离散数学第十章+群与环资料讲解

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10第十章群与环

因此对于G中阶大于2的元素a，必有 aa-1 。
又由于|a|=|a-1|, 所以G中阶大于2的元素一定成对出现。即G中若含有阶大于2的元素，一定是偶数个。
§10.2
子群是群的子代数。
群的定义及性质
【定义10.5】设G是群，H是G的非空子集，如果ห้องสมุดไป่ตู้ 关于G中的运算构成群，则称H是G的子群，记做 H G。
必要性。存在整数 m 和 i 使得 k = mr +i ( 0 i r–1)
从而有 e = ak = amr+i = (ar)mai = eai = ai 因为| a | = r，所以有 i = 0。这证明了 r|k
(2) 由 (a–1)r = (ar)–1 = e–1 = e 可知 a–1 的阶一定存在。令| a–1 | = t , 则从以上证明可得 t|r 而 a 又是 a–1 的逆元，所以 a 的阶也是 a–1 的阶的因子，即 r|t 。因此可得，r = t ，即| a–1 | = | a | 【例10.6】设G是群，a,bG是有限阶元。证明： (1) | b–1ab | = | a | (2) | ab | = | ba |
【定理10.3】设G为群, aG , 且| a | = r。设k为整数，则
(1) ak = e当且仅当 r|k (即 k = mr ) (2) | a–1 | = | a | 证： (1) 充分性由于r|k，必存在整数m使得k=mr, 所以有 ak = amr = (ar)m = em = e
群的重要性质【定理10.1】设G为群，则G中的幂运算满足： (1) aG, (a–1)–1 = a (2) a,bG, (ab)–1 = b–1a–1 (3) aG, anam= an+m, n,mZ (4) aG, (an)m= anm, n,mZ (5) 若G为交换群，则(ab)n = anbn 定理10.1的(2)可以推广到有限多个元素的情况, 即

群与环的基本概念与性质

群与环的基本概念与性质群与环是数学中重要的代数结构，它们具有丰富的性质和应用。

本文将介绍群与环的基本概念，并探讨它们的性质。

一、群的基本概念与性质群是一种包含了代数运算的集合，它满足以下几个条件：1. 封闭性：对于群中的任意两个元素，它们的运算结果仍然在群中。

2. 结合律：群中的代数运算满足结合律，即对于群元素a、b和c，(a•b)•c = a•(b•c)。

3. 单位元：群中存在一个特殊的元素e，称为单位元，对于群中的任意元素a，a•e = e•a = a。

4. 逆元：对于群中的任意元素a，存在一个元素b，使得a•b = b•a = e，其中e为单位元。

元素b称为元素a的逆元。

群的性质还包括以下几个重要的特点：1. 唯一性：群中的单位元是唯一的，对于任意元素a，它的逆元也是唯一的。

2. 消去律：对于群中的任意三个元素a、b和c，如果a•b = a•c，那么b = c。

类似地，如果b•a = c•a，那么b = c。

3. 关于单位元的运算规则：对于群中的任意元素a，a•e = e•a = a。

4. 子群：如果一个集合在同一运算下构成一个群，并且它是原群的子集，则称这个集合为原群的子群。

二、环的基本概念与性质环是一种包含了两种代数运算的集合，它满足以下几个条件：1. 封闭性：对于环中的任意两个元素，它们的加法和乘法结果仍然在环中。

2. 加法结合律和乘法结合律：环中的加法和乘法满足结合律，即对于环元素a、b和c，(a+b)+c = a+(b+c)，(a*b)*c = a*(b*c)。

3. 加法单位元：环中存在一个特殊的元素0，称为加法单位元，对于环中的任意元素a，a+0 = 0+a = a。

4. 加法逆元：对于环中的任意元素a，存在一个元素-b，使得a+b = b+a = 0。

元素-b称为元素a的加法逆元。

5. 乘法单位元：环中存在一个特殊的元素1，称为乘法单位元，对于环中的任意元素a，a\*1 = 1\*a = a。

离散数学群

离散数学群
离散数学中的群是一种抽象代数结构，它由一个集合以及在这个集合上定义的一个二元运算组成。

这个二元运算必须满足四个性质：封闭性、结合律、单位元素存在性和逆元素存在性。

群的概念是由数学家Galois在19世纪中期提出的，它在代数学、几何学和物理学中都有广泛应用。

群是离散数学中的基础概念之一，许多其他的离散数学概念，如环、域、向量空间等都可以用群的概念来定义和描述。

离散数学中的群包括置换群、循环群、对称群、李群等等。

它们都具有不同的性质和应用，例如置换群可以用于解决排列问题，循环群可以用于解决周期性问题，对称群可以用于描述几何图形的对称性，李群可以用于描述物理学中的对称性。

研究群的性质和应用是离散数学领域中的重要课题之一，它涉及到许多数学分支和领域，如群论、代数学、数论、几何学、物理学等。

- 1 -。

群、环、域的基本概念与性质

群的同态与同构
群的同态
设$(G,cdot)$和$(H,*)$是两个群，如果存在一个映射$varphi:Gto H$，使得对于任意两个元素$a,bin G$，都有$varphi(a*b)=varphi(a)cdotvarphi(b)$，则称$varphi$为从 $(G,cdot)$到$(H,*)$的一个同态映射。
群的同构
如果同态映射$varphi:Gto H$既是单射又是满射，则称$varphi$为从$(G,cdot)$到 $(H,*)$的一个同构映射，此时称群$(G,cdot)$和$(H,*)$是同构的。
同态核
设$varphi:Gto H$是一个同态映射，称集合${ain G|varphi(a)=e_H}$为$varphi$的核，记作$kervarphi$。其中$e_H$是群$(H,*)$的单位元。同态核是群$(G,cdot)$的一个正规子群。
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域在代数几何中的应用
代数曲线与曲面
域上的多项式环与代数曲线、曲面密切相关，是代数几何的基本研究对象。
有限域上的代数几何
有限域上的代数几何在密码学、编码理论等领域有广泛应用。
域扩张与Galois理论
域的扩张与Galois理论是代数几何中的重要工具，可用于研究代数方程的可解性等问题。
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子环、理想与商环
子环
设$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子集，若$S$对$+$和$*$也构成环，则称$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子环。
理想
设$I$是环$R$的子集，若$I$对加法构成阿贝尔群，且对于任意$rin R$和任意$iin I$，有$r*iin I$和$i*rin I$，则称$I$是环$R$的理想。

群与环知识点总结

群与环知识点总结一、群的定义与性质1. 群的定义群是一个集合G以及一个二元运算*构成的代数结构，满足以下四条性质：封闭性：对于任意的a、b∈G，都有a*b∈G。

结合律：对于任意的a、b、c∈G，都有(a*b)*c＝a*(b*c)。

存在单位元：集合G中存在一个元素e，对于任意的a∈G，都有a*e＝e*a＝a。

存在逆元：对于每个a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b＝b*a＝e。

2. 群的性质群的性质有许多重要的定理和结论，其中最重要的结论是：唯一单位元：群的单位元是唯一的。

唯一逆元：对于每个元素a∈G，其逆元素是唯一的。

左消去律：对于任意的a、b、c∈G，如果a*b＝a*c，那么b＝c。

右消去律：对于任意的a、b、c∈G，如果b*a＝c*a，那么b＝c。

以上是群的基本定义和性质，群还有许多重要的定理和结论，如拉格朗日定理、柯西定理等。

这些定理和结论对于群的研究具有重要意义，并在数学的许多领域中发挥着重要作用。

二、环的定义与性质1. 环的定义环是一个集合R以及两个二元运算+和*构成的代数结构，满足以下四条性质：R对于+构成一个交换群。

乘法满足结合律：对于任意的a、b、c∈R，都有(a*b)*c＝a*(b*c)。

分配律成立：对于任意的a、b、c∈R，有a*(b+c)＝a*b+a*c和(b+c)*a＝b*a+c*a。

2. 环的性质环的性质也有许多重要的定理和结论，其中最重要的结论是：唯一加法单位元：环的加法单位元是唯一的。

乘法分配性：环的乘法对加法满足分配律。

交换律：对于环中的任意元素a和b，都有a*b＝b*a。

环还有许多重要的定理和结论，如唯一乘法单位元、素环、主理想环等。

这些定理和结论对于环的研究具有重要意义，并在数学的许多领域中发挥着重要作用。

三、群与环的应用群与环在数学的许多领域中有着广泛的应用，如数论、代数学、几何学等。

具体而言，群与环的应用包括：1. 数论中的应用在数论中，群与环的应用非常广泛，如在模运算、同余方程、数论函数等方面，群与环都有重要的应用。

群,环,域的基本定义

群,环,域的基本定义群、环、域是数学中的重要概念，它们在代数学、几何学等领域有着广泛的应用。

本文将对群、环、域的基本定义进行详细介绍。

一、群的基本定义群是一种代数结构，它由一个集合和一个二元运算组成。

设G是一个集合，*是一个在G上定义的二元运算，如果满足以下条件，则称(G, *)为一个群：1. 封闭性：对于任意的a、b∈G，a * b也属于G；2. 结合律：对于任意的a、b、c∈G，(a * b) * c = a * (b * c)；3. 存在单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有 a * e = e * a = a；4. 存在逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得 a * b = b * a = e。

群的定义中，封闭性保证了运算结果仍在集合中，结合律保证了运算的顺序不影响结果，单位元是一个特殊的元素，任何元素与单位元进行运算都不改变其值，逆元是使得运算结果为单位元的元素。

二、环的基本定义环也是一种代数结构，它由一个集合和两个二元运算组成。

设R是一个集合，+和*是在R上定义的两个二元运算，如果满足以下条件，则称(R, +, *)为一个环：1. (R, +)构成一个交换群，即满足群的四个条件；2. (R, *)满足封闭性和结合律；3. 分配律：对于任意的a、b、c∈R，有a * (b + c) = a * b + a * c和(a + b) * c = a * c + b * c。

环的定义中，交换群的条件保证了加法运算的封闭性、结合律、单位元和逆元的存在，而分配律则描述了加法和乘法之间的关系。

三、域的基本定义域是一种更为特殊的代数结构，它由一个集合和两个二元运算组成。

设F是一个集合，+和*是在F上定义的两个二元运算，如果满足以下条件，则称(F, +, *)为一个域：1. (F, +)构成一个交换群；2. (F\{0}, *)构成一个交换群；3. 分配律成立。

域的定义中，除了交换群和分配律的条件外，还对乘法引入了一条特殊的条件，即(F\{0}, *)构成一个交换群。

第十章群与环

设<S ； >是一独异点，若<T ； >是

6
例8
令2 Z
对于独异点<N；+ > , 子集N2，N3，N4，…
2n | n N, Z3 3n | n N, Z4 4n | n N,
则<Z2 ；+ >，<Z3 ；+ >，<Z4 ；+ >都是 <N ；+>的子独异点。
25
对于任意a∈G，
a0=e,
a n1 a n a ( n = 0, 1 , 2, …)
（a-1)0=e, ( a 1)n1 (a 1)n a 1 (n=0,1,2,…) （*）
引进记号 a n (a 1)n a 1 a1 a1 ( n个a-1 )
28
又例如（a2）-3=a-6 因为 (a ) (( a ) ) (a ) (a ) (a )
2 3 2 1 3 2 1 2 1 2 1
根据结合律 a) (a 1 a 1 ) (a 1 a 1 ) (a a) e (a 所以 a) 1 a 1 a 1 (a 因此 2 ) 3 (a 1 a 1 ) (a 1 a 1 ) (a 1 a 1 ) (a a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 (a 1 ) 6 a 6
例6

对于半群
<Z+；+>，

Z+的子集

都是<Z+；+>的子半群。
5
例7 对于半群 <S； >的任一元素 a ∈ S ，

离散数学课件变换群、置换群与循环群

的运算
• [An;•]是代数系统。
• 1.封闭性
• 2.结合律当然成立
• 3.恒等置换eAn • 4.对于An,
在Sn中有逆元-1, -1也是偶置换
• 推论13.5：对称群Sn中所有偶置换组成的集合, 记为An,关于置换的乘法构成群。
• 定义13.9：称上述[An;•]为n次交待群。
• 由于An中每个元素都是置换,因此根据置换群的定义可知[An;•] 也是置换群.
• 证明:对任两个对换:
• (a,b)(c,d)
• (a,b)(b,c)
推论14.4：Sn中的奇、偶置换在置换的乘法运算下,其奇偶性由下表给出:
• 偶置换偶置换偶置换
奇置换奇置换
奇置换奇置换偶置换
• 恒等置换看作为偶置换 • Sn= On∪An • On∩An= • 偶置换与偶置换的乘积仍是偶置换，•是An上
• [Sn;•]是一个置换群, n次对称群。
• S上的置换Sn,习惯上写成
1(1)2(2) (nn)
这里(i)即为i在函数下的象，这里1,2, ,n次序无关，即
1 ( 1 )2 (2 ) ( n n ) i( 1 i1 )i2 (i2 ) ( ii n n )
• SS表示S到S的所有映射全体组成的集合, • SS={f|f:SS}， • [SS;•]是半群。是拟群。不是群 • T(S)表示S上所有一一变换组成的集合。 • T(S)={f|fSS,且f为一一对应} • [T(S);•]是群
• 定义13.5:设GT(S),当[G;•]为群时,就称
该群为变换群,其中•为一一变换的合成
离散数学课件变换群,置换群与循环群 13.10:g,egag, ra =era;arraa p17112.(2) autohwd 分享于 2017-03-30 16:16:11.0 暂无简介文档格式: .ppt 文档页数: 22页文档大小: 496.5k 文档热度: 文档分类: 待分类系统标签: 数学课置换离散变换 egag 循环

离散数学代数系统中的群与域知识梳理

离散数学代数系统中的群与域知识梳理离散数学是研究不连续量的数学分支，而代数系统是离散数学的基础概念之一。

在代数系统中，群与域是两个重要的概念。

本文将对离散数学代数系统中的群与域的相关知识进行梳理。

一、群的定义及性质群是代数系统中一种基本的代数结构，它是一个集合与一个二元运算的组合，满足四个条件：封闭性、结合律、单位元和逆元。

1.1 封闭性在群中的任意两个元素进行运算后，结果仍然属于这个群。

即对于群 G 中任意的 a、b，有 a * b ∈ G。

1.2 结合律在群中进行运算的结果不受运算元素的顺序影响。

即对于群 G 中任意的 a、b、c，有 (a * b) * c = a * (b * c)。

1.3 单位元群中存在一个特殊元素，称为单位元，它与群中的任意元素进行运算后得到这个元素本身。

即对于群 G 中任意的 a，有 a * e = e * a = a，其中 e 是群 G 的单位元。

1.4 逆元对于群 G 中的每个元素 a，群中存在一个元素 b，使得 a * b = b * a = e，其中 e 是群 G 的单位元，并且称元素 b 是元素 a 的逆元，记作 b = a^(-1)。

二、群的例子2.1 整数环（Z，+）整数环是一个群，其中的运算为加法。

整数环满足群的四个条件：封闭性、结合律、单位元和逆元。

例如，对于整数环中的任意两个整数 a、b，其和仍然为整数，满足封闭性；整数的加法满足结合律；0 是整数环的单位元，对于任意整数 a，有 a + 0 = 0 + a = a；对于任意整数 a，存在一个整数 -a，使得 a + (-a) = (-a) + a = 0。

2.2 二进制群（Zn，⊕）二进制群是一个有限集合，其中的运算为模 n 的加法（⊕）。

二进制群也满足群的四个条件：封闭性、结合律、单位元和逆元。

例如，对于二进制群中的任意两个元素 a、b，其模 n 的和仍然在这个群中，满足封闭性；模 n 的加法满足结合律；0 是二进制群的单位元，对于任意元素 a，有 a ⊕ 0 = 0 ⊕ a = a；对于任意元素 a，存在一个元素 b，使得 a ⊕ b = b ⊕ a = 0。

离散数学中的群与置换群

离散数学是数学的一个分支，研究离散对象及其性质，其中一个重要的概念就是群。

群是代数学中的基本概念，也是离散数学中的重要内容之一。

在离散数学中，群与置换群是研究最广泛和最基础的对象之一。

群是一种代数结构，它由一个集合和一个二元运算组成。

这个二元运算满足封闭性、结合律、单位元存在以及每个元素都有逆元这四个条件。

群是离散数学中的基本代数结构，它有着丰富的性质和应用。

在群的定义中，如果二元运算满足交换律，那么这个群就是一个交换群，也叫做阿贝尔群。

交换群是群论中的一个重要分支，其运算满足交换律使得它有更简单的性质和结构。

而对于非交换群，它们的性质则更加丰富和复杂。

置换群是群论中的一个重要的研究对象。

置换是一种将集合中的元素重新排列的操作，通过置换操作，可以将一个有限集合的元素按不同的方式重新排列，从而得到不同的置换。

置换群是由这些置换操作以及对应的运算所构成的群。

置换群的运算是将两个置换组合起来进行的。

对于置换群中的每一个置换，都有一个逆置换存在，使得进行逆置换后再进行置换得到原来的置换。

同时，置换群还有一个单位元，就是将所有元素按照原始排列摆放的置换。

这样，置换群的定义满足了群的四个条件。

在置换群中，置换可以用不同的形式进行表示。

一种常见的表示方法是使用环表达式。

环是一个由元素以及它们之间的运算组成的结构，其中每个元素对应一个置换。

通过环表达式，我们可以方便地进行置换群的运算和推导。

置换群的研究具有广泛的应用价值。

在密码学中，通过使用置换群可以对信息进行加密和解密，保护信息的安全性。

在计算机图形学中，置换群可以用来描述、操作和分析图形的对称性质。

在量子力学中，置换群的概念也有着重要的应用，用于描述和分析微观粒子的性质和行为。

综上所述，离散数学中的群与置换群是该领域研究的基本对象之一。

群作为一种代数结构，具有独特的性质和应用。

而置换群则是群论中的一个重要分支，它通过置换操作和运算构成了一个群。

置换群的研究在密码学、计算机图形学和量子力学等领域具有广泛的应用。

离散数学环与域详解

设A为有１的环，a∈A，如果a在〈A，·〉中有逆元，则称a为A中的可逆元．并把a在半群〈A，·〉中的逆元，称为a在环A中的逆元，用a -1表示．有１的环A中所有可逆元在乘法运算下构成一个群（？），该群记为A*，并称为环A的乘法群.
§6.2
整环、除环和域
(1)
6.2.1 零因子设 <A,,*> 是环，如果存在 a,bA，
am+n = am+an = (m+n)a;
amn = (am)n = n(ma)。
2019/1/15
§6.1
定义及基本性质
(4)
6.1.2 环的性质
（2）假设 e 是<A,+>的单位元，对a,b,cA有：
①a*e=e*a=e
(0*a=a*0=0)
<Z,+, > , +单位元0，是的零元
2019/1/15
§6.1
定义及基本性质
(4)
6.1.2 环的性质
（2）假设 e 是<A,+>的单位元，对a,b,cA有：
③ a-1 * b-1 = a * b
例<Z,+, > , +单位元0，是的零元
2-1 3-1 = 2 3 =6
2019/1/15
§6.1
定义及基本性质
(4)
<e,e>记为e, <e,a>记为a, <a,e>记为b, <a,a>记为c,
2019/1/15
<K,*>是Klein四元群。K={e,a,b,c};
“.”运算定义如下，则<K,*，.>是环。

群、环与域的定义及其应用

群、环与域的定义及其应用群、环与域是数学中非常基础的概念，许多高级的数学理论都建立在它们的基础之上。

本文将介绍群、环与域的定义及其应用，希望能够帮助读者更好地理解这些数学概念。

一、群的定义及其应用1.1 群的定义群是一个数学结构，它由一个集合和一个二元运算组成，满足以下四个条件：1）封闭性：对于任意两个群元素a，b，它们的运算结果c也必须属于该群。

2）结合律：对于任意三个群元素a，b，c，它们的运算结果必须满足(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)。

3）存在单位元：存在一个元素e，使得对于任意一个群元素a，都有a⋅e=e⋅a=a。

4）存在逆元：对于任意一个群元素a，都存在另一个元素b，使得a⋅b=b⋅a=e。

1.2 群的应用群是数学中最基础的代数结构之一，它的研究涉及到许多领域，如物理学、化学、密码学等。

其中，群在对称性研究中的应用尤为广泛。

例如，对于一个几何图形的某种对称性操作，可以构成一个群。

通过研究这个群的结构，不仅可以更好地理解这个几何图形的性质，还能够得到更精确的计算结果。

二、环的定义及其应用2.1 环的定义环也是一个代数结构，它由一个集合和两个二元运算组成，满足以下四个条件：1）封闭性：对于任意两个环元素a，b，它们的加法a+b和乘法a×b的结果也必须属于该环。

2）加法结合律：对于任意三个环元素a，b，c，它们的加法a+(b+c)=(a+b)+c和乘法结合律a×(b×c)=(a×b)×c都成立。

3）加法交换律：对于任意两个环元素a，b，它们的加法满足a+b=b+a。

4）存在加法单位元和乘法分配律：存在一个元素0，对于任意一个环元素a，都有a+0=a和a×(b+c)=a×b+a×c。

2.2 环的应用环的应用也非常广泛，例如在计算机科学中，根据环的运算结构可以将某些数据结构分为环型和非环型。

此外，环在数论、代数学、统计学等领域的应用也非常重要。

离散数学讨论课(群环格域布尔代数)

整环：（Ｒ，+，。）为环，它有单位元素且是可换环，无零因子，
则称（Ｒ，+，。）是一个整环。
域：设环（Ｒ，+，。）满足下列条件：（1）、R至少有两个元素（2）、（R，。）有单位元素（3）、（R，。）是可换的（4）、除零元外，其余元素均存在逆元素（a∈R的逆元可记作a-1）
环论在计算机领域的应用：（１）、广义圆环论在可持续发展中
群论在计算机领域的应用：（１）、组合群论在密码学中的应用（２）、用群论的基础知识理解信号处理中
的一些基本概念（如：时域和频域信号空间的群同构关系）
（３）、椭圆曲线密码的应用等
组合群论在密码学中的应用用群论的基础知识理解信号处理中的一些基本概念(如：时域和频域信号空间的群同构关系)
椭圆曲线密码的应用
如果半群还满足交换律，则称其为可换半群。
单元半群：设有一个代数系统(S, 。)其中“。”是二元运算，它
满足结合律，并且存在单位元素，则此代数系统叫做单元半群。即对S内任意元素a，b，c有
(a。b)。c= a。(b。c) 且存在1∈S有1.a=a。1=a。如果单元半群还满足交换律，则称其为可换单元半群。
d ∈ {0, 1, 2, ⋯ , n - 1}
用户的公开密钥定义为 Q 点：
Q = dG
设要加密的明文数据为 M , 将 M 划分为一些较小的数据块 , M = [ m 1 , m 2 , ⋯ , m t ] 。式中 : 0 ≤ mi< n 。用户 A 将数据 mi 加密发送给 B , 加密过程如下：
【1】用户 A 查公钥库 PKDB, 查到用户 B 的公开密钥 QB 。
【2】用户 A 选择一个随机数 dA , 且 dA ∈ { 0,1, 2, ⋯ , n - 1} 。【3】用户 A 计算点 X 1: (x 1 , y 1)=dAG 。【4】用户 A 计算点 X 2: (x 2 , y 2) =dAQB , 如果分量 x 2 = 0, 则转【2】。【5】用户 A 计算 C = mi x 2 mod n 。【6】用户 A 发送加密数据 ( X1 , C ) 给用户 B 。解密过程：

离散数学第10章——半群与群

e a b c
e e a b c
a a e c b
b c b c c b e a a e
特征： 1. 满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元 3. a, b, c中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素
二、群的定义、术语、实例
定义10.2 (1) 若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群. (2) 只含单位元的群称为平凡群. (3) 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔 (Abel) 群.
方法：根据定义验证，注意运算的封闭性
2. 设V1= <Z, +>, V2 = <Z, >,其中Z为整数集合, + 和分别代表普通加法和乘法. 判断下述集合S 是否构成V1和V2的子半群和子独异点. (1) S= {2k | kZ} (2) S= {2k+1 | kZ} (3) S= {1, 0, 1}
定义10.4 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最
小正整数k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元.
若不存在这样的正整数 k，则称 a 为无限阶元. 例如，在<Z6,>中， 2和4是3阶元， 3是2阶元， 1和5是6阶元， 0是1阶元. 在<Z,+>中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.
(3) 集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环. (4) 设Zn＝{0,1, ... , n－1}，和分别表示模n的加法和乘法，则<Zn,,>构成环，称为模 n的整数环.
定义10.13 设<R,+,· >是环
(1) 若环中乘法 · 适合交换律，则称R是交换环 (2) 若环中乘法 · 存在单位元，则称R是含幺环 (3) 若a,b∈R，ab=0 a=0∨b=0，则称R是无零因子环 (4) 若R既是交换环、含幺环、无零因子环，则称R 是整环

离散数学群与环89页PPT

21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
离散数学群与环
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克

离散数学-第三部分-代数结构-第十章群与环

实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.
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群中元素的幂
定义10.3 设G是群，a∈G，n∈Z，则a 的 n次幂.
e an an1.a
例如，在<Z6,>中， 2和4是3阶元， 3是2阶元， 1和5是6阶元， 0是1阶元.
在<Z,+>中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.
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群的性质：幂运算规则
定理10.1 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) a∈G，(a1)1=a (2) a,b∈G，(ab)1=b1a1 (3) a∈G，anam = an+m，n, m∈Z (4) a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z (5) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn.
对于阿贝尔群G，因பைடு நூலகம்G中所有的元素互相都可交换，G的中心就等于G. 但是对某些非交换群G，它的中心是{e}.
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10.3 循环群与置换群
定义10.10 设G是群，若存在a∈G使得 G={ak| k∈Z}
则称G是循环群，记作G=<a>，称 a 为G 的生成元.
循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群. 设G=<a>是循环群，若a是n 阶元，则
aiG = {aiaj | j=1,2,…,n} 证明 aiG = G.
证由群中运算的封闭性有 aiGG. 假设aiGG，即 |aiG| < n.
必有aj,ak∈G使得