高等代数-6.7子空间的直和

则 R3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
§6.7 子空间的直和
5、设 1, 2 , , r ; 1,2 , ,s 分别是线性子空间
V1,V2 的一组基，则
V1 V2 是直和 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关. 证：由题设，V1 L(1, 2 , , r ), dimV1 r V2 L(1,2 , ,s ), dimV2 s V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ). 若 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关，
Pn L(1 , 2 , , n1 , n ) L(1 , 2 , , n1 ) L( n )
V1 V2 又 dimV1 dimV2 (n 1) 1 n dim Pn
P n V1 V2
§6.7 子空间的直和
练习： 2、和 V1 V2 Vs 是直和
i 1
Vi Vj 0,
§6.7 子空间的直和
充分性. 设 V1 V2 ，它有两个分解式 1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2
于是 (1 1 ) (2 2 ) 0 其中 1 1 V1, 2 2 V2
由零向量分解成唯一，且 0= 0 0,
有 1 1 0, 2 2 0. 即 1 1, 2 2 的分解式唯一.
§6.7 子空间的直和
2、判定
设 V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，则下面
四个条件等价:
s
1）W Vi是直和
i 1
2）零向量分解式唯一，即
1 2 s 0, i Vi , 必有 i 0, i 1, 2, , s
3） Vi Vj 0,i 1,2, , s
ji s
4）dimW dimVi
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和
引入
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
§6.7 子空间的直和
而在和 V1 V3 中，向量 (2,2,2)的分解式是唯一的， (2,2,2) (2,2,0) (0,0,2)
事实上，对 (a1,a2 ,a3 ) V1 V3 , 都只有唯一分解式： (a1,a2 ,0) (0,0,a3 ).
故 V1 V2是直和.
§6.7 子空间的直和
称这样的W为V的一个关于U的余子空间.
§6.7 子空间的直和
证：取U的一组基 1 ,2 , ,m 把它扩充为V的一组基 1 ,2 , ,m ,m1 , ,n 令 W L(m1 ,m2 , ,n ), 则 V U W .
注意：
余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1) 令 U L(1,2 ), W1 L(1 ), W2 L(2 ),
i 1
故 V L(1) L( 2 ) L( n ).
§6.7 子空间的直和
得证.
例 2、已知 A Pnn，设
V1
AX
X
P
n
,
V2
X
X P n , AX
0
证明：1）V1、V2 是 Pn的子空间.
2）当 A2 A 时， Pn V1 V2 .
证：1） 0 A0, 0 V1
V2 , k V2
故 V2 是 Pn的子空间.
§6.7 子空间的直和
2）先证 Pn V1 V2.
任取 Pn, 有 A ( A ),
其中 A V1, 又 A( A ) A A2 A A 0
A V2 . 于是有 V1 V2 . Pn V1 V2 .
又 V1 V2是 Pn的子空间， Pn V1 V1.
§6.7 子空间的直和
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间
V1 L(1, 2 ), V2 L( 2 , 3 ), V3 L( 3 ) 这里，1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
在和V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如 (2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2) 所以和 V1 V2不是直和.
任取 A , A V1, k P, 有
A A A( ) V1, k( A ) A(k ) V1.
V1 是 Pn的子空间.
§6.7 子空间的直和
下证V2 是 Pn的子空间. A0 0, 0 V2
又对 , V2 , k P, 有 A 0, A 0,
从而有 A( ) A A 0 0 0 A(k ) kA k0 0
有两种情形： 1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
§6.7 子空间的直和
2) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0,
V1 V2 不含非零向量，即 V1 V2 0
j 1
i 1,2, , s
证: " " 若V1 V2 Vs是直和,
则 Vi Vj 0,
ji
i 1
又 Vi
Vj Vi
Vj
j 1
ji
i 1
Vi Vj 0,
j 1
i 1,2, , s
§6.7 子空间的直和
" " 假若V1 V2 Vs不是直和, 则零向量还有一个分解式
0 1 2 s , j Vj , j 1,2, , s （*）
dim(V1 V2 ) 0
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2、得之）
§6.7 子空间的直和
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面
四个条件等价: 1） V1 V2 是直和 2）零向量分解式唯一
3） V1 V2 0
4）dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 4、(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间， 则必存在一个子空间W，使 V U W .
则它是 V1 V2 的一组基. 从而有
§6.7 子空间的直和
dim(V1 V2 ) r s dimV1 dimV2 V1 V2 是直和. 反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 的秩为r＋s . 所以 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
在(*)式中，设最后一个不为0的向量是 i , (i s)
则(*)式变为 0 1 2 i ,
这时， 1 2 i1 i i Vi (V1 V2 Vi1 ) Vi
即 i 0, 矛盾. 所以，V1 V2
§6.7 子空间的直和
i 1
Vj {0}
j 1
Vs 是直和.
再证 Pn V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
任取 V1 V2, 即 V1且 V2 . 由 V1, 必有 Pn, 使A . 由 V2 , 有A 0. 从而 A A2 A( A ) A 0.
V1 V2 0
所以 Pn V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
练习 1 设V1 、V2分别是齐次线性方程组① 与②的
由 x1 x2
xn
x1 xn 0
即
x2 xn
0
xn1
xn
0
得②的一个基础解系 (1,1, ,1)
V2 L( ). 考虑向量组 1 , 2 , , n1,
§6.7 子空间的直和
10
01 由于 0 0
0 1 0 1 1 1 0
11 1 1
1 , 2 , , n1, 线性无关，即它为Pn的一组基.
由于V1 V2 是直和，零向量分解式唯一，
0. 故 V1 V2 0.
§6.7 子空间的直和
3、和 V1 V2 是直和 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 证：由维数公式
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) 有， dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
故 V1 V2 是直和.
§6.7 子空间的直和
2、和 V1 V2是直和 V1 V2 0.
证：“ ” 若1 2 0, 1 V1, 2 V2 .
则有 1 2 V1 V2 0
1 2 0, 即V1 V2 是直和. “ ” 任取 V1 V2 , 于是零向量可表成
0 ( ), V 1, V2.
i 1
§6.7 子空间的直和
例1、每一个n 维线性空间都可以表示成 n 个一维
子空间的直和.
证：设 1, 2 , , n 是 n 维线性空间V的一组基,
则 V L(1, 2 , , n )
L(1 ) L( 2 ) L( n )
而 dim L( i ) 1, i 1,2, , n
s
dim L(i ) n dimV
解空间：
x百度文库 x2
xn 0
①
x1 x2
xn
②
证明: Pn V1 V2
证：解齐次线性方程组①，得其一个基础解系
1 (1,0, ,0,1) 2 (0,1, ,0, 1)
n1 (0,0, ,1, 1)
§6.7 子空间的直和
V1 L(1 , 2 , , n1 ).
再解齐次线性方程组②.
§6.7 子空间的直和
三、推广 多个子空间的直和
1、定义
V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，若和
s
Vi V1 V2 Vs 中每个向量 的分解式
i 1
1 2 s , i Vi , i 1, 2, , s
s
是唯一的，则和 Vi 就称为直和，记作
i 1
V1 V2 Vs
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，若和V1 V2 中每个向量 的分解式
1 2 , 1 V1,2 V
是唯一的，和 V1 V2就称为直和，记作 V1 V2 .
注: ① 分解式 1 2 唯一的，意即
若有 1 2 1 2 , 1 , 1 V1 ,2 , 2 V2 则 1 1,2 2.
二、直和的判定
1、(定理8) 和 V1 V2是直和的充要条件是零向量
分解式唯一，即若 1 2 0,1 V1,2 V2 则必有 1 2 0.
证：必要性. V1 V2 是直和, V1 V2 , 的分解式唯一. 若1 2 0, 1 V1,2 V2
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.