数理统计PPT(研究生)3-1教材
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概率论与数理统计课件 第三章1
0, 其他.
求 (1) 边缘概率密度 pX ( x), pY ( y);
(2) P{ X＋Y ２}
y
(1,1)
y 1 x
2019/4/3
O x 1 x e2 x
第三章 多维随机变量及其分布
28
例3 设二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
Ce(3x4 y) , x 0, y 0,
(x, y)
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
23
3.说明
几何上, z p( x, y) 表示空间的一个曲面.
p( x, y)d x d y 1,
表示介于 p (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1.
P{( X ,Y )G} p( x, y) d x d y, G
19
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
20
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
21
四、二维连续型随机变量
1.定义
对于二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数 F ( x, y), 如果存在非负的函数 p( x, y) 使对于任意 x, y 有
yx
F ( x, y)
p(u, v) d ud v ,
记 P{X xi , Y yj } pij , i, j 1, 2,
称此为二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布律, 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.
其中 pij 0,
pij 1.
i1 j1
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
13
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
1 ( arctan x)
3-1概率论与数理统计PPT课件
随机变量的分布包含两个部分： 取哪些值？ 取这些值相应的概率是多少？
3.1.2 离散随机变量及其概率分布
离散随机变量 如果一个随机变量只取有限多个或者可数无穷多个 (可列个) 可能值，这种随机变量就称为离散随机变量。
离散随机变量所有可能的取值以及相应的概率
称为它的概率分布（律），简称分布律。一般表示成：
X
x1 x2 x3 … xn …
pk
p1 p2 p3 … pn …
根据概率的定义，离散随机变量分布律
必须满足下面两个条件：
(1) pi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, …
(2) ∑ pi = 1
看例题
3.2 重要的离散型随机变量
3.2.1 独立重复实验序列
1. 随机试验的独立性
对于一些随机试验来说，如果它们的结果互相 不影响，即每个随机试验的各种结果出现的概率不依 赖于其它随机试验出现的结果，就称这些随机试验是 相互独立的。
第3章 离散随机变量
3.1.1随机变量的概念 在涉及随机试验的实际问题中，经常遇到这样的
情况，很大一部分问题与数值发生联系，从而可以 将随机试验量化。
例1. 电话的次数 ，可能是0，1，2，… 例2 某射手对一活动靶进行射击，到击中目标为止， 所进行的射击次数，可能是1，2，…
例3 某一时间段内，车站到来的乘客数， 或在某一个区域里，野生动物的数量 ·····； 它所有可能的取值是一切非负整数。
看例9
例 (金融保险) 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加 保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。
解。 分析： 以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 X ~ B (104，0.005 ) ，需要计算P { X ≤ 60 } 。 P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ] ≈ 0.9222 。
3.1.2 离散随机变量及其概率分布
离散随机变量 如果一个随机变量只取有限多个或者可数无穷多个 (可列个) 可能值，这种随机变量就称为离散随机变量。
离散随机变量所有可能的取值以及相应的概率
称为它的概率分布（律），简称分布律。一般表示成：
X
x1 x2 x3 … xn …
pk
p1 p2 p3 … pn …
根据概率的定义，离散随机变量分布律
必须满足下面两个条件：
(1) pi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, …
(2) ∑ pi = 1
看例题
3.2 重要的离散型随机变量
3.2.1 独立重复实验序列
1. 随机试验的独立性
对于一些随机试验来说，如果它们的结果互相 不影响，即每个随机试验的各种结果出现的概率不依 赖于其它随机试验出现的结果，就称这些随机试验是 相互独立的。
第3章 离散随机变量
3.1.1随机变量的概念 在涉及随机试验的实际问题中，经常遇到这样的
情况，很大一部分问题与数值发生联系，从而可以 将随机试验量化。
例1. 电话的次数 ，可能是0，1，2，… 例2 某射手对一活动靶进行射击，到击中目标为止， 所进行的射击次数，可能是1，2，…
例3 某一时间段内，车站到来的乘客数， 或在某一个区域里，野生动物的数量 ·····； 它所有可能的取值是一切非负整数。
看例9
例 (金融保险) 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加 保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。
解。 分析： 以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 X ~ B (104，0.005 ) ，需要计算P { X ≤ 60 } 。 P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ] ≈ 0.9222 。
数理统计的基本知识概要PPT课件
总体就可以用一个随机变量及其分布来描述. 因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来.
第7页/共43页
一、总体和样本
例如: 研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标 就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示， 或用其分布函数F(x)表示.
总体
寿命 X 可用一概率 （指数）分布来刻划
某批灯泡的寿命
F(x)
一、总体和样本
2. 样本
总体分布一般是未知，或只知道是包含未知 参数的分布，为推断总体分布及各种特征，按一定
规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得
有关总体的信息 ，这一抽取过程称为 “抽样”，所
抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数
目称为样本容量.
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本容量为5 抽到哪5辆是随机的
第10页/共43页
一、总体和样本
n称为这个样本的容量.
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有 相同的分布.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
一旦取定一组样本X1，… ,Xn ,得到n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
第29页/共43页
三、分布函数的近似求法
0,
x 4
1 10 , 4 x 0
2 10 , 0 x 2
F10 ( x)
4 7
10 , 10 ,
2 x 2.5 2.5 x 3
8 10 , 3 x 3.2 9 10 , 3.2 x 4
1,
x4
第30页/共43页
三、分布函数的近似求法
对于任何实数x，Fn ( x) 等于在n次重复独立试验 中事件 { X x} 的频率，由频率与概率的关系知， Fn ( x) 可作为总体X的分布函数F(x)的近似，且当样 本容量充分大时，Fn ( x) 几乎为F(x).
第7页/共43页
一、总体和样本
例如: 研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标 就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示， 或用其分布函数F(x)表示.
总体
寿命 X 可用一概率 （指数）分布来刻划
某批灯泡的寿命
F(x)
一、总体和样本
2. 样本
总体分布一般是未知，或只知道是包含未知 参数的分布，为推断总体分布及各种特征，按一定
规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得
有关总体的信息 ，这一抽取过程称为 “抽样”，所
抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数
目称为样本容量.
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本容量为5 抽到哪5辆是随机的
第10页/共43页
一、总体和样本
n称为这个样本的容量.
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有 相同的分布.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
一旦取定一组样本X1，… ,Xn ,得到n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
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三、分布函数的近似求法
0,
x 4
1 10 , 4 x 0
2 10 , 0 x 2
F10 ( x)
4 7
10 , 10 ,
2 x 2.5 2.5 x 3
8 10 , 3 x 3.2 9 10 , 3.2 x 4
1,
x4
第30页/共43页
三、分布函数的近似求法
对于任何实数x，Fn ( x) 等于在n次重复独立试验 中事件 { X x} 的频率，由频率与概率的关系知， Fn ( x) 可作为总体X的分布函数F(x)的近似，且当样 本容量充分大时，Fn ( x) 几乎为F(x).
《概率论与数理统计》课件3-1二维随机变量及其联合分布
P{a X b} = F(b) − F(a) + P{X = a}
二维随机变量联合分布函数
F(x,y) = P{X x,Y y}
(1) 有界性 0 F(x,y) 1，且有F(− ,y) = lim F(x,y) = 0
x→−
F(x，− ) = lim F(x,y) = 0 F(− ，− ) = lim F(x,y) = 0 ，
1
F(
) 1 F( y) 0 F(x ) 0
F ( , ) A(B )(C ) 1
2
2
F ( , y) A(B )(C arctan y) 0 2
F ( x,
) A( B arctan x) ( C
)0
2
A
F (x, y) y).
1
2
,
B
1
2 (2
C.
2
arctan x)( 2
arctan
(2) P 0 X , 0 Y 1 F( ,1) F(0,1) F( , 0) F(0, 0) ．
则〈
l
0，
它
P 恳1 < X 共 2,3 < Y 共 5}
x > 0, y > 0 其
= F(2,5) − F(1,5) − F(1,3) + F(2,3)
A) V
B) 根
A
B
提交
1 F(x, y) A(B arctan x)(C arctan y).
1
A, B,C 2 P 0 X , 0 Y 1
A.
B.
C.
D.
A
C
B
D
提交
1. F(x, y) P{X x,Y y}.
2.
二维随机变量联合分布函数
F(x,y) = P{X x,Y y}
(1) 有界性 0 F(x,y) 1，且有F(− ,y) = lim F(x,y) = 0
x→−
F(x，− ) = lim F(x,y) = 0 F(− ，− ) = lim F(x,y) = 0 ，
1
F(
) 1 F( y) 0 F(x ) 0
F ( , ) A(B )(C ) 1
2
2
F ( , y) A(B )(C arctan y) 0 2
F ( x,
) A( B arctan x) ( C
)0
2
A
F (x, y) y).
1
2
,
B
1
2 (2
C.
2
arctan x)( 2
arctan
(2) P 0 X , 0 Y 1 F( ,1) F(0,1) F( , 0) F(0, 0) ．
则〈
l
0，
它
P 恳1 < X 共 2,3 < Y 共 5}
x > 0, y > 0 其
= F(2,5) − F(1,5) − F(1,3) + F(2,3)
A) V
B) 根
A
B
提交
1 F(x, y) A(B arctan x)(C arctan y).
1
A, B,C 2 P 0 X , 0 Y 1
A.
B.
C.
D.
A
C
B
D
提交
1. F(x, y) P{X x,Y y}.
2.
《数理统计》课件
季节性分析
要点一
总结词
季节性分析是时间序列分析的重要环节，通过季节性分析 可以了解时间序列数据中存在的季节性波动。
要点二
详细描述
季节性分析的方法包括季节性分解、季节性自相关图、季 节性指数等。这些方法可以帮助我们识别时间序列数据中 的季节性模式，并基于这些模式进行预测和建模。
THANKS FOR WATCHING
参数与统计量
参数是描述总体特性的指标， 统计量是描述样本特性的指标 。
概率与随机变量
概率用于描述随机事件发生的 可能性，随机变量是表示随机 现象的变量。
估计与检验
估计是用样本数据推断总体参 数的过程，检验是利用样本数
据对假设进行判断的过程。
CHAPTER 02
描述性统计
数据的收集与整理
数据来源
描述数据的来源，如调查、观察、实 验等。
非线性回归分析
总结词
非线性回归分析是数理统计中用于研究非线 性关系的分析方法。
详细描述
非线性回归分析不依赖于最小二乘法原理， 而是通过其他优化方法来拟合非线性模型。 非线性回归分析适用于因变量和自变量之间 存在非线性关系的情况。常见的非线性回归 模型包括多项式回归、指数回归、对数回归 等。非线性回归分析广泛应用于各个领域，
如正态分布、指数分 布等。
随机事件的概率计算
条件概率
在某个事件发生的条件下，另一个事件发生 的概率。
互斥事件的概率计算
两个互斥事件同时发生的概率等于各自发生 概率的和。
独立事件的概率计算
两个独立事件同时发生的概率等于各自发生 概率的乘积。
全概率公式
一个复杂事件的概率可以分解为若干个互斥 事件的概率之和。
单因素方差分析
概率论与数理统计课件完整版.ppt
E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况. E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的 结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
不可能事件：空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生，称为不可能事件。
6
例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“ 恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
7
（三）事件间的关系与事件的运算
1.包含关系和相等关系:
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) A B
8
2.和事件:
A B { x | x A或x B}称为A与B的和事件.
即A, B中至少有一个发生, 称为A与B的和, 记A B.
可列个事件A1, A2 , 的和事件记为 Ak .
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包
含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
A中的基本事件数 k
P( A) S中的基本事件总数 n
15
古典概型概率的计算步骤:
(1) 选取适当的样本空间S, 使它满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集.
k 1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的 结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
不可能事件：空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生，称为不可能事件。
6
例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“ 恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
7
（三）事件间的关系与事件的运算
1.包含关系和相等关系:
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) A B
8
2.和事件:
A B { x | x A或x B}称为A与B的和事件.
即A, B中至少有一个发生, 称为A与B的和, 记A B.
可列个事件A1, A2 , 的和事件记为 Ak .
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包
含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
A中的基本事件数 k
P( A) S中的基本事件总数 n
15
古典概型概率的计算步骤:
(1) 选取适当的样本空间S, 使它满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集.
k 1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
研究生《数理统计》完整课件讲义
解. 由题意，X (t) 可表示为
X (t) a cos(t ), t
其中随机变量 的分布律为
0
P
23 13
所以
mX (t) EX (t) Ea cos(t )
a cost 2 (a cost) 1
3
3
a cost, 3
RX (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
2
F
(x;
2
)
0, x 1, x
0 0
（2）X (0) A, X ( ) A ,二维随机变量
32
( A, A 2) 的分布律为
(A, A 2)
P
(1,1 2) (2,1) (3, 3 2)
13
13
13
x2
D4
D2
D3
D1
o
O
x1
二维分布函数为
F (x1,
x2 ;0,
3
)
P{A
x1 ,
A 2
例2. 西安地区从2012年开始，第n年的 降雨量Xn，n∈T={1,2,3,…}。
例3. 某超市在时段[t1,t] 内到来的顾 客人数X(t)，t∈T=[t1,t2]。
例4. 某电路中，一电子元件 t 时刻的 热噪声电压X(t)，t∈T=[0,+∞)。
在上述几个例子中，X(t)（或Xn）具有以下 两个特征：
正态过程是二阶矩过程，它在工程技
术中有重要的应用。正态过程 {X (t),t T} 的 n 维分布密度为
f
1
n
(2 ) 2
C
1 2
exp{
1 2
(
x
m
X
)
硕士研究生数理统计课件
ξ2、……、ξn ）来自于总体F(x)。
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第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
定理：若（ ξ1、ξ2、……、ξn ）来自于F(x)(或P(x))， 则（ ξ1、ξ2、……、ξn ）的联合分布密度函数
n
n
∏ F(xi) 或∏ P(xi)
i=1
i=1
例一： ξ～N(0,1),（ξ1、ξ2、ξ3）是一个样本，
§2.1数理统计的几个基本概念 一、总体与样本
有限总体 总体 研究对象的全体
无限总体 个体 每个研究对象 关心 与它们的性能相联 系的某个数量指标 实验前不知结果 是一个随机变量（有 一个分布）。
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第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
总体 个体
一个具有确定概率分布的随机变量 随机变量可能取的数值
数理统计是统计？ 统计的内涵：
1.统计工作 2.统计资料 3.统计学
专业统计 大统计
数理统计
统计既是一种理论，也是许多方法的总称。
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绪论
二、统计的题材 统计的题材包括范围极广——设计生成数据
的试验，数据的收集、分析、描述和解释。
n
X的性质：(1)(Xi X ) 0 i 1
(2)若Yi aXi b，则Y aX b
(3)EX EX
(4)DX DX n
S2的性质：(1)E(S 2 ) n 1 DX E(S*2) DX n
n
n
(2)x R,有 (Xi -X)2 (Xi -x)2
合格率大于等于90%，信不信？ 3.温度与压力有无关系？有什么样的关系？ 4.一天所加工的零件的误差是否服从正态分布？ 5.几个地区人的血液中胆固醇的含量的平均值
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第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
定理：若（ ξ1、ξ2、……、ξn ）来自于F(x)(或P(x))， 则（ ξ1、ξ2、……、ξn ）的联合分布密度函数
n
n
∏ F(xi) 或∏ P(xi)
i=1
i=1
例一： ξ～N(0,1),（ξ1、ξ2、ξ3）是一个样本，
§2.1数理统计的几个基本概念 一、总体与样本
有限总体 总体 研究对象的全体
无限总体 个体 每个研究对象 关心 与它们的性能相联 系的某个数量指标 实验前不知结果 是一个随机变量（有 一个分布）。
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第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
总体 个体
一个具有确定概率分布的随机变量 随机变量可能取的数值
数理统计是统计？ 统计的内涵：
1.统计工作 2.统计资料 3.统计学
专业统计 大统计
数理统计
统计既是一种理论，也是许多方法的总称。
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绪论
二、统计的题材 统计的题材包括范围极广——设计生成数据
的试验，数据的收集、分析、描述和解释。
n
X的性质：(1)(Xi X ) 0 i 1
(2)若Yi aXi b，则Y aX b
(3)EX EX
(4)DX DX n
S2的性质：(1)E(S 2 ) n 1 DX E(S*2) DX n
n
n
(2)x R,有 (Xi -X)2 (Xi -x)2
合格率大于等于90%，信不信？ 3.温度与压力有无关系？有什么样的关系？ 4.一天所加工的零件的误差是否服从正态分布？ 5.几个地区人的血液中胆固醇的含量的平均值
数理统计与随机过程3-1-数理统计1
定义： 称 E [ X E ( X )][Y E (Y )] 为随机变量X 与Y 的协方差，
记为：Cov ( X , Y ) E [ X E ( X )][Y E (Y )]. 称 XY Cov( X , Y ) D( X ) D(Y ) 为随机变量X 与Y的相关系数.
t2
1 te 2 | 2
因为X Z，故E ( X ) E ( Z ) , D( X ) D( Z ) 2 D(Z ) 2
即正态分布的两个参数 , 2分别是该分布的数学期望和方差。
独立的n个正态变量的线性组合仍服从正态分布：
即二维正态变量( X , Y )的概率密度中的参数 就是X , Y 的相关系数。 从而二维正态变量的分布完全可由X , Y 各自的 均值、方差以及它们的相关系数所确定。
前面已经证明： 若( X , Y )服从二维正态分布，那么X 和Y 相互独立 0 现在知道， XY ，从而知： 对于二维正态变量( X , Y )来说， X 和Y 不相关 X 与Y 相互独立
k!
k 1
(k 1)!
e e
即 E( X )
5
数学期望的特性：
1.设C是常数，则有E(C) C
2.设X 是一个随机变量，C是常数，则有E(CX ) CE( X )
3.设X , Y 是两个随机变量，则有E( X Y ) E( X ) E(Y )
（2） X ~ b(1, 1 2),(即(0 1)分布） P(U 1,V 0) P( X Y 1, X Y 0) 0 P(U 1) P( X Y 1) P( X 1, Y 0) 1 4, P(V 0) P( X Y 0) P( X 0, Y 0) 1 4, 所以P(U 1,V 0) P(U 1) P(V 0) U 与V不独立。
记为：Cov ( X , Y ) E [ X E ( X )][Y E (Y )]. 称 XY Cov( X , Y ) D( X ) D(Y ) 为随机变量X 与Y的相关系数.
t2
1 te 2 | 2
因为X Z，故E ( X ) E ( Z ) , D( X ) D( Z ) 2 D(Z ) 2
即正态分布的两个参数 , 2分别是该分布的数学期望和方差。
独立的n个正态变量的线性组合仍服从正态分布：
即二维正态变量( X , Y )的概率密度中的参数 就是X , Y 的相关系数。 从而二维正态变量的分布完全可由X , Y 各自的 均值、方差以及它们的相关系数所确定。
前面已经证明： 若( X , Y )服从二维正态分布，那么X 和Y 相互独立 0 现在知道， XY ，从而知： 对于二维正态变量( X , Y )来说， X 和Y 不相关 X 与Y 相互独立
k!
k 1
(k 1)!
e e
即 E( X )
5
数学期望的特性：
1.设C是常数，则有E(C) C
2.设X 是一个随机变量，C是常数，则有E(CX ) CE( X )
3.设X , Y 是两个随机变量，则有E( X Y ) E( X ) E(Y )
（2） X ~ b(1, 1 2),(即(0 1)分布） P(U 1,V 0) P( X Y 1, X Y 0) 0 P(U 1) P( X Y 1) P( X 1, Y 0) 1 4, P(V 0) P( X Y 0) P( X 0, Y 0) 1 4, 所以P(U 1,V 0) P(U 1) P(V 0) U 与V不独立。
研究生数理统计PPT
⎪
⎪ ⎩
θˆl
= θˆl (X
1,
,X n ) ,
6
1
例1 设总体 X 的密度为
f
(
x
;
θ
)
=
⎪⎧ ⎨
1 θ
,
0≤ x≤θ ;
⎪⎩ 0, 其它
θ 为未知参数, X1, …, Xn 是总体 X 的一个样本, 求 θ 的矩估计量.
解 注意到只有一个未知参数, 由矩估计法知 只需一个方程,
EX
=
∫ +∞ x
抽到白球数 X 袋中白球数 p
x=0 x=1 x=2 x=3
0
0
Hale Waihona Puke 1000
1
1/4 27/64 27/64 9/64 1/64
对不同的 p,
2
2/4 8/64 24/64 24/64 8/64
B(n,p)的分布列
3
3/4 1/64 9/64 27/64 27/64
4
1
0
对0 不同的
0 p,
1
事件 P(X=x)发生的概率
Xn= xn ) 发生的概率为最大. 即用它作为θ 的估计值可使观察结果出
现的可能性最大.
这种选择参数的估计量, 使实验结果具有最大概率的思想就是极 大似然法的基本思想. 即选取的估计量 θ^ 应满足 L(θ^ )= max L(θ )
下面给出似然函数的定义和极大似然估计的求法.
13
定义 设总体X 的密度为 f (x;θ )(当 X 为离散型时
然而, 这个方法常归功于英国统计学家费歇. 他在1922年 重新发现了这一方法, 并首先研究了这种方法的一些性质 .
极大似然法的基本思想 先看一个简单例子： 某位同学与一位猎人一起外出打猎. 一只野兔从前方窜过. 只听一声枪响, 野兔应声倒下. 如果让你推测是谁打中的, 你会如何想呢 ?
数理统计的基本概念PPT模板
3 次序统计量和样本分布函数
例 4 设总体服从泊松分布，容量为 10 的样本观测值如下： 2，1，4，3，5，6，4，8，4，3．
试构造样本的分布函数 F10 (x) ．
解 将样本的观测值由小到大排列为1 2 3 3 4 4 4 5 6 8 ，所以样本的频 率分布如表 5-1 所示．
设 X1 ，X2 ， ，Xn 是总体 X 的样本，则可定义以下统计量．
（1）样本均值为
X
1 n
n i 1
Xi
，
（5-1）
它的观测值记为
x
1 n
n i 1
xi
．
数理统计的基础知识
数理统计的基本概念
1.2 参数与统计量
（2）样本方差为
S2 1 n n 1 i1
Xi X
2
1 n 1
n i 1
数理统计的基本概念
1.2 参数与统计量
由于样本具有二重性，统计量作为样本的函数也具有二重性，即 对一次具体的观察或试验，它们都是具体的数值，但当脱离具体的某 次观察或试验，样本是随机变量，因此统计量也是随机变量．
统计量是用来对总体分布参数进行估计或检验的，它包含了样本 中有关参数的信息，在数理统计中，根据不同的目的构造了许多不同 的统计量．
设 样 本 X1 ，X2 ， ，Xn 的 次 序 统 计 量 为
X (1) X (2)
X(n) ，对应的样本观测值为
x(1) x(2)
x(n) ，令
0 ，x x(1) ，
1 n
，x(1)
x x(2) ，
Fn
(x)
k
n
，x(k )
x x(k 1) ，
1，x x(n) ．
（5-6）
例 4 设总体服从泊松分布，容量为 10 的样本观测值如下： 2，1，4，3，5，6，4，8，4，3．
试构造样本的分布函数 F10 (x) ．
解 将样本的观测值由小到大排列为1 2 3 3 4 4 4 5 6 8 ，所以样本的频 率分布如表 5-1 所示．
设 X1 ，X2 ， ，Xn 是总体 X 的样本，则可定义以下统计量．
（1）样本均值为
X
1 n
n i 1
Xi
，
（5-1）
它的观测值记为
x
1 n
n i 1
xi
．
数理统计的基础知识
数理统计的基本概念
1.2 参数与统计量
（2）样本方差为
S2 1 n n 1 i1
Xi X
2
1 n 1
n i 1
数理统计的基本概念
1.2 参数与统计量
由于样本具有二重性，统计量作为样本的函数也具有二重性，即 对一次具体的观察或试验，它们都是具体的数值，但当脱离具体的某 次观察或试验，样本是随机变量，因此统计量也是随机变量．
统计量是用来对总体分布参数进行估计或检验的，它包含了样本 中有关参数的信息，在数理统计中，根据不同的目的构造了许多不同 的统计量．
设 样 本 X1 ，X2 ， ，Xn 的 次 序 统 计 量 为
X (1) X (2)
X(n) ，对应的样本观测值为
x(1) x(2)
x(n) ，令
0 ，x x(1) ，
1 n
，x(1)
x x(2) ，
Fn
(x)
k
n
，x(k )
x x(k 1) ，
1，x x(n) ．
（5-6）
《数理统计基本概念》课件
不可能事件
概率等于0的事件，表示一定 不会发生。
独立事件
两个事件的发生相互独立，一 个事件的发生不影响另一个事 件的发生。
随机变量及其分布
01
02
03
04
离散型随机变量
随机变量可以取到有限个或可 数无穷个值。
连续型随机变量
随机变量可以取到任何实数值 。
概率分布函数
描述随机变量取值概率的函数 。
概率密度函数
确定因子、提出假设、构造统计量、 进行统计分析、做出推断结论。
方差分析的应用场景
比较不同组数据的均值差异、分析多 因素对结果的影响等。
方差分析的注意事项
满足正态性和方差齐性的假设、注意 组间和组内的比较等。
04
回归分析
一元线性回归
总结词
一元线性回归是数理统计中常用的回归分析方法，用于研究一个因变量与一个自变量之间 的线性关系。
假设检验的类型
单侧检验、双侧检验、独立样本检验、配对 样本检验等。
假设检验的基本步骤
提出假设、构造检验统计量、确定临界值、 做出推断结论。
假设检验的注意事项
避免两类错误、注意样本量和分布情况等。
方差分析
方差分析的概念
方差分析是用来比较不同组数据的变 异程度和分析变异来源的一种统计方 法。
方差分析的基本步骤
详细描述
一元线性回归分析通过最小二乘法拟合一条直线，使得因变量的观测值与自变量的预测值 之间的残差平方和最小。它可以帮助我们了解自变量和因变量之间的相关性和预测因变量 的未来值。
公式
(y = ax + b) 其中，(a) 是斜率，(b) 是截距。
多元线性回归
01
总结词
相关主题
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H0
称
{( x1, x2,..., xn ) X 0 > c}
(3.1.2) X 时 ，0 >拒c （3.1.3）
为 H的0 拒绝域,简记为 { X 用0 >表c}示 K0
称
{( x1, x2,..., xn ) X 0 c}
（3.1.4）
为 H的0 接受域,简记为 { X 用0 表c} 示K0
小的正数(显著性水平)
可以通过(下0 式 确1)定临界
值
c
P（X > c
H
成立）=
0
P（
X
0
> c） P[ X 0 / n
c n]
由于在 H成0 立下 X N(0, 2 n)
(3.1.1)
17
所以， c n
即u1 2
c
u
1
2
n
获得临界值 c以后，当 x1, x2,使...,得xn
绝 ，否则H，0 就接受
若是小概率，则根据小概率原理拒绝原假设
若不是，则不能拒绝原假设，只能接受原假设
13
本例如果规定显著性水平为0.05，则拒绝顾客 没有作弊的假定，认为顾客作弊了。
反之，若显著性水平是0.01，则判断顾客作弊不 够ห้องสมุดไป่ตู้显。
易见，假设检验对拒绝原假设是十分谨慎的
又比如，对例3.1.1而言，设 （X 单位：元）表 示今年参加10日游的任意一位游客的旅游费用
5
一 假设检验问题
在现实生活中，我们往往并不是对 参数一无所知，这时面对的问题是如 何对参数的已有结果进行评价，出于 和参数估计同样的原因，只能通过样 本进行这样的评价工作，因而它是一 个统计问题，实际中的做法是针对问 题先提出假设，再通过样本根据小概 率原理检验提出的假设。
6
由于小概率原理指的是一次随机 事件中小概率事件是不会发生的，因 此，如果不能以给定的显著性水平 （小概率）拒绝假设，就会认为假设 “成立”。
P X 0 c
是给定的显著性水平，X与 的0 差异超过临界值 的概率是一个小概率事件，从而就不支持结论
X N (1010, 2052 )
15
用统计中的参数假设检验来严格地叙述例3.1.1的 问题
总体 X的均值 与 0 比 1较010有无显著差异，原假设 可设为： 与 无0显 1著01差0 异，用符号 " H0 : 表 示0 "
问与过去比较今年这类旅客的旅游费用是否有显著 的变化？
8
例3.1.3 某机构声称5年来 各种新发行债券的承销价高于 面值的比率没有超过50%，现 随机抽取了60种新发行的债券， 其中有24种的承销价高于面值。 问上述说法是否可接受？
9
例3.1.4 某研究机构推出一种感冒特效新药，为 证明其疗效，选择了200名患感冒的志愿者，将他 们分为两组，一组不服药，另一组服药，观察数天 后，治愈情况如表3.1.1所示。问新药是否有明显的 疗效？
用" H1 : 表 示0 "“ 与 有0显 1著01差0 异”，称为备择 假设。
16
由于样本均值 X是 的 一致最小方差无偏估计量，
因而通常情况下 的X观 测 值应很小，在 成H立0 时， 即 很小。X换句0话说，在 成立的假设H下0 ， { 很大X}是 一0 个小概率事件。因此对给定的一个很
表3.1.1 200名感冒患者数天后治愈情况
未服药者 服药者
治愈者 48 56 104
未治愈者 52 44 96
合计 100 100
10
二 假设检验的基本思想
例 3.1.5 据报载某百货商场为 搞促销，对购买一定金额商品的顾 客给予一次摸球中奖的机会，规定 从装有红、白两色球各6个的暗箱 中随机有放回摸出15个球。若15 个球都是红球则中特等奖。结果第 一天就有人摸得了15个红球，但 商场却认为此人作弊，拒付特等奖。
对总体分布中未知参数的假设检验称为参数假设 检验（parameter hypothesis testing），
对总体分布函数形式或总体分布性质的假设检 验称为非参数假设检验（non-parameterical hypothesis testing）。
4
§3.1 问题的提法和基本概念
假设检验问题 假设检验的基本思想 假设检验的基本步骤 假设检验的两类错误
数理统计
Mathematical Statistics
2
第三章 假设检验
问题的提法和基本概念 参数假设检验 非参数假设检验
3
假设检验（hypothesis testing）是统计推断 的一个重要组成部分，是一种利用样本信息对总体 的某种假设进行判断的方法。
它分为参数假设检验与非参数假设检验
12
首先对所研究的问题提出一种看法——称为原 假设（null hypothesis,简记为NH），为此可假定顾 客没有作弊；
然后在原假设成立的条件下，分析抽样所发生 的事件是否是一个小概率事件，本例算出来的概 率是0.03，小概率的大小可以事先规定，这就是 显著性水平（level of significance）。
11
若仅从统计的角度看，商店的怀疑是有道理的。
因为如果此人没有作弊，完全是随机摸球，那么 摸得15个红球是随机事件，其概率为
1/215 0.0000305176。
即使当天有1000人摸奖，概率也仅为0.03， 这是一个小概率事件，与小概率原理——小概率 事件在一次实验中不发生产生矛盾。
从推断过程，使用了建立在小概率原理上的反 证法：
假设检验又称显著性检验，这时维持原假设（即 支持原假设）并不表明原假设绝对正确，仅仅是手 里的样本不足以推翻原假设。
7
例3.1.1 某咨询公司根据过去资料分析 了国内旅游者的旅游费，发现参加10月游 的游客旅游费用（包括车费、住宿费、膳 食费以及购买纪念品等方面的费用）服从 均值为1010元，标准差为205元的正态分 布。今年对400位这类游客的调查显示， 平均每位游客的旅游费用是1250元。
X N(, 2)
以往的资料显示应该有 X N (1010,2052) 现在获得400个样本 X1, X2, Xn(n，样400本) 均值
X 1250
14
两个数的差240究竟是抽样误差还是显著差异？
如果 0 1，010那么 在X 什0么范围内是可以接受的， 而超出这个范围就不能接受了 统计上，我们需要找到这样一个数 ，c 使得
18
称 X为检验统计量
对例3.1.1，取 0，.05查表得 计算出临界值