卓越联盟自主招生数学真题及答案(2011-2014)

卓越联盟自主招生真题及答案

(2011-2014年)

目录

2011年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题 (2)

2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 (6)

2012年卓越联盟自主招生数学试题 (12)

2012卓越联盟自主招生数学真题答案解析 (16)

2013年卓越联盟自主招生数学试题 (23)

2013年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 (25)

2014年卓越联盟自主招生数学试题26

2011年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题

数学试题

分值: 分时量: 分钟

一、选择题,

1.已知向量为非零向量,则夹角为( )

A. B. C. D.

2.已知则( )

A. B. C . D.

3.在正方体中,为棱的中点,是棱上的点,且,则异面直线与所成角的正弦值为( )

A. B. C. D.

4.为虚数单位,设复数满足,则的最大值为( )

A. B. C. D.

5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,三个顶点都在抛物线上,且的重心为抛物线的焦点,若边所在的直线方程为,则抛物线方程为( )

A..

B.

C.

D.

6.在三棱柱中,底面边长与侧棱长均不等于2,且为的中点,则点到平面的距离为( )

A. B. C. D.

7.若关于的方程有四个不同的实数解,则的取值范围为( )

A. B. C. D.

8.如图,内接于,过中点作平行于的直线交于,交于,交在点处的切线于,若,则的长为( )

A. B. C. D.

9.数列共有11项,且

满足这种条件的不同数列的个数为( )

A. 100

B. 120

C. 140

D. 160

10.设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转,表示坐标平面关于轴的镜面反射.用表示变换的复合,先做,再做.用表示连续次的变换,则

是( )

A. B. C. D.

二、解答题

11.设数列满足.

(1)设,证明:若,则是等比数列;

(2)若求的值;

12.在中,是角的平分线,且.

(1)求的取值范围;

(2)若,问为何值时,最短?

13.已知椭圆的两个焦点为,且椭圆与直线相切.

(1)求椭圆的方程;

(2)过作两条互相垂直的直线,与椭圆分别交于及,求四边形面积的最大值与最小值.

14.一袋中有个白球和个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后,记袋中白球的个数为.

(1)求;

(2)设,求

(3)证明:

15.设.

(1)求;

(2)设求常数,使得取得最小值;

(3)记(2)中的最小值为,证明.

2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案

一.选择题

二.解答题

11.【解】(1)证:由,得

令则,所以是以为首项,以为公比的等比数列;

(2)由(1) 可知,

所以由累加法得即

也所以有时,也适合该式;

所以

也所以

由于所以解得.

12.【解】(1)过作直线,交延长线于,如图右.

所以,

也所以有,即

在中,有

即

所以,即

所以.

(2)因为

在中,有

记,则

当时,

此时取最小值,此时.

故当时,取最小值.

13.【解】设椭圆方程为,因为它与直线只有一个公共点,

所以方程组只有一解,整理得.

所以得.

又因为焦点为,所以联立上式解得

所以椭圆方程为.

(2)若斜率不存在(或为0)时,则.

若斜率存在时,设为,则为.

所以直线方程为.设与椭圆交点坐标为

联立方程化简得.

则

所以

同理可得

所以

因为（当且仅当时取等号）

所以,也所以

所以综上所述,的面积的最小值为,最大值为2.

14.【解】(1)时,袋中的白球的个数可能为个(即取出的是白球),概率为;也可能为

个(即取出的是黑球),概率为,故. (2)首先,时,第次取出来有个白球的可能性有两种;

第次袋中有个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即个白球(故此时黑球有个),第次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为

第次袋中有个白球,第次取出来的是黑球,由于每次球的总数为个,故此时黑球的个数为.这种情况发生的概率为.

故

(3)第次白球的个数的数学期望分为两类:

第次白球个数的数学期望,即.由于白球和黑球的总个数为,第次取出来的是白球,这种情况发生的概率是;第次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是

故

15.(1);

(2)若则显然,当取最小;

若则当取最小.

故

由(1)知

所以,

记

则令,得

即时,取最小值.

(3)将代入式右边,

等价于

由于时,所以下面只须证明即可.

又令,

则,注意到函数是单调递增的,且

所以.得证.

天津大学等九所高校“卓越联盟”自主招生学业水平测试试卷分析对于数理知识测试中数学部分，专家评论道：数学考题考察的是高中数学的基本知识、基本概念和基本技能，但只是考察的侧重点与高考不同，试题重点考察了学生的空间想象能力，要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。该份试卷从工科院校的特点出发，考察了学生应用基础知识求解几何与分析方面的（最大值或最小值）优化问题,能够延伸性地考察学生的数学能力。