第十一章三角形(知识点+题型分类练习)

三角形必背知识点

一、三角形基本概念

1. 三角形的概念

由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

2.

3. 三角形三边的关系（重点）

三角形的任意两边之和大于第三边。

三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可）

用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。

已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b

解题方法：

①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。

②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形

方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可

③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形

方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。

④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围

方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b

⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长

方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。

二、三角形的高、中线与角平分线

1. 三角形的高

从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。

2. 三角形的中线

连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。

三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。

3. 三角形的角平分线

∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。

要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。

三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。

要求会的题型：

①已知三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度，求其中未知的高或者底边的长度

方法：利用“等积法”，将三角形的面积用两种方式表达，求出未知量。

三、三角形的稳定性

1. 三角形具有稳定性

2. 四边形及多边形不具有稳定性

要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。

四、与三角形有关的角

C

1. 三角形的内角

① 三角形的内角和定理三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关。

②直角三角形的两个锐角互余（相加为90°）。有两个角互余的三角形是直角三角形。 2.三角形的外角

① 三角形外角的意义三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 ②三角形外角的性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

③两个基本图形

八字模型：结论：∠1＋∠2＝∠3＋∠4

飞镖模型：结论：1．∠BOC ＝∠A ＋∠B ＋∠C 2．AB ＋AC ＞BO ＋CO

三角形的复习题型分类讲解

考点一：三角形三边关系的考查： 【基本应用】

1.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是( )

A. 3cm, 4cm, 8cm

B. 8cm, 7cm, 15cm

C. 13cm, 12cm, 20cm

D. 5cm, 5cm, 11cm 2.（2013?宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形

的一组是（ ）A.1，2，6 B.2，2，4 C.1，2，3 D.23，4

3.图中共有（ ）个三角形。

A.5

B.6

C.7

D.8

4.（2013?毕节地区）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 16 B.20或16 C.20 D.12 【能力提高】

1.(2013·南通中考)有3cm ，6cm ，8cm ，9cm 四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为 ( )

A.1

B.2

C.3

D.4

2.长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有 种选法，它们分别是

3.等腰三角形两边长分别为3,7，则它的周长为( )

A.13

B.17

C.13或17

D.不能确定

4.（2013?广安）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（ ） A.25 B.25或32 C.32 D.19

5.等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为______________

6.若三条线段中a ＝3，b ＝5，c 为奇数，那么由a ，b ，c 为边组成的三角形共有（ ） A.1个 B.3个 C.无数多个 D.无法确定

7.(2012·义乌中考)如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.8 8.已知a 、b 、c 是三角形的三边，化简c b -+a -c -b -a .

9.已知a,b,c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|.

10.若a，b，c分别为三角形的三边，化简：|a?b?c|+|b?c?a|+|c?a+b|.

考点、三角形角的考查

【基本应用】

1.一个三角形中最多有个内角是钝角,最多可有个角是锐角.

2．若∠A＝50°，∠B＝∠C，则∠C＝_______

3.若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠A＝_______，∠B＝_______，∠C＝_______．

4.已知△ABC的三个内角的度数之比∠A：∠B：∠C=1：3：5，则∠B= 0，∠C= 0

5.（2010山东济宁）若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是（）

A. 直角三角形

B. 锐角三角形

C. 钝角三角形

D. 等边三角形

6.在Rt△ABC中，∠C＝90°.若∠A＝48°，则∠B＝_______．

7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝5∠B，则∠A＝_______．

8.在△ABC中，∠A＝55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为( )

A．50°B．75°C．100°D．125°

9.如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P= .

10.如图，则∠α＝_______

第9题第10题

11.如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC，求∠DBC的度数．

【能力提高】

1．如图，∠A＝40°，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_______.

2.在一个三角形中，有一个角等于另外两个角的和，则这个三角形一定是( )

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形

3.如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是( )

A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1

4.如图，△ABC中，∠A＝50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1＋∠2的大小为( ) A．130°B．230°C．180°D．310°

第1题第3题第4题

5.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( )

A.等腰直角三角形

B.一般的等腰三角形

C.等边三角形

D.等腰钝角三角形

6.已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的外角度数之比为2∶3∶4，则这个三角形是( )

A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰三角形7.已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数( ).

4

32

1

A

A. 90°

B. 110°

C. 100°

D. 120° 8.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( ). A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 9.已知等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为_______.

10.(2013·重庆中考)如图，AB ∥CD ，AD 平分∠BAC ，若∠BAD=70°，那么∠ACD 的度数为 _______ 11．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a ∥b ，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为( ) A ．50° B ．60° C ．70° D ．80°

第10题 第11题

12.如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且ABC

S = 42

cm ，则

S 阴影

等

于( )

A ．22

cm B. 12

cm C. 122cm D. 1

42

cm

13.如图，在△ABC 中，∠ACB=900，CD 是边AB 上的高。那么图中与∠A 相等的角是（ ） A. ∠B B. ∠ACD C. ∠BCD D. ∠BDC

第12题 第13题

14.如图,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC 的度数.

15.如图，已知点P在△ABC内任一点，试说明∠A与∠P的大小关系

16.如图，∠1+∠2+∠3+∠4等于多少度；

考点二、三角形中线、角平线、高的考查

【基本应用】

1.对下面每个三角形，过顶点A画出中线，角平分线和高.

2.下列说法错误的是( ).

A.三角形的三条高一定在三角形内部交于一点

B.三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点

C.三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点

D.三角形的三条高可能相交于外部一点

3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）

(1)

C

B

A

C B

A

(2)

C

B

A

(3)

P

C

B

A

A. 锐角三角形

B. 钝角三角形

C. 直角三角形

D.不能确定

【能力提高】

1.三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分是（）

A.中线

B.角平分线

C.高

D.中位线

2.(2012·梧州中考)如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠

BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是( )

A.10°

B.12°

C.15°

D.18°

3.如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，若∠BOC＝140°，求∠A的度数．

4.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,∠B=54°,∠C=76°

(1)求∠ADB和∠ADC的度数.

(2)若DE⊥AC,求∠EDC的度数.

考点三、多边形相关知识

【基本应用】

1.如果一个多边形的每一外角都是24°，那么它是______边形.

2.正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为______．

3.若一个多边形的边数为8条，则这个多边形的内角和是( )

A.900°

B.540°

C.1080°

D.360°

4.(2014·南京模拟)如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝______.

5.(2013·泰安)如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于( )

A.90°

B.180°

C.210°

D.270°

6.多边形每一个内角都等于150°，则该多边形的边数是( )

A.10条B．11条 C.12条 D.13条

7.一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是( )

A.4条

B.5条

C.6条

D.7条

8．一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为（）

A.6

B.7

C.8

D.9

9．若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是______．

10.若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（）

A.十三边形

B.十二边形

C.十一边形

D.十边形

11.下列正多边中，能铺满地面的是（）

A.正方形

B.正五边形

C.等边三角形

D. 正六边形

12.下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（）

A.正六边形和正三角形

B.正三角形和正方形

C.正八边形和正方形

D.正五边形和正八边形

13.装饰大世界出售下列形状的地砖：○1正方形；○2长方形；○3正五边形；○4正六边形。若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖有（）

A. ○1○2○3

B. ○1○2○4

C. ○2○3○4

D. ○1○3○4

14.用三个不同的正多边形能够铺满地面的是（）

A.正三角形、正方形、正五边形

B.正三角形、正方形、正六边形

C.正三角形、正方形、正七边形

D.正三角形、正方形、正八边形

【能力提高】

1．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是（）

A.三角形

B.四边形

C.五边形

D.六边形

2.一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加( )

A.180°

B.360°

C.(n-2)·180°

D.n·180

3.多边形的每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有条。

4.如图，△ABC中，∠C＝75°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）

A.360°

B.180°

C.255°

D.145°

5.一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的内角和为2520°,则原多边形有____条边。

6.若一个多边形增加一条边，那么它的内角和( )

A.增加180°

B.增加360°

C.减少360°

D.不变.

7.用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有_ __个正三角形和__ _个正四边形。考点四、知识点综合应用

1.下面说法正确的是个数有（）

①如果三角形三个内角的比是1:2:3，那么这个三角形是直角三角形；

②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；

③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；

1∠C，那么△ABC是直角三角形；

④如果∠A=∠B=

2

⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；

⑥在△ABC中，若∠A＋∠B=∠C，则此三角形是直角三角形。

A.3个

B.4个

C.5个

D.5个

2.一个多边形中，它的内角最多可以有个锐角

3.下列图形中具有稳定性有（）

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

4.如图，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( )

A.三角形的稳定性

B.两点确定一条直线

C.两点之间线段最短

D.垂线段最短

5.如图，在△ABC中，∠B, ∠C的平分线交于点O.

(1)若∠A=500,求∠BOC的度数.

(2)设∠A=n0（n为已知数），求∠BOC的度数.

6.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，

求:(1)△ABC的面积；(2)CD的长；（3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积；（4）

C

作出△BCD的边BC边上的高DF，当BD=11cm 时，试求出DF的长。

A B

7.已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，CE平分∠BCD，且∠ACD：∠BCD＝1：2，那么CE是AB边上的中线对吗?说明理由．

8.已知：如图，在△ABC中有D、E两点，求证：BD＋DE＋EC＜AB＋AC．

9.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．

（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；

（2）在△BED中作BD边上的高；

(3）若△ABC的面积为40，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？