信号与系统-课件-(第三版)郑君里 (9)
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郑君里信号与系统PPT
则系统 H 是线性系统,否则是非线性系统. 注意：外加激励与系统非零状态单独处理
X
第
二．时变系统与时不变系统
1.定义
一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号 施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则 称为时变系统。
22 页
认识:
•电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变 • 从方程看:系数是否随时间而变 •从输入输出关系看:
第 9 页
X
六．利用分形（fractal）理论描述信号
• • • •
第
10 页
分形几何理论简称分形理论或分数维理论； 示例 创始人为B.B.Mabdelbrot; 分形是“其部分与整体有形似性的体系”； 在信号传输与处理领域应用分形技术的实例表现在 以下几个方面：图像数据压缩、语音合成、地震信 号或石油探井信号分析、声纳或雷达信号检测、通 信网业务流量描述等。这些信号的共同特点都是具 有一定的自相似性，借助分性理论可提取信号特征， 并利用一定的数学迭代方法大大简化信号的描述， 或自动生成某些具有自相似特征的信号。
3.标量乘法器（数乘器，比例器）
et
A
r t
A
r ( t ) Ae( t )
X
第
基本元件2
4.微分器 5.积分器 6.延时器
e t
d
14 页
r t
dt
de ( t ) r t dt
et
T
r t
r ( t ) e( t )dt
t
et
dt
பைடு நூலகம்
f ( ) ( t ) d
《郑君里信号与系统》课件
离散时间信号的表示与性质
要点一
离散时间信号的表示
要点二
离散时间信号的性质
离散时间信号可以由离散的数值序列表示，这些数值在时 间上离散分布。常见的离散时间信号有单位阶跃信号、单 位冲激信号、正弦信号等。
离散时间信号具有周期性、稳定性、可重复性等性质。这 些性质对于信号处理和系统分析具有重要的意义。
离散时间系统的表示与性质
离散时间信号通过系统的响应表 示
当一个离散时间信号通过一个离散时间系统时，系统的 输出可以通过将输入信号与系统冲激响应相卷积得到。
离散时间信号通过系统的响应性 质
系统的输出响应具有与输入信号相同的周期性和稳定性 ，但可能发生幅度和相位的变化。此外，系统的输出响 应还受到系统稳定性和因果性的影响。
பைடு நூலகம்
PART 05
信号的变换域表示法
傅立叶变换的定义与性质
傅立叶变换的定义
将时间域信号转换为频率域信号的数学工具，通过将 信号分解为不同频率的正弦波和余弦波来描述信号的 频率特性。
傅立叶变换的性质
线性性、时移性、频移性、对称性、周期性和收敛性等 ，这些性质在信号处理中具有重要应用。
拉普拉斯变换的定义与性质
拉普拉斯变换的定义
极点影响系统的稳定性，决定了系统是否稳定以及系统的响应速度。
通过零极点分析系统稳定性
判断系统是否稳定
如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统是稳 定的。
计算系统的传递函数
通过求解系统函数的零极点，可以得到系统的传递函 数。
分析系统的动态特性
通过分析零极点的分布和位置，可以进一步分析系统 的动态特性和稳定性。
详细描述
信号可以根据其连续性与离散性分为连续时间信号和离散时间信号；根据确定 性可以分为确定信号和随机信号；根据周期性可以分为周期信号和非周期信号 ；根据能量与功率可以分为能量信号和功率信号。
信号与系统-课件-郑君里
t2p(t)dt t2f2(t)dt
t1
t1
School of Computer Science and Information
Total Energy:
E
limt2x2(t)d T t1
t
Average Power:
1
PT l im 2T
Tx2(t)dt
T
Energy (Discrete-time)
…… ……
School of Computer Science and Information
A Simple RC Circuit
The patterns of variation over time in the source voltage Vs and capacitor voltage Vc are examples of signals.
Instantaneous power:
p(n)x2[n]
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Energy over n1 n n2:
n2
E x2[n] n n1
Total Energy :
E x2[n] n
Average Power:
PN li m 2N 11nN Nx2[n]
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1.1 Signals
Signals are functions of independent variables that carry information. The independent variables can be continuous or discrete. The independent variables can be 1-D, 2-D, ••• , n-D. For this course: Focus on a single (1-D) independent variable which we call “time”. Continuous-Time signals: x(t), t-continuous values. Discrete-Time signals: x(n), n-integer values only.
信号与系统(郑君里)ppt概要共105页
信号与系统(郑君里)ppt概要
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
信号与系统课件(郑君里版)
成具有特定功能的整体。
1.2 信号的描述和分类 一、信号的描述
1、数学描述：使用具体的数学表达式，把信号描述为 一个或若干个自变量的函数或序列的形式。
2、波形描述：按照函数自变量的变化关系，把信号的 波形画出来。 “信号”与“函数”两词常相互通用。
二、信号的分类 1. 确定信号和随机信号 确定信号或规则信号 ：可以用确定时间函数表示的信号 随机信号:若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻 的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性
至原来的1/a
f (t)
1
0
12 t
压缩
f (2t)
1
0 0.5 1 2 t
（2）0<a <1 则 f (at)将 f (t)的波形沿时间轴扩
展至原来的1/a。
f (t)
1
扩展
f
(
1 2
t)
1
0
12 t
0
2
4t
对于离散信号，由于f (a k) 仅在为a k 为 整数时才有意义， 进行尺度变换时可能会使部 分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。
信号是信息的表现形式，信息是信号的具体内容。 信号是信息的载体，通过信号传递信息。
自然和物理信号：语音、图像、地震信号、生理信号等 人工产生的信号：人类为了达到某种目的人为产生的信 号。雷达信号、通讯信号、医用超声信号、机械探伤信 号等。
二、系统的概念 系统(system)是指若干相互关联的事物组合而
eg: f(t) = 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2)
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
（3）积分
t
u( )d tu(t)
三、单位冲激函数 (t) 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作
1.2 信号的描述和分类 一、信号的描述
1、数学描述：使用具体的数学表达式，把信号描述为 一个或若干个自变量的函数或序列的形式。
2、波形描述：按照函数自变量的变化关系，把信号的 波形画出来。 “信号”与“函数”两词常相互通用。
二、信号的分类 1. 确定信号和随机信号 确定信号或规则信号 ：可以用确定时间函数表示的信号 随机信号:若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻 的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性
至原来的1/a
f (t)
1
0
12 t
压缩
f (2t)
1
0 0.5 1 2 t
（2）0<a <1 则 f (at)将 f (t)的波形沿时间轴扩
展至原来的1/a。
f (t)
1
扩展
f
(
1 2
t)
1
0
12 t
0
2
4t
对于离散信号，由于f (a k) 仅在为a k 为 整数时才有意义， 进行尺度变换时可能会使部 分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。
信号是信息的表现形式，信息是信号的具体内容。 信号是信息的载体，通过信号传递信息。
自然和物理信号：语音、图像、地震信号、生理信号等 人工产生的信号：人类为了达到某种目的人为产生的信 号。雷达信号、通讯信号、医用超声信号、机械探伤信 号等。
二、系统的概念 系统(system)是指若干相互关联的事物组合而
eg: f(t) = 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2)
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
（3）积分
t
u( )d tu(t)
三、单位冲激函数 (t) 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作
信号与系统-课件-(第三版)郑君里-PPT课件
Example
f( t) f( t)
A … … 2 4 6 k
－ T
T 2
o
T 2 － A
T
t
－ 4 － 2 0
Periodic Signal
School of Computer Science and Information
3. Continuous-time Signal and Discrete-time Signal
Example
Noise Signal and Interfere Signal
School of Computer Science and Information
2. Periodic Signal and Aperiodic Signal
Periodic Signal — Has the property that it is
Random Signal — Can’t be represented mathematically as a function of certain time. We only know the probability of certain value.
School of Computer Science and Information
Vertical Wind Profile
School of Computer Science and Information
1.2 Systems
For the most part, our view of systems will be from an input-output perspective. A system responds to applied input signals, and its response is described in terms of one or more output signals.
《信号与系统》郑君里教学课件讲义
（４）１９世纪末，人们研究用电磁波传送无线电信号。 赫兹（Ｈ.Hertz）波波夫、马可尼等作出贡献。1901年 马可尼成功地实现了横渡大西洋的无线电通信。
（5）光纤通信 从此，传输电信号的通信方式得到广泛应用和迅速发展。 如今：（１）卫星通信技术为基础“全球定位系统（Global Positioning System, 缩写为GPS）用无线电信号的传输， 测定地球表面和周围空间任意目标的位置，其精度可达 数十米之内。 （２）个人通信技术：无论任何人在任何时候和任何地方 都能够和世界上其他人进行通信。 （３）“全球通信网”是信息网络技术的发展必然趋势。 目前的综合业务数字网（Integrated Services Digital Network,缩写为ISDN),Internet或称因特网，以及其他各 种信息网络技术为全球通信网奠定了基础。
信号与系统
郑君里
教学课件
1、教材：信号与系统 郑君里 杨为理 应启珩编 2、信号与系统 Signals & Systems ALAN V.OPPENHEIM ALANS. WILLSKY 清华大学出版社（英文影印版） （中译本）刘树棠 西安交通大学出版社 3、信号与系统例题分析及习题 乐正友 杨为理 应启珩编 4、信号与系统习题集 西北工业大学
5. 系统的分类
系统可分为物理系统与非物理系统，人工系统以及自 然系统。 物理系统：包括通信系统、电力系统、机械系统等； 非物理系统：政治结构、经济组织、生产管理等； 人工系统：计算机网、交通运输网、水利灌溉网以及 交响乐队等； 自然系统：小至原子核，大如太阳系，可以是无生命 的，也可是有生命的（如动物的神经网络）。
4.信号、电路（网络）与系统的关系
离开了信号，电路与系统将失去意义。
信号与系统(郑君里)ppt
f(t)
O
t
f(n)
O 12
n
4．模拟信号，抽样信号，数字信号
•模拟信号：时间和幅值均为连续
f t
的信号。
抽
样
t
•抽样信号：时间离散的，幅值
O
量
连续的信号。
f n
化
•数字信号：时间和幅值均为离散 O
n
的信号。
f n
主要讨论确定性信号。 n
先连续，后离散；先周期，后非周期。O
时间轴 幅度轴
连续
连续 模拟信号
t
f(t)
t/2
f(t/2)
0
1
0
1
T
2
T
2
时间尺度压缩：t ห้องสมุดไป่ตู้ 2 ,波形扩展
求新坐标
t
f(t/2)
0
1
2T
2
f(t)f(2t)
f t
2 1
O
Tt
宗量相同，函数值相同
t
f(t)
2t
f(2t)
0
1
0
1
T
2
T
2
求新坐标
t
f(2t)
0
1
T/2
2
t2t，时间尺度增加，波形压缩。
比较
f t
2 1
O
Tt
O
t
二．单位阶跃信号
1. 定义
u(t )
0
u(t )
1
t 0 0点无定义或1
t 0
2
2. 有延迟的单位阶跃信号
1
O
t
u(t t0 )
0 u(t t0 ) 1
0 u(t t0 ) 1
信号与系统_郑君里_第三版_课件
例3：利用阶跃信号来表示“符号函数”（signum）
sgn(t) 1 0 -1
2016/5/9
t
1 t 0 sgn(t ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 t 0
2u (t ) 1
1 或： u (t ) [sgn( t ) 1] 2
19
三、单位冲激信号 (t ) 我们先从物理概念上理解如何产生冲激函数 (t )
2016/5/9
28
' tu (t ) 、u(t ) 、 (t ) 和 (t ) 之间的关系：
(t )
(1) 0 积分 求导 t
积分 求导 1 0 积分
u(t )
t 求导
tu (t )
'(t )
t
0
0
t
2016/5/9
29
1.3 信号的运算
1.3.1 信号的相加运算 两个信号的和（或差）仍然是一个信号，它在任意 时刻的值等于两信号在该时刻的值之和（或差），即
R(t-t0)
1 0 t0 t
2016/5/9
t0+1
14
二、单位阶跃信号
u(t )
u(t)
1, (t 0)
0, (t 0)
1 0 t
2016/5/9
15
工程实例
S E=1V
＋ －
+ C
例：图中假设S、E、C 都是理想元件（内阻为0）， 当 t = 0 时S闭合，求电容C上的电压。
2016/5/9 4
1.1 引论
信号：一种物理量（电、光、声）的变化。
消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，
如语言、文字、图像、数据等。
信号与系统-课件-(第三版)郑君里-homework (9)
计算机科学与信息学院
Solution : z h1 (n) u (n) H 1 ( z ) z 1 2 H ( z ) [ H 1 ( z ) H 2 ( z )] H 3 ( z ) ( z 1)( z 1) z z 1 2 f (n) u (n) u (n 2) F ( z ) (1 z ) z 1 z 2 z 2 Y ( z) H ( z) F ( z) z z 1 y (n) 2 u (n 2)
计算机科学与信息学院
Solution : (1) consider the zero - state response. y (n) 3 y (n 1) 2 y (n 2) f (n) Y ( z ) 3 z 1Y ( z ) 2 z 2Y ( z ) F ( z ) Y ( z) z2 H ( z) ...... F ( z) ( z 1)( z 2) ROC :| z | 2 The unit circle is not in ROC The system is not stable.
计算机科学与信息学院
z f 2 (n) u (n) F2 ( z ) z 1 Y2 ( z ) H ( z ) F2 ( z ) z z 1
2
1 2
z
z 1
1z 2 z 1
1 1 y 2 (n) [n (1) n ] u (n) 2 2
计算机科学与信息学院
计算机科学与信息学院
Solution : 1 n (1) H ( z ) 2 h(n) 2 (n) ( ) u (n) 1 2 z 2 z ( 2) f ( n ) n u ( n ) F ( z ) ( z 1) 2 z 2z 2z Y ( z ) H ( z ) F ( z ) ... 1 1 z 1 ( z )( z 1) z 2 2 1 y (n) 2[( ) n 1]u (n) 2 z
郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义 第9章 离散傅里叶变换以及其他离散正交
第9章离散傅里叶变换以及其他离散正交变换[视频讲解]9.1本章要点详解本章要点■傅里叶变换的离散性与周期性■从离散傅里叶级数到离散傅里叶变换■离散傅里叶变换的性质■离散傅里叶变换与z变换重难点导学一、引言1．DFT是重要的变换（1）分析有限长序列的有用工具；（2）在信号处理的理论上有重要意义；（3）在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。
2．DFT是现代信号处理桥梁DFT要解决两个问题：（1）离散与量化；（2）快速运算。
二、傅氏变换的离散性与周期性1．连续时间、连续频率—傅里叶变换可见，时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。
2．连续时间、离散频率—傅里叶级数可见时域连续函数造成频域是非周期的谱，而频域的离散对应时域是周期函数。
3．离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换可见时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续。
4．离散时间、离散频率—离散傅里叶变换可见一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的。
5．四种傅里叶变换形式的归纳表9-1三、从离散傅里叶级数到离散傅里叶变换（DFT）为N 的有限长序列，为周期为N 的周期序列，则称为的主值序列；称为的周期延拓。
同样，X (k )也是一个N 点的有限长序列，则有限长序列的DFT 正变换和反变换为10()[()]()01-===≤≤-∑N N nk n X k DFT x n x n W k N101()[()]()01--===≤≤-∑N N nk k x n IDFT X k X k W n N N或10()()()()()01-===≤≤-∑ N N nk N N n X k x n W R k X k R k k N 101()()()()()01--===≤≤-∑ N N nk N N k x n X k W R n x n R n n N N其中：2π-=j N NW e 。
信号与系统-课件-郑君里
2. Real Exponential Signal
f(t)Ce t (C αa, rre evaal lue)
f (t) ＞0
a1
＝ 0
＜ 0
o
t
School of Computer Science and Information
Notice: When α＞0, f (t) is a growing function with t. When α＜0, f (t) is a decaying function with t. When α＝0, f (t) is a constant function with t.
Example
1 f(t) 0
(o 0 tth1 e) rs P E 0 1(Finite
Eneite Power Signal)
f
(t)
t
PE
(Signals with neither finite nor finite average power)
Vertical Wind Profile
School of Computer Science and Information
1.2 Systems
For the most part, our view of systems will be from an input-output perspective. A system responds to applied input signals, and its response is described in terms of one or more output signals.
Continuous-time Signal — The independent variable is continuous, and thus these signals are defined for a continuum of values of the independent variable.
信号与系统(郑君里)ppt
3 页
X
§ 1.1 信号与系统
•信号(signal) •系统（system） •信号理论与系统理论
青岛大学信息工程学院
信号(Signal)
第 5 页
•消息（Message）：在通信系统中，一般将语言、文字、 图像或数据统称为消息。 •信息（Information）：一般指消息中赋予人们的新知 识、新概念，定义方法复杂，将在后续课程中研究。 •信号（Signal）：指消息的表现形式与传送载体。 •信号是消息的表现形式与传送载体，消息是信号的传 送内容。例如电信号传送声音、图像、文字等。 •电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、 磁通等。
第
11 页
脚压力
汽车
汽车制动
光信号
照相机
像片
X
信号理论与系统理论
信号分析：研究信号的基本性能，如信号 的描述、性质等。 信号理论 信号传输（包含信号交换） 信号处理
系统分析：给定系统，研究系统对于输入 激励所产生的输出响应。 系统理论 系统综合：按照给定的需求设计（综合） 系统。
本课程重点讨论信号的分析、系统的分析，分析是综合的基础。
15 页
X
第
1．确定性信号和随机信号
根据信号随时间的变化规律分为：
•确定性信号
表示为一确定的时间函数，对于指定的某一时刻t，可确定一相 应的函数值f(t)。若干不连续点除外。 •随机信号 无法用明确的数学关系式表达的信号，具有未知预测的不确定 性，只能用概率统计方法由过去估计未来或找出某些统计特征 量。
t
单边衰减指数信号 t0 0 f t t e t0
1
O
f t 1
O
t
通常把 称为指数信号的时间常数，记作,代表信号增长或 衰减速度，越大，指数信号增长或衰减的速度越慢 。
郑君里信号与系统课件
0
1 e L e e ed t 0 α s α s 0
α t α t st
α s t
σ α
st L t t e d t 1 全s域平面收敛
L t t t t e d t e 0 0
T 1 2 T 1 1 2
注意！
傅立叶级数与傅立叶系数的联系与区别
指数形式傅立叶级数的傅里叶系数
jn1t 称为指数形式 f ( t ) Fne 的傅立叶级数 n
1 F (n 1) Fn T 1
T1 2 T 1 2
f (t )e
jn1t
dt , n (,)
L t t te d
st 0
1 st t de s 0
1 1 st 1 e 2 s s 0 s n 2 2 21 2 2 L t L t 2 3 s ss s n 3 3 2 32 6 3 L t L t 3 4 s ss s n! n 所 以 L t n1 s
Ee
t ( )2
E e
-(
ut
傅立叶变换特性主要内容
对称性质 奇偶虚实性 时移特性
线性性质 尺度变换性质 频移特性
微分性质
时域积分性质
第三章
•时域卷积定理
若 f t F , f t F 1 1 2 2
则 f t f t F F 1 2 1 2
定义：
单边拉氏变换、双边、收敛域、常用函数的拉氏变换
拉氏变换的性质
1 e L e e ed t 0 α s α s 0
α t α t st
α s t
σ α
st L t t e d t 1 全s域平面收敛
L t t t t e d t e 0 0
T 1 2 T 1 1 2
注意！
傅立叶级数与傅立叶系数的联系与区别
指数形式傅立叶级数的傅里叶系数
jn1t 称为指数形式 f ( t ) Fne 的傅立叶级数 n
1 F (n 1) Fn T 1
T1 2 T 1 2
f (t )e
jn1t
dt , n (,)
L t t te d
st 0
1 st t de s 0
1 1 st 1 e 2 s s 0 s n 2 2 21 2 2 L t L t 2 3 s ss s n 3 3 2 32 6 3 L t L t 3 4 s ss s n! n 所 以 L t n1 s
Ee
t ( )2
E e
-(
ut
傅立叶变换特性主要内容
对称性质 奇偶虚实性 时移特性
线性性质 尺度变换性质 频移特性
微分性质
时域积分性质
第三章
•时域卷积定理
若 f t F , f t F 1 1 2 2
则 f t f t F F 1 2 1 2
定义：
单边拉氏变换、双边、收敛域、常用函数的拉氏变换
拉氏变换的性质
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n
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Example 3
Consider a discrete - system, If its unit - impulse response h(n) a n u (n), where 0 a 1, Suppose input x(n) u (n) u (n N ), determine its zero state response y (n).
n
y zi (0) 0,
y zi (1) 1
determine its entire response y (n) ?
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Solution : (1) y zi ( n) ? y ( n 2) 3 y ( n 1) 2 y ( n) 0
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Example 1
To find the solution of this difference equation : 1 y (n) y (n 1) x(n) 3 where x(n) (n), y (1) 0
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(2)
y zs (n) ? Define x(n) (n) y (n) h(n)
h(n 2) 3h(n 1) 2h(n) (n 1) 2 (n) n 2 h(0) 0 n 1 h(1) 1 n 0 h(2) 3 2 1 n 1 h(3) 3 2 1 n 2 h ( 4) 3 2 1 .......... ..... h(n) u (n 1)
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Therefore, the number of pairs of rabbits in n month is : y (n) 2 y (n 2) [ y (n 1) y (n 2)] y (n) y (n 1) y (n 2) 0
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Solution : (1) Consider the difference equation : y (n) 2 y (n 1) 0 Define y1 (n) A n then A n 2 A n 1 0 α 2 0 α 2 y1 (n) A(2) n
Example 4
Consider a LTI discrete - system described by the difference equation : y (n 2) 3 y (n 1) 2 y (n) x(n 1) 2 x(n) where x(n) 2 u (n),
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Solution : y ( n) x ( n) h( n)
m
[u (m) u (m N )] a ( n m ) u (n m) [u (m)a ( n m ) u (n m)] a m a n
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Example
Suppose a pair of rabbits may born a pair of little rabbits every month, The pair of little rabbits are capability of procreation after a month. For only a pair of little rabbits in the first month, then to determine the number of pairs of rabbits in the n month.
This is a difference equation
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8.3 Solution of Difference Equation
① According to the difference equation, determine the numerical value of y(n) with initial value . ② Define y(n)=y1(n)+y2(n)，where y1(n) is the solution of the equation which right-side is zero, y2(n) is a special solution of the difference equation. ③ Define y(n)=yzi(n)+yzs(n)，yzi(n) is the zero-input response of the system， yzs(n) is the zero-state response of the system and yzs(n)=x(n)*h(n). ④ Determine the solution of the difference equation with Ztransform.
in n month, there are y (n-2) pairs of rabbits are capability of procreatio n the number of pairs of these rabbits is y (n 2) 2 y (n 2). at the same time, there are [ y (n 1) y (n 2) ] pairs of rabbits are not capability of procreatio n the number of pairs of these rabbits is only [ y (n 1) y (n 2)].
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(2) Consider the right - side of difference equation : x(n) x(n 1) n 2 (n 1) 2 2n 1 Define the special solution : y 2 (n) B1n B2 B1n B2 2 B1 (n 1) 2 B2 2n 1 2 1 B1 , B2 3 9 2 1 y 2 ( n) n 3 9
a a
m n n
m
[u (m N )a ( n m ) u (n m)]
m 0
n
a m a N a n 1 1 a
1
1 a
u ( n) a n
u (n N )
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Solution : 1 y (n) y (n 1) x(n) 3 1 1 y (0) y (1) (0) 0 1 1 3 3 1 1 1 y (1) y (0) (1) 1 0 3 3 3 1 1 1 1 2 y (2) y (1) (2) 0 ( ) 3 3 3 3 .......... ... 1 n y ( n) ( ) u ( n) 3
2 3 2 0 1 1, 2 2
y zi ( n) A1 (1) n A2 ( 2) n y zi (0) 0 A1 1 y zi (1) 1 A2 1 y zi ( n) ( 1 2 n )u ( n)
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Example 2
To find the solution of this difference equation : y (n) 2 y (n 1) x(n) x(n 1) where x(n) n 2 , y (1) 1.
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Properties of LTI System
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8.2 Difference Equation
A discrete system can be represented with a difference equation A difference equation is composed with sequences as …… , x(n+2), x(n+1), x(n), x(n1), x(n-2), x(n-3), ……
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y zs ( n) x(n) h(n) [2 n u (n)] [u (n 1)] (2 n 1)u (n 1)
(3)
y ( n) ? y ( n) y zi (n) y zs ( n) ( 1 2 )u ( n) (2 1)u (n 1) 2(2 1)u (n)
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Example 3
Consider a discrete - system, If its unit - impulse response h(n) a n u (n), where 0 a 1, Suppose input x(n) u (n) u (n N ), determine its zero state response y (n).
n
y zi (0) 0,
y zi (1) 1
determine its entire response y (n) ?
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Solution : (1) y zi ( n) ? y ( n 2) 3 y ( n 1) 2 y ( n) 0
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Example 1
To find the solution of this difference equation : 1 y (n) y (n 1) x(n) 3 where x(n) (n), y (1) 0
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(2)
y zs (n) ? Define x(n) (n) y (n) h(n)
h(n 2) 3h(n 1) 2h(n) (n 1) 2 (n) n 2 h(0) 0 n 1 h(1) 1 n 0 h(2) 3 2 1 n 1 h(3) 3 2 1 n 2 h ( 4) 3 2 1 .......... ..... h(n) u (n 1)
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Therefore, the number of pairs of rabbits in n month is : y (n) 2 y (n 2) [ y (n 1) y (n 2)] y (n) y (n 1) y (n 2) 0
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Solution : (1) Consider the difference equation : y (n) 2 y (n 1) 0 Define y1 (n) A n then A n 2 A n 1 0 α 2 0 α 2 y1 (n) A(2) n
Example 4
Consider a LTI discrete - system described by the difference equation : y (n 2) 3 y (n 1) 2 y (n) x(n 1) 2 x(n) where x(n) 2 u (n),
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Solution : y ( n) x ( n) h( n)
m
[u (m) u (m N )] a ( n m ) u (n m) [u (m)a ( n m ) u (n m)] a m a n
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Example
Suppose a pair of rabbits may born a pair of little rabbits every month, The pair of little rabbits are capability of procreation after a month. For only a pair of little rabbits in the first month, then to determine the number of pairs of rabbits in the n month.
This is a difference equation
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8.3 Solution of Difference Equation
① According to the difference equation, determine the numerical value of y(n) with initial value . ② Define y(n)=y1(n)+y2(n)，where y1(n) is the solution of the equation which right-side is zero, y2(n) is a special solution of the difference equation. ③ Define y(n)=yzi(n)+yzs(n)，yzi(n) is the zero-input response of the system， yzs(n) is the zero-state response of the system and yzs(n)=x(n)*h(n). ④ Determine the solution of the difference equation with Ztransform.
in n month, there are y (n-2) pairs of rabbits are capability of procreatio n the number of pairs of these rabbits is y (n 2) 2 y (n 2). at the same time, there are [ y (n 1) y (n 2) ] pairs of rabbits are not capability of procreatio n the number of pairs of these rabbits is only [ y (n 1) y (n 2)].
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(2) Consider the right - side of difference equation : x(n) x(n 1) n 2 (n 1) 2 2n 1 Define the special solution : y 2 (n) B1n B2 B1n B2 2 B1 (n 1) 2 B2 2n 1 2 1 B1 , B2 3 9 2 1 y 2 ( n) n 3 9
a a
m n n
m
[u (m N )a ( n m ) u (n m)]
m 0
n
a m a N a n 1 1 a
1
1 a
u ( n) a n
u (n N )
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Solution : 1 y (n) y (n 1) x(n) 3 1 1 y (0) y (1) (0) 0 1 1 3 3 1 1 1 y (1) y (0) (1) 1 0 3 3 3 1 1 1 1 2 y (2) y (1) (2) 0 ( ) 3 3 3 3 .......... ... 1 n y ( n) ( ) u ( n) 3
2 3 2 0 1 1, 2 2
y zi ( n) A1 (1) n A2 ( 2) n y zi (0) 0 A1 1 y zi (1) 1 A2 1 y zi ( n) ( 1 2 n )u ( n)
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Example 2
To find the solution of this difference equation : y (n) 2 y (n 1) x(n) x(n 1) where x(n) n 2 , y (1) 1.
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Properties of LTI System
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8.2 Difference Equation
A discrete system can be represented with a difference equation A difference equation is composed with sequences as …… , x(n+2), x(n+1), x(n), x(n1), x(n-2), x(n-3), ……
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y zs ( n) x(n) h(n) [2 n u (n)] [u (n 1)] (2 n 1)u (n 1)
(3)
y ( n) ? y ( n) y zi (n) y zs ( n) ( 1 2 )u ( n) (2 1)u (n 1) 2(2 1)u (n)
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