三角函数图像的综合运用

三角函数的图象与性质一、基础知识：1．三角函数的图象和性质2.正弦函数y ＝sin x 当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，取最大值1；当x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，取最小值－1.3余弦函数y ＝cos x 当x ＝2k π(k ∈Z )时，取最大值1；当x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，取最小值－1.4．y ＝sin x 、y ＝cos x 、y ＝tan x 的对称中心分别为(k π，0)(k ∈Z )、 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z ).5．y ＝sin x 、y ＝cos x 的对称轴分别为 x ＝k π＋π2(k ∈Z )和_ x ＝k π(k ∈Z )，y ＝tan x 没有对称轴．二、综合运用：1、五点法绘y ＝A sin(ωx ＋φ)或y=A ＋ 的图像：依据：以 ＝ ＋ 为例； ＝0，＝1， ＝ ，＝－1， ＝0在实际画图中，要分别令 ＋ ＝0、、 、 、 ，再求出x 与y 的值，确定对应的五点坐标。

例：“五点法”绘出y=2图像。

例：“五点法”绘出y= （）的图像，其中x 图像。

注：正切函数的图像采用三点两线的办法。

2、解有关三角函数的方程。

思路：在一个周期内，利用原始函数的图像求出对应的x 的值，然后使用整体替代的思路，解出方程中的x. 例1： -例2：=-例3：2 （）=1 例4：︱ （）︱=例5︱ （）︱=注：在解有关三解函数的非常规方程时，需要使用数形结合的思想，用图像交点的个数来代表方程的解的个数。

例：分析方程 - =0的解的个数。

（2个）例：分析方程x- =0的解的个数。

（1个）提示：利用三角函数线的性质， α时， α α tan α。

例设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a 的取值范围；(2)求α＋β的值．【答题模板】解 (1)原方程可化为sin(θ＋π3)＝－a2，作出函数y ＝sin(x ＋π3)(x ∈(0,2π))的图象]由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a2<1－a 2≠32.即－2<a <－3或－3<a <2.(2)由图知：当－3<a <2，即－a 2∈(－1，32)时，直线y ＝－a2与三角函数y ＝sin(x ＋π3)的图象交于C 、D两点，它们中点的横坐标为76π，∴α＋β2＝7π6，∴α＋β＝7π3.当－2<a <－3，即－a 2∈(32，1)时，直线y ＝－a2与三角函数y ＝sin(x ＋π3)的图象有两交点A 、B ，由对称性知，α＋β2＝π6，∴α＋β＝π3. 综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝73π.3、解有关三角函数的不等式。

思路：在原始函数的一个周期内，标出有效范围（符合不等式条件的图像），再利用整体替代法求出x 的范围。

例1：例2： （）例3：例4： （）注：在求解三角函数的不等式中，若有效图像为2段，可以通过平移的办法把2段图像合并为一段，而端点的横坐标遵循右移+2 左移 的法则。

例：求函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域．则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2 (k ∈Z )，得⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z ).所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <π2或π≤x ≤4.例：函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域为__⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π．⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥02sin x －1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12sin x >12得⎩⎪⎨⎪⎧π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π4、求有关三角函数的值域。

①“纯”三角函数：求出有效角度的取值范围，并画出有效图像，确定最高点和最低点，它们的纵坐标分别为函数的最大值和最小值。

例：y= ,其中,分析值域。

例：y= （ ）,其中,分析值域。

例：y= , 其中, 分析值域。

②结合一次函数、二次函数、分式函数求值域。

例：y=2+1,,分析值域。

例：y=a +b,值域为[－ ， ，求a 和b. { a=,b=或a=,b=例：函数F(x)=-2a+2a+b,当x时，F(x) [－5，1]，求a 和b 。

{a=2,b=-5或a=-2,b=1 例:已知函数f (x )＝2a sin(2x －π3)＋b 的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin(2x －π3)≤1，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12－63b ＝－23＋123；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－5－3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.综上可知，a ＝12－63，b ＝－23＋123或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.例求下列函数的值域：(1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2； (2)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x . 解(1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2＝2cos 2x ＋2cos x ＝2(cos x ＋12)2－12，cos x ∈[－1,1]． 当cos x ＝1时，y max ＝4，当cos x ＝－12时，y min ＝－12，故函数值域为[－12，4](2)令t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12，且|t |≤2.∴y ＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，∴当t ＝－1时，y min ＝－1；当t ＝2时，y max ＝12＋2.∴函数值域为[－1，12＋2]．例：求y=的值域。

例：求y=的值域。

5、有关三角函数的奇偶性研究：依据： （ ）=- , ,故y= 为奇函数，y= 为偶函数。

推广：y= 为奇函数，y=A 为偶函数。

注：（1）若f(x)= + 或g(x)= A 为奇函数，由于三角函数图像的特殊性，则图像过原点。

例：已知f(x)=2 （ ）为奇函数，则 ＝k +（2）若f(x)= + 或g(x)= A 为偶函数，则图像与Y 轴的交点为最高点或者最低点，这样才能保证图像关于Y 轴对称，即x=0时， + ＝ 或 ＝ 。

例：f(x)=2 （ ）为偶函数，则 ＝k +例：f(x)= （ ） （ ）的奇偶性。

[偶函数] 例：f(x)=a +b +7,若f(3)=8,则f(-3)= 6 6、三角函数图像平移、伸缩及对称与翻折：一、图像概念：当函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)，x ∈(－∞，＋∞)表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T_叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．二.图象变换基本法则：函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象可由函数y ＝sin x 的图象作如下变换得到： （1）相位变换[左右平移]：y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)，把y ＝sin x 图象上所有的点向左(φ>0)或向右(φ<0)平行移动|φ|个单位．（2）周期变换[伸缩变化]：y ＝sin (x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(x ＋φ)图象上各点的横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的1ω倍(纵坐标不变)．（3）振幅变换：y ＝sin (ωx ＋φ)→y ＝A sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上各点的纵坐标伸长(A >1)或缩短(0<A <1)到原来的 A 倍(横坐标不变)．例：说明y=2 π+5是由y= 的图像经过怎样的变化得到的。

例：说明y= 的图像经过怎样的变化可以得到y=的图像？例：．(2011·池州月考)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，可以把函数y ＝sin 2x 的图象( B )A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位例：．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π.将y ＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是 (D ) A.π2B.3π8C.π4D.π8例：已知函数f(x)＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx 的图象，只要将y＝f(x)的图象 ( A )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度（3）、图像的对称与翻折：①y= 相同时， 互为相反数，故两函数图像关于 轴对称y=－ y= 沿 轴上下翻转y=－结论：y= 沿 轴上下翻转y= 或者 y=A 沿 轴上下翻转y=－A ②y= 相同时， 互为相反数，故两函数图像关于 轴对称y= （ ） y= 沿 轴左右翻转y= （ ）结论：y= （ ）沿 轴左右翻转y= （ ）或者 y=A （ ） 沿 轴左右翻转y=A （ ） ③y= 轴上方图像不变，下方翻至上方y=｜ ｜结论：y= （ ） 轴上方图像不变，下方翻至上方y=｜ （ ）｜ ④y= 轴右方图像不变，左方图像由右方图像对称得到y= ｜ ｜ 注：含绝对值符号的三角函数，可以用分段函数的意义进行分析。

7、三角函数单调性的研究：思路：以y= 和y= 的单调区间为依据，使用整体替代的思路，求出x 的取值范围，在实际应用中，要注意负号和绝对值符号对单调区间的影响。

主要体现在负号可能使得单调区间的相互调换，而绝对值符号影响了原始函数和周期。

例：求函数的y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调区间。

例：求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调区间．例：求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间；例：求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的周期及单调区间．例：求函数y=| sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4|单调递增区间。

8、三角函数对称轴的求法及应用：依据：y= 图像中对称轴为：x=k；y= 图像中对称轴为：x=k例：求y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的对称轴。