高等代数-6.7子空间的直和
7.子空间的直和
反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 的秩为r＋s . 所以 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
§6.7 子空间的直和
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面
§6.7 子空间的直和
三、多个子空间的直和
1、定义
V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，若和
sБайду номын сангаас
Vi V1 V2 Vs 中每个向量 的分解式
§6.7 子空间的直和
一、两个子空间的直和 二、余子空间 三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和
引入
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形： 1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
§6.7 子空间的直和
注意：
余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1) 令 U L(1,2 ), W1 L(1 ), W2 L(2 ), 则 R3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
§6.7 子空间的直和
证：由题设，V1 L(1, 2 , , r ), dimV1 r V2 L(1,2 , ,s ), dimV2 s
V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ). 若 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关，
6.7 子空间的直和
一. 子空间直和的概念 二. 子空间直和的性质 三. 直和概念的推广及性质
一 子空间直和的概念
定义 9 V1，V2 是 V 的子空间，和 V1 +V2 称为直和，记成 V1 V2
V1+V2, 1 2 的分解式唯一（i Vi，i 1，2）
由该证明可得如下结论：设1, ,m,m1, ,n 是线性空间 V 的 基，则 V L(1, ,m,m1, ,n ) L(1, ,m ) L(m1, ,n )
三. 直和概念的推广及性质
定义 10 设 V1, V2 , , Vs 是 V 的子空间，若和 V1 V2 Vs 中每个
向量 的分解式 1 2 s (i Vi ,i 1, 2, ,s) 唯一，则称该和
为直和，记为 V1 V2 Vs .
定理 11
V1, V2 , , Vs 是 V 的子空间，则以下条件等价：
1) W Vi 是直和；
2) 零向量的表法唯一；
3) Vi
Vj {0}；
ji
4) dim W dimVi .
即说： V1 +V2 是直和 零向量 0 的分解式唯一.
证明： 显然. 1 2 1 2 , i , i Vi , i 1, 2
(1 1) (2 2 ) 0，i i Vi，i=1，2 题设
1 1 2 2 0 ，即i i，i 1，2 .
4. (定理 10) 设 U 是 V 的子空间 存在子空间 W，使 V UV . 证明： 取 U 的基1, ,m ，将其扩充为 V 的基1, ,m,m1, ,n ， 令 W L(m1, ,n ) → U W L(1, ,m ) L(m1, ,n ) ， a11 amm bm1 m1 bnn 因1, ,m ,m1, ,n 是 基 可推出 a1 am bm1 bn 0 ，即 0 V U V . □
(汇总)子空间的直和.ppt
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
.精品课件.
4
一、直和的定义
设 V1,V2 为线性空间V的两个子空间，若和 V1 V2
中每个向量 的分解式 1 2 , 1 V1,2 V
是唯一的，和 V1 V2就称为直和（direct sum）， 记作V1 V2 .
dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
dim(V1 V2 ) 0
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2、得之）
.精品课件.
11
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间， 则下面四个条件等价: （1）V1 V2 是直和 （2）零向量分解式唯一
（3）V1 V2 0
（4）dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
证：必要性.
若1 2 0, 1 V1,2 V2
V1 V2 是直和,
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
.精品课件.
7
充分性.
1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2 于是 (1 1 ) (2 2 ) 0
其中 1 1 V1, 2 2 V2
在和V1 V2 中，向量的分解式不唯一.
而在和 V1 V3 中，向量 的分解式是唯一的，
所以和 V1 V2 不是直和，V1 V3 是直和.
.精品课件.
6
二、直和的判定
1、(定理8)和V1 V2 是直和的充要条件是零向量 分解式唯一，
即若 1 2 0,1 V1,2 V2 ，则必有 1 2 0.
V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ).
.精品课件.
15
§7子空间的直和
W1 W2 L(1 ,, m ) L( 1 ,, s )
L(1 ,, m , 1 ,, s )
故 1 , 2 ,, m , 1 , 2 ,, s 的秩
dim(W1 W2 )
dim W1 dim W2 m s
是 W1 W2 的基. W1 W2 ,令
1 2 1 2 , 1 ,1 W1 , 2 ,2 W2
设
1 k11 k2 2 km m 2 l1 1 l2 2 l s s
1 l2 2 ls s 2 km m 2 l1 1 k11 k2
4) dim(W1 W2 Wt ) dimW1 dimW2 dimWt ; 5) 各取合起来构成的基.
例3 设
P nn 的子空间
S
A A P nn , A A ,
T A A P nn , A A
证明:
S T P nn .
0 1 2 , 1 W1 , 2 W2
则 1 0, 2 0 ;
3)
W1 W2 0.
证明 1) 2)显然的
.
2) 3) W1 W2 ,则 W1 , W2 ,由
0 ( ),因而 0 ,故 W1 W2 0 3) 1) 设 W1 W2 中的向量 的分解式为
1 2 , 1 W1 , 2 W2
是唯一的.称 W1 W2 为直和(direct sum), 记为 W1 W2
下面,我们讨论子空间的和是直和的等价条件. 定理7.1 设为数域上的线性空间的两个子空间.则下 列命题等价: 1) W1 W2 是直和; 2) 零向量分解式是唯一的.即若
高等代数 6-7子空间的直和
在和V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如 (2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2) 所以和 V1 V2不是直和.
V1 V2 是直和 1,2, ,r ,1,2, ,s 线性无关. 证：由题设，V1 L(1,2 , ,r ), dimV1 r V2 L(1,2, ,s ), dimV2 s V1 V2 L(1,2 , ,r ,1,2, ,s ). 若 1,2, ,r ,1,2, ,s 线性无关，
分解式唯一，即若 1 2 0,1 V1,2 V2 则必有 1 2 0.
证：必要性. V1 V2 是直和,
V1 V2, 的分解式唯一. 若1 2 0, 1 V1,2 V2
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
充分性. 设 V1 V2 ，它有两个分解式 1 2 1 2 , 1, 1 V1 , 2 , 2 V2 于是 (1 1) (2 2 ) 0 其中 1 1 V1, 2 2 V2
则它是 V1 V2 的一组基. 从而有
dim(V1 V2 ) r s dimV1 dimV2 V1 V2 是直和. 反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1,2, ,r ,1,2, ,s 的秩为r＋s . 所以 1,2, ,r ,1,2, ,s 线性无关.
dim(V1 V2 ) 0
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2、得之）
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面 四个条件等价:
1） V1 V2 是直和 2）零向量分解式唯一
高等代数中子空间直和的证明方法及应用
高等代数中子空间直和的证明方法及应用高等代数中子空间直和的证明方法及应用是一个重要的概念，也称为微分空间直和原理。
它可以用来证明各种类型的几何图形及其他几何结构的等价性，甚至可以用来证明不同类型的空间布局的等价性。
子空间直和定理指出，一个空间可以转化为其子空间的“直和”；也就是说，可以将原空间分解为若干子空间，并使用这些子空间重新构建原空间。
通常情况下，证明子空间直和会主要做以下几步：
（1）首先证明原空间本身是由它的一系列子空间组成的；（2）接着将上面的子空间称之为有界空间；
（3）然后，可以使用微分空间的直和原理将有界空间的子空间结合起来，并且令其它的子空间等价的表示出来。
高等代数中子空间直和的应用十分广泛，它可以用来证明各种类型的几何图形及其他几何结构的等价性。
例如，如果旋转某一几何图形，某一点会绕着某一点旋转，其他点会随之旋转，从而引出旋转群的概念，并被用于更具体的应用，比如识别特征。
另外，如果将空间分割为平面和三维空间，我们可以使用子空间直和原理来证明任意空间的几何结构的等价性，而不管它处于何种空间内。
此外，子空间直和在研究几何重整学中也非常有用，它可以用来证明形状重整的可能性，例如将正六边形重整为正三角形，可以用它来研究多维空间中的曲线和曲面，以及连通性等相关问题。
总之，高等代数中子空间直和的证明方法及应用十分广泛，可以帮助我们更好地理解几何图形、多维空间及其他几何结构的等价性，从而应用到实际中。
高等代数§6.7子空间的直和
由 V1 , 必有 P , 使A .
n
由 V2 , 有A 0.
从而
A A A( A ) A 0.
2
V1 V2 0
所以 P n V1 V2 .
练习 1 设V1 、V2分别是齐次线性方程组① 与②的
解空间： x1 x2 xn 0 ① ②
(2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2)
所以和 V1 V2不是直和.
而在和 V1 V3 中，向量 (2,2,2)的分解式是唯一的，
(2,2,2) (2,2,0) (0,0,2)
事实上，对 (a1 , a2 , a3 ) V1 V3 ,
2) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
此时 dim(V1 V2 ) 0,
V1 V2 不含非零向量，即 V1 V2 0
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
一、直和的定义
设 V1 ,V2为线性空间V的两个子空间，若和 V1 V2 中每个向量 的分解式
n
V1 V2
又 dimV dimV ( n 1) 1 n dim P n 1 2
P n V1 V2
练习： 2、和 V1 V2 Vs 是直和
Vi V j 0 ,
j 1 i 1
i 1,2,, s
证: " " 若V1 V2 Vs 是直和,
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义
二、直和的判定 三、多个子空间的直和
引入
设 V1 ,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式
高等代数中子空间直和的证明方法及应用
高等代数中子空间直和的证明方法及应用高等代数中子空间直和可以证明向量空间中子空间的组合是一个新的子空间。
它有助于理解整个子空间的构成，例如子空间变换，因此，在高等代数中应用这一方法非常常见。
子空间直和的证明方法主要有两种：结构性证明和数学归纳法证明。
结构性证明由于其较好的直观效果，通常被推荐用来证明子空间直和。
结构性证明的步骤如下：首先，在子空间V和W中定义两个线性表达式a和b，满足ax + bz = 0，这样就定义了子空间V和W的和空间。
其次，证明任何向量x + z在子空间V和W中均为零。
对于任意给定的向量x + z，设α和β分别为它在V和W中的系数，由于αx + βz = 0，所以它必定等于零。
最后，证明每个给定的向量限于V和W的和的子空间。
由于它们均可以由V和W中定义的线性组合给出，因此限于V和W的和的子空间中的任何向量必定都可以写成V和W的线性组合。
这就是子空间直和的证明。
子空间直和在多个领域中得到了广泛应用，如数值分析、线性代数、统计学中等。
在数值分析中，子空间直和常常用于求解多元函数的最小值。
由于多元函数的大部分特性都可以用子空间直和来表示，所以在求解最优解时，可以使用它来作为一种简单的证明方法。
在线性代数中，子空间直和可以用来证明一个矩阵A的某个子空间P是一个空间基的子空间。
由于任意矩阵A都可以由一组空间基来表示，因此用子空间直和来证明一个矩阵A的子空间P是一个空间基子空间有其独特的优势。
在统计学中，子空间直和可以用来求解某类随机变量的数学期望。
假设X和Y是两个独立的变量，则E(X + Y) = E(X) + E(Y)。
由于E(X + Y) = E(X) + E(Y)，因此它可以用来证明任何随机变量的数学期望的等式。
总之，高等代数中的子空间直和可以用来证明子空间的组合是一个新的子空间，而证明方法主要有结构性证明和数学归纳法证明，并在数值分析、线性代数、统计学等多个领域得到广泛应用。
子空间的直和与直和分解
子空间的直和与直和分解在线性代数中，我们学习了向量空间的概念和性质。
而向量空间可以由子空间构成，子空间是向量空间中的一个非空集合，满足加法和标量乘法封闭性的子集。
本文将探讨子空间之间的直和和直和分解。
一、子空间的直和在向量空间V中，如果存在子空间U和W，满足两个条件：1.U∩W={0}；2. V是U和W的和集，即任意向量v∈V可以表示为u+w 的形式，其中u∈U，w∈W；那么我们称子空间U和W的直和为子空间V的直和。
直和的概念可以类比于数字的加法。
例如，我们将数字3表示为1+2，其中1和2是3的因子。
同样地，如果向量v可以表示为u+w，其中u和w是v的因子，那么我们可以将向量v看作是子空间U和W 的直和。
二、子空间的直和分解在向量空间V中，如果存在子空间U和W，满足两个条件：1.U∩W={0}；2. 任意向量v∈V，都可以唯一地表示为u+w的形式，其中u∈U，w∈W；那么我们称v关于子空间U和W的直和分解。
直和分解是一种将向量分解为两个子空间的方法。
这种分解在很多算法和数学问题中都有广泛的应用。
例如，对于矩阵的特征值分解和奇异值分解等问题，都可以采用直和分解的方式来求解。
三、子空间的例子与应用1. 平面的直和分解：考虑平面上的向量空间R^2，其中存在两个子空间U和W，分别表示x轴和y轴上的向量。
显然，两个子空间的交集为零向量{0}，任意向量v可以唯一地表示为x轴和y轴上的分量之和。
因此，平面的直和分解是R^2的一种典型示例。
2. 空间的直和分解：类似地，在三维空间R^3中，我们可以将空间分为三个子空间：XY平面、YZ平面和ZX平面。
这三个平面两两相交于一条直线，即它们的交集为零向量{0}。
因此，任意向量v可以唯一地表示为这三个平面上的分量之和。
子空间的直和和直和分解在线性代数的理论和实践中具有重要作用。
它们不仅可以帮助我们理解向量空间的性质和结构，还可以应用于各种数学和工程问题中，例如线性方程组的求解、矩阵分解和数据压缩等。
子空间的和与直和的区别
直和的数学定义
直和的定义是指两个或多个向量或子空间合并成一个新的向量或子空间，其中每个原始向量或子空间都是该新向量或子空间 的一个子集。
直和可以通过向量的加法运算或子空间的直积来定义。
直和的物理意义
直和在物理中有广泛的应用 ，例如在量子力学、电磁学
和机械力学等领域中。
1
在量子力学中，直和可以用 于描述两个或多个量子态的
THANKS
感谢观看
应用上的区别
子空间和的应用
子空间和在信号处理、图像处理等领域中有 着广泛的应用。例如，可以将一个信号分解 为多个子空间的叠加，从而对信号进行更好 的分析和处理。
直和的应用
直和在数学、物理等领域中有着广泛的应用 。例如，在数学中，可以将多个向量空间中 的元素进行直和，从而得到一个新的向量空 间；在物理中，可以将多个物理量进行直和 ，从而得到一个新的物理量。
子空间和可以描述物理系统的组合，例如两个粒子的状态可以表示为两个子空间的 和。
子空间和可以描述量子叠加态，即多个量子态的组合。
02 直和的定义
直和的基本概念
直和是一种数学概念，用于描述两个或多个向量或子空间的合并方式。
直和是一种特殊的向量或子空间合并方式，其中两个或多个向量或子空间合并成一个新的向量或子空 间。
构成。
子空间和的物理应用例子
要点一
量子力学
在量子力学中，波函数是一种重要的物理量，它描述了粒 子的状态。波函数可以定义在一个无限维的函数空间中， 而这个空间的子空间可以用来描述不同的物理状态。
要点二
信号处理
在信号处理中，常常需要将信号投影到一个低维子空间中 以实现信号的压缩和降噪。例如，在主成分分析中，原始 数据可以被投影到一个由数据的主要成分构成的子空间中 。
子空间直和的判定与证明
子空间直和的判定与证明子空间的直和是指两个或多个子空间的并等于它们的直和。
在线性代数中，我们经常需要判断两个子空间的直和关系，并且需要给出证明。
下面将详细介绍子空间直和的判定和证明方法。
首先，我们先回顾子空间的定义。
设V是一个线性空间，U和W是V 的两个非空子集。
如果U和W都是V的子空间，并且U和W的和空间等于V，即U+W=V，则称U和W是V的一个直和，记作V=U⊕W。
接下来我们来讨论子空间直和的判定方法。
设V是一个线性空间，U 和W是V的两个子空间。
要判断U和W是否是V的直和，我们需要验证以下三个条件：1.U+W=V：也就是说，对于V中的任意一个向量v，都可以表示为v=u+w的形式，其中u属于U，w属于W。
2.U∩W={0}：也就是说，U和W的交集只包含零向量。
3.U和W的交集只有零向量时，任意向量u+w=0的表示方式唯一、也就是说，如果u1+w1=u2+w2，其中u1和u2属于U，w1和w2属于W，则u1=u2，w1=w2当满足上述三个条件时，我们可以得出结论，U和W是V的直和。
接下来我们来看一个具体的例子，并给出证明。
例子：设V=R^3，U和W是V的两个子空间，其中U={(x,y,z)，x+y+z=0}W={(x,y,z)，x=y=z}我们需要判断U和W是否是V的直和。
首先，我们验证条件1：对于V中的任意一个向量(x,y,z)，是否都可以表示为v=u+w的形式，其中u属于U，w属于W。
可以取一个任意向量(x,y,z)，我们需要找到u和w，使得x=u+w满足。
观察U的定义可以得到，当x+y+z=0时，向量(x,y,z)属于U。
同理，当x=y=z时，向量(x,y,z)属于W。
当我们取u=(x,y,z)和w=(0,0,0)时，显然u属于U，w属于W，并且u+w=(x,y,z)。
所以，条件1满足，即U+W=V。
其次，我们验证条件2：是否有U∩W={0}。
显然，U和W的交集就是满足x+y+z=0且x=y=z的向量。
子空间直和的判定与证明
子空间直和的判定与证明一、直和的定义：设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2，α1∊V1，α2∊V2，是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.二、判定定理：1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式α1+α2=0，αi∊Vi （i=1,2）只有在αi全为零向量时才成立.证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。
必要性：显然成立；充分性：设α∊V1+V2，它有两个分解式α=α1+α2=β1+β2，αi,βi∊Vi （i=1,2）于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.其中αi-βi∊Vi （i=1,2）.由定理的条件，应有α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）.这就是说，向量α的分解式是唯一的。
2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是 V1∩V2={0}.证明：充分性：假设α1+α2=0，αi∊Vi （i=1,2）那么α1=-α2∊ V1∩V2.由假设α1=α2=0.这就是证明了V1+V2是直和。
必要性：任取向量α∊V1∩V2，于是零向量可以表成0=α+（-α），α∊V1，—α∊V2.因为是直和，所以α=-α=0，这就证明了V1∩V2={0}.3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，维（V1∩V2）=0，则 V1∩V2={0}，由定理2得，V1+V2是直和。
必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2），由定理2得，V1+V2是直和的充分必要条件是V1∩V2={0}，这与维（V1∩V2）=0等价，则维（W）=维（V1）+维（V2）.4.定理：设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W，使V=U⊕W.证明：取U得一组基α1，……，αm，把它扩充为V的一组基α1，……，αm，αm+1，……，αn，令W=L（αm+1，……，αn）.W即满足条件。
直和定义
∴ ki1 = = kiri = 0, α = 0
(3) ⇒ (1) α = α1 + + αi + + αs , αi ∈Vi , i = 1, 2, , s
α = β1 + + βi + + β s , βi ∈Vi , i = 1, 2, , s
∑ ∑ 于是得 αi − βi ∈Vi , (α j − β j ) ∈ Vj
j≠i
j≠i
于是 α = α1 + + αi−1 + αi+1 + + α s , α j ∈Vj , j ≠ i
即有 α1 + + αi−1 + α + αi+1 + + α s = 0,
因此
α = 0,
故
∑ Vi ∩ Vj = {0}, i = 1, 2, , s.
Hale Waihona Puke j≠i第六章 线性空间
(3) ⇒ (4) 设 αi1, ,αiri 是 Vi 的一个基，i = 1, 2, , s
分解式 α = α1 + α2 是唯一的，指的是：
若
α = α1 + α2 = β1 + β2 , α1 , β1 ∈V1 , α2 , β2 ∈V2
则
α1 = β1, α2 = β2
第六章 线性空间
二、直和的判定
下面的定理给出子空间的和是直和的几个等价条件。
定理6.7.1：设 V1,V2是线性空间V的子空间，记 V = V1 + V2 , 下面四个命题彼此等价。
若还有
α = β1 + β2 , βi ∈Vi
§7 子空间的直和
上述结论的证明和 s = 2的情形基本是一样的，不再 赘述.
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子空间的和是直和的充分必要条件 (1)和V1＋V2是直和 (1) (2）定理8 (2）定理8 若 α1 + α 2 = 0,α1 ∈ V1 ,α 2 ∈ V2 , 则必有 α1 = α 2 = 0. 即零向量的分解是唯一的. V1 I V2 = {0} (3） (3）推论 (4）定理9 dim(V1 + V2 ) = dimV1 + dimV2 (4）定理9 （ 3） 是显然的. （4）是显然的.
§7 子空间的直和
定义9 定义9
设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1＋V2 中每个向量 α 的分解式 α = α1 + α 2 ,α1 ∈ V1 ,α 2 ∈ V2 , 是唯一的，这个和就称为直和 直和，记为V1 ⊕ V2 . 直和
注 验证α 的分解式是唯一的，即若设
α = α1 + α 2 = β1 + β 2 , α i , βi ∈ Vi , i = 1, 2.
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结束
思考： 思考：对于同一个子空间U，满足定理10要求的 W是否是唯一的？ 回答是否定的.例如
V = U ⊕ W1 = U ⊕ W2 , z V=
3
W1 W2
显然W1 ≠ W2 .
O
U x
y
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结束
多个子空间的直和
定义10 定义10
设V1, V2,…, Vs线性空间V 的子空间，如果和 V1 + V2 + L + Vs 中每个向量 α 的分解式 α = α1 + α 2 + L + α s ,
高等代数第六章7第七节 子空间的直和 太原理工大学
( i = 1 , 2 ,⋯ , s ) ;
4）维(W)=∑维(Vi) . ） 维 这个定理的证明和s=2的情形基本一样，这里就不 这个定理的证明和 的情形基本一样， 定理的证明 的情形基本一样 再重复了. 再重复了
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V1+V2中每个向量 的分解式 每个向量α的
定理8 和V1+V2是直和的充分必要条件是等式 直和的充分必要条件是等式 定理 α1+α2=0, α1∈V1, α2∈V2 只有在α 全为零(α 时才成立. 只有在 1 , α2全为零 1=α2=0)时才成立 时才成立 定理的条件实际上就是： 证明 定理的条件实际上就是：零向量的分解式是 唯一的. 因而这个条件显然是必要的 下面来证这 这个条件显然是必要的. 唯一的 因而这个条件显然是必要的 下面来证这 个条件的充分性. 个条件的充分性. 它有两个分解式 设α∈V1+V2 ，它有两个分解式 ∈ α=α1+α2=β1+β2 ，αi,βi∈Vi (i=1,2). 于是 (α1-β1)+(α2-β2)=0 .
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子空间的直和的概念可以推广到多个子空间的 子空间的直和的概念可以推广到多个子空间的 直和的概念可以推广到多个子空间 情形. 情形 定义10 设V1,V2,…,Vs 都是线性空间 的子空间， 定义 都是线性空间V的子空间， 线性空间 如果和 中每个向量α的 如果和V1+V2+…+Vs中每个向量 βi∈Vi (i=1,2). 由定理的条件，应有 αi-βi=0，αi=βi (i=1,2). ， 这就是说，向量α的分解式是唯一的. 这就是说，向量 的分解式是唯一的 证毕. 证毕
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§6.7 子空间的直和
2、和 V1 V2是直和 V1 V2 0.
证：“ ” 若1 2 0, 1 V1, 2 V2 .
则有 1 2 V1 V2 0
1 2 0, 即V1 V2 是直和. “ ” 任取 V1 V2 , 于是零向量可表成
0 ( ), V 1, V2.
再证 Pn V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
任取 V1 V2, 即 V1且 V2 . 由 V1, 必有 Pn, 使A . 由 V2 , 有A 0. 从而 A A2 A( A ) A 0.
V1 V2 0
所以 Pn V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
练习 1 设V1 、V2分别是齐次线性方程组① 与②的
§6.7 子空间的直和
充分性. 设 V1 V2 ，它有两个分解式 1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2
于是 (1 1 ) (2 2 ) 0 其中 1 1 V1, 2 2 V2
由零向量分解成唯一，且 0= 0 0,
有 1 1 0, 2 2 0. 即 1 1, 2 2 的分解式唯一.
在(*)式中，设最后一个不为0的向量是 i , (i s)
则(*)式变为 0 1 2 i ,
这时， 1 2 i1 i i Vi (V1 V2 Vi1 ) Vi
即 i 0, 矛盾. 所以，V1 V2
§6.7 子空间的直和
i 1
Vj {0}
j 1
Vs 是直和.
任取 A , A V1, k P, 有
A A A( ) V1, k( A ) A(k ) V1.
V1 是 Pn的子空间.
§6.7 子空间的直和
下证V2 是 Pn的子空间. A0 0, 0 V2
又对 , V2 , k P, 有 A 0, A 0,
从而有 A( ) A A 0 0 0 A(k ) kA k0 0
§6.7 子空间的直和
而在和 V1 V3 中，向量 (2,2,2)的分解式是唯一的， (2,2,2) (2,2,0) (0,0,2)
事实上，对 (a1,a2 ,a3 ) V1 V3 , 都只有唯一分解式： (a1,a2 ,0) (0,0,a3 ).
故 V1 V2是直和.
§6.7 子空间的直和
则 R3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
§6.7 子空间的直和
5、设 1, 2 , , r ; 1,2 , ,s 分别是线性子空间
V1,V2 的一组基，则
V1 V2 是直和 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关. 证：由题设，V1 L(1, 2 , , r ), dimV1 r V2 L(1,2 , ,s ), dimV2 s V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ). 若 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关，
dim(V1 V2 ) 0
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2、得之）
§6.7 子空间的直和
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面
四个条件等价: 1） V1 V2 是直和 2）零向量分解式唯一
3） V1 V2 0
4）dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 4、(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间， 则必存在一个子空间W，使 V U W .
则它是 V1 V2 的一组基. 从而有
§6.7 子空间的直和
dim(V1 V2 ) r s dimV1 dimV2 V1 V2 是直和. 反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 的秩为r＋s . 所以 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
二、直和的判定
1、(定理8) 和 V1 V2是直和的充要条件是零向量
分解式唯一，即若 1 2 0,1 V1,2 V2 则必有 1 2 0.
证：必要性. V1 V2 是直和, V1 V2 , 的分解式唯一. 若1 2 0, 1 V1,2 V2
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
解空间：
x1 x2
xn 0
①
x1 x2
xn
②
证明: Pn V1 V2
证：解齐次线性方程组①，得其一个基础解系
1 (1,0, ,0,1) 2 (0,1, ,0, 1)
n1 (0,0, ,1, 1)
§6.7 子空间的直和
V1 L(1 , 2 , , n1 ).
再解齐次线性方程组②.
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，若和V1 V2 中每个向量 的分解式
1 2 , 1 V1,2 V
是唯一的，和 V1 V2就称为直和，记作 V1 V2 .
注: ① 分解式 1 2 唯一的，意即
若有 1 2 1 2 , 1 , 1 V1 ,2 , 2 V2 则 1 1,2 2.
§6.7 子空间的直和
2、判定
设 V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，则下面
四个条件等价:
s
1）W Vi是直和
i 1
2）零向量分解式唯一，即
1 2 s 0, i Vi , 必有 i 0, i 1, 2, , s
3） Vi Vj 0,i 1,2, , s
ji s
4）dimW dimVi
由于V1 V2 是直和，零向量分解式唯一，
0. 故 V1 V2 0.
§6.7 子空间的直和
3、和 V1 V2 是直和 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 证：由维数公式
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) 有， dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
§6.7 子空间的直和
三、推广 多个子空间的直和
1、定义
V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，若和
s
Vi V1 V2 Vs 中每个向量 的分解式
i 1
1 2 s , i Vi , i 1, 2, , s
s
是唯一的，则和 Vi 就称为直和，记作
i 1
V1 V2 Vs
§6.7 子空间的直和
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间
V1 L(1, 2 ), V2 L( 2 , 3 ), V3 L( 3 ) 这里，1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
在和V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如 (2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2) 所以和 V1 V2不是直和.
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和
引入
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形： 1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
§6.7 子空间的直和
2) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0,
V1 V2 不含非零向量，即 V1 V2 0
由 x1 x2
xn
x1 xn 0
即
x2 xn
0
xn1
xn
0
得②的一个基础解系 (1,1, ,1)
V2 L( ). 考虑向量组 1 , 2 , , n1,
§6.7 子空间的直和
10
01 由于 0 0
0 1 0 1 1 1 0
11 1 1
1 , 2 , , n1, 线性无关，即它为Pn的一组基.
i 1
故 V L(1) L( 2 ) L( n ).
§6.7 子空间的直和
得证.
例 2、已知 A Pnn，设
V1
AX
X
P
n
,
V2
X
X P n , AX
0
证明：1）V1、V2 是 Pn的子空间.
2）当 A2 A 时， Pn V1 V2 .
证：1） 0 A0, 0 V1
称这样的W为V的一个关于U的余子空间.
§6.7 子空间的直和
证：取U的一组基 1 ,2 , ,m 把它扩充为V的一组基 1 ,2 , ,m ,m1 , ,n 令 W L(m1 ,m2 , ,n ), 则 V U W .
注意：
余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1) 令 U L(1,2 ), W1 L(1 ), W2 L(2 ),
Pn L(1 , 2 , , n1 , n ) L(1 , 2 , , n1 ) L( n )
V1 V2 又 dimV1 dimV2 (n 1) 1 n dim Pn
P n V1 V2
§6.7 子空间的直和
练习： 2、和 V1 V2 Vs 是直和
i 1
Vi Vj 0,
j 1
i 1,2, , s
证: " " 若V1 V2 Vs是直和,
则 Vi Vj 0,
ji
i 1