树与生成树
5_3树的概念和算法
定理.1(证明(3)(4))
Ⅱ、增加任何新边，得到一个且仅有一个回路
若在连通图T中加入新的边(ui,uj)，则该边与T中ui到 uj的一条路构成一个回路，则该回路必是唯一的。 否则（即回路不唯一），若删去此新边，T中必有回 路，得出矛盾。
综述，T连通且e=v-1则T无回路但增加任何新边，得 到一个且仅有一个回路。
第 7页
定理.1(证明(2)(3))
(2) T无回路 且e=v-1 (3) T连通且e=v-1 证明(2)(3)： 证明T连通： (反证法） 假设T有s个连通分支, 则每个连通分支都是连通无 回路即树, 所以 e=e1+e2+…+ es=(v1-1)+(v2-1)+…+(vs-1) =v1+v2+…+vs-s=v-s=v-1, 所以s=1，与s>1矛盾， 所以T连通。
第 6页
定理.1(证明(1)(2))
(1) 无回路的连通图 (2) T无回路且e=v-1 证明(1)(2)： e=v-1(归纳法)：
v=1时,e=0（平凡树）。 设vk-1时成立,即ek-1=vk-1-1。 当v=k时, 要证ek=vk-1。 因为无回路且连通，故至少有一边其一个端点u的度数为 1,设该边为(u,u*）。删除结点u,得到一个k-1个结点的 连通图T’，T’的边数e’=v’-1=(k-1)-1=k-2,于是将结点u 与边(u,v)加入图T’得到原图T，此时T的边数为e=e’+1=k2+1=k-1， 结点数v=v’+1=(k-1)+1=k，故e=v-1。 综上所述， T无回路且e=v-1。
离散数学中的图的树与生成树的计数
在离散数学中，图是一个由点和边组成的抽象数学模型。
其中，树是一种特殊的图，它是一个无环连通图。
在图论中，树扮演了重要的角色，它具有许多有趣的性质和应用。
而生成树则是树的一个特殊子集，它由给定图中的所有顶点和部分边构成。
本文将介绍图的树的基本概念，并探讨生成树的计数方法。
首先，让我们来看看图的树。
树是一种无环连通图，其中任意两个顶点之间存在唯一一条路径。
它具有以下性质：1.n个顶点的树有n-1条边。
这可以通过归纳法证明：当n=1时，结论成立；假设n=k时成立，那么n=k+1时，只需要添加一个顶点和一条边，即可构成n=k+1个顶点的树。
因此，结论成立。
2.连接树上任意两个顶点的边都是桥。
即如果一条边被删除，那么树就会变成两个或更多个不相连的子树。
3.树是一个高度平衡的结构。
对于一个n个顶点的树，任意两个叶子结点之间的路径长度至多相差1。
4.树的任意两个顶点之间有唯一一条路径，路径长度为顶点之间的边数。
接下来，让我们来讨论生成树的计数方法。
生成树是树的一个特殊子集，它是由给定图中的所有顶点和部分边构成。
生成树的计数在图论中具有重要的意义和应用。
对于一个具有n个顶点的连通图来说，其生成树的个数可以通过Cayley公式计算得到。
Cayley公式是由亚瑟·凯利于1889年提出的，它给出了完全图的生成树数目。
据此，我们可以得到生成树的计数公式为：T = n^(n-2)，其中T表示生成树的个数。
此外，还有一种常见的计数方法是基于度数矩阵和邻接矩阵的矩阵树定理。
矩阵树定理由高斯于1847年提出，它提供了一种计算图的生成树个数的方法。
根据矩阵树定理，一个无向图G的生成树数目等于该图度数矩阵的任意一个(n-1)阶主子式的行列式的值。
其中，度数矩阵是一个对角矩阵，它的对角线上的元素为各个顶点的度数。
邻接矩阵则是一个关于顶点间连接关系的矩阵，其中1表示相邻顶点之间存在边，0表示不存在边。
除了数学方法，还存在一种基于图的遍历的计数方法，称为Kirchhoff矩阵树定理。
离散数学中的生成树与生成树计数
离散数学是计算机科学中的重要学科，其中生成树是一个重要的概念。
在图论中，生成树是一棵树，它包含了图中的所有顶点，并且是由图边组成的无环连通子图。
生成树在图论中有着重要的应用，特别是在计算机网络、运筹学和电路设计等领域。
生成树的概念与基础就是组成它的边是有限的，并且连接图中的所有顶点，但没有形成圈回到起点。
生成树通常是用来描述一个系统的最小连接方式。
生成树可以应用于计算机网络的设计中，用于构建最小生成树算法，以便在网络中选择最小的数据传输路径。
此外，在运筹学中，生成树被用于求解最小生成树问题，即为一个加权图找到一棵包含所有顶点的生成树，使得树中边的权重之和最小。
在离散数学中，生成树计数是一个重要的研究分支。
生成树计数是指对给定图，计算其生成树的数目。
生成树计数的问题可以通过使用基于图论和组合数学的算法来解决。
通常，生成树计数的问题与相应图的特性和性质密切相关。
对于一个简单图来说，如果图中任意两点之间至少有一条边，那么该图一定存在生成树。
对于有 n 个顶点的连通图来说，它的生成树数量可以通过Cayley公式计算得到。
Cayley公式表明，一个有 n 个标号的顶点的完全图的生成树数量等于 n^(n-2)。
而对于非完全图，生成树的计数问题则较为困难。
在处理非完全图的生成树计数问题时，可以使用基于递归和动态规划的算法来解决。
一个常见的方法是使用Kirchhoff矩阵树定理，它将生成树计数的问题转化为计算矩阵的行列式的问题。
Kirchhoff矩阵树定理提供了一种计算给定图的生成树数目的有效算法，通过计算图的基尔霍夫矢量的一个特征值，可以得到图的生成树的数目。
另一个常见的方法是使用Prufer编码，它是一个用于描述无环连通图的序列。
通过Prufer编码，我们可以将计算生成树的问题转化为计数树的问题。
通过对无向图进行Prufer编码，我们可以计算出生成树的数目，并且可以根据生成树的数目来确定该无向图的种类和特征。
《离散数学》课件-第16章树
18
16.3 根树及其应用
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定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
8
平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
生成树的名词解释
生成树的名词解释生成树（Spanning Tree）是图论中的一个重要概念，用来描述在一个无向连通图中连接所有顶点的极小连通子图。
在一个无向连通图中，如果能够找到一颗包含所有顶点且边数最少的子图，那么这个子图就是该图的生成树。
生成树的概念最早由Otto Schönflies于1885年提出，并且在图论研究和实际应用中得到了广泛的运用。
生成树在电网规划、通信网络设计、计算机网络以及城市交通规划等领域都有着重要的应用价值。
生成树的定义可以用简洁的方式表述：在一个无向连通图中，生成树是保留了原图的所有顶点，但只保留了足够的边来使得这个子图连通，并且不包含任何环的一种连通子图。
换句话说，生成树是一个无向连通图中的极小连通子图，它连接了所有的顶点，并且不存在回路。
生成树具有很多重要的性质和应用。
首先，生成树的边数比原图的顶点数少一个。
这是因为生成树是一个连通子图，而且不包含任何环。
因此，生成树中的边数等于原图的顶点数减去1。
这个性质经常用于生成树的构造和推导。
其次，生成树可以用于表示图中的最小连接网络。
在一个无向连通图中，如果存在多个连通子图，那么通过连接这些子图的最少的边，就可以得到一个生成树。
这个生成树可以看作是一个最小的连通网络，其中所有顶点都能够通过最短路径相互到达。
此外，生成树还可以用于网络设计和优化问题。
在电网规划、通信网络设计和计算机网络中，生成树常常被用于实现信息的传输和路由的优化。
通过构造合适的生成树，可以使得信息的传输路径更加简洁和高效。
生成树有多种构造算法，其中最常用的是Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法是一种贪心算法，它从一个任意选定的顶点开始，逐步构建生成树。
具体地，Prim算法每次选择与已有的生成树连接边权值最小的顶点，并将其加入生成树。
重复这个过程，直到生成树包含了所有的顶点。
Kruskal算法是一种基于边的方法，它首先将图中的边按照权值从小到大排序，然后依次将边加入生成树，直到生成树包含了所有的顶点为止。
第八章 图论8.4树及其应用.ppt
⑥ G中每一对结点之间有惟一一条基本通路。(n≥2)
2017/10/10 82-9
定理4.2.1 分析
直接证明这 6 个命题两两等价工作量太大，一 般采用循环论证的方法，即证明
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) 然后利用传递行，得到结论。
2017/10/10
证明 TG = <VT, ET> 是 G = <V, E> 的生 分析 必要性：假设 必要性由树的定义即得，充分性利用构造性 成树，由定义 4.2.1 ， TG 是连通的，于是 G 也是连通的。 方法，具体找出一颗生成树即可
充分性：假设G = <V, E>是连通的。如果G中无回 路， G 本身就是生成树。如果 G 中存在回路 C1 ，可删除 C1中一条边得到图G1，它仍连通且与G有相同的结点集。 如果G1中无回路，G1就是生成树。如果G1仍存在回路C2， 可删除 C2 中一条边，如此继续，直到得到一个无回路 的连通图H为止。因此，H是G的生成树。
2017/10/10 82-22
思考题
1、一个图的生成树是不是唯一的呢？
2、如果不是唯一的，3个顶点的无向完全图有几棵 生成树？4个顶点的无向完全图又有几棵生成树？n 个顶点的无向完全图又有几棵生成树？
完全图是边数最 多的简单无向图
2017/10/10
82-23
定理4.2.3
一个图G = <V, E>存在生成树TG = <VT, ET>的充分 必要条件是G是连通的。
由定理4.2.1(4) 在结点给定的无向图中， 由定理4.2.1(5) 树是边数最多的无回路图 树是边数最少的连通图 由此可知，在无向图G = (n, m)中， 若m＜n-1，则G是不连通的 若m＞n-1，则G必含回路
代数结构-树
384
(1，2，5，6) (8，3，4，3)
6
7
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生成树 (Spanning TCaryeleey定) 理：n个顶点的标号完全图Kn有nn-2棵生成树
384 7
(1，2，5，6，3) (8，3，4，3，8)
离散数学 中国地质大学 计算机学院
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生成树 (Spanning TCaryeleey定) 理：n个顶点的标号完全图Kn有nn-2棵生成树
w(e1)<=w(e1’)，从而w(T1)<=w(T*)。 依此进行，可以将ek加入到Tk-1中，将形成环，此环中必然然存在边ek’在T*中而不在T中，于是，删除ek’， 则得到生成树Tk。而显然，两边序列e1e2e3…ek 与 e1e2e3…ek’均不构成环，而按kruskal算法，必然有 w(ek)<=w(ek’)， 从而 w(Tk)<= w(Tk-1)<=w(T*) ……， 最后可以将em加入到Tm-1中，得到生成树Tm，且w(Tm)<=…<=w(Tk)<= w(Tk-1)<=… <=w(T1)<=w(T*)。 而此时， T所有边都加入到Tm中，即Tm=T。故w(T)<=w(T*) 因此，T为最小生成树。
(3，2，2，3，4，1)
S:(5，6，7，2，3，4)
5
1
32 6
4
8
7
因此，序列集合{t1,t2,…,tn}与Kn的生成树集合存在双射关系。
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2 生成树(Spanning Tree) 最小生成树(minimum spanning tree)
算法？ Kruskal算法
离散数学-树
离散数学导论
. 树
1.2 生成树
➢定义9.10
图T称为无向图G的生成树（spanning tree）， 如果T为G的生成子图且T为树。
✓定理9.17
任一连通图G都至少有一棵生成。
.. 树树
1.2 生成树
✓ 定理9.18
设G为连通无 向图，那么G的 任一回路与任一生 成树T的关于G的补 G – T ，至少有一 条公共边。
1.3 根树
➢ 定义9.15
每个结点都至多有两个儿子的根树称为 二元树（quasibinary tree）。类似地，每个结点都
至多有n个儿子的根树称为n元树。 对各分支结点 的诸儿子规定了次序（例如左兄右弟）的n 元树称
为n元有序树；若对各分支结点的已排序的诸儿子
规定了在图示中的位置（例如左、中、右），那么
弦组成G的一个割集，它被称为枝t-割集（t-cut set）；
而每一条弦e与T中的通路构成一回路，它被称为弦e-回
路（e-circuit）。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.20
在连通无向图G中，任一回路与任 一割集均有偶数条公共边。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.21
设G为一连通无向图，T是G的生成树， S = {e1, e2, e3,…,ek}
✓ 定理9.19
设G为连通无 向图，那么G的任 一割集
与任一生成树至少
有一条公共边。
.. 树树
1.2 生成树
➢ 定义9.11
设T为图G的生成树，称T中的边为树枝（branch） 称G – T 中的边为弦（chord）。对每一树枝t，T–t分为
无向树及生成树
一、无向树及其性质
1、 无向树 定义 5-17:不包括回路的无向连通图称为无向树， 简称树,记为 T . （1）两棵以上的图称为森林。 （2）设 T 是树，则 T 的边称为树枝。 （3）树中度数为 1 的结点，称为树叶。 （4）树中度数大于等于 2 的结点称为分支点。
一、无向树及其性质
2、 树的性质 性质 1 设 v1 , v 2 是 T 的两个不同结点， 则连接 v1 , v 2 有 且仅有一条通路，而且这条通路是初级通路。 性质 2 设 v1 , v 2 是 T 的两个结点， 如果 v1 , v 2 不邻接， 则在 T 中添加边 v1 , v 2 后所得的图有且仅有一条回 路，而且这条回路是初级回路。
一、无向树及其性质
2、 树的性质 性质 3 树中任意删除一条边后所得的图是不连通 的。 性质 4 设 T 是 (n, m) 树，则 m n 1。 性质 5 设树 T 的结点数为 n(n 2) ，则至少两片树 叶。
一、无向树及其性质
2、 树的性质
例 5-7：设树 T 中有 7 片树叶，3 个 3 度结点，其余 都是 4 度结点，问: T 中有几个 4 度结点？ 例 5-8．设树 T 中有 1 个 3 度结点，2 个 2 度结点， 其余结点都是树叶，问 T 中有几片树叶？ 例 5-9 画出所有 6 个顶点非同构的无向树。
e1 , e2 ,, em ，它们带的权分别为 a1 , a2 ,, am ，不妨
设 a1 a2 am （1） 一开始取权最小的边 e1 ， 且 w(e1 ) a1 ， 取
e1 在 T 中。
三、求最小生成权的克鲁斯科尔算法
（ 2）若 e2 不与 e1 构成回路，将 e2 添加在 T 中，否 则放弃 e2 ，再查 e 3 ，继续这一过程，直到得到的子 图就是所求的一棵最小生成树 T 为止。
VLAN与生成树和生成树配置
ＶＬＡＮ与生成树和生成树的配置一ＶＬＡＮ与生成树在缺省的ＣＩＳＣＯＳＴＰ模式中，每个ＶＬＡＮ定义一个ＳＴＰ．ＩＥＥＥ８０２．１Ｑ标准是在整个交换ＶＬＡＮ网络中使用一个ＳＴＰ，但并不排除在每个ＶＬＡＮ中实现ＳＴＰ．１ＶＬＡＮ与生成树的关系＞ＩＥＥＥ通用生成树（ＣＳＴ）＞ＣＩＳＣＯＰＥＲＶＬＡＮ生成树（ＰＶＳＴ）＞带ＣＳＴ的ＣＩＳＣＯＰＥＲＶＬＡＮ生成树（ＰＶＳＴ＋）ＣＳＴ是ＩＥＥＥ解决运行虚拟局域网ＶＬＡＮ生成树的方法．ＣＳＴ定义，整个第２层交换网络所有实现了的ＶＬＡＮ，仅使用一个生成树实例．这个生成树实例运行在整个交换局域网上．ＰＶＳＴ是解决在虚拟局域网上处理生成树的ＣＩＳＣＯ特有解决方案．ＰＶＳＴ为每个虚拟局域网运行单独的生成树实例．一般情况下ＰＶＳＴ要求在交换机之间的中继链路上运行ＣＩＳＣＯ的ＩＳＬ．ＰＶＳＴ＋是ＣＩＳＣＯ解决在虚拟局域网上处理生成树问题的另一个方案．ＰＶＳＴ＋允许ＣＳＴ信息传给ＰＶＳＴ，以便与其他厂商在ＶＬＡＮ上运行生成树的实现方法进行操作．２按ＶＬＡＮ生成树（ＰＶＳＴ）为每个ＶＬＡＮ建立一个独立的生成树实例（ＰＶＳＴ）．生成树算法计算整个交换型网络的最佳无环路径．ＰＶＳＴ的优点：＞生成树拓扑结构的总体规模减少．＞改进了生成树的扩展性，并减少了收敛时间．＞提供更快的收敛恢复能力和更高的可靠性．ＰＶＳＴ的缺点：＞为了维护针对每个ＶＬＡＮ而生成的生树，交换机的利用率会更高＞为了支持各个ＶＬＡＮ的ＢＰＤＵ，需要占用更多的ＴＲＵＮＫ链路带宽生成树仅可运行在６４个ＶＬＡＮ上．３公共生成树（ＣＳＴ）ＣＳＴ是ＩＥＥＥ在虚拟局域网上处理生成树的特有方法，这是一种ＶＬＡＮ解决方案，称为单一或者公共生成树．生成树协议运行在ＶＬＡＮ１即缺省的ＶＬＡＮ上．所有的交换机都举出同一个根网桥，并建立与该根网桥的关系．公共生成树不能针对每个ＶＬＡＮ来优化根网桥的位置．公共生成树优点：＞最小数量的ＢＰＤＵ通信，带宽占用少．＞交换机负载保持最小．公共生成树的缺点如下：＞只用一个根网桥，这不能为所有的ＶＬＡＮ做到网桥的优化放置，导致对某些设备来说可能存在次优化路径．＞为包括交换架构中的所有端口，生成树的拓扑结构较大，这就会导致较长的收敛时间和更频繁的重新配置．４增强型的按ＶＬＡＮ生成树（ＰＶＳＴ＋）ＰＶＳＴ＋有以下特征：＞它是ＣＩＳＣＯ发展的，可以与８０２．１Ｑ公共生成树（ＣＳＴ）互操作．＞通过ＩＳＬ中继，ＰＶＳＴ＋与现存的ＣＩＳＣＯ交换机ＰＶＳＴ协议向后兼容，同时，ＰＶＳＴ＋也通过８０２．１Ｑ中继与ＣＳＴ连接互操作．＞如果ＰＶＳＴ区域和ＣＳＴ区域之间要互操作，一定要通过ＰＶＳＴ＋区域．二生成树配置生成树配置涉及下面一些任务：＞选举和维护一个根网桥．＞通过配置一些生成树的参数来优化生成树．（如端口优先级端口成本）＞通过配置上行链路来减少生成树的收敛时间．２９５０交换机上生成树的缺省配置：＞ＳＴＰ启用：缺省情况下ＶＬＡＮ１启用＞ＳＴＰ模式：ＰＶＳＴ＋＞交换机优先级：３２７６８＞ＳＴＰ端口优先级：１２８＞ＳＴＰ路径成本：１０００Ｍ：４１００Ｍ：１９１０Ｍ：１００＞ＳＴＰＶＬＡＮ端口成本：（同上）＞ＳＴＰ计时器：ＨＥＬＬＯ时间：２秒转发延迟：１５秒最大老化时间：２０秒１启用生成树：switch(config)#spanning-tree vlan vlan-list步骤：switch#config tswitch(config)# spanning-tree vlan 10switch(config)#endswitch#show spanning-tree summary(detial)summary摘要detial详细Bridge Identifier has priority 8912,address 0006.eb06.1741 (本地交换机网桥ＩＤ）desigated root has priority 8912,address 0006.eb06.1741 (根网桥ＩＤ）designated port is 7,path cost 0 (路径成本）times: hold1, topology change 35, notification 2hello 2, max age 20, forward delay 15 （根计时器）２人为建立根网桥在生成树网络中，最重要的事情就是决定根网桥的位置．可以让交换机自己根据一定的原则来选择根网桥以及备份或从（secondary）根网桥，也可使用命令人为指定根网桥．ＰＳ：不要将接入层的交换机配置为根网桥．ＳＴＰ根网桥通常是汇聚层或者核心层的交换机．通过命令直接建立根网桥：spanning-tree vlan vlan-id root primary步骤：switch#config terminalswitch(config)#spanning-tree vlan vlan-id root primary dianmeternet-diameter hello-time sec为ＶＬＡＮ配置根网桥网络半径以及ＨＥＬＬＯ时间ＲＯＯＴ关键字：指定这台交换机为根网桥diameter netdianmeter：该关键字指定在末端口主机任意两点之间的网段的最大数量．net-diameter的值是２－７．这个直径应该从根网桥开始计算，根网桥是１switch(config)#endswitch#show spanning-tree vlan vlan-id detail让交换机返回缺省的配置，可以使用如下命令：no spanstree vlan vlan-id root２＞修改网桥的优先级别：多数情况下做如下配置：spanning -tree vlan vlan-id root primary （主ＲＯＯＴ）spanning-tree vlan vlan-id root secondary（备份ＲＯＯＴ）修改网桥优先级：spanning-tree vlan vlan-id priority bridge-priority３确定到根网桥的路径生成树协议依次用ＢＰＤＵ中这些不同域来确定根网桥的最佳路径：＞根路径成本（ＲＯＯＴＰＡＴＨＣＯＳＴ）＞网桥ＩＤ（ＢＲＩＤＧＥＩＤ）＞端口优先级（ＰＯＲＴＰＲＯＩＲＩＴＹ）从端口发出ＢＰＤＵ时，它会被施加一个端口成本，所有端口成本的总和就是路径成本．生成树首先查看路径成本，以确定哪些端口应该转发，哪些端口应该阻塞．报告最低路径成本的端口被选为转发端口．如果对多个端口来说，其中路径成本相同，那么，生成树将查看网桥ＩＤ．报告有最低网桥ＩＤ的ＢＰＤＵ端口被允许进行转发，而其他所有端口被阻断．如果路径成本和网桥ＩＤ都相同（如在平行链路中），生成树将查看端口ＩＤ．端口ＩＤ低的优先级高，将作为转发端口．４修改端口成本如果想要改变某台交换机和根之间的数据所走的路径，就要仔细计算当前的路径成本，然后，改变所希望路径的端口成本．我们可以更改交换机端口的成本，端口成本更低的端口更容易被选为转发帧的端口．spanning-tree vlan vlan-id cost costno spanning-tree vlan vlan-id cost(删除)配置步骤：＞１config terminal 进入配置状态＞２interface interface-id 进入端口配置界面＞３spanning-tree vlan vlan-id cost cost值为某个ＶＬＡＮ配置端口成本＞４end＞５show spanning-tree interface interface-id detail查看配置＞６write５修改端口优先级在路径成本和网桥ＩＤ都相同的情况下，有最低优先级的端口将为vlan转发数据帧．对应基于ＣＬＩ的命令的交换机，可能的端口优先级别范围为０～６３，缺省为３２．基于ＩＯＳ的交换机端口的优先级别范围是０～２５５，缺省为１２８．spanning-tree vlan vlan-id port-priority priority值no spanning-tree vlan vlan－id port-priority１＞config terminal 进入配置状态２＞interface interface-id 进入端口配置界面３＞spanning-tree vlan vlan-id port-priority４＞end５＞show spanning-tree interface interface-id detail６＞write６修改生成树计时器使用缺省的ＳＴＰ计时器配置，从一条链路失效到另一条接替，需要花费５０秒．这可能使网络存取被耽误，从而引起超时，不能阻止桥接回路的产生，还会对某些协议的应用产生不良影响，会引起连接、会话或数据的丢失。
7-7 树与生成树
实例
例 设G为n（n≥5）阶简单图，证明 或G的补图中必含 为 （ ）阶简单图，证明G或 的补图中必含 圈。 设简单图G和其补图的边数分别为 和其补图的边数分别为m和 ， 证 设简单图 和其补图的边数分别为 和m’，则 m+m’= n(n-1)/2 根据鸽巢原理， 与其补图必有一个边数 与其补图必有一个边数≥ 根据鸽巢原理，G与其补图必有一个边数 n(n-1)/4 ， 不妨设G的边数 下面证G中必含有圈 中必含有圈。 不妨设 的边数m≥ n(n-1)/4 ，下面证 中必含有圈。 的边数 假设G中没有圈， 个连通分支， 假设 中没有圈，设G有w个连通分支，则每个连通分支 中没有圈 有 个连通分支 都是树， 分别为第i个连通分支 都是树，mi=ni-1，i=1,…,w，mi,ni分别为第 个连通分支 ， ， 的边数与阶数， 的边数与阶数，所以有
实例
下面两个正整数序列中， 例 下面两个正整数序列中，哪个能充当无向树的度 数序列？若能画出2棵非同构的无向树 棵非同构的无向树。 数序列？若能画出 棵非同构的无向树。 （1）1,1,1,1,2,3,3,4 ） （2）1,1,1,1,2,2,3,3 ） 解 （1）不可以，因为所有度数之和等于 ，而结点 ）不可以，因为所有度数之和等于16， 数为8，假设可以构成树，则度数之和应为14， 数为 ，假设可以构成树，则度数之和应为 ，所 以不可以。 以不可以。 （2）可以。 ）可以。
Go
(1)⇒(2)的证明 ⇒ 的证明
如果T是无回路的连通图， 中无回路且e=v− ， 如果 是无回路的连通图，则G中无回路且 −1，其 中无回路且 是边数， 中e是边数，v是结点数 是边数 是结点数 归纳法。 证明 归纳法。 当v=2时，因为 连通无回路， 连通无回路， 时 因为T连通无回路 所以只有e=1，故e=v-1成立。 ， 成立。 所以只有 成立 假设v=k-1时命题成立，当v=k时， 时命题成立， 假设 时命题成立 时 是无回路且连通， 的结点u， 因T是无回路且连通，则至少有一个度为 的结点 ， 是无回路且连通 则至少有一个度为1的结点 设与其关联的边为(u,w)，删去u，得到一个 个结点 ，删去 ，得到一个k-1个结点 设与其关联的边为 的连通无向图T’， 的连通无向图 ，
离散数学第十一章 树
前言
1956年Kruskal设计了求最优树的有效算法。
树是一类既简单而又非常重要的图，是计算机中一种基本的数据结构和
表示方法，在输电网络分析设计、有机化学、最短连接及渠道设计等领 域也都有广泛的应用。 本章将对树进行详细的讨论，主要包括树的基本性质和生成树，以及有 向树中的m叉树、有序树和搜索树等。
11.2 有向树及其应用
m叉树
定义11.8 在有向树T中，若任何结点的出度最多为m，则称T为m叉树； 如果每个分支结点的出度都等于m，则称T为完全m叉树；进一步，若T的 全部叶点位于同一层次，则称T为正则m叉树。
例11.7 在图11.5(a)是一棵二叉树，而且是正则二叉树；图11.5(b)是一棵完全二 叉树；图11.5(c)是一棵三叉树，而且是正则三叉树；图11.5(d)是一棵完全三叉树。
图11.6
11.2 有向树及其应用
定义11.10 设<D,W>是叶加权二叉树。如果对于一切叶加权二叉树
D ',W ' 只要对于任意正实数r，D和 D ' 中权等于r的叶的数目相同，就
有<D,W>的叶加权路径长度不大于 D ',W ' 的叶加权路径长度，则称 <D,W>为最优的。 这样，我们把求某问题的最佳算法就归结为求最优二叉树的问题。
i 1 n
n 2 1 3 x
T 的边数 m n 1 5 x
又由 2m d(vi ) 得 2(5 x) 2 2 3 1 4 3 x 所以 x 9，即树 T 有9片树叶。
i 1 n
11.1 树与生成树
树及其性质
推论11.2 阶大于2的树必有割点。
图11.5
图论课件第二章_树
1 x 2 3 5 ( 1 0 x )2 1 2
12
得x=8 例8 设T为(n, m)树，T中有ni个度为i的点(1≦i≦k),且 有：∑ni=n.证明：
n 2 n 2 n (2 kn ) 1 3 4 k
证明：由m=n-1得：
m ( n n )1 1n 2 k
9
总之，树在图论研究和图论应用上都是十分典型 的特殊图。
(二)、树的性质
定理1 每棵非平凡树至少有两片树叶。 证明 设P=v1v2…vk是非平凡树T中一条最长路，则v1 与vk在T中的邻接点只能有一个，否则，要么推出P 不是最长路，要么推出T中存在圈，这都是矛盾！ 即说明v1与v2是树叶。
定理2 图G是树当且仅当G中任意两点都被唯一的路 连接。
18
G满足δ (G)≧k-1的图。我们证明T同构于G的某个子图。 设u是T的树叶，v是u的邻接顶点。则T-u是k-1阶树。 由于δ(G)≧k-1 ≧k-2，由归纳假设，T-u同构于G的某 个子图F. 设v1是与T中v相对应的F中的点，由于dG(v1) ≧k-1,所 以v1在G中一定有相异于F中的邻点w, 作F∪｛v1w｝,则该 子图和T同构。
(三)、树的中心与形心
1、树的中心概念与性质
21
(1)图的顶点的离心率
e ( v ) m a x( d u ,) v u V () G
(2)图的半径
r () G m i n( e v ) vV () G
(3)图的直径：最大离心率。 (4)图的中心点：离心率等于半径的点。 (5)图的中心：中心点的集合。 定理7 每棵树的中心由一个点或两个相邻点组成。
9 10 9 10 8 4 7 10 10 10
离散数学第九章树知识点总结
生成树的存在性 定理 任何无向连通图都有生成树. 证 用破圈法. 若图中无圈, 则图本身就是自己的生成树.
否则删去圈上的任一条边, 这不破坏连通性, 重复进行 直到无圈为止,剩下的图是一棵生成树. 推论 1 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则 mn1. 推论 2 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则它的生成树的余树 有 mn+1 条边.
{0,10,010, 1010} 不是前缀码
例 在通信中，设八进制数字出现的频率如下：
0：25%
1：20%
2：15%
3：10%
4：10%
5：10%6：5% Nhomakorabea7：5%
采用 2 元前缀码, 求传输数字最少的 2 元前缀码 (称作最佳前
缀码), 并求传输 10n(n2)个按上述比例出现的八进制数字需
要多少个二进制数字？若用等长的 (长为 3) 的码字传输需要
推论 3 设
为 G 的生成树 T 的余树，C 为 G 中任意一个
圈，则 C 与
一定有公共边.
基本回路与基本回路系统
定义 设 T 是 n 阶 m 条边的无向连通图 G 的一棵生成 树，设 e1, e2, … , emn+1 为 T 的弦. 设 Cr 为 T 添加弦 er 产生的 G 中惟一的圈(由 er和树枝组成), 称 Cr 为对应 弦 er的基本回路或基本圈, r=1, 2, …, mn+1. 称{C1, C2, …, Cmn+1}为对应 T 的基本回路系统. 求基本回路的算法: 设弦 e=(u,v), 先求 T 中 u 到 v 的路径 uv, 再并上弦 e, 即得对应 e 的基本回路. 基本割集与基本割集系统定义 设 T 是 n 阶连通图 G 的一棵生成树, e1, e2, …, en1 为 T 的树枝，Si 是 G 的只含树枝 ei, 其他边都是弦
树
生成树的性质
设 G V , E 为连通图， V n， E m， (1) G至少有一棵生成树， (2) m n 1， (3) 设 T 是 G 的生成树， T ' 是 T 的余树，
则 T '中有 m n 1条边。 (4) 设 T 是 G 的生成树， T ' 是 T 的余树，
又由(1) m n 1 ，代入上式，解得 k 2 ，
即 T 至少2片叶。
例题
画出所有的6个顶点的非同构的树。 解：所要画的树有6个顶点，则边数为5，因此 6个顶点的度数之和为10，可以产生以下五 种 度数序列：
(1) 1 1 1 1 1 5
T1
(2) 1 1 1 1 2 4
(3) 1 1 1 1 3 3
注意： (1) 生成树不唯一，
(2) 余树不一定是树。
(3)
(3)是(2)的余树。
生成树存在条件
定理：无向图G具有生成树当且仅当G是连通图 证明:
必要性 显然 充分性，如果G无回路,则G本身就是它的生成树,如G 有回路,则在回路上任取一条边并去掉后仍是连通的, 如G仍有回路,则继续在该回路上去掉一条边,直到图 中无回路为止,此时该图就是G的一棵生成树
树的性质
(1) 树中顶点数与边数的关系： n m 1 。
(2) 非平凡树至少2片树叶。
证明： 设 T V , E 为 n 阶非平凡树，
设 T 有 k 片树叶，则有 (n k) 个顶点度数大于等
n
于2， 由握手定理， 2m d (vi ) k 2(n k ) i 1
T2
(4) 1 1 1 2 2 3
T3
(5)1 1 2 2 2 2
树与生成树
定理1 T是棵完全m叉树, 有t个叶结点, i个分支结点, 则(m-1)i=t -1 . 证明:T的所有结点的出度总和为 mi. 入度总和(i-1)+t. 故 mi=i-1+t 所以(m-1)i=t-1
七. m叉有序树转化成二叉树 因为二叉树便于存贮, 也便于处理, 所以通常可以将多叉 树化成二叉树.方法是: 1.每个结点保留左儿子结点, 剪掉右边其分支. 被剪掉 的结点如下处理(重新嫁接). 2.同一个层次的结点, 从左到右依次画出(被剪掉的结 点 嫁接到它的哥哥结点上).
先将权按照升序排序设为w为儿子结点构造它们的父结点且其权为再与其余权一起排序再从此队列中取出前面两个权值为儿子结点同的方法构造它们的父结点
8-9 树与生成树
树是一种特殊的图, 它是图论中重要的概念之一, 它有 着广泛的应用.在计算机科学中有如判定树、语法树、分 类树、搜索树、目录树等等. 一.树 (Tree) (a) 1.树的定义:一个连通无回路的 无向图T,称之为树. 如(a) 2.叶结点:度数为1的结点, 称为叶结点. (b) 3.分支结点(内结点):度数大于1的结点. 4.森林:一个无向图的每个连通分支都是树.如(b)
⑷ T连通的,且每条边都是割边. ⑸ T连通的且m=n-1. ⑷⑸:关于点数用归纳法证明。 当n=1或2时，T是平凡图或K2，显然有m=n-1。 假设nk时结论成立，往证n=k+1时成立。 当n=k+1时。取T的一条边e，由⑷，e是割边， 所以T-e有两个分支T1和T2， 因为|V(T1)|k, |V(T2)|k, 所以，由归纳假设，有 |E(T1)|=|V(T1)|-1， |E(T2)|=|V(T2)|-1 故m=|E(T1)|+|E(T2)|+1 =|V(T1)|-1+ |V(T2)|-1+1 =n-1。
无向树和生成树
就不连通了. ❖ 其中n为G中顶点数,m为边数.
5
定理2
❖ 设T＝<V,E>是n阶非平凡的树,则T 中至少有2片树叶.
6
证明 因为T是非平凡树,所以T中每个顶点的度 数都大于等于1,设有k片树叶,则有(n-k)个顶点 度数大于等于2,由握手定理可知
15
例1 图G中,实线边所构成的子图是 G的一棵生成树T,求T对应的基本 回路和基本回路系统,基本割集和 基本割集系统.
16
解: G中顶点数n=6,边数m=9,基本回 路个数为m-n+1=4,即T有4条弦f,g,h,i. 对应的基本回路: Cf=facd; Cg=gba; Ch=hdcb; Ci=ied. 基本回路系统为{Cf,Cg,Ch,Ci}
19
Kruskal算法
设n阶无向连通带权图G=<V,E,W> 中有m条边e1,e2···,em,它们带 的权分别为a1,a2,…am,不妨设 a1≤a2≤…≤am.
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(1)取e1在T中(e1非环,若e2为环,则弃e1); (2)若e2不与e1构成回路,取e2在T中,否则
弃e2,再查e3,继续这一过程,直到形成 生成树T为止.用以上算法生成的T是 最小生成树.
在图2中,实边所示的子图是图G的 一棵生成树T,d,e,f为T的树枝,a,b,c 为T的弦.在T上加弦a,产生G的一 个初级回路aed.在T上加弦b,产生 G的一个初级回路bdf.在T上加弦c, 产生G的一个初级回路cef.这3个 回路中每一个回路都只含一条弦, 其余的边都是树枝,这样的回路称 为基本回路.
17
T有5个树枝a,b,c,d,e,因而有5个基本割集: Sa={a,g,f}; Sb={b,g,h}; Sc={c,f,h}; Sd={d,i,h}; Se={e,f,i};
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=|V(T1)|-1+ |V(T2)|-1+1 =n-1。
⑸ T连通的且m=n-1.
⑹ T无回路且m=n-1.
⑸⑹:只需证明T无回路。对T关于顶点 数归纳。
当n=1或n=2时，显然成立。
八.遍历二叉树 在二叉树的一些应用中, 常常要在树中查找具有某些
特征的结点,或者对所有结点逐一进行某种处理, 这就提 出了遍历二叉树问题. 即按照一定规律巡访树中每个结点 一次.
由于二叉树是一个非线性结构, 每个结点都可能在左右 两棵子树上, 为此要寻找一种规律, 以便使二叉树上结点 的信息排成一个线性队列上, 从而便于遍历.
⑷ T连通的,且每条边都是割边.
⑸ T连通的且m=n-1.
⑷⑸:关于点数用归纳法证明。
当n=1或2时，T是平凡图或K2，显然有m=n-1。 假设nk时结论成立，往证n=k+1时成立。
当n=k+1时。取T的一条边e，由⑷，e是割边，
所以T-e有两个分支T1和T2， 因为|V(T1)|k, |V(T2)|k, 所以，由归纳假设，有
⑴后序遍历左子树
⑵后序遍历右子树
⑶访问根结点.
后序遍历:32x2－×－x3x＋÷＋
九. 最优树(哈夫曼树 Huffman)
二叉树的一个重要应用就是最优树.
1.带权二叉树的定义:设有一组权值:w1, w2, w3,… , wm, 不仿设w1≤w2≤w3≤…≤wm, 设有一棵二叉树有m片 叶子,分别带有权值w1, w2, w3,… , wm,称此树为带权二 叉树.
此树是m叉树.
2.完全m叉树:在根树中,如果每个结点的出度都是m或者
等于0, 则称此树是完全m叉树.
3. 正则m叉树:在完全m叉树中,如果所有树叶的层次相 同,
则称之为v1 正 则m叉树. v1
v1
v2
v3 v2
v3 v2
v3
v4 v5 v6 v4 v5
N
取ej使得
ai=ej i=i+1
S∪{ ej}有回路?
|S|=n-1, 说明是树
Y
最后S={a1, a2, a3,… ,an-1}
j=j+1
边按升序排序:边(vi, vj)记成eij 边 e28 e34 e23 e38 e17 e24 e45 e57 e16 权1 1 2 2 2 3 3 3 4
a:b
<
=
a:c
a:c
> a:cFra bibliotek<=
< =>
=>
a轻 b重 c重 a:d c轻 b轻 a重
< => d重 全真 d轻
d)搜索树:八数码游戏:
283 164
75
283 64
17 5
283 14
765
…………………..
搜索策略: 宽度优先, 深度优先, 启发式搜索,….
Step2. 构造[Sk , Sk ], 若[Sk , Sk ] , 则G不连
通, 停止. 否则, 设
w(ek ) min w(e) ek vk vk' , vk Sk .
e[Sk , Sk ]
令
S k 1
Sk
{v
' k
},
Ek1 Ek {ek }.
置k=k+1. 返回Step1.
1.每个结点保留左儿子结点, 剪掉右边其分支. 被剪掉 的结点如下处理(重新嫁接). 2.同一个层次的结点, 从左到右依次画出(被剪掉的结 点 嫁接到它的哥哥结点上).
r
a
b
c d e f g h i jk l
r
a
b
c d e f g
h
i j k l
3.分支结点(内结点):度数大于1的结点. (b)
4.森林:一个无向图的每个连通分支都是树.如(b)
5.与树定义等价的几个命题 定理1给定图T, 以下关于树的定义是等价的. ⑴ T无回路的连通图. ⑵T无环且每对结点之间有一条且仅有一条路. ⑶ T无回路但在任一对不相邻的顶点间添加一条
新边e，则T+e包含唯一的回路. ⑷ T连通的,且每条边都是割边. ⑸ T连通的且m=n-1. ⑹ T无回路且m=n-1. 证明:⑴⑵:已知T是连通无回路图,所以T中无环。
v1 8 v8 7 v5 3 v4
4 2 v7 4
34 6 6 v6
Kruskal算法: 设G是有n个结点,m条边(m≥n-1)的连通 图. S=Φ i=0 j=1
将所有边按照权升序排序: e1, e2, e3,… ,em
S=S∪{ai} j=j+1
|S|=n-1 Y 输出S 停 N
v4 v5 v6 v7
定理1 T是棵完全m叉树, 有t个叶结点, i个分支结点,
则(m-1)i=t -1 . 证明:T的所有结点的出度总和为 mi. 入度总和(i-1)+t. 故 mi=i-1+t 所以(m-1)i=t-1
七. m叉有序树转化成二叉树 因为二叉树便于存贮, 也便于处理, 所以通常可以将多叉 树化成二叉树.方法是:
最小生成树很有实际应用价值.例如结点是城市名,边的权
表示两个城市间的距离, 从一个城市出发走遍各个城市,
如何选择最优的旅行路线.又如城市间的通信网络问题,如
何布线,使得总的线路长度最短.
例如:右图所示 2.求最小生成树算法 ---Kruskal算法: (贪婪算法)
v2 71
2 3 2
v3 51
v7
的一条边,则称vi是vj的父结点, vj是vi的子结点.
5.祖先结点与后裔结点: 在根树中,如果从vi到vj有路,则 称
vi是vj的祖先结点, vj是vi的后裔结点. 6.根树结点的层次:从根结点到某个结点的路径的长度,称
为该结点的层次. 同一层次的结点称为兄弟结点.
7.树高:从树根到各个叶结点的路径中, 最长路径的长度,
v2
v3
如果G中有回路,可以通过反复删去回路 v4
v5
中的边,使之既无回路,又连通.就得到生成树.
思考题:设G是有n个结点,m条边的连通图, 问要删去多少
条边,才得到一棵生成树?
三.赋权图的最小生成树
1.定义:一棵生成树中的所有边的权之和称为该生成树的
权. 具有最小权的生成树,称为最小生成树.
称为该树的高度(树高).
三.举例: a)语法树
主语
句子
谓语短语
冠词 形容词 名词 动词
宾语
The little boy
b)算术表达式树
((a+b)÷c)×(d－e) ÷
冠词 saw
The
×
－
名词
apple
+
c d e
a b
c)判定树:有四枚金币a,b,c,d,已知道三个是真的,最多一 个是假的,它们的外表完全相同,只是重量有点差别.给你 一架天平找出假币.
⑷ T连通的,且每条边都是割边.
⑵⑶:显然T无回路，否则对回路上的任一对顶 点都至少存在两条路，与⑵矛盾。设u，v是T 中任意两个不相邻的点，令e=uv，由⑵，T中 有一条唯一的u-v路，所以T+e中包含唯一的回 路。
⑶⑷:因为T无回路，所以T的每条边都是割边； 若T不连通，设T1，T2是T的两个分支，设 uV(T1), vV(T2), 则uvE(T)，显然T+uv 不存在回路，与⑶矛盾。
假设nk时结论成立，往证n=k+1时成 立。
因为T连通，所以(T)1，由m=n-1及 d(v)=2m得，T中至少存在一点u，使 得d(u)=1。考虑T’=T-u，显然T’连通， 且|E(T’)|=|V(T’)|-1，由归纳假设，T’ 无回路，所以T无回路。
⑹ T无回路且m=n-1. ⑴ T无回路的连通图. ⑹k由⑴⑹2:得。假，对设任T不意连的通Ti，，设Ti是T1无, T回2,路…,的T连k为通T图的，连所通以分T支i是，树则，
例：求图G的最小生成树。 v2
1
3
v1
2
4 4
v4 2
v5
2
4
v3
破圈法
----Prin算法的对偶方法. 最适合于在图 上作业. 当图比较大时, 还可以几个人同 时在各个局部作业.
Step0. 令G0=G. k=0.
Step1. 若Gk不含圈, 转Step2. 若Gk中
含有圈C.
v6
Prin算法(边割法)
实质: 在n-1个边割集中, 取每个边割集的一条 权最小的边, 构成G的一个生成树.
定义：[Sk , Sk ] {uv | u Sk，v Sk}。 Step0. 设v为V的任一顶点. 令S0={v}, E0=,
k=0.
Step1. 若Sk=V, 结束. 以Sk为点集, Ek为边集 的图即是G的最优树. 否则转Step2.
v6 v5
二.根树:如果一棵有向树,恰有一个结点的入度为0,其余
所有结点的入度均为1,则称此树为根树.
v1
1.树根:入度为0的结点. 2.叶:出度为0的结点.
v2
v3
3.分支结点(内结点):出度不为0的结点. v4 v5 v6
4.父结点与子结点:如果<vi,vj>是根树中
有三种遍历方式 1.先序遍历 2.中序遍历 3.后序遍历
1.先序遍历 ⑴访问根结点. ⑵先序遍历左子树
+