卓越联盟自主招生数学真题及答案(2011-2014)
“卓越联盟”自主招生模拟卷(7)
2014年自主招生考试数学模拟试卷（七）一、选择题:1.已知2014220140122014(1)x a a x a x a x +=++++,则48122012a a a a ++++= A.20112 B.20122 C.20132 D.201422.若a 为正数,[]a 表示a 的整数部分,{}[]a a a =-,如果,[],{}a a a 按照某种顺序组成等比数列,则a 的值是3.已知(0,2)x π∈且(1|cos |)sin (1|cos |)x x x -=+,则满足条件的所有x 的和是A.2π B.π C.32π D.2π 4.已知数列{}n a 满足1(a m m =为正整数),1231n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩当为偶数时当为奇数时,若123 29a a a ++=,则m的值为A.3B.4 .C.5D.65.若自椭圆中心到焦点,长轴顶点,以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形,则该椭圆的离心率是6.正四棱锥P ABCD -中,5,6,PA AB M ==是PAD ∆的重心,则四面体MPBC 的体积是A.B.C.D.7.已知()f x 为R 上的单调递增函数,且对任意x R ∈,都有(()3)4x f f x -=,则(2)f 的值是A.8B.9C.10D.118.设函数()sin cos 1f x x x =+,若实数,,a b c 使得()()1af x bf x c +-=对任意x R ∈恒成立,则cos b c a的值是 A.1 B.1- C.0 D.1或1- 9.已知实数,,,a b c d 满足221ab c d =+=,则22()()a c b d -+-的最小值是A.3-B.3+C.3D.3+10.7个花色不同的小球放到编号分别为1,2,3的三个盒子内,要求各盒子内的小球数不小于其编号数,则不同的放法种数为A.105B.140C.210D.455二、解答题:11.锐角三角形ABC 的三条高分别为,,AD BE CF ,求证:DEF ∆的周长不超过ABC ∆的周长的一半.12.数列{}n a 满足22112211,2,1n n n n a a a a a a +++===+. (Ⅰ)求证:11(1,2,3,)n n na a n a +=+= (Ⅱ)求证n a ≤≤(Ⅲ)令1,2,3,)n b n ==判断n b 与1n b +的大小,并说明理由.13.已知(1,0)F 为一定点,(0,)P b 是y 轴上的一动点,点(,0)M a 满足0PM PF ⋅=,若点N 满足 20PN NM +=.(Ⅰ)求点N 的轨迹曲线C 的方程;(Ⅱ)求曲线C 的任何两条互相垂直的切线的交点轨迹.14.在长方体1111ABCD A BC D -中,已知11,2,AD AB AA t ===. (Ⅰ)若对角线1BD 上存在一点P ,使得11PB PC ⊥,求实数t 的取值范围;(Ⅱ)当对角线1BD 上存在唯一一点P ,使得11PB PC ⊥时,求平面11PB C 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.15.已知函数1()2ln(1)1(1)f x x x x =++-+ (Ⅰ)求()f x 在区间[1,)+∞上的最小值;(Ⅱ)求证:2*(1)ln1ln 2ln 3ln (,2)2n n n N n n-++++>∈≥ (Ⅲ)42222*3(1)ln 1ln 2ln 3ln (,2)4n n n N n n-++++>∈≥。
简析一道_卓越联盟_自主招生试题
· 辅教导学 · 数学通讯 — — —２ 上半月 ） ０ １ １ 年第 ７、 ８期（
２ ５
思 路五 由 Ａ Ｂ ＝２ Ａ Ｃ 得点Ａ 到点Ｂ 与点Ｃ 的距离之比为 定 值 ２， 符合“ 阿 波 罗 尼 斯 圆 ”的 特 ， 征 故通过解析法求解 ． ） ， ） ， ， 解法五 设 Ｂ（ 由 ０ Ｃ（ ａ， ０ Ａ（ ｘ， －ａ， ｙ） ２ ２ ２ ２ （ 则有 （ Ａ Ｂ ＝２ Ａ Ｃ， ｘ＋ａ） ＋ｙ ＝４ ｘ－ａ） ＋４ ｙ， １ ０ ２ ２ ２ 整理得 ｘ ｘ ＋ａ ＋ｙ － ａ ＝ ０． ３ １ ２ ２ ２ 而Ａ Ｄ２ ＝ （ ｘ－ ａ） Ａ Ｃ２ ＝ （ ｘ－ａ） ＋ｙ ， ＋ ３ １ ０ ２ ２ ２ ２ ， 又Ａ 且ｙ 整理得 Ｄ ＝ｋ Ａ Ｃ， ｘ －ａ ＝－ｘ ＋ ａ ｙ， ３ Ａ Ｄ２ ２ ａ 又 ａ ４） ２ ， ， 故ｋ∈ （ ｋ ｘ∈ （ ， ３ ａ） ０ ． ＝ ＝２－ ， ３ ｘ ３ ３ Ａ Ｃ２ ）问的求解 ２．第 （ ２ 解 法一 由余弦定理得 Ｂ Ｃ２ ＝ Ａ Ｂ２ ＋Ａ Ｃ２ － ２ Ａ Ｂ ·Ａ Ｃ ｃ ｏ ｓ Ａ ＝Ａ Ｃ２（ ５－４ ｃ ｏ ｓ Ａ） ． 因为 Ｓ△ＡＢＣ ＝ １， 则 １Ａ Ｂ ·Ａ Ｃ ｓ ｉ ｎ Ａ ＝ １， ２ １ ， ５ ４ ｃ ｏ ｓ Ａ 即Ａ 故Ｂ Ｃ２ ＝ Ｃ２ ＝ － ． ｓ ｉ ｎ Ａ ｓ ｉ ｎ Ａ ｃ ｏ ｓ Ａ， 记 ｙ ＝ ５－４ 则ｙ ｓ ｉ ｎ Ａ ＋４ ｃ ｏ ｓ Ａ ＝ ５， ｓ ｉ ｎ Ａ （ （ 其中ｔ ６ ｓ ｉ ｎ Ａ ＋ φ） ＝ ５ ａ ｎφ ＝ ｙ ＋１ 槡 ４ ） ． ２ ６ ｙ ＋１ 槡
２
４ １ ０ ａ ２ ａ １ ２ 整理 ａ × （ ＋ ２ ＝０， ２ ２－ ２ ＋ （ ） ） ３ ３ ９ ２－ｋ ２－ｋ ａ ４（ １ ５） １ ６ 故当 １ ５， ２ 得１ ＋ ， ４ ＝－ ２－ ２ ＝ ９ ９ ２－ｋ ２ ２ ａ ２－ｋ ２ １ ０ 时， １ 取得最大值１ ６， 槡 即ｋ 此时ａ 最小为 ＝ ４ ５ ９ ａ ３， 槡 即Ｂ Ｃ 最短为槡 ３． ２ “ 评注 波利亚说 ： 如果你希望从自己的努力 中， 取得最大的收获 ， 就要从已经解决了的问题中 找出那些对处 理 将 来 的 问 题 可 能 有 用 的 特 征 ． 第 （ ） 、 １ 问中的解法一 解法二与解三角形知识联系紧 密， 学生容易想到 ． 解法 三 平 几 给 力 ， 方 法 巧 妙， 利 ”解 法 四 与 解 法 五 ， 用初中知识即可 破 解 ． 主要是 基于经验题感 ， 即由三点共线满足定比分点向量 公式 特 点 ， 阿 波 罗 尼 斯 圆 ”的 特 Ａ Ｂ ＝２ Ａ Ｃ 符合“ 征． 两种方 法 对 本 题 虽 不 算 是 最 简 、 最 优 解 法， 但 ）问 ， 对学生的发 散 思 维 大 有 裨 益 ． 第（ 可从函数 ２ 、 、 与导数 直 线 与 圆 三 角 方 程 等 多 个 角 度 切 入 ， 精 彩纷呈 ． 一 题 多 解， 功 能 各 异， 通过少而精的经典 题的深入探究 ， 可 达 到 触 类 旁 通、 举 一 反 三、 以少 胜多的效果 ， 是高三复习迎考的一条有效途径 ． （ ） 收稿日期 ： ２ ０ １ １－０ ３－１ ０
“卓越联盟”自主招生模拟卷(8)
2014年自主招生考试数学模拟试卷（八）一、选择题:1.444sin 10sin 50sin 70++的值是 A.32 B.54 C.76 D.982.在ABC ∆中,点O 为BC 的中点,过点O 的直线分别交直线,AB AC 于不同的两点,M N ,若 ,AB mAM AC nAN ==,则m n +的值是A.2B.3C.32 D.65 3.已知,,0a b c >且39a b c ++=,则23a b c ++的最小值是A.31B.2744.ABC ∆内接于单位圆,三个内角平分线延长后分别交圆于111,,A B C ,则 111cos cos cos 222sin sin sin A B C AA BB CC A B C++=++ A.1 B.2 C.3 D.45.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为A.29 B.49 C.427 D.8276.设直线l 与曲线31y x x =++有三个不同的交点,,A B C且||||AB BC ==则直线l 的方程是A.1y x =+B.21y x =+C.1y x =-+D.21y x =-+ 7.从1,2,3,…,20中任取5个不同的数,其中至少有两个是相邻的数的概率为A.232323 B.155323 C.242323D.199323 8.实数,b c 满足221b c +=,且()sin cos f x ax b x c x =++的图象上存在两条互相垂直的切线,则实数a 的取值范围是A.(,0)-∞B.(0,)+∞C.{0}D.[1,1]-9.设M 是椭圆22143x y +=上的动点,点F 和P 的坐标分别是(1,0)和(3,1),则2||||MF MP -的最大值是A.1D.210.设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数,且对于任意(0,)x ∈+∞都有2[()log ]6f f x x -=,若0x 是方程()'()4f x f x -=的一个根,且*0(1,)()x a a a N ∈-∈,则a 的值为A.1B.2C.3D.4二、解答题：11.在等腰ABC ∆中,,AB AC =设,M N 分别在边,BC AC 上且//MN AB ,记CMN ∆的外心为,D BN 的中点为E ,求证:90AED ∠=.12.已知函数3()(1)1x f x x x +=≠-+设数列{}n a 满足:111,()n n a a f a +==,数列{}n b 满足|n n b a =(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)求证:n b ≤13.已知曲线11:()()2x x C y f x e e -==+,曲线21:()()2x x C y g x e e -==-,直线x a =与曲线12,C C 分别交于,A B ,曲线1C 在点A 处的切线为1l ,曲线2C 在点B 处的切线为2l .(Ⅰ)证明:直线1l 与2l 必相交,且交点到直线AB 的距离为定值; (Ⅱ)设0a <,直线1l 与2l 的交点为P ,若PAB ∆为钝角三角形,求实数a 的取值范围.14.如图,某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作:先在地平面α内作菱形ABCD ,边长为1,60BAD ∠=,再在α的上方,分别以ABD ∆与CBD ∆为底面安装上相同的正棱锥P ABD -与 Q CBD -,已知90APB ∠=.(Ⅰ)求二面角P BD Q --的余弦值;(Ⅱ)求点P 到平面QPB 的距离.15.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个焦点为1(F ,且该椭圆经过点1)2H ,设椭圆的上,下顶点分别为12,A A ,点P 是椭圆上异于12,A A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,M N ,若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T .(Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)证明:线段OT 的长为定值,并求出这个定值.。
2014卓越大学自主招生数学真题答案
2
（15 分）
法二：令 h( x) x ax a ，其图像的对称轴为 x
a . 2
1 当 0
a 1 ，即 0 a 2 时，存在 x1 , x2 (0,1) ，且 x1 x2 ，使 h( x1 ) h( x2 ) ， 2
三、解答题 9.【解析】 ： （1） f ( x)
2 sin(2 x ) 2 cos(2 x ) cos 2sin(2 x ) cos . 4 因为 x [0, ] ，所以 2 x [0, ] ， 2 x [ , ] . 4 2 4 4 4 又 [ , ] ，所以 [ , ] .因此 f ( x) 的最大值为 2 cos . （7 分） 4 2 2 4 4 （2）若 f ( x) 2sin(2 x ) cos 3 ，则 cos 1 且 sin(2 x ) 1 ， 4 4
余弦值为
2 7 4 7 3 7 ，在 OME 中再次运用余弦定理，求得 ME ，故而 AM . 7 7 7
4.【解析】选 D. 由已知 可得 a
2sin 2 x ， 由 于 1 sin x 1 ， 求 a 右 边 关 系 式 的 取 值 范 围 即 可 。 令 sin x 2
2014 年卓越联盟自主选拔录取
文科数学参考答案
1.【解析】选 A. 法一：直接分 x 0, x 0 两种情况讨论，分别解出答案，在合并即可得到答案 A; 法二：将 x 2 看成 x ，这样就得到一个关于 x 的不等式，解之即可得到 A 答案。
2
2.【解析】选 A. 法一：已知 f x f x 1 和 f x 是 R 上的奇函数，令 x ， 得 f f = f ，所以 f f 。 4 4 4 4 4 同理 f f 。由于函数在 0, 上为增函数， 5 5 2 所以有 f f f ，即 a b c . 3 4 5 法二，结合奇函数函数图像及周期性（此函数周期为 2） ，也可直观的得出答案。
卓越联盟自主招生数学模拟试题及参考答案1
清北学长精心打造——卓越自主招生数学模拟试题及参考答案(一)一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．已知△ABC 的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C.则sinB+cosB 的取值范围是（ ） A ．(1，1+]23 B ．[21，1+]23 C ．（1，]2 D ．[21，]2 2.一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是( ) A 1/2 B 2/5 C 3/5 D 4/73．正四棱锥ABCD S -中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系（ ） （A ）θγβα<<<（B ）γθβα<<<（C ）βγαθ<<<（D ）θβγα<<< 4. 已知f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋…＋|x ＋2007|＋|x －1|＋|x －2|＋…＋|x －2007|（x ∈R ），且f (a 2－3a ＋2)＝f (a －1)．则a 的值有（ ）.（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个5.平面上满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥01002y x y x x 的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y=2x对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离最近的两面三刀点的距离为（ ）A ．556 B ．5512 C ．538 D ．53166. 若m 、n ∈{x |x ＝a 2×102＋a 1×10＋a 0}，其中a i ∈{1，2，3，4，5，6，7}，i ＝0，1，2，并且m ＋n ＝636，则实数对(m ，n )表示平面上不同点的个数为（ ）．（A ）60个 （B ）70个 （C ）90个 （D ）120个 7．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,2+++===-++n n n na a a a n n 201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为( ). A 4025 B 4250 C 3650 D 4425 8. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为9,,2,1的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( )A 96B 108C 112 D120 9．设a n =2n ，b n =n ，（n=1，2，3，。
2011卓越联盟自主招生
//
2 3 2 . 2 24
A1 C1 O E A C
B1
解二 由于 AA1 2 EC1 , 故点 A1 和点 C1 到平面 AB1E 的 距离之比为 2 :1 . 设 A1 B 和 AB1 交于点 O , 连接 EO . 显见 EO 垂直平面 ABB1 A1 , 且 A1O AB1 , 故 A1O 垂直 平面 AB1 E , 从而 AO 2 为 A1 到平面 AB1E 的距离 , 1 故 C1 到平面 AB1E 的距离为 (7) 若关于 x 的方程 (A) (0 , 1) .
n
解 (1) 2an 2 an 1 an an 2 an 1
1 an 1 an ，即 bn 1 1 bn . 2 2
当 a b 时， b1 b a 0 ，因此 bn 是等比数列. (2) 由 lim(a1 a2 ...... an ) 4 可得 a b (若 a b , 则 an a, n 1, 2, )，故
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(11) 设数列 an 满足 a1 a ， a2 b ， 2an 2 an 1 an . (1) 设 bn an 1 an ，证明：若 a b ，则 bn 是等比数列； (2) 若 lim(a1 a2 ...... an ) 4 ，求 a, b 的值.
n
n 1
得到
1 n 2 1 n 2 4 b 1 1 ， a1 a2 an b 3 3 2 2
2 . 2
B
x kx 2 有四个不同的实数解，则 k 的取值范围为( x4
最新2011-卓越联盟自主招生数学试题及答案(精校版+完整版)
2011年卓越联盟自主招生数学试题(1)向量a ，b 均为非零向量，(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为 (A )6π(B )3π(C )23π (D )56π(2)已知sin2(α+γ)=n sin2β，则tan()tan()αβγαβγ++-+(A )11n n -+(B )1n n +(C )1n n - (D )11n n +-(3)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，F 是棱A 1B 1上的点，且A 1F ：FB 1=1：3，则异面直线EF 与BC 1所成角的正弦值为(A(B(C (D(4)i 为虚数单位，设复数z 满足|z |=1，则2221z z z i-+-+的最大值为(A(B(C (D(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4x +y -20=0，则抛物线方程为(A )y 2=16x(B )y 2=8x(C )y 2=-16x (D )y 2=-8x(6)在三棱锥ABC —A 1B 1C 1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E 为CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1E 的距离为(A(B(C )2(D )2(7)若关于x 的方程||4x x +=kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为( ) (A )(0，1)(B )(14，1)(C )(14，+∞) (D )(1，+∞)(8)如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为(A(B(C(D(9)数列{a n}共有11项，a1=0，a11=4，且|a k+1-a k|=1，k=1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( )(A)100(B)120(C)140(D)160(10)设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转，τ表示坐标平面关于y轴的镜面反射．用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用σk表示连续k次的变换，则στσ2τσ3τσ4是( ) (A)σ4 (B)σ5 (C)σ2τ(D)τσ2(11)设数列{a n}满足a1=a，a2=b，2a n+2=a n+1+a n．(Ⅰ)设b n=a n+1-a n，证明：若a≠b，则{b n}是等比数列；(Ⅱ)若limn→∞(a1+a2+…+a n)=4，求a，b的值．(12)在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC．(Ⅰ)求k的取值范围；(Ⅱ)若S△ABC=1，问k为何值时，BC最短？(13)已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x相切．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．(14)一袋中有a个白球和b个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为X n．(Ⅰ)求EX1；(Ⅱ)设P(X n=a+k)=p k，求P(X n+1=a+k)，k=0，1，…，b；(Ⅲ)证明：EX n+1=(1-1a b+)EX n+1．(15)(Ⅰ)设f(x)=x ln x，求f′(x)；(Ⅱ)设0<a<b，求常数C，使得1|ln|bax C dxb a--⎰取得最小值；(Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为m a,b，证明：m a,b<ln2．2012年卓越联盟自主招生数学试题2013年卓越联盟自主招生数学试题一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求的．） （1）已知()f x 是定义在实数集上的偶函数，且在(0,)+∞上递增，则（A ）0.72(2)(log 5)(3)f f f <-<- (B) 0.72(3)(2)(log 5)f f f -<<- (C) 0.72(3)(log 5)(2)f f f -<-< (D) 0.72(2)(3)(log 5)f f f <-<-（2）已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点(,0)6B π-，且()f x 的相邻两个零点的距离为2π，为得到()y f x =的图象，可将sin y x =图象上所有点 （A ）先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变(B) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变(C) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变(D) 先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变（3）如图，在,,,,A B C D E 五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为（A ）21 (B)24 (C)30 ( D)48(4)设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>．若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（A ）[1,)+∞ (B) (,1]-∞ (C) (,2]-∞ (D) [2,)+∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）（5）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线2218x y p-=的一个焦点，则双曲线的渐 近线方程为 ．（6）设点O 在ABC ∆的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且21OD DE +=， 则23OA OB OC ++= ．（7）设曲线y 与x 轴所围成的区域为D ，向区域D 内随机投一点，则该点落 入区域22{(,)2}x y D x y ∈+<内的概率为 ．(8)如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE 垂直，垂足是D ，割线EC 交圆O 于,B C ，且,O D C D B C αβ∠=∠=，则OEC ∠= （用,αβ表示）．三、解答题（本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （9）（本小题满分13分）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ．已知()(sin sin )()sin a c A C a b B -+=-．（1）求角C 的大小； （2）求sin sin A B ⋅的最大值．（10）（本题满分13分）设椭圆2221(2)4x y a a +=>的离心率为3，斜率为k 的直线l 过点(0,1)E 且与椭圆交于,C D 两点．（1）求椭圆方程；（2）若直线l 与x 轴相交于点G ，且GC DE =，求k 的值； （3）设A 为椭圆的下顶点，AC k 、AD k 分别为直线AC 、AD 的斜率，证明对任意的k 恒 有2AC AD k k ⋅=-．（11）（本题满分15分）设0x >，（1）证明：2112xe x x >++； （2）若2112xye x x e =++，证明：0y x <<．（12）（本题满分15分）已知数列{}n a 中，13a =，2*1,,n n n a a na n N R αα+=-+∈∈．（1）若2n a n ≥对*n N ∀∈都成立，求α的取值范围；（2）当2α=-时，证明*121112()222n n N a a a +++<∈---．2013大学自主招生模拟试题一一.选择题1． 把圆x 2+(y －1)2=1与椭圆9x 2+(y +1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( ) (A )线段 (B )不等边三角形 (C )等边三角形 (D )四边形2． 等比数列{a n }的首项a 1=1536,公比q=－12,用πn 表示它的前n 项之积。
“卓越联盟”自主招生模拟卷
2014年自主招生考试数学模拟试卷（一）一、选择题:1.在ABC ∆中,,,A B C ∠的对边分别是,,a b c ,若22bc b a =-且80B A -=,则内角C 为 A.30B.40C.50D.602.设*111,(1),(1)n n n N x y nn+∈=+=+,则A.y x x y =B.y x x y >C.y x x y <D.yx 与x y 无法比较大小3.在ABC ∆中,,A B 是锐角,且22sin sin sin A B C +=,则 ABC ∆是A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形4.设椭圆与x 轴交于,A B 两点,已知对椭圆上不同于,A B 的任意一点P ,直线AP 与直线BP 的斜率之积为12-,则该椭圆的离心率为C.125.在半径为1的球面上有不共面的四个点,,,A B C D 且,,AB CD x BC DA y CA BD z ======,则222x y z ++等于A.2B.4C.8D.166.如果曲线2sin2xy =的两条互相垂直的切线交于P 点,则P 点坐标不可能是 A.(,)ππ B.(3,)ππ- C.(5,)ππ- D.(7,)ππ-7.如果不等式2|1|x x a <-+的解集是区间(3,3)-的子集,则实数a 的取值范围是 A.(,7)-∞ B.(,7]-∞ C.(,5)-∞ D.(,5]-∞ 8.复数z x yi =+满足||1z ≤,则x y xy +-的最大值是A.1B.2C.3D.49.设20141!(cos)2013nn k k x π==∑,则lim n n x →∞等于A.1952B.1953C.1954D.1955 10.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 为单调函数,且1()(())1f x f f x x⋅+=,则(1)f = A.1三、解答题11.已知在ABC ∆中,AB AC >,A ∠的一个外角平分线交ABC ∆的外接圆于点E ,过E 作EF AB ⊥,垂足为F ,求证:2AF AB AC =-.12.已知数列{}n a ,{}n b 满足:2*111111,1,,[1(2)],1n n n n n n a nb a b b b na n N a n +++==-==-∈+. (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(Ⅱ)若不等式12(1)(12)(1)n a a na +++≥*n N ∈恒成立,求实数m 的取值范围.13.在平面直角坐标系中,设,,A B C 是曲线1xy =上三个不同的点,,,D E F 分别是,,BC CA AB 的中点,求证:DEF ∆的外接圆经过原点O .14.设,αβ为实数,n 为正整数,且0,14n πβα≤≤≤>.(Ⅰ)求证:2tan tan 1tan αβαβα-≤-+,并给出等号成立的条件; (Ⅱ)求证:22114nk n kn π=<+∑.15.电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字1或2,将输出的前n 个数字之和被3整除的概率记为n P . (Ⅰ)求证:11(1)2n n P P +=-; (Ⅱ)求证:201413P >.2014年自主招生考试数学模拟试卷（二）一、选择题:1.已知复数z 满足||2z z i +=+,则z =A.43i + B.34i + C.43i -+ D.34i -+ 2.如果{1,2,,9} 的某个非空子集中所有元素之和是3的倍数,则称该子集为 “忐忑”子集,那么“忐忑”子集的个数是A.133B.134C.173D.175 3.设,B C 是定点,且都不在平面α上,动点A 在平面α上且1sin 2ABC ∠=,那么A 点的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.椭圆,双曲线,抛物线皆有可能4.sin12sin 48sin54=A.14C.185.设复数(,,z x yi x y R i =+∈是虚数单位)满足12z z ++则yx的最大值是A.5B.5C.5D.5-6.已知O 为ABC ∆的外心,1,2,120AC AB BAC ==∠=,若AO AB AC λμ=+ ,则λμ+=A.136B.138C.56D.437.设数列{}n a满足12121,(3)n n n a a a a n --===-≥,则2014a =A.12C.218.已知ABC ∆是边长为2013的正三角形,点,D E 分别在边,BC CA 上,且3,3BC BD CA CE ==,若AD 与BE 交于,P M 是线段DC 的中点,则PM 长是A.670B.671C.672D.6739.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,已知点,A B 为抛物线上的两个动点,且满足120AFB ∠= ,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线,垂足为N ,则||||MN AB 的最大值是B.210.设[]x 表示不超过x 的最大整数,则2014120142[]2kk k +=+=∑ A.2012 B.2013 C.2014 D.2015二、解答题:11.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若角,,A B C 的大小成等比数列,且22b a ac -=,求B ∠的弧度数.12.定义函数()(1)1,2,(),n n f x x x n N *=+->-∈其导函数记为'()n f x . (Ⅰ)求证:();n f x nx ≥(Ⅱ)数列{}n a 满足'*'11()(1),()(1)n n n n n n f a f n N f a f ++=∈,求证111n n a n -<<+; (Ⅲ)求证:对*242,(1)(1)(1)n n N a a a ∈+++>13.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,190,,2,1BAC AB a AC AA ∠==== ,点D 在棱11B C 上,且113DC B D =. (Ⅰ)求证:1BD AC ⊥;(Ⅱ)当a 为何值时,二面角11B A D B --的大小为60?14.已知函数21()()()2xf x a ex a R =-+∈. (Ⅰ)若函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增,求实数a 的取值范围;(Ⅱ)若在区间(0,)+∞上,函数()f x 的图形恒在曲线2xy ae =的下方,求实数a 的取值范围.15.在椭圆中定义:过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦叫做椭圆的通径,如图,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左,右焦点分别为12,,F F 其离心率为12,通径长为3,过1F 的直线交椭圆于,A B 两点,12,I I 分别为1212,F BF F AF ∆∆的内心,延长2BF 交椭圆于点M .(Ⅰ)求该椭圆的方程; (Ⅱ)求四边形1221F I F I 与2AF B ∆的面积的比值p ; (Ⅲ)在x 轴上是否存在点C ,使CM CB ⋅为常数,若存在,求出点C的坐标和这个常数,若不存在,请说明理由.2014年自主招生考试数学模拟试卷（三）一、选择题:1.设421111{||78||21|;,,||1}S z z i z z z z C z =--=-+∈=,则S 在复平面内所对应的区域的面积是A.4πB.8πC.16πD.32π2.设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ,过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两条渐近线于,A B 两点,P 是l 与双曲线的一个交点,设O 为坐标原点,若有实数,m n 使得OP mOA nOB =+且29mn =,则该双曲线的离心率是A.4B.98 D.23.在ABC ∆中,D 为AC 的中点,3,,AB BD BC ABC ==∆的面积是3,则A ∠的大小是A.6πB.4πC.3πD.2π4.函数y =B. D.35.正三棱锥D ABC -的底面ABC ∆的边长均为6,各侧棱长均为5,点I 是侧面DAB ∆的内心,则四面体I ABC -的体积是6.[]x 表示不超过x 的最大整数,则222[log 1][log 2][log 2014]+++ 的值是A.18084B.18094C.18104D.18114 7.各项均为正数的等比数列{}n a 中,4321228a a a a +--=,则872a a +的最小值为 A.18 B.36 C.54 D.728.设函数:,f R R →满足:(0)1,f =且对任意,x y R ∈都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+,则(2014)f 的值是A.2013B.2014C.2015D.2016 9.在ABC ∆中,10,AB AB =边上的高为3,当AC BC ⋅最小时,AC BC +的值是A. B. C. D.10.设两点,C D 在以线段AB 为直径的半圆弧上,线段AC 和线段BD 相交于点,10,8,E AB AC ==BD =则ABE ∆的面积为 A.1507 B.1307 C.1107 D.907二、解答题：11.已知焦点在x 轴上的椭圆222:18x y C b+=内含圆2218:3C x y +=,圆1C 的切线l 与椭圆C 交于,A B 两点,且满足0(OA OB O ⋅=为坐标原点.(Ⅰ)求2b 的值;(Ⅱ)求||AB 的取值范围.12.设递增数列{}n a 满足:*111,451,)n n a a a n n N +==+≥∈. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求证:121112na a a +++< .13. ABC ∆的内切圆I 分别切,BC CA 于点,D E 直线BI 交DE 于点G ,求证:AG BG ⊥.14.如图所示,在矩形ABCD 中,6,AB AD BD ==是对角线,过点A 作AE BD ⊥,垂足为O ,交CD 于点E ,以AE 为折痕将ADE ∆向上折起,使点D 到点P 的位置.(Ⅰ)若平面PAE 与平面ABCE 所形成的二面角P AE B --的大小为120,求四棱锥P ABCE -的体积; (Ⅱ)若PB =求二面角P AB E --的余弦值.15.已知函数2()ln(1)2(1f x x ax x =+++-+其中0)a > (Ⅰ)当1a =时,求()f x 的最小值;(Ⅱ)若[0,2]x ∈时,()0f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围;2014年自主招生考试数学模拟试卷（四）一、选择题:1.设12,z z 为一对不相等的共轭复数,且2112||z z z =为实数,则12||z z -的值为C.3D.2.设,x y 满足约束条件122323x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,若224x y a +≥恒成立,则实数a 的最大值是A.1B.4C.52D.453.函数()|1||1|f x x x =++-A.[2B.[2C.[2D.[24.已知O 点在ABC ∆的内部,且324AB BC CA AO ++= ,记ABC ∆的面积为1,S OBC ∆的面积为2S ,则12:S S 的值为A.2B.3C.4D.55.在ABC ∆中,D 是BC 的中点,若0AD AC ⋅=,则tan 2tan A C +的值为A. B.0D.16.若锐角α=,则角α的度数为A.30B.40C.50D.607.将11个完全相同的小球放入6个各不相同的盒子中,使得至多有三个空盒子的放法种数是 A.3112 B.3912 C.4212D.45128.已知12,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左,右焦点,点A 的坐标为9(2,则12F AF ∠的平分线与x 轴交点M 的坐标为A.(2,0)B.(2,0)-C.(4,0)D.(4,0)-9.在长方体1111ABCDA BC D -中,已知111,AC BC AB p ==,则长方体的体积最大时,p 等于10.方程1sin [[]]222x x x π=-+在区间[0,2]π内的所有实数解的和为A.8B.10C.12D.14 二、解答题:11.如图,四边形ABCD 是圆内接四边形,且,AB CD AD BC E ⋅=⋅是对角线AC 上的一点. (Ⅰ)若E 是AC 的中点,求证:ABE DBC ∠=∠;(Ⅱ)若ABE DBC ∠=∠,试问E 是否为AC 的中点?说明理由.12.已知函数ln(1)()x f x x+=. (Ⅰ)当0x >时,求证:2()2f x x >+;(Ⅱ)当1x >-且0x ≠时,不等式1()1kxf x x+<+恒成立,求实数k 的取值集合.13.如图,已知四棱锥E ABCD -的底面是菱形,且60,2,ABC AB EC AE BE ∠===== (Ⅰ)求证:平面EAB ⊥平面ABCD ; (Ⅱ)求二面角A EC D --的余弦值.14.数列{}n x 中,11x =且121n n n x x x ++=+. (Ⅰ)设n a =,求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设|n n b x =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,求证:2n S <.15.已知椭圆221,4x y P +=是圆2216x y +=上任意一点,过P 作椭圆的切线,PA PB ,切点分别为,A B ,求PA PB ⋅的最大值和最小值.2014年自主招生考试数学模拟试卷（五）一、选择题:1.设实数1r >,如果复平面上的动点z 满足||z r =,则动点1w z z=+的轨迹是 A.焦距为4的椭圆 B.焦距为2的椭圆 C.焦距为2r 的椭圆 D.焦距为2r的椭圆 2.设P 是函数2(0)y x x x=+>的图象上任意一点,过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线,垂足分别是,A B ,则PA PB ⋅的值是A.2-B.C.D.1-3.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 且满足5cos 5cos 3a B b C c -=,则tan :tan A B 的值是A.2 D.54.设,,[0,1]x y z ∈,则M =1 B.1 C.2 D.25.某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周末使用的三种密码中等可能地随机选用一种,设第一周使用A 密码,那么第七周也使用A 密码的概率是A.59243 B.61243 C.65243 D.67243 6.半径为R 的球内部装有4个相同半径为r 的小球,则小球半径r 的可能的最大值是R R 7.[表示不超过实数x 的最大整数,则在平面直角坐标系xOy 中,满足2014的所有点(,)x y 组成的图形的面积是A.8B.16C.1007D.20148.若实数,x y 满足1x y xy +=-的值是9.设1616(1)i i i x a x =+=∑,则16ii ia==∑A.142 B.162 C.182 D.20210.已知平面,,αβγ两两垂直,点A α∈,点A 到平面,βγ的距离都是3,P 是平面α上的动点,点P 到平面β的距离是到A 点距离的2倍,则点P 到平面γ的距离的最小值是A.2B.3C.4D.5-二、解答题：11.在锐角ABC ∆中,,BD CE 分别是,AC AB 上的高,以AB 为直径作圆交CE 于点M ,在BD 上取点N ,使AN AM =,求证:AN CN ⊥.12.已知函数()x f x e x =-.(Ⅰ)若函数2()()1g x f x ax =--的导函数'()g x 在[0,)+∞上是增函数,试求实数a 的最大值; (Ⅱ)求证:111()()()234(2)nf f f n n n +++>++ .13.已知m 为非零实数,抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 在直线2:02m l x my --=上.(Ⅰ)若2m =,求抛物线C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与抛物线C 交于,A B 两点,过,A B 分别作抛物线C 的准线的垂线,垂足分别为11,A B ,11,AA F BB F ∆∆的重心分别为,,G H 求证:对任意非零实数m ,抛物线C 的准线与x 轴的交点在以线段GH 为直径的圆外.14.已知数列{}n a 满足;0n a ≥,22*1110,1()n n n a a a a n N ++=+-=∈,记12n n S a a a =+++112121111(1)(1)(1)(1)(1)n n T a a a a a a =+++++++++ 求证:当*n N ∈时, (Ⅰ)1n n a a +< (Ⅱ)2n S n >-(Ⅲ)3n T <15.设ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边的长分别为,,a b c ,求证:2()()()3aA B C bB C A cC A B a b c π+++++<++2014年自主招生考试数学模拟试卷（六）一、选择题:1.函数(1y x =的最大值是A.3B.4C.D.22.设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并放入半径为r 的一个实心球,此时,球与容器壁及水面恰好都相切,则取出球后水面高为A.rB.2r3.任作椭圆221259x y +=的一条切线,与椭圆的两条对称轴分别交于,A B 两点,则线段AB 的长度的最小值是A.6B.8C.10D.124.已知数列{}n a 满足1(a m m =为正整数),1231n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩当为偶数时当为奇数时,若4 7a =,则m 的所有可能的取值的和为A.9B.10 .C.56D.655.设,,a b c 均为非零复数,令12ω=-,若a b c b c a ==,则a b c a b c +--+的值为 A.1 B.ω± C.1或ω或2ω D.1或ω-或2ω-6.函数22|log |,04()2708,433x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩,若,,,a b c d 互不相等且()()()()f a f b f c f d ===,则 abcd 的取值范围是A.(32,35)B.(30,35)C.(31,36)D.(32,36)7.方程2(1)sin 10x x π-+=在区间[2,4]-内的所有解之和为 A.4 B.6 C.8 D.108.将各位数字之和为7的正整数按从小到大的顺序排成一个数列,则2014是该数列的第( )项A.64B.65C.66D.679.设[],0()(1),0x x x f x f x x -≤⎧=⎨->⎩,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,若方程()0f x kx k --=有三个不同的实数解,则实数k 的取值范围是A.11(,)43B.11(,]43C.11[,)43D.11[,]43 10.设P 为ABC ∆内一点,角,,A B C 的对边分别是,,,a b c S 为ABC ∆的面积,则a PAb PBc PC S ⋅+⋅+⋅的最小值为 A.2 B.3 C.4 D.5二、解答题11.过直线07075:=--y x l 上的点P 作椭圆192522=+y x 的切线PM ,PN ,切点分别为M ,N ,连结.MN(Ⅰ)当点P 在直线l 上运动时,证明：直线MN 恒过定点Q ；(Ⅱ)当MN ∥l 时，定点Q 平分线段.MN12.ABC ∆的内切圆I 分别切,BC CA 于点,D E 直线BI 交DE 于点G ,求证:AG BG ⊥.13.在四面体ABCD 中,,,AB CD AC BD AD BC ===.(Ⅰ)求证:四面体的每个面的三角形都是锐角三角形;(Ⅱ)设三个面与底面BCD 所成的角分别为,,,αβγ求证:cos cos cos 1αβγ++=14.函数2()(1)ln ()f x x b x b R =-+∈.(Ⅰ)若函数在其定义域内是单调递增函数,求实数b 的取值范围;(Ⅱ)设3222,()3467a g x x a x a a >=-+-+,当12b =时,若存在12,[1,2]x x ∈,使得 121|()()|2f xg x -<,求实数a 的取值范围.15.已知函数2()1,,f x x x αβ=+-是方程()0f x =的两个根(),'()f x αβ>是()f x 的导数,设11()1,(1,2,)'()n n n n f a a a a n f a +==-= . (Ⅰ)求,αβ的值; (Ⅱ)证明:对任意的正整数n ,都有n a α>(Ⅲ)记ln(1,2,)n n n a b n a βα-==- ,求数列{}n b 的前n 项和n S .2014年自主招生考试数学模拟试卷（七）一、选择题:1.已知2014220140122014(1)x a a x a x a x +=++++ ,则48122012a a a a ++++=A.20112B.20122C.20132D.201422.若a 为正数,[]a 表示a 的整数部分,{}[]a a a =-,如果,[],{}a a a 按照某种顺序组成等比数列,则a 的值是3.已知(0,2)x π∈且(1|cos |)sin (1|cos |)x x x -=+,则满足条件的所有x 的和是A.2π B.π C.32π D.2π 4.已知数列{}n a 满足1(a m m =为正整数),1231n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩当为偶数时当为奇数时,若123 29a a a ++=,则m的值为A.3B.4 .C.5D.65.若自椭圆中心到焦点,长轴顶点,以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形,则该椭圆的离心率是B.326.正四棱锥P ABCD -中,5,6,PA AB M ==是PAD ∆的重心,则四面体MPBC 的体积是A.B.C.D.7.已知()f x 为R 上的单调递增函数,且对任意x R ∈,都有(()3)4x f f x -=,则(2)f 的值是A.8B.9C.10D.118.设函数()sin cos 1f x x x =+,若实数,,a b c 使得()()1af x bf x c +-=对任意x R ∈恒成立,则cos b c a的值是 A.1 B.1- C.0 D.1或1- 9.已知实数,,,a b c d 满足221ab c d =+=,则22()()a c b d -+-的最小值是A.3-B.3+C.3D.3+10.7个花色不同的小球放到编号分别为1,2,3的三个盒子内,要求各盒子内的小球数不小于其编号数,则不同的放法种数为A.105B.140C.210D.455二、解答题:11.锐角三角形ABC 的三条高分别为,,AD BE CF ,求证:DEF ∆的周长不超过ABC ∆的周长的一半.12.数列{}n a 满足22112211,2,1n n n n a a a a a a +++===+. (Ⅰ)求证:11(1,2,3,)n n na a n a +=+= (Ⅱ)求证n a ≤≤(Ⅲ)令1,2,3,)n b n == 判断n b 与1n b +的大小,并说明理由.13.已知(1,0)F 为一定点,(0,)P b 是y 轴上的一动点,点(,0)M a 满足0PM PF ⋅= ,若点N 满足 20PN NM += .(Ⅰ)求点N 的轨迹曲线C 的方程;(Ⅱ)求曲线C 的任何两条互相垂直的切线的交点轨迹.14.在长方体1111ABCD A BC D -中,已知11,2,AD AB AA t ===. (Ⅰ)若对角线1BD 上存在一点P ,使得11PB PC ⊥,求实数t 的取值范围;(Ⅱ)当对角线1BD 上存在唯一一点P ,使得11PB PC ⊥时,求平面11PB C 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.15.已知函数1()2ln(1)1(1)f x x x x =++-+ (Ⅰ)求()f x 在区间[1,)+∞上的最小值;(Ⅱ)求证:2*(1)ln1ln 2ln 3ln (,2)2n n n N n n-++++>∈≥ (Ⅲ)42222*3(1)ln 1ln 2ln 3ln (,2)4n n n N n n-++++>∈≥2014年自主招生考试数学模拟试卷（八）一、选择题:1.444sin 10sin 50sin 70++的值是 A.32 B.54 C.76 D.982.在ABC ∆中,点O 为BC 的中点,过点O 的直线分别交直线,AB AC 于不同的两点,M N ,若 ,AB mAM AC nAN == ,则m n +的值是A.2B.3C.32D.653.已知,,0a b c >且39a b c ++=,则23a b c ++的最小值是 A.31 B.274C.24336-D.45- 4.ABC ∆内接于单位圆,三个内角平分线延长后分别交圆于111,,A B C ,则 111cos cos cos 222sin sin sin A B C AA BB CC A B C++=++ A.1 B.2 C.3 D.45.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为A.29 B.49 C.427 D.8276.设直线l 与曲线31y x x =++有三个不同的交点,,A B C且||||AB BC ==则直线l 的方程是A.1y x =+B.21y x =+C.1y x =-+D.21y x =-+ 7.从1,2,3,…,20中任取5个不同的数,其中至少有两个是相邻的数的概率为A.232323 B.155323 C.242323D.199323 8.实数,b c 满足221b c +=,且()sin cos f x ax b x c x =++的图象上存在两条互相垂直的切线,则实数a 的取值范围是A.(,0)-∞B.(0,)+∞C.{0}D.[1,1]-9.设M 是椭圆22143x y +=上的动点,点F 和P 的坐标分别是(1,0)和(3,1),则2||||MF MP -的最大值是A.1D.210.设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数,且对于任意(0,)x ∈+∞都有2[()log ]6f f x x -=,若0x 是方程()'()4f x f x -=的一个根,且*0(1,)()x a a a N ∈-∈,则a 的值为A.1B.2C.3D.4二、解答题：11.在等腰ABC ∆中,,AB AC =设,M N 分别在边,BC AC 上且//MN AB ,记CMN ∆的外心为,D BN 的中点为E ,求证:90AED ∠= .12.已知函数3()(1)1x f x x x +=≠-+设数列{}n a 满足:111,()n n a a f a +==,数列{}n b 满足|n n b a =(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)求证:n b ≤13.已知曲线11:()()2x x C y f x e e -==+,曲线21:()()2x x C y g x e e -==-,直线x a =与曲线12,C C 分别交于,A B ,曲线1C 在点A 处的切线为1l ,曲线2C 在点B 处的切线为2l .(Ⅰ)证明:直线1l 与2l 必相交,且交点到直线AB 的距离为定值; (Ⅱ)设0a <,直线1l 与2l 的交点为P ,若PAB ∆为钝角三角形,求实数a 的取值范围.14.如图,某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作:先在地平面α内作菱形ABCD ,边长为1,60BAD ∠=,再在α的上方,分别以ABD ∆与CBD ∆为底面安装上相同的正棱锥P ABD -与 Q CBD -,已知90APB ∠= .(Ⅰ)求二面角P BD Q --的余弦值;(Ⅱ)求点P 到平面QPB 的距离.15.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个焦点为1(F ,且该椭圆经过点1)2H ,设椭圆的上,下顶点分别为12,A A ,点P 是椭圆上异于12,A A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,M N ,若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T .(Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)证明:线段OT 的长为定值,并求出这个定值.。
自主招生备考：我们能做什么
2014自主招生（数学）解读与备考2014、1解析几何部分一、先看一个问题：例1、（2011年自主招生华约数学试题14）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，12F F 、分别为C 的左、右焦点。
P 为C 右支上一点，且12=,3F PF π∠ 12F PF ∆的面积为2．（Ⅰ）求C 的离心率e ；（Ⅱ）设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数(0)λλ>,使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立。
若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 谈几个问题：1、北约考察的重点：研究能力（意识与方法）（见2013北约卷）；2、谈谈题是怎么编的 （1）、机器（2）、理论结论1、设F 为圆锥曲线焦点，其相应准线为l ，作一直线交圆锥曲线于P A 、两点，交l 于M ，则FM 平分AFP ∠（或其外角）。
点(0,1),E 且与椭圆相交于,C D 两点.① 求椭圆方程；② 若直线l 与x 轴相交于点G ，且,GC DE =求k 的值；③ 设A 为椭圆的下顶点，,AC AD k k 分别为直线,AC AD 的斜率. 证明对任意的k ，恒有2AC AD k k ⋅=-xy结论2、设),(00y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一定点，PB PA 、为它的任意两条弦，斜率分别为21,k k 。
若12k k λ⋅=（注：22b a λ≠），则直线AB 过定点（2222002222,a b a b x y a b a bλλλλ++---）。
例3、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是，且经过点(2,1)M ．直线1(0)2y x m m =+<与椭圆相交于A ，B 两点． （1）求椭圆的方程；（2）求△MAB 的内心的横坐标．结论3、设),(00y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一定点，PB PA 、为它的任意两条弦，斜率分别为21,k k ，若021=+k k ，则直线AB 的斜率是定值0202y a x b k =。
卓越联盟数学真题分类汇编(2011-2013)
“卓越联盟”自主招生学业水平测试试卷分析对于数理知识测试中数学部分，专家评论道：数学考题考察的是高中数学的基本知识、基本概念和基本技能，但只是考察的侧重点与高考不同，试题重点考察了学生的空间想象能力，要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。
该份试卷从工科院校的特点出发，考察了学生应用基础知识求解几何与分析方面的（最大值或最小值）优化问题,能够延伸性地考察学生的数学能力。
对于数理知识测试中物理部分,专家评论道:物理题目涉及了力学、热学、光学、电磁学、振动、近代物理知识,体现了能力测试为主导,特别是考核学生综合运用基础知识,基本技能解决问题和分析问题的能力。
选择题多数与高考题类型相似,主要考核学生对物理基本概念、基本思想的理解掌握程度和基本原理的运用能力。
计算题主要考察了电学、热学和力学知识的综合应用能力。
目录专题一函数（导数）与方程、不等式 (2)专题二数列 (4)专题三三角、向量与复数 (6)专题四解析几何 (8)专题五立体几何 (10)专题六排列、组合、二项式定理、概率统计 (11)专题七平面几何、杂题 (12)2011卓越联盟自主招生数学真题答案解析 (13)2012卓越联盟自主招生数学真题答案解析 (17)2013卓越联盟自主招生数学真题答案解析 (23)卓越联盟分类汇编（2011-2013）专题一 函数（导数）与方程、不等式（11年）（7）.若关于x 的方程2||4x kx x =+有四个不同的实数解,则k 的取值范围为( ) A. (0,1) B. 1(,1)4 C.1(,)4+∞ D. (1,)+∞（15）.设()ln f x x x =. (1)求()f x ';(2)设0,a b <<求常数c ,使得1|ln |bax c dx b a --⎰取得最小值;(3)记(2)中的最小值为,a b M ,证明,ln 2a b M <.（12年）（11）（本小题满分15分）已知函数()21ax f x bx+=，其中a 是非零实数，0b >.（Ⅰ）求()f x 的单调区间; （Ⅱ）若0a >，设||i x 1i =，2，3，且120x x +>，230x x +>，310x x +>证明：()()()123f x f x f x ++>（Ⅲ）若()f x 有极小值min f ，且min (1)2f f ==，证明()()()*||||22n n n f x f x n N -≥-∈.（13年）（1）已知()f x 是定义在实数集上的偶函数，且在(0,)+∞上递增，则(A) 0.72(2)(log 5)(3)f f f <-<- (B) 0.72(3)(2)(log 5)f f f -<<-(C) 0.72(3)(log 5)(2)f f f -<-< (D) 0.72(2)(3)(log 5)f f f <-<-(4) 设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有2()()f x f x x -+=， 且在(0,)+∞上()f x x '>．若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为 （A ）[1,)+∞ (B) (,1]-∞ (C) (,2]-∞ (D) [2,)+∞（11）（本题满分15分）设0x >，（1）证明：2112x e x x >++；（2）若2112x y e x x e =++，证明：0y x <<．专题二 数列（11年）(9). 数列{}k a 共有11项,1110,4,a a ==且1||1,1,2,,10k k a a k +-== 满足这种条件的不同数列的个数为( )A. 100B. 120C. 140D. 160(11).设数列{}n a 满足1221,,2n n n a a a b a a a ++===+.(1)设1n n n b a a +=-,证明:若a b ≠,则{}n b 是等比数列; (2)若12lim()4,n n a a a →∞+++= 求,a b 的值;（12年）（5）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T 。
2011年华约自主招生数学试题(精校word版,有参考答案)
2011年“华约”自主招生数学试题一、选择题1．设复数z满足|z|<1且15||2zz+=则|z| =（）A．45B．34C．23D．12【答案】D【解析】由15||2zz+=得25||1||2z z+=，已经转化为一个实数的方程．解得|z| ＝2（舍去），12．2．在正四棱锥P－ABCD中，M、N分别为P A、PB．则异面直线DM与AN所成角的余弦为（）A．13B．16C．18D．112【答案】D【解析】本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素．本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等．然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起．解法一：如图1，设底面边长为2．如图建立坐标系，则A（1，－1，0），B（1，1，0），C（－1，1，0），D（－1，－1，0），P（0，0），则1111(,(,2222M N-，312132(,,),(,,)222222DM AN =-=-．设所成的角为θ，则1cos 6DM AN DM ANθ==．3．已知1223+--=x x x y ，过点（－1, 1）的直线l 与该函数图象相切，且（－1, 1）不是切点，则直线l 的斜率为 （ ） A ．2B ．1C ．-1D ．-2【答案】C【解析】显然（－1, 1）在1223+--=x x x y 的图象上．设切点为)12,(020300+--x x x x ， 2232--='x x y ，所以223020--=x x k ．另一方面，)1(1)12(002030---+--=x x x x k )2(00-=x x 223020--=x x ．所以x 0＝1,所以1-=k ．选C ． 4．若222cos cos 3A B A B π+=+，则的最小值和最大值分别为 （ ） A ．321-，32B ．12 ，32C ．321-，321+D ．12 ，221+【答案】B【解析】首先尽可能化简结论中的表达式22cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个． 解：221cos 21cos 21cos cos 1(cos 2cos 2)222A B A B A B +++=+=++ 11cos()cos()1cos()2A B A B A B =++-=--，可见答案是B【答案】B【解析】题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱．我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O 1 O 2边O 1 O 2上一点C ，OO 1、OO 2延长线上分别一点A 、B ，使得O 1A =O 1C ，O 2B =O 2C ． 解法一：连接12O O ，C 在12O O 上，则1221OO O OO O πα∠+∠=-，111212O AC O CA OO O ∠=∠=∠，222112O BC O CB OO O ∠=∠=∠，故1212211()22O CA O CB OO O OO O πα-∠+∠=∠+∠=， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2αβ=． 解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则12212OO O OO O πα-∠=∠=，1212124O CA O CB OO O πα-∠=∠=∠=，12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos2αβ=．6．已知异面直线a ，b 成60°角．A 为空间一点则过A 与a ，b 都成45°角的平面 （ ） A ．有且只有一个B ．有且只有两个C ．有且只有三个D ．有且只有四个【答案】D【解析】已知平面过A ，再知道它的方向，就可以确定该平面了．因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a ，b 为相交直线也没关系．于是原题简化为：已知两条相交直线a ，b 成60°角，求空间中过交点与a ，b 都成45°角的直线．答案是4个． 7．已知向量3131(0,1),(,),(,),(1,1)2222a b c xa yb zc ==--=-++=则222x y z ++的最小值为（ ） A ．1B ．43C ．32D ．2【答案】B【解析】由(1,1)xa yb zc ++=得1)111222y z y z y z y z x x ⎧⎧+=-=⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪--=-=⎪⎪⎩⎩， 由于222222()()2y z y z x y z x ++-++=+，可以用换元法的思想，看成关于x ，y + z ，y －z三个变量，变形2(1)y z y z x ⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩，代入222222()()2y z y z x y z x ++-++=+222228242(1)343()3333x x x x x =+-+=-+=-+，答案B 8．AB 为过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠=，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为 （ ） A．B．5C．3D．3【答案】A【解析】解法一：焦点F （1，0），C （－1，0），AB 方程y ＝ x – 1，与抛物线方程y 2 ＝ 4x联立，解得A B (3+2+ (3-2- ，，于是22CA CB k k ==，tan 1CA CB CA CBk k ACB k k -∠==+ A 解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD 中，∠BAD ＝ 45°，EF ∥DA ，EF ＝ 2，AF ＝ AD ，BF ＝ BC ，求∠AEB ．tan tan 2DE GF AEF EAD AD AF ∠=∠===．类似的，有tan tan BEF EBC ∠=∠=2AEB AEF BEF AEF ∠=∠+∠=∠，tan tan 2AEB AEF ∠=∠= A【答案】DA ．存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B ．存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C ．存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D ．任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 【答案】D【解析】我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形．如图，假设ΔABC 是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF （不妨设在AC 的另一边）的（其中的边EF 有可能与AC 重合）的∠D 一定是钝角．事实上，∠D ≥ ∠ADC ，而四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠ADC ＝ 180°－∠B ，所以∠D 为钝角．这样就排除了B ，C ．下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形．假设ΔABC 中∠B 是钝角，在AC 的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC 的另一侧的相邻（指有FEDBCA DBCA公共边AC ） ΔACD ，则∠D ＝ 180°－∠B 是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形．所以答案是D ． 二、解答题解：（I ）tan tan tan tan()tan tan 1A BC A B A B +=-+=-，整理得tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++（II ）由已知3tan tan tan tan A C A B C =++，与（I ）比较知tan 33B B π=，=．又11222sin 2sin 2sin 23sin 3A C B π+===，sin 2sin 2sin 2sin 23A C A C +=sin()cos()cos 2()cos 2()3A C A C A C A C +-=--+而3sin()sin 2A C B +==，1cos 2()cos 22A C B +==-，代入得2cos 2()13cos()A C A C -+=-，24cos ()3cos()10A C A C ----=，1cos()14A C -=-，，6cos 12A C -=，12．已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）．质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处． （I ）若b ＝ 3a ，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （II ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ 解：不妨设水杯高为1．（I ）这时，水杯质量：水的质量=2 ：3．水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为12，水的重心位置为14，所以装入半杯水的水杯的重心位置为11237242320+=+（II）当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上．设装x克水．这时，水杯质量：水的质量＝a：x．水杯的重心位置为12，水的重心位置为2xb，水面位置为xb，于是122xa x xba x b+=+，解得x a=-13．已知函数21()(1)1()2xf x f fax b===+2，，3．令111()2n nx x f x+==，．（I）求数列{}nx的通项公式；（II ）证明12112nx x xe+>．解：由12(1)1()1()21xf f a b f xx=====+2，得，3（I）方法一：先求出123412482359x x x x====，，，，猜想11221nn nx--=+．用数学归纳法证明．当n = 1显然成立；假设n = k成立，即11221kk kx--=+，则122()121kkk k kkxx f xx+===++，得证．方法二：121+=+nnn xxx取倒数后整理得)11(21111-=-+nnxx，所以)11()21(1111-=--xxnn所以12111+=-nx（II）方法一：证明12112nex x x+>．事实上，12111112(1)(1)(1)242nnx x x+=+++．我们注意到2212(1)12(1)nna a a a+<++<+，，，（贝努利（Bernoulli）不等式的一般形式：nxx n+≥+1)1(，x),1(+∞-∈）于是122121212111112(1)2(1)2(1)2222n n nn n nnex x x-+++-+<+=+<+<方法二：原不等式en<+++⇔)211()211)(211(21)]211()211)(211ln[(2<+++⇔n1)211ln()211ln()211ln(2<++++++⇔n构造函数)0()1ln()(>-+=x xx x g01111)(<+-=-+='xxx x g ，所以0)0()(=<g x g 所以)0()1ln(><+x x x令n x 21=则n n 21)211ln(<+ 1211212121)211ln()211ln()211ln(22<-=+++<++++++n n n14．已知双曲线221222:1(0,0),,x y C a b F F a b -=>>分别为C 的左右焦点．P 为C右支上一点，且使21212=,3F PF F PF π∠∆又的面积为．（I ）求C 的离心率e ；（II ）设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：（I ）如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔP F 1 F 2中，21212=3F PF F PF π∠∆，的面积为，E 为PF 1上一点，PE ＝ PF 2，E F 1 ＝2a ，F 1 F 2 ＝ 2c ，求ca．设PE =PF 2=EF 2=x ，F F 2x ，1221211(222F PF S PF FF x a ∆==+=， 224120x ax a +-=，2x a =．ΔE F 1F 2为等腰三角形，1223EF F π∠=，于是2c =，ce a==． （II ） 21=λ此解法可能有误15．将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以p n 表示未出现连续3次正面的概率． （I ）求p 1，p 2，p 3，p 4；（II ）探究数列{ p n }的递推公式，并给出证明；（III ）讨论数列{ p n }的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义．解析：（I ）显然p 1＝p 2＝1，878113=-=p ；又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，故161316314=-=p ．（II ）共分三种情况：①如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面的概率121-⨯n P ；②如果第n 次出现正面，第n －1次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －2次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是241-⨯n P ；③如果第n 次出现正面，第n －1次出现正面，第n －2次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －3次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是381-⨯n P ．综上，=n P +⨯-121n P +⨯-241n P 381-⨯n P ．（4≥n ），④ （III ）由（II ）知=-1n P +⨯-221n P +⨯-341n P 481-⨯n P ，（5≥n ）⑤，④－12×⑤，有=n P --1n P 4161-⨯n P （5≥n ） 所以5≥n 时，p n 的单调递减，又易见p 1＝p 2＞p 3＞p 4＞…．3≥n 时，p n 的单调递减，且显然有下界0，所以p n 的极限存在．对=n P --1n P 4161-⨯n P 两边同时取极限可得0lim =-∞→n n p ．其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者比值趋近于零．。
大学自主招生测评题真题及答案解析——数学一
大学自主招生测评题真题及答案解析——数学一一、选择题1、（北约2014年）设扇形的圆心角为3π，面积为6π，将它围成一个圆锥，求圆锥的表面积______（A ）132π （B ）7π （C ）152π （D ）8π答案：B6/660360ππ=，扇形弧长为60262360ππ=，故圆锥底面半径为1，圆锥的表面积等于67πππ+=2、（北约2013和为两根的有理系数多项式的最高次数最小为( )A. 2B.C. D. 答案：C解析：由,可知,同理由可知; 所以方程的次数最小,其次数为5,故选C.3、（华约2012年）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中对对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ）(A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种 答案：C4、（华约2010年）设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ）（A ）2 （B （C ）1 （D 答案：D5、（华约2010年）设复数2()1a i w i+=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ）（A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）32答案：A二、填空题6、（卓越2014年）不等式32210x x -+<的解集为_____________。
13561x =22x =1x 3(1)2x -=23(2)[(1)2]0x x ---=答案：1515112⎛⎫⎛++-, ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭解析：22x x =，把原式视作x 的三次多项式分解因式即可。
7、（卓越2013年）如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE 垂直，垂足是D ，割线EC 交圆O 于,B C ，且,ODC DBC αβ∠=∠=，则OEC ∠= （用,αβ表示）。
答案：βα-三、综合题8、（北约2014年）证明：tan 3是无理数。
2014届全国自主招生模考卓越数学答案2
卓越模拟题2 答案二、计算题9、 证明：（1）在[0,]2π上，22cos sin tan '()0cos x x x x x f x x x x--==<，所以()f x 是减函数；…………（8分） （2）因为{}n a 是递减的，………………………………………………（2分）根据（1），1()n n n na b f a a +==是递增的。
……………………………（5分） 10、 解：由题意：2346,24,504,a a a ===…，下证：…………………………（2分）当2n ≥时，14,n n a a +≥…………………………（3分）即证：4n a n ≥+…………………………（3分）事实上，2624a ==+；假设4k a k ≥+，则21()41(1)4k k k k k k k a a ka a k a a a k +=-=-≥>+≥++，所以1()4n n n n a a n a a +=-≥（2n ≥）…………………………（3分）所以12111n a a a +++L 11113624504=++++L 1111(+)362496<++++L 11112513639914=+⋅=+=-。
…………………………（4分） 11、 证明：如下图，过E 作//FG AB ，交AD ，BC 于F 、G 。
设ADE θ∠=，并不妨AE = 1，则DE =，DF θ=，AF ==4分）即CG θ=，BG =2分）设ECG EAF α∠=∠=，则tan α= ，………………………（3分） tan EG CG α==2分）于是sin 2tan tan 2cos 2EG EBG BG θθθ∠===。
………………………（2分） 所以22EBG EDF θ∠==∠。
………………………（2分）12. 解：（1）因为12PB AB =，所以1(,)(,)2d P BCE d A BCE =面面。
2013、2014年华约北约卓越自主招生数学试题
2013年“华约”自主招生数学试题1. 已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件： （a ）数字两两不等;(b)任意两个数字之和不等于9;试求： （1）B 中有多少个两位数？多少个三位数？ （2）B 中是否有五位数？是否有六位数？（3）将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？ 2. 已知实数,x y 满足sin x +sin y =13， cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos().x y +3. 已知0k >，从直线y kx =和y kx =-上分别选取点(,),(,)A A B B A x y B x y ，0A B x x >，满足21OA OB k =+，其中O 为坐标原点，AB 中点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)抛物线22(0)x py p =>与曲线C 相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程.4. 有7个红球8个黑球，从中任取四个. ⑴求恰有一个红球的概率；⑵设四个球中黑球个数为X ，求X 的分布列及数学期望Ex ； ⑶求当四个球均为一种颜色时，这种颜色为黑色的概率. 5. 已知数列{}n a 满足10a >，21n n n a a ca +=+，1,2...n =,，其中0c >， ⑴证明：对任意的0M >，存在正整数N ，使得对于n N >，n a M >；⑵设11n n b ca =+，n S 为n b 前n 项和，证明:{}n S 有界，且对0d >，存在正整数k ，当n k >时，110.n S d ca <-< 6. 已知,,x y z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(1)(1)(1),xy yz xz ---求,,x y z 的所有可能值.7. 已知()(1)1xf x x e =--， ⑴证明：当0x >时，()0f x <； ⑵若数列{}n x 满足11x =，11n n x x n x ee +=-.证明:数列{}n x 递减,且12nn x ⎛⎫> ⎪⎝⎭.2013年“华约”自主招生数学试题解析1.【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。
“卓越联盟”自主招生模拟试卷(2)
2014年自主招生考试数学模拟试卷（二）一、选择题:1.已知复数z满足||z =则3|34|z z +-的最大值是A.B.C. D.322.对任意的22110,0,min{max{,,}}a b a b a b >>+的值为3.已知ABC ∆为平面xOy 中的一个直角三角形,C 为直角,斜边AB长为从A 和B 引出的中线,AD BE 的方程分别为3,24y x y x =+=+,则ABC ∆的面积为A.15B.20C.25D.304.在双曲线1xy =上,横坐标为1n n +的点为n A ,纵坐标为1n n +的点为n B ,记坐标为(1,1)的点为,(,)n n n M P x y 是n n A B M ∆的外心,n T 是数列{}n x 的前n 项和,则n T =A.24412(1)n n n n +++B.2452(1)n n n ++C.2222(1)n n n +++ D.12(1)n n + 二、填空题:5.三个半径为1的球相互外切,且每个球与另两个半径为r 的球外切,如果这两个半径为r 的球也互相外切,则r =6.以函数构成的数列称为函数列,现有定义在(,)62ππ的函数列 2{()},()sin sin sin n n n f x f x x x x =+++,而()1n f x =的解构成数列{}n a ,则lim n n a →∞的值是 7.在ABC ∆中,BC 边上的高所在的直线方程为210,x y A -+=∠的平分线所在的直线方程为0y =,若点B 的坐标为(1,2),则ABC ∆的重心坐标为8.已知数列{}n a 的前n 项和为n A ,点(,)n n A 满足曲线方程18(37)y x x =-,且12a =,又记*21()k nn k S a n N ==∈∑,则n S 的最大值是二、解答题：9.已知复数112132,2(23)2z i z i z i z +=-=-+ (Ⅰ)求复数2z 的值;(Ⅱ)若ABC ∆的三个内角,,A B C 构成一个等差数列,且2cos 2cos2C A i μ=+,求2||z μ+的取值范围.10.的整数部分为a ,小数部分为b . (Ⅰ)分别比较a 与,3b π与2e 的大小关系. (Ⅱ)求44a b +的值;(Ⅲ)求2lim()n n b b b →∞+++11.设12,,,,n a a a R +∈且满足不等式212121111()()()2n n a a a n a a a ++++++≤+. 证明:1212max{,,,}2min{,,,}n n a a a a a a ≤(即12,,,n a a a 中的最大值不大于12,,,n a a a 中的最小值的2倍.12.1名摄影师在一次聚会中给8个人拍了一组照片,任意两个人恰好出现在一张照片上,每张照片可以是两人合影,可以是三人合影,则摄影师至少要拍几张照片?13.陶氏家族经营瓷器销售,一次陶某去瓷器厂购买瓷杯,瓷杯成箱出售,每箱有20只,假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别是0.8,0.1,0.1.陶某欲购一箱瓷杯,购买时任取一箱,从中任意查看四只,若无残次品就买下,否则退回.试求:(Ⅰ)陶某买下该箱瓷杯的概率;(Ⅱ)陶某买下该箱瓷杯,且全箱没有残次品的概率.14.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面,, 4.ABCD AB BC a PA === (Ⅰ)若在边BC 上存在一点Q ,使得PQ QD ⊥,求实数a 的取值范围;(Ⅱ)当在边BC 上存在唯一一点Q ,使得PQ QD ⊥,求异面直线AQ 与PD 所成的角;(Ⅲ)若4a =且PQ QD ⊥,求二面角A PQ D --的大小.15.已知函数()y f x =的图象是自原点出发的一条折线,当()1,0,1,2,n f x n n ≤≤+=时,该图象是斜率为n b 的线段(其中正常数1)b ≠,而该数列{}n x 由()(1,2,)n f x n n ==定义. (Ⅰ)求数列{}n x 的通项公式;(Ⅱ)求()f x 的函数表达式,并写出其定义域;(Ⅲ)证明:函数()y f x =的图象与直线y x =没有横坐标大于1的交点.。
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卓越联盟自主招生真题及答案(2011-2014年)目录2011年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题 (2)2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 (6)2012年卓越联盟自主招生数学试题 (12)2012卓越联盟自主招生数学真题答案解析 (16)2013年卓越联盟自主招生数学试题 (23)2013年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 (25)2014年卓越联盟自主招生数学试题262011年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题数学试题分值: 分时量: 分钟一、选择题,1.已知向量为非零向量,则夹角为( )A. B. C. D.2.已知则( )A. B. C . D.3.在正方体中,为棱的中点,是棱上的点,且,则异面直线与所成角的正弦值为( )A. B. C. D.4.为虚数单位,设复数满足,则的最大值为( )A. B. C. D.5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,三个顶点都在抛物线上,且的重心为抛物线的焦点,若边所在的直线方程为,则抛物线方程为( )A..B.C.D.6.在三棱柱中,底面边长与侧棱长均不等于2,且为的中点,则点到平面的距离为( )A. B. C. D.7.若关于的方程有四个不同的实数解,则的取值范围为( )A. B. C. D.8.如图,内接于,过中点作平行于的直线交于,交于,交在点处的切线于,若,则的长为( )A. B. C. D.9.数列共有11项,且满足这种条件的不同数列的个数为( )A. 100B. 120C. 140D. 16010.设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转,表示坐标平面关于轴的镜面反射.用表示变换的复合,先做,再做.用表示连续次的变换,则是( )A. B. C. D.二、解答题11.设数列满足.(1)设,证明:若,则是等比数列;(2)若求的值;12.在中,是角的平分线,且.(1)求的取值范围;(2)若,问为何值时,最短?13.已知椭圆的两个焦点为,且椭圆与直线相切.(1)求椭圆的方程;(2)过作两条互相垂直的直线,与椭圆分别交于及,求四边形面积的最大值与最小值.14.一袋中有个白球和个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后,记袋中白球的个数为.(1)求;(2)设,求(3)证明:15.设.(1)求;(2)设求常数,使得取得最小值;(3)记(2)中的最小值为,证明.2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案一.选择题二.解答题11.【解】(1)证:由,得令则,所以是以为首项,以为公比的等比数列;(2)由(1) 可知,所以由累加法得即也所以有时,也适合该式;所以也所以由于所以解得.12.【解】(1)过作直线,交延长线于,如图右.所以,也所以有,即在中,有即所以,即所以.(2)因为在中,有记,则当时,此时取最小值,此时.故当时,取最小值.13.【解】设椭圆方程为,因为它与直线只有一个公共点,所以方程组只有一解,整理得.所以得.又因为焦点为,所以联立上式解得所以椭圆方程为.(2)若斜率不存在(或为0)时,则.若斜率存在时,设为,则为.所以直线方程为.设与椭圆交点坐标为联立方程化简得.则所以同理可得所以因为（当且仅当时取等号）所以,也所以所以综上所述,的面积的最小值为,最大值为2.14.【解】(1)时,袋中的白球的个数可能为个(即取出的是白球),概率为;也可能为个(即取出的是黑球),概率为,故. (2)首先,时,第次取出来有个白球的可能性有两种;第次袋中有个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即个白球(故此时黑球有个),第次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为第次袋中有个白球,第次取出来的是黑球,由于每次球的总数为个,故此时黑球的个数为.这种情况发生的概率为.故(3)第次白球的个数的数学期望分为两类:第次白球个数的数学期望,即.由于白球和黑球的总个数为,第次取出来的是白球,这种情况发生的概率是;第次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是故15.(1);(2)若则显然,当取最小;若则当取最小.故由(1)知所以,记则令,得即时,取最小值.(3)将代入式右边,等价于由于时,所以下面只须证明即可.又令,则,注意到函数是单调递增的,且所以.得证.天津大学等九所高校“卓越联盟”自主招生学业水平测试试卷分析对于数理知识测试中数学部分，专家评论道：数学考题考察的是高中数学的基本知识、基本概念和基本技能，但只是考察的侧重点与高考不同，试题重点考察了学生的空间想象能力，要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。
该份试卷从工科院校的特点出发，考察了学生应用基础知识求解几何与分析方面的（最大值或最小值）优化问题,能够延伸性地考察学生的数学能力。
对于数理知识测试中物理部分,专家评论道:物理题目涉及了力学、热学、光学、电磁学、振动、近代物理知识,体现了能力测试为主导,特别是考核学生综合运用基础知识,基本技能解决问题和分析问题的能力。
选择题多数与高考题类型相似,主要考核学生对物理基本概念、基本思想的理解掌握程度和基本原理的运用能力。
计算题主要考察了电学、热学和力学知识的综合应用能力。
2012年卓越联盟自主招生数学试题卓越人才培养合作高校2012年自主选拔学业能力测试数学本卷共100分，考试用时90分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上。
答在试卷上的无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
2012卓越联盟自主招生数学真题答案解析2013年卓越联盟自主招生数学试题一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分．每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求（1）已知是定义在实数集上的偶函数，且在上递增，则（A）(B)(C) (D)（2）已知函数的图象经过点，且的相邻两个零点的距离为，为得到的图象，可将图象上所有点（A）先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变(B) 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变(C) 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变(D) 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变（3）如图，在五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为（）（A）21 (B)24 (C)30 ( D)48(4)设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数的取值范围为（A）(B) (C) (D)二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）（5）已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为．（6）设点在的内部，点，分别为边，的中点，且，则．（7）设曲线与轴所围成的区域为，向区域内随机投一点，则该点落入区域内的概率为．(8)如图，是圆的切线，是切点，与垂直，垂足是，割线交圆于，且，则（用表示）．三、解答题（本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（9）（本小题满分13分）在中，三个内角、、所对边分别为、、．已知．（1）求角的大小；（2）求的最大值．（10）（本题满分13分）设椭圆的离心率为，斜率为的直线过点且与椭圆交于两点．（1）求椭圆方程；（2）若直线与轴相交于点，且，求的值；（3）设为椭圆的下顶点，、分别为直线、的斜率，证明对任意的恒有．（11）（本题满分15分）设，（1）证明：；（2）若，证明：．（12）（本题满分15分）已知数列中，，．（1）若对都成立，求的取值范围；（2）当时，证明．2013年卓越联盟自主招生数学试题参考答案(1)A；（2）B；（3）C；（4）B．（5）；（6）2；（7）；（8）．2014年卓越联盟自主选拔考试学科基础测试一（理科）选择题（每题5分，共20分）（注：原题是选择题） 1. 不等式32210x x -+<的解集为_____________．2. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，2AC =，二面角P BC A --的大小为60︒，三棱锥P ABC -，则直线PB 与平面PAC 所成的角的正弦值为________．3. 当实数m 变化时，不在任何直线()221440mx m y m +---=上的所有点(),x y 形成的图形的面积为_____________．4. 已知函数()()2211,,,21ln 1,,2x x x f x x x ⎧+⎛⎫∈-∞- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎡⎫⎪+∈-+∞⎪⎢⎪⎣⎭⎩．()244gx x x =--．设b 为实数，若存在实数a ，使()()0f a g b +=，则b 的取值范围是___________．填空题（每题6分，共24分）5. 已知01a <<，分别在区间()0,a 和()0,4a -内任取一个数，且取出的两数之和小于1的概率为316．则a 的值为_______________．6. 设1e ，2e 为平面上夹角为θ（02θπ<≤）的两个单位向量，O 为平面上的一个固定点，P 为平面上任意一点，当12OP x y =+u u u r e e 时，定义(),x y 为点P 的斜坐标．现有两个点A ，B 的斜坐标分别为()11,x y ，()22,x y ．则A ，B 两点的距离为______________．7. 若函数sin 4y x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的对称中心与y 轴距离最小的对称轴为6x π=，则实数ω的值为_____．8. 已知集合A ，B 满足{}1,2,3,,8A B =U L ，A B =∅I ．若A 中元素的个数不是A 中的元素，B 中元素的个数不是B 中的元素，则满足条件的所有不同的集合A 的个数为___________．解答题（共56分）9. （13分）设α∈R ，函数()()2cos 2sin 2cos f x x x x αααα=+++，x ∈R ．（1）若,42αππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值． （2）若()3f x =，求α与x 的值．10. （13分）已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐进线的斜率之积为3-，左右两支上分别由动点A 和B ．（1）设直线AB 的斜率为1，经过点()0,5D a ，且AD DB λ=u u u r u u u r，求实数λ的值．（2）设点A 关于x 轴的对称点为M ．若直线AB ，MB 分别与x 轴相交于点P ，Q ，O 为坐标原点，证明2OP OQ a ⋅=．11. （15分）已知()f x 为R 上的可导函数，对任意的0x ∈R ，有()()000''4f x x f x x <+-<，0x >．（1）对任意的0x ∈R ，证明：()()()000'f x x f x f x x+-<（0x >）；（2）若()1f x ≤，x ∈R ，证明()'4f x ≤，x ∈R ．12. （15分）已知实数列{}n a 满足11a =，1n n a q a +=，n +∈N ，常数1q >．对任意的n +∈N ，有114n k n k a a +=≤∑．设C 为所有满足上述条件的数列{}n a 的集合．（1）求q 的值；（2）设{}n a ，{}n b C ∈，m +∈N ，且存在0n m ≤，使00n n a b ≠．证明：11m mk k k k a b ==≠∑∑；（3）设集合{}1m m k n k A a a C =⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∑，m +∈N ，求m A 中所有正数之和．附录2：2014年卓越联盟自主招生数学参考．．答案 选择题1. 答案：11⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U ．提示：22x x=，把原式视作x 的三次多项式分解因2. ．提示：仔细算算．3. 答案：4π．提示：原式视作m 的二次方程()22440ym x m y --+-=，判别式0<即可．4. 答案：[]1,5-．提示：仔细算算． 填空题5. 答案：4．提示：可转化为“线性规划+几何概型”问题．6.7. 答案：2．提示：仔细算算．8. 答案：44．提示：按A 中元素个数（A =0,1,2,…）逐个进行分类讨论．解答题9. 答案：（1）2cos α+；（2）2k α=π，（k ∈Z ）；38x n π=π+，n ∈Z ．提示：()2sin 2cos 4f x x ααπ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭．10. 答案：（1）27λ=；（2）提示：222222A B B A A B B A A B B A P Q A BA B A B x y x y x y x y x y x y OP OQ x x y y y y y y -+-⋅=⋅=⋅=-+-，再带入2223A A y x a =+，2223B B yx a +即可．11. 提示：（1）即证()()()000'0f x x f x f x x +-->，构造函数()()()()000'g x f x x f x f x x =+--，对()g x 求导证明()g x 在[)0,+∞上单增即可．（2）由条件知()'f x 是R 上的单增函数，故()'f x 不可能恒等于零．如果存在正实数0δ>，及实数0x ，使()0'f x δ=，则对任意0x >，()()00f x x f x x δ+->．则当()01max 0,f x x δ⎧⎫-⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭时，()()()()000011f x f x x x f x f x δδδ-+>+>⋅+=，与条件矛盾．如果存在正实数0δ>，及实数0x ，使()0'f x δ=-，则对任意0x <，存在()00,x x x ξ∈+，满足()()()()000''f x x f x f f x x ξ+-=<．则当()01min 0,f x x δ⎧⎫-⎪⎪<⎨⎬⎪⎪⎩⎭时，()()()()()000011f x f x x x f x f x δδδ-+>-+>-⋅+=，与条件也矛盾．总之，题目中的条件永远不成立．故由于前提条件是假命题，从而不论结论是什么，都是真命题． 12. 提示：（1）化简11141n n q q q +--≤-，可得()2112n q q-≥-对任意正整数n 成立，左边在n 无穷大时是无穷小，所以2q =．（2）方法一：假设l 是1，2，3，…，m 中满足n n a b ≠中的最大角标．则1111111111222mmlll l l lk k kk kl l k kk k k k k k k a ba ba b a b---=======-=-=---≥-=∑∑∑∑∑∑∑．方法二：假设l 是1，2，3，…，m 中满足n n a b ≠中的最小角标，则()11112220m ml l l k kl l l l k k a ba b a b ++==-≡-+-≡±±±≡/∑∑（1mod 2l +）． （3）显然{}n a 的前m 项和是正数，当且仅当0m a >，此时i a （1i =，2，…，1m -）的符号随意．即{}n a ：1±，2±，4±，…，22m -±，12m -．这样的数列共有12m -个，若i a 与i b 符号相反，则进行配对（1i =，2，…，1m -）．于是，m A 中所有元素之和为1122222m m m ---⋅=．说明：（1）第11题中的条件永远是假命题，这一现象不知是出题者有意为之还是无意为之． （2）第12题第2问中，取角标最大则考虑通常意义下绝对值的差不能为零，取角标最小则考虑在适当的模下的差不能为零——这是常用的思路，应注意掌握．实际上，前者对应于Z 的欧几里得赋值，后者对应于Z 的p adic -赋值，这两个赋值数学本身的意义也很大．。