立体几何证明垂直专项含练习题及答案

立体几何证明------垂直

一.复习引入

1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。

2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________.

3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。

4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行

5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么_________________________.

6.两个平面的位置关系:_________,_________.

7.判定定理1：如果一个平面有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行.

8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理

要点诠释：定义中“平面的任意一条直线”就是指“平面的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线

线垂直线面垂直）

Ⅰ.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二

面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）

二面角的平面角的三个特征:

ⅰ. 点在棱上 ⅱ. 线在面 ⅲ.

与棱垂直

Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；围：000180θ<<.

知识点四、平面和平面垂直的定义和判定

（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼）

三．常用证明垂直的方法

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：

（1） 通过“平移”。

（2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。

（4） 利用直径所对的圆周角是直角

(1) 通过“平移”,根据若则a //b,且b⊥平面α,a⊥平面α

1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=2

1

DC ，中点为PD E . 求证：AE ⊥平面PDC.

2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ， ∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点．求证：平面PCE ⊥平面PCD ；

（第2题

（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质

3、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；

（3）利用勾股定理

4.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1

的正方形，,1,PA CD PA PD ⊥== 求证:PA ⊥平面ABCD ；

_ D

_ C

_ B

_ A

_ P

A

C

B

P

（4）利用直径所对的圆周角是直角

5、如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，P A ⊥平面ABC . （1）求证：平面P AC ⊥平面PBC ；

课堂及课后练习题：

1.判断下列命题是否正确，对的打“√”，错误的打“×”。 （1）垂直于同一直线的两个平面互相平行 （ ） （2）垂直于同一平面的两条直线互相平行 （ ）

（3）一条直线在平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直（ ）

2.已知直线

a,b

和平面α

，且,,a b a α⊥⊥则

b

与α

的位置关系是

________________________________________________.

3.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且1

2

DF AB =

,PH 为PAD ∆中AD 边上的高。 （1）证明：PH ABCD ⊥平面；

4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, P A ＝AD 。 证明: BE PDC ⊥平面;

5.如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 º 证明：AB ⊥PC

6.如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，

2,CA CB CD BD AB AD ====== （1）求证：AO ⊥平面BCD ； （2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；

7.如图，四棱锥S ABCD -中，BC

AB ⊥,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，

2,1AB BC CD SD ====．

（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;

8.如图，在圆锥PO 中，已知PO =2，⊙O 的直径2AB =,C 是狐AB 的中点，D 为AC 的中点．证明：平面POD ⊥平面PAC ;

课堂及课后练习题答案：