小正周期为π. (I)求ω的值;(II)求函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,4ππ上的最大值和最小值.19. 已知函数,2cos 26sin 6sin )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 其中 R x ∈,0>ω.（1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f 的图象与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数)(x f 的单调增区间. 20. 已知函数()()21cos 22sin sin cos 3+-=x x x x x f .(I)求⎪⎭⎫⎝⎛3πf 的值; (II)求函数()x f 的最小正周期及单调递减区间. 21. 已知向量()()3cos ,0,0,sin a x b x ==,记函数()()23sin 2f x a b x =++.求:(I)函数()f x 的最小值及取得小值时x 的集合; (II)函数()f x 的单调递增区间.22. 函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><部分图象如图所示.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式,并写出其单调递增区间;(Ⅱ)设函数()()2cos 2g x f x x =+,求函数()g x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值. 答案1. A 【解析】把函数=sin y x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,得到=sin 2y x 的图象,再把图像向左平移4π个单位,得到=sin 2()sin(2)cos 242y x x x ππ+=+=,所以选A.4 C32π6πo2x2-y5. A【解析】11cos 2=sin 2222x y x +-1=sin 2cos 2sin(2)223x x x π+=+,所以函数的周期222T πππω===,选A. 6. A ϕπ=时,sin(2)sin 2y x x π=+=-,过原点,便是函数过原点的时候ϕ可以取其他值,故选A 答案.7. 【答案】B解：由图象可知52882T πππ=-=，所以函数的周期T π=，又2T ππω==，所以2ω=。

2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册一课一练：5.4三角函数的图像与性质d

新20版练B1数学人教A版5.4三角函数的图像与性质第五章三角函数5.4三角函数的图像与性质第1课时正弦函数、余弦函数的图像考点1画图问题1.(2019·银川一中月考)用“五点法”作y=2sin 2x的图像时,首先描出的五个点的横坐标是()。

A.0,π2,π,32π,2π B.0,π4,π2,34π,πC.0,π,2π,3π,4πD.0,π6,π3,π2,2π3答案：B解析：由五点作图法,令2x=0,π2,π,32π,2π,解得x=0,π4,π2,34π,π。

2.(2019·黄冈中学月考)函数y=-cos x(x>0)的图像中与y轴最近的最高点的坐标为()。

A.(π2,1) B.(π,1)C.(0,1)D.(2π,1)答案：B解析：用五点作图法作出函数y=-cos x(x>0)的一个周期内的图像如图所示,由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π,1)。

3.(2019·武汉二中周练)用“五点法”作函数y=cos(4x-π6)在一个周期内的图像时,第四个关键点的坐标是()。

A.(5π12,0)B.(-5π12,1)C.(5π12,1)D.(-5π12,0)答案：A解析：令4x-π6=3π2,得x=5π12,∴该点坐标为(5π12,0)。

4.(2019·云南大理高一上期末)用“五点法”作函数y=2+sin x ,x ∈[0,2π]的图像时的五个点分别是、、、、。

答案：(0,2) (π2,3) (π,2) (3π2,1) (2π,2)解析：可结合函数y=sin x 的图像的五个关键点寻找,即把y=sin x 的图像上五个关键点向上平移2个单位长度。

5.(2019·四川广安高一上期末)利用“五点法”作出函数y=sin (x -π2),x ∈[π2,5π2]的图像。

答案：解:列表如下:xπ2π3π2π5π2x -π2π2π 3π22π sin (x -π2) 0 1-1描点、连线,如图所示:考点2 识图问题6.(2019·山西孝义高一上期末)对于余弦函数y=cos x 的图像,有以下描述: ①可以将其在[0,2π]内的图像向左、向右无限延展; ②与y=sin x 的图像形状完全一样,只是位置不同; ③与x 轴有无数个交点; ④关于y 轴对称。

高三数学三角函数的图像与性质一课一练1

1.4 三角函数的图像与性质一、选择题1．若cos x =0；则角x 等于( ) A ．k π（k ∈Z ）B ．2π+k π（k ∈Z ） C ． 2π+2k π（k ∈Z ）D ．－2π+2k π（k ∈Z ）2．使cos x =mm-+11有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0B ．m ≤0C ．－1＜m ＜1D ．m ＜－1或m ＞13．函数y =3cos （52x －6π）的最小正周期是( ) A ．5π2B ．2π5 C ．2π D ．5π4．函数y =x xcos 2cos 2-+（x ∈R ）的最大值是( )A ．35B ．25 C ．3 D ．55．函数y =2sin 2x +2cos x －3的最大值是( ) A ．－1B ．21 C ．－21 D ．－56．函数y =tan a x的最小正周期是( ) A ．a πB ．|a |πC ．aπ D ．||a π7．函数y =tan （4π－x ）的定义域是( ) A ．{x |x ≠4π；x ∈R }B ．{x |x ≠－4π；x ∈R } C ．{x |x ≠k π+4π；k ∈Z ；x ∈R }D ．{x |x ≠k π+4π3；k ∈Z ；x ∈R }8．函数y =tan x （－4π≤x ≤4π且x ≠0）的值域是( ) A ．［－1；1］B ．［－1；0）∪（0；1］C ．（－∞；1］D ．［－1；+∞）9．下列函数中；同时满足①在（0；2π）上是增函数；②为奇函数；③以π为最小正周期的函数是( )A ．y =tan xB ．y =cos xC ．y =tan 2x D ．y =|sin x |10．函数y =2tan （3x －4π）的一个对称中心是( ) A ．（3π；0）B ．（6π；0） C ．（－4π；0） D ．（－2π；0）二、解答题11．比较下列各数大小：（1）tan2与tan9；（2）tan1与cot4．12．已知α、β∈（2π；π）；且tan α＜cot β；求证：α+β＜2π3．13．求函数y =tan 2x +tan x +1（x ∈R 且x ≠2π+k π；k ∈Z ）的值域．14．求函数y =－2tan （3x +3π）的定义域、值域；并指出它的周期、奇偶性和单调性．15求函数y =1cos 3cos 22-+-x x +lg （36－x 2）的定义域．参考答案一、选择题1．B 2． B 3．D 4． C 5． C 6．B 7． D 8．B 9．A 10． C 二、解答题11．分析：同名函数比较大小时；应化为同一单调区间上两个角的函数值后；应用函数的单调性解决；而对于不同名函数；则应先化为同名函数再按上面方法求解．解：（1）tan9=tan （－2π+9）；因为2π<2<－2π+9<π；而y =tan x 在（2π；π）内是增函数；所以tan2<tan （－2π+9）；即tan2<tan9．（2）cot4=tan （2π－4）=tan （2π3－4）； 0<2π3－4<1<2π；而y =tan x 在（0；2π）内是增函数；所以tan （2π3－4）<tan1；即cot4<tan1．点评：比较两个三角函数值的大小；应先将函数名称统一；再利用诱导公式将角转化到同一个单调区间内；通过函数的单调性处理．12．证明：∵tan α<cot β； ∴tan α<tan （2π3－β）．又∵2π<α<π；2π<2π3－β<π； ∴α与2π3－β落在同一单调区间． ∴α<2π3－β；即α+β<2π3． 13．解：设t =tan x ；由正切函数的值域可得t ∈R ；则y =t 2+t +1=（t +21）2+43≥43．∴原函数的值域是［43；+∞）．点评：由于正切函数的值域为R ；所以才能在R 上求二次函数的值域． 14．解：由3x +3π≠k π+2π；得x ≠18π3π+k （k ∈Z ）； ∴所求的函数定义域为{x |x ≠18π3π+k （k ∈Z ）}；值域为R ；周期为3π；它既不是奇函数；也不是偶函数． k π－2π≤3x +3π≤k π+2π（k ∈Z ）； ∴18π53π-k ≤x ≤18π3π+k （k ∈Z ）．在区间［18π53π-k ；18π3π+k ］（k ∈Z ）上是单调减函数． 15．解：欲求函数定义域；则由⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-+-，，03601cos 3cos 222x x x 即⎩⎨⎧<<-≤--，，660)1)(cos 1cos 2(x x x也即⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤，，661cos 21x x解得⎪⎩⎪⎨⎧<<-∈+≤≤+-.66)(π23ππ23πx k k x k ，Z 取k =－1、0、1；可分别得到 x ∈（－6；－3π5）或x ∈［－3π；3π］或x ∈［3π5；6）；即所求的定义域为（－6；－3π5）∪［－3π；3π］∪［3π5；6）。

《三角函数的图像与性质》一课一练

1.4 三角函数的图像与性质（2）一、选择题：1．满足tanα≥cotα的角的一个取值区间是（）A.(0, π4 )B. [0,π4 ]C. [π4 ,π2 ]D. [π4 ,π2]2．函数的定义域是（）A.{x|x≠π4 ,x ∈R}B. {x|x≠3π4,x ∈R} C. {x|x≠kπ +π4 ,x ∈R} D. {x|x≠kπ +3π4,x ∈R}3．下列函数中周期为的奇函数是（）A.y=cos(2x+3π2 )B.y=tan x 2C.y=sin(2x+π2 )D.y= - |cotx π2|4．若sinα>tanα>cotα(-π2 <x<π2)，则α的取值范围是（） A.(- π2 ,π4 ) B. (-π4 ,0) C.(0, π4 ) D.( π4 ,π2)二、填空题5．比较大小：tan222°_________tan223°.6．函数y=tan(2x+π4)的单调递增区间是__________． 7．函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在区间[0，2π]上交点的个数是________．8．函数 y=f(x) 的图象右移π4，横坐标缩小到原来的一半，得到y=tan2x 的图象，则y=f(x)解析式是_______________．9．函数y=lgtanx+1tanx-1的奇偶性是__________．10．函数的y=|tan(2x-π3)|周期是___________．三、解答题11．作函数y =cot x sin x 的图象.12．作出函数y =|tan x |的图象，并根据图象求其单调区间13．求函数y =)6πtan(1tan +-x x 的定义域.14．求下列函数的值域：（1）y =2cos 2x +2cos x －1；（2）y =1cos 21cos 2-+x x .15．求函数y =3tan （6π－4x ）的周期和单调区间.。

三角函数的图象和性质练习题及答案

1y三角函数图像与性质练习题(一)一．选择题〔每题５分，共100分〕1.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，平移后的图象如下图，那么平移后的图象所对应函数的解析式是( ) A.sin()6y x π=+B.sin()6y x π=-C.sin(2)3y x π=+D.sin(2)3y x π=- 2. 为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点( )A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍〔纵坐标不变〕B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍〔纵坐标不变〕C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕 D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕3. 函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，那么ω的最小值等于( )A.23B.32C.2D.3 4.函数y ＝sin(2x +3π)的图象可由函数y =sin2x 的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是( ) A.向左平移6πB.向右平移6πC.向左平移12π D.向右平移12π 5. 要得到函数y =sin (2x -)6π的图像，只需将函数y =cos 2x 的图像( )A.向右平移6π个单位 B.向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向左平移3π个单位 6. 为了得到函数y =sin (2x-4π)+1的图象，只需将函数y =sin 2x 的图象〔〕平移得到A.按向量a=(-8π,1)B. 按向量a=(8π,1)C.按向量a=(-4π,1)D. 按向量a=(4π,1) 7.假设函数()sin ()f x x ωϕ=+的图象如图，那么ωϕ和的取值是( )A.1ω=，3πϕ= B.1ω=，3πϕ=-C.12ω=，6πϕ= D.12ω=，6πϕ=- 8. 函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是( )9. 函数sin(2)cos(2)63y x x ππ=+++的最小正周期和最大值分别为( ) A.,1π B.,2π C.2,1π D. 2,2π 10. 函数()sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，那么该函数的图象( )A.关于点(,0)3π对称 B.关于直线4x π=对称 C.关于点(,0)4π对称 D.关于直线3x π=对称11.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的局部图象如图，那么( ) A.4,2πϕπω==B.6,3πϕπω==C.4,4πϕπω== D.45,4πϕπω==12. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象( ) yx11-2π- 3π- O6ππyx11- 2π- 3π- O 6ππ yx1 1-2π-3πO 6π-πy xπ2π- 6π-1O 1-3π Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．A.向右平移π6个单位 B.向右平移π3个单位 C.向左平移π3个单位 D.向左平移π6个单位 13. 设函数()x f ()φω+=x sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<>20,0πφω.假设将()x f 的图象沿x 轴向右平移61个单位长度，得到的图象经过坐标原点;假设将()x f 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的21倍〔纵坐标不变〕, 得到的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛1,61. 那么( ) A.6,πφπω== B.3,2πφπω== C.8,43πφπω== D. 适合条件的φω,不存在 14. 设函数)()0(1)6sin()(x f x x f '>-+=的导数ωπω的最大值为3,那么f (x )的图象的一条对称轴的方程是( ) A.9π=x B.6π=x C.3π=x D.2π=x三角函数图像与性质练习题答案三角函数的图象和性质练习题(二)一、选择题1.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，那么ϕ的值是〔〕A.0B.4πC.2πD.π2. 将函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，那么ϕ等于A ．12π-B ．3π-C ．3πD ．12π 3.假设,24παπ<<那么〔〕 (45<a<90)A .αααtan cos sin >>B .αααsin tan cos >>C .αααcos tan sin >>D .αααcos sin tan >>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B A B B C A A A 11 12 13 14 CAAA4.函数23cos()56y x π=-的最小正周期是〔〕A .52πB .25π C .π2 D .π5 5.在函数x y sin =、x y sin =、2sin(2)3y x π=+、2cos(2)3y x π=+中，最小正周期为π的函数的个数为〔〕. A .1个B .2个 C .3个 D .4个6.x x x f 32cos 32sin)(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为〔〕 A ．3π B ．π34 C ．π23 D ．π677. 函数)252sin(π+=x y 的一条对称轴方程〔〕A ．2π-=xB ．4π-=xC ．8π=xD ．=x π458. 使x y ωsin =〔ω＞0〕在区间[0，1]至少出现2次最大值，那么ω的最小值为〔〕 A ．π25B ．π45C ．πD ．π23二、填空题1.关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题： ①对任意α，()f x 都是非奇非偶函数； ②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α，()f x 都不是奇函数.其中一个假命题的序号是，因为当α=时，该命题的结论不成立.2.函数xxy cos 2cos 2-+=的最大值为________.3.假设函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,那么自然数k 的值为______. 4.满足23sin =x 的x 的集合为_________________________________. 5.假设)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，那么ϖ=________.三、解答题1.比拟大小〔1〕00150sin ,110sin ；〔2〕00200tan ,220tan 2. (1) 求函数1sin 1log 2-=xy 的定义域. 〔2〕设()sin(cos ),(0)f x x x π=≤≤，求()f x 的最大值与最小值. 3．)33sin(32)(πω+=x x f 〔ω＞0〕〔1〕假设f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值; ω= 1/3 ,θ= . 〔2〕f (x )在〔0，3π〕上是增函数，求ω最大值 "三角函数的图象和性质练习题二"参考答案一、选择题 1.C [解析]：当2πϕ=时，sin(2)cos 22y x x π=+=，而cos 2y x =是偶函数2.C [解析]：函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)12(4sin π+=x y 的图象，故3πϕ=3.D [解析]：tan 1,cos sin 1,ααα><<αααcos sin tan >>4.D [解析]：2525T ππ== 5.C [解析]：由x y sin =的图象知，它是非周期函数6.C [解析]： ∵x x x f 32cos 32sin)(+==)432sin(2π+x∴图象的对称轴为πππk x +=+2432，即)(2383Z k k x ∈+=ππ故相邻的两条对称轴间距离为π237.A [解析]：当2π-=x 时 )252sin(π+=x y 取得最小值－１，应选A8.A [解析]：要使x y ωsin =〔ω＞0〕在区间[0，1]至少出现2次最大值只需要最小正周期⋅45ωπ2≤1,故πω25≥ 二、填空题1、①0[解析]：此时()cos f x x =为偶函数2、3[解析]：2cos 4cos 2412cos 2cos 2cos x x y x x x++-===----3、2,3或[解析]：,12,,2,32T k k N k kkππππ=<<<<∈⇒=而或4、|2,2,33x x k k k Z ππππ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭或 5、34[解析]：[0,],0,0,3333x x x ππωππω∈≤≤≤≤< 三、解答题1.解：〔1〕0sin110sin 70,sin150sin 30,sin 70sin 30,sin110sin150==>∴>而〔2〕0tan 220tan 40,tan 200tan 20,tan 40tan 20,tan 220tan 200==>∴>而 2.解：〔1〕221111log 10,log 1,2,0sin sin sin sin 2x x x x -≥≥≥<≤ 22,6k x k πππ<≤+或522,6k x k k Z ππππ+≤<+∈5(2,2][2,2),()66k k k k k Z ππππππ++∈为所求.〔2〕0,1cos 1x x π≤≤-≤≤当时，而[11]-，是()sin f t t =的递增区间当cos 1x =-时，min ()sin(1)sin1f x =-=-；当cos 1x =时，max ()sin1f x =. 4.解：（1）因为f (x +θ)=)333sin(32πθω++x又f (x +θ)是周期为2π的偶函数，故∈+==k k 6,31ππθω Z（2）因为f (x )在〔0，3π〕上是增函数，故ω最大值为61三角函数的图象专项练习一．选择题1．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数y=cos2x 的图象 ( )A ．向右平移6π个单位长度B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度2．以下函数中振幅为2，周期为π，初相为6π的函数为 ()A ．y=2sin(2x+3π) B. y=2sin(2x+6π) C ．y=2sin(21x+3π) D. y=2sin(21x+6π) 3．三角方程2sin(2π-x)=1的解集为 ( ) A ．{x│x=2kπ+3π,k∈Z}B .{x│x=2kπ+35π,k∈Z}.C ．{x│x=2kπ±3π,k∈Z}D .{x│x=kπ+(-1)K ,k∈Z}.4．假设函数f(x)=sin(ωx+ϕ)的图象〔局部〕如下图，那么ω,ϕ的取值是 ( )A ．3,1πϕω==B.3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D.6,21πϕω-==5．函数y=tan(2x+φ)的图象过点(0,12π)，那么φ的值可以是 ( ) A. -6π B. 6π C.12π- D.12π6．设函数y=2sin(2x+Φ)的图象为C ，那么以下判断不正确的选项是〔〕A ．过点(,2)3π的C 唯一 B.过点(,0)6π-的C 不唯一C ．C 在长度为2π的闭区间上至多有2个最高点D ．C 在长度为π的闭区间上一定有一个最高点，一个最低点 7．方程)4cos(lg π-=x x 的解的个数为〔〕A ．0B ．无数个C ．不超过3D ．大于38．假设函数y=f(x)的图像上每点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原2倍，然后再将整个图像沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数1sin 2y x =的图像，那么y=f(x)是 ( )A ．1sin(2)122y x π=++B.1sin(2)122y x π=-+ C ．1sin(2)124y x π=-+ D.11sin()1224y x π=++9．()sin()2f x x π=+，()cos()2g x x π=-，那么f(x)的图像 ( )A ．与g(x)的图像一样 B.与g(x)的图像关于y 轴对称C ．向左平移2π个单位，得g(x)的图像 D.向右平移2π个单位，得g(x)的图像 10．函数f(x)=sin(2x+2π)图像中一条对称轴方程不可能为( )A.x=4πB. x=2πC. x=πD. x=23π11．函数y=2与y=2sinx ，x ∈3[,]22ππ-所围成的图形的面积为 ( ) A ．πB.2πC.3πD.4π12．设y=f(t)是某港口水的深度y 〔米〕关于时间t 〔时〕的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asina(ωt+ϕ)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A.]24,0[,6sin312∈+=t t y πB.]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC.]24,0[,12sin 312∈+=t t y πD.]24,0[),212sin(312t t y ππ++=二．填空题 13．函数y=5sin(3x −2π)的频率是______________。

(完整版)三角函数的图像与性质练习题

三角函数的图像与性质练习题正弦函数、余弦函数的图象A组1.下列函数图象相同的是()A.y=sin x与y=sin(x+π)B.y=cos x与y=sin(π2-x)C.y=sin x与y=sin(-x)D.y=-sin(2π+x)与y=sin x解析:由诱导公式易知y=sin(π2-x)=cos x,故选B.答案:B2.y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2交点的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:作出y=1+sin x在[0,2π]上的图象,可知只有一个交点.答案:B3.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是()解析:y=sin(-x)=-sin x,x∈[0,2π]的图象可看作是由y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于x轴对称得到的,故选B.答案:B4.已知cos x=-12,且x∈[0,2π],则角x等于()A.2π3或4π3B.π3或2π3C.π6或5π6D.5π6或11π6解析:如图:由图象可知,x=2π3或4π3.答案:A5.当x ∈[0,2π]时,满足sin (π2-x)≥-12的x 的取值范围是( ) A.[0,2π3] B.[4π3,2π] C.[0,2π3]∪[4π3,2π] D.[2π3,4π3]解析:由sin (π2-x)≥-12,得cos x ≥-12.画出y=cos x ,x ∈[0,2π],y=-12的图象,如图所示.∵cos 2π3=cos 4π3=-12,∴当x ∈[0,2π]时,由cos x ≥-12,可得x ∈[0,2π3]∪[4π3,2π]. 答案:C6.函数y=2sin x 与函数y=x 图象的交点有个.解析:在同一坐标系中作出函数y=2sin x 与y=x 的图象可见有3个交点.答案:37.利用余弦曲线,写出满足cos x>0,x ∈[0,2π]的x 的区间是 .解析:画出y=cos x ,x ∈[0,2π]上的图象如图所示. cos x>0的区间为[0,π2)∪(3π2,2π]答案:[0,π2)∪(3π2,2π]8.下列函数的图象:①y=sin x-1;②y=|sin x|;③y=-cos x ;④y=√cos 2x ;⑤y=√1-cos 2x .其中与函数y=sin x 图象形状完全相同的是 .(填序号)解析:y=sin x-1的图象是将y=sin x 的图象向下平移1个单位,没改变形状,y=-cos x 的图象是作了对称变换,没改变形状,与y=sin x 的图象形状相同,∴①③完全相同.而②y=|sin x|的图象,④y=√cos 2x =|cos x|的图象和⑤y=√1-cos 2x =|sin x|的图象与y=sin x 的图象形状不相同.答案:①③9.若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,求这个封闭图形的面积.解:观察图可知:图形S1与S2,S3与S4是两个对称图形,有S1=S2,S3=S4,因此函数y=2cos x的图象与直线y=2所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC的面积.因为|OA|=2,|OC|=2π,所以S矩形OABC=2×2π=4π.故所求封闭图形的面积为4π.10.作出函数y=-sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题.(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间:①y>0;②y<0.与函数y=-sin x,x∈[-π,π]的图象有几个交点?(2)直线y=12解:列表:描点作图:(1)根据图象可知,①当y>0时,x∈(-π,0);②当y<0时,x∈(0,π).,由图可知有两个交点.(2)在简图上作出直线y=12B组1.函数f(x)=√x-cos x在[0,+∞)内()A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点解析:数形结合法,令f(x)=√x-cos x=0,则√x=cos x.设函数y=√x和y=cos x,它们在[0,+∞)上的图象如图所示,显然两函数图象的交点有且只有一个,所以函数f(x)=√x-cos x在[0,+∞)内有且仅有一个零点.答案:B2.已知f(x)=sin(x+π2),g(x)=cos(x-π2),则f(x)的图象()A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称C.向左平移π2个单位,得g(x)的图象D.向右平移π2个单位,得g(x)的图象解析:∵f(x)=sin(x+π2)=cos x,g(x)=cos(x-π2)=sin x,∴f(x)的图象向右平移π2个单位,得g(x)的图象.由y=sin x和y=cos x的图象知,A,B,C都错,D正确.答案:D3.在(0,2π)内,使sin x>cos x成立的x的取值范围是()A.(π4,π2)∪(π,5π4) B.(π4,π)C.(π4,5π4) D.(π4,π)∪(5π4,3π2)解析:如图所示(阴影部分)时满足sin x>cos x.答案:C4.在[0,2π]内,不等式sin x<-√32的解集是.解析:画出y=sin x,x∈[0,2π]的草图如下:因为sinπ3=√32,所以sin (π+π3)=-√32,sin (2π-π3)=-√32.即在[0,2π]内,满足sin x=-√32的是x=4π3或x=5π3.可知不等式sin x<-√32的解集是(4π3,5π3).答案:(4π3,5π3)5.(2016·河南南阳一中期末)函数y=√sinx +√12-cosx 的定义域是 . 解析:由题意,得{sinx ≥0,12-cosx ≥0,∴{2kπ≤x ≤2kπ+π,k ∈Z ,2kπ+π3≤x ≤2kπ+5π3,k ∈Z ,∴2k π+π3≤x ≤2k π+π,k ∈Z .故函数y=√sinx +√12-cosx 的定义域为[π3+2kπ,π+2kπ],k ∈Z .答案:[π3+2kπ,π+2kπ],k ∈Z6利用正弦曲线,写出函数y=2sin x (π6≤x ≤2π3)的值域是 .解析:y=2sin x 的部分图象如图.当x=π2时,y max =2, 当x=π6时,y min =1,故y ∈[1,2]. 答案:[1,2]7.画出正弦函数y=sin x (x ∈R )的简图,并根据图象写出: (1)y ≥12时x 的集合;(2)-12≤y ≤√32时x 的集合.解:(1)画出y=sin x 的图象,如图,直线y=12在[0,2π]上与正弦曲线交于(π6,12),(5π6,12)两点,在[0,2π]区间内,y ≥12时x 的集合为{x |π6≤x ≤5π6}.当x ∈R 时,若y ≥12,则x 的集合为{x |π6+2kπ≤x ≤5π6+2kπ,k ∈Z}.(2)过(0,-12),(0,√32)两点分别作x 轴的平行线,从图象可看出它们分别与正弦曲线交于点(7π6+2kπ,-12)(k ∈Z ),(11π6+2kπ,-12)(k ∈Z )和点(π3+2kπ,√32)(k ∈Z ),(2π3+2kπ,√32)(k ∈Z ),那么曲线上夹在对应两点之间的点的横坐标的集合即为所求,故当-12≤y ≤√32时x 的集合为{x |-π6+2kπ≤x ≤π3+2kπ,k ∈Z}∪{x |2π3+2kπ≤x ≤7π6+2kπ,k ∈Z}.8.作出函数y=2+sin x ,x ∈[0,2π]的简图,并回答下列问题: (1)观察函数图象,写出y 的取值范围; (2)若函数图象与y=1-a 2在x ∈[0,π]上有两个交点,求a 的取值范围.解:列表:描点、连线,如图.(1)由图知,y ∈[1,3]. (2)由图知,当2≤1-a 2<3时,函数图象与y=1-a 2在[0,π]上有两个交点,即-5<a ≤-3.故a 的取值范围是(-5,-3].正弦函数、余弦函数的性质(一)A 组1.函数f (x )=-2sin (πx +π3)的最小正周期为( )A.6B.2πC.πD.2解析:T=2ππ=2. 答案:D2.下列函数中,周期为π2的是( )A.y=sin x2 B.y=sin 2x C.y=cos x4D.y=cos(-4x )解析:对D,y=cos(-4x )=cos 4x ,∴T=2π4=π2,故选D .答案:D3.(2016·四川遂宁射洪中学月考)设函数f (x )=sin (2x -π2),x ∈R ,则f (x )是( ) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数解析:因为f (x )=sin (2x -π2)=-cos 2x ,所以f (-x )=-cos 2(-x )=-cos 2x=f (x ),所以f (x )是最小正周期为π的偶函数. 答案:B4.已知函数f (x )=sin (4x +π3),g (x )=sin (3x +π6)的最小正周期分别为T 1,T 2,则sin(T 1+T 2)=( ) A.-√32B.-12C.12D.√32解析:由已知T 1=2π4=π2,T 2=2π3,∴sin(T 1+T 2)=sin (π2+2π3)=sin (π+π6)=-sin π6=-12. 答案:B5.(2016·浙江金华一中月考)设f (x )是定义域为R 且最小正周期为2π的函数,且有f (x )={sinx ,0≤x ≤π,cosx ,-π<x <0,则f (-13π4)=( )A.√22 B.-√22 C.0D.1解析:因为f (x )是定义域为R 且最小正周期为2π的函数,所以f (-13π4)=f (-4π+3π4)=f (3π4). 又因为0≤3π4≤π,所以f (-13π4)=f (3π4)=sin 3π4=√22. 答案:A6.函数y=4sin(2x+π)的图象关于对称.解析:y=4sin(2x+π)=-4sin 2x ,易证函数为奇函数,所以其图象关于原点对称. 答案:原点7.函数y=sin (ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为23π,则ω= .解析:∵y=sin (ωx +π4)的最小正周期为T=2πω,∴2πω=2π3,∴ω=3.答案:38.若f (x )(x ∈R )为奇函数,且f (x+2)=f (x ),则f (4)= . 解析:∵f (x+2)=f (x ),∴f (x )的周期为T=2.∴f (4)=f (0).又f (x )(x ∈R )为奇函数,∴f (0)=0.∴f (4)=0.答案:09.判断函数f (x )=cos(2π-x )-x 3sin 12x 的奇偶性.解:因为f (x )=cos(2π-x )-x 3sin 12x=cos x-x 3sin 12x 的定义域为R ,f (-x )=cos(-x )-(-x )3sin 12(-x )=cos x-x 3sin 12x=f (x ),所以f (x )为偶函数.10.若函数f (x )是以π2为周期的偶函数,且f (π3)=1,求f (-17π6)的值.解:∵f (x )的周期为π2,且为偶函数,∴f (-17π6)=f (-3π+π6)=f (-6×π2+π6)=f (π6).而f (π6)=f (π2-π3)=f (-π3)=f (π3)=1,∴f (-17π6)=1.B 组1.下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是( )解析:显然D 中函数图象不是经过相同单位长度图象重复出现.而A,C 中每经过一个单位长度,图象重复出现.B 中图象每经过2个单位,图象重复出现.所以A,B,C 中函数是周期函数,D 中函数不是周期函数. 答案:D2.函数y=cos (k 4x +π3)(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k 的最小值应是( ) A.10 B.11C.12D.13解析:∵T=2πk 4=8πk≤2,∴k ≥4π.又k ∈Z ,∴正整数k 的最小值为13.答案:D3.将函数y=sin x 的图象向左平移π2个单位,得到函数y=f (x )的图象,则下列说法正确的是( ) A.y=f (x )是奇函数 B.y=f (x )的周期为πC.y=f (x )的图象关于直线x=π2对称D.y=f (x )的图象关于点(-π2,0)对称解析:y=sin x 的图象向左平移π2个单位,得y=f (x )=sin (x +π2)=cos x 的图象,所以f (x )是偶函数,A 不正确;f (x )的周期为2π,B 不正确;f (x )的图象关于直线x=k π(k ∈Z )对称,C 不正确;f (x )的图象关于点(kπ+π2,0)(k ∈Z )对称,当k=-1时,点为(-π2,0),故D 正确.综上可知选D . 答案:D4.若函数f (x )是以π为周期的奇函数,且当x ∈[-π2,0)时,f (x )=cos x ,则f (-5π3)=( )A.12B.√32C.-12D.-√32解析:∵f (x )的最小正周期是π,∴f (-5π3)=f (-2π3)=f (π3).又f (x )是奇函数,∴f (π3)=-f (-π3)=-cos (-π3)=-12. 答案:C5.定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )=f (x+2),当x ∈[3,4]时,f (x )=x-2,则有下面三个式子:①f (sin 12)<f (cos 12);②f (sin π3)<f (cos π3);③f (sin 1)<f (cos 1).其中一定成立的是 .(填序号)解析:当0≤x ≤1时,3≤-x+4≤4,f (-x+4)=-x+4-2=-x+2,∴f [-(x-4)]=f (x-4)=f (x )=-x+2, ∴f (x )在[0,1]上是减函数.∵1>sin π3>cos π3>0,1>sin 1>cos 1>0,1>cos 12>sin 12>0,∴f (sin π3)<f (cos π3),f (sin 1)<f (cos1),f (sin 12)>f (cos 12).答案:②③6.已知函数y=12sin x+12|sin x|.(1)画出这个函数的简图;(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期. 解:(1)y=12sin x+12|sin x|={sinx ,x ∈[2kπ,2kπ+π](k ∈Z ),0,x ∈[2kπ-π,2kπ)(k ∈Z ).函数图象如图所示.(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2π重复一次,故函数的最小正周期是2π.7.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数,若f (x )的最小正周期是π,且当x ∈[0,π2]时,f (x )=sin x.(1)求当x ∈[-π,0]时,f (x )的解析式; (2)画出函数f (x )在[-π,π]上的简图; (3)求当f (x )≥12时x 的取值范围.解:(1)∵f (x )是偶函数,∴f (-x )=f (x ).∵当x ∈[0,π2]时,f (x )=sin x ,∴当x ∈[-π2,0]时,f (x )=f (-x )=sin(-x )=-sin x. 又当x ∈[-π,-π2]时,x+π∈[0,π2],f (x )的周期为π,∴f (x )=f (π+x )=sin(π+x )=-sin x.∴当x ∈[-π,0]时,f (x )=-sin x.(2)如图.(3)∵在[0,π]内,当f (x )=12时,x=π6或5π6,∴在[0,π]内,f (x )≥12时,x ∈[π6,5π6].又f (x )的周期为π,∴当f (x )≥12时,x ∈[kπ+π6,kπ+5π6],k ∈Z .正弦函数、余弦函数的性质(二)A 组1.函数y=|sin x|的一个单调增区间是( )A.(-π4,π4)B.(π4,3π4)C.(π,3π2) D.(3π2,2π)解析:画出y=|sin x|的图象即可求解.故选C . 答案:C2.(2016·福建三明一中月考)y=cos (x 2-π6)(-π≤x ≤π)的值域为( )A.[-12,12]B.[-1,1]C.[-12,1]D.[-12,√32] 解析:因为-π≤x ≤π,所以-2π3≤x2−π6≤π3.所以-12≤cos (x 2-π6)≤1,y=cos (x 2-π6)(-π≤x ≤π)的值域为[-12,1]. 答案:C3.函数f (x )=3sin (x +π6)在下列区间内递减的是( ) A.[-π2,π2] B.[-π,0]C.[-2π3,2π3] D.[π2,2π3]解析:令2k π+π2≤x+π6≤2k π+3π2,k ∈Z 可得2k π+π3≤x ≤2k π+4π3,k ∈Z ,∴函数f (x )的递减区间为[2kπ+π3,2kπ+4π3],k ∈Z .从而可判断[π2,2π3]⊆[π3,4π3],∴在x ∈[π2,2π3]时,f (x )单调递减.答案:D4.函数f (x )=2sin (ωx -π6)(ω>0)的最小正周期为4π,当f (x )取得最小值时,x 的取值集合为( ) A.{x |x =4kπ-2π3,k ∈Z} B.{x |x =4kπ+2π3,k ∈Z}C.{x |x =4kπ-π3,k ∈Z} D.{x |x =4kπ+π3,k ∈Z}解析:∵T=2πω=4π,∴ω=12.∴f (x )=2sin (12x -π6).由12x-π6=2k π-π2(k ∈Z ),得x=4k π-2π3(k ∈Z ).答案:A5.已知函数f (x )=sin (x -π2),x ∈R ,下列结论错误的是 ( )A.函数f (x )的最小正周期为2πB.函数f (x )在区间[0,π2]上是增函数C.函数f (x )的图象关于y 轴对称D.函数f (x )是奇函数解析:f (x )=sin [-(π2-x)]=-sin (π2-x)=-cos x ,∴周期T=2π,∴选项A 正确;f (x )在[0,π2]上是增函数,∴选项B 正确; 定义域是R ,f (-x )=-cos(-x )=-cos x=f (x ),∴f (x )是偶函数,其图象关于y 轴对称, ∴选项C 正确,选项D 错误.答案:D6.函数y=sin |x|+sin x 的值域是 . 解析:∵y=sin |x|+sin x={2sinx ,x ≥0,0,x <0,∴-2≤y ≤2.答案:[-2,2]7.函数y=cos x 在区间[-π,a ]上为增函数,则a 的取值范围是 . 解析:∵y=cos x 在[-π,0]上为增函数,又在[-π,a ]上递增,∴[-π,a ]⊆[-π,0].∴a ≤0.又∵a>-π,∴-π<a ≤0.答案:(-π,0]8.若函数f (x )=sin ωx (0<ω<2)在区间[0,π3]上单调递增,在区间[π3,π2]上单调递减,则ω= . 解析:由题意知函数f (x )在x=π3处取得最大值,∴ωπ3=2k π+π2,ω=6k+32,k ∈Z .又0<ω<2,∴ω=32.答案:329.已知函数f (x )=sin (2ωx +π4)(x ∈R ,ω>0)的最小正周期为π.(1)求f (x )在[0,π2]上的值域,并求出取最小值时的x 值;(2)求f (x )的单调递增区间.解:由已知得2π2ω=π,ω=1,∴f (x )=sin (2x +π4).(1)当x ∈[0,π2]时,π4≤2x+π4≤5π4.∴-√22≤sin (2x +π4)≤1.∴f (x )值域为[-√22,1]. 当2x+π4=5π4时,f (x )取最小值-√22,∴x=π2时,f (x )取最小值.(2)令2k π-π2≤2x+π4≤2k π+π2(k ∈Z ), 得k π-3π8≤x ≤k π+π8(k ∈Z ).∴f (x )的递增区间为[kπ-3π8,kπ+π8](k ∈Z ).10.已知函数f (x )=2a sin (2x +π6)+a+b 的定义域是[0,π2],值域是[-5,1],求a ,b 的值. 解:∵0≤x ≤π2,∴π6≤2x+π6≤7π6.∴-12≤sin (2x +π6)≤1. ∴a>0时,{b =-5,3a +b =1,解得{a =2,b =-5.a<0时,{b =1,3a +b =-5,解得{a =-2,b =1.因此a=2,b=-5或a=-2,b=1.B 组1.若0<α<β<π4,a=√2sin (α+π4),b=√2sin (β+π4),则 ( )A.a<bB.a>bC.ab<1D.ab>√2解析:∵0<α<β<π4,∴π4<α+π4<β+π4<π2.而正弦函数y=sin x 在x ∈[0,π2]上是增函数,∴sin (α+π4)<sin (β+π4).∴√2sin (α+π4)<√2sin (β+π4),即a<b.答案:A2.若a 为常数,且a>1,0≤x ≤2π,则函数y=sin 2x+2a sin x 的最大值为( ) A.2a+1 B.2a-1 C.-2a-1D.a 2解析:令sin x=t ,则-1≤t ≤1,原函数变形为y=t 2+2at=(t+a )2-a 2.∵a>1,∴当t=1时,y max =12+2a×1=2a+1,故选A .答案:A3.函数y=cos (π4-2x)的单调递增区间是( ) A.[kπ+π8,kπ+5π8],k ∈ZB.[kπ-3π8,kπ+π8],k ∈ZC.[2kπ+π8,2kπ+5π8],k ∈ZD.[2kπ-3π8,2kπ+π8],k ∈Z解析:函数y=cos (π4-2x)=cos (2x -π4),令2k π-π≤2x-π4≤2k π,k ∈Z , 得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z , 故单调递增区间为[kπ-3π8,kπ+π8],k ∈Z .答案:B4.函数y=2sin (π3-x)-cos (π6+x)(x ∈R )的最小值为 . 解析:∵(π3-x)+(π6+x)=π2,∴y=2sin [π2-(π6+x)]-cos (x +π6)=2cos (x +π6)-cos (x +π6)=cos (x +π6).∴y min =-1.答案:-15.若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在区间[-π3,π6]上单调递增,则当ω取最大值时,函数f (x )=sin ωx 的周期是 .解析:令2k π-π2≤ωx ≤2k π+π2可得2kπω−π2ω≤x ≤2kπω+π2ω,∴k=0时,f (x )在[-π2ω,π2ω]上递增.又∵f (x )在[-π3,π6]上递增,∴{-π2ω≤-π3,π2ω≥π6,ω>0,解得0<ω≤32.∴ω的最大值为32.∴周期T=2πω=4π3.答案:4π36.对于函数f (x )={sinx ,sinx ≤cosx ,cosx ,sinx >cosx ,给出下列四个命题:①该函数是以π为最小正周期的周期函数; ②当且仅当x=π+k π(k ∈Z )时,该函数取得最小值-1; ③该函数的图象关于直线x=5π4+2k π(k ∈Z )对称; ④当且仅当2k π<x<π2+2k π(k ∈Z )时,0<f (x )≤√22.其中正确命题的序号是 . 解析:画出f (x )在一个周期[0,2π]上的图象.由图象知,函数f (x )的最小正周期为2π,在x=π+2k π(k ∈Z )和x=3π2+2k π(k ∈Z )时,该函数都取得最小值,为-1,故①②错误.由图象知,函数图象关于直线x=5π4+2k π(k ∈Z )对称,在2k π<x<π2+2k π(k ∈Z )时,0<f (x )≤√22,故③④正确.答案:③④7.已知函数y=sin (π3-2x). (1)求函数的周期;(2)求函数在[-π,0]上的单调递减区间. 解:y=sin (π3-2x)可化为y=-sin (2x -π3).(1)周期T=2πω=2π2=π.(2)令2k π-π2≤2x-π3≤2k π+π2,k ∈Z , 得k π-π12≤x ≤k π+5π12,k ∈Z ,所以x ∈R 时,y=sin (π3-2x)的单调递减区间为[kπ-π12,kπ+5π12],k ∈Z . 从而x ∈[-π,0]时,y=sin (π3-2x)的单调递减区间为[-π,-7π12],[-π12,0].8.已知函数f (x )=sin(ωx+φ)(其中ω>0,|φ|<π2),若函数y=f (x )的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为π2,且直线x=π6是函数y=f (x )图象的一条对称轴.(1)求ω的值;(2)求y=f (x )的单调递增区间; (3)若x ∈[-π6,π3],求y=f (x )的值域.解:(1)因为函数y=f (x )的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为π2,所以函数的周期T=π,所以ω=2ππ=2.(2)因为直线x=π6是函数y=f (x )图象的一条对称轴,所以2×π6+φ=k π+π2,k ∈Z ,φ=k π+π6,k ∈Z . 又|φ|<π2,所以φ=π6.所以函数的解析式是y=sin (2x +π6). 令2x+π6∈[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z ,解得x ∈[kπ-π3,kπ+π6],k ∈Z .所以函数的单调递增区间为[kπ-π3,kπ+π6],k ∈Z . (3)因为x ∈[-π6,π3],所以2x+π6∈[-π6,5π6].所以sin (2x +π6)∈[-12,1], 即函数的值域为[-12,1].正切函数的性质与图象A 组1.当x ∈(-π2,π2)时,函数y=tan |x|的图象( )A.关于原点对称B.关于y 轴对称C.关于x 轴对称D.没有对称轴解析:∵x ∈(-π2,π2),f (-x )=tan |-x|=tan |x|=f (x ),∴f (x )为偶函数,即y=tan |x|的图象关于y 轴对称. 答案:B2.(2016·河北衡水二中月考)函数f (x )=tan (π4-x)的单调递减区间为( )A.(kπ-3π4,kπ+π4),k ∈ZB.(kπ-π4,kπ+3π4),k ∈ZC.(kπ-π2,kπ+π2),k ∈ZD.(k π,(k+1)π),k ∈Z解析:因为f (x )=tan (π4-x)=-tan (x -π4),所以原函数的单调递减区间就是函数y=tan (x -π4)的单调递增区间.故k π-π2≤x-π4≤k π+π2,k ∈Z ,k π-π4≤x ≤k π+3π4,k ∈Z .所以原函数的单调递减区间是(kπ-π4,kπ+3π4),k∈Z . 答案:B3.函数f (x )=tan ax (a>0)的图象的相邻两支截直线y=π3所得线段长为2,则a 的值为( ) A.π2 B.12C.πD.1解析:由已知得f (x )的周期为2,∴πa =2.∴a=π2.答案:A4.函数f (x )=tanx2-cosx 的奇偶性是( ) A.是奇函数 B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数解析:f (x )的定义域为{x |x ≠kπ+π2,k ∈Z},∴f (-x )=tan (-x )2-cos (-x )=-tanx2-cosx =-f (x ). ∴f (x )是奇函数.答案:A5.下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x ;③y=tan(-x );④y=tan |x|在x ∈(-3π2,3π2)内的大致图象,那么由a到d 对应的函数关系式应是( )A.①②③④B.①③④②C.③②④①D.①②④③解析:y=tan(-x )=-tan x 在(-π2,π2)上是减函数,只有图象d 符合,即d 对应③. 答案:D6.已知函数y=3tan (ωx +π6)的最小正周期是π2,则ω= .解析:由题意知,T=π|ω|=π2,∴ω=±2. 答案:±27.函数y=3tan (x +π3)的对称中心的坐标是 .解析:由x+π3=kπ2,k ∈Z ,得x=kπ2−π3,k ∈Z ,即对称中心坐标是(kπ2-π3,0)(k ∈Z ). 答案:(kπ2-π3,0)(k ∈Z )8.满足tan (x +π3)≥-√3的x 的集合是 .解析:把x+π3看作一个整体,利用正切函数的图象可得k π-π3≤x+π3<k π+π2,k ∈Z ,解得k π-2π3≤x<k π+π6,k ∈Z .故满足tan (x +π3)≥-√3的x 的集合是{x |kπ-2π3≤x <kπ+π6,k ∈Z}.答案:{x |kπ-2π3≤x <kπ+π6,k ∈Z}9.求函数y=tan (4x -π4)的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性. 解:由4x-π4≠k π+π2,得x ≠kπ4+3π16,∴所求定义域为{x |x ≠kπ4+3π16,k ∈Z},值域为R ,周期T=π4.又f (3π16)没有意义,f (-3π16)=tan [4×(-3π16)-π4]=0, ∴f (x )是非奇非偶函数.令-π2+k π<4x-π4<π2+k π,k ∈Z , 解得kπ4−π16<x<kπ4+3π16,k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间是(kπ4-π16,kπ4+3π16)(k ∈Z ),不存在单调递减区间.10.已知函数f (x )=2tan (ωx +π4)(ω>0),y=f (x )的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于2π,求f (x )的单调递增区间.解:由题意知,函数f (x )的周期为2π,则π|ω|=2π,由于ω>0,故ω=12. 所以f (x )=2tan (12x +π4). 再由k π-π2<12x+π4<k π+π2,k ∈Z ,得2k π-3π2<x<2k π+π2,k ∈Z ,即函数f (x )的单调递增区间为(2kπ-3π2,2kπ+π2),k ∈Z .11.求函数y=-tan 2x+4tan x+1,x ∈[-π4,π4]的值域. 解:∵-π4≤x ≤π4,∴-1≤tan x ≤1.令tan x=t ,则t ∈[-1,1].∴y=-t 2+4t+1=-(t-2)2+5. ∴当t=-1,即x=-π4时,y min =-4,当t=1,即x=π4时,y max =4.故所求函数的值域为[-4,4].B 组1.函数y=tan2x tanx的定义域为( )A.{x ∈R |x ≠kπ4,k ∈Z}B.{x ∈R |x ≠kπ+π2,k ∈Z} C.{x ∈R |x ≠kπ+π4,k ∈Z} D.{x ∈R |x ≠kπ-π4,k ∈Z} 解析:由题意知{tan2x 有意义,tanx 有意义,且tanx ≠0,即{2x ≠k 'π+π2(k '∈Z ),x ≠kπ+π2,且x ≠kπ(k ∈Z ),得{x ≠k 'π2+π4(k '∈Z ),x ≠kπ+π2,且x ≠kπ(k ∈Z ),故x ≠kπ4(k ∈Z ). 答案:A2.函数f (x )=tan (ωx -π4)与函数g (x )=sin (π4-2x)的最小正周期相同,则ω=( )A.±1B.1C.±2D.2解析:∵函数g (x )的周期为2π2=π,∴π|ω|=π,∴ω=±1.答案:A3.设a=lo g 12tan 70°,b=lo g 12sin 25°,c=(12)cos25°,则有( )A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b解析:∵tan 70°>tan 45°=1,∴a=lo g 12tan 70°<0.又∵0<sin 25°<sin 30°=12,∴b=lo g 12sin 25°>lo g 1212=1.而c=(12)cos25°∈(0,1),∴b>c>a.答案:D4.已知函数y=tan ωx 在(-π2,π2)内是减函数,则ω的取值范围为 . 解析:由题意可知ω<0,又(π2ω,-π2ω)⊆(-π2,π2).故-1≤ω<0. 答案:-1≤ω<05.已知y=2tan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则ω= ,φ= .解析:由题图可知,当x=π4时,y=2,即2tan (π4ω+φ)=2,tan (π4ω+φ)=1,即π4ω+φ=k π+π4(k ∈Z ).① 又直线x=3π8为它的一条渐近线,∴3π8ω+φ=k π+π2(k ∈Z ),②而ω>0,|φ|<π2,由①②可得{ω=2,φ=-π4.答案:2 -π46.方程(12)x-tan x=0在x ∈(-π2,π2)∪(π2,3π2)内的根的个数为 .解析:分别画出y=(12)x与y=tan x 在x ∈(-π2,π2)∪(π2,3π2)内的图象,如图.易知y=(12)x与y=tan x 在相应区间内有2个交点,原方程有2个根. 答案:27.函数f (x )=tan(3x+φ)图象的一个对称中心是(π4,0),其中0<φ<π2,试求函数f (x )的单调区间. 解:由于函数y=tan x 的对称中心为(kπ2,0),其中k ∈Z ,则3π4+φ=kπ2,即φ=kπ2−3π4.由于0<φ<π2,所以当k=2时,φ=π4. 故函数解析式为f (x )=tan (3x +π4).由于正切函数y=tan x 在区间(kπ-π2,kπ+π2)(k ∈Z )上为增函数,则令k π-π2<3x+π4<k π+π2, 解得kπ3−π4<x<kπ3+π12,k ∈Z , 故函数的单调增区间为(kπ3-π4,kπ3+π12),k ∈Z .没有单调减区间. 8.设函数f (x )=tan (x 2-π3).(1)求函数f (x )的定义域、周期和单调区间; (2)求不等式-1≤f (x )≤√3的解集; (3)作出函数y=f (x )在一个周期内的简图. 解:(1)由x2−π3≠π2+k π(k ∈Z ),得x ≠5π3+2k π,∴f (x )的定义域是{x ∈R |x ≠5π3+2kπ,k ∈Z}.∵ω=12,∴周期T=πω=2π.由-π2+k π<x 2−π3<π2+k π(k ∈Z ), 得-π3+2k π<x<5π3+2k π(k ∈Z ).∴函数f (x )的单调递增区间是(-π3+2kπ,5π3+2kπ)(k ∈Z ).(2)由-1≤tan (x 2-π3)≤√3, 得-π4+k π≤x2−π3≤π3+k π(k ∈Z ), 解得π6+2k π≤x ≤4π3+2k π(k ∈Z ).∴不等式-1≤f (x )≤√3的解集是{x |π6+2kπ≤x ≤4π3+2kπ,k ∈Z}.(3)令x2−π3=0,则x=2π3. 令x2−π3=π2,则x=5π3. 令x2−π3=-π2,则x=-π3.∴函数y=tan (x 2-π3)的图象与x 轴的一个交点坐标是(2π3,0),在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-π3,x=5π3.从而得函数y=f (x )在区间(-π3,5π3)内的简图(如图所示).函数y=A sin(ωx+φ)的图象A 组1.把函数y=cos x 的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的12倍,然后将图象沿x 轴负方向平移π4个单位长度,得到的图象对应的解析式为( )A.y=sin 2xB.y=-sin 2xC.y=cos (2x +π4)D.y=cos (12x +π4)解析:y=cos x 的图象上每一点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得到y=cos 2x 的图象;再把y=cos 2x 的图象沿x 轴负方向平移π4个单位长度,就得到y=cos 2(x +π4)=cos (2x +π2)的图象.即y=-sin 2x 的图象. 答案:B2.某同学用“五点法”画函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,列表如下:则有( ) A.A=0,ω=π12,φ=0B.A=2,ω=3,φ=π12 C.A=2,ω=3,φ=-π4D.A=1,ω=2,φ=-π12解析:由表格得A=2,3π4−π12=2πω,∴ω=3.∴ωx+φ=3x+φ.当x=π12时,3x+φ=π4+φ=0,∴φ=-π4.答案:C3.将函数f (x )=sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度,所得图象经过点(3π4,0),则ω的最小值是( ) A.13B.1C.53D.2解析:把f (x )=sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得y=sin [ω(x -π4)]的图象.又所得图象过点(3π4,0),∴sin [ω(3π4-π4)]=0. ∴sinωπ2=0,∴ωπ2=k π(k ∈Z ).∴ω=2k (k ∈Z ).∵ω>0,∴ω的最小值为2.答案:D4.把函数y=sin (2x -π4)的图象向左平移π8个单位,再把所得的函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变,得到函数g (x )的图象,则函数g (x )为( ) A.最大值为12的偶函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π,且最大值为2的函数D.最大值为2的奇函数解析:y=sin (2x -π4)y=sin [2(x +π8)-π4]=sin 2xy=2sin 2x ,即g (x )=2sin 2x ,故g (x )的最大值为2,周期T=π,g (x )为奇函数,故选D.答案:D5.(2016·四川成都石室中学期中)为了得到函数y=3cos 2x 的图象,只需把函数y=3sin (2x +π6)的图象上所有的点( ) A.向右平移π3个单位长度 B.向右平移π6个单位长度C.向左平移π3个单位长度 D.向左平移π6个单位长度解析:函数y=3cos 2x=3sin (2x +π2)=3sin [2(x +π6)+π6],把函数y=3sin (2x +π6)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度,可得函数y=3cos 2x 的图象. 答案:D6.把y=sin x 的图象上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的13倍,得到的图象. 解析:将y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍得y=sin 3x 的图象,纵坐标再缩短为原来的13倍得到y=13sin 3x 的图象. 答案:y=13sin 3x7.已知函数f (x )=sin (ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π,为了得到g (x )=sin (12x +π4)的图象,只需将y=f (x )的图象上 .解析:∵f (x )的最小正周期为π,∴2πω=π.∴ω=2.∴f (x )=sin (2x +π4).又g (x )=sin (12x +π4)=sin [2×(14x)+π4],∴只需将y=f (x )的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到g (x )=sin (12x +π4)的图象.答案:所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变8.设函数f (x )=cos ωx (ω>0),将y=f (x )的图象向右平移π3个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于 .解析:将f (x )的图象向右平移π3个单位长度得g (x )=f (x -π3)=cos [ω(x -π3)]=cos (ωx -π3ω)的图象,则-π3ω=2k π(k ∈Z ),∴ω=-6k (k ∈Z ).又ω>0,∴k<0(k ∈Z ),∴当k=-1时,ω有最小值6. 答案:69.将函数y=f (x )的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移π2个单位所得的曲线是y=12sin x 的图象,试求y=f (x )的解析式.解:将y=12sin x 的图象向右平移π2个单位得y=12sin (x -π2)的图象,化简得y=-12cos x.再将y=-12cos x 的图象上的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)得y=-12cos 2x 的图象,所以f (x )=-12cos 2x. 10.(2016·湖北武汉十一中期末)已知函数f (x )=3sin (2x +π6),x ∈R . (1)用五点法作出y=f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图;(2)请说明函数y=f (x )的图象可以由正弦函数y=sin x 的图象经过怎样的变换得到.解:(1)列表:简图如下:(2)将函数y=sin x 图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍得到y=3sin x 的图象,再将得到的图象向左平移π6个单位长度得到y=3sin (x +π6)的图象,最后将得到的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的12得到y=3sin (2x +π6)的图象. B 组1.给出几种变换:(1)横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变; (2)横坐标缩小到原来的12倍,纵坐标不变; (3)向左平移π3个单位长度; (4)向右平移π3个单位长度; (5)向左平移π6个单位长度; (6)向右平移π6个单位长度.则由函数y=sin x 的图象得到y=sin (2x +π3)的图象,可以实施的方案是( ) A.(1)→(3) B.(2)→(3) C.(2)→(4)D.(2)→(5)解析:由y=sin x 的图象到y=sin (2x +π3)的图象可以先平移变换再伸缩变换,即(3)→(2);也可以先伸缩变换再平移变换,即(2)→(5). 答案:D2.(2016·河北唐山一中期末)把函数y=sin(4x+φ)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将图象上所有的点向右平移π3个单位,所得图象关于y 轴对称,则φ的一个可能值为( ) A.π12B.π6C.π3D.π2解析:函数y=sin(4x+φ)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y=sin(2x+φ)的图象,再将图象上所有的点向右平移π3个单位,可得函数y=sin [2(x -π3)+φ]=sin (2x -2π3+φ)的图象,若此函数图象关于y 轴对称,则-2π3+φ=k π+π2,k ∈Z ,所以φ=k π+7π6,k ∈Z ,当k=-1时,有φ=π6.故选B . 答案:B3.把函数y=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π)的图象向左平移π6个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的解析式为y=3sin x ,则( ) A.ω=2,φ=π6 B.ω=2,φ=-π3 C.ω=12,φ=π6D.ω=12,φ=-π3解析:y=3sin(ωx+φ)的图象向左平移π6个单位,得到y=3sin [ω(x +π6)+φ]=3sin (ωx +π6ω+φ)的图象,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=3sin (12ωx +π6ω+φ)=3sin x 的图象,则{12ω=1,π6ω+φ=0,即{ω=2,φ=-π3.答案:B4.函数y=sin x 的图象上所有点的横坐标和纵坐标同时扩大到原来的3倍,再将图象向右平移3个单位长度,所得图象的函数解析式为 . 解析:y=sin x y=3sin 13xy=3sin 13(x-3)=3sin (13x -1).答案:y=3sin (13x -1)5.先把函数y=2sin (2x +π6)的图象上的所有点向左平移π6个单位长度,再把所有点的横坐标伸长到原来的12倍,纵坐标不变,得到的图象对应的函数解析式是 .解析:把y=2sin (2x +π6)的图象上的所有点向左平移π6个单位长度,得函数y=2sin [2(x +π6)+π6]=2sin (2x +π2)=2cos 2x 的图象,再把所有点的横坐标伸长到原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y=2cos 4x 的图象. 答案:y=2cos 4x6.函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y=sin (2x +π3)的图象重合,则φ= .解析:函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位,得平移后的图象对应的函数解析式为y=cos [2(x -π2)+φ]=cos(2x+φ-π),而函数y=sin (2x +π3)=cos (2x +π3-π2),由函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后与函数y=sin (2x +π3)的图象重合,得2x+φ-π=2x+π3−π2,解得φ=5π6,符合-π≤φ<π,故答案为5π6. 答案:5π67.已知函数y=√2cos (2x +π4).求: (1)函数的周期及单调递减区间;(2)函数的图象可由y=cos x 的图象经过怎样的变换得到? 解:(1)∵ω=2,∴T=2π2=π.由2k π≤2x+π4≤2k π+π,k ∈Z , 得k π-π8≤x ≤k π+3π8,k ∈Z .∴函数的周期为π,单调递减区间为[kπ-π8,kπ+3π8],k ∈Z .(2)将函数y=cos x 的图象上的所有点向左平移π4个单位长度,所得图象的函数解析式为y=cos (x +π4),再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),得y=cos (2x +π4)的图象,再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的√2倍(横坐标不变),即得y=√2cos (2x +π4)的图象. 8.设函数f (x )=sin (ωx -3π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω; (2)若f (α2+3π8)=2425,且α∈(-π2,π2),求tan α的值; (3)完成下面列表,并画出函数y=f (x )在区间[0,π]上的图象. 列表:描点连线:解:(1)∵函数f (x )=sin (ωx -3π4)(ω>0)的最小正周期为π,∴2πω=π,∴ω=2. (2)由(1)知,f (x )=sin (2x -3π4).由f (α2+3π8)=2425,得sin α=2425,∴cos α=±725. 又-π2<α<π2,∴cos α=725,∴tan α=247. (3)由y=sin (2x -3π4)知:故函数y=f (x )在区间[0,π]上的图象是:。

三角函数图像与性质练习题

三角函数图像与性质练习题三角函数是高中数学中的重要内容，它们在数学和物理等学科中有着广泛的应用。

掌握三角函数的图像和性质对于解题和理解概念非常重要。

本文将通过一些练习题来帮助读者加深对三角函数图像和性质的理解。

1. 练习题一：给定函数y = sin(x)，请画出它的图像。

解答：首先，我们需要知道sin函数的一个周期是2π。

根据这个周期，我们可以画出一段函数图像。

在0到2π的区间内，sin函数的图像从0开始，然后逐渐上升到1，再下降到0，最后再下降到-1。

这样，我们就得到了sin函数在0到2π区间内的图像。

为了得到完整的图像，我们可以将这段图像沿x轴复制，直到覆盖整个坐标平面。

2. 练习题二：给定函数y = cos(x)，请画出它的图像。

解答：cos函数与sin函数非常相似，它们的主要区别在于初始值和峰值。

对于cos函数，它的初始值是1，而峰值是-1。

在0到2π的区间内，cos函数的图像从1开始，然后逐渐下降到-1，再上升到0，最后再上升到1。

同样地，我们可以将这段图像沿x轴复制，直到覆盖整个坐标平面。

3. 练习题三：给定函数y = tan(x)，请画出它的图像。

解答：tan函数是sin函数和cos函数的比值，它的图像有一些特殊性质。

首先，tan函数在π/2和3π/2处有垂直渐近线，这是因为在这些点上，cos函数的值为0。

其次，tan函数的图像在每个π的整数倍处有一个周期。

我们可以通过计算一些点的坐标来画出tan函数的图像。

例如，当x等于0时，tan(0)等于0；当x等于π/4时，tan(π/4)等于1；当x等于π/2时，tan(π/2)是无穷大。

根据这些点的坐标，我们可以画出tan函数的图像。

通过这些练习题，我们可以加深对三角函数图像的理解。

除了图像，三角函数还有许多重要的性质。

例如，sin函数和cos函数的值都在-1到1之间；tan函数在某些点上是无穷大；sin函数和cos函数是周期函数等等。

三角函数地图像与性质练习题

三角函数的图像与性质练习题正弦函数、余弦函数的图象A组1.下列函数图象相同的是()A.y=sin x与y=sin(x+π)B.y=cos x与y=sinC.y=sin x与y=sin(-x)D.y=-sin(2π+x)与y=sin x解析:由诱导公式易知y=sin=cos x,故选B.答案:B2.y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2交点的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:作出y=1+sin x在[0,2π]上的图象,可知只有一个交点.答案:B3.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是()解析:y=sin(-x)=-sin x,x∈[0,2π]的图象可看作是由y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于x轴对称得到的,故选B.答案:B4.已知cos x=-,且x∈[0,2π],则角x等于()A. B.C. D.解析:如图:由图象可知,x=.答案:A5.当x∈[0,2π]时,满足sin≥-的x的取值围是()A. B. C. D.解析:由sin≥-,得cos x≥-.画出y=cos x,x∈[0,2π],y=-的图象,如图所示.∵cos=cos=-,∴当x∈[0,2π]时,由cos x≥-,可得x∈.答案:C6.函数y=2sin x与函数y=x图象的交点有个.解析:在同一坐标系中作出函数y=2sin x与y=x的图象可见有3个交点.答案:37.利用余弦曲线,写出满足cos x>0,x∈[0,2π]的x的区间是.解析:画出y=cos x,x∈[0,2π]上的图象如图所示. cos x>0的区间为答案:8.下列函数的图象:①y=sin x-1;②y=|sin x|;③y=-cos x;④y=;⑤y=.其中与函数y=sin x图象形状完全相同的是.(填序号)解析:y=sin x-1的图象是将y=sin x的图象向下平移1个单位,没改变形状,y=-cos x的图象是作了对称变换,没改变形状,与y=sin x的图象形状相同,∴①③完全相同.而②y=|sin x|的图象,④y==|cos x|的图象和⑤y==|sin x|的图象与y=sin x的图象形状不相同.答案:①③9.若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,求这个封闭图形的面积.解:观察图可知:图形S1与S2,S3与S4是两个对称图形,有S1=S2,S3=S4,因此函数y=2cos x的图象与直线y=2所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC的面积.因为|OA|=2,|OC|=2π,所以S矩形OABC=2×2π=4π.故所求封闭图形的面积为4π.10.作出函数y=-sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题.(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间:①y>0;②y<0.(2)直线y=与函数y=-sin x,x∈[-π,π]的图象有几个交点?解:列表:x-π-0 πsinx-10 1 0-sin x0 1 0-1描点作图:(1)根据图象可知,①当y>0时,x∈(-π,0);②当y<0时,x∈(0,π).(2)在简图上作出直线y=,由图可知有两个交点.B组1.函数f(x)=-cos x在[0,+∞)()A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点解析:数形结合法,令f(x)=-cos x=0,则=cos x.设函数y=和y=cos x,它们在[0,+∞)上的图象如图所示,显然两函数图象的交点有且只有一个,所以函数f(x)=-cos x在[0,+∞)有且仅有一个零点.答案:B2.已知f(x)=sin,g(x)=cos,则f(x)的图象()A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称C.向左平移个单位,得g(x)的图象D.向右平移个单位,得g(x)的图象解析:∵f(x)=sin=cos x,g(x)=cos=sin x,∴f(x)的图象向右平移个单位,得g(x)的图象.由y=sin x和y=cos x的图象知,A,B,C都错,D正确.答案:D3.在(0,2π),使sin x>cos x成立的x的取值围是()A. B.C. D.解析:如图所示(阴影部分)时满足sin x>cos x.答案:C4.在[0,2π],不等式sin x<-的解集是.解析:画出y=sin x,x∈[0,2π]的草图如下:因为sin,所以sin=-,sin=-.即在[0,2π],满足sin x=-的是x=或x=.可知不等式sin x<-的解集是.答案:5.(2016·一中期末)函数y=的定义域是.解析:由题意,得∴∴2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z.故函数y=的定义域为,k∈Z.答案:,k∈Z6利用正弦曲线,写出函数y=2sin x的值域是.解析:y=2sin x的部分图象如图.当x=时,y max=2,当x=时,y min=1,故y∈[1,2].答案:[1,2]7.画出正弦函数y=sin x(x∈R)的简图,并根据图象写出:(1)y≥时x的集合;(2)-≤y≤时x的集合.解:(1)画出y=sin x的图象,如图,直线y=在[0,2π]上与正弦曲线交于两点,在[0,2π]区间,y≥时x的集合为.当x∈R时,若y≥,则x的集合为.(2)过两点分别作x 轴的平行线,从图象可看出它们分别与正弦曲线交于点(k ∈Z),(k∈Z)和点(k ∈Z),(k∈Z),那么曲线上夹在对应两点之间的点的横坐标的集合即为所求,故当-≤y≤时x的集合为.8.作出函数y=2+sin x,x∈[0,2π]的简图,并回答下列问题:(1)观察函数图象,写出y的取值围;(2)若函数图象与y=在x∈[0,π]上有两个交点,求a的取值围.解:列表:x0 π2πsin x0 10 -1 02+sin x2 32 1 2 描点、连线,如图.(1)由图知,y∈[1,3].(2)由图知,当2≤<3时,函数图象与y=在[0,π]上有两个交点,即-5<a≤-3.故a的取值围是(-5,-3].正弦函数、余弦函数的性质(一)A组1.函数f(x)=-2sin的最小正周期为()A.6B.2πC.πD.2解析:T==2.答案:D2.下列函数中,周期为的是()A.y=sinB.y=sin 2xC.y=cosD.y=cos(-4x)解析:对D,y=cos(-4x)=cos 4x,∴T=,故选D.答案:D3.(2016·射洪中学月考)设函数f(x)=sin,x∈R,则f(x)是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数解析:因为f(x)=sin=-cos 2x,所以f(-x)=-cos 2(-x)=-cos 2x=f(x),所以f(x)是最小正周期为π的偶函数.答案:B4.已知函数f(x)=sin,g(x)=sin的最小正周期分别为T1,T2,则sin(T1+T2)=()A.-B.-C.D.解析:由已知T1=,T2=,∴sin(T1+T2)=sin=sin=-sin=-.答案:B5.(2016·一中月考)设f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,且有f(x)=则f=()A. B.-C.0D.1解析:因为f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,所以f=f=f.又因为0≤≤π,所以f=f=sin.答案:A6.函数y=4sin(2x+π)的图象关于对称.解析:y=4sin(2x+π)=-4sin 2x,易证函数为奇函数,所以其图象关于原点对称.答案:原点7.函数y=sin(ω>0)的最小正周期为π,则ω= .解析:∵y=sin的最小正周期为T=,∴,∴ω=3.答案:38.若f(x)(x∈R)为奇函数,且f(x+2)=f(x),则f(4)= .解析:∵f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为T=2.∴f(4)=f(0).又f(x)(x∈R)为奇函数,∴f(0)=0.∴f(4)=0.答案:09.判断函数f(x)=cos(2π-x)-x3sin x的奇偶性.解:因为f(x)=cos(2π-x)-x3sin x=cos x-x3sin x的定义域为R,f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)=cos x-x3sin x=f(x),所以f(x)为偶函数.10.若函数f(x)是以为周期的偶函数,且f=1,求f的值.解:∵f(x)的周期为,且为偶函数,∴f=f=f=f.而f=f=f=f=1,∴f=1.B组1.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是()解析:显然D中函数图象不是经过相同单位长度图象重复出现.而A,C中每经过一个单位长度,图象重复出现.B中图象每经过2个单位,图象重复出现.所以A,B,C中函数是周期函数,D中函数不是周期函数.答案:D2.函数y=cos(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是()A.10B.11C.12D.13解析:∵T=≤2,∴k≥4π.又k∈Z,∴正整数k的最小值为13.答案:D3.将函数y=sin x的图象向左平移个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说确的是()A.y=f(x)是奇函数B.y=f(x)的周期为πC.y=f(x)的图象关于直线x=对称D.y=f(x)的图象关于点对称解析:y=sin x的图象向左平移个单位,得y=f(x)=sin=cos x的图象,所以f(x)是偶函数,A 不正确;f(x)的周期为2π,B不正确;f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称,C不正确;f(x)的图象关于点(k∈Z)对称,当k=-1时,点为,故D正确.综上可知选D.答案:D4.若函数f(x)是以π为周期的奇函数,且当x∈时,f(x)=cos x,则f=()A. B. C.- D.-解析:∵f(x)的最小正周期是π,∴f=f=f.又f(x)是奇函数,∴f=-f=-cos=-.答案:C5.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[3,4]时,f(x)=x-2,则有下面三个式子:①f<f;②f<f;③f(sin 1)<f(cos 1).其中一定成立的是.(填序号)解析:当0≤x≤1时,3≤-x+4≤4,f(-x+4)=-x+4-2=-x+2,∴f[-(x-4)]=f(x-4)=f(x)=-x+2,∴f(x)在[0,1]上是减函数.∵1>sin>cos>0,1>sin 1>cos 1>0,1>cos>sin>0,∴f<f,f(sin 1)<f(cos 1),f>f.答案:②③6.已知函数y=sin x+|sin x|.(1)画出这个函数的简图;(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.解:(1)y=sin x+|sin x|=函数图象如图所示.(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2π重复一次,故函数的最小正周期是2π.7.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sin x.(1)求当x∈[-π,0]时,f(x)的解析式;(2)画出函数f(x)在[-π,π]上的简图;(3)求当f(x)≥时x的取值围.解:(1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).∵当x∈时,f(x)=sin x,∴当x∈时,f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sin x.又当x∈时,x+π∈,f(x)的周期为π,∴f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sin x.∴当x∈[-π,0]时,f(x)=-sin x.(2)如图.(3)∵在[0,π],当f(x)=时,x=,∴在[0,π],f(x)≥时,x∈.又f(x)的周期为π,∴当f(x)≥时,x∈,k∈Z.正弦函数、余弦函数的性质(二)A组1.函数y=|sin x|的一个单调增区间是()A. B.C. D.解析:画出y=|sin x|的图象即可求解.故选C.答案:C2.(2016·一中月考)y=cos(-π≤x≤π)的值域为()A. B.[-1,1] C. D.解析:因为-π≤x≤π,所以-.所以-≤cos≤1,y=cos(-π≤x≤π)的值域为.答案:C3.函数f(x)=3sin在下列区间递减的是()A. B.[-π,0]C. D.解析:令2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z可得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z,∴函数f(x)的递减区间为,k∈Z.从而可判断,∴在x∈时,f(x)单调递减.答案:D4.函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为4π,当f(x)取得最小值时,x的取值集合为() A.B.C.D.解析:∵T==4π,∴ω=.∴f(x)=2sin.由x-=2kπ-(k∈Z),得x=4kπ-(k∈Z).答案:A5.已知函数f(x)=sin,x∈R,下列结论错误的是()A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)在区间上是增函数C.函数f(x)的图象关于y轴对称D.函数f(x)是奇函数解析:f(x)=sin=-sin=-cos x,∴周期T=2π,∴选项A正确;f(x)在上是增函数,∴选项B正确;定义域是R,f(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x),∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,∴选项C正确,选项D错误.答案:D6.函数y=sin |x|+sin x的值域是.解析:∵y=sin |x|+sin x=∴-2≤y≤2.答案:[-2,2]7.函数y=cos x在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值围是. 解析:∵y=cos x在[-π,0]上为增函数,又在[-π,a]上递增,∴[-π,a]⊆[-π,0].∴a≤0.又∵a>-π,∴-π<a≤0.答案:(-π,0]8.若函数f(x)=sin ωx(0<ω<2)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω= .解析:由题意知函数f(x)在x=处取得最大值,∴=2kπ+,ω=6k+,k∈Z.又0<ω<2,∴ω=.答案:9.已知函数f(x)=sin(x∈R,ω>0)的最小正周期为π.(1)求f(x)在上的值域,并求出取最小值时的x值;(2)求f(x)的单调递增区间.解:由已知得=π,ω=1,∴f(x)=sin.(1)当x∈时,≤2x+.∴-≤sin≤1.∴f(x)值域为.当2x+时,f(x)取最小值-,∴x=时,f(x)取最小值.(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).∴f(x)的递增区间为(k∈Z).10.已知函数f(x)=2a sin+a+b的定义域是,值域是[-5,1],求a,b的值.解:∵0≤x≤,∴≤2x+.∴-≤sin≤1.∴a>0时,解得a<0时,解得因此a=2,b=-5或a=-2,b=1.B组1.若0<α<β<,a=sin,b=sin,则()A.a<bB.a>bC.ab<1D.ab>解析:∵0<α<β<,∴<α+<β+.而正弦函数y=sin x在x∈上是增函数,∴sin<sin.∴sin sin,即a<b.答案:A2.若a为常数,且a>1,0≤x≤2π,则函数y=sin2x+2a sin x的最大值为()A.2a+1B.2a-1C.-2a-1D.a2解析:令sin x=t,则-1≤t≤1,原函数变形为y=t2+2at=(t+a)2-a2.∵a>1,∴当t=1时,y max=12+2a×1=2a+1,故选A.答案:A3.函数y=cos的单调递增区间是()A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z解析:函数y=cos=cos,令2kπ-π≤2x-≤2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故单调递增区间为,k∈Z.答案:B4.函数y=2sin-cos(x∈R)的最小值为. 解析:∵,∴y=2sin-cos=2cos-cos=cos.∴y min=-1.答案:-15.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,则当ω取最大值时,函数f(x)=sin ωx的周期是.解析:令2kπ-≤ωx≤2kπ+可得≤x≤,∴k=0时,f(x)在上递增.又∵f(x)在上递增,∴解得0<ω≤.∴ω的最大值为.∴周期T=.答案:6.对于函数f(x)=给出下列四个命题:①该函数是以π为最小正周期的周期函数;②当且仅当x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值-1;③该函数的图象关于直线x=+2kπ(k∈Z)对称;④当且仅当2kπ<x<+2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤.其中正确命题的序号是.解析:画出f(x)在一个周期[0,2π]上的图象.由图象知,函数f(x)的最小正周期为2π,在x=π+2kπ(k∈Z)和x=+2kπ(k∈Z)时,该函数都取得最小值,为-1,故①②错误.由图象知,函数图象关于直线x=+2kπ(k∈Z)对称,在2kπ<x<+2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤,故③④正确.答案:③④7.已知函数y=sin.(1)求函数的周期;(2)求函数在[-π,0]上的单调递减区间.解:y=sin可化为y=-sin.(1)周期T==π.(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以x∈R时,y=sin的单调递减区间为,k∈Z.从而x∈[-π,0]时,y=sin的单调递减区间为.8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)其中ω>0,|φ|<,若函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,且直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴.(1)求ω的值;(2)求y=f(x)的单调递增区间;(3)若x∈,求y=f(x)的值域.解:(1)因为函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,所以函数的周期T=π,所以ω==2.(2)因为直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以2×+φ=kπ+,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z.又|φ|<,所以φ=.所以函数的解析式是y=sin.令2x+,k∈Z,解得x∈,k∈Z.所以函数的单调递增区间为,k∈Z.(3)因为x∈,所以2x+.所以sin,即函数的值域为.正切函数的性质与图象A组1.当x∈时,函数y=tan |x|的图象()A.关于原点对称B.关于y轴对称C.关于x轴对称D.没有对称轴解析:∵x∈,f(-x)=tan |-x|=tan |x|=f(x),∴f(x)为偶函数,即y=tan |x|的图象关于y轴对称.答案:B2.(2016·二中月考)函数f(x)=tan的单调递减区间为()A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.(kπ,(k+1)π),k∈Z解析:因为f(x)=tan=-tan,所以原函数的单调递减区间就是函数y=tan的单调递增区间.故kπ-≤x-≤kπ+,k∈Z,kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以原函数的单调递减区间是,k∈Z.答案:B3.函数f(x)=tan ax(a>0)的图象的相邻两支截直线y=所得线段长为2,则a的值为()A. B. C.π D.1解析:由已知得f(x)的周期为2,∴=2.∴a=.答案:A4.函数f(x)=的奇偶性是()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数解析:f(x)的定义域为,∴f(-x)==-f(x).∴f(x)是奇函数.答案:A5.下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan |x|在x∈的大致图象,那么由a到d对应的函数关系式应是()A.①②③④B.①③④②C.③②④①D.①②④③解析:y=tan(-x)=-tan x在上是减函数,只有图象d符合,即d对应③.答案:D6.已知函数y=3tan的最小正周期是,则ω= .解析:由题意知,T=,∴ω=±2.答案:±27.函数y=3tan的对称中心的坐标是.解析:由x+,k∈Z,得x=,k∈Z,即对称中心坐标是(k∈Z).答案:(k∈Z)8.满足tan≥-的x的集合是.解析:把x+看作一个整体,利用正切函数的图象可得kπ-≤x+<kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x<kπ+,k∈Z.故满足tan≥-的x的集合是.答案:9.求函数y=tan的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性.解:由4x-≠kπ+,得x≠,∴所求定义域为,值域为R,周期T=.又f没有意义,f=tan=0,∴f(x)是非奇非偶函数.令-+kπ<4x-+kπ,k∈Z,解得<x<,k∈Z.∴f(x)的单调递增区间是(k∈Z),不存在单调递减区间.10.已知函数f(x)=2tan(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于2π,求f(x)的单调递增区间.解:由题意知,函数f(x)的周期为2π,则=2π,由于ω>0,故ω=.所以f(x)=2tan.再由kπ-x+<kπ+,k∈Z,得2kπ-<x<2kπ+,k∈Z,即函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.11.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈的值域.解:∵-≤x≤,∴-1≤tan x≤1.令tan x=t,则t∈[-1,1].∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.∴当t=-1,即x=-时,y min=-4,当t=1,即x=时,y max=4.故所求函数的值域为[-4,4].B组1.函数y=的定义域为()A.B.C.D.解析:由题意知即得故x≠(k∈Z).答案:A2.函数f(x)=tan与函数g(x)=sin的最小正周期相同,则ω=()A.±1B.1C.±2D.2解析:∵函数g(x)的周期为=π,∴=π,∴ω=±1.答案:A3.设a=lo tan 70°,b=lo sin 25°,c=,则有()A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b解析:∵tan 70°>tan 45°=1,∴a=lo tan 70°<0.又∵0<sin 25°<sin 30°=,∴b=lo sin 25°>lo=1.而c=∈(0,1),∴b>c>a.答案:D4.已知函数y=tan ωx在是减函数,则ω的取值围为.解析:由题意可知ω<0,又.故-1≤ω<0.答案:-1≤ω<05.已知y=2tan(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω= ,φ= . 解析:由题图可知,当x=时,y=2,即2tan=2,tan=1,即ω+φ=kπ+(k∈Z).①又直线x=为它的一条渐近线,∴ω+φ=kπ+(k∈Z), ②而ω>0,|φ|<,由①②可得答案:2-6.方程-tan x=0在x∈的根的个数为.解析:分别画出y=与y=tan x在x∈的图象,如图.易知y=与y=tan x在相应区间有2个交点,原方程有2个根.答案:27.函数f(x)=tan(3x+φ)图象的一个对称中心是,其中0<φ<,试求函数f(x)的单调区间.解:由于函数y=tan x的对称中心为,其中k∈Z,则+φ=,即φ=.由于0<φ<,所以当k=2时,φ=.故函数解析式为f(x)=tan.由于正切函数y=tan x在区间(k∈Z)上为增函数,则令kπ-<3x+<kπ+, 解得<x<,k∈Z,故函数的单调增区间为,k∈Z.没有单调减区间.8.设函数f(x)=tan.(1)求函数f(x)的定义域、周期和单调区间;(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集;(3)作出函数y=f(x)在一个周期的简图.解:(1)由+kπ(k∈Z),得x≠+2kπ,∴f(x)的定义域是.∵ω=,∴周期T==2π.由-+kπ<+kπ(k∈Z),得-+2kπ<x<+2kπ(k∈Z).∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).(2)由-1≤tan,得-+kπ≤+kπ(k∈Z),解得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).∴不等式-1≤f(x)≤的解集是.(3)令=0,则x=.令,则x=.令=-,则x=-.∴函数y=tan的图象与x轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-,x=.从而得函数y=f(x)在区间的简图(如图所示).函数y=A sin(ωx+φ)的图象A组1.把函数y=cos x的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的倍,然后将图象沿x轴负方向平移个单位长度,得到的图象对应的解析式为()A.y=sin 2xB.y=-sin 2xC.y=cosD.y=cos解析:y=cos x的图象上每一点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到y=cos 2x的图象;再把y=cos 2x的图象沿x轴负方向平移个单位长度,就得到y=cos 2=cos的图象.即y=-sin 2x的图象.答案:B2.某同学用“五点法”画函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期的简图时,列表如下:ωx+φ0 π2πxy 0 2 0 -2 0则有()A.A=0,ω=,φ=0B.A=2,ω=3,φ=C.A=2,ω=3,φ=-D.A=1,ω=2,φ=-解析:由表格得A=2,,∴ω=3.∴ωx+φ=3x+φ.当x=时,3x+φ=+φ=0,∴φ=-.答案:C3.将函数f(x)=sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是()A. B.1 C. D.2解析:把f(x)=sin ωx的图象向右平移个单位长度得y=sin的图象.又所得图象过点,∴sin=0.∴sin=0,∴=kπ(k∈Z).∴ω=2k(k∈Z).∵ω>0,∴ω的最小值为2.答案:D4.把函数y=sin的图象向左平移个单位,再把所得的函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)为()A.最大值为的偶函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π,且最大值为2的函数D.最大值为2的奇函数解析:y=siny=sin=sin 2xy=2sin 2x,即g(x)=2sin 2x,故g(x)的最大值为2,周期T=π,g(x)为奇函数,故选D.答案:D5.(2016·石室中学期中)为了得到函数y=3cos 2x的图象,只需把函数y=3sin的图象上所有的点()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度解析:函数y=3cos 2x=3sin=3sin,把函数y=3sin的图象上所有的点向左平移个单位长度,可得函数y=3cos 2x的图象.答案:D6.把y=sin x的图象上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的倍,得到的图象. 解析:将y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得y=sin 3x的图象,纵坐标再缩短为原来的倍得到y=sin 3x的图象.答案:y=sin 3x7.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,为了得到g(x)=sin的图象,只需将y=f(x)的图象上.解析:∵f(x)的最小正周期为π,∴=π.∴ω=2.∴f(x)=sin.又g(x)=sin=sin,∴只需将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到g(x)=sin的图象.答案:所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变8.设函数f(x)=cos ωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于.解析:将f(x)的图象向右平移个单位长度得g(x)=f=cos=cos的图象, 则-ω=2kπ(k∈Z),∴ω=-6k(k∈Z).又ω>0,∴k<0(k∈Z),∴当k=-1时,ω有最小值6.答案:69.将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移个单位所得的曲线是y=sin x的图象,试求y=f(x)的解析式.解:将y=sin x的图象向右平移个单位得y=sin的图象,化简得y=-cos x.再将y=-cos x 的图象上的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)得y=-cos 2x的图象,所以f(x)=-cos 2x.10.(2016·十一中期末)已知函数f(x)=3sin,x∈R.(1)用五点法作出y=f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图;(2)请说明函数y=f(x)的图象可以由正弦函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到.解:(1)列表:2x+0 π2π-xf(x) 0 3 0 -3 0简图如下:(2)将函数y=sin x图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍得到y=3sin x的图象,再将得到的图象向左平移个单位长度得到y=3sin的图象,最后将得到的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的得到y=3sin的图象.B组1.给出几种变换:(1)横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变;(2)横坐标缩小到原来的倍,纵坐标不变;(3)向左平移个单位长度;(4)向右平移个单位长度;(5)向左平移个单位长度;(6)向右平移个单位长度.则由函数y=sin x的图象得到y=sin的图象,可以实施的方案是()A.(1)→(3)B.(2)→(3)C.(2)→(4)D.(2)→(5)解析:由y=sin x的图象到y=sin的图象可以先平移变换再伸缩变换,即(3)→(2);也可以先伸缩变换再平移变换,即(2)→(5).答案:D2.(2016·一中期末)把函数y=sin(4x+φ)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将图象上所有的点向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的一个可能值为()A. B. C. D.解析:函数y=sin(4x+φ)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y=sin(2x+φ)的图象,再将图象上所有的点向右平移个单位,可得函数y=sin=sin的图象,若此函数图象关于y轴对称,则-+φ=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ+,k∈Z,当k=-1时,有φ=.故选B.答案:B3.把函数y=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π)的图象向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的解析式为y=3sin x,则()A.ω=2,φ=B.ω=2,φ=-C.ω=,φ=D.ω=,φ=-解析:y=3sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位,得到y=3sin=3sin的图象,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=3sin=3sin x的图象,则答案:B4.函数y=sin x的图象上所有点的横坐标和纵坐标同时扩大到原来的3倍,再将图象向右平移3个单位长度,所得图象的函数解析式为.解析:y=sin x y=3sin x y=3sin(x-3)=3sin.答案:y=3sin5.先把函数y=2sin的图象上的所有点向左平移个单位长度,再把所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象对应的函数解析式是.解析:把y=2sin的图象上的所有点向左平移个单位长度,得函数y=2sin=2sin=2cos 2x的图象,再把所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=2cos 4x的图象.答案:y=2cos 4x6.函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数y=sin的图象重合,则φ= .解析:函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位,得平移后的图象对应的函数解析式为y=cos=cos(2x+φ-π),而函数y=sin=cos,由函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位后与函数y=sin的图象重合,得2x+φ-π=2x+,解得φ=,符合-π≤φ<π,故答案为.答案:7.已知函数y=cos.求:(1)函数的周期及单调递减区间;(2)函数的图象可由y=cos x的图象经过怎样的变换得到?解:(1)∵ω=2,∴T==π.由2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.∴函数的周期为π,单调递减区间为,k∈Z.(2)将函数y=cos x的图象上的所有点向左平移个单位长度,所得图象的函数解析式为y=cos,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得y=cos的图象,再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),即得y=cos的图象.8.设函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω;(2)若f,且α∈,求tan α的值;(3)完成下面列表,并画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.列表:x0πy -11描点连线:解:(1)∵函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,∴=π,∴ω=2.(2)由(1)知,f(x)=sin.由f,得sin α=,∴cos α=±.又-<α<,∴cos α=,∴tan α=.(3)由y=sin知:x0πy--10 1 0-故函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象是:。

高中数学人教A版必修第一册一课一练：5.4三角函数的图像与性质d

A.0,π2,π,32π,2π B.0,π4,π2,34π,πC.0,π,2π,3π,4πD.0,π6,π3,π2,2π3答案：B解析：由五点作图法,令2x=0,π2,π,32π,2π,解得x=0,π4,π2,34π,π。

2.(2019·黄冈中学月考)函数y=-cos x(x>0)的图像中与y轴最近的最高点的坐标为()。

A.(π2,1) B.(π,1)C.(0,1)D.(2π,1)答案：B解析：用五点作图法作出函数y=-cos x(x>0)的一个周期内的图像如图所示,由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π,1)。

3.(2019·武汉二中周练)用“五点法”作函数y=cos(4x-π6)在一个周期内的图像时,第四个关键点的坐标是()。

A.(5π12,0)B.(-5π12,1)C.(5π12,1)D.(-5π12,0)答案：A解析：令4x -π6 =3π2,得x=5π12,∴该点坐标为(5π12,0)。

4.(2019·云南大理高一上期末)用“五点法”作函数y=2+sin x ,x ∈[0,2π]的图像时的五个点分别是、、、、。

答案：(0,2) (π2,3) (π,2) (3π2,1) (2π,2)解析：可结合函数y=sin x 的图像的五个关键点寻找,即把y=sin x 的图像上五个关键点向上平移2个单位长度。

5.(2019·四川广安高一上期末)利用“五点法”作出函数y=sin (x -π2),x ∈[π2,5π2]的图像。

答案：解:列表如下:xπ2π3π22π5πx -π2π2π 3π22π sin (x -π2) 0 1-1描点、连线,如图所示:考点2 识图问题6.(2019·山西孝义高一上期末)对于余弦函数y=cos x 的图像,有以下描述: ①可以将其在[0,2π]内的图像向左、向右无限延展; ②与y=sin x 的图像形状完全一样,只是位置不同; ③与x 轴有无数个交点; ④关于y 轴对称。

三角函数图像和性质练习题（附答案）

三角函数的图像与性质一、选择题1.已知函数f(x)=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,4π]上的最小值是－2，则ϖ的最小值等于（）A.32B.23C.2D.32.若函数cos(3y x πω=+(0)ω>的图象相邻两条对称轴间距离为2π，则ω等于．A ．12B ．12C ．2D ．43.将函数sin()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈C ．sin()212x y x R π=-∈ D ．5sin()224x y x R π=+∈4.函数262cos(-+=πx y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于A.)2,6(-πB.)2,6(πC.)2,6(--πD.)2,6(π-5.将函数sin yx =的图象向左平移(02)ϕϕπ≤≤个单位后，得到函数sin(6y x π=-的图象，则ϕ等于（）A .6πB .76πC .116πD .56π 6.函数x x y 2cos 32sin -= 66(ππ≤≤-x 的值域为A. []2,2-B. []0,2-C. []2,0 D. ]0,3[-7.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A ．B ． C. D.8.函数f(θ ) = 的最大值和最小值分别是( )sin θ －1cos θ －2 (A) 最大值和最小值0(B) 最大值不存在和最小值 4334(C) 最大值－和最小值0 (D) 最大值不存在和最小值－43349.ααcos sin +=t 且αα33cos sin+＜0，则t 的取值范围是（）A. [)0,2-B. []2,2-C. ()(]2,10,1 -D. ()()+∞-,30,3 10.把函数)(x f y =的图象沿着直线0=+y x 的方向向右下方平移22个单位，得到函数x y 3sin =的图象，则A 、2)23sin(--=x yB 、2)63sin(--=x yC 、2)23sin(++=x yD 、2)63sin(++=x y 二、填空题11.设函数).0)(3cos()(πϕϕ<<+=x x f 若)()(x f x f '+是奇函数，则ϕ=.12.方程2cos()14x π-=在区间(0,)π内的解是．13.函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间14.已知x R ∈，则函数()max sin ,cos f x x x ⎧=⎨⎩的最大值与最小值的和等于。

三角函数的图像性质与变换练习题

三角函数的图像性质与变换练习题1. 对于正弦函数 y = sin(x) 的图像性质：a) 周期性：正弦函数的图像在 x 轴上每隔2π个单位长度重复一次。

即sin(x) = sin(x + 2πk)，其中 k 为任意整数。

b) 对称性：正弦函数的图像关于原点对称。

即 sin(-x) = -sin(x)。

c) 平移性：若将正弦函数的图像沿 x 轴正方向平移 h 个单位长度，则函数变为 y = sin(x - h)，图像向右平移 h 个单位长度；若将正弦函数的图像沿 x 轴负方向平移 h 个单位长度，则函数变为 y = sin(x + h)，图像向左平移 h 个单位长度。

2. 对于余弦函数 y = cos(x) 的图像性质：a) 周期性：余弦函数的图像在 x 轴上每隔2π个单位长度重复一次。

即cos(x) = cos(x + 2πk)，其中 k 为任意整数。

b) 对称性：余弦函数的图像关于 y 轴对称。

即 cos(-x) = cos(x)。

c) 平移性：若将余弦函数的图像沿 x 轴正方向平移 h 个单位长度，则函数变为 y = cos(x - h)，图像向右平移 h 个单位长度；若将余弦函数的图像沿 x 轴负方向平移 h 个单位长度，则函数变为 y = cos(x + h)，图像向左平移 h 个单位长度。

3. 对于正切函数 y = tan(x) 的图像性质：a) 周期性：正切函数的图像在x 轴上每隔π个单位长度重复一次。

即tan(x) = tan(x + πk)，其中 k 为任意整数。

b) 对称性：正切函数的图像关于原点对称。

即 tan(-x) = -tan(x)。

c) 平移性：若将正切函数的图像沿 x 轴正方向平移 h 个单位长度，则函数变为 y = tan(x - h)，图像向右平移 h 个单位长度；若将正切函数的图像沿 x 轴负方向平移 h 个单位长度，则函数变为 y = tan(x + h)，图像向左平移 h 个单位长度。

三角函数图像与性质练习题

三角函数图像与性质练习题一、选择题1. 函数y=sin(x)的图像是：A. 抛物线图像B. 反比例函数图像C. 正弦函数图像D. 指数函数图像2. 函数y=cos(x)的图像与函数y=sin(x)的图像相比，可以通过以下变换得到：A. 沿y轴翻转得到B. 沿x轴翻转得到C. 沿y轴平移得到D. 沿x轴平移得到3. 函数y=tan(x)的图像在什么时候会有断点？A. 当x为0的倍数时B. 当x为π的倍数时C. 当x为2π的倍数时D. 当x为π/2的倍数时4. 函数y=csc(x)的图像是什么？A. 上半个周期为正弦函数图像，下半个周期为反正弦函数图像B. 上半个周期为反正弦函数图像，下半个周期为正弦函数图像C. 上半个周期为余切函数图像，下半个周期为余割函数图像D. 上半个周期为余割函数图像，下半个周期为余切函数图像5. 函数y=cot(x)的图像如何描述？A. 上半个周期为正切函数图像，下半个周期为余切函数图像B. 上半个周期为余切函数图像，下半个周期为正切函数图像C. 上半个周期为余弦函数图像，下半个周期为正弦函数图像D. 上半个周期为正弦函数图像，下半个周期为余弦函数图像二、填空题1. 函数y=sin(2x+π)的一个周期为________。

2. 函数y=cos(2x-π/4)的振幅为________，周期为________。

3. 函数y=tan(3x)的一个周期为________。

4. 函数y=csc(4x)的一个周期为________。

5. 函数y=cot(2x+π/3)的振幅为________，周期为________。

三、解答题1. 分析函数y=sin(x)的图像特点。

包括振幅、周期、对称轴、定义域、值域等方面。

2. 函数y=cos(x)的图像经过怎样的变换可以得到函数y=-2cos(x+π/3)的图像？画出变化后的图像。

3. 函数y=tan(x)的图像在定义域内的哪些点存在断点？分别简述左极限和右极限的值。

三角函数图像和性质习题课(含答案)

三角函数图像和性质习题课(含答案)三角函数的图像和性质习题课例1．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)是偶函数，则φ满足的条件是______．解析 y ＝A sin(ωx ＋φ)是偶函数，即关于y 轴对称 ∴sin φ＝±1，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．例2．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值为________．解析 y ＝sin 2x 向右平移φ个单位得y ＝sin(2x －2φ)x ＝π6是一条对称轴，则2×π6－2φ＝k π＋π2(k ∈Z ∴φ＝k π2－π12(k ∈Z )，∴φ的最小值为5π12.例3．将函数y ＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象，则θ的值为________．解析设f (x )＝sin (2x ＋θ)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋θ.由已知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5.∴π2＋θ＝π5，∴θ＝－3π10.例4．设ω>0为常数，函数y ＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上单调递增，则实数ω的取值范围是__________．答案 0<ω≤32例5．关于f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题(1)由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍； (2)y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；(3)y ＝f (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； (4)y ＝f (x )图象关于x ＝－π6，对称．其中正确命题的序号为________．(将你认为正确的都填上) 解析对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π(k ∈Z )．∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3利用公式得：f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心．∴③对；对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．∴④错．例6．(创新拓展)已知f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ， (1)当f (x )＝0有实数解时，求a 的取值范围； (2)当x ∈R ，有1≤f (x )≤174，求a 的取值范围．解 (1)由f (x )＝0，有a ＝sin 2x －sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122－14.当sin x ＝－1时，a max ＝2；当sin x ＝12时，a min ＝－14.∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.(2)由1≤f (x )≤174有1≤－sin 2x ＋sin x ＋a ≤174，即a ≤sin 2x －sin x ＋174和a ≥sin 2x －sin x＋1对k ∈R 恒成立．由sin 2x －sin x ＋174＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋4≥4，得a ≤4.由sin 2x －sin x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋34≤3，得a ≥3. 故3≤a ≤4.练习：1．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的周期是________，振幅是________，当x ＝________时，y max ＝________；当x ＝________时，y min ＝________.答案 4π3 4k π＋32π (k ∈Z )3 4k π－π2(k ∈Z ) － 32．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向 __ __ ____，可以得到函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象．解析由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，而y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin （x －5π12＋π4），即将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4向右平移5π12个单位，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.3．将正弦曲线y ＝sin x 上各点向左平移π3个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象解析式为______________．解析由y ＝sin x 向左平移π3得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，再把横坐标伸长到原来的2倍，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3.4．函数y ＝3－sin x 3＋sin x的值域为____________．答案⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 5．求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值．解 y ＝3－4sin x －4cos 2x ＝4sin 2x －4sin x －1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122－2，令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1， ∴y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－2 (－1≤t ≤1)∴当t ＝12，即x ＝π6＋2k π或x ＝5π6＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－2；当t ＝－1，即x ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时，y max ＝7. 6．函数y ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋b 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，92，求a 的值，以及原函数的单调递增区间．解(1)当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝－12a ＋b ＝92∴a ＝52，b ＝2，∴y ＝52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2.又∵－π2＋2k π≤x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z .∴－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z .∴原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π＋2k π，π3＋2k π，k ∈Z .(2)当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－12－a ＋b ＝92∴a ＝－52，b ＝2.∴y ＝－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2.又∵π2＋2k π≤x ＋π6≤32π＋2k π，k ∈Z .∴π3＋2k π≤x ≤43π＋2k π，k ∈Z .∴原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，43π＋2k π，k ∈Z . 7．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，0，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫38π－π8＝π，ω＝2πT ＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(2)列出x 、y 的对应值表：x －π8 π8 38π 58π 78π 2x ＋π40 π2 π 32π 2π y2－28．(创新拓展)已知函数f (x )＝2cos ωx (ω>0)，且函数y ＝f (x )图象的两条相邻对称轴间的距离为π2. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的单调递减区间．解 (1)函数y ＝f (x )图象的两条相邻对称轴间的距离为π2∴T ＝2×π2＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝2cos 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2.(2)由(1)知f (x )＝2cos 2x ，向右平移π6个单位得y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，得g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3由2k π≤12x －π3≤2k π＋π，k ∈Z 得4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3，k ∈Z即函数g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3，k ∈Z .。

《三角函数的图像与性质》同步练习2(湘教版必修二)

三角函数的性质课时作业 1.下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4 D ．y ＝cos 4x2．(文科)(2008年广州二模)函数y ＝sin 2x 是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数2．(理科)(2008年广州二模)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2是( )A ．周期为2π的偶函数B ．周期为2π的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为π的奇函数3．(2008年广东卷)已知函数f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是() A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数4．函数f (x )＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C. ⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π4．(理科)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12C.⎣⎡⎦⎤π3，5π6 D.⎣⎡⎦⎤5π6，π5. (文科)函数y ＝2cos 2x 的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫0，π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 D.⎝⎛⎭⎫π2，π 5．(理科)函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0 D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 6．(2008年江苏卷)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω＝_________. 7．设ω＞0，若函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上单调递增，则ω的取值范围是________． 8．(2009年北京卷)已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值和最小值．9．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 集合．10．(2008年陕西卷)已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4－ 23sin 2x 4＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．参考答案1．D 2.A 2.A3．D 4.C 4.解析：由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6其增区间可由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的减区间得到，即2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z .∴k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z .令k ＝0，故选C.答案：C5．D 5.解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，因x －π3∈ ⎣⎡ －43π， ⎦⎤－π3，故x －π3∈ ⎣⎡ －12π， ⎦⎤－π3，得x ∈ ⎣⎡⎦⎤－16π，0，故选D.答案：D6．10 7.0<ω≤328．(1)π (2)最大值为1，最小值为－329．(1)π (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ＝k π＋5π12，k ∈Z10．(1)f (x )的最小正周期T ＝4π f (x )最小值－2 f (x )最大值2(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x2＋π3.又g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x2＋π2＝2cos x2.∵g (－x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫－x2＝2cos x2＝g (x )．∴函数g (x )是偶函数．。

数学：3.3《三角函数的图象与性质》课时训练(北师大版)

一、（选择题)1．函数y ＝xsin x，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的()【解析】 ∵y＝xsin x 是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin 2>2，排除D ，当x ＝π6时，y ＝π6sinπ6＝π3>1，排除B.【答案】 C2.已知在函数f(x)＝3sin πx R图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f(x)的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ∵x 2＋y 2＝R 2，∴x∈[－R ，R]． ∵函数f(x)的最小正周期为2R ，∴最大值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫R 2，3 相邻的最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－R 2，－3，代入原方程，得R ＝2，∴T＝4. 【答案】 D3．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( ) A ．0 B ．1C ．－1 D.π4【解析】由题意知T ＝π4，由πω＝π4得ω＝4，∴f(x)＝tan 4x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π＝0. 【答案】 A4．对于函数f(x)＝sin x ＋1sin x(0<x<π)，下列结论正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值【解析】 f(x)＝sin x ＋1sin x ＝1＋1sin x，∵0<x<π，∴0<sin x≤1，∴1sin x ≥1，∴1＋1sin x ≥2，∴f(x)有最小值而无最大值．【答案】 B5．已知函数f(n)＝cos n π5(n∈N )，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 003)f(11)＋f(22)＋f(33)的值为( )A ．1B ．cos π5C.12D ．2 【解析】函数f(n)的周期为10，且f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(10)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 003)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5，又f(11)＋f(22)＋f(33)＝cos 11π5＋cos 22π5＋cos 33π5＝cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5，∴原式＝1. 【答案】 A 二、填空题6．函数y ＝lg(sin x)＋cos x －12的定义域为________，函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－23x 的单调递增区间为________．【解析】 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x>0cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x>0cos x≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x<π＋2k π－π3＋2k π≤x≤π3＋2k π(k∈Z )，∴2k π<x≤π3＋2k π，k∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2k π<x≤π3＋2k π，k∈Z (2)由y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－23x 得y ＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π4，由π2＋2k π≤23x －π4≤32π＋2k π，得 98π＋3k π≤x≤21π8＋3k π，k∈Z ，故函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤98π＋3k π，21π8＋3k π(k∈Z )．【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2k π<x≤π3＋2k π，k∈Z⎣⎢⎡⎦⎥⎤98π＋3k π，21π8＋3k π(k∈Z ) 7．(1)已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．(2)已知x ＝－π6是方程3tan(x ＋α)＝3的一个解，α∈(－π，0)，则α________.【解析】 (1)由题意知T 4≤π3，T ＝2πω，∴2ω≥3，ω≥32，∴ω的最小值等于32.(2)由已知得3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝3，即tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝33， ∴α－π6＝π6＋k π，k∈Z ，即α＝π3＋k π，k∈Z ，又α∈(－π，0)，∴α＝－23π.【答案】 (1)32 (2)－23π8．对于函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sinx≤cos xcos x ，sin x>cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k∈Z )时，该函数取得最小值－1；③该函数的图象关于x ＝5π4＋2k π(k∈Z )对称；④当且仅当2k π<x<π2＋2k π(k∈Z )时，0<f(x)≤22.其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上)【解析】画出f(x)在一个周期[0,2π]上的图象．由图象知，函数f(x)的最小正周期为2π，在x=π+2k π(k ∈Z)和x=时，该函数都取得最小值-1，故①②错误，由图象知，函数图象关于直线(k ∈Z)对称，在故③④正确．【答案】 ③④ 三、解答题9．已知函数y ＝f(x)＝2sin x1＋cos 2x －sin 2x(1)求函数定义域；(2)用定义判断f(x)的奇偶性；(3)在[－π，π]上作出f(x)的图象； (4)写出f(x)的最小正周期及单调性．【解析】 (1)∵f(x)＝2sin x 2cos 2x ＝sin x|cos x|， ∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠k π＋π2，k∈Z(2)由(1)知f(－x)＝sin(－x)|cos(－x)|＝－sin x|cos x|＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(3)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x<π2－tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π≤x<－π2或π2＜x≤πf(x)(x∈[－π，π])的图象如图所示．(4)f(x)的最小正周期为2π，单调递增区间是单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，3π2＋2k π(k∈Z )．10．设函数f(x)＝cos ωx(3sin ωx ＋cos ωx)，其中0<ω<2. (1)若f(x)的周期为π，求当－π6≤x≤π3时，f(x)的值域；(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．【解析】 f(x)＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12.(1)因为T ＝π，所以ω＝1.当－π6≤x≤π3时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. (2)因为f(x)的图象的一条对称轴为 x ＝π3，所以2ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝k π＋π2(k∈Z )，ω＝32k ＋12(k∈Z )，又0<ω<2，所以－13<k<1，又k∈Z ，所以k ＝0，ω＝12.。

三角函数的图象与性质练习题及答案

三角函数的图象与性质（一）练习题一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是() A ．－1B ．－12C.12D ．12．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ()A.π6B.π4C.π3D.π23．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ()A ．6B ．7C ．8D ．9 4．已知在函数f (x )＝3sin πxR图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为() A ．1B ．2C ．3D ．45．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是`(D)6．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程；⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形．其中正确的序号为()A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤7．将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是()A ．y ＝2cos 2x B ．y ＝2sin 2x C ．y ＝1＋sin(2x ＋π4)D ．y ＝cos2x8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是()A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin4xD ．f (x )＝cos4x9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是()A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 10．若将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为() A.16B.14C.13D.1211．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数 I =A sin(ωt +φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示，则当t =1001秒时，电流强度是()A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安 12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象()A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(每小题6分，共18分)13．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－23x 的单调递增区间为______________．14．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.15．关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题：①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)16．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________．三、解答题(共40分)17．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．18．已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1(x ∈R ，ω>0)的最小正周期是π2.(1)求ω的值； (2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合． 19．设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时f (x )的值域； (2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．20．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+ b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程． 21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．22．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．三角函数的图象与性质练习题及答案一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是(B) A ．－1B ．－12C.12D ．12．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 (A)A.π6B.π4C.π3D.π23．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 (C)A ．6B ．7C ．8D ．9 4．已知在函数f (x )＝3sin πxR图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为(D) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是`(D)6．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程；⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形．其中正确的序号为(C)A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤7．将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是(A)A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4)D ．y ＝cos2x8．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是(A)A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin4xD ．f (x )＝cos4x9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是(D)A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 10．若将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为(D) A.16B.14C.13D.1211．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数 I =A sin(ωt +φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示，则当t =1001秒时，电流强度是(A)A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安 12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象(A)A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(每小题6分，共18分)13．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－23x 的单调递增区间为______________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤98π＋3k π，21π8＋3k π(k ∈Z )14．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.31415．关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)②③16．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________．2 三、解答题(共40分)17．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解(1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，又－π<φ<0，则－54<k <－14，∴k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .18．已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1(x ∈R ，ω>0)的最小正周期是π2.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．解(1)f (x )＝21＋cos2ωx2＋sin2ωx ＋1＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2ωxcos π4＋cos2ωxsin π4＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2. 由题设，函数f (x )的最小正周期是π2，可得2π2ω＝π2，所以ω＝2.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋2. 当4x ＋π4＝π2＋2k π，即x ＝π16＋k π2(k ∈Z )时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4取得最大值1，所以函数f (x )的最大值是2＋2，此时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝π16＋k π2，k ∈Z .19．设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时f (x )的值域； (2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．解f (x )＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12. (1)因为T ＝π，所以ω＝1.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，当－π6≤x ≤π3时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.(2)因为f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，所以2ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，ω＝32k ＋12(k ∈Z )，又0<ω<2，所以－13<k <1，又k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝12.20．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)由图象可知，函数的最大值M =3，最小值m =-1，则A =,1213,22)1(3=-==--b ，又π)6π32(2=-=πT ，∴2ππ2π2===T ω，∴f (x )=2sin(2x +φ)+1，将x =6π，y =3代入上式，得1)3π(=+ϕ∴π22π3πk +=+ϕ，k ∈Z ，即φ=6π+2k π，k ∈Z ，∴φ=6π，∴f (x )=2sin )6π2(+x +1. (2)由2x +6π=2π+k π，得x =6π+21k π，k ∈Z ， ∴f (x )=2sin )6π2(+x +1的对称轴方程为216π+=x k π，k ∈Z. 21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．解(1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2，将y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2×π12＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12.由22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12＝6，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12＝32.∵0<x <π，∴－π12<2x －π12<2π－π12.∴2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3，∴x ＝524π或x ＝38π，∴所求交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π24，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，6.22．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．解(1)由图象知A ＝2，T ＝8，∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图象过点(－1,0)，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0.∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝22cos π4x .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23，∴－3π2≤π4x ≤－π6.∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－22.。

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